Geometría 2007-II P(1)

GEOMETRÍA (Ciclo 2007 - II) ¡Siempre logrando la mayor cantidad de ingresantes a la UNC …!

GEOMETRÍA

Segmentos y Ángulos Ángulos entre Rectas Paralelas Triángulos – Propiedades - Bisectrices Líneas y Puntos Notables en el

Triángulo Congruencias de Triángulos (Casos)

Triángulos Rectángulos Notables. Aplicaciones de la Congruencia de

Triángulos Trapezoides Cuadriláteros: Trapecio Cuadriláteros: Paralelogramo Polígonos Circunferencia: Propiedades Ángulos en la Circunferencia Proporcionalidad Semejanza de Triángulos Relaciones Métricas en el Triángulo

Rectángulo

LOCAL CENTRAL: Av. Miguel Grau Nº 156 (Altura del Puente 2 de Mayo)1


SEGMENTOS Y ÁNGULOS

01. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Calcular BC, si AD = 4(AB) y 6(AC) – 2(CD) = 64A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

02. En una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D. tal que AB = 6 y BC = 4.

Calcular CD, si :

A) 15 B) 20 C) 25 D) 24 E) 28

03. Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D y E, tal que B es punto medio del , D es punto medio del y AD + CD = 60 Calcular DE.

A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 18

04. Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D; tal que C. M y N son puntos medios de , y respectivamente. Calcular BC, si BN – AM = 60.

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 45

05. Calcular el mayor de tres ángulos que están en la relación de 3; 5; 7, sabiendo que el complemento de la suma de los ángulos es 15A) 48 B) 25 C) 30 D) 40 E) 45

06. Se tiene los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD; : bisectriz del AOB, : bisectriz del

COD. Si: m AOC + m BOD = 140, calcular la medida del XOYA) 35 B) 50 C) 64 D) 70 E) 85

07. Calcular “x” A) 30

B) 25C) 60D) 45E) 36

08. El complemento de un ángulo es igual al suplemento del triple de dicho ángulo. Calcular dicho ángulo.A) 45 B) 30 C) 60 D) 40 E) 20

09. La suma de complementos y de suplementos de dos ángulos que se diferencian en 40 es 400. Calcular la medida del mayor ángulo.A) 45 B) 55 C) 50 D) 60 E) 40

10. La suma de los complementos y suplementos de dos ángulos es igual a 230º. Si se sabe que la diferencia entre ambos ángulos es 15, calcular el complemento del ángulo mayor.A) 50,5 B) 40 C) 15 D) 52,5 E) 5

ÁNGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS

01. Calcular x (L1//L2)

A) 20B) 10C) 15D) 5E) 8

02. En la figura mostrada, calcular el valor de x, si; + = 25 y L1//L2

A) 105B) 110C) 120D) 100E) 115

03. Calcular C(), si: L1//L2

A) 22,5B) 18,5C) 18D) 52E) 67,5

04. Calcular x, si a + b = 300 (L1//L2)

A) 10B) 15C) 20D) 25E) 30

05. En la figura L1//L2. Luego se cumple:A) m + n = 90

B)

