geometria analitica

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

INGENIERIA CIVIL

CÁLCULO

NOMBRE

RAMIREZ LEONARDO

PARALELO

SEGUNDO

SEMESTRE

PRIMERO

HEMI-SEMESTRE

SEGUNDO

Ing. GALO ZAPATA

TEMA

GEOMETRIA ANALITICA

1

ContenidoINTRODUCCIÓN...................................................................................................................................4

ECUACION DE LA RECTA.......................................................................................................................5

ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA................................................................................................5

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA.....................................................................................6

ECUACION CONTINUA DE LA RECTA................................................................................................6

ECUACION PUNTO-PENDIENTE DE LA RECTA...................................................................................7

ECUACION GENERAL DE LA RECTA...................................................................................................9

ECUACION DE LA RECTA QUE OASA POR DOS PUNTOS.................................................................10

ANNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS..........................................................................................11

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.......................................................................................12

ECUACIONES DE LAS BISECTRICES.................................................................................................13

CONICAS....................................................................................................................................................15

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA...............................................................................................15

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA...............................................................................................16

INTERSECCION DE UNA CONICA Y UNA RECTA..............................................................................17

ELIPSE........................................................................................................................................................19

EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE........................................................................................................19

ECUACION REDUCIDA DE LA ELIPSE...............................................................................................21

ECUACION REDUCIDA DE LA ELIPSE DEL EJE VERTCAL...................................................................22

ECUACION DE LA ELIPSE................................................................................................................23

ELEMENTOS DEL ELIPSE.................................................................................................................24

Relación entre la distancia focal y los semiejes.............................................................................25

HIPERBOLA................................................................................................................................................25

Elementos de la hipérbola:....................................................................................................................25

ECUACION REDUCIDA DE LA RECTA...............................................................................................26

FOCOS EN EL EJE OY.......................................................................................................................27

ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CON EJE PARALELO A OX, Y CENTRO DISTINTO AL ORIGEN............28

ECUACION DE LA HIPERBOLA EQUILATERA...................................................................................29

PARABOLA.................................................................................................................................................29

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA.......................................................................................................30

ECUACION REDUCIDA DE LA PARABOLA........................................................................................30

2

Caso 1....................................................................................................................................................30

ECUACIÓN REDUCIDA DE LA PARÁBOLA DE EJE VERTICAL............................................................31

Caso 1....................................................................................................................................................31

PARÁBOLA CON EJE PARALELO A OX Y VÉRTICE DISTINTO AL ORIGEN..........................................32

PARÁBOLA CON EJE PARALELO A OY, Y VÉRTICE DISTINTO AL ORIGEN.........................................33

BIBLIOGRAFIA....................................................................................................................................34

NETGRAFÍA........................................................................................................................................35

3

INTRODUCCIÓN

La geometría analítica, es fundamental para el estudio y el desarrollo de nuevos materiales que nos facilitan la vida diaria, razón por la cual esta asignatura siempre influye en la vida de todo ser humano.

El objetivo del presente trabajo es ayudar al estudiante de geometría analítica a comprender de qué manera se relaciona esta asignatura con su entorno, con las actividades que realiza y consigo mismo.

La ecuación de la recta, la ecuación de la circunferencia, la ecuación de la elipse, la ecuación de la parábola y la ecuación de la hipérbola en sus diferentes representantes (en el origen , fuera del origen y su forma general), son las cinco grandes temáticas en torno a las cuales se centraran las actividades de aprendizaje en este curso.

Partiendo de que la geometría analítica estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas y resuelve los problemas geométricos por métodos algebraicos, donde las coordenadas se representan por grupos numéricos y las figuras por ecuaciones, abordaremos las temáticas anteriores partiendo de esta definición

4

ECUACION DE LA RECTA

ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA

Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con

una dirección dada .

Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector tiene igual dirección que , luego es igual a multiplicado por un escalar:

EJEMPLO

Una recta pasa por el punto A (-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación vectorial.

5

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

A partir de la ecuación vectorial:

Realizando las operaciones indicadas se obtiene:

La igualdad de vectores se desdobla en las dos igualdades escalares:

EJEMPLO

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir sus ecuaciones paramétricas.

ECUACION CONTINUA DE LA RECTA

Si de las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro k.

6

Y si igualamos, queda:

EJEMPLO

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación continua.

ECUACION PUNTO-PENDIENTE DE LA RECTA

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX.

Pendiente dado el ángulo

Pendiente dado el vector director de la recta

Pendiente dados dos puntos

7

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo.

Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores:

8

Y despejando:

Como:

Se obtiene:

ECUACION GENERAL DE LA RECTA

Partiendo de la ecuación continúa la recta

Y quitando denominadores se obtiene:

Trasponiendo términos:

Haciendo

Se obtiene

9

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implícita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.

Las componentes del vector director son:

La pendiente de la recta es:

Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2.

ECUACION DE LA RECTA QUE OASA POR DOS PUNTOS

Sean los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) que determina una recta r. Un vector director de la recta es:

Cuyas componentes son:

10

Sustituyendo estos valores en la forma continua:

EJEMPLO

Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1,3) y B(2,-5)

ANNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de:

1 Sus vectores directores

2Rectas paralelas al eje OY

11

EJEMPLO

Dadas las rectas r ≡ 3x + y - 1 = 0 y s ≡ 2x + my - 8 = 0, determinar m para que formen un ángulo de 45°.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto.

12

EJEMPLO

Calcula la distancia del punto P(2,- 1) a la recta r de ecuación 3 x + 4 y = 0.

ECUACIONES DE LAS BISECTRICES

Bisectriz de un ángulo

Bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las rectas que forman el ángulo.

