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CAPTULO 1: INTRODUCCIN

CONTENIDO DEL CAPTULO PGINA NO.

1.1 Estimacin ........................................................................................................ 8

1.2 Escala y representacin del cuerpo mineralizado .............................. 10

1.3 Representacin estadstica ....................................................................... 12

1.3.1 Independencia ................................................................................... 13

1.4 Notacin .......................................................................................................... 13

1.5 Uso del Manual .............................................................................................. 14

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Estimacin se puede definir como la prediccin del valor de una caracterstica en una ubicacin donde dicho valor se desconoce, en base a los valores de las caractersticas medidas en varias ubicaciones conocidas. En la mayora de los casos, el valor estimado diferir del valor verdadero; a la diferencia entre un valor estimado y el valor real correspondiente se le denomina error de estimacin. La magnitud del error de estimacin depender de dos factores: (1) La variabilidad de los valores a estimar. (2) La eficiencia del mtodo de estimacin. Existen muchos mtodos de estimacin de reservas de minerales y estimacin general de leyes que son ampliamente utilizados. A modo de ejemplo, considere el mtodo de secciones transversales. En muchas operaciones mineras, se realizan perforaciones aproximadamente en secciones transversales verticales perpendiculares al rumbo del cuerpo mineralizado. Los gelogos interpretan e interpolan las caractersticas del cuerpo mineralizado en estos planos bidimensionales; luego, las interpretaciones bidimensionales se extienden a la tercera dimensin a lo largo del rumbo para proporcionar una estimacin tridimensional de dichas caractersticas, tales como la forma, ubicacin y ley local del cuerpo mineralizado. Considere la seccin transversal que se muestra en la Figura 1a. En primer lugar, en el plano de secciones transversales el gelogo debe decidir a qu distancia en cualquier lado de cada interseccin se va a extender la caracterstica (por ejemplo, la ley). Siendo todo lo dems igual, la caracterstica se extender hasta la mitad de la siguiente interseccin en la seccin transversal, tal como se muestra en la Figura 1b. Este procedimiento se repite para cada seccin, tal como se muestra en la Figura 1c. En segundo lugar, las extensiones en cada seccin transversal se extienden entre las secciones transversales, tal como se muestra en la Figura 1d; en ausencia de informacin en contrario, las extensiones bidimensionales en las secciones transversales se extendern hasta la mitad de la siguiente seccin transversal. Ya sea que se le reconozca explcitamente o no, este mtodo utiliza un modelo para estimar las caractersticas del cuerpo mineralizado. Un modelo consiste en un conjunto de supuestos que pueden ser o no verificables y que pueden o no haber sido verificados. En este caso, el modelo est formado por los siguientes supuestos: (1) La ley, o cualquier otra caracterstica de estimacin, es constante sobre un

volumen especfico ampliamente definido por la malla de perforacin. (2) La variabilidad y continuidad de las caractersticas de la mineralizacin son en

gran medida una funcin del espaciamiento de los taladros. Podra muy bien darse el caso que la mineralizacin de un cuerpo mineralizado en particular sea descrita con mucha precisin por este modelo. Sin embargo, por lo menos en las etapas iniciales, generalmente no se habr hecho ningn intento por verificar si el modelo tiene alguna aplicabilidad para el cuerpo mineralizado. En este caso, al igual que en otros, los modelos son simplemente un conjunto de creencias sin ningn examen o entendimiento reales de los supuestos involucrados. Por supuesto, si el mtodo arroja resultados evidentemente errados, eventualmente ser modificado o abandonado a favor de otro mtodo; es decir, al final se realiza alguna forma de verificacin del mtodo.

