Geoestadistica y Flujos Mineralurgicos

8/13/2019 Geoestadistica y Flujos Mineralurgicos

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CONSULTANCY & TRAINING

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GEOESTADISTICA Y FLUJOSMINERALURGICOS

1

Ing. Carlos Enrique Arroyo Ortiz

Consultor Intercade

2

Ing. Carlos Enrique Arroyo Ortiz - [email protected] - Consultor Intercade

INDICE

Objetivos

Muestreo

Geoestadstica

Simulacin geoestadstica

Taller aplicativo en minera


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3


En este mdulo se desarrollarn ampliamente losconceptos degeoestadstica de flujos mineralrgicosy semostrarn tambin el uso de tcnicas y herramientaspara el modelamiento geometalrgico de depsitosminerales desde una visin pragmtica moderna y conestudios de casos de minas reales.

OBJETIVOS

4


MUESTREO


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5


El proceso de muestreo consiste en retirar cantidadesmoduladas de material (incrementos) de un todo que sedesea estudiar para la composicin de la muestraprimaria o global, de tal forma que esta searepresentativa de toda la populacin.

Enseguida, la muestra primaria es sometida a una seriede etapas de preparacin que envuelven operaciones demolienda, homogeneizacin y cuarteamiento, hasta laobtencin de una muestra final con masa y granulometra

adecuada para la realizacin de ensayos (qumicos,fsicos, mineralrgicos, etc.).

INTRODUCCION

6


Cabe resaltar que la representatividad referida es vlidapara la(s) caracterstica(s) de inters (densidad, leyes,humedad, distribucin granulomtrica, constituyentesminerales, etc.) definida(s) a priori e incluso que todoslos cuidados deben ser tomados para que esarepresentatividad no se pierda en la fase de muestreoprimario.

Por lo tanto, el muestreo es un proceso de seleccin einferencia, una vez que a partir del conocimiento de unaparte se procura dar conclusiones sobre todo.

INTRODUCCION


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7


La diferencia existente entre el valor de una dada

caracterstica de inters del lote y la estimativa de estacaracterstica en la muestra es llamada error demuestreo.

La importancia del muestreo ser resaltada,principalmente, cuando entra en juego la evaluacin dedepsitos minerales, el control de procesos y lacomercializacin de productos.

Hay que resaltar que un muestreo mal conducido puede

resultar en prejuicios enormes o en distorsiones deresultados con consecuencias tcnicas imprevisibles.

INTRODUCCION

8


El muestreo es, sin duda, una de las operaciones mscomplejas y plausibles de introducir errores, deparadaspor las industrias mineras y metalrgicas.

Un buen muestreo no es obtenido al tener como baseapenas buen juicio de valor y experiencia prctica deloperador. El empleo de la teora del muestreo, es decir, el

estudio de varios tipos de error que pueden ocurrirdurante su ejecucin es imprescindible.

INTRODUCCION


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9


LA TEORIA DE MUESTREODE PIERRE GY

LOS SIETE ERRORES DE P. GY

10


La teora de muestreo de P. Gy se basa en ladescomposicin del error total considerando que elmuestreo se realiza en diversas etapas y separando elerror en las etapas de muestreo del error de anlisis.

OE (overall error): error total

TE (total sampling error): error total en las etapas de muestreo

AE (analytical error): error analtico

AETEOE +=

FUNDAMENTOS: DESCOMPOSICIONDE LOS ERRORES


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11


Como el muestreo involucra diversas etapas, el errortotal en las etapas de muestreo puede dividirse en unasuma de los errores parciales, cada uno de elloscompuesto por un error de preparacin y uno deseleccin.

PEi: error de preparacin (ejemplo: chancado)

SEi: error de seleccin (ejemplo: divisin de la muestra)

+=i

i AETEOE

iii SEPETE +=

++=i

ii AESEPEOE )(


12


La teora se construye considerando dos modelos:

Modelo de seleccin continuo

Modelo de seleccin discreto

Elmodelo de seleccin continuoconsidera el muestreode material como si fuera un flujo unidimensionalcontinuo y permite resolver el problema de manera

simple. El material se caracteriza por lo siguiente:

El contenido crtico en un tiempo dado

El flujo de material en un tiempo dado

)(ta

)(t



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13


En este modelo se define el error como la suma de uncomponente que mide el contenido crtico y otra quemide el flujo.

