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Incidencia del modelo epistemolgico de las matemticas sobre las prcticas docentes1

Josep Gascn2

[Trabajo en proceso de revisin por la revista RELIME]

RESUMEN En este trabajo pretendemos poner de manifiesto hasta qu punto el modelo epistemolgico de las matemticas, implcito pero dominante en una institucin escolar, puede influir sobre las caractersticas del modelo docente, esto es, sobre la manera sistemtica y compartida de organizar y gestionar el proceso de enseanza de las matemticas en dicha institucin. Se postula que la prctica profesional del profesor de matemticas en el aula slo se podr cambiar de una manera persistente si, correlativamente, se modifica el modelo epistemolgico ingenuo que, como dice Brousseau (1987), est en la base de los modelos docentes habituales.

ABSTRACT In this work we pretend to show up to which point the mathematical epistemologic model, implicit though dominant in scholar institution, has an influence on the docent model characteristics. That is, on the systematic and shared manner of organizing and managing of mathematics teaching process in such institution. The article sets demands for the need of a change in the ingenious epistemologic model, as said by Brousseau (1987), which are at the root of usual docent models, to achieve a persistent change in mathematics professors professional practise in the classroom. RSUM Dans ce travail, nous prtendons mettre en vidence jusqu quel point le modle pistmologique des mathmatiques, implicite mais dominant dans une certaine institution scolaire, peut influer sur les caractristiques du modle enseignant, cest--dire sur la manire systmatique et partage dorganiser et grer les processus denseignement des mathmatiques dans cette institution. Nous postulons que la pratique professionnelle de lenseignant de mathmatiques dans la classe ne peut tre change dune manire durable que si, corrlativement, on change le modle pistmologique naf qui est, comme le dit Brousseau (1987), la base des modles enseignants habituels. RESUMO Neste trabalho, pretendemos mostrar at que ponto o modelo epistemolgico das matemticas, implcito apesar de dominante numa dada instituio escolar, pode influenciar as caractersticas do modelo docente, isto , a maneira sistemtica e partilhada de organizar e de gerir o processo de ensino da matemtica nessa instituio. Postulamos assim que a prtica professional do professor de matemtica na aula s se poder mudar duma maneira duradoira se se modificar, em correlao, o modelo epistemolgico ingnuo que, como diz Brousseau (1987) est na base dos modelos docentes habituais.

1 Las primeras descripciones de los modelos docentes (llamados inicialmente paradigmas) fueron publicadas en Gascn (1992 y 1994). Su dependencia respecto del modelo epistemolgico dominante en la institucin escolar fue presentada por primera vez en el marco del Seminario de Didctica de las Matemticas Anlisi didctica de l'activitat matemtica: confluncia entre el problema epistemolgic i el problema didctic correspondiente al curso acadmico 1993/1994. Dicho Seminario formaba parte del Programa de Doctorado de Matemticas de la Universitat Autnoma de Barcelona. 2 Departamento de Matemticas, Universitat Autnoma de Barcelona, Edificio C, 08193 Bellaterra (Barcelona) Spain; Fax: 34 93 581 27 90; E-Mail: gascon@mat.uab.es

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Incidencia del modelo epistemolgico de las matemticas

