Geometría Analítica 3 (Circunferencia)

Geometra Analtica 3

Javier Trigoso/Freddy Lin Pgina 1

LA CIRCUNFERENCIA

Definicin

Se llama circunferencia a la seccin cnica

generada al cortar un cono recto con un plano

perpendicular al eje del cono.

La circunferencia es el lugar geomtrico de

todos los puntos del plano que equidistan de un

punto fijo llamado centro (C).

La distancia constante del centro a todos los puntos de la

circunferencia recibe el nombre de radio.

Ecuacin de la circunferencia

A partir de la definicin vamos a deducir la ecuacin de una

circunferencia que tenga el centro en el origen de coordenadas y

radio r.

Si P(x; y) es un punto

que pertenece a la

circunferencia entonces la

distancia de P al centro

es:

2 2d(P; 0) x y r

Elevando al cuadrado

Esta es la ecuacin cannica de la circunferencia de centro

(0; 0) y radio r

Si P(x; y) es un punto

que pertenece a la

circunferencia con

centro en C (h; k) y radio

igual a r, entonces la

distancia de P al centro

es:

2 2d(P;C) (x h) (y k) r

Elevando al cuadrado:

Esta es la ecuacin ordinaria de la circunferencia de centro (h;

k) y radio r

2 2 2x y r

222 Rkyhx

2 2 2(x h) (y k) r

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Ecuacin general de la circunferencia

Desarrollando la frmula anterior obtenemos:

22222 rkky2yhhx2x

Ordenando:

0rkhky2yhx2x 22222

Haciendo: -2h = D; -2k = E; h2 + k2 r2 = F y reemplazando en

la ecuacin anterior, obtenemos:

Conocida como la ecuacin general de la circunferencia.

PARA LA CLASE..

01. Determina el centro y el radio de cada una de las siguientes

circunferencias:

100yx 22

64y)2x( 22

121)3y(x 22

49)1y()1x( 22

50)4y()5x( 22

02. Deduce la ecuacin de cada una de las siguientes

circunferencias:

centro en (-3; 5) y radio 2

centro en (2; -5) y radio 3

centro en (4; 0) y radio 2

centro en (0; -2) y radio 1

03. Determina la ecuacin de la circunferencia que satisface

las siguientes condiciones:

centro en (0; 0) y pasa por (-3; 4)

centro en (3; -2) y pasa por (11; -2)

centro en (2; 4) y tangente al eje X

centro en (-3; -2) y tangente al eje Y.

04. Los puntos P (2; 5) y Q (-4; -3) son los extremos del dimetro

de una circunferencia. Determina el centro, el radio y la ecuacin

de esta.

05. Halla la ecuacin de la circunferencia cuyo centro est sobre

el eje Y y que pasa por los puntos (2; 2) y (6; -4).

06. Halla la ecuacin de la circunferencia que pasa por el origen

de coordenadas y tiene su centro en el punto de interseccin de

las rectas: L1: x 2y = 1; L2: x + 3y = 6

07. Determina el centro y el radio de cada uno de las siguientes

circunferencias:

2y10yx6x 22

15y6yx8x 22

77y9x12x9 22

2 2x y Dx Ey F 0

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127y32y16x8x16 22

08. Halla la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto

(-3; 4) y es concntrica con la circunferencia de ecuacin: 2 2C : x y 6x 2y 6 0

09. Encuentra la ecuacin de la circunferencia circunscrita al

tringulo de vrtices (0; -1), (4; -5) y (0; -9)

10. La ecuacin de una circunferencia es 2 2C : (x 4) (y 3) 20 . Halla la ecuacin de la recta

tangente a esta circunferencia en el punto (6; 7)

11. Dada la circunferencia 2 2C : (x 2) (y 3) 5 . Halla la

ecuacin de la tangente a dicha circunferencia que pasa por el

punto (3; 3).

12. Halla la ecuacin de la circunferencia concntrica a la

circunferencia 2 2C : x y 4x 6y 17 0 y que sea

tangente a la recta L: 3x - 4y + 7 = 0

13. Halla la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos

(1; 3) y (3; -1) y cuyo centro est en la recta: L1: x - 3y + 2 = 0

14. Halla la ecuacin de la circunferencia que tiene como dimetro

la porcin de la recta: L: 3x - 2y + 12 = 0, en el segundo

cuadrante.

15. Halla la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto

(1; 4) y que es tangente a la circunferencia de ecuacin 2 2C : x 6x y 2y 5 0 en el punto (-2; 1).

