GEOMETRÍA Componente: Geométrico – Métrico Estándar: Comparo y clasifico figuras bidimensionales de acuerdo con sus componentes (ángulos, vértices) y características. Contenido: El punto, recta, plano, ángulo,

Ángulos y su medición, grado de ángulos,

Polígonos, Clasificación, Perímetro y diagonal del

polígono.

Competencias: Reconoce y clasifica

polígonos según el número de lados, la

longitud y la medida de sus ángulos interiores.

Mide con el instrumento del trasportador

diferentes medidas de ángulos representados

en una figura plana

Indicadores de desempeño: Conoce el instrumento del transportador para medir diferentes ángulos. Realiza diferentes mediciones de ángulos y divide la circunferencia en secciones distintas e iguales. Puede ubicar secciones de circunferencia para referirse a una parte de su entorno social. Saberes previos: Manejo de la regla Pregunta Problematizadora: ¿Cómo saber cuántos grados mide la superficie de la tierra? Metodología: primero se socializa cada uno de los conceptos, se toma atenta nota en el cuaderno; luego se representa cada uno de esos conceptos con ejemplos. Además se dejaran algunos ejercicios para que los estudiantes practiquen en casa.

Además toda la información puede ser consultada en: juancarlosmurillorivas.blogspot.com

CONCEPTO DE GEOMETRÍA

Es una parte de la matemática que se encarga de estudiar las propiedades y las medidas de una figura en un plano o en un espacio. En geometría existen tres conceptos básicos que son: El punto: es el elemento más simple, no tienen dimensiones por lo tanto carece de longitud, anchura y altura, un punto indica una posición en el plano además se nombran con letras mayúsculas.

La recta: está formada por una sucesión de puntos, situados en una misma dirección; las rectas se nombran mediante dos puntos o una letra minúscula.

El plano: un plano es un elemento que sólo cuenta con dos dimensiones y que alberga infinitos puntos y rectas. Puede nombrarse con una letra mayúscula.

Otros conceptos importantes para el estudio de la geometría. Puntos Colineales: son puntos que se encuentran ubicados en la misma recta.

Puntos Coplanares: son puntos que se encuentran ubicados en el mismo plano.

Segmento: parte de la recta que comprende dos puntos:

Ejercicio. Observa la figura y completa cada expresión

a. L es una ___________ b. Los punto A, B, C, son ___________ c. Los punto P, B, Q, son ___________

d. Los puntos P y Q forman _________ TALLER EN CLASES Responde cada enunciado de acuerdo a la figura.

a. H y G son __________ b. Los punto R, B, S, son ___________ c. Los punto R, B, S, no son ________ d. La recta l se puede escribir como ___ e. Los puntos A y B forman un _______

La línea recta se clasifica en: Rectas paralelas: dos rectas son paralelas si al prolongarlas en ambas direcciones no se cruzan en ningún punto.

Rectas secantes: dos rectas son secantes cuando se unen en un punto.

Rectas perpendiculares: dos rectas son perpendiculares si son secantes y forman ángulos rectos, es decir, de 90 grados

Ejercicio Observa la siguiente figura y responde

a. ¿Qué calles, carreras o avenidas son paralelas?

b. ¿Qué calles, carreras o avenidas son

perpendiculares?

c. ¿Qué calles o carreras resultan secantes con la avenida Luis Carlos Galán?

ANGULO

Un ángulo está formado por la unión de dos semirrectas que parten de un mismo punto. A las semirrectas se les llama lado y al punto en común vértice.

Los ángulos se pueden nombrar de varias formas como son:

Indicando el vértice con una letra.

Utilizando tres letras mayúsculas dos de los lados y la del vértice.

Utilizando una letra griega o un número.

MEDICIÓN DE ÁNGULOS: para determinar la medida de ángulos en grados se utiliza como herramienta el transportador. Para medir un ángulo se hace coincidir el centro del transportador con un vértice del ángulo y el cero con uno de sus lados. Luego, se observa el número de grados que marca el otro lado. Ejemplo. a. Nombra los ángulos que aparecen en las siguientes figuras.

Actividad extra clase 1. Observa la representación de cada ángulo en el transportador. Luego, escribe su medida.

2. Utiliza el transportador para medir los siguientes ángulos.

3. Construye con el transportador los ángulos que tienen las siguientes medidas y además nombrarlos.

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS Los ángulos se pueden clasificar según sus medidas, según la suma de sus medidas y según su posición. 1. Según Sus Medidas Agudo: mide menos de 90 grados.