sobre las prcticas docentes Para empezar a describir y explicar la prctica profesional del profesor de matemticas en el aula, podemos situarnos en diferentes perspectivas tericas3. Por nuestra parte abordaremos esta problemtica desde la perspectiva que proporciona el Programa Epistemlogico de Investigacin en didctica de las matemticas4 y, ms en concreto, desde la Teora Antropolgica de lo Didctico (TAD)5. Aceptamos de antemano que nuestra perspectiva, como cualquier otra perspectiva particular, ser forzosamente sesgada y nos permitir describir y explicar nicamente determinados aspectos de la prctica profesional del profesor, en detrimento de otros. Al situarnos en el Programa Epistemolgico necesitamos proponer modelos epistemolgicos explcitos de los diferentes mbitos de la actividad matemtica que permitan construir los fenmenos y los problemas didcticos y, adems, sirvan para dar cuenta de los aspectos cognitivo e instruccional. Esto significa que para cada proceso de estudio particular, relativo a una organizacin matemtica OM concreta, que se desarrolla en el seno de una institucin I determinada, la descripcin de la prctica profesional del profesor de matemticas debera hacerse partiendo del modelo epistemolgico especfico de OM, dominante en I. Hemos de reconocer que estamos lejos de poder describir con tanto detalle la prctica docente del profesor de matemticas en el aula6; ste es un objetivo muy ambicioso al que no podemos aspirar todava debido, entre otras razones, al insuficiente desarrollo de la TAD y, en particular, al carcter todava excesivamente descriptivo de la teora de los momentos didcticos (Chevallard, Bosch y Gascn, 1997). En este trabajo, forzosamente preliminar y mucho ms humilde, queremos nicamente empezar a estudiar cmo se corresponden muchas decisiones y actuaciones docentes, y hasta ciertos modelos docentes relativamente estructurados, con los modelos epistemolgicos generales que han existido a lo largo de la historia de las matemticas y que, en cierta forma, perviven entremezclados en las diferentes instituciones didcticas. Para ello distinguiremos, en primera instancia, entre dos grandes grupos de teoras epistemolgicas generales o patrones de la organizacin matemtica considerada como un todo: teoras eucldeas y teoras cuasi-empricas, segn la caracterizacin realizada por Lakatos (1978a). Para completar este esquema aadiremos un tercer grupo de teoras epistemolgicas, las teoras constructivistas. Siguiendo este criterio, propondremos una reconstruccin racional (Lakatos, 1971) de la evolucin del problema epistemolgico y, paralelamente, describiremos los rasgos fundamentales de algunos modelos docentes asociados a cada uno de los modelos epistemolgicos que irn apareciendo. Obtendremos de esta forma, al lado de la evolucin del problema epistemolgico, una descripcin paralela de la evolucin racional del problema docente. En la ltima parte de este trabajo mostraremos la necesidad de proponer nuevos modelos epistemolgicos de las matemticas capaces de servir de referencia a modelos docentes menos reduccionistas.

3 As, por ejemplo, Llinares (1999, p. 109) propone buscar una complementariedad entre puntos de vista cognitivos sobre el conocimiento del profesor y puntos de vista socioculturales relativos a la prctica del profesor como una manera de dar cuenta de ciertos aspectos de lo que sucede en las aulas de matemticas. 4 Asumimos la reconstruccin de la evolucin de la didctica de las matemticas que contempla dos Programas de Investigacin (Lakatos, 1978b): el Cognitivo y el Epistemolgico (Gascn, 1998 y 1999a). 5 En Chevallard (1997 y 1999); Chevallard, Bosch y Gascn (1997); Gascn (1998 y 1999a) y Bosch y Chevallard (1999), se presentan los ltimos desarrollos de la TAD. 6 El trabajo que estamos desarrollando sobre el lgebra escolar podra ser considerado como una aportacin en esta direccin (Bolea, Bosch y Gascn, 1998).

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1. El euclidianismo como modelo general del saber matemtico

Segn Lakatos, en epistemologa de las matemticas la controversia entre dogmticos y escpticos se plantea en trminos de la posibilidad o imposibilidad de establecer de modo conclusivo el significado y la verdad. Esta controversia tiene profundas races filosficas y es, en realidad, un captulo especial del gran esfuerzo racionalista por superar el escepticismo y demostrar la posibilidad de conocer. Los argumentos escpticos son muy potentes: si intentamos fijar el significado de un trmino definindolo por medio de otros trminos nos vemos abocados a un regreso infinito. Si intentamos resolver esta dificultad utilizando trminos (primitivos) perfectamente bien conocidos entonces el abismo del regreso infinito se abre de nuevo porque son perfectamente bien conocidos los trminos que constituyen la expresin trminos perfectamente bien conocidos? Siendo este argumento aparentemente irrefutable, no es el nico que esgrimen los escpticos. An aceptando la posibilidad de tener conceptos exactos, cmo podemos probar que una proposicin es verdadera? cmo evitar el regreso infinito en las pruebas? La posicin escptica parece demostrar de modo concluyente que el significado y la verdad de una proposicin slo pueden transferirse no establecerse y, por lo tanto, no podemos conocer. As pues el problema epistemolgico se plantea inicialmente en estos trminos: Cmo detener el regreso infinito en las definiciones y en las pruebas y llevar a cabo una justificacin lgica de las teoras matemticas? Esta formulacin del problema la simbolizaremos mediante las siglas PE1 porque la consideraremos como el punto de partida de la reconstruccin racional que, siguiendo a Lakatos, expondremos a continuacin. La respuesta a esta pregunta es el objetivo de lo que habitualmente se denomina fundamentos de las matemticas.

