¿Alguna vez te has preguntado si los dedos índice y anular de tu mano miden lo mismo? ¿Tendrán la misma área? Bueno, pues este es el momento indicado para descubrirlo. Aparentemente, así es, y con lo que hemos aprendido podemos comprobarlo. Aquí está lo que tienes que hacer:

Los promedios Seguramente, cuando cursaste la secundaria tuviste maestros que promediaban la calificación de un examen con la de tareas para obtener la que te ponían en la boleta, ¿no es así? Recordarás entonces lo que hacían: sumar las dos calificaciones y dividirlas entre dos. De este modo, si habías obtenido 8 en el examen y 10 en las tareas, tu calificación era

. En otras palabras, lo que se hacía era encontrar un número que estuviera a la misma distancia del 8 que del 10:

En cambio, si habías obtenido 7.5 y 8.5, tu promedio era . Nuevamente, una recta numérica nos ayuda a ver que el 8 es el número que se encuentra a la mitad, entre el 7.5 y el 8.5:

Así que cuando sacamos un promedio entre 2 cantidades, lo que obtenemos es un valor intermedio o valor central. Entonces, de manera gráfica (o sea, geométricamente), estamos encontrando el punto medio de la distancia entre los dos valores. Observa en el ejemplo anterior que la distancia entre 7.5 y 8.5 vale 1 unidad, por lo que el 8 está a la mitad de esa distancia. Es por eso que constituye el punto medio del segmento que se forma entre 7.5 y 8.5. Aquí tienes un segmento en el plano cartesiano, en el que ya hemos marcado el punto medio. ¿Cómo podríamos calcular sus coordenadas?

Intenta encontrar el procedimiento que te permita determinarlas. Vamos a probar si tu procedimiento funciona con otro caso. Como ya tienes un procedimiento, puedes intentar escribirlo mediante una fórmula, que tiene la ventaja de que será general y la podremos probar para cualquier caso. Para tu fórmula,

puedes suponer que los extremos del segmento son los puntos y . Cuando estés listo, oprime aquí.

Ahora sabemos que para obtener las coordenadas del punto medio M de un segmento , promediamos por separado

las abscisas y las ordenadas de los puntos que definen el segmento, o sea y , de modo que tengamos algo así:

Apliquemos nuestra fórmula en el siguiente caso: partiremos del punto medio de cada uno de los lados de un triángulo y nuestra meta será llegar a las coordenadas de sus vértices.

Los puntos medios de los lados de un triángulo son , y . A partir de ellos queremos encontrar las coordenadas de los vértices del triángulo original… ¿se puede? ¿Cómo resolver este problema? PASO 1. DATOS E INCÓGNITAS. Identifiquemos dos categorías:

¿Qué tenemos? Los puntos medios , y

¿Qué queremos? Los vértices , y . Observa que le hemos dado nombre a los vértices del triángulo. Para ello, elegimos tres letras cualesquiera. ¿Cómo se ve la gráfica?

En vista de que nuestro datos son puntos medios, podemos trabajar con la fórmula:

Para nuestro caso tendremos:

Observa que hemos determinado arbitrariamente (hacemos una suposición) que A será el punto medio entre los vértices P y Q, que B estará entre los vértices Q y R, y que C se encontrará entre R y P. Ahora podemos sustituir en nuestras fórmulas los datos que conocemos, de manera que tendremos lo siguiente:

Observa que hemos generado dos ecuaciones: una para las abscisas y otra para las ordenadas, las cuales por cierto, podemos reacomodar así:

De la misma manera, para el punto medio B tenemos:

……….

Para el punto C nos queda:

,

Paso 4. Organización de las ecuaciones. Como ves, pudimos generar 6 ecuaciones. Tres en términos de x y tres en términos de y. Vamos a reunirlas:

Observa que en cada grupo de 3 ecuaciones hay 3 incógnitas. ¿Recuerdas cómo resolver problemas en los que hay varias ecuaciones relacionadas entre sí? Efectivamente, podemos tratarlas como un sistema de ecuaciones y resolverlas por alguno de los métodos que conoces. Incógnita Del latín incognitus, no conocido. Cantidad desconocida que es preciso determinar en una ecuación o en un problema para resolverlos. Paso 5. Solución del sistema de ecuaciones. Método de determinantes:

Condiciones Para poder usar el método de determinantes hay dos condiciones:

