Geo Planos

GEOMETRA DEL ESPACIO

Jos Luis Torrecillas GutirrezI.E.S. Sol de Portocarrero

Enero de 2011

Resumen

Se establecen los elementos de la geometra afn y eucldea en elespacio, a partir del conocimiento que se tiene de los vectores, es-tudiados en el tema anterior. Se analizan diversas formas de expresarlas ecuaciones de rectas y planos, as como los problemas de inciden-cia, paralelismo y mtricos en los que intervienen dichos objetos. Laexposicin es terica, y es muy recomendable que se complete conlos ejemplos que se analizan en clase.

ndice

1. Estructura afn 21.1. Coordenadas cartesianas: el espacio de puntos R3 . . . . . . 31.2. La estructura afn: el espacio afn A3 . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Estructura eucldea 102.1. El espacio eucldeo E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2. Distancia eucldea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Rectas y planos en E3 113.1. Ecuacin de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2. Ecuacin del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4. Problemas afines 19

4.1. Rango de un conjunto de vectores . . . . . . . . . . . . . . . 194.2. Posicin relativa de dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1

I.E.S. Sol de Portocarrero Departamento de Matemticas

4.3. Posicin relativa de recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3.1. Tratamiento afn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3.2. Tratamiento eucldeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.4. Posicin relativa de dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4.1. Tratamiento afn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4.2. Tratamiento eucldeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5. Problemas mtricos 285.1. Punto y recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1.1. Proyeccin de un punto sobre una recta . . . . . . . . 295.1.2. Simtrico de un punto respecto de una recta . . . . . 305.1.3. Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . 31

5.2. Punto y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.2.1. Proyeccin de un punto sobre un plano . . . . . . . . 325.2.2. Simtrico de un punto respecto de un plano . . . . . 335.2.3. Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . . 34

5.3. Recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.3.1. Distancia de una recta a un plano . . . . . . . . . . . . 355.3.2. ngulo entre recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.4. Dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.4.1. Distancia entre dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . 375.4.2. ngulo entre dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.5. Dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.5.1. Distancia entre dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . 405.5.2. ngulo entre dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1. Estructura afn

Para hacer geometra, lo primero es establecer con una cierta precisinlos elementos con los se va a trabajar. Los conceptos primitivos, tales co-mo punto (una ubicacin, sin dimensiones), recta (una longitud infinitasin anchura) o plano (una extensin infinita lisa) se consideran tan intu-itivos y elementales, que resultan indefinibles1. Sin embargo, se necesitanmodelos o estructuras matemticas para trabajar con ellos, y analizar suspropiedades.

1Ntese que lo dicho sobre punto, recta y plano, no es ms que una descripcinintuitiva, carente del ms mnimo rigor matemtico.

pg. 2


La geometra afn trata de puntos, rectas y planos en el espacio. Abordaproblemas de incidencia y paralelismo, y deja a un lado problemas de tipomtrico (distncias, ngulos, rea, volumen). De estos ltimos se encargala geometra eucldea.

1.1. Coordenadas cartesianas: el espacio de puntos R3

Se debe a Ren Descartes2 la genial idea de identificar los puntosdel espacio por medio de ternas ordenadas de nmeros reales, o coorde-

2

REN DESCARTES (1596 - 1650): Educado en el colegio de jesu-tas de La Flche, se licenci en 1616 en Derecho por la Universidadde Poitiers. No satisfecho con los conocimientos adquiridos e in-dependiente en su posicin econmica, Descartes cerr los librospara dedicarse al estudio del mundo. Despus de probar breve-mente la vida en sociedad, concretamente la parisina, se convierteen soldado en el ao 1617.

Mientras fue soldado, se convenci de que el mundo necesitabauna frmula que disciplinara el pensamiento racional y unificarael conocimiento. En ninguna parte encontraba Descartes la seguri-dad y la certeza de los resultados que persegua, slo las matemti-

cas colmaban semejante aspiracin. Por eso, l mismo escribi: Cuando era soldado,pasaba la mayor parte del tiempo con la cabeza y las orejas en el estudio de las matemti-cas.

Esta rama del conocimiento le gustaba, debido a la certidumbre de sus pruebas y a laevidencia de sus razonamientos.

Esta visin de Descartes origin la doctrina de que todo conocimiento, tanto pasadocomo futuro, deba elaborarse en trminos de razonamiento matemtico. De este modoes como Descartes propone a todos los intelectuales contemporneos que dejaran de fi-arse tan ciegamente de las ideas antiguas y empezaran de nuevo a tratar de explicar laNaturaleza a travs de un esquema cientfico deductivo.

Esta filosofa la explicit en una publicacin que despus suprimi como deferencia asu fe catlica, ya que suscriba con ella las ideas herejes de Coprnico en torno al Univer-so.

A causa de que Pars no le ofreca el reposo necesario para recoger sus pensamientos,en 1629 se retira a Holanda. All vivir 20 aos. En 1637, public el Discurso del mtodopara dirigir correctamente la razn. Esta obra, que ser fundamental en Filosofa desperten los partidarios de la doctrina medieval un odio que se transform muy pronto enprohibiciones y persecuciones personales. Debido a ello, y a una invitacin de la reinaCristina de Suecia, abandon su residencia de los Pases Bajos y se traslad a Estocolmoen 1649.