CE: error de seleccin continua

QE: error en contenido crtico

WE: error en medicin del flujo (weighting error)

WEQECE +=


14


El error en el contenido crtico puede a su vezdescomponerse en la suma de tres errores:

QE1: error de fluctuacin de corto alcance

QE2: error de fluctuacin de largo alcance no peridica

QE3: error de fluctuacin peridica

321 QEQEQEQE ++=



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Recordando que el modelo de seleccin continuoconsidera el problema de seleccionar puntos en el ejetemporal, es necesario relacionarlo con la realidad,donde se cuenta con fragmentos o grupos defragmentos (discreta).

Al pasar al modelo discreto, se encuentra adems que elmuestreo se ve afectado por un error de materializacin.

MECESE +=


16


Este error de materializacin se compone de un error dedelimitacin y otro de extraccin del incremento.

QE1: error de fluctuacin de corto alcance

QE2: error de fluctuacin de largo alcance no peridica

QE3: error de fluctuacin peridica

WE: error en medicin del flujo (weighting error)

DE: error de delimitacin del incremento

EE: error de extraccin del incremento

EEDEWEQEQEQESE +++++= 321



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Finalmente, el modelo de seleccin discreto identifica ellote L con un grupo discreto de unidades (pueden serpartculas individuales o grupos de partculas).

Se definen por esta razn, la heterogeneidad deconstitucin y de distribucin del lote.

CHL(heterogeneidad de constitucindel lote): se debea las propiedades intrnsecas de la poblacin departculas individuales.

DHL(heterogeneidad de distribucindel lote): se debea la distribucin espacial de las partculas (y grupos departculas) en el lote.


18


El modelo de seleccin discreto puede relacionarse conel modelo continuo al nivel del error de fluctuacin depequeo alcance.

FE: error fundamental

GE: error de agrupamiento y segregacin

GEFEQE +=1



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En resumen, el error total se obtiene de la siguientemanera:

PEi: error de preparacin de la etapa i

QE1i: error de fluctuacin de corto alcance

QE2i: error de fluctuacin de largo alcance no peridica

QE3i: error de fluctuacin peridica

WEi: error en medicin del flujo (weighting error)

DEi: error de delimitacin del incremento EEi: error de extraccin del incremento

FEi: error fundamental de la etapa i

GEi: error de agrupamiento y segregacin de la etapa i

AE: error analtico

++++++++=

+++++++=

++=

iiiiiiiii

iiiiiiii

iii

AEEEDEWEQEQEGEFEPEOE

AEEEDEWEQEQEQEPEOE

AESEPEOE

)(

)(

)(

32

321


20


EL ERRORFUNDAMENTAL (FE)

Definicin matemtica Cuantificacin


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Corresponde al mnimo error de muestreo que setendra, si se seleccionara cada fragmento o partcula

aleatoriamente, una a la vez.

Para un determinado peso de muestra, el FE es el

mnimo error de muestreo que existira si el protocolo de

muestreo fuera implementado de manera perfecta. Por

lo tanto, para un estado dado de conminacin y un

determinado peso de la muestra, el FE es el menor errorposible.

ERROR FUNDAMENTAL (FE)

22


A pequea escala, la heterogeneidad de constitucin es

responsable del error fundamental.

El FE puede ser pequeo para constituyentes mayores y

materiales finos, pero puede ser abrumador para

constituyentes menores.

Mezclando y homogeneizando el lote no reducir el FE.

ERROR FUNDAMENTAL (FE)


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Corresponde a la variabilidad encontrada en unapoblacin estadstica y puede dividirse de la siguientemanera:

Heterogeneidad de constitucin (CH): Cadapartcula del lote tiene un contenido crtico diferente.

Heterogeneidad de distribucin (DH):Consiste enlas diferencias observadas en un grupo defragmentos o partculas (incremento) a otro.

HETEROGENEIDAD

24


La variabilidad se debe a tres factores:

La heterogeneidad de constitucin

La distribucin espacial de los constituyentes oestado de segregacin

La forma del lote que junto a la presencia de lagravedad es responsable de la segregacin

HETEROGENEIDAD


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CH: diferencias entre fragmentos

DH: diferencias entre grupos defragmentos

Si todos los fragmentos fueraniguales en forma y en contenido(CH=0), entonces no habra DH,cualquier grupo de fragmentos de

igual tamao sera idntico.