Ecuaciones de las bisectrices

13

EJEMPLO

Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que determinan las rectas r ≡ 3x - 4y + 5 = 0 y s ≡ 6x + 8y + 1 = 0.

14

CONICAS

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA

Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:

Si desarrollamos:

y realizamos estos cambios:

Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:

Donde el centro es:

15

y el radio cumple la relación:

Ecuación reducida de la circunferencia

Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:

EJEMPLO

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3).

Si sustituimos x e y en la ecuación por las coordenadas de los puntos se obtiene el sistema:

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA

Para que una expresión del tipo: sea una circunferencia debe cumplir que:

1 Los coeficientes de x2 e y2 sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos de la ecuación.

16

2 No tenga término en xy.

3

EJEMPLO

Indicar si la ecuación: 4x2 + 4y2 − 4x − 8y − 11 = 0, corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.

1 Como los coeficientes de x2 e y2 son distintos a la unidad, dividimos por 4:

2 No tiene término en xy.

3

Es una circunferencia, ya que se cumplen las tres condiciones.

INTERSECCION DE UNA CONICA Y UNA RECTA

Para hallar los puntos comunes a una cónica y una recta resolveremos el sistema formado por las ecuaciones de ambas.

En general se obtiene un ecuación de segundo grado, que tendrá dependiendo del signo del

discrimínante, , las siguientes soluciones:

1 Si Δ > 0

Dos soluciones: la recta y la cónica son secantes.

17

2 Si Δ = 0

Una solución: la recta y la cónica son tangentes.

3 Si Δ < 0

Ninguna solución: la recta y la cónica son exteriores.

18

EJEMPLO

Calcula la posición relativa de la circunferencia y la recta

.

ELIPSE

EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE

La excentricidad de la elipse es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.

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ECUACION REDUCIDA DE LA ELIPSE

Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

F'(-c, 0) y F(c, 0)

Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

EJEMPLO

Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3, 0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

21

1. Semieje mayor:

2. Semidistancia focal:

3. Semieje menor:

4. Ecuación reducida:

5. Excentricidad:

ECUACION REDUCIDA DE LA ELIPSE DEL EJE VERTCAL

Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:

Las coordenadas de los focos son:

F'(0, −c) y F(0, c)

22

EJEMPLO

Dada la ecuación reducida de la elipse , hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.

ECUACION DE LA ELIPSE

Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:

Las coordenadas de los focos son:

F'(0, −c) y F(0, c)

23

EJEMPLO

Dada la ecuación reducida de la elipse , hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.

ELEMENTOS DEL ELIPSE

1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.

2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.

4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

6. Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

8. Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

9. Eje menor: Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

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11. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

Relación entre la distancia focal y los semiejes

HIPERBOLA

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de la hipérbola:

1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.2. Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos.3. Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'.4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.5. Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje

focal. Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.

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6. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.

7. Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c.

8. Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a.

9. Eje menor: Es el segmento de longitud 2b.10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

11. Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones:

12. Relación entre los semiejes:

ECUACION REDUCIDA DE LA RECTA

Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(−c,0) y F(c,0)

Cualquier punto de la hipérbola cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones y considerando que , llegamos a:

EJEMPLO

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1 Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de centro C(0, 0).

FOCOS EN EL EJE OY

F'(0, −c) y F(0, c)

La ecuación será:

EJEMPLO

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(0, 5), de vértice A(0, 3) y de centro C(0, 0).

ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CON EJE PARALELO A OX, Y CENTRO DISTINTO AL ORIGEN

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Si el centro de la hipérbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(x0+c, y0) y F'(x0−c, y0). Y la ecuación de la hipérbola será:

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen signos opuestos.

EJEMPLO

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(7, 2), de vértice A (5,2) y de centro C(3, 2).

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ECUACION DE LA HIPERBOLA EQUILATERA

Las hipérbolas en las que los semiejes son iguales se llaman equiláteras, por tanto a = b. Y su ecuación es:

Las asíntotas tienen por ecuación:

,

Es decir, las bisectrices de los cuadrantes.

La excentricidad es:

PARABOLA

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

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ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA

1. Foco: Es el punto fijo F.2. Directriz: Es la recta fija d.3. Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.4. Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.5. Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje.6. Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

ECUACION REDUCIDA DE LA PARABOLA

En la ecuación reducida de la parábola el eje de la parábola coincide con el de abscisas y el vértice con el origen de coordenadas.

Pdemos considerar dos casos:

Caso 1

EJEMPLO

Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

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ECUACIÓN REDUCIDA DE LA PARÁBOLA DE EJE VERTICAL

En la ecuación reducida de la parábola el eje de la parábola coincide con el de ordenadas y el vértice con el origen de coordenadas

Podemos considerar dos casos:

Caso 1

EJEMPLO


31

PARÁBOLA CON EJE PARALELO A OX Y VÉRTICE DISTINTO AL ORIGEN

EJEMPLO


32

PARÁBOLA CON EJE PARALELO A OY, Y VÉRTICE DISTINTO AL ORIGEN

EJEMPLO


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BIBLIOGRAFIA

Irma Fuenlabrada Velásquez, Javier León Sarabia Geometría Analítica MC Graw Hill Edición revisada, 2004.

Baltasar Júnez Vega, Armando López Zamudio, Rafael Rojas Rojas. Matemáticas III. Geometría Analítica DGETI Primera edición, 2004.

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NETGRAFÍA

http://www.elosiodelosantos.com/sergiman/div/geometan.html

http://jfinternational.com/mf/geometria-analitica.html

http://www.cecytebc.edu.mx/HD/archivos/antologias/geometria_analitica.pdf

http://www.vitutor.com/geoanalitica.html

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