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La geometría y sus aplicaciones básicas, vista como una asignatura de estudio obligatoria, posibil ita a los estudiantes el desarrollo de habilidades de visualización y

orientación espacial. Y luego observada en sus múltiples escenarios de la vida cotidiana como la naturaleza, la industria (y sus ramas), el diseño, el arte plástico, la arquitectura, la topografía etc., crea la necesidad de su estudio y comprensión y así poder ver el entorno en todas sus formas.

Por lo tanto, para introducir al estudiante en el ambiente tridimensional y el contexto de las representaciones del espacio, se dará inicio al estudio de los poliedros y en este caso particular los poliedros regulares. En el desarrollo de la unidad el estudiante podrá visualizar y manipular objetos f ísicos y virtuales que le permitan determinar las características de estos cuerpo geométricos y luego aplicarlo a otros objetos de su entorno.

Abril 27/ 2015

Pol iedros

Un poliedro es una región del espacio limitada por polígonos.

Elementos:

Caras: polígonos que limitan al poliedro.

Aristas: lados de las caras del poliedro

Vértices: puntos donde concurren varias aristas.

Ángulos diedros: Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y tienen una arista en común.

Ángulos poliédricos: Los ángulos poliédricos están formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice común.

Geomet r IA

3 ESO

GEOME-TICLOS SÓLIDOS PLATÓNICOS

POLIEDROS

GEOMTERÍA ESPACIAL

Sierra Nevada Santa Marta- Colombia

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Tipos de pol iedros

Poliedros Cóncavos:

Es el que tiene alguna cara cuyo plano atr aviesa a la f igura, o sea, existe alguna cara que, al prolongar la, cor ta al pol iedro o su superficie en más de dos puntos, por lo que posee algún ángulo diedro entrante.

Pol iedros Convexos:

Un poliedro convexo  si todo él está en el mismo semi espacio r especto al plano de cada una de sus caras, es decir, al prolongar cualquiera de sus caras, éstas no cor tan al pol iedro, una recta sólo pueda cor tar a su super f icie en dos puntos.

Pol iedros Regulares:

Un poliedro r egular  tiene todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros iguales y sus caras son polígonos regulares iguales. Sólo son cinco:

Pol iedros irregulares:

Un poliedro i r r egular está l imitado por caras políedr icas, que pueden presentar di ferentes formas. En este tipo de poliedros, el número de caras no presenta l ímites como ocur re con los poliedros r egulares.Los poliedros i r r egulares más comunes son los pr ismas, las pir ámides y todas sus var iedades

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LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS

Denominados cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos: Los sólidos platónicos o regulares son poliedros convexos tal que todas sus caras son polígonos regulares iguales entre sí, y en que todos los ángulos sólidos son iguales. Reciben este nombre en honor al f ilósofo griego  Platón, a quien se atribuye haberlos estudiado en primera instancia. También se conocen como pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, en base a propiedades geométricas, poliedros regulares convexos. Tomado de wikipedia.org

Basilica of l isieux Francia

Basilica de Lisieux - Francia

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Todas las caras de un sól ido platónico son polígonos regulares iguales. En todos los vér tices de un sól ido platónico concur ren el mismo número de caras y de ar istas. Todas las ar istas de un sól ido platónico tienen la misma longitud. Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sól ido platónico entr e sí son iguales. Todos sus vér tices son convexos a los del icosaedro.

SIMETERÍA

Los sól idos platónicos se caracter izan por tener todos los tipos de simetr ías que existen en el espacio, veamos:

Respecto a un punto: La simetr ía central r especto a un punto es un caso par ticular de rotación (giro) cuando éste es de 180º. Para cada uno de los 5 sól idos existe un punto, que es siempre el punto central del pol iedro que es el centro de simetr ía en la simetr ía puntual

Respecto a un eje: Simetr ía axial, todos los sól idos tienen además var ios ejes de simetr ía. Para cada poliedro la cantidad var ía; pero en todos el los el eje de simetr ía pasa por el centro de simetr ía.

Respecto al plano: Simetr ía de plano, de nuevo todos los sól idos platónicos presentan simetr ías r especto a planos, en las que los planos de simetr ía contienen al centro de simetr ía, y a combinaciones de los ejes de simetr ía.

Como consecuencia geométr ica de lo anter ior, se pueden tr azar en todo sól ido platónico tr es esferas par ticulares, todas el las centradas en el centro de simetr ía del pol iedro:

Una esfera inscr i ta, tangente a todas sus caras en su centro. Una segunda esfera tangente a todas las ar istas en su centro.

