presentacion geoestadistica 030514

GEOESTADISTICA APLICADA A LA ESTIMACION Y EVALUACION DE YACIMIENTOS MINEROS

Nombre Alumnos : Isaías Farías, Gonzalo NoreroNombre Profesor : Sr. Jose BastosFecha : 05 de Abril de 2014

DEFINICION DE GEOESTADISTICA

La palabra “geoestadística” fue inventada por Georges Matheron en 1962.“GEO” - “ESTADISTICA”

Matheron definió a la Geoestadística como "la aplicación del formalismo de las funciones aleatorias al

reconocimiento y estimación de fenómenos naturales.

La geoestadística es una rama de la estadística aplicada que se especializa en el análisis, modelación y predicción de la

variabilidad espacial de fenómenos en Ciencias de la Tierra.


Su objeto de estudio es el análisis y la predicción de la distribución espacial de fenómenos geo referenciados, como porejemplo:– la distribución de un mineral en el subsuelo,

En contraposición con la estadística clásica o convencional.– Las mediciones en ubicaciones cercanas no se consideran Independientes.– por el contrario se suponen que están correlacionadas entre sí, es decir, existe cierta dependencia o correlación espacial.

La geoestadística es una rama de la estadística espacial.


ETAPAS DE UN ANALISIS GEOESTADISTICO

A grosso modo un análisis geoestadístico está compuesto por tres etapas:

• Análisis exploratorio de los datos.• Análisis de la relación espacial (estructural).• Predicción (estimaciones o simulaciones).

Uno de los objetivos principales es reconocer a la geoestadística como una ciencia importante para la gran minería ya que a través de ella se pueden

modelar distintas situaciones a través del un lenguaje matemático.

ESTIMACION DE RECURSOS

La estimación de recursos se realiza contando con dos elementos fundamentales: Resultados de ensayos de muestras, provenientes de las distintas formas, tal como sondajes diamantinos, sondajes de aire reversa, talador de voladura para producción, canaletas, trincheras, etc. Que aseguren la correcta aplicación de las tecnologías de muestreo y tratamiento de la muestra, evitando todas las formas de sesgo posible. Interpretación geológica.

Los fenómenos geológicos involucran procesos complejos, parecen aleatorios. Sin embargo, los datos verdaderos no son resultado de un proceso aleatorio: se trata solamente de una interpretación por nuestro

desconocimiento de la realidad.

El valor de la variable regionalizada en un punto se interpreta como la realización (outcome) de una variable aleatoria.

• Algunos problemas:– ¿Cómo hacer inferencia acerca de la variable aleatoria si sólo disponemos de

una realización?– Inferencia y Modelamiento

Nota. La Estadística inferencial o Inferencia estadística estudia cómo sacar conclusiones generales para toda la población a partir del estudio de una muestra, y el grado de fiabilidad o significación de los resultados obtenidos.

INTERPRETACION

INTERPRETACION

• ¿Cómo infiero la distribución de probabilidad de un dado?

• Si conozco varias realizaciones y asumo cierta homogeneidad espacial, puedo inferir su distribución

Variograma

EL VARIOGRAMA Es una herramienta que permite analizar el comportamiento espacial de una propiedad o variable sobre una zona dada

Detectar direcciones de anisotropía

Ejemplo:

Zonas de influencia y su extensión (correlación espacial)

Variabilidad con la distancia

CORRELACION ESPACIAL

VARIOGRAMA

hxZ

1hx

h

1h

1hxZ

hx

2

21

)]()([ hxZxZEh

xZx

Detección de características que varían según la dirección y la distancia

VARIOGRAMA

Distancia

Variograma

Distancia

Variogra

ma

CORRELACION ESPACIAL

VARIOGRAMA

2

21

)]()([ hxZxZEh Variograma Teórico

Variograma Experimental

hxx

ji

ji

xzxzhN

h 2* ))()((2

1)(

VARIOGRAMA

h

Datos Igualmente espaciados:

)(

2* ))()((2

1)(

hN

1iii hxzxz

hNh

,2,1,0,,0 kkh

,2,1,0,0, kkh

,2,1,0,,, jkjhkh

VARIOGRAMA

Datos Irregularmente espaciados:

• Puede ocurrir que no existan valores de la variable a la distancia h

• Puede ocurrir que no existan valores de la variable en la dirección

VARIOGRAMA

puntos aceptados

puntos descartados

b

b = ancho de banda

VARIOGRAMA

hxx

ji

ji

xzxzhN

h 2* ))()((2

1)(

Variogram Cloud:

hxx

ji

ji

xzxz

hN 2

))()((12

Al graficar el valor de los pares versus la distancia se obtiene el variograma cloud

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7

Distancia

VARIOGRAMA

Variogram Cloud

Variogram Cloud:

Permite detectar valores atípicos o cambios bruscos

Permite escoger un valor inicial del lag

Permite observar la dispersión

alrededor del valor de* 0

50

100

150

200

250

300

0 1 2 3 4 5 6 7

Distancia

VARIOGRAMA

Mapa de Variograma :

Es una herramienta que permite determinar las direcciones de anisotropía de la variable en estudio