16. La circunferencia de ecuacin 2 2C : x y 40 es

intersectada por una recta en los puntos A y B, cuyas

coordenadas son (2 ; a) y (6 ; b) respectivamente. Calcula el valor

de a + b, si a > 0 y b > 0

17. Encuentra la ecuacin de la circunferencia que est inscrita

en el tringulo cuyos lados son las rectas: L1: 4x + 3y 21=0,

L2: 3x 4y 22 = 0 y L3: x + 6 = 0

PARA LA CASA..

01. Halla la ecuacin de la circunferencia de centro C(-2; 2) y

radio r = 2

A. (x + 2)2 + (y 2)2 = 4 B. (x 2)2 + (y + 2)2 = 6

C. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 4 D. (x 2)2 + (y + 2)2 = 4

02. Determina el dimetro de la circunferencia de ecuacin 2 2C : (x 3) (y 7) 49

A. 3u B. 5u

C. 7u D. 14u

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03. Halla las coordenadas del centro y la longitud del radio de la

circunferencia: C: (x 2)2 + (y + 9)2 = 4

A. (2; -9) ; r = 2 B. (-2; 9) ; r = 4

C. (2; 9) ; r = 2 D. (2; -9) ; r = 4

04. Halla el rea de la circunferencia,

si P (6; 0) y Q (0; 6)

A. 6 u2

B. 24 u2

C. 12 u2

D. 36 u2

05. Halla la ecuacin general de la circunferencia de centro

(5; 12) y radio 13.

A. x + y + 10x 24y = 0 B. x + y - 10x + 24y = 0

B. x + y + 24x 10y = 0 D. x + y - 24x + 10y = 0

06. Una circunferencia de centro (3; -2) pasa por el punto (12; 0).

Indica otro punto por donde pasa esta circunferencia.

A. (9; 5) B. (7; 8)

C. (10; 3) D. (8; 6)

07. Hallar la distancia mxima y mnima del punto (-7 ; 2) a la

circunferencia: C: x+y-10x-14y -151=0

A. 28 y 26 B. 28 y 2

C. 13 y 15 D. 1 y 20

08. Determina el radio de la circunferencia de ecuacin 2 2C : x y 8x 6y 0

A. 2 B. 3

C. 4 D. 5

09. Dada la ecuacin 2 2C : 3x 3y 4y 7 0 , encuentra su

centro.

A. (0; -3/2) B. (0; -2/3)

C. (3/2; 0) D. (2/3; 0)

10. Halla la longitud de la circunferencia cuya ecuacin es: 2 2C : 25x 30x 25y 20y 62

A. 3 B. 6

C. 3 D.2 3

11. Calcula el rea del crculo cuya circunferencia est

representada por la ecuacin C: 4x+4y-24x+4y +17=0

A. 2 u2 B. 3 u2

C. 4 u2 D. 5 u2

12. La circunferencia 2 2C : x y 9x 2y 18 0 , en qu

puntos intercepta al eje X?

A. (0; 3) y (0; 6) B. (0; 0) y (3; 6)

C. (-3; 0) y (-6; 0) D. (3; 0) y (6; 0)

13. Halla la ecuacin de la circunferencia de centro (-4; -1) y que

es tangente a la recta L: 3x + 2y 12 = 0

A. (x - 4) + (y - 1) = 52 B. (x + 4) + (y + 1) = 52

Q

X

Y

P

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C. (x + 4) + (y - 1) = 52 D. (x - 4) + (y + 1) = 52

14. La circunferencia de centro (3; 4) y tangente al eje X, corta

al eje Y en los puntos A y B. Determina la longitud de la cuerda

AB.

A. 4 B. 5

C. 7 D.2 7

15. Determina la ecuacin de la circunferencia que pasa por el

punto P (1; 0), sabiendo que es concntrica a la circunferencia

representada por la ecuacin C:x+ y - 2x - 8y + 13 = 0

A. (x - 1) + (y - 4) = 16 B. (x + 1) + (y - 4) = 16

C. (x - 1) + (y + 4) = 9 D. (x + 1) + (y + 4) = 16

16. El dimetro de una circunferencia es el segmento de recta

definido por los puntos: A (-8; -2) y B (4; 6). Obtn la ecuacin de

dicha circunferencia.

A. (x - 2) + (y - 2) = 52 B. (x + 2) + (y - 2) = 52

C. (x + 2) + (y + 2) = 52 D. (x - 2) + (y + 2) = 52

17. Determina el valor de M para que la circunferencia de

ecuacin C:x+y-6x+8y=M , tenga como radio 2.