DUALIDAD

Es el pol iedro cuyos vér tices se cor responden con el centro de las caras  del otro poliedro dado.

El pol iedro dual del dual es simi lar al or iginal. El dual de un poliedro con vér tices equivalentes es uno con caras equivalentes, y el de uno con ar istas equivalentes es otro con ar istas equivalentes.

El tetr aedro es dual a sí mismo, el cubo y el octaedro son duales entr e sí y el dodecaedro con el icosaedro.

PROPIEDADES

REGULARIDAD

Monte Everest - Himalaya

Air Force Academy - USA

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Antoni Gaudí I Cornet (1852-1926)

Arquitecto español con una habi l idad natural para la geometr ía y el volumen crea un esti lo propio a par ti r de las formas de la naturaleza uti l izando para el lo super f icies r egladas como el paraboloide hiperbólico, el hiperboloide, el hel icoide y el conoide y formas poliédr icas.

Uti l izó dodecaedros en la cr ipta de la sagrada famil ia y en la catedral de Palma de Mallor ca.

En los cuatro pináculos de los campanar ios de la fachada de la Glor ia están presentes

dodecaedros r egulares

Salvador Dalí (1904-1989)

Pintor, escultor, grabador, escenógrafo y escr i tor español.

A la hora de crear sus obras Dalí se apoyaba en la r azón áurea, y esto se hace visible en su obra ?la última cena? en ésta usa la proporción áurea en la r azón de sus dimensiones y en las dimensiones que forma  la l ínea recta de la mesa y usa el dodecaedro  como escenar io que envuelve la escena, son doce caras y doce apóstoles. Su relación con el número áureo está en que al unir los centros de las caras del dodecaedro entr e sí, se forman 3 r ectángulos cuyas proporciones son las del número áureo.

Maurits Cornelis Escher (1698-1792)

Ar tista holandés, se destaca por sus grabados xi lográf icos y l i tográf icos. Su obra se basa en exper imentar a tr avés de var ios métodos la r epresentación en dibujos bidimensionales y tr idimensionales. Usa poliedros como protagonistas en las obras Gravi tación, Orden y caos, Planetoide,

Estr el las, Cr istal .

SÓLIDOS Y EL ARTE

Cascada- Escher

Crucif ixión - Dalí

Basilica La sagrada Familia - Gaudí

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METODOLOGÍA SAMR

RECURSOS

Los recursos TIC usados para el desar rol lo de la presente unidad son las siguientes:

Plataforma educativa del centro

Plataforma para crear si tios web gratui tos: Wix.com

Aplicación para crear mapas mentales: Goconqr.com

Programa para crear vídeo tutor iales y edi tar videos: Debut vídeo capture y Movie Maker, Vimeo, Youtube

Programa: Sketch Up, Debut vídeo capture

Programa de modelación 3D: Sketch Up

Medios: Pizar ra digi tal, Tablet, Pc por táti l

ACTIVIDADES Desar rol lo Conceptual

MEJORA

Susti tución:

Paso 1. El docente r eal iza una explicación de los nuevos temas: Poliedros, Sólidos platónicos y sus aplicaciones en el ar te y la arqui tectura a tr avés de un vídeo y una página web informativa, dónde además provee algunas fuentes de r eferencia.

Ampliación (enr iquecimiento)

Paso2. Los estudiantes profundizan en los temas, con base en la explicación y fuentes suministr adas por el docente y constr uyen un mapa mental con su nuevo mater ial.

Desar rol lo Procedimental

TRANSFORMACIÓN

Modif icación

Paso 3. Docente en el aula, hace uso de la pizar ra digi tal y del programa de diseño gráf ico y modelado 3D Sketch Up para la constr ucción de los sól idos platónicos. Los estudiantes en el aula constr uyen dichos sól idos de manera vir tual y f ísica para establecer di ferencias entr e un proceso y otro.

Redefinición

Paso 4. Los estudiantes crean una réplica de un modelo arqui tectónico que tenga sól idos platónicos en su estr uctura, y la exponen a sus

Catedral Palma de Mallorca

Modelo Sketch Up Catedral Palma de Mallorca

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EVIDENCIASWix

http:/ /monikrodriguez005.wix.com/apuntesmoni

https:/ / youtu.be/blCOWJJ7IJI

https:/ / youtu.be/KO2mtvpsj5Y

https:/ / youtu.be/LbhLb6bvf78

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Equipo Editor

Elena Cubilla

Ada Freitas

Mónica Rodríguez