Angulo Recto: mide 90 grados.

Angulo Obtuso: mide más de 90 y menos de 180 grados.

Angulo Llano: mide 180 grados.

2. Según Su Posición Ángulos Consecutivos: tienen en común, solamente, el vértice y un lado.

∢1 𝑦 ∢2 Son consecutivos. Ángulos Adyacentes: son consecutivos y los lados no comunes forman un ángulo llano.

∢1 𝑦 ∢2 Son adyacentes. Opuestos por el vértice: se forman a partir de dos rectas secantes.

∢1 𝑦 ∢2; ∢3 𝑦 ∢4 son opuestos por el vértice. 3. Según La Suma De Sus Medidas Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90 grados.

Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementario si la suma de sus medidas es 180 grados.

Actividad extra clase 1. Completa la siguiente tabla

Medida Medida del complemento

Medida del suplemento

40°

63°

36°

12°

162°

2. Observa la figura.

a. ¿Cuáles pares de ángulos son consecutivos? b. ¿Cuáles pares de ángulos son adyacentes? c. ¿Cuáles pares de ángulos son opuestos por el vértice?

3. Escribe que tipos de ángulos están formando las manecillas del reloj, de acuerdo con su medida.

4. Se tienen tres ángulos ∢1, ∢2 𝑦 ∢3. La medida del ∢2 es 60°, el ∢1 y ∢3 tienen igual medida y los tres ángulos suman 90°, ¿Cuál es la medida del ∢1 y ∢3? 5. Se tienen tres ángulos ∢1, ∢2 𝑦 ∢3. El ∢3

mide 120° y es suplemento del ∢2. El ∢1 y

∢2 son opuestos por el vértice, ¿Cuánto mide

el suplemento del ∢1?

POLÍGONOS Un polígono es una figura plana limitada por segmentos de tal forma que cada segmento se une solamente en sus puntos extremos y ningún par de segmentos que se unen son colineales.

Elementos Del Polígono a. Lados: son los segmentos que conforman el polígono. Los lados de la figura anterior son:

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐸𝐴̅̅ ̅̅ b. Vértices: son los puntos donde se unen cada par de segmentos. Los segmentos de la figura anterior son: 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 𝑦 𝐸 c. Ángulos Interiores: son los ángulos determinados por los lados del polígono. Los ángulos de la figura anterior son: ∢𝐴, ∢𝐵, ∢𝐶, ∢𝐷 𝑦 ∢𝐸 d. Diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos del polígono. Las

diagonales de la figura anterior son: 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ,𝐵𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐶̅̅ ̅̅ Para calcular el número de diagonales de un polígono se utiliza la siguiente formula.

𝑑 =𝑛 × (𝑛 − 3)

2

Ejercicios: Escribe los lados, vértices, ángulos interiores, calcular las diagonales con la formula y escribirlas; aplicar lo anterior a los siguientes polígonos.

CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS 1. Según Número De Lados: se clasifican así:

2. Según Sus Ángulos Interiores: se divide en dos Polígono convexo: si todos los ángulos interiores miden menos de 180 grados o si todas sus diagonales están dentro del polígono.

Polígono Cóncavo: si alguno de sus ángulos mide más de 180 grados o si tiene al menos una diagonal por fuera del polígono.

3. Según La Medida De Sus Lados Y De Sus Ángulos: se divide en dos Polígono Regular: Todos sus lados y todos sus ángulos tienen la misma medida.

Polígono Irregular: todos sus lados y sus ángulos no tienen la misma medida.

PERÍMETRO El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados. Ejemplo Calcular el perímetro de la siguiente figura

Solución: el perímetro es la suma de sus lados entontes: 𝑃 = 4𝑚 + 3𝑚 + 3𝑚 + 10𝑚 + 14𝑚 +7𝑚 = 41𝑚

Actividad extra clase

1. Clasifica los siguientes polígonos según su número de lados, según sus ángulos interiores y según la medida de sus lados y de sus ángulos.

2. Establece cuales de los siguientes polígonos son cóncavos y cuales convexos.

3. Observa la figura. ¿Cuántos pentágonos convexos hay?

4. Calcular el perímetro de las siguientes figuras

MOVIMIENTOS EN EL PLANO Componente: Geométrico – Métrico Estándar: Predecir y comparar los resultados de aplicar transformaciones rígidas (traslaciones, rotaciones, reflexiones) y homotecias (ampliaciones y reducciones) sobre figuras bidimensionales en situaciones matemáticas y en el arte. Contenido: Plano cartesiano, Traslación,

Rotación y Reflexión.