VARIOGRAMA

Variograma-Características Básicas

1) RANGO Y SILL

2) COMPORTAMIENTO A PEQUEÑAS DISTANCIAS

3) COMPORTAMIENTO A GRANDES DISTANCIAS

4) ANISOTROPÍAS

VARIOGRAMA

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42Distancia

Variogram

a

Rango:

Distancia a la cual el Variograma se estabiliza

Sill :

Valor constante que toma el Variograma en distancias mayores al rango

Variograma-Rango & Sill

Rango:

Distancia a partir de la cual no

hay correlación

Sill:

Varianza de la función aleatoria Z

VARIOGRAMA

COMPORTAMIENTO A PEQUEÑAS DISTANCIAS

Comportamiento

1) DISCONTINUO

2) LINEAL

3) CUADRÁTICO

Permite estudiar cuán rápido puede variar la variable en estudio a pequeñas distancias. Básicamente el Variograma presenta las 4 formas siguientes:

4) HÍBRIDOS

VARIOGRAMA

Comportamiento discontinuo

)]()([21

hxZxZvarh

00

Puede ocurrir que para distancias cercanas a cero el valor del variograma no se aproxima a cero

Efecto pepita o nugget effect

VARIOGRAMA

Comportamiento Lineal

Comportamiento lineal

Indica que para distancias pequeñas, el variograma tiene un comportamiento lineal.

Representa variables continuas pero no diferenciables. Así, la propiedad puede cambiar rápidamente de un punto a otro. 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

Distancia

Variograma

VARIOGRAMA

Comportamiento lineal

La variabilidad de la propiedad dependerá de la pendiente de la recta en el origen

A mayor pendiente, mayor variabilidad

A menor pendiente, menor variabilidad

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Distancia

Variograma

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Distancia

Variograma

Comportamiento Lineal VARIOGRAMA

Comportamiento Cuadrático

Comportamiento Cuadrático

Indica que para distancias pequeñas, el Variograma tiene un comportamiento cuadrático.

Representa variables sumamente continuas e infinitamente diferenciables. Así, la propiedad NO puede cambiar rápidamente de un punto a otro.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37

Distancia

Variograma

VARIOGRAMA

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5 12 13,5 15 16,5 18

Distancia

Variogram

a

Comportamiento Híbrido:

Variación más suave a distancias cortas

Variación más fuerte a distancias grandes

Indica presencia de estructuras actuando a diferentes escalas

Comportamiento HíbridoVARIOGRAMA

Comportamiento-grandes distancias

NO TODOS LOS VARIOGRAMAS POSEEN UN RANGO Y UN SILL FINITO

Distancia

Variogram

aINDICA LA PRESENCIA DE UNA DERIVA O DRIFT

VARIABLE NO ESTACIONARIA

Comportamiento a grandes distancias :

VARIOGRAMA

Anisotropías

Anisotropías :

Generalmente cuando el variograma experimental es calculado en distintas direcciones presenta distintos comportamientos con la variación de la distancia.

Anisotropía Geométrica

Anisotropía Zonal

Anisotropía Híbrida

VARIOGRAMA

Anisotropía Geométrica

Anisotropía Geométrica :

Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta el mismo sill pero rangos distintos

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0,0 0,9 2,0 3,0 4,1 5,1 6,2 7,2 8,3 9,3 10,4 11,4

Distancia

Variogram

aN-S

E-O

Mayor continuidad espacial en la dirección de mayor rango

Menor continuidad espacial en la dirección de menor rango

VARIOGRAMA

Anisotropía Zonal :

Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta el mismo rango pero diferente sill

Presencia de diferentes estructuras

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,94 1,99 3,04 4,09 5,14 6,19 7,24 8,29 9,34 10,4 11,4

Distancia

Variograma

Anisotropía ZonalVARIOGRAMA

Anisotropía Híbrida :

Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta rangos diferentes y distintos sill.

Presencia de diferentes estructuras

Característico de variogramas horizontales y verticales

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 0,6 1,2 1,8 2,4 3 3,6 4,2 4,8 5,4 6 6,6 7,2

Distancia

Variogram

a

Anisotropía HíbridaVARIOGRAMA

Soporte

Ejemplo: compositación

Los datos con los cuales uno trabaja pueden tener soportes distintos:– El muestreo y los análisis químicos son operaciones caras…

– Mientras se perfora un sondaje, se atraviesan zonas considerables de lastre no interesa analizar leyes = 0!

– Así, se genera la siguiente situación:

El soporte es el volumen sobre el cual se mide o se considera la variable en estudio (testigo, compósito, pozo de tronadura, unidad selectiva de

explotación o “bloque”).

SOPORTE

• Banco de una faena a rajo abierto conocido completamente, con altura de banco 12m. La variable considerada es la ley de cobre.soporte 1m × 1m soporte 5m × 5m soporte 25m ×

25m

SOPORTE

• Tanto la distribución estadística de los valores (histograma) como su correlación en el espacio (variograma) dependen del soporte considerado

• Este efecto de soporte tiene importantes consecuencias en la evaluación de yacimientos, pues los datos disponibles (sondajes, pozos de tronadura) no tienen el mismo soporte que las unidades a estimar

SOPORTE

• Cambio en el variograma: El paso de un soporte pequeño a un soporte mayor es una operación reguladora (“suavizamiento” de los mapas).

