1. GEOMETRIA ANALITICALILIA MARIA OSSAACERO10-02

2. Se conoce como geometra analtica al estudio de ciertaslneas y figuras geomtricas aplicando tcnicas bsicas delanlisis matemtico y del lgebra en un determinadosistema de coordenadas. Descartes le dio impulso a la geometra analtica. Lo novedoso de la geometra analtica es que permiterepresentar figuras geomtricas mediante frmulas del tipof(x, y) = 0, donde f representa una funcin u otro tipo deexpresin matemtica. La idea que llev a la geometra analtica fue: a cada puntoen un plano le corresponde un par ordenado de nmeros y acada par ordenado de nmeros le corresponde un punto enun plano. Fue inventada por Ren Descartes y por Pierre Fermat, aprincipios del siglo XVII, y como vimos, relaciona lamatemtica y el lgebra con la geometra por medio de lascorrespondencias anteriores. 3. Adems, Descartes y Fermat observaron, y esto es crucial, que lasecuaciones algebraicas corresponden con figuras geomtricas. Esosignifica que las lneas y ciertas figuras geomtricas se puedenexpresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones puedengraficarse como lneas o figuras geomtricas. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuacionespolinmicas de primer grado y las circunferencias y el resto de cnicascomo ecuaciones polinmicas de segundo grado. (Ver: Ecuacin de lacircunferencia).Por lo expresado anteriormente, podemosaventurar una definicin ms sencilla para lageometra analtica:Rama de la geometra en que las lneas rectas,las curvas y las figuras geomtricas serepresentan mediante expresiones algebraicas ynumricas usando un conjunto de ejes ycoordenadas. 4. Por ejemplo, en la figura 1, el punto A est a 1 unidad hacia laderecha en el eje horizontal (x) y a 4 unidades hacia arriba en eleje vertical (y). Las coordenadas del punto A son, por tanto, 1 y4, y el punto queda fijado con las expresiones x = 1, y = 4. Los valores positivos de x estn situados a la derecha del eje y, ylos negativos a la izquierda; los valores positivos de y estn porencima del eje x y los negativos por debajo. As, el punto B de lafigura 1 tiene por coordenadas x = 5, y = 0. En general, una lnea recta se puede representar siempreutilizando una ecuacin lineal con dos variables, x e y, de laforma ax + by + c = 0. (Ver: Ecuacin de la recta). De la misma manera, se pueden encontrar frmulas para lacircunferencia, la elipse y otras cnicas y curvas regulares. 5. Ahora tenemos claro que la geometra analtica se desenvuelve en elllamado Plano cartesiano, y si recordamos, como ya dijimos, queDescartes y Fermat observaron la correspondencia entre lasecuaciones algebraicas y las figuras geomtricas, podemos colegir quelos dos objetivos (o problemas) fundamentales de la geometraanaltica son:A cada punto le corresponde un par ordenado, y a cada par ordenado le corresponde un punto.1.- Dada la descripcin geomtrica de un conjunto de puntos o lugargeomtrico (una lnea o una figura geomtrica) en un sistema decoordenadas, obtener la ecuacin algebraica que cumplen dichospuntos.Para este objetivo, siguiendo con el ejemplo anterior, todos los puntos que pertenecen a la lnea recta que pasa por A y B cumplen la ecuacin lineal x + y = 5; lo que expresado de modo general es ax + by = c.2.- El segundo objetivo (o tipo de problema) es: dada una expresinalgebraica, describir en trminos geomtricos el lugar geomtrico delos puntos que cumplen dicha expresin. 6. Invirtiendo el ejemplo anterior, dada la ecuacin algebraica x + y= 5, podemos calcular todos los valores para x e y que lacumplan y anotados esos valores en el Plano cartesianoveremos que corresponden a la recta AB. Usando ecuaciones como stas, es posible resolveralgebraicamente esos problemas geomtricos de construccin,como la biseccin de un ngulo o de una recta dados, encontrarla perpendicular a una recta que pasa por cierto punto, o dibujaruna circunferencia que pasa por tres puntos dados que no estnen lnea recta. La geometra analtica ha tenido gran importancia en eldesarrollo de las matemticas pues ha unificado los conceptosde anlisis (relaciones numricas) y geometra (relacionesespaciales).Ver: Plano Cartesiano 7. CONTRUCCIONES FUNDAMENTALESEn un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del planoqueda determinado por dos nmeros, llamados abscisa yordenada del punto. Mediante ese procedimiento a todo puntodel plano corresponden siempre dos nmeros reales ordenados(abscisa y ordenada), y recprocamente, a un par ordenado denmeros correspondeunnicopunto del plano.Consecuentemente el sistema cartesiano establece unacorrespondencia biunvoca entre un concepto geomtrico comoes el de los puntos del plano y un concepto algebraico comoson los pares ordenados de nmeros. Esta correspondenciaconstituye el fundamento de la geometra analtica.Con la geometra analtica se puede determinar figurasgeomtricas planas por medio de ecuaciones e inecuacionescon dos incgnitas. ste es un mtodo alternativo deresolucin de problemas, o cuando menos nos proporciona unnuevo punto de vista con el cual poder atacar el problema. 8. LOCALIZACION DE UN PUNTO EN UN PLANOCARTESIANO Como distancia a los ejesEn un plano traza dos rectas orientadas perpendiculares entre s (ejes) que por conveniose trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical, y cada puntodel plano queda unvocamente determinado por las distancias de dicho punto a cadauno de los ejes, siempre y cuando se d tambin un criterio para determinar sobre qusemiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia,criterio que viene dado por un signo. Ese par de nmeros, las coordenadas, quedarrepresentado por un par ordenado , siendo la distancia a uno de los ejes (porconvenio ser la distancia al eje horizontal) e la distancia al otro eje (al vertical).En la coordenada , el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se tomahacia la derecha sobre el eje horizontal (eje de las abscisas), y el signo negativo(nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada, el signo positivo (tambin se omite) indica que la distancia se toma hacia arribasobre el eje vertical (eje de ordenadas), tomndose hacia abajo si el signo es negativo(en ningn caso se omiten los signos negativos).A la coordenada se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la se la denomina ordenada del punto.Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a , as que sern de laforma , mientras que los del eje de ordenadas tendrn abscisa igual a , por lo quesern de la forma .El punto donde ambos ejes se cruzan tendr por lo tanto distancia a cada uno de los ejes,luego su abscisa ser y su ordenada tambin ser . A este punto el se ledenomina origen de coordenadas. 9. Como proyeccin sobre los ejesSe consideran dos rectas orientadas, (ejes) , perpendiculares entre s, x e y, con un origen comn, el punto O de interseccin de ambas rectas.Teniendo un punto P, al cual se desea determinar las coordenadas, se procede de la siguiente forma:Por el punto P se trazan rectas perpendiculares a los ejes, stas determinan en la interseccin con los mismos dos puntos, P (el punto ubicado sobre el eje x) y el punto P ( el punto ubicado sobre el eje y).Dichos puntos son las proyecciones ortogonales sobre los ejes x e y del punto P.A los Puntos P y P le corresponden por nmero la distancia desde ellos alorigen, teniendo en cuenta que si el punto Pse encuentra a la izquierda de O,dicho nmero ser negativo, y si el punto P se encuentra hacia abajo delpunto O, dicho nmero ser negativo. Los nmeros relacionados con P y P,en ese orden son los valores de las coordenadas del punto P.Ejemplo 1: P se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 2 unidades. P se encuentra hacia arriba de O, una distancia igual a 3 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (2 ; 3)