UNIDAD IV: GENERACIN DE VARIABLES ALEATORIAS4.1 introduccinLas variables aleatorias son aquellas que tiene un comportamiento probabilstico en la realidad. Por ejemplo, el nmero de clientes que llegan cada hora a un banco depende del momento del da, del da de la semana y de otros factores.

Conceptos bsicosLa generacin de variables aleatorias o estocsticas significa la obtencin de variables que siguen una distribucin de probabilidad determinada. Requiere de dos etapas: Generar nmeros aleatorios distribuidos uniformemente (R)Generar con R y con las distribuciones de probabilidad las variables aleatorias o estocsticas.Conceptos bsicosLa generacin de estadsticas simuladas, o sea de los valores de las variables aleatorias, tienen una naturaleza enteramente numrica y debe soportarse por nmeros aleatorios, generados por algn mtodoConceptos bsicosNMEROS ALEATORIOS Y SUS PROPIEDADESUna secuencia de nmeros aleatorios R1, R2,... debe tener dos importantes propiedades estadsticas: uniformidad e independencia.Cada nmero aleatorio Ri es una muestra independiente tomada de una distribucin continua uniforme entre cero y uno. Esto es, la funcin de densidad de probabilidad es:

Si el intervalo (0, 1) es dividido en n clases, o sub-intervalos de longitudes iguales, el nmero esperado de observaciones en cada intervalo es N/n, donde N es el nmero total de observaciones.

La probabilidad de observar un valor en un intervalo en particular es independiente de los valores previamente observados.

NMEROS ALEATORIOS Y SUS PROPIEDADESVARIABLEEntidad que puede tomar un valor cualesquiera durante la duracin de un proceso dado.Tipos de variables:Discreta ContinuaIndependiente4.3 generacin de Variables aleatorias discretasVARIABLES ALEATORIAS DISCRETASUna variable aleatoriadiscretapuede tomarvalores numricos especficos,como el resultado de lanzar un dado, o la cantidad de dlares en una cuenta bancaria elegida al azar. Las variables aleatorias discretas slo pueden tomar un nmero finito de muchos valores y se les llama variables aleatoriasfinitas. Existen diversos mtodos para generar variables aleatorias discretas:Transformada InversaDe aceptacin-rechazo, o mtodo de rechazo.De composicin.Mtodos mejorados segn la distribucin.VARIABLES ALEATORIAS DISCRETASUna variable aleatoria X es discreta, si solamente puede tomar un conjunto numerable de valores.

Ejemplos: El nmero de libros en una biblioteca, el nmero de habitantes en una poblacin, la cantidad de dinero que una persona trae en su bolsillo, el nmero de aves en un gallinero, el nmero de admisiones diarias a un hospital, el nmero de accidentes automovilsticos en una carretera durante un ao, etc.VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS3.3 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUASEs aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido entre dos valores cualesquiera; sta puede asumir infinito nmero de valores y stos se pueden medir.

3.4 Mtodos para generar variables aleatoriasExisten varios mtodos para generar variables aleatorias siendo los ms importantes: transformada inversa, convolucin y aceptacin-rechazo. Mediante estos mtodos es posible generar variables aleatorias discretas (binomial, poisson, etc.) y continuas (uniforme, exponencial, normal, etc.).

MTODO ACEPTACIN-RECHAZO El mtodo de aceptacin y rechazo no es un mtodo directo y puede ser til cuando alguno de los mtodos directos no es eficiente debido a que no sea posible conocer la funcin de distribucin como es el caso de la distribucin normal.

MTODO DE ACEPTACIN-RECHAZOConsiste en generar un valor de la variable aleatoria e inmediatamente probar que dicho valor simulado proviene de la distribucin de probabilidad que se est analizando.

MTODO DE ACEPTACIN-RECHAZOPASOS:Generar dos nmeros uniformes U(0,1) llamados U1 y U2.Determinar el valor de la variable aleatoria X de acuerdo a la siguiente relacin lineal de U1:Evaluar la funcin de probabilidad en X = a+(b-a)U1.Determinar si la siguiente desigualdad se cumple:Se utiliza a X = a+(b-a)U1 si la respuesta es afirmativa como un valor simulado de la variable aleatoria. De lo contrario, es necesario regresar nuevamente al paso 1 tantas veces como sea necesario.

3.4.1 Mtodo de la transformada inversa.

El mtodo consiste en:Definir la funcin de Densidad f(x) que representa la variable a modelar.Calcular la funcin acumulada f(x).Despejar la variable aleatoria x y obtener la funcin acumulada inversa f(x)-1.Generar las variables aleatorias x, sustituyendo valores con nmeros pdeudoaleatorios ri~U (0,1) en la funcin acumulada inversa.

EJEMPLO: 3.4.2 MTODO DE CONVOLUCIN

El mtodo de convolucin asume que existen Y1, Y2,, Ym variables aleatorias, tal que la suma de todas ellas tiene la misma distribucin que X, entonces se calcula:

Genere Y1, Y2, , Ym variables aleatorias IID cada una con funcin de distribucin G.2. Aplique X = Y1 + Y2 + Ym.

3.4.2 MTODO DE CONVOLUCINLa distribucin de probabilidad de la suma de dos o ms variables aleatorias independientes es llamada la convolucin de las distribuciones de las variables originales. El mtodo de convolucin es entonces la suma de dos o ms variables aleatorias para obtener una variable aleatoria con la distribucin de probabilidad deseada. Puede ser usada para obtener variables con distribuciones Erlang y binomiales.