CH

DH

HETEROGENEIDAD

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CALCULO DEL ERRORFUNDAMENTAL

Definicin matemtica de la CH


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Heterogeneidad de un fragmento respecto al lote:diferencia en contenido del constituyente crtico delfragmento respecto al lote estandarizado.

: heterogeneidad del fragmento en el lote

: contenido crtico del fragmento

: contenido crtico del lote

L

Lii

a

aah

)(

ih

ia

La

DEFINICION MATEMATICA DE LA CH

28


Considerar el efecto de la masa

: masa del fragmento

: masa del lote

: masa media de fragmentos en el lote

: nmero de fragmentos en el lote

L

i

L

LiF

i

i

L

Lii

M

M

a

aaN

Ma

aah

=

=

)()(

iM

LM

iM

FN


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El valor esperado de es cero.

Varianza

Es difcil de calcular.

i

h

L

N

i L

i

L

LiF

N

i L

i

L

LiF

F

ii

CHM

M

a

aaN

M

M

a

aaN

N

hEhEhVAR

F

F

i

=

=

=

=

=

=

1

2

1

2

22

)(

)(1

}){(}{)(

30


Definicin: Heterogeneidad intrnseca del lote ( )

Adems

Existe fuerte correlacin entre y su densidad.

Existe muy baja correlacin entre y su tamao.

LIH

=

=

=

FN

i L

i

L

Li

F

LLL

M

M

a

aa

N

MCHIH

1

2

2

2)(

ia

HETEROGENEIDAD INTRINSECA DEL LOTE

ia


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Considerando el lote como un conjunto de fraccionesseparadas por rangos de tamaos y densidades, indexadosrespectivamente pory.

Definiendo

El fragmento medio de una fraccin (o lote) .

: su volumen (solo depende del tamao)

: su densidad

: su masa (depende del tamao y de la densidad)

: su contenido crtico

: nmero de fragmentos en la fraccin

: masa de la fraccin

=

=

=

L

F

L

LN

i L

i

L

LiL

M

M

a

aaN

M

M

a

aaIH

F2

2

2

1

2

2

2 )()(

V

F L

=VMF

a

N

LM

32


Equivalentemente

Puede calcularse en laboratorio o aproximarse.

vara ms entre fracciones de densidad que entre fracciones

de tamao contenido crtico medio de la fraccin de

densidad .

vara poco de una fraccin de densidad a otra.

valor medio en una fraccin de tamao

En consecuencia,

=

=

L

L

L

L

L

LF

L

L

LM

M

a

aaV

M

MM

a

aaIH

2

2

2

2 )()(

a

aa =

L

LL MM /

L

L

L

L

M

M

M

M

=

L

LL

LM

MMM

=


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Heterogeneidad intrnseca

Para simplificar esta expresin se define una serie defactores.

YXM

M

a

aa

M

MVIH

L

L

L

L

L

L

L =

=

2

2)(

34


Mide la desviacin de la forma de las partculas respectoa un cubo.

El volumen de la partcula se escribe .

Entonces

es constante para fracciones de tamao.

3

dfV =

=

=

L

L

L

L

M

Mdf

M

MVX

3

=

L

L

M

MdfX

3

FACTOR DE FORMA ( )

f

En general,

Cubos

Esferas

Micas

Oro

Acicular

f f

f f

f f

0,5 0,1

= 1 0,2

= 0,523 < 101


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Mide la distribucin granulomtrica de las partculas.

Material no calibrado (chancado):

Material calibrado (entre dos mallas):

Material naturalmente calibrado:

Se escribe de la siguiente manera:

25,0=g

55,0=g

75,0=g

=

=

3

3

dgfM

Md

fX L

L

FACTOR GRANULOMETRICO ( )

36


Dos extremos de

En el caso de material homogneo:

En el caso de material liberado (mximaheterogeneidad de constitucin):

El factor mineralgico se define como el valor deen el caso de liberacin.

m

Y

0=Y

.mxY =

Ym

YXM

M

a

aa

M

MVIH

Y

L

L

L

L

X

L

L

L =

=

4444 34444 2144 344 21

2

2)(

FACTOR MINERALOGICO ( )


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Mineral liberado: Densidad:

Contenido crtico:

Masa:

Ganga:

Densidad:

Contenido crtico:

Masa:

L

M

gM

ML

MMMa =

+=

ML

1=Ma

M

gL

g0=ga

gM

mFACTOR MINERALOGICO ( )

38


se escribe de la siguiente manera:

Si

Si

L

ML

L

LgL

L

LM

L

g

L

Lg

g

L

M

L

LMM

L

L

L

L

mx

M

MM

a

aa

a

a

M

M

a

aa

M

M

a

aa

M

M

a

aaY

)()0()1(

)()()(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

.