Debido a la crudeza del clima y a su dbil salud, enferm y falleci en 1650 en esamisma ciudad (extraido del libro Historia de la Matemtica, de Juan Argelles Rodrguez,editorial Akal).

pg. 3


origen O

eje x

eje y

eje z

Figura 1: Sistema de coordenadas cartesianas.

nadas. Para ello se escoge arbitrariamente un punto O que se llamar ori-gen, y tres rectas que pasando por dicho punto, sean perpendiculares dosa dos, llamadas ejes cartesianos3. Es tradicional llamar los ejes cartesianoseje x, eje y, y eje z, y nombrarlos como se ve en la figura 1.

En cada eje se colocan de la forma usual los nmeros reales, de man-era que el nmero 0 corresponde siempre al origen de coordenadas. Laspuntas de flecha en la figura indican el sentido en el que aumentan losnmeros reales.

Una vez fijados el origen O y los ejes cartesianos, cada punto A delespacio viene identificado por sus coordenadas cartesianas, que son la ternaordenada de nmeros reales (xA, yA, zA) obtenidos como se indica en lafigura 2.

Inmediatamente se tiene que las coordenadas cartesianas del origen Oson (0, 0, 0), y si x, y, z representan nmeros reales cualesquiera:

Los puntos del eje x, tienen por coordenadas (x, 0, 0).

Los puntos del eje y, tienen por coordenadas (0, y, 0).

Los puntos del eje z, tienen por coordenadas (0, 0, z).

Los ejes determinan tres planos coordenados, como se ve en la figura 3,de modo que si x, y, z representan nmeros reales cualesquiera:

3Tambin se les suele llamar ejes de coordenadas o ejes coordenados.

pg. 4


O

eje x

eje y

eje z

A

Ax

Ay

Az

Figura 2: Coordenadas cartesianas de un punto.

Los puntos del plano xy tienen por coordenadas (x, y, 0).

Los puntos del plano xz tienen por coordenadas (x, 0, z).

Los puntos del plano yz tienen por coordenadas (0, y, z).

Dos puntos A = (xA, yA, zA) y B = (xB, yB, zB) sern iguales si y slo sisus coordenadas correspondientes son iguales, es decir, si y slo si xA =xB, yA = yB, zA = zB.

El espacio, una vez que en l se ha escogido un sistema de coordenadascartesiano, y que todos sus puntos se identifican con ternas de nmerosreales tal y como se ha indicado anteriormente, se suele denominar espaciode puntos R3.

1.2. La estructura afn: el espacio afn A3En el espacio de puntos R3 se enriquece cuando se consideran los de-

splazamientos rectos que llevan de un punto a otro. Como es sabido, losobjetos matemticos que describen estos desplazamientos son los vectoresde V3. As, junto al espacio de puntos R3 se considera el conjunto de vec-tores libres V3, y se relacionan puntos y vectores libres en la siguiente for-ma:

Convenio 1. Se escoge la base cannica Bo =n!

i ,!j ,!ko

de V3 de formaque las direcciones de los vectores

!i ,!j ,!k coincidan respectivamente

pg. 5


eje x

eje y

eje z

plano yz

plano xz

plano xy

Figura 3: Ejes y planos coordenados.

con las direcciones de los tres ejes cartesianos x, y, y z, y su sentido sea el decrecimiento de las coordenadas, a lo largo de cada eje. Entonces, el origenO junto con los vectores

!i ,!j ,!k forman lo que se llama un sistema de

referencia afnR =n

O;!i ,!j ,!ko

(ver figura 4).

Definicin 2. Si A = (xA, yA, zA) y B = (xB, yB, zB) son dos puntos delespacio de puntos R3, el vector libre

!AB que describe el desplazamiento

recto que lleva del punto A al punto B es el vector!AB de V3 cuyas compo-

nentes referidas a la base cannica usual Bo =n!

i ,!j ,!ko

son:

!AB = (xB xA, yB yA, zB zA)

(ver figura 5).

Definicin 3. Si desde el punto A = (xA, yA, zA) del espacio de puntosR3 se realiza el desplazamiento recto dado por el vector libre !v de V3cuyas componentes referidas a la base cannica usual Bo =

n!i ,!j ,!ko

son !v = vx, vy, vz, se llega al punto:B =

xA + vx, yA + vy, zA + vz

(ver figura 6).

pg. 6


origen O

eje x

eje y

eje z

vector ir

vector jr

vector kr

Figura 4: Referencia afnR =n

O;!i ,!j ,!ko

.

O

ir j

r

kr

( ), ,B B BB x y z=

( ), ,A A AA x y z=

( ), ,B A B A B AAB x x y y z z= - - -uuur

Figura 5: Desplazamiento desde el punto A hasta el punto B.

O

ir j

r

kr

( ), ,A x A y A zB x v y v z v= + + +

( ), ,A A AA x y z=

( ), ,x y zv v v v=r

Figura 6: Desplazamiento !v partiendo de un punto A.

pg. 7


A

BC

Figura 7: Relacin de Chasles.