SOPORTE

Efecto de soporte en el histograma

• Cambio en el histograma:

mínimo: 0.013máximo: 12.77media: 0.941varianza: 0.497

mínimo : 0.082máximo: 6.319media: 0.941varianza: 0.336

mínimo: 0.178máximo: 3.181media: 0.941varianza: 0.260

soporte 1m × 1m soporte 5m × 5m soporte 25m × 25m

SOPORTE

KRIGING

Secuencias en un estudio Geoestadístico para estimar Reservas

KRIGING

Estimadores lineales ponderados

• ¿Qué factores podrían considerarse en la asignación de los ponderadores?

– cercanía a la posición que está siendo estimada

– redundancia entre los valores de datos

– continuidad o variabilidad espacial

– anisotropía (dirección preferencial)

KRIGING

• Estimador del más cercano vecino: atribuye toda la ponderación al dato más cercano al sitio a estimar (i = 1 para el dato más cercano, i = 0 para los otros datos, a = 0)

• También llamado “estimador por polígonos de influencia”, puesto que el sitio a estimar se encuentra en el polígono de influencia del dato que se lleva toda la ponderación


KRIGING

Inverso de la distancia Inverso del cuadrado de la distancia

Estimadores lineales ponderadosEstimador del inverso de la distancia: atribuye a cada dato una ponderación proporcional al inverso de su distancia al sitio a estimar

KRIGING

• Los estimadores anteriores son sencillos de aplicar, pero la asignación de la ponderación sólo depende del criterio de cercanía.

• La idea del método de kriging es incorporar los otros criterios (redundancias entre datos, continuidad espacial, anisotropía) mediante el uso del variograma.

• De este modo, se logra obtener estimaciones más precisas → mejor planificación, mejor selección estéril / mineral, + $$$


KRIGING

Kriging es “una colección de técnicas generalizadas de regresión lineal para minimizar una varianza de estimación definida de un modelo a

priori de covarianza” (R. Olea, 1991).

El Kriging es el mejor estimador lineal insesgado (Best Linear Unbiased Estimator, BLUE)

– “lineal” porque es una combinación lineal ponderada de los datos

– “insesgado” porque el error de estimación tendrá una media igual a 0

– “mejor” en el sentido del error de varianza mínima para un modelo dado de covarianza / variograma

KRIGING

• Existen varios tipos de kriging:– Kriging simple: media m conocida– Kriging ordinario: media m desconocida– Kriging con deriva: media desconocida que depende de cada posición m(u)

• Kriging universal - intrínseco: la deriva es un polinomio de las coordenadas• Kriging trigonométrico: la deriva es una función periódica• Kriging con deriva externa: la deriva es proporcional a una variable secundaria

– Kriging no lineal: aplica kriging a una transformada de la variable• Kriging lognormal: cuando el logaritmo de los datos tiene una distribución normal

• Kriging de indicadores: aplica kriging a datos binarios (indicadores) que codifican probabilidades de pertenecer a un tipo de roca o de sobrepasar una ley de corte

• Kriging disyuntivo: aplica kriging a factores que descomponen la variable a estimar

• Kriging multi-Gaussiano: aplica kriging a la transformada Gaussiana de los datos

– Kriging multivariable = cokriging– Etc.

KRIGING

Propiedades del Kriging• interpolación exacta: la estimación en un sitio con dato es igual al valor del dato y la

varianza de kriging en este sitio vale 0

• aditividad: la estimación de la ley de un bloque es igual al promedio de las estimaciones de leyes puntuales en este bloque

• suavizamiento: la dispersión de los valores estimados es menor que ladispersión de los valores verdaderos, sobre todo en las zonas donde hay pocos datos. En consecuencia, se tiende a subestimar las zonas de altas leyes y sobreestimar las zonas de bajas leyes. El kriging es inapropiado para evaluación de procesos donde los valores extremos son importantes (→ simulaciones)

• insesgo y precisión: por construcción

• sesgo condicional: el error promedio puede no tener esperanza nula cuando se considera sólo los sitios donde la ley estimada es alta (o baja). En general, el sesgo condicional es pequeño si se usa suficientes datos (>15)

KRIGING

Krigeado de Bloques

El valor obtenido se lo asigna a un Bloque, no a un punto. Tener en cuenta que el valor medio de una Función Aleatoria, en un

bloque, es el valor medio de todas las variables aleatorias, dentro del bloque.

Función Aleatoria: admite la incertidumbre, por lo tanto van a ser un conjunto de variables, que tienen una localización espacial y cuya dependencia se rigen por algún mecanismo probabilístico.

Para determinar el valor del bloque es necesario discretizar el área en un conjunto de puntos de 2x2; 3x3; 4x4, obteniéndose a continuación la media entre los diferentes valores.

Este hecho lleva a resolver decenas o centenares de miles de ecuaciones, lo que sería imposible sin el uso de la informática

KRIGING

Gracias por su atención

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