+

=

+

=

=

)1()1(

2

Lg

L

LM a

aam +

=

Y

L

ML

ama

=< 1,0

gLL ama => )1(9,0

mFACTOR MINERALOGICO ( )


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METODO BASADO EN TAMAODE LIBERACION DEL COMPONENTE CRITICO

: tamao nominal de los fragmentos del lote

: tamao de liberacin del material

: parmetro a determinar

Se define el factor de liberacin comocon .

Generalmente,

Mtodo relativamente nuevo y no hay resultados experimentalessuficientes para determinar el parmetro libre .

d

ld

b

b

l

d

dl

=

5,0>=b

ddlb l== 5,0

El tamao de liberacin dlse define como d95, para el cualel 95% del constituyente de inters est liberado.

b

40


Mtodo relativamente nuevo y no hay resultadosexperimentales suficientes para determinar el parmetro

libre .

: contenido crtico del lote

: contenido crtico del fragmento ms grande dellote

Se define el factor de liberacin como .L

Lmx

a

aal

=

1.

La

.mxa

b

METODO BASADO EN LA MINERALOGIADEL MATERIAL


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La heterogeneidad intrnseca del lote se expresa de lasiguiente manera:

: factor mineralgico (gr/cm3)

: factor de liberacin (adimensional)

: factor de forma (adimensional)

: factor granulomtrico (adimensional)

: tamao de fragmento nominal (cm)

se mide en gramos.

La heterogeneidad intrnseca relaciona el error

fundamental (FE) con la masa de las muestras.

3dlmgfIHL =

m

l

f

d

LIH

RESUMEN

42


Recordando que

Se puede demostrar lo siguiente:

La media del error fundamental es despreciable.

La varianza puede expresarse como .

es la probabilidad de seleccionar cualquier muestra en lote.

Constante de Muestreo

F

L

L

L

FEN

CH

P

P

M

IH

P

P

=

=

112

P

LS MPM =

3

32

11

1111

dCMM

dlcgf

MM

IH

MM

LS

LS

L

LS

FE

=

=

=

lmgfC = dCK =

F

LL

LN

MCH

IH

=


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Varianza del error fundamental

MS: masa de la muestra en gramos

ML=: masa del lote en gramos

d: dimetro (d95) de partculas en centmetros

C: constante de muestreo en g/cm3, depende de d

32 11dC

MM LSFE

= lmgfC =

ECUACION DE PIERRE GY

44


El error total de muestreo es la sumatoria de los erroresde muestreo propiamente dichos (Eap) y de los erroresde preparacin de la muestra primaria (Ep), paraobtencin de la muestra final.

papa EEE +=

ERROR TOTAL DE MUESTREO (EA)SEGUN PIERRE GY


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El error de muestreo propiamente dicho es la sumatoriade siete errores independientes resultantes del procesode seleccin de la muestra primaria y provenientes,principalmente, de la variabilidad del material que estsiendo muestreado.

a7a6a5a4a3a2a1ap EEEEEEEE ++++++=

ERRORES DE MUESTREO (Eap)

46


Ea1 (error de ponderacin): producto de la no homogeneidad de la

densidad del material.

Ea2 (error de integracin): resultante de la heterogeneidad dedistribucin de las partculas, a largo plazo, del material.

Ea3 (error de periodicidad): resultante de eventuales variacionesperidicas de las caracterstica de inters del material.

Ea4 (error fundamental): resultante de la heterogeneidad en laconstitucin del material que depende fundamentalmente de la masade la muestra y, en menor instancia, del material muestreado. Esteerror es cometido cuando el muestreo es realizado en condicionesideales.

Ea5 (error de segregacin): resultante de la heterogeneidad dedistribucin localizada del material.

Ea6 (error de delimitacin): resultante de la eventual configuracinincorrecta de la delimitacin de dimensin de los incrementos.

Ea7(error de extraccin): resultante de la operacin de cuantificacinde los incrementos.