Definicin 4 (Espacio afn A3). El espacio afn A3 est formado por lossiguientes elementos:

El espacio de puntos R3.

El conjunto de los vectores libres en el espacio V3, considerando co-mo nicas operaciones posibles la suma, la resta y el producto porun escalar.

La relacin establecida en cualquiera de las definiciones 2 y 3 entrepuntos y vectores libres.

Proposicin 5 (Relacin de Chasles). Si A, B, C son puntos del espacio afnA3, entonces (ver figura 7):

!AB =

!AC+

!CB (1)

Proposicin 6. Si A, B son puntos del espacio afn A3:1. El desplazamiento recto desde el punto A hasta el punto A es el desplaza-

miento nulo: !AA = !o

2. Los desplazamientos rectos desde el punto A hasta el punto B y desde elpunto B hasta el punto A son desplazamientos opuestos:

!AB = !BA

Proposicin 7. Los puntos A, B, C del espacio afn A3 estn alineados (es decir,sobre una misma recta) si los vectores

!AB y

!AC son proporcionales, es decir, si

existe algn escalar tal que!AB =

!AC. Otra condicin equivalente es que

rangh!

AB,!ACi= 1.

pg. 8


O

ir j

r

kr

A

OAuuur

Figura 8: Vector de posicin.

O

ir j

r

kr

A

OAuuur

B

OBuuur

ABuuur

Figura 9: Vector desplazamiento y vectores de posicin.

Definicin 8. Dado un punto A del espacio afn A3,y escogida una refer-encia afnR =

nO;!i ,!j ,!ko

, el vector de posicin del punto A respecto

de dicha referencia es el vector!OA (ver figura 8)

En la figura 9 se muestra la relacin entre el vector desplazamientodesde el punto A hasta el punto B y los vectores de posicin

!OA y

!OB:

!AB =

!OB!OA

que se deduce inmediatamente a partir de la expresin 1.Es importante notar que, si bien a efectos prcticos los puntos y los vec-

tores tienen el mismo aspecto (ternas de nmeros reales), conceptual yoperativamente son cosas muy diferentes. Los puntos son lugares, ubica-ciones en el espacio, mientras que los vectores representan desplazamien-tos rectos. Con los puntos no se puede operar, mientras que con los vec-tores pueden realizarse mltiples operaciones, a saber: suma, resta, pro-

pg. 9


ducto por un escalar, producto escalar, producto vectorial y producto mix-to.

2. Estructura eucldea

Retomando la definicin de espacio afn A3, llama la atencin una li-mitacin que aparece en las operaciones que se realizan con los vectores deV3: no se permiten el producto escalar, el producto vectorial y el productomixto. La consecuencia de ello es que en el espacio afn A3 no se puedenabordar problemas de tipo mtrico, como el clculo de distancias, ngu-los, reas o volmenes. Si se eliminan estas restricciones, de modo que sepuedan realizar todo tipo de operaciones con los vectores de V3, se habrestablecido el marco de la geometra eucldea.

2.1. El espacio eucldeo E3El contexto ms amplio en el que se abordar el estudio de los proble-

mas geomtricos se precisa en la siguiente definicin.

Definicin 9 (Espacio euclideo E3). El espacio eucldeo E3 est formadopor los siguientes elementos:

El espacio de puntos R3.

El conjunto de los vectores libres en el espacio V3, considerando posi-bles todas las operaciones vectoriales estudiadas en el tema anterior.

La relacin establecida en cualquiera de las definiciones 2 y 3 entrepuntos y vectores libres.

2.2. Distancia eucldea

La posibilidad de multiplicar escalarmente los vectores de V3 permitecalcular la distancia entre dos puntos A y B. En efecto, el desplazamientoque parte del punto A y llega al punto B es el vector

!AB. La longitud de

dicho desplazamiento, o lo que es lo mismo, el mdulo del vector!AB, ser

la distancia entre los puntos A y B.

pg. 10


Definicin 10 (Distancia euclidea). Si A = (xA, yA, zA) y B = (xB, yB, zB)son dos puntos del espacio eucldeo E3, la distancia entre ellos es el mdu-lo del vector

!AB = (xB xA, yB yA, zB zA).

d (A, B) =q(xB xA)2 + (yB yA)2 + (zB zA)2 (2)

Proposicin 11 (Propiedades de la distancia). La distancia eucldea cumplelas siguientes propiedades, para cualesquiera puntos A, B, C del espacio eucldeoE3:

1. La distancia entre dos puntos siempre es un nmero no negativo:

d (A, B) 0

2. La distancia entre dos puntos es 0 si y slo si ambos puntos son el mismo:

d (A, B) = 0, A = B

3. La distancia entre dos puntos dados no depende del orden en que se consid-eren:

d (A, B) = d (B, A)

4. Dados tres puntos, las distancias entre ellos cumplen la siguiente desigual-dad4:

d (A, C) d (A, B) + d (B, C)

Todas las propiedades anteriores se deducen fcilmente a partir de ladefinicin de distancia eucldea.

3. Rectas y planos en E3En esta seccin se caracterizan las rectas y los planos en el espacio eu-

cldeo E3. Ello permite tratar los problemas afines y mtricos traducindo-los a ecuaciones.

pg. 11


AB

A vr

r

r

Figura 10: Elementos que definen una recta.