Competencias: Aplica reflexiones,

traslaciones y rotaciones para desplazar

figuras geométricas en el plano cartesiano.

Indicadores de desempeño: Predice que puede suceder si se cambia de lugar, reflexiona o se rota una figura en el plano.

Realiza diferentes movimientos de figuras en el plano y puede trascribir su trayectoria. Aplica los conceptos de traslación, rotación y reflexión para entender los diferentes puntos de vista que tienen las personas. Saberes previos: Punto, recta, Angulo, polígono, trasportador, regla. Pregunta Problematizadora: ¿Qué diferencia existe entre trasladar y rotar una figura geométrica el plano cartesiano? Metodología: primero se socializa cada uno de los conceptos, se toma atenta nota en el cuaderno; luego se representa cada uno de esos conceptos con ejemplos. Además se dejaran algunos ejercicios para que los estudiantes practiquen en casa. Además toda la información puede ser consultada en: juancarlosmurillorivas.blogspot.com

PLANO CARTESIANO Es un sistema que utiliza para localizar puntos. Está formada por dos rectas perpendiculares llamadas ejes; el horizontal se llama eje x y el vertical eje y cuyo punto de intersección de los dos se llama origen. En cada eje se establece una escala numérica.

En el plano cartesiano, un punto se representa con un par de números llamados pareja ordenada que se simboliza (a, b), donde a corresponde a las X y b corresponde a las Y. Por ejemplo, para ubicar el punto (- 3, - 5), se ubica - 3, según el eje X, y - 5 según el eje Y

Representación De Polígonos En El Plano Cartesiano. Se ubica cada uno de sus vértices. Luego se trazan sus lados. Ejemplo Representa el cuadrado en el plano cuyos vértices son: 1. 𝐴(0, 0), 𝐵(0, 5), 𝐶(5, 5), 𝐷(5, 0)

2. 𝐴(−2, 1), 𝐵(0, 3), 𝐶(1, −2)

Ejercicios 1. Escribe las coordenadas de los vértices de cada polígono.

2. Traza un plano cartesiano. Luego, Ubica cada uno de los siguientes puntos.

𝐴(2, 3) 𝐵(0, 5)

𝐶(7, 0) 𝐷(−4, 3) 𝐸(−5, 7) 𝐹(2, −6)

TRASLACIÓN Una traslación consiste en desplazar una figura a lo largo de una línea recta conservando la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos. Para la traslación de una figura se debe indicar la DIRECCIÓN (horizontal o vertical), el SENTIDO (derecha, izquierda arriba y abajo) y la MAGNITUD (número de unidades que se va a trasladar) Para realizar la traslación de un polígono se tiene en cuenta el plano cartesiano. Ejemplo 1. Trasladar el rectángulo HIJK cuatro unidades hacia la derecha.

Para trasladar el rectángulo HIJK debe trasladarse cada vértice. Así, el vértice H tiene abscisa —5, al desplazarla cuatro unidades hacia la derecha queda con abscisa —1. Si se

repite el procedimiento con los otros tres vértices, se tendrá que la nueva abscisa de 1 y J es 3. La nueva abscisa de K es, al igual que la de H, —1.

2. El polígono LMNOP fue trasladado tres unidades hacia arriba. Ubicar en un nuevo plano cartesiano la posición inicial de LMNOP.

Como el desplazamiento del polígono LMNOP fue hacia arriba, hay que trasladar cada vértice hacia abajo para que el polígono quede en su posición inicial. De esta manera, la posición inicial de LMNOP es:

Ejercicios 1. Traslada el polígono según corresponda

a. Traslada el cuadrado 5 unidades a la derecha.

2. Dibuja el rectángulo de vértices 𝐴(0, 0), 𝐵(0, 2), 𝐶(−4, 2), 𝐷(−4, 0).

Luego aplica las siguientes traslaciones y escribe los vértices que resultan al final. Trasladar dos unidades hacia arriba, tres unidades hacia la derecha y una unidad hacia abajo. 3. Determinar la traslación realizada a la figura que tiene como vértices 𝐴(−2, 4), 𝐵(1, 4), 𝐶(1, −1), 𝐷(−2, 1), si

los vértices de la posición final de la figura tiene como coordenadas 𝐴´(−3, 4), 𝐵´(0, 4), 𝐶´(0, −1), 𝐷´(−3, 1).