PE1 (Euclidianismo): Cmo detener el regreso infinito y llevar a cabo una justificacin lgica de las teoras matemticas?

El Programa Eucldeo fue la primera gran empresa racionalista que intent a lo largo de ms de dos mil aos detener ese doble regreso infinito y dar una base firme al conocimiento. Para ello el Programa Eucldeo propone que todo conocimiento matemtico puede deducirse de un conjunto finito de proposiciones trivialmente verdaderas (axiomas) que constan de trminos perfectamente conocidos (trminos primitivos). La verdad de los axiomas fluye entonces desde los axiomas hasta los teoremas por los canales deductivos de transmisin de verdad (pruebas). Se trata en resumen de un Programa de Trivializacin del Conocimiento Matemtico; pretende detener los dos descensos infinitos de la duda escptica mediante el significado y el valor de verdad ubicados en los axiomas e iluminados por la luz natural de la razn en forma de intuicin aritmtica, geomtrica o lgica (Lakatos, 1978a). Pero la crtica escptica es persistente e incansable: Son perfectamente conocidos los trminos primitivos? Son realmente verdaderos los axiomas? Son nuestros canales deductivos absolutamente seguros? La historia del euclideanismo es la historia de las sucesivas batallas defensivas para proteger el ncleo firme del programa: el descubrimiento de los irracionales hizo que los griegos abandonaran la presunta certeza absoluta de la intuicin aritmtica y la cambiaran por la intuicin geomtrica; para ello elaboraron la teora de las proporciones. El siglo XIX, con la clarificacin del concepto de nmero irracional se restableci la intuicin aritmtica como intuicin fundamental absolutamente segura. Sucesivamente diferentes tipos de intuiciones se disputaron este papel: la intuicin conjuntista de Cantor, la intuicin lgica de Russell, la intuicin global de Hilbert y la intuicin constructivista de Brouwer.