3.1. Ecuacin de la recta

Como se indica en la figura 10, una recta r queda caracterizada si seconocen dos de sus puntos, o tambin si se conoce uno de sus puntos yun vector que tenga la direccin de la recta. Dicho vector se llama vectordirector de la recta.

La informacin que proporcionan ambos conjuntos de datos es equiva-lente. En efecto, si se conocen dos puntos A = (xA, yA, zA) y B = (xB, yB, zB)de la recta r, se puede obtener como vector director el vector !v = !AB =(xB xA, yB yA, zB zA). Recprocamente, si se conoce un punto A =(xA, yA, zA) y un vector director

!v = vx, vy, vz de la recta r, es posi-ble obtener un segundo punto de la recta r realizando desde el punto Ael desplazamiento !v , que lleva al punto B = xA + vx, yA + vy, zA + vzperteneciente a la recta.

Si de una recta r se conoce un punto A = (xA, yA, zA) y un vectordirector !v = vx, vy, vz, cualquier otro punto X = (x, y, z) de la recta rha de ser tal que los vectores

!AX y !v tengan la misma direccin, es decir,

sean proporcionales, por lo que ha de existir algn escalar verificando:

!AX = !v (3)

La expresin 3 es la llamada ecuacin vectorial de la recta r (ver figura 11).Se puede reescribir la ecuacin 3 haciendo intervenir los vectores de

posicin!OA y

!OX, (ver figura 12):

!OX =

!OA+ !v (4)

4A menudo esta propiedad de la distancia se llama desigualdad triangular.

pg. 12


A

X

vr

AXuuur

r

Figura 11: Ecuacin vectorial de una recta.

A

X

vr

AXuuur

r

O

ir j

r

kr

OAuuur OX

uuur

Figura 12: Ecuacin vectorial de una recta con vectores de posicin.

pg. 13


Haciendo explcitas las componentes en la ecuacin 4 se tiene:

(x, y, z) = (xA, yA, zA) + vx, vy, vz

=


e igualando las componentes correspondientes se obtienen las ecuacionesparamtricas de la recta r: 8


A

B

C

p

A

p

ur

vr

Figura 13: Elementos que definen a un plano.

uno de sus puntos y dos vectores no paralelos5 entre s, pero paralelos6 alplano. Dichos vectores se llaman vectores directores del plano.

La informacin que proporcionan ambos conjuntos de datos es equiva-lente. En efecto, si se conocen tres puntos A = (xA, yA, zA), B = (xB, yB, zB)y C = (xC, yC, zC) no alineados del plano pi, entonces los vectores

!u =!AB = (xB xA, yB yA, zB zA) y!v = !AC = (xC xA, yC yA, zC zA)son vectores directores del plano. Tambin, si se conoce un punto A =(xA, yA, zA) y dos vectores directores

!u = ux, uy, uz y !v = vx, vy, vzdel plano pi, entonces los puntos B =

xA + ux, yA + uy, zA + uz

y C =


son otros dos puntos del plano, siendo A, B, Cno alineados7.

Si de un plano pi se conoce un punto A = (xA, yA, zA) y dos vec-tores directores !u = ux, uy, uz y !v = vx, vy, vz, cualquier otro puntoX = (x, y, z) del plano pi ha de ser tal que el vector

!AX, pueda ponerse

como combinacin lineal de los vectores !u y !v . Han de esistir, por tanto,escalares y tales que:

!AX = !u + !v (7)

5Dos vectores !u = ux, uy, uz y !v = vx, vy, vz son no paralelos si no son propor-cionales, para lo cual los tres cocientes uxvx ,

uyvy ,

uzvz no pueden ser iguales. Otra manera de

decirlo es que ran!u ,!v = 2.

6Se entiende que un vector !v ser paralelo a un plano pi si es posible encontrar dospuntos A y B del plano pi tales que !v = !AB.

7Por ser los vectores !u y !v directores del plano pi.

pg. 15


p

Aur

vr

Xulr

vm r

AXuuur

Figura 14: Ecuacin vectorial de un plano.

p

Aur

vr

Xulr

vm r

AXuuur

O

ir j

r

kr

OAuuur

OBuuur

Figura 15: Ecuacin vectorial del plano con vectores de posicin.

que es la llamada ecuacin vectorial del plano pi (ver figura 14).Haciendo intervenir los vectores de posicin

!OA y

!OX, la ecuacin 7

se reescribe as (ver figura 15):

!OX =

!OA+ !u + !v (8)

Se puede reescribir la ecuacin 8 haciendo explcitas las componentes:

(x, y, z) = (xA, yA, zA) + ux, uy, uz

+

vx, vy, vz

=

xA + ux + vx, yA + uy + vy, zA + uz + vz

pg. 16


para obtener las ecuaciones paramtricas del plano pi:8


p

A

XAXuuur

nr

Figura 16: El vector !n y el punto A determinan al plano pi.

resulta que se puede escribir la ecuacin del plano pi en la forma:!u !v !AX = 0Ello indica que el plano pi queda tambin perfectamente definido8 si seconoce uno de sus puntos A y un vector !n = !u !v perpendicular a l.Un vector !n perpendicular a un plano pi suele llamarse vector normal alplano pi.