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Los Ep vienen son la sumatoria de cinco erroresindependientes, provenientes de las operaciones dereduccin de granulometra, homogeneizacin ycuarteamiento a los que la muestra primaria essometida.

p5p4p3p2p1ap EEEEEE ++++=

ERRORES DE PREPARACION (Ep)

48


Ep1: prdida de partculas pertenecientes a la muestra.

Ep2: contaminacin de muestra por material extrao.

Ep3: alteracin no intencional de caractersticas deinters a ser medida de la muestra final.

Ep4: errores no intencionales del operador (como

mezcla de submuestras provenientes de diferentesmuestras) y alteracin intencional de caractersticasde inters al ser medido en muestra final.


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Los errores Ea1, Ea2, Ea3y Ea4 pueden ser definidos

cuantitativamente, y la determinacin de sus parmetrosestadsticos (medias, variancias) podrn ser estimada a

partir de resultados de experimentos variogrficos.

Los errores Ea5, Ea6, Ea7y Epno pueden ser estimados

experimentalmente. An es posible minimizarlos y, en

algunos casos, hasta eliminarlos evitando as algunas

veces errores sistemticos.

50


Precisin requerida

En general, cuanto mayor precisin requerida haya,mayor ser el costo envuelto. Los errores de muestreo yde anlisis existen siempre, debiendo ser balanceadosentre s en relacin al valor intrnseco del material,

relacin entre el costo y los errores.

CARACTERISTICAS PRINCIPALESDE UN PLANO DE MUESTREO


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Mtodo de retirada de la muestra primaria

La experiencia normalmente determina las tcnicas deretirada de muestras. Entre tanto, algn trabajoexperimental puede ser necesario para la determinacindel mtodo de muestreo.

La forma como sern seleccionados los incrementospara la composicin de la muestra primaria depender

principalmente del tipo de material y como este estransportado, y tambin del objeto del muestreo.


52


Tamao de muestras primarias

Tipo de material, granulometra, leyes del elemento deinters y precisin deseada.

Dimensin del incremento del muestreo que ser

definida por el tipo de equipo utilizado en el muestreoprimario y por la granulometra del material.



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53


Definir la tcnica de muestreo ser necesario paraestimar la variabilidad del material; si no se sabe, soloser posible a travs de pruebas exploratorias.

En este caso, nincrementos sern retirados para suanlisis, siendo ellos preparados y analizadosindividualmente en funcin del parmetro de inters.


54


Suponiendo que no existan errores significativosprovenientes de las etapas de preparacin y anlisis, laestimacin de la variabilidad del material puede serobtenida de la siguiente manera:

St: estimacin de la variabilidad del material de nensayos

exploratorios, expresado como la desviacin estndar. xi: valor asignado al parmetro de inters del incremento

individual i.

x: mdia de los valores de xi.

nt: nmero de incrementos para ensayos exploratorios.

( )

1

2

=

t

i

tn

xxS



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Si fue retirada la muestra primaria compuesta por nincrementos, el error total del muestreo estar dado porlo siguiente:

St: variabilidad del material muestreado a partir de nensayosexploratorios, expresada como desvi estndar.

tnt: t-Student para (nt - 1) grados de libertad con un nivel de

confianza (1 - ).

n: nmero de incrementos retirados para componer la muestraprimaria.

( )n

StE tna t 2;1 =


56


Los muestreos en depsitos de oro son mscomplicados en comparacin con otros, debido a suscaractersticas como leyes mnimas, variabilidad dedensidades entre oro y ganga, ocurrencia del efectopepita.

Cuando las partculas de oro no estn liberadas seaplica la ecuacin de Pierre Gy (3) para ladeterminacin de la masa mnima de muestras. Sinembargo, debe ser realizado un estudio minucioso parala determinacin del factor de liberacin (1).

APLICACION DEL TEOREMA DE PIERRE GYEN DEPOSITOS DE ORO


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Si las partculas estn liberadas, los factores de liberacinde la ecuacin sern obtenidos de la siguiente manera:

Factor de composicin mineralgica (Q)

a: peso especfico oro; 19,3 g/cm3

b: ley de oro, expresado en decimal

b

aQ =


58


Factor de liberacin del mineral (l)

e: dimetro mximo de partcula de oro, en cm

d: abertura de malla que retiene 5% del material en cm

e

dI=



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Factor de forma de las partculas (f) (6)

Este factor puede variar entre 0,5 (cuando la partculatiene forma esfrica) y 0,2 (cuando las partculasachatadas o alargadas).