Ejemplos de esta tcnica:La suma de un gran nmero de variables de determinada distribucin tiene una distribucin normal. Este hecho es usado para generar variables normales a partir de la suma de nmerosU(0,1) adecuados.Una variable Pascal es la suma demgeomtricas.La suma de dos uniformes tiene una densidad triangular.

EJEMPLOS DE ESTA TCNICA:Una variable Erlang-kes la suma dekexponenciales.Una variable Binomial de parmetrosnypes la suma den variable Bernoulli con probabilidad de xitop.La chi-cuadrado convgrados de libertad es la suma de cuadrados devnormalesN(0,1).

3.4.3 MTODO DE COMPOSICIN.

Mediante este mtodo la distribucin de probabilidad F(x) se expresa como una mezcla de varias distribuciones de probabilidad F(x) seleccionadas adecuadamente.El procedimiento para la seleccin de las F(x) se basa en el objetivo se minimizar el tiempo de computacin requerido para la generacin de valores de la variable aleatoria analizada.

PASOS:

1. Dividir la distribucin de probabilidad original en sub-reas, tal como se muestra en la figura2. Definir la distribucin de probabilidad para cada sub-rea.

PASOS:

3.- Expresar la distribucin de probabilidad original en la forma siguiente:F(x)=A1F1(x) + A2F2(x) + AnFn(x) y Ai= 1

4.- Obtener la distribucin acumulada de las reas:PASOS:5. Generar dos nmeros uniformes R1, R26. Seleccionar la distribucin de probabilidad F(x) con la cual se va simular el valor de x. La seleccin de esta distribucin se obtiene al aplicar el mtodo de la transformada inversa, en la cuel el eje Y est representado por la distribucin acumulada de las areas, y el eje X por las distribuciones F(x). Para esta seleccin se utiliza el numero uniforme R1.

7. Utilizar el numero uniforme R2para simular por el mtodo de la transformada inversa o algn otro procedimiento especial, nmeros al azar que sigan la distribucin de probabilidad F(x) seleccionada en el paso anterior.

3.5PROCEDIMIENTOS ESPECIALES

Existen algunas distribuciones como la distribucion erlang, la distribucion normal, etc., cuya simulacion a travs del metodo de la transformada inversa sera demasiado compliacado. Para estas y algunas otras distribuciones, es posible utilizar algunas de sus propiedades para facilicitar y agilizar el proceso de generacin de numeros al azar. LEY DE POISSON Muchas variables aleatorias discretas corresponden a conteos de objetos con una caracterstica, relativamente rara, dentro de un conjunto grande de objetos: tomos de un istopo, molculas de un elemento qumico, bacterias, virus, individuos que poseen un gen especial... Con frecuencia se emplea una ley de Poisson como modelo para estos conteos. Una variable aleatorio sigue una ley de Poisson de parmetro si ella toma sus valores en y si para todo :

LEY BINOMIALEs unadistribucin de probabilidaddiscreta que mide el nmero de xitos en una secuencia denensayos deBernoulliindependientes entre s, con una probabilidad fijapde ocurrencia del xito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotmico, esto es, slo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina xito y tiene una probabilidad de ocurrenciapy al otro, fracaso, con una probabilidadq= 1 -p. Ley binomialEn la distribucin binomial el anterior experimento se repitenveces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado nmero de xitos. Paran= 1, la binomial se convierte, de hecho, en unadistribucin de Bernoulli.

3.6 PRUEBAS ESTADSTICA. (PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE)

En la construccin del modelo de simulacin es importante decidir si un conjunto de datos se ajusta apropiadamente a una distribucin especfica de probabilidad. Al probar labondad del ajustede un conjunto de datos, se comparan las frecuencias observadasFOrealmente en cada categora o intervalo de clase con las frecuencias esperadas tericamenteFE.

ESTADSTICA NO PARAMTRICAEs una rama de la estadstica las pruebas y modelos estadsticos cuya distribucin subyacente no se ajuste a los llamados criterios paramtricos. Las pruebas paramtricas no asumen ningn parmetro de distribucin de las variables mustrales. Las pruebas paramtricas asumen los parmetros de las variable (media y varianza) y un tipo de distribucin normal.

PRUEBA FISHER

Es la prueba estadstica de eleccin cuando la prueba de Chi-cuadrada no puede ser empleada por tamao muestral insufiente.

PRUEBA DE CHI-CUADRADA

Se basa en la hiptesis nula (Ho) de que no hay diferencias significativas entre la distribucinmuestral y la teora. Mientras que la hiptesis alternativa (H1), siempre se enuncia como que los datos no siguen la distribucin supuesta.

ESTADSTICO DE PRUEBA

Esta definido como la sumatoria de los residuos expresados en trminos de las frecuencias esperadas para cada una de las clases.Interpretacin. Cuanto mayor sea el valor de , menos verosmil es que la hiptesis Ho sea correcto.

Si= 0. La frecuencia terica y observada concuerda exactamente.Si> 0. Mientras mayor es la diferencia mayor es la discrepancia.En la practica: si Ho = 0 no existe diferencia significativa es la distribucin de la frecuencia observada y la distribucin terica especficamente los mismos parmetros.