En efecto, los puntos X del plano sern tales que el vector!AX ser

perpendicular al vector !n , es decir:!n !AX = 0 (12)

que es la ecuacin del plano que pasa por el punto A y tiene a !n comovector normal (ver figura 16).

En forma desarrollada, la ecuacin del plano que pasa por el puntoA = (xA, yA, zA) y tiene a

!n = (a, b, c) como vector normal es:a (x xA) + b (y yB) + c (z zB) = 0 (13)

Las ecuaciones 10, 11, 12 y 13 conducen, una vez que se realizan losclculos, a una ecuacin de la forma:

ax+ by+ cz = d (14)

que es la llamada ecuacin general del plano, de la que por inspeccin visualse puede extraer directamente el vector !n = (a, b, c) como vector normal.

8A diferencia de las anteriores, esta caracterizacin de un plano utiliza conceptos dela geometra eucldea, ya que en ella interviene un vector perpendicular al plano.

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Figura 17: Conjunto de vectores de rango 1.

4. Problemas afines

En esta seccin se analizan los problemas de tipo afn ms comunesque pueden plantearse con rectas y planos. Se establecer con precisin lanocin de paralelismo y se determinarn tcnicas para establecer en qucircunstancias rectas y planos tienen interseccin no vaca (se cortan).

4.1. Rango de un conjunto de vectores

Definicin 12. Se llama rango de un conjunto de vectores de V3 al m-ximo nmero de vectores linealmente dependientes que se puede encon-trar dentro de dicho conjunto.

Dado el conjunto de vectores!u 1,!u 2, ...,!u n, su rango rang!u 1,!u 2, ...,!u n

se calcula formando la matriz A =!u 1,!u 2, ...,!u n que tiene por colum-

nas las componentes de los vectores !u 1,!u 2, ...,!u n. El rango de dichamatriz, rangA, coincide con el rango del conjunto

!u 1,!u 2, ...,!u n.Al ser A una matriz de tamao (3 n), el rango de un conjunto de

vectores no puede superar a 3. Los diversos casos posible se interpretan acontinuacin:

Si rang!u 1,!u 2, ...,!u n = 1, entonces todos los vectores del con-

junto tienen la misma direccin, son paralelos (figura 17).

Si rang!u 1,!u 2, ...,!u n = 2, entonces todos los vectores del con-

junto pueden colocarse sobre un mismo plano, son coplanarios (figura18).

Si rang!u 1,!u 2, ...,!u n = 3, entonces los vectores del conjunto no

pueden colocarse sobre un mismo plano, no son coplanarios (figura19).

pg. 19




pg. 20


A

Bur

vrABuuur r

s

Figura 20: Rectas coincidentes.

A ur

r

B vr

sABuuur

Figura 21: Rectas paralelas.

4.2. Posicin relativa de dos rectas

Se consideran dos rectas r y s. De la recta r se sabe que pasa por elpunto A y tiene por vector director al vector !u . De la recta s se sabe quepasa por el punto B y tiene por vector director al vector !v .

Definicin 13. Dos rectas son paralelas9 si tienen la misma direccin, esdecir, si sus vectores directores son proporcionales.

Por lo tanto, si las rectas r y s son paralelas, se tendr:

rang!u ,!v = 1

En la discusin de todos los casos posibles interviene tambin el vector!AB, segn se indica en la siguiente tabla:

rang!u ,!v rang h!u ,!v ,!ABi Rectas r y s. . . Fig.1 1 coinciden 201 2 son paralelas 212 2 se cortan (en un punto) 222 3 se cruzan 23

9Se entiende aqu el paralelismo en un sentido amplio, incluyendose el caso de que lasdos rectas coincidan.

pg. 21


A

B

ur

vr

r

s

PABuuur

Figura 22: Rectas que se cortan en un punto P.

A

B

ur

vr

ABuuur

r

s

Figura 23: Rectas que se cruzan.

4.3. Posicin relativa de recta y plano

Se realizar la discusin utilizando tcnicas de geometra afn y degeometra eucldea. La conveniencia de uno u otro tratamiento en un prob-lema concreto depender del conjunto de datos de que dispongamos.

4.3.1. Tratamiento afn

Se considera una recta r, que pasa por el punto A y tiene por vectordirector al vector !u , y un plano pi que pasa por el punto B y tiene a !v y!w como vectores directores.Definicin 14. Una recta y un plano son paralelos10 si el vector director dela recta y los vectores directores del plano son coplanarios.

Por lo tanto, si la recta r es paralela al plano pi, se tendr:

rang!u ,!v ,!w = 2


10Se entiende aqu el paralelismo en un sentido amplio, incluyendose el caso en que larecta est contenida en el plano.

pg. 22


p

r

A

B

ABuuur

ur

vr

wr

Figura 24: Recta r contenida en el plano pi.

p

ABuuur

Bvr

wr

r

A ur

Figura 25: Recta r paralela al plano pi.

rang!u ,!v ,!w rang h!u ,!v ,!w ,!ABi Situacin: Fig.