C) m = 2hD) m + 2n = 180E) 2m + 3n =180

06. Del gráfico mostrado L1//L2. Calcular “x”A) 90B) 75C) 354D) 25E) 50

07. Si L1//L2, calcular x + y

A) 60B) 70C) 90D) 80E) 100



08. Según el diagrama: , calcular “x”

A) 20B) 30C) 50D) 45E) 25

09. Según el gráfico: , calcular:

A) 50B) 60C) 70D) 80

E) 95

10. Si: y , calcular “x”

A) 80B) 60C) 70D) 85E) 75

TRIÁNGULO – PROPIEDADES – BISECTRICES

01. Calcular “x”, si AB = BC y BD = BE

A) 18B) 15C) 20D) 25E) 30

02. En la figura, calcular “x”, si AB = BC; mAQB = m ABC

A) 15B) 12C) 10D) 5E) 8

03. De la figura, si AB = BD y BE = ED, calcular a+b

A) 30B) 280C) 320D) 260E) 240

04. Calcule “x”, si + = 155; AB = BC y PQ = QR

A) 60B) 45C) 35D) 48E) 55

05. Según el gráfico, calcular “x”, si AB = BD = DE

A) 36B) 37C) 45D) 30E) 24

06. Calcular “x”, si AB = AE = BD

A) 5B) 10C) 6D) 7E) 8

07. En el lado AC de un triángulo ABC se ubican los puntos P y Q (P en tal que CP = CB y AQ = AB. Si m ABC = 100, calcule la m PBQ

A) 40 B) 20 C) 50 D) 45 E) 30

08. Según el diagrama: AB = BC = CD; calcular “x”

A) 30B) 32C) 36D) 40E) 45

09. Calcular el máximo valor entero de un lado de un triángulo, si los otros dos miden 7 y 11

A) 10 B) 16 C) 18 D) 15 E) 17

10. En un triángulo escaleno los lados miden 6; 8 y 2x. ¿Cuántos valores enteros pueden tener x?A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO



01. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se trazan las cevianas interiores y , las cuales se cortan en F. Si la m ABF = 20 y BF = BD; calcular mDACA) 5 B) 30 C) 10 D) 40 E) 20

02. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior y en un triángulo DBC la altura , tal que mHCD y BD = BC, si m DBC = 40, calcular la mABDA) 40 B) 80 C) 60 D) 50 E) 20

03. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, (BC>AB) se traza la bisectriz interior (F en

) luego se traza la ceviana interior . Si AB=BF y BM = MC, calcular la m FBMA) 15 B) 45 C) 22,5 D) 30 E) 25

04. Calcular la m ABC, si “I” es incentro del triángulo ABC

A) 45B) 60C) 90D) 120E) 135

05. Según la figura , si BC = 6, calcular ID; donde l es incentro del triángulo ABC.

A) 10B) 5C) 6D) 8E) 7

06. En un triángulo ABC se traza la bisectriz exterior (F en la prolongación de ); luego en se

ubica el punto E tal que AE = EC y m AFB = 20. Calcular la m ECBA) 60 B) 40 C) 30 D) 20 E) 10

07. Si m B - m A = 50, calcular el valor de

A) 20B) 15C) 10D) 30E) 25

08. En un triángulo ABC, en donde la m ABC = 40, se traza la bisectriz interior . Calcular la m BCA si la bisectriz del BAC es perpendicular a la bisectriz del BCMA) 90 B) 80 C) 60 D) 50 E) 70

09. De la figura, calcular “x”, si H es el ortocentro del triángulo ABC y AQ = QH

A) 30B) 40 + 2C) 25D) 35 + E) 50

10. Si E es excentro del triángulo ABC y EF = EC, calcular “x”

A) 60B) 50C) 40D) 30E) 20

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS (CASOS) TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