A. -29 B. -21

C. 4 D.21

18. Determina la ecuacin de la circunferencia que es tangente al

eje X, tiene 10 u de radio y su centro est sobre la recta

L: x 2y = 0

A. x + y + 40x 20y + 400 = 0

B. x + y - 40x + 20y + 400 = 0

C. x + y - 40x - 20y + 400 = 0

D. x + y - 20x + 40y + 400 = 0

19. Determina la ecuacin de la circunferencia cuyo centro est

en el eje X y es tangente a la circunferencia

C:x+y-6x-12y=7 en el punto (-3; 2)

A. (x + 6)2 + y2 = 13 B. (x - 6)2 + y2 = 13

C. x2 + (y + 6)2 = 13 D. x2 + (y - 6) 2= 13

20. Las circunferencias: C1: x2 + y2 12x 6y + 25 =0

C2: x2 + y2 +2x + y = 10. Son tangentes en el punto P. Las

coordenadas del punto P son:

A. (3; 2) B. (1; 2)

C. (-2; -1) D. (2; 1)

21. Determina la ecuacin de la circunferencia que es tangente al

eje de las ordenadas en (0; 6) y cuyo centro est contenido en la

recta L: y - 3x = 0.

A. (x - 2) + (y - 6) = 4 B. (x + 2) + (y - 6) = 4

C. (x - 2) + (y - 6) = 4 D. (x + 2) + (y + 6) = 4

22. Halla la longitud de la circunferencia que pasa por los puntosa

(3; 0), B (1; 0) y C (0; 1)

A. 22 u B. 23 u

C. 2 5 u D. 5 u

23. Halla la ecuacin de la circunferencia de centro (1; -0,5)

sabiendo que es tangente a la recta L: 4x + 3y 15 = 0

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A. 4x2 + 4y2 8x + 4y 15 = 0 B. x2 + y2 2x + y 7 = 0

C. x2 + y2 4x - 2y + 1 = 0 D. x2 + y2 2x + y - 5 = 0

24. Determina la ecuacin de la recta ortogonal a la cuerda comn

de las circunferencias: 1 2C :x+y 8y=32 ; C :x+y 6x=16

A. 3x4y+16=0 B. 3x+4y-16=0

C. 4x-3y-12=0 D. 4x+3y+12=0

25. Halla las coordenadas de los puntos de interseccin de las

circunferencias dadas por las ecuaciones:

1 2C :x+y-4x 6y 9 0 ;C :x+y 8x-2y 13 0

A. (2;1) y (4;3) B. (1; 2) y (3; 4)

C. (2; 3) y (4; 1) D. (1; 3) y (2; 4)

26. Encuentra la ecuacin de la circunferencia que pasa por los

puntos A(-2; 5), B(4; 3) y C(6; -1)

A. x2 + y2 2x - 6y 38 = 0

B. x2 + y2 + 2x + 4y 45 = 0

C. x2 + y2 2x - 2y - 35 = 0

D. x2 + y2 8x - 2y - 8 = 0

27. Determina el rea del tringulo cuyos vrtices son N (2; 4) y

las intersecciones de la circunferencia C:(x-2)+(y-4)=25 con

el eje de las abscisas.

A. 6 u2 B. 8 u2

C. 12 u2 D. 16 u2

28. El centro de una circunferencia est dado por la interseccin

de las rectas: L1: y - 2x 1 = 0 y L2: x + y = 7. Si pasa por el

punto S (6; 2), halla su ecuacin ordinaria.

A. (x + 2) + (y - 5) = 25

B. (x - 2) + (y - 5) = 25

C. (x - 2) + (y + 5) = 25

D. (x - 5) + (y + 2) = 25

29. El centro de una circunferencia es la interseccin de las

rectas: L1: y - 2x 1 = 0 y L2: x + y = 7. Si L3: 5x + 2y + 9

= 0 es tangente a ella, determina su ecuacin ordinaria.

A. (x + 2) + (y - 5) = 29

B. (x - 2) + (y - 5) = 29

C. (x - 2) + (y + 5) = 29

D. (x - 5) + (y + 2) = 29

30. Halla la ecuacin general de la circunferencia que pasa por los

puntos A (4; 1) y B (5; -6), y cuyo centro est sobre la recta

L: x + 2y + 5 = 0

A. x + 4y + 2x 4y = 0

B. x + y + 2x + 6y 15 = 0

C. x + y - 2x + 6y - 15 = 0

D. x + y - 24x + 10y + 9= 0

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