2 2 recta r conteni-da en el plano pi

24

2 3 recta r paralelaal plano pi

25

3 3 recta r corta alplano pi en unpunto

26

4.3.2. Tratamiento eucldeo

El mismo estudio puede hacerse utilizando nociones eucldeas, a saber:el producto escalar y el vector normal al plano.

pg. 23


Bvr

wr

A

ABuuur

r

p

Figura 26: Recta r cortando a plano pi.

p

r

A

B

ABuuur

ur

nr

Figura 27: Recta r contenida en el plano pi.

Se considera una recta r que pasa por un punto A y tiene como vectordirector al vector !v , y un plano pi que pasa por el punto B y tiene porvector normal al vector !n . Resulta entonces que:

!u !n !AB !n Situacin: Fig.= 0 = 0 recta r contenida en el plano pi 27= 0 6= 0 recta r paralela al plano pi 286= 0 recta r y plano pi se cortan en un punto 29

4.4. Posicin relativa de dos planos

Se abordar el problema con tcnicas de geometra afn y de geometraeucldea. La conveniencia de uno u otro tratamiento en un problema con-creto depender del conjunto de datos de que se disponga.

pg. 24


p

ABuuur

B

rA u

r

nr

Figura 28: Recta r paralela al plano pi.

B

A

ABuuur

r

p

nr

Figura 29: Recta r cortando al plano pi en un punto.

pg. 25


A

B

ABuuur

ur

vr

wr

sr ,p d

Figura 30: Planos coincidentes.

4.4.1. Tratamiento afn

Se consideran dos planos, pi y . Del primero se conoce un punto A ydos vectores directores !u , !v . Del segundo se conoce un punto B y dosvectores directores !w , !s .Definicin 15. Dos planos son paralelos11 si los vectores directores de unopueden ponerse como combinacin lineal de los vectores directores delotro.

Por lo tanto, si el plano pi es paralelo al plano , se tendr:

rang!u ,!v !, w,!s = 2


rang!u ,!v !, w,!s rangn!u ,!v !, w,!s ,!ABo Planos pi y . . . Fig.

2 2 coincidentes 302 3 paralelos 313 se cortan 32

4.4.2. Tratamiento eucldeo

El mismo estudio puede hacerse utilizando nociones eucldeas, a saber:el producto escalar y el vector normal al un plano.

Se consideran dos planos, pi y . Del primero se conoce un punto Ay un vector normal !n . Del segundo se conoce un punto B y un vectornormal !m . Resulta entonces que:

11Se entiende aqu el paralelismo en un sentido amplio, incluyendose el caso en el queque los dos planos coincidan.

pg. 26


A

B

ABuuur

ur

vr

wr

sr

p

d

Figura 31: Planos paralelos.

A

B

ur

vr

wrsr

p

d

ABuuur

Figura 32: Planos que se cortan.

pg. 27


,p d

A

B

ABuuur

nr mr

Figura 33: Planos coincidentes.

A

B

ABuuur

p

d

nr

mr

Figura 34: Planos paralelos.

rang!n ,!m !n !AB Planos pi y . . . Fig.1 0 coincidentes 331 0 paralelos 342 se cortan 35

5. Problemas mtricos

En esta seccin se analizan los problemas de tipo eucldeo ms co-munes que pueden plantearse con rectas y planos. Se establecern mto-dos para determinar proyecciones, distancias y ngulos, y criterios paradecidir la perpendicularidad.

pg. 28


A

B

p

d

ABuuur

nr

mr

Figura 35: Planos que se cortan.

5.1. Punto y recta

Se considera un punto P y una recta r que pasa por el punto A y tienea !u como vector director.

5.1.1. Proyeccin de un punto sobre una recta

Para calcular el punto P0, proyeccin del punto P sobre la recta r, se ob-serva la figura 36, y se deducen las dos condiciones que tiene que cumplirel punto P0:

Es un punto de la recta r, luego existe algn escalar 0 que habrque determinar verificando:

!AP0 = 0

!u (15)

Tambin, por ser el punto P0 proyeccin del punto P sobre la recta r:

!P0P !u = 0 (16)

pg. 29


A

P

0P

r

ur

0P Puuur

Figura 36: Proyeccin de un punto sobre una recta.

Si se multiplica escalarmente la expresin 15 por el vector!u se obtiene:!AP0 !u = 0u2 (17)

Sumando las expresiones 16 y 17 , y aplicando 1, se llega a:!AP !u = 0u2

que permite obtener el parmetro 0 en funcin de datos:

0 =

!AP !u

u2(18)

A partir de 15 y de 18 se tiene, para el punto P0:

!AP0 =

!AP !u

u2!u (19)

Haciendo intervenir en la expresin 19 los vectores de posicin, sepuede escribir la expresin que permite obtener directamente las coorde-nadas del punto P0 a partir de datos:

!OP0 =

!OA+

!AP !u

u2!u (20)

5.1.2. Simtrico de un punto respecto de una recta

En la figura 37 se observa que el punto P0, simtrico del punto P re-specto de la recta r verifica:

!PP0 = 2

!PP0 (21)

pg. 30


A

P

0P

r

ur

0PPuuur

P

PPuuur

Figura 37: Punto simtrico de uno dado respecto de una recta.