ROTACIÓN Una rotación es una transformación en el plano que consiste en girar una figura alrededor de un punto. Para rotar una figura, es necesario indicar el ángulo de giro, el sentido (que puede ser en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario a las manecillas del reloj) y el punto sobre el cual se va a rotar. A este punto se le llama centro de rotación y puede estar en el interior de la figura, en uno de sus vértices o en el exterior de ella. Para rotar una figura también es conveniente hacerlo en un plano cartesiano. Ejemplo: Rotar el triángulo ABC alrededor del vértice A, 40° en sentido contrario a las manecillas del reloj. Primero, desde el punto de rotación A, se mide un ángulo de 40° a partir del segmento AC en el sentido contrario de las manecillas del reloj, y otro, a partir de AB en el mismo sentido.

Segundo, se miden con la regla la longitud de los segmentos AB y AC, y se marcan sus medidas en los nuevos segmentos.

Finalmente, se marcan los nuevos vértices A’, B’ y C’. El punto A es el mismo punto A’; los demás puntos son diferentes a los iniciales.

Ejercicios 1. Rota cada polígono según se indica en cada caso. a. Rotación alrededor del vértice K, 60° en sentido de las manecillas del reloj.

b. Rotación alrededor de M en sentido contrario a las manecillas del reloj.

2. Halla el ángulo de rotación, teniendo en cuenta que la figura roja es la inicial y la verde es el resultado de la rotación.

REFLEXIÓN La reflexión es una transformación rígida en el plano que consiste en dar media vuelta a una figura teniendo en cuenta una recta llamada eje de reflexión.

Ejemplo Reflejar el triángulo cuyos vértices son FGH, sobre la recta que pasa por los puntos A (5, O), B (5, 9). Primero, se construye el eje de reflexión.

Segundo, con el compás se toma la medida del eje de reflexión a cada vértice y sin mover el punto de apoyo del compás, se traslada cada medida al otro lado del eje para obtener la nueva figura.

Luego, se marcan los nuevos vértices F’, G’ y H’. El punto H’ coincide con H’; los demás puntos son diferentes a los iniciales.

Ejercicios 1. Refleja el triángulo de vértices 𝐴(2, 2), 𝐵(2, 5) 𝑦 𝐶(5, 4), teniendo como eje de reflexión el eje y. 2. Refleja la figura según el eje de reflexión

3. Dibuja en el plano cartesiano el triángulo de vértices 𝐴(2, 1), 𝐵(1, 3) 𝑦 𝐶(5, 1), teniendo como eje de reflexión el eje x y determina si la afirmación es verdadera o falsa. a. Las coordenadas de 𝐴´ son (2, −1)

SISTEMAS DE MEDIDAS

Componente: Geométrico – Métrico Estándar: Calculo áreas y volúmenes a través de composición y descomposición de figuras y cuerpos. Contenido: Unidades de longitud, de masa, y

de tiempo.

Competencias: Convierte medidas de diferente

categoría de múltiplos a submúltiplos y viceversa.

Indicadores de desempeño: Identifica cada una de las unidades de medidas y sabe cuándo y dónde aplicarlas. Puede aplicar cada uno de los conceptos dados a las unidades de medidas y trabajarlas en las situaciones que se le planteen.

Saberes previos: Punto, recta, Angulo, polígono, trasportador, regla. Pregunta Problematizadora: ¿Cómo saber cuántos segundos tiene un año? Metodología: primero se socializa cada uno de los conceptos, se toma atenta nota en el cuaderno; luego se representa cada uno de esos conceptos con ejemplos. Además se dejaran algunos ejercicios para que los estudiantes practiquen en casa. Además toda la información puede ser consultada en: juancarlosmurillorivas.blogspot.com

LONGITUD Es una magnitud que se mide en una dimensión, como el ancho, el largo, la altura y la distancia. UNIDADES DE MEDIDA EN LONGITUD La unidad fundamental para medir las longitudes es el metro (m). Existen unidades de medidas mayores que el metro, conocidas como múltiplos y unidades menores como submúltiplos.