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FIGURA 1

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1.1 Estimacin

Todo tipo de estimacin de una ley o reserva consta de seis etapas, tal como se ilustra en la Figura 2. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Figura 2: Seis etapas de estimacin Todas estas etapas podran no ser reconocidas explcitamente o incluso no ser aceptadas, pero al realizar un cuidadoso examen de cualquier tcnica se puede verificar su presencia. Las etapas 1 y 2 pueden aceptarse sin mayor discusin. La etapa 3 es el paso crtico en todos los anlisis de un cuerpo mineralizado, desde los estudios de factibilidad iniciales hasta los diseos finales de tajos, bloques y minado, y sirve de base para el modelo de estimacin en la etapa 4. Los gelogos que realizan una interpretacin manual en una seccin transversal usan un modelo. El modelo puede ser explcito, como es el caso del modelo slido tridimensional o, ms frecuentemente, implcito como una imagen formada en su mente en base a su experiencia propia o experiencias pasadas acumuladas con respecto a este y similares cuerpos mineralizados. Usando su modelo (y su pericia en la aplicacin del modelo), el gelogo predice el comportamiento del cuerpo mineralizado en ubicaciones donde no hay muestras a partir de informacin disponible en ubicaciones donde se han tomado muestras. La estimacin de reservas basada en mtodos poligonales o mtodos de ponderacin del inverso de la distancia emplea modelos. El modelo est esencialmente basado en supuestos (a menudo no verificados) sobre el grado de continuidad de la mineralizacin de una interseccin a otra.

Recoleccin de muestras

Inferencia de las caractersticas del cuerpo mineralizado a partir de las caractersticas medidas de las muestras

Inferencia de un modelo de estimacin

Validacin del modelo

Uso

Medicin de las caractersticas de las muestras

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La etapa 5 validacin del modelo es a menudo ignorada; sin embargo, si uno piensa bien, usualmente se reconoce que tiene igual importancia que las etapas 3 y 4. Con mucha frecuencia, se reconocer implcitamente que el modelo es inadecuado, sin que exista un reconocimiento explcito del hecho o de los intentos por rectificarlo. Este caso se da muchas veces en las minas en operacin cuando, por ejemplo, es casi un hecho aceptado que las leyes estimadas son significativamente ms altas que las indicadas por el metal recuperado final. En tales casos, es comn ver que casi todos los aspectos de la operacin son cuestionados, excepto el modelo de estimacin. Los supuestos, modelos y estimaciones son aproximaciones a la realidad desconocida y, como tales, inevitablemente cometen errores. Ningn gelogo esperara seriamente que cada contorno de cuerpo mineralizado que ha interpretado coincida exactamente con los contornos del cuerpo mineralizado real. Ninguna persona que realice estimaciones de las leyes de tajos o bloques, cualquiera sea el mtodo que utilice, esperara seriamente que las leyes estimadas de los tajos sean siempre exactamente las mismas que las leyes verdaderas (desconocidas) de los tajos o bloques. Para evaluar los supuestos, modelos y estimaciones, se deben aplicar ciertos criterios. En general, los dos criterios ms importantes son los siguientes:

(1) En promedio, los modelos, conceptos, supuestos y estimaciones son correctos.

(2) Cualquier desviacin local o individual de los supuestos, modelos, conceptos y

estimaciones con respecto a la realidad es la menor posible.