Si en la expresin 19 se introduce el punto P, se tiene:

!AP+

!PP0 =

!AP !u

u2!u

de donde:!PP0 =

!AP !u

u2!u !AP (22)

de manera que la condicin 21 se reescribe:

!PP0 = 2

!AP !u

u2!u !AP

!(23)

La expresin 23 permite calcular el punto P0 a partir de datos. Haciendointervenir en ella los vectores de posicin, se obtiene, tras algn reajustela expresin que permite obtener directamente las coordenadas del puntoP0:

!OP0 =

!OP+ 2

!AP !u

u2!u !AP

!

5.1.3. Distancia de un punto a una recta

La distancia entre un punto P y una recta r se define como la distanciaentre el punto P y el punto de la recta r que est ms cerca del punto P.Dicho punto es precisamente la proyeccin P0 del punto P sobre la recta

pg. 31


p

A

nr

P

0P

0P Auuur

0PPuuur

Figura 38: Proyeccin de un punto sobre un plano.

r12. En la figura 36 se observa que la distancia entre el punto P y la recta res:

d (P, r) =

!AP !u

u2!u !AP

(24)donde se ha utilizado la expresin 23.

5.2. Punto y plano

Se considera un punto P y un plano pi que pasa por el punto A y tienea !n como vector normal.

5.2.1. Proyeccin de un punto sobre un plano

Para calcular el punto P0, proyeccin del punto P sobre el plano pi,se observa la figura 38, y se deducen las dos condiciones que tiene quecumplir el punto P0:

Al ser el punto P0 proyeccin del punto P sobre el plano pi, el vector!PP0 ha de ser normal al plano pi, al igual que el vector

!n , por lo queambos vectores son proporcionales, y existe algn escalar 0 quehabr que determinar tal que:

!PP0 = 0

!n (25)12Se admitir aqu este hecho, abusando de la intuicin. Un tratamiento ms riguroso

exigira su demostracin, pero escapa al alcance de los contenidos del curso.

pg. 32


Al ser el punto P0 un punto del plano pi:

!P0A !n = 0 (26)

Multiplicando escalarmente la expresin 25 por el vector !n se tiene:!PP0 !n = 0n2 (27)

Sumando las expresiones 27 y 26, y haciendo uso de la relacin 1, sellega a: !

PA !n = 0n2o equivalentemente:

0 =

!PA !n

n2(28)

La expresin 28 permite obtener el escalar 0 en funcin de datos. Fi-nalmente, haciendo uso de las expresiones 25 y 28 se tiene la siguienteexpresin, que permite hallar el punto P0 en funcin de datos:

!PP0 =

!PA !n

n2!n (29)

Haciendo intervenir en la expresin 29 los vectores de posicin, setiene, tras algunos reajustes, la expresin con la que se obtienen directa-mente las coordenadas del punto P0:

!OP0 =

!OP+

!PA !n

n2!n (30)

5.2.2. Simtrico de un punto respecto de un plano

En la figura 39 se observa que el punto P0, simtrico del punto P re-specto del plano pi verifica:

!PP0 = 2

!PP0 (31)

Utilizando las expresiones 31 y 29 se tiene inmediatamente la expresinque permite calcular el punto P0 en funcin de datos:

!PP0 = 2

!PA !n

n2!n (32)

pg. 33


p

A

nrP

0P

0P Auuur

0PPuuur

P

PPuuur

Figura 39: Punto simtrico de un punto respecto de un plano.

Haciendo intervenir los vectores de posicin, y tras algn reajuste, sellega a la expresin que permite obtener directamente las coordenadas delpunto P0:

!OP0 =

!OP+ 2

!PA !n

n2!n

5.2.3. Distancia de un punto a un plano

La distancia entre un punto P y un plano pi se define como la distanciaentre el punto P y el punto del plano pi que est ms cerca del punto P.Dicho punto es precisamente la proyeccin P0 del punto P sobre el planopi13. En la figura 38 se observa que la distancia entre el punto P y la rectael plano pi es:

d (P,pi) =!PP0 (33)

Finalmente, sustituyendo en la expresin el valor que para!PP0 da la

expresin , y tras hacer algunos reajustes, se llega a:

d (P,pi) =

!PA !n n

(34)

13Se admitir aqu este hecho, abusando de la intuicin. Un tratamiento ms rigurosoexigira su demostracin, pero escapa al alcance de los contenidos del curso.

pg. 34


p

A

rB

Figura 40: Distancia entre recta y plano.

5.3. Recta y plano

Se considera la recta r que pasa por el punto A y tiene a!u como vectordirector, y el plano pi que pasa por el punto B y tiene al vector !n comovector normal.

5.3.1. Distancia de una recta a un plano

La distancia de una recta r a un plano pi se define como la mnimadistancia que hay entre dos puntos, siendo uno de ellos de la recta y el otrodel plano. Es inmediato que si la recta r est contenida en el plano pi, o sise cortan en un punto, entonces la distancia entre ambos es d (r,pi) = 0.