01. En un triángulo isósceles ABC; m ABC=100; en se ubican los puntos P, Q y R

respectivamente, tal que AR = QC y P=RC; calcular la m PRQ

A) 100 B) 40 C) 80 D) 35 E) 50

02. Si BC = CD y AC = 10; calcular ED

A) 6B) 5C) 8D) 4E) 9

03. Calcule “x”, si AB = ED; AD = BC + CE y 2 + = 80

A) 80B) 100C) 110D) 140E) 160

04. Calcular el valor de “x”

A) 60B) 55C) 80D) 65E) 70

05. Si AB = BC y BN = 12, calcular AD

A) 12B) 24



C) 20D) 36E) 30

06. Si AC = PQ y , calcular el valor de “x”

A) 65B) 40C) 45D) 50E) 60

07. Si AB = EC, calcular el valor de x

A) 60B) 30C) 45D) 75E) 53

08. En un triángulo equilátero ABC se traza la ceviana interior . Si AD = -1 y CD = 2, calcular la m

ABDA) 30 B) 45 C) 26,5 D) 15 E) 18,5

09. Si los triángulos ABC y CPQ son equiláteros, calcular el valor de “x”

A) 15B) 45C) 30D) 36E) 60

10. Si AC = AE y AB = CD; calcular “x”

A) 60B) 15C) 45D) 22,5E) 30

APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

01. SI BQ = AB + AC, calcular el valor de x

A) 40B) 50C) 30D) 35E) 45

02. En un triángulo ABC; m ABC = 135, las mediatrices de y cortan a en P y Q respectivamente. Si AP = 3 y QC = 4, calcular PQ.A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

03. Si: AN = NC = BQ = QH, calcular el valor de x

A) 15B) 14C) 20D) 10E) 22,5

04. Si AB = 5; AP = 3 y PC = 4, calcular PN

A) 2,5B) 2C) 1,5D) 3,5E) 3

05. Si AB = 4; BC = 6 y AN = NC, calcular NP

A) 1

B) 2C) 1,5D) 0,5E)

06. Si: AP = PB, calcular M BCA

A) 26,5B) 18C) 18,5D) 2,5E) 36

07. En un triángulo equilátero ABC se traza la altura y la ceviana las cuales se cortan en el punto

P. Si AT = PC; calcular m BCPA) 10 B) 30 C) 25 D) 15 E) 20

08. En un triángulo rectángulo ABC recto en b, se traza la ceviana interior tal que: AN = 3(NB) y mCAB = 2(m NCB); calcular m BACA) 30 B) 26,5 C) 53 D) 45 E) 37

09. Si AB = PC, calcular x

A) 30B) 26,5C) 36D) 18,5E) 22,5

10. Si AB = ND, AN = CD y BM = MC = 2, calcular MN

A) 2B) C) 3D)



E)

TRAPEZOIDES

01. Dos ángulos opuestos de un cuadrilátero miden 100 y 120. Calcular la medida del menor ángulo que forman las bisectrices de los otros dos ángulos.A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

02. En un trapezoide ABCD, la suma de las medidas de los ángulos exteriores de vértices B y C es 6x y el mayor ángulo que forman las bisectrices interiores de los ángulos A y D es de 5x. Calcular “x”A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 22,5

03. En la figura calcula x+y

A) 90B) 180C) 60D) 120E) 150

04. En la figura calcular “x”

A) 90B) 60C) 40D) 75E) 65

05. Según la figura calcular “x”

A) 40B) 30C) 50D) 60E) 70

06. En la figura ABCD es un trapezoide simétrico AB = AD, PD = CD. Calcular:

A) 8B) 10C) 12D) 15E) 18

07. Calcular AD

A) 14B) 15C) 16D) 17E) 18

08. Se tiene un trapezoide ABCD en donde m CDA = 90 y m BCD = 60. Si BC = CD = AD, calcular m

BACA) 45 B) 30 C) 22,5 D) 15 E) 7,5

09. AB = AC = AD. Calcular “x”

A) 40B) 20C) 10D) 15E) 18

10. En el trapezoide asimétrico ABCD se conoce que mBAD = 20; m CAD = 60, m ADB = 50 m

BDC =30. Calcular: m ACBA) 37 B) 22,5 C) 37 D) 45 E) 30

CUADRILÁTEROS: TRAPECIO

01. En un trapecio ABCD ( ) AB = 15, BC = 12, CD = 20 Y AD = 37, calcule la altura del trapecio.A) 6 B) 8 C) 15 D) 13 E) 12

02. En un trapecio isósceles ABCED ( ) la base media es congruente a la altura del trapecio calcule la m CADA) 30 B) 75 C) 53 D) 45 E) 60