Por ejemplo, de acuerdo con el primer criterio, el contorno del cuerpo mineralizado interpretado manualmente por el gelogo a veces se encontrar a un lado del contorno del cuerpo mineralizado real, otras veces al otro lado y otras veces podra incluso coincidir exactamente con dicho contorno. Entonces, se dice que el contorno interpretado manualmente es una estimacin insesgada del contorno del cuerpo mineralizado real el gelogo no ha hecho una firme prediccin de que el cuerpo mineralizado se encuentra hacia el este u oeste de su ubicacin real: en promedio, su prediccin sobre la ubicacin de los permetros del cuerpo mineralizado es correcta. De igual manera, de acuerdo con este primer criterio, una ley estimada de un tajo o bloque puede ser a veces ms alta que la ley verdadera del tajo o bloque, otras veces ms baja y, ocasionalmente, puede incluso ser exactamente igual a ella: en promedio, las leyes estimadas de tajos o bloques son iguales que las leyes verdaderas de tajos o bloques y los valores estimados son insesgados; es decir, ni subestiman ni sobreestiman firmemente la ley del tajo o bloque. Por ms conveniente que pueda ser el primer criterio, usualmente no es suficiente. Dado que las leyes de tajos o bloques son a veces subestimadas y a veces sobreestimadas, tambin es conveniente mantener el grado de subestimacin y sobreestimacin en el nivel ms bajo posible. Por ejemplo, un mtodo de estimacin de leyes puede proporcionar estimados que, en promedio, se desvan de las leyes verdaderas en un 10%, mientras que otro mtodo puede dar estimados que se desvan de las leyes verdaderas en slo un 5%. Ambos mtodos pueden ser insesgados, pero el segundo mtodo es claramente preferible al primero, ya que las diferencias individuales entre leyes estimadas y verdaderas son menores. De igual manera, un gelogo puede realizar contornos en secciones transversales de cuerpos mineralizados que

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estn dentro de 0.5 metros de los permetros reales, mientras que otro gelogo puede realizar contornos que estn dentro de 0.75 metros de los permetros reales. Siempre y cuando ambos conjuntos de permetros estimados de cuerpo mineralizado sean insesgados (es decir, que en promedio sean correctos), el modelo del primer gelogo es preferible al del segundo gelogo. Las etapas 3 y 4 involucran supuestos. Dado que los supuestos aumentan el riesgo de error, stos deben, dentro de lo posible:

Mantenerse tan simples como sea posible

Mantenerse al mnimo

Ser razonables y lgicos desde cualquier punto de vista pertinente (geolgico, estructural, matemtico)

Ser verificable Las etapas 1 y 2 involucran errores explcitos de recoleccin, medicin y observacin. Estos errores pueden mantenerse al mnimo si se aplican buenas prcticas de muestreo as como los principios y lineamientos establecidos por Pierre Gy, los cuales se resumen en el Captulo 9.

1.2 Escala y representacin del cuerpo mineralizado

El cuerpo mineralizado se puede visualizar a cualquier escala. El microscopista de minerales y el gelogo interesado en la gnesis de los minerales podran estar interesados en visualizar el cuerpo mineralizado a escala microscpica; el gelogo minero prefiere la escala de estructuras observables y ms grandes; el ingeniero de minas necesita un modelo a la misma escala del tamao de los tajos o bloques de minado. En la etapa de planificacin, la nica informacin disponible se encuentra a la misma escala del tamao de las muestras; a esta escala se le podra denominar escala de observacin. La escala desempea un papel muy importante en la estimacin y planificacin, ya que afecta la forma en que observamos una propiedad muy importante de cualquier caracterstica medida: su variabilidad. Existe variabilidad a todas las escalas y es a menudo marcadamente diferente en cada una de ellas. Para comprobar esto, considere el testigo de perforacin de la Figura 3 que se ha cortado en segmentos de 1 m y se ha ensayado para verificar el porcentaje de plomo. La ley promedio del testigo de perforacin es 10.5% de plomo y el rango de valores va desde 0.5% hasta 15.7%. Ahora considere el mismo testigo de perforacin cortado en segmentos de 2 m; las leyes de los segmentos de 2 m se pueden obtener tomando simplemente el valor promedio de pares de segmentos de 1 m contiguos (en sentido estricto, la densidad de los segmentos de testigo de 1 m tambin debe tomarse en cuenta, pero sta es una distraccin que no alterar las conclusiones expuestas en este documento). La ley promedio del testigo de perforacin sigue siendo 10.5% de plomo, como es de esperarse, pero los valores de las leyes ahora oscilan entre 1.7% y 13.8% de plomo. Al tomar muestras ms grandes, se ha reducido la variabilidad de las leyes medidas. De manera similar, si se toman segmentos de 3 m, la ley promedio sigue siendo 10.5% de plomo, pero el rango de valores es ahora de 4.3% a 13.8% de plomo.

