Geometría Analítica -...

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Geometría Analítica

Preliminares

Identidades Trigonométricas

Definición:

Se llama pendiente de una recta a la tangente de un ángulo de inclinación formado por el eje X y la

recta, tal que , esto es

Recta que pasa por dos puntos

Dada una recta que pasa por dos puntos y , tales que y , la pendiente de la recta

viene dada por,

Si la recta interseca al eje Y en , entonces, la ecuación de la recta tiene la forma,

Para determinar el valor de se evalúa la ecuación anterior en uno de los puntos dados.

O,

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efchaves

Y la forma general viene dada por,

Recta paralelas y perpendiculares a una recta dada

Dadas dos rectas y con pendientes y respectivamente, entonces si y solo si .

Entonces,

Dadas dos rectas y con pendientes y respectivamente, entonces si y solo si

Distancia entre dos puntos en coordenadas rectangulares

Dados dos puntos y , tales que y la distancia viene dada por

Punto medio del segmento que une dos puntos

Dados dos puntos y , tales que y la distancia viene dada por

Distancia mínima de un punto a la recta

Dada una recta , y un punto que no está en la recta, entonces la distancia mínima

del punto a la recta viene dado por el segmento , perpendicular desde a la recta , esto es,

Sea y tal que y

O,

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efchaves

Geometría Analítica

Traslación de Ejes

Dado un punto en un sistema con origen en , al trasladar el origen a las nuevas

coordenadas de vienen dadas por,

Rotación de Ejes

Dado un punto en un sistema con origen en , al rotar los ejes un ángulo , las nuevas coordenadas de

vienen dadas por,

Simplificación de Ecuaciones por medio de Traslación o Rotación

Dada una ecuación en la forma general ,

Si la ecuación carece del término se puede aplicar una traslación para eliminar los términos y .

Si la ecuación tiene el término , entonces, se puede aplicar una rotación para eliminar este término, y

luego una traslación para eliminar los términos y .

Si los términos forman un cuadrado perfecto entonces, se es preferible realizar una rotación

primero, y luego una traslación.

Identificación de cónicas

Elipse

Hiperbola

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Ecuación de Segundo Grado

La ecuación general de segundo grado viene dada en la forma

Y tiene Discriminante , tal que la ecuación es del género

Elipse si

Parábola si

Hipérbola si

Rotación de los ejes un ángulo necesario para eliminar el término

Dada una ecuación en la forma general,

Tal que

Siempre se puede hacer girar los ejes un ángulo con tal de eliminar el término ,

Si , entonces

Si , entonces

Coordenadas Polares

Transformación de Coordenadas Rectangulares a Polares

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Efrén Chaves Villalobos

Distancia entre dos puntos en coordenadas polares

Dados dos puntos y , en coordenadas polares, tales que y la distancia viene dada

por

Intersección entre dos curvas en coordenadas polares

Dadas dos curvas en coordenadas polares, en la forma , entonces,

i. Primero se igualan ambas curvas para determinar si el polo es una intersección

ii. Se aplica la siguiente formula a cada una de las funciones,

Se realiza este procedimiento hasta que al evaluar se obtenga la función original

iii. Se agrupan en sistemas de ecuaciones para determinar el valor de .

Ecuación de una recta en coordenadas polares

Dada una recta en coordenadas polares y un punto de la recta , y además, dado punto al

extremo de la normal desde el polo a la recta, con la distancia desde el polo a , entonces,

i. Para Oblicua a los ejes,

ii. Para perpendicular al eje polar,

iii. Para paralela al eje polar,

iv. Si pasa por el polo,

Ecuación de la Circunferencia en Coordenadas Polares

Sea el lugar geométrico de los puntos que equidistan a un punto , y sea la distancia

desde a , entonces la ecuación de la circunferencia de centro y un punto que pertenece a esta,

viene dada por,

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Ecuación General de las Cónicas en Coordenadas Polares

Dado un punto fijo, llamado foco, y una recta directriz; el lugar geométrico de los puntos que están

ubicados de tal manera que la razón entre la distancia de cualquier punto al punto fijo y la distancia a la

recta, es igual a una constante, la excéntrica se llama cónica.