03. En el trapecio ABCD, calcular AD si BC = 5 y CD = 6

A) 15

B) 17C) 19D) 21E) 16

04. En la figura ABCD en un paralelogramo si AB = 8, BC = 9, calcular x

A) 30B) 37C) 45D) 53E) 60



05. En el rectángulo ABCD, calcular x

A) 16B) 14C) 10D) 12E) 13

06. En la figura “G” es baricentro del ABC; si BG = 4, AH = 1 y GC = 5, calcular “x”

A) 30B) 36C) 37D) 45E) 53

07. En la figura AB = BC, FN = NG, EM = MD; EF = 3, GC = 5, DC = 6, calcular MN

A) 4B) 5C) 6D) 8E) 4,5

08. En la figura AB = 6 y BC = 8; si M y N son puntos medios de Y respectivamente, calcular PQ

A) 2

B) 3C) D) 15E)

09. Del gráfico, calcular NN’, si MM’ = 2 y PP’ = 3 y además M, N y P son puntos medios

A) 3B) 4C) 5D) 6E) 7

10. De la figura BM = MC, calcular MH, si:AH + CD – HD = 18

A) 6B) 4C) 6D) 18E) 9

CUADRILÁTEROS: PARALELOGRAMO

01. ABCD es un romboide; AC = 10; BD = 8 y mBDC = 90, calcular AB

A) 6 B) 3 C) 4,5 D) 3,5 E) 4

02. En un paralelogramo ABCD donde BC = 2(AB), la bisectriz del ángulo BAD interfecta a en M. Calcular la m AMD

A) 60 B) 80 C) 50 D) 90 E) 70

03. De la figura mostrada: “O” es centro del rectángulo ABCD. Si y suman 90º, calcular x, si PC = OD

A) 15B) 30C) 45D) 60E) 75

04. Si ABCD es un cuadrado. Calcular “x”

A) 40B) 50C) 60

D) 65E) 70

05. En el romboide ABCD donde m B = 120. AB = 8 y BC = 10; se trazan las bisectrices interior de “B” y exterior de “D” que se intersecan en “P”. Calcular “PB”

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 8 +

06. Si 2AB = 3MN, calcular “”

A) 22,5B) 26,5C) 30D) 37E) 18,5

07. Dado un paralelogramo ABCD, exteriormente se construyen los triángulos equiláteros ABM y BCN. Calcula la m MDNA) 45 B) 30 C) 60 D) 75 E) 90

08. De la figura los cuadrados ABCD y DEFG son congruentes. Calcular x

A) 30B) 60C) 45



D) 37E) 53

09. Del gráfico ABCD es un cuadrado de centro “O” y AOMD es un romboide. Calcular x

A) 37/2B) 45/2C) 53/2D) 30

E) 37

10. Del gráfico ABCD es rombo, “M” es punto medio de y QM = . Calcular BD

A)

B)

C) D) 24E) 32

POLÍGONOS

01. En un polígono de n lados calcule el número de triángulos que se pueden determinar al trazar las diagonales desde un mismo vértice.A) n B) n-2 C) n-3 D) n(n-2) E) n-5

02. En un polígono la suma de sus números de lados, vértices y ángulos es 36. Calcule su número de diagonales.A) 27 B) 20 C) 54 D) 56 E) 44

03. En un polígono equiángulo, la medida de un ángulo interior es el triple de la medida de un ángulo exterior. Calcule el número de diagonales de dicho polígono.A) 10 B) 15 C) 20 D) 16 E) 24

04. Si la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo es el quíntuplo de la suma de los ángulos externos, ¿cuántos lados tiene dicho polígono?A) 8 B) 10 C) 11 D) 12 E) 15

05. ¿Cuántos lados tiene el polígono convexo cuyo número de diagonales es igual al doble del número de lados? A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7

06. En un polígono convexo ABCDEF...., las prolongaciones de AB y FE se cortan en P. Si mAPF = 60, calcular:m B + m C + m D + m E

A) 180 B) 220 C) 240 D) 360 E) 600

07. En un polígono regular de “n” lados, el número total de diagonales es igual a la medida del lado, si el perímetro es 160, calcular nA) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10