Múltiplos del Metro

Kilometro (km)

Hectómetro (hm)

Decámetro (dam)

1,000 𝑚 100 𝑚 10 𝑚

Submúltiplos del Metro

Decímetro (dm)

Centímetro (cm)

Milímetro (mm)

1

10= 0,1 𝑚

1

100= 0,01 𝑚

1

1000= 0,001 𝑚

Para convertir una unidad de orden superior a orden inferior, se multiplica por la potencia de diez; si es de orden inferior a orden superior,

se divide entre la potencia de diez correspondiente. Ejemplos 1. Realizar la siguiente conversión a. pasar 13 𝑘𝑚 𝑎 𝑚 Como un 𝑘𝑚 equivale a 1000 𝑚 entonces

13 × 1000 = 13000𝑚 2. Un Circuito de carreras, cuya longitud es de 450 𝑚, ¿Cuántos Centímetros se recorren en dicho circuito? Como 1 𝑚 equivale a 100 𝑐𝑚, se tiene que 450 × 100 = 45000 por tanto, se recorren

45000 𝑐𝑚.

Ejercicios extra clases 1. Realiza las siguientes conversiones.

a. 480 𝑚 a 𝑚𝑚

b. 600 𝑚 a 𝑐𝑚 c. 980 𝑑𝑎𝑚 a 𝑚

2. Si la pantalla del televisor mide 42 pulgadas y una pulgada equivale a 25 𝑚𝑚, ¿Cuántos 𝑚𝑚 mide la pantalla del televisor? 3. Si el monte Everest tiene una altura aproximada de 8944 𝑚 sobre el nivel del mar y se quiere colocar señales cada Hectómetro, ¿Cuántas señales se necesitan?

MASA Es un concepto que identifica a aquella magnitud de carácter físico que permite indicar la cantidad de materia contenida en un cuerpo. La unidad principal de la masa en el Sistema Cegesimal de Unidades es el gramo (g).

Existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores, las más usuales son:

Múltiplos del Gramo

Kilogramo (kg)

Hectogramo (hg)

Decagramo (dag)

1,000 𝑔 100 𝑔 10 𝑔

Submúltiplos del Gramo

Decigramo (dg)

Centigramo (cg)

Milígramo (mg)

1

10= 0,1 𝑔

1

100= 0,01 𝑔

1

1000= 0,001 𝑔

Ejemplos 1. Realizar la siguiente conversión.

a. Pasar 60 𝑘𝑔 𝑎 𝑔

Como un 𝑘𝑔 equivale a 1000 𝑔 entonces 60 × 1000 = 60000𝑔 2.. ¿Cuántos paquetes de la misma cantidad de masa puedo formar con 5 kg de caramelos; si un paquete de caramelos tiene una masa de 125 g? Como 1 𝑘𝑔 equivale a 1000 𝑔, se tiene que

5 𝑘𝑔 = 5000 𝑔 entonces 5000 ÷ 125 =40 por tanto, se podrán formar 40 paquetes.

Ejercicios extra clases 1. Realizar las siguientes conversiones. a. 1200 𝑘𝑔 a 𝑑𝑎𝑔 b. 325 𝑔 a 𝑚𝑔 c. 2315 ℎ𝑔 a 𝑑𝑎𝑔

2. Un barco transporta 2800 toneladas de mercancía. Si una tonelada equivale a 1000 gramos ¿Cuántos vagones harán falta para transportar esa mercancía si cada vagón carga 1400 kg?

TIEMPO Es una magnitud física que permite ordenar la secuencia de los sucesos, estableciendo un pasado, un presente y un futuro. Su unidad en el Sistema Internacional es el segundo (s).

Unidades de Tiempo

Milenio 1.000 años

Siglo 100 años

Década 10 años

Lustro 5 años

Año 12 meses, 365 días y 4 horas

Mes 28, 29, 30 ó 31 días

Semana 7 días

Día 24 horas

Hora 60 minutos, 3600 segundos

Minuto 60 segundos

Segundo

Ejemplos 1. ¿Cuantas horas tiene una semana? Como 1 semana tiene 7 días u un día 24 horas entonces, 7 × 24 = 168 por tanto una semana tiene 168 horas. 2. ¿Cuántos meses tiene una década? Como 1 década equivale a 10 años y un año a 12 meses entonces, 10 × 12 = 120 por tanto una década tiene 120 meses.

Ejercicios extra clases 1. La abuela de Juan acaba de cumplir 20 lustros. ¿Qué edad tiene? 2. ¿Cuántos lustros tienen dos siglos? 3. Calcula. a. 3 semanas a días b. 2 años a días c. Los tres últimos meses del año a días

4. ¿Cuántos siglos transcurren entre el 3 de marzo de 1750 y el 3 de marzo de 1950? 5. Si Rubén nació 5 décadas antes que Ignacio e Ignacio nació en 1.932, ¿en qué año nació Rubén?