Factor de distribucin del tamao de partculas (h)(3)

Se atribuye el valor de h = 0,2.


60


El estudio de estas tcnicas tiene como objetivo reducir almnimo los errores en las etapas de toma de muestras yen la preparacin de la muestra primaria.

Errores

Los errores comnmente ms cometidos durante lapreparacin de la muestra son los siguientes:

a. La prdida de partculas pertenecientes a lamuestra, tal como el material retenido en losequipos de muestreo.

TECNICAS DE MUESTREO


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b. La contaminacin de muestras en la preparacin dematerial extrao. Ejemplos: desgaste de losinstrumentos y de los equipos utilizados, falta decontrol de limpieza de los mismos (oxidacin, mineralextrao, polvo etc.). Cuando la contaminacin es poroxidacin en la muestra, se recomienda el uso demolino con discos o pelotas de porcelana.

c. Errores no intencionales del operador: mezclarsubmuestras de diferentes muestras, etiquetado

errneamente, etc.


62


d. Alteracin de caractersticas a analizar. Ejemplos:cuando el parmetro de inters es humedadrelativa, y el operador expone la muestra a fuentesde calor o humedad.

e. Errores intencionales: alterar la ley u otro parmetro

importante (salar la muestra).



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El error fundamental es el nico error que no puedeevitarse, porque, en teora, la masa ideal de muestrasera que represente todo el universo. Para poder trabajarcon una muestra de masa inferior, normalmente esnecesario reducir su granulometra, pudiendo seguir lossiguientes pasos:

i. Hasta un mximo de 50,8 mm, utilizamos lastrituradoras de mandbula.

ii. De 50,8 mm a 1,2 mm, usamos molinos cnicos o derodillos.

iii.Bajo 1,2 mm, utilizamos molinos de barras o bolas,molinos de discos, pulverizadoras o trituradorasmanuales.


64


El error de segregacin se observa principalmente ensilos y apilados, donde las partculas grandes tienden aestratificarse solas, el mismo que es minimizado con lahomogeneizacin del material a ser muestreado y lareduccin de la dimensin de los incrementos yconsecuentemente del aumento del nmero de losincrementos que componen la muestra.

Los muestreos en las plantas piloto o industriales sonhechas a partir de la cuantificacin de incrementos yest sujeta a todo tipo de errores ya descritos.



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Cuanto mayor sea el nmero de incrementos, menorser el error total cometido. El nmero mnimo deincrementos est relacionado con la masa mnimanecesaria.

La cuantificacin de incrementos del flujo de mineral serealiza en intervalos iguales y, cuando el flujo y losparmetro de inters del mineral son constantes. Casocontrario, el incremento se obtiene de acuerdo a unacierta cantidad de masa acumulada en un periodo de

tiempo, que ser eficaz cuando haya variacionesperidicas de flujo y de los parmetros de inters delmineral.


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Existiendo la necesidad de muestreo en puntosespecficos en la usina, estos sern realizados conequipos automticos.

Habiendo la posibilidad de no poder realizar el muestreosimultaneo, se recomienda que sea realizado endireccin opuesta al flujo (no exista alteracin de lascaractersticas del muestreo debido a la cantidad dematerial removido).

Al muestrear estos incrementos, sern utilizadosequipos clasificados segn su trayectoria recta ocircular.



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INTERCADE


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1. Planta de procesamiento de minerales: diseadasegn la torre de muestreo sesgada. Prdida 10millones de dlares por ao.

2. Mina: dilucin de mineral de Cu y Au de 2% que se vaa lastre. Prdida de 8 millones de dlares por ao.Costo de un sistema de muestreo correcto: $ 90 000.

EJEMPLOS DE ERRORESDE MUESTREO IMPORTANTES

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3. Comercializacin de minerales: un sistema demuestreo manual sesgado de concentrados de Sn lecostaba al productor 7 millones de dlares cada tresaos; es decir, un 9 % de la produccin. Costo de unsistema correcto: $ 100 000.

4. Costo adicional de un sistema de muestreo correcto:siempre es despreciable. Los sistemas de muestreocorrecto se amortizan rpidamente.

EJEMPLOS DE ERRORESDE MUESTREO IMPORTANTES


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Geoestadistica y Flujos Mineralurgicos

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