08. Calcular x, si ABCDE es un polígono regular y AP = AD

A) 18B) 27C) 36D) 9E) 37

09. El número de triángulos que se obtienen al unirse un vértice de un polígono convexo con los otros vértices, es al número de triángulos que se forman al unir un punto interior con todos los vértices, como el número de ángulos rectos que contiene la suma de ángulos internos es al número total de diagonales. Calcular el número de lados de dicho polígonoA)5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

10. La diferencia de las medidas de los ángulos interiores de 2 polígonos regulares es 4 y la suma de las medidas de sus ángulos externos es 76. Calcular el número de lados del polígono mayor A) 9 B) 10 C) 12 D) 15 E) 20

CIRCUNFERENCIA: PROPIEDADES

01. Del gráfico, calcular la medida del ángulo que determinan la tangente trazada por C y ; S y T son puntos de tangencia.A) 90B) 90 - C) 75 - D) E) 60 -

02. De la figura, calcular x. (A, B, C, D, S y T son puntos de tangencia)

A) 15B) 20C) 30D) 25

E) 3703. Calcular PQ si TM = 3 y MQ = 4 (T y P son puntos

de tangencia)

A) 7B) 5C) 6

D)

E)

04. Calcular el radio de la circunferencia, si AB = 6 y BC = 14, (T es punto de tangencia)

A) 5B) 10



C) D) 12E)

05. Se tiene una semicircunferencia de diámetro AB=10. En ésta se ubican los puntos M y N, tal que AM=BN=6. Calcular la m MAN.A) 15 B) 16 C) 18 D) 23 E) 22

06. Según el diagrama FE = FC = . Calcular R, si A y F son puntos de tangencia

A) 1B) 2C) D) 3E) 4

07. Calcular x, si y T es punto de tangencia

A) 45B) 53C) 60D) 75E) 30

08. Del gráfico, calcular el inradio del PQT, si r = 5 y R = 12, A, B, P, T son puntos de tangencia.

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 0,5

09. de la figura M, N, Q y T son puntos de tangencia. AB = 8. CD = 7, AD = 10 y BN = 2. Calcular x.

A) 30B) 60C) 53D) 37E) 45

10. En el gráfico CM = MT y R + 2r = 10. Calcular BC; E, F, L, P, Q y T son puntos de tangencia.

A) 8B) 9C) 10D) 20E) 15

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

01. Según el diagrama, calcular la

A) 26,5B) 18C) 30D) 15E) 22,5

02. Según el esquema AB = BC = AC = DE. Calcular x

A) 18B) 20C) 30D) 40E) 50

03. En la figura T y C son puntos de tangencia. Calcular

A) 100B) 80C) 90D) 110E) 70

04. Según el diagrama, calcular “x”

A) 30B) 45C) 60D) 75E) 53

05. En la figura, calcular “”

A) 10B) 15C) 30D) 36E) 45

06. En la figura P y Q son puntos de tangencia. Calcular “x”.A) 12B) 15C) 30D) 36E) 20

07. En el diagrama B y T son puntos de tangencia. Calcular la , si AB = PT

A) 30B) 90C) 120D) 135E) 150

08. En la figura: P, Q y R son puntos de tangencia, AB = AC = 5, BC = 6; = 2( ). Calcular “x”

A) 37,5B) 45,5



C) 67,5D) 71,5E) 82,5

09. En la figura P, T, L s y Q son puntos de tangencia. Calcular x.

A) 30B) 35C) 40D) 50E) 55

10. En la figura = 70, A y C son puntos de

tangencia, y . Calcular

A) 12B) 15C) 20D) 30E) 40

PROPORCIONALIDAD

01. Según el diagrama CD = EF, AB = 4(HG)=8. Si FG = 6,5 y BL = 4+CD, calcular x

A) 9B) 5C)

D)

E)