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Figura 3: Testigo de perforacin cortado en segmentos de 1 m, 2 m y 3 m

Al estimar el valor de una caracterstica, como la ley, la variabilidad es el aspecto ms importante del modelo: Si no hay variabilidad, no hay error de estimacin; mientras mayor sea la variabilidad, ms difcil ser la estimacin. Un factor que afecta la variabilidad es la escala: A medida que la escala aumenta, la variabilidad disminuye. Las leyes de las muestras tomadas de un cuerpo mineralizado son promedios tomados sobre volmenes especficos. El enunciado: este segmento de testigo de perforacin de 1 metro tiene una ley de 5.5 g/t de

oro es simplemente otra forma de expresar que el 0.00055% de todos los granos de material contenidos en el volumen cilndrico de la muestra son oro (asumiendo que todos los granos de material son del mismo tamao). Si el tamao de la muestra se reduce al de un grano, entonces slo pueden presentarse dos valores: 0% (para un grano que no es oro) y 100% (para un grano que es oro); dicho tamao de muestra arrojar valores de ley con la mxima variabilidad posible. Es sumamente improbable que una muestra de testigo de perforacin de un metro sea oro puro y el rango de leyes de oro de tales muestras ser considerablemente menor al de las muestras del tamao de un grano; es decir, la variabilidad de las leyes de las muestras grandes es menor que la de las muestras pequeas. Usualmente, la longitud de los fragmentos de testigos (y, en cierta medida, el dimetro de los testigos) estar relacionada con las estructuras geolgicas y/o leyes que se consideran importantes, ya sea para las hiptesis geolgicas o para fines de minado. Ambos requerimientos imponen una escala de observacin. La longitud promedio de los fragmentos ser mayor en grandes cuerpos mineralizados diseminados minados mediante grandes tajeos o tajos abiertos que en cuerpos mineralizados estratigrficamente angostos, minados por corte y relleno. El cuerpo mineralizado, cualquiera sea su tipo, se puede concebir como uno que consta de volmenes dimensionados a muestras de material, tal como se ilustra en la Figura 4.

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Estratigrfico Masivo

Figura 4: Representacin de cuerpos mineralizados como la suma de los

volmenes dimensionados a la muestra En el cuerpo mineralizado estratigrfico, se observa que cada muestra se extiende a lo largo de todo el ancho del cuerpo mineralizado y que tiene una orientacin perpendicular al buzamiento. En el cuerpo mineralizado diseminado, se observa que las muestras son de igual tamao y verticales. En efecto, stas son solamente dos representaciones simplistas. Se podra obtener otra figura de los cuerpos mineralizados representando todos los volmenes orientados en un ngulo diferente o desplazados por una fraccin de un milmetro. Existe, en efecto, una variedad infinita de ese tipo de representaciones de cuerpos mineralizados, cada una igualmente vlida. Cuando se toman muestras de un cuerpo mineralizado, se retira una proporcin sumamente pequea de estos volmenes (etapa 1 en la Figura 1). Luego se miden las caractersticas (por ejemplo, la ley) de estas muestras (etapa 2) y se infieren las caractersticas de los dems volmenes (no muestreados) a partir de las caractersticas de las muestras (etapa 3).

1.3 Representacin estadstica

Se plantean soluciones estadsticas para problemas que no tienen una respuesta definitiva, ya sea porque existe informacin incompleta y/o porque la informacin no es confiable por lo menos parcialmente. En general, existe un grupo de objetos con caractersticas especficas, al cual se le denomina poblacin. De acuerdo con una serie de reglas, se selecciona un nmero de objetos de la poblacin, los cuales constituyen la muestra. Las caractersticas de la muestra son medidas y estudiadas. Se plantean una serie de hiptesis (o supuestos), los cuales constituyen un modelo. Luego, se infiere que el resto de la poblacin tiene las mismas caractersticas que la muestra. En la mayora de los casos, las caractersticas de la poblacin sern ms o menos diferentes a la muestra y, por lo tanto, se comete un error como resultado de la inferencia. En aplicaciones geoestadsticas, la poblacin es el cuerpo mineralizado subdividido en volmenes dimensionados a la muestra. Un bloque cuya ley se va a estimar tambin se puede concebir como uno que consta de volmenes dimensionados a la muestra, tal como se muestra en la Figura 5.