• que las incógnitas estén de un lado del signo igual y los términos independientes del otro lado • que las incógnitas sigan el mismo orden en las tres ecuaciones; así:

Paso 6. Construir los determinantes En este método usamos solo los coeficientes. Un determinante se forma con columnas de coeficientes de la misma incógnita. Observa:

1. (NO usamos la columna de coeficientes de )

2. (NO usamos la columna de coeficientes de )

3. (NO usamos la columna de coeficientes de )

4. (NO usamos la columna de términos independientes)

Paso 7. Resolver los determinantes. Resolveremos uno de los determinantes que formamos en el paso anterior:

1. Repetimos los dos primeros renglones:

2. Trazamos diagonales hacia abajo empezando por el extremo superior izquierdo y multiplicamos los números unidos por cada flecha:

3. Trazamos diagonales hacia arriba empezando por el extremo inferior izquierdo, multiplicamos los números unidos por cada flecha y a cada resultado le cambiamos el signo:

De la misma manera puedes calcular . Paso 8. Obtener los valores de XP, XQ, XR, YP, YQ, YR. Para terminar con la solución del sistema de ecuaciones y conocer cuánto vale cada incógnita, haremos los siguientes cálculos:

Ya hemos determinado las abscisas de los vértices del triángulo. Para calcular las ordenadas, regresa al paso 4 para trabajar con el sistema de ecuaciones que tenemos en términos de y. Repite el resto de los pasos hasta obtener YP, YQ, YR. Las coordenadas del triángulo

Ya hemos calculado los vértices del triángulo, en el cual los puntos medios de los lados son los puntos ,

y . Vamos a escribirlos:

Lo que aprenderemos Cuando trabajamos con la información de los terremotos devastadores, comentamos las ventajas de un sistema de referencia bidimensional para visualizar gráficamente la relación entre dos variables. También dijimos que en muchas ocasiones esa relación puede representarse mediante una ecuación, y que esa era la gran aportación de Descartes. Ahora la estudiaremos con más detalle haciendo hincapié en:

1. Las variables que intervienen en esa relación, 2. La ecuación que las vincula y que cuantifica la dependencia entre ellas (regla de correspondencia) 3. Un acercamiento gráfico a dos conceptos que tal vez te resulten nuevos: el dominio y el rango.

Regla de correspondencia Ecuación que indica la relación matemática entre dos variables. El problema El cuidado de la alimentación es actualmente una preocupación no sólo de las personas sino de los gobiernos. Los trastornos alimenticios son una causa cada vez más frecuente de enfermedades graves en la población, tanto por el exceso de masa (desde sobrepeso hasta obesidad) como por la excesiva delgadez, relacionada casi siempre con problemas de bulimia y anorexia. Sobrepeso Condición en la que una persona presenta un índice de masa corporal (IMC) entre 25.0 y 29.9 kg/m2. El IMC es la relación entre el peso de una persona y el cuadrado de su estatura

Obesidad Condición en la que una persona presenta un índice de masa corporal (IMC) mayor de 30 kg/m2. La frontera entre sobrepeso y obesidad está basada en datos epidemiológicos que muestran un incremento moderado de mortalidad en personas con IMC mayor que 25 kg/m2 y muy marcado en personas con IMC mayor de 30 kg/m2. Para valorar cuantitativamente el primer caso te diremos que en Estados Unidos en 1999 el número de personas con sobrepeso y personas obesas sumaba 109 millones, esto es… ¡40% de la población! Con esta cantidad de personas afectadas, la situación se convierte en un problema de salud pública, ¿sabes por qué? ¡Claro! Porque se eleva el riesgo de desarrollar una o varias de las enfermedades asociadas al exceso de peso: enfermedades del corazón, infartos, diabetes y cáncer. Una causa Aunque las causas que han propiciado los problemas de exceso de peso son muy variadas (económicas, sociales, culturales), hemos tomado del National Heart Lung and Blood Institute de Estados Unidos una sección interesante: “Portion distortion” que nos muestra uno de los factores que pueden haber incidido en este proceso. Responde las actividades que ahí te proponen. ¿Qué te pareció Portion distortion? Seguramente coincidiremos en que el punto central en todo esto es saber qué comer, cuánto y cómo gastar la energía. La información en torno a cómo lograr una alimentación variada, sana y suficiente es abundante en la actualidad. A continuación te presentamos la pirámide alimenticia propuesta por el Departamento de Agricultura de Estados Unidos (USDA).