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Desde el punto de vista de Lakatos (1978a) los tres modelos clsicos de la epistemologa de las matemticas: el logicismo de Russell (1903 y 1919), el formalismo de Hilbert (1923) y el intuicionismo de Brower (1952)7 pueden ser considerados como diferentes teoras eucldeas del saber matemtico; las tres pretenden detener el regreso infinito mediante diferentes formas de trivializacin del conocimiento matemtico: el logicismo pretende la trivializacin lgica de las matemticas, el formalismo pretende construir una meta-teora trivial y el intuicionismo, por fin, pretende recortar el conocimiento matemtico hasta alcanzar su mdula trivialmente segura. Pero la pretendida trivializacin lgica de las matemticas degener en un sistema sofisticado que inclua axiomas no trivialmente verdaderos como el de infinitud y el de eleccin, as como la teora ramificada de los tipos lgicos que lejos de ser trivial es un verdadero laberinto conceptual. Adems, trminos primitivos como clase y relacin de pertenencia resultaron ser oscuros y ambiguos, muy lejos de ser perfectamente conocidos. Incluso se hizo necesaria una prueba de consistencia para asegurar que los axiomas trivialmente verdaderos no se contradijesen entre s, en flagrante contradiccin con el espritu del Programa Eucldeo. El fracaso de la trivializacin lgica del conocimiento nos lleva, pues, al formalismo. La teora de Hilbert se basaba en la idea de una axiomtica formal en el sentido de un sistema formal consistente (no contradictorio), en el que todas las verdades aritmticas puedan ser deducidas formalmente y tal que exista una meta-teora (perteneciente a una nueva rama de la matemtica: la meta-matemtica) capaz de probar la consistencia y completitud de los sistemas formales. La meta-matemtica debera estar constituida por teoras con axiomas trivialmente verdaderos, trminos perfectamente bien conocidos e inferencias trivialmente seguras. Segn Hilbert, la verdad aritmtica -y debido a la aritmetizacin de la matemtica, todo tipo de verdades matemticas- descansara as sobre una firme intuicin global y, en consecuencia, sobre la verdad absoluta. Los trabajos de Gdel (1931) significaron el derrumbe del programa hilbertiano de trivializacin en el meta-nivel. De hecho si nos negamos a extender la intuicin infinitamente, hemos de admitir que la meta-matemtica no detiene el regreso infinito en las pruebas puesto que ste reaparece ahora en una jerarqua infinita de meta-meta-meta-...-teoras cada vez ms ricas y complejas (menos triviales). En un intento desesperado por detener el regreso infinito, Kleene (1952) se ve obligado a considerar que la prueba ltima de si un mtodo es admisible en meta-matemtica es que sea intuitivamente convincente, pero entonces argumenta Lakatos- porqu no detenerse en un paso anterior y decir que para que un mtodo sea admisible en aritmtica ha de ser intuitivamente convincente? Podramos evitar as la meta-matemtica. De hecho sta es una contradiccin en la que caen los tres modelos del euclideanismo, no slo el formalista: aunque los tres tienen su origen en la crtica de la intuicin ingenua, nos piden que aceptemos su intuicin como prueba ltima y definitiva, cayendo de esta forma en el mismo subjetivismo que empezaron atacando. Significa esto que los escpticos han ganado la batalla y han demostrado la imposibilidad del conocimiento matemtico? No ser que el problema epistemolgico est mal planteado? Porqu tenemos que aceptar el dilema euclidiano: o trivialidad y certeza o imposibilidad del conocimiento matemtico? Quiz esta necesidad de trivialidad y de certeza deba ser considerada como una enfermedad infantil del conocimiento y no como su caracterstica definitoria. Porqu empearse en pruebas ltimas y definitivas? Porqu no admitir honestamente la falibilidad matemtica e intentar defender la dignidad del conocimiento falible contra el escepticismo? (Lakatos 1978a, p.41). 7 Para una introduccin al intuicionismo, ver Heyting (1956).

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2. Trivializacin del proceso de enseanza de las matemticas

Antes de contestar estas preguntas, detengmonos un momento en la narracin de la evolucin racional del problema epistemolgico para analizar las consecuencias del euclideanismo sobre algunas formas de interpretar el saber matemtico dentro del sistema de enseanza y sobre los modelos docentes que crecen y se desarrollan a la luz de los correspondientes modelos epistemolgicos implcitos. Cambiamos por tanto de escenario y nos sumergimos de lleno en el mbito tradicionalmente reservado a la didctica de las matemticas: el sistema de enseanza de las matemticas. Hemos visto que una de las caractersticas principales de los modelos epistemolgicos euclidianos consiste en que pretenden trivializar el conocimiento matemtico. Veremos que cuando esta manera de interpretar el saber matemtico penetra en el Sistema de Enseanza de las Matemticas puede dar origen a dos tipos de modelos docentes (o formas sistemticas y compartidas de gestionar la enseanza y el aprendizaje de las matemticas) aparentemente muy diferentes entre s, pero que tienen en comn la trivializacin del proceso de enseanza. Se trata del teoricismo y del tecnicismo que son dos formas de materializar los que podramos denominar modelos docentes clsicos, muy simplistas y fuertemente arraigados en la cultura comn, segn los cuales el proceso de enseanza es un proceso mecnico y trivial, totalmente controlable por el profesor. 2.1. Ensear matemticas es mostrar teoras cristalizadas: el teoricismo