02. Según el diagrama BH = 2(BC) y DF = 20. Calcular DE

A) 4B) 6C) 8D) 10E) 12

03. Según el esquema G es baricentro del triángulo ABC y 2(BE) = 5(CM). Si AL – BD = 2, calcular AB

A) 16B) 18C) 22D) 28E) 26

04. Del esquema, calcular CD, si AB = 3(BC) y AC = 12

A) 4B) 3C) 6D) 9E) 8

05. Según el esquema AF = FB y 2(AF) = 3(DF). Si AB + AC = 20, calcular AE

A) 4B) 6C) 8D) 10E) 15

06. En el diagrama CD = 12 y AD = 2(BC). Calcular CN

A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6

07. En el gráfico , , BC = m y AD = n. calcular EL/BE:

A) B) C)

D) E)

08. Según el diagrama AC = 3(CF) y AD = 2(BD). Si CE = 2, calcular BC

A) 22B) 6C) 8D) 12E) 14

09. Según el gráfico, calcular x

A) 37B) 26,5C) 30D) 45E) 53

10. Según el diagrama AB = BC, DC = 3(BD) y DE = 2. Calcular AE

A) 6B) 8C) 121D) 4E) 16



SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

01. En el gráfico las paralelas mostradas determinan segmentos congruentes en . Calcular la suma de medidas de éstas (PQ = 8)

A) 50B) 42C) 56D) 64E) 72

02. Según el diagrama, calcular x, si b + c = 5

A) 37 B) 45 C) 53D) 26,5 E) 60

03. Según el diagrama y (BC) (AD) = 16. Calcular AC

A) 2B) 4C) 8D) 2,5E) 6

04. Calcular el lado del rombo ABCD.

A) 1,8 B) 2,4 C) 3,6D) 1,2 E) 4,2

05. En el gráfico HC = 8. Calcular DE.

A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6

06. Según el diagrama 5(DE) = 3(AC). Calcular x

A) 37B) 45C) 53D) 26,5E) 60

07. En la figura I es incentro del triángulo ABC. Si (CD)(AC) = 36, calcular IC

A) 6B) 8C)

D)

E)

08. En un trapecio ABCD , = {O}

y AD = 3(BC). Si AC = 16, calcular OCA) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

09. Según el diagrama BD = BE y (AD)(CE) = 16. Calcular BD

A) 2B) 4C) 8D) 12E) 6

10. En un rectángulo ABCD, = {P} (“E” en

). Si DE = 3(CE) y BC = 5, calcular la distancia

desde “P” al A) 1 B) 2 C) 3,5 D) 4 E) 2,5

RELACIONES MÉTRICAS EN ELTRIÁNGULO RECTÁNGULO

01. Si AP = PC = 2, calcular PQ

A) 3B) 4

C)

D) E) 5



02. Si BP = a y CD = b, hallar “R”, P es punto de tangencia

A)

B)

C) b/a

D)

E) a + b/2

03. En el gráfico PB, si AQ = 2 y QC = 8

A) 2B) 3C) 3,5D) 4B) 6

04. En el triángulo rectángulo ABC recto en “B” se traza la altura y en el triángulo BHC se traza la

bisectriz interior , tal que AM = 8 y MC = 12. Calcular AHA) 6,9 B) 3,2 C) 1 D) 2 E) 2,4

05. En el gráfico mostrado, calcular R si T es punto de tangencia, AD = 10 y ED = 1

A) 15B) 14C) 13D) 12E) 5

06. En el gráfico AB = BC = 6 y AD = CD+4, calcule la

distancia de b hacia

A) 10B)

C)

D)

E)

07. Según la figura ABCD es un cuadrado, AF = 6 y BL = 2. Calcular “AP”

A) 12B) 16C) 18D) 20E) 24

08. De la figura “O” es centro del cuadrante AOB. Si PB = 4, calcule QB

A) 4B) 2C)

D)

E)

09. Según el diagrama: OH = 1, AB = 2 y T es punto de tangencia. Calcular R

A) 2B) 3C) 4D) 6E) 9

10. De la figura, calcular DH, si AB = 4 y CH = 2

A) 3B) 2C) D) 1E)


Geometría 2007-II P(1)

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