Para el caso en que la recta r sea paralela al plano pi, entonces los puntosde la recta son equidistantes al plano pi, siendo entonces la distancia entrela recta r y el plano pi la distancia entre un punto A cualquiera de la rectar, y el plano pi (ver figura 40):

d (r,pi) = d (A,pi) , A 2 r (35)

5.3.2. ngulo entre recta y plano

A partir del ngulo ]!u ,!n que forman el vector director !u de la

recta r y el vector normal !n al plano pi, y analizando las figuras 41 y 42,se tiene para el ngulo ] (r,pi) entre la recta r y el plano pi:

] (r,pi) =

8 90o (36)

pg. 35


( ),r pR

( ),u nr rRnr u

r

r

p

Figura 41: ngulo entre recta y plano.

( ),r pR

( ),u nr rR

nr

urr

p

Figura 42: ngulo entre recta y plano.

pg. 36


r

s

A

B

Figura 43: Distancia entre dos rectas paralelas.

5.4. Dos rectas

Se considera la recta r que pasa por el punto A y tiene a!u como vectordirector, y la recta s que pasa por el punto B y tiene a !v como vectordirector.

5.4.1. Distancia entre dos rectas

La distancia de una recta r a otra recta s se define como la mnimadistancia que hay entre dos puntos, siendo uno de ellos de la recta r y elotro de la recta s. Por ello, si las rectas r y s son coincidentes o se cortan, ladistancia entre ellas es d (r, s) = 0.

Paralelas Como se ve en la figura 43, si las rectas r y s son paralelas,todos los puntos de la recta r son equidistantes a la recta s. Por ello:

d (r, s) = d (A, s) , A 2 r (37)

Se cruzan Para estudiar la distancia entre dos rectas que se cruzan medi-ante tcnicas asequibles, conviene considerar el paraleleppedo construidode modo que los vectores

!AB, !u y !v se hagan coincidir con sus aristas,

tal y como se muestra en la figura 44. Es sabido que el volumen de dichoparaleleppedo es:

Vparaleleppedo =h!AB,!u ,!v i (38)

pg. 37


A

B

ABuuur

ur

vr

r

s

h

Figura 44: Distancia entre dos rectas que se cruzan.

Por otro lado, para el rea de la base se tiene:

Abase =!u !v (39)

La distancia d (r, s) entre las rectas r y s coincide con la altura h del paraleleppe-do considerado, y dicha altura est relacionada con el volumen Vparaleleppedoy con el rea Abase en la forma:

Vparaleleppedo = Abase h (40)A partir de las expresiones 38, 39 y 40, se tiene finalmente:

d (r, s) =

h!AB,!u ,!v i!u !v (41)5.4.2. ngulo entre dos rectas

El menor ngulo ] (r, s) que forman dos rectas r y s viene deter-minado por el ngulo ]

!u ,!v entre sus vectores directores !u y !v dela siguiente forma, que se ilustra en las figuras 45 y 46:

] (r, s) =

]!u ,!v si 0 ] !u ,!v 90o

180o ] !u ,!v si 90o < ] !u ,!v 180o (42)5.5. Dos planos

Se considera el plano pi que pasa por el punto A y tiene como vectornormal al vector !n , y el plano que pasa por el punto B y tiene comovector normal al vector !m .

pg. 38


ur

vr

( ),r sR

r

s

Figura 45: ngulo entre dos rectas.

urvr

( ),r sR

r

s

Figura 46: ngulo entre dos rectas

pg. 39


A

B

p

d

Figura 47: Distancia entre planos paralelos.

5.5.1. Distancia entre dos planos

La distancia entre dos planos pi y se define como la mnima distan-cia que hay entre dos puntos, siendo uno de ellos del plano pi y el otrodel plano . Por ello, si los planos pi y son coincidentes o se cortan, ladistancia entre ellos es d (pi, ) = 0.

Para el caso en que el plano pi sea paralelo al plano , entonces los pun-tos del plano pi son equidistantes al plano , siendo entonces la distanciaentre el plano pi y el plano la distancia entre un punto A cualquiera delplano pi, y el plano (ver figura 47):

d (pi, ) = d (A, ) , A 2 pi (43)

5.5.2. ngulo entre dos planos

Resulta evidente que el menor ngulo] (pi, ) que forman los planospi y se obtiene a partir del ngulo ]

!n ,!m que forman sus vectoresnormales !n y !m , del siguiente modo:

] (pi, ) =

]!n ,!m si 0 ] !u ,!v 90o

180o ] !n ,!m si 90o < ] !u ,!v 180o (44)

pg. 40

Encabezamiento

Cuerpo

Pie de pgina

NotasMarginales

i8 -

i7

?

6

i1 -

-i3 i10--i9

6

?

i11

i2?

6

6

?

i46

?

i56

?

i6

1 una pulgada + \hoffset 2 una pulgada + \voffset3 \oddsidemargin = 31pt 4 \topmargin = 20pt5 \headheight = 12pt 6 \headsep = 25pt7 \textheight = 592pt 8 \textwidth = 390pt9 \marginparsep = 10pt 10 \marginparwidth = 35pt11 \footskip = 30pt \marginparpush = 7pt (no mostradas)

\hoffset = 0pt \voffset = 0pt\paperwidth = 597pt \paperheight = 845pt

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