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Figura 5: Representacin de un bloque que consta de volmenes

dimensionados a la muestra Ahora se puede sealar que el problema de estimacin es: 1 Recolectar muestras 2 Medir las caractersticas (por ejemplo, las leyes) de las muestras

3 Inferir, a partir de los valores de las caractersticas de las muestras, los valores de las mismas caractersticas para el resto de volmenes dimensionados a la muestra que componen el cuerpo mineralizado.

4 Usando los valores de las caractersticas de la muestra, predecir (estimar) los valores medios de las caractersticas de los volmenes dimensionados a la muestra que conforman el bloque.

1.3.1 Independencia

En mineralizaciones, los valores de las caractersticas de las muestras tomadas en puntos cercanos son en promedio usualmente ms parecidos a los de las muestras tomadas en puntos alejados. Es inusual, aunque no ignorado, que no se d este caso. Esta relacin entre los valores de las caractersticas (por ejemplo, las leyes) de las muestras medidas en diferentes ubicaciones se puede cuantificar mediante un simple clculo numrico. Cuando no existe ninguna relacin entre una caracterstica de las muestras, se dice que los valores son independientes.

1.4 Notacin

En este manual se ha hecho un esfuerzo por referirse a las matemticas en la menor medida posible. Al hacerlo, se puede haber perdido cierto rigor matemtico, pero ello se ver ms que compensado si el manual proporciona los conceptos de geoestadstica a quienes los usarn.

La nica notacin matemtica empleada es la representacin algebraica de nmeros y la notacin sumatoria o sigma, los cuales se explican a continuacin: Dada una serie de nmeros, la media aritmtica se obtiene sumando los valores y dividiendo el total entre el nmero de valores usados. Por ejemplo, la media aritmtica de los 6 nmeros 5, 3, 7, 6, 2, 4 es:

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Una forma general de expresar esto es representando los nmeros con las letras del alfabeto. Entonces, dados seis nmeros representados por x, y, z, r, s, t, la media aritmtica es:

En el ejemplo anterior, x sera reemplazado por 5, y por 3, z por 7, etc. sta es una forma abreviada general de expresar el mtodo para calcular la media aritmtica de seis nmeros. En palabras, quiere decir:

sumar los seis nmeros y dividirlos entre 6

El mtodo podra extenderse a siete, ocho, nueve, etc. nmeros. No obstante, se requerira que la definicin se escriba explcitamente para cada nmero de valores y que est limitada a un mximo de 26 nmeros. Un mtodo abreviado ms general sera designar los nmeros con una sola letra que tenga un subndice. Por ejemplo, la media aritmtica de seis nmeros sera:

Aunque el mtodo ya no est limitado a las 26 letras del alfabeto, la frmula debe expresarse explcitamente para cada nmero diferente de valores. Un mtodo ms general es escribir el promedio de los seis nmeros como se indica a continuacin:

Donde el smbolo significa sumar cada valor representado por x, donde i toma, a su vez, cada valor entero del 1 al 6.

El smbolo es la letra griega en mayscula de sigma. Una forma general de expresar la suma de n nmeros es as:

1.5 Uso del Manual

Cada captulo del manual trata sobre un tema especfico. Cuando es aplicable, el tema es presentado de acuerdo con el diagrama de flujo de la Figura 2.

El propsito del manual es dar a conocer conceptos ms que teora matemtica rigurosa y, en la mxima medida posible, se ha limitado la inclusin de las matemticas a la aritmtica.