Para el caso que uno de los focos este en el eje polar, la ecuación de la cónica en coordenadas polares

viene dada por,

Dada una recta directriz , un punto que pertenece a la curva, y la distancia de la recta al foco

ubicado en el polo, entonces,

i. Si está a la izquierda del foco, sobre el eje polar

ii. Si está a la derecha del foco, sobre el eje polar

iii. Si está arriba del foco, sobre el eje de

iv. Si está abajo del foco, sobre el eje de

La excentricidad también determina el género de gráfica que representa la cónica,

Para,

i. , la gráfica representa la ecuación del género elipse.

ii. , la gráfica representa la ecuación del género parábola.

iii. , la gráfica representa la ecuación del género hipérbola.

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Derivada de una curva en coordenadas polares

Para una función en la forma

Tal que,

Se tiene que,

Así,

Y la pendiente en un punto viene dada por,

Rectas tangentes horizontales y verticales

Dada una curva en la forma

Tal que,

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i. La curva tiene rectas tangentes horizontales en los puntos que hacen el numerador igual a cero.

ii. La curva tiene rectas tangentes verticales en los puntos que hacen el denominador igual a cero.

Recta tangente a partir del ángulo

Dada una recta tangente a una curva en un punto , y un segmento desde el polo al punto ,

entonces,

Con,

; si

; si

Para un ángulo con lado terminal sobre el eje de ,

Longitud de arco en una curva descrita en coordenadas polares

En coordenadas rectangulares tenemos,

Sin embargo, para la curva en coordenadas polares

tenemos,

Para

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Simetría de una curva

Simetría con respecto Si la ecuación no se altera cuando cambiamos,

Eje Polar por – ó ( por y por )

Eje por ó ( por y por )

Área de una región plana en coordenadas polares

Dada una curva en la forma,

El área delimitada por la curva viene dada por,

Área entre dos curvas

Dadas dos curvas tales que,

Entonces, para determinar segmentos de área comprendidos entre curvas, realizamos lo siguiente,

i. Determinar los puntos de intersección

ii. Determina la simetría de la curva

iii. Identificar el intervalo del área solicitada

iv. Aplicar la fórmula del área para determinar el sector que se solicita

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Ecuaciones Paramétricas

Dados dos puntos que pertenecen a una recta , su ecuación escalar viene dada por,

Donde es un punto que pertenece a la recta, y es un vector director paralelo a la recta; por lo tanto,

Y , de lo anterior obtenemos que,

La expresión anterior corresponde a la ecuación escala de la recta

Ecuación Paramétrica

Dados dos puntos se puede obtener la ecuación escalar de la forma,

Y la ecuación paramétricas vienen dadas por,

Y,

Con , tal que

Ecuaciones Paramétricas de las cónicas

Cónica Ecuación Rectangular Ecuaciones Paramétricas

Parábola

Elipse

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Circunferencia

Hipérbola

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Derivadas de Ecuaciones Paramétricas

La segunda derivada viene dada por,

Longitud de Arco de una Ecuación Paramétrica

Dada una ecuación paramétrica de la forma,

Con, ,

Área de una Región Plana Descrita en Ecuaciones Paramétricas

Dada una ecuación en la forma,

Con ,

El área delimitado por la curva viene dada por,

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Geometría Analítica en el Espacio

Intersección con los Ejes

Sea una ecuación en el espacio que representa una superficie, entonces su intersección con

los ejes se determinan al hacer en cada caso a las otras dos variables iguales a cero.

i. Intersección con en

ii. Intersección con en

iii. Intersección con en

Trazos sobre los Planos Coordenados

La traza de una superficie corresponde a la curva que describe sobre uno de los planos coordenados, se

.