Ahora bien, para lograr una alimentación con esas características (sana, variada y suficiente) lo principal es cuidar qué y cuánto comemos. El objetivo es mantener un equilibrio entre la energía que nos proporciona la comida y la energía que gastamos durante nuestras actividades diarias.

Energía adquirida por alimentación = Energía quemada en actividades Los elementos del modelo matemático Los nutriólogos consideran que el cálculo de esta energía DEPENDE principalmente de cuatro factores:

• Edad de la persona • Estatura • Masa • Nivel de actividad

Estos cuatro parámetros cambian para cada persona, por lo cual podemos decir que la cantidad de energía que necesita DEPENDE de cuatro variables. Fíjate que la cantidad de energía también cambia para cada persona, por lo que también es una variable. Por ello, tenemos que establecer un criterio para distinguirlas: La VARIABLE INDEPENDIENTE simboliza un parámetro de entrada, o es decir, un dato que proporcionamos y que nos permite determinar o calcular la magnitud de otro, que se llama VARIABLE DEPENDIENTE. En nuestro caso, tenemos cuatro variables independientes y de ellas dependerá la cantidad de energía que requiera una persona, por lo que dicha energía es la variable dependiente. ¿Sabes que relaciona a las variables independientes con la

variable dependiente? ¡Claro! Una ecuación o fórmula, a la que también llamamos regla de correspondencia En otras palabras, los modelos matemáticos funcionan como las máquinas productoras de pan: a partir de los ingredientes (variables independientes): se aplica una receta (regla de correspondencia) y obtienes el pan. Según el tipo de ingredientes y la receta puedes obtener diferentes tipos de pan. Texto y gráficos

El Comité para la Alimentación y la Nutrición del Instituto de Medicina de Estados Unidos (Food and Nutrition Board, Institute of Medicine), ha determinado un modelo matemático que permite calcular los requerimientos energéticos diarios de una persona, en kilocalorías por día, dependiendo de la edad (en años), el peso (en kilogramos), la estatura (en metros) y el nivel de actividad de una persona. ¿Te imaginas una gráfica con tantas variables? ¡Necesitaríamos cinco ejes!

Modelo matemático del Requerimiento Estimado de Energía (REE)

para hombres

para mujeres Donde:

REE: Requerimiento estimado de energía (Kcal/día) e: Edad (años) PA: Coeficiente según el nivel de actividad p: Peso (kg) a: Estatura (m)

Consideraciones: • Fórmula para personas de 30 años. Si se hace la estimación de REE para un hombre menor de 30 años, hay que

aumentar 10 kcal por año, o sea, sumar . Para una mujer hay que aumentar 7 kcal por año, es decir,

sumar . En cambio, para hombres de más de 30 años hay que quitar 10 calorías por año:

y en el caso de mujeres de más de 30, quitar . • El nivel de actividad se califica de la siguiente manera:

Nivel de actividad PA Sedentario 1 Poco activo 1.12

Activo 1.27 Muy activo 1.45

Sedentario implica un estilo de vida que incluye solo actividad física ligera, asociada al día cotidiano. ¿Y los intermedios? Activo se refiere a un estilo de vida que incluye actividad física equivalente a caminar más de 5 Km. por día a una velocidad entre 5 y 6.5 Km/h, adicional a la actividad ligera que se realiza cotidianamente. Pero como las gráficas son grandes auxiliares para comunicar información sin involucrar expresiones algebraicas, podemos hacer algunos ajustes para usar el plano cartesiano que nos es más familiar: Fijaremos el valor de tres parámetros (la edad, la estatura y el nivel de actividad) para que dejen de ser variables y se conviertan en constantes. Así lograremos que nuestra ecuación sólo tenga dos variables: una dependiente (los requerimientos energéticos) y una independiente, que en nuestro caso será el peso. Trabajaremos tanto la ecuación para hombres como la de mujeres. El modelo simplificado Vamos a trabajar entonces el modelo para una edad de 30 años; para los hombres consideraremos una estatura de 1.70 m y para las mujeres usaremos 1.65 m. Consideraremos además que son personas activas. De este modo, nuestros modelos ahora son: Para hombres:

Para mujeres:

Observa que estos modelos dependen únicamente del peso, es decir, damos el peso de una persona y obtenemos su requerimiento de energía, y no olvidamos que esta fórmula sólo es válida si dicha persona tiene 30 años, tiene un ritmo de vida activo y mide alrededor de 1.65m (en mujeres) o 1.70 m (en hombres).