Denominaremos modelos docentes teoricistas o, simplemente teoricismo, a los que estn basados en una concepcin del saber matemtico que pone el acento en los conocimientos acabados y cristalizados en teoras, al tiempo que se pone entre parntesis la actividad matemtica y slo toma en consideracin el fruto final de esta actividad. Se trata de modelos docentes que se basan en uno de los principales rasgos del Euclideanismo, el que pretende reducir todo conocimiento matemtico a lo que puede deducirse de un conjunto finito de proposiciones trivialmente verdaderas (axiomas) y que pueden enunciarse utilizando nicamente trminos perfectamente conocidos (trminos primitivos). Cuando en un sistema de enseanza predomina el teoricismo se da una gran preeminencia al momento en el que los alumnos se encuentran por primera vez con los objetos matemticos que le presenta el profesor. Se produce una fuerte concentracin de los esfuerzos didcticos en ese momento del proceso de enseanza -que llamamos momento del primer encuentro (Chevallard, Bosch y Gascn, 1997)- y que tradicionalmente se ha identificado con el momento en que el profesor presenta a los alumnos un cuerpo de conocimientos cristalizados en una teora ms o menos acabada. La razn es sencilla: para el teoricismo que identifica ensear y aprender matemticas con ensear y aprender teoras acabadas, el proceso didctico empieza, y prcticamente acaba, en el momento en que el profesor ensea (en el sentido de muestra) estas teoras a los alumnos (Gascn, 1994). Tenemos, en resumen, el siguiente silogismo trivializador: dado que las teoras matemticas son triviales (en el sentido de que se deducen por canales deductivos a partir de un conjunto de axiomas trivialmente verdaderos en los que slo figuran trminos perfectamente conocidos) y dado que ensear matemticas es mostrar estas teoras, resulta que la enseanza-aprendizaje de las matemticas debera ser, tambin, un proceso trivial. Esta conclusin choca frontalmente con todos los datos empricos disponibles y es especialmente paradjica precisamente en las instituciones en las que predomina el teoricismo. En estas instituciones es muy difcil dar razn de las enormes

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dificultades que tienen los estudiantes para utilizar adecuadamente un teorema, aplicar una tcnica matemtica o comprobar si un objeto matemtico cumple o no cumple las clusulas de una definicin. En cuanto a la resolucin de problemas, hay que decir que en el teoricismo es considerada como una actividad secundaria dentro del proceso didctico global y, en todo caso, como auxiliar en el aprendizaje de las teoras. Una caracterstica importante del teoricismo radica en el supuesto implcito de que los problemas son relativamente ajenos a las teoras matemticas o, en todo caso, no juegan ningn papel importante en su constitucin ni en su estructura. Los problemas se pueden utilizar para aplicar, ejemplificar o consolidar los conceptos tericos e, incluso, para motivarlos, introducirlos o justificarlos pero, en cualquier caso, estas funciones de los problemas son consideradas como meramente pedaggicas en el sentido negativo de no constitutivas del conocimiento matemtico propiamente dicho. En los casos extremos puede llegarse a concebir la ejercitacin en la resolucin de problemas como una concesin hecha con la nica finalidad de que el alumno adquiera un cuerpo de conocimientos que forman una teora predeterminada de antemano. En coherencia con todo ello, es claro que el proceso de constitucin de esta teora no slo no se cuestiona, sino que puede ignorarse completamente. En particular, el teoricismo ignora las tareas dirigidas a elaborar estrategias de resolucin de problemas complejos y, por tanto, cuando aparece un problema que no puede resolverse mediante la aplicacin inmediata de un teorema, entonces el teoricismo trivializa los problemas mediante la descomposicin en ejercicios rutinarios lo que comporta, no slo la eliminacin de la dificultad principal del problema sino, incluso, la desaparicin del propio problema (Gascn,1989, p. 3 y ss.). Esta manera de trivializar la actividad de resolucin de problemas, propia del teoricismo, proviene del dogma epistemolgico euclidiano segn el cual tanto los problemas (o ejercicios) que se utilizan como los conocimientos que el alumno ha de emplear, estn absolutamente determinados a priori por la teora a la que sirven. Se supone que en dicha teora estn contenidos esencialmente todos los conocimientos que el estudiante necesita. En el teoricismo se considera que, a lo sumo, resta la dificultad de elegir cul es el teorema adecuado o la definicin pertinente en cada caso, pero una vez se ha dado con ellos la actividad matemtica que se ha de realizar es prcticamente nula. La caracterstica esencial del teoricismo la situaremos, por tanto, en que ignora absolutamente los procesos de la actividad matemtica como tal y, en consecuencia, no concede ninguna importancia -epistemolgica ni didctica- a la gnesis y el desarrollo de los conocimientos matemticos. En la medida en que el teoricismo predomina en una institucin, se originan fenmenos que no pueden ser explicados desde dentro del sistema y entre los que hay que destacar, como ya hemos dicho, aquellos que estn relacionados