Para

i. Traza sobre es en

ii. Traza sobre es en

iii. Traza sobre es en

Simetría con respecto a los Ejes Coordenados o a los Planos

Si la ecuación de la superficie no se altera cuando

las variables son reemplazadas por

La superficie es simétrica con

respecto al

Plano

Plano

Plano

Eje

Eje

Eje

Origen

Secciones por Planos Paralelos a los Planos Coordenados

Dada una ecuación de la forma,

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Para determinar lo los planos paralelos a los ejes coordenados en un punto ,

i. Planos paralelos a , hacemos ,

ii. Planos paralelos a , hacemos ,

iii. Planos paralelos a , hacemos ,

Extensión de una superficie

Dada una ecuación de la forma

Al despejar una de las variables, en este caso en función de las otras dos tenemos,

Y a partir de la ecuación explícita anterior se puede determinar los intervalos de variación.

Ecuación de la Superficie esférica

Se define la esfera como el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo

llamado centro . La distancia entre el centro y cualquier punto de superficie se llama

radio .

La ecuación de la esfera viene dada por,

O,

Ecuación Cuadrática de Segundo Grado con tres Variables


Cuadráticas con centro

Tienen forma,

Caso : Forma canónica

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Elipsoide:

Esfera:

Hiperbolóide de una hoja:

i. Uno de los coeficientes negativos y los otros dos positivos.

ii. No tiene intersección con el eje de la variable negativa.

Hiperbolóide de dos hojas:

i. Dos de los coeficientes son negativos, y uno positivo.

ii. No tiene intersección con los ejes de las variables que tienen coeficiente negativo.

Cilindro:

i. Tiene uno de los coeficientes nulos.

ii. Se extiende a lo largo del eje de la variable que no aparece.

Planos Paralelos

Caso

Punto

para

Cono elíptico:

i. Uno de los coeficientes negativos y los otros dos positivos.

ii. Interseca al plano en un punto.

iii. No es cerrado, se extiende a lo largo del eje que tiene la variable con coeficiente negativo.

Cono circular

i.

Una recta sobre el eje

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Planos que se cortan

i. y tienen signos diferentes.

Plano

Cuadrática sin Centro


i. Planos de simetría .

ii. Eje de simetría .

iii. No tiene ningún centro de simetría.

Paraboloide Elíptico

i. Con y del mismo signo.

ii. Intersección con en el origen.

Paraboloide Hiperbólico

i. Con y del diferente signo.

ii. Intersección con los ejes coordenados únicamente en el origen.

Cilindro Parabólico

i. Uno de los coeficientes de los términos de segundo grado es nulo.

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Coeficientes Lugar Geométrico

Tipo I:

Todos positivos Elipsoide

Todos negativos No representa ningún lugar geométrico

Dos positivos, uno negativo Hiperboloide de una hoja

Uno positivo, dos negativos Hiperboloide de dos hojas

Uno cero, dos positivos diferentes Cilindro elípticos

Uno cero, dos positivos iguales Cilindro circular

Uno cero, dos negativos No representa ningún lugar geométrico

Uno cero, los demás de diferente signo Cilindro hiperbólico recto

Dos cero, uno positivo Dos planos paralelos diferentes

Dos cero, uno negativo No representa ningún lugar geométrico

Tipo II:

Todos del mismo signo Un solo punto, el origen

Dos positivos diferentes, uno negativo Cono elíptico recto

Dos positivos iguales, uno negativo Cono circular recto

Uno cero, dos del mismo signo Todos los puntos sobre un eje coordenado

Uno cero, los demás de signo diferente Dos planos que se cortan

Dos cero Un plano coordenado

Tipo III:

igual signo Paraboloide elíptico

diferente signo Paraboloide hiperbólico

o nulo Cilindro parabólico recto

igual signo Todos los puntos sobre un eje coordenado

Diferente signo Dos planos que se cortan

nulos Un plano coordenado

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Coordenadas Esféricas

Dadas las coordenadas rectangulares de la forma , podemos transformar estas coordenadas en un

punto , aplicando la siguiente relación,

Donde corresponde a la distancia del origen a punto , es un ángulo entre y con lado inicial en

el eje positivo, sobre el plano ; y es un ángulo entre y , con lado inicial en el eje positivo.

Coordenadas Rectangulares

P

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