Aquí está la gráfica del modelo para hombres: Antes de que construyas la gráfica para los requerimientos energéticos de las mujeres, queremos que observes algunos aspectos de la gráfica anterior:

1. La variable independiente está representada sobre el eje horizontal (eje de las abscisas).

2. La variable dependiente está representada sobre el eje vertical (eje de las ordenadas).

3. La recta café está formada por el conjunto de puntos cuyas coordenadas son (peso, energía). Para obtener esos puntos es conveniente elaborar una tabla de valores, en especial si trabajarás con papel y lápiz o con Excel. Si recuerdas como se hace, sigue adelante; en caso contrario, consulta la ventana de ayuda.

NOTA: El modelo permite ver cuánta energía requiere una persona según su peso, pero ello NO significa que su peso sea el adecuado para su edad y características.

¿No recuerdas cómo graficar?

Requerimientos energéticos femeninos

Ahora es tu turno. Aquí tienes el modelo que obtuvimos para calcular los requerimientos energéticos para mujeres de 30 años de edad, estatura del orden de 1.65 m y ritmo de vida activo:

Obtén la gráfica y envíala a tu asesor. A continuación analiza la siguiente gráfica del requerimiento masculino de energía nos quedó así, ¿recuerdas?

Obtengamos el dominio y el rango de una gráfica

La determinación del dominio y el rango de una relación es un aspecto muy importante porque nos permite describir la extensión de su gráfica. En otras palabras, permite identificar qué cuadrantes del plano cartesiano atraviesa, qué valores son válidos y cuáles no, dónde hay discontinuidades. El dominio y el rango pueden obtenerse gráfica y analíticamente. ¿Qué te parece si empezamos por lo gráfico? Aquí tenemos nuestro primer caso:

Esta es la gráfica de una relación… ¿entre quienes? Puntos sobre la gráfica Ya sabemos que se acostumbra representar la variable independiente en el eje de las abscisas (horizontal), lo que implica que en este caso x es la variable independiente y por ende, y es la variable dependiente. No conocemos la regla de correspondencia, pero sabemos que tuvo que haber una que relacionara los valores de x con los de y (mediante alguna ecuación) para dar lugar a cada uno de los puntos de la circunferencia. Fíjate en la gráfica: una circunferencia es una curva cerrada, el dominio o intervalo de valores para las abscisas también es cerrado, o sea, inicia exactamente en un valor y termina exactamente en otro.

¿Cuáles son esos valores mínimo y máximo? Escríbelos aquí: Una frase matemática para expresar el dominio.

Podemos ver que las abscisas de los puntos de esta gráfica solamente pueden variar entre -5 y 5: Matemáticamente, esta frase se puede expresar de varias maneras: 1. Usando desigualdades:

• (se lee “el dominio de esta relación son los números reales mayores o iguales que -5 y menores o iguales que 5”), o bien,

• , (se lee “el dominio de esta relación son los números reales entre -5 y 5 inclusive”), o

2. Usando notación de intervalos:

(se lee “el dominio está en el intervalo cerrado de -5 y 5 “) Notación y ejemplos Un intervalo es un conjunto de valores delimitados por fronteras. Para expresarlos se usan como símbolos los corchetes [ ] en el caso de un intervalo

cerrado, y los paréntesis ( ) para los intervalos abiertos:

Ahora, el rango Aquí tienes de nuevo la gráfica. Si realizas un análisis como el anterior, verás que el rango en este caso es similar al dominio, es decir, los valores de las ordenadas varían entre -5 y 5. Podemos escribirlo de cualquiera de las tres manera que ya revisamos, sin olvidar que ahora nos estamos refiriendo a valores de la variable dependiente y:

o bien, o Encontremos las intersecciones con los ejes Aprovechemos esta gráfica para marcar las intersecciones (o puntos de intersección) de la relación con los ejes. En el análisis de gráficas, es común revisar cómo se comporta una relación al cruzarse con cada uno de los ejes. Aquí están las intersecciones para nuestro ejemplo:

Así que podemos describir esta relación de la siguiente manera: Es una circunferencia cuyo centro está en el origen (¿ya te habías dado cuenta?); tanto su dominio como su rango varían entre -5 y 5 y son números reales; se cruza con el eje de las abscisas en los puntos (-5,0) y (5,0) y con el eje de las ordenadas en (0,-5) y en (0,5). Tu turno. Descripción de una gráfica. Para cada una de las siguientes relaciones:

• Determina gráficamente el dominio y escríbelo con notación de intervalos. • Haz lo mismo para el rango. • Determina los puntos de intersección con los ejes. • Describe la gráfica

Registra tus resultados en un archivo electrónico y adjúntalo aquí, pues se enviará al portafolio del asesor para que lo revise. Función Para terminar nuestra unidad, determinaremos el dominio y el rango de algunas relaciones. Pero antes, introduciremos la noción gráfica de función. Una función es una relación que cumple con una condición especial:

Para cada valor en el eje de las abscisas, existe ÚNICAMENTE UN valor asociado en el eje de las ordenadas.

Observa la siguiente gráfica: Tomemos un valor de x cualquiera, por ejemplo x=1. Fíjate que para este valor de x hay DOS valores asociados: y= 0 e y= 6, que originan los puntos (1,0) y (1,6). Si trazamos una recta vertical, en x=1, veríamos que corta (o cruza) DOS veces a nuestra circunferencia. Elabora alguna estrategia para recordarlas. Ahora recuerda:

Ninguna circunferencia es función Descripción de una gráfica Ahora pon en práctica lo aprendido. Para que puedas realizar este trabajo, es importante que recuerdes algo: Salvo en el caso de las curvas cerradas (circunferencias y elipses) todas las demás gráficas son curvas abiertas, es decir, se prolongan hasta el infinito, aunque en pantalla solo podamos visualizar un fragmento. Por tanto, en los siguientes ejercicios tendrás que aplicar la notación de intervalos cuando un extremo no está acotado. Elipses Del latín ellipsis, y este del griego ellipsis. Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a otros dos fijos llamados focos es constante. Resulta de cortar un cono circular por un plano que encuentra a todas las generatrices del mismo lado del vértice. Te pedimos que en cada caso determines: 1. El dominio 2. El rango 3. Las intersecciones con los ejes 4. Y si cada gráfica es o no es función y descríbela

Escribe un párrafo descriptivo para cada gráfica, Registra tus resultados y adjúntalo aquí, pues se enviará al portafolio del asesor para que lo revise. En cada caso realiza el análisis que te permita determinar lo que hemos pedido; cuando hayas terminado debes contestar las dos preguntas que aparecen en cada caso y que son la llave para avanzar a la siguiente gráfica o terminar.

Arrastra los valores a su casilla correspondiente.

El modelo oferta - demanda El modelo de oferta y demanda es uno de los conceptos fundamentales de la Economía de mercado (en unos meses estarás estudiando este tema en el curso Matemáticas y Economía). La demanda se refiere a la cantidad de un producto o servicio que los consumidores están dispuestos a comprar a cierto precio. La oferta se relaciona con las cantidades de un producto o servicio que el mercado puede ofrecer, esto es, con la cantidad que los productores están dispuestos a abastecer si reciben por cada artículo (o servicio) determinado precio. El precio, por tanto, es el reflejo tanto de la oferta como de la demanda. La ley de la demanda establece que, si todos los factores que intervienen en el consumo se mantienen constantes, a mayor precio de un bien o servicio, menor número de personas estarán dispuestas a comprarlo. Es decir, a mayor precio, menor demanda. Esto significa que la cantidad demandada de un bien o servicio se reduce a medida que el precio se incrementa, y ocurre porque las personas evitan adquirir algo que implicaría privarse del consumo de alguna otra cosa que valoran más.

Con objeto de poder analizar y mejorar la colocación de un producto, las empresas generalmente plantean la ley de demanda de cada uno de sus productos mediante un modelo matemático expresado como una ecuación o regla de correspondencia en la cual la variable independiente es el número de productos demandados por los compradores y la variable dependiente es el precio de cada artículo. En otras palabras, la ley de la demanda de un producto es una expresión (generalmente algebraica) que nos permite determinar cuánto costará un producto EN FUNCIÓN del número de artículos que sean comprados. Las funciones tienen su propia notación, de acuerdo con la cual, lo que acabamos de decir puede expresarse así:

P = f (n) Donde: P es el precio n es el número de artículos vendidos o demandados por los consumidores f (n) es una función que usa n como variable independiente (es decir, es una función en términos de n) y toda la expresión se lee como “El precio es función del número de artículos vendidos”. Notación de funciones La notación de funciones es la simbología usada para expresar una relación de dependencia. Por ejemplo:

Significa que la velocidad es función de la distancia y el tiempo. Velocidad Del latín velocitas, -atis, ligereza o prontitud en el movimiento. Magnitud física que expresa el espacio recorrido por un

móvil en la unidad de tiempo. Su unidad en el Sistema Internacional es el metro por segundo (m/s). Si queremos presentar la expresión que nos permite determinarla, podemos escribirla así: y leerla así: “la velocidad es función de la distancia y el tiempo y para calcularla hay que dividir la distancia entre el tiempo”. Otro ejemplo: Si queremos expresar que el Requerimiento Estimado de Energía (REE) que requiere una persona es función de su edad (e), peso (p), estatura (a) y coeficiente por el nivel de actividad (PA), y luego queremos escribir la expresión que rige dicho requerimiento para el género masculino, podríamos tener algo así:

Un último ejemplo: Si queremos presentar la fórmula del área de un círculo en función de su radio R, podemos usar la

expresión .

OBSERVA que . NO son multiplicaciones: lo que se escribe dentro del paréntesis son las variables de las que depende la función en cuestión. Ahora inténtalo tú. Arrastra la regla de correspondencia según sea el caso, utilizando la notación de funciones.

• El área de un cuadrado en función de su lado l. • El volumen de un cilindro en función de su radio r y su altura a. • La energía en función de la masa y la velocidad de la luz. • El peso en función de la masa y la aceleración.

Si tuviste como máximo un error, puedes considerar que ya tienes una noción general de la notación de funciones. En caso contrario, te recomendamos que hagas un viaje por el sitio Descartes que seguramente te ayudará a aclarar ideas para que puedas continuar sin atorarte. http://descartes.cnice.mecd.es/ La ley de la oferta La ley de la oferta explica las cantidades que se venden según el precio de un producto o servicio, pero en este caso desde el punto de vista de los productores. La ley establece que a medida que el precio de un producto o servicio es mayor, se incrementa la cantidad que los productores ofrecen, lo cual resulta comprensible si pensamos que a medida que a un productor se le paga más por su producto, está dispuesto a abastecer una mayor cantidad, ya que su ganancia será mayor.

Análogamente al caso de la demanda, las empresas también modelan la ley de oferta de cada uno de sus productos mediante alguna expresión en la que la variable independiente es el número de productos ofrecidos por los productores y la variable dependiente es el precio al que se les paga cada artículo. El análisis de ecuaciones En Matemáticas, cuando hablamos de analizar una ecuación nos referimos a estudiarla usando herramientas algebraicas que nos permitan determinar fundamentalmente cuatro aspectos:

1. Sus intersecciones con los ejes coordenados 2. Sus simetrías con respecto a los ejes coordenados 3. Su extensión (dominio y rango) 4. La posibilidad de que presente un comportamiento asintótico

Estos cuatro aspectos nos permitirán describir cómo se ve la gráfica de una ecuación incluso antes de verla, porque para ello usaremos procedimientos algebraicos. Es parecido a lo que ocurre en los retratos hablados que hace la policía: a partir de los rasgos generales de una persona que se le dan al dibujante, él logra bosquejar lo que se conoce como un “retrato hablado”. En la medida que se le dan características más específicas, el retratista puede hacer un mejor trabajo. De manera análoga, al ir analizando los cuatro aspectos, iremos precisando características de la gráfica de la ecuación, para poder construirla posteriormente. En la sección anterior aprendimos a determinar gráficamente las intersecciones y la extensión, así que es probable que te preguntes por qué ahora trabajaremos con un método analítico para llegar a lo mismo por la vía algebraica. Esto se debe por una parte a que la concepción de la Geometría analítica consiste precisamente en que todo resultado que se puede visualizar geométricamente (en una gráfica), debe comprobarse analíticamente y viceversa: Todo procedimiento analítico debe tener una comprobación gráfica. Lo gráfico se comprueba analíticamente: Lo analítico se comprueba gráficamente:

Por otra parte, los desarrollos analíticos son muy importantes porque constituyen la traducción de lo gráfico hacia lo simbólico (o sea, relacionar las imágenes con expresiones algebraicas y/o trascendentes), y el lenguaje simbólico permite análisis mucho más complejos y profundos. Consideramos que estás listo para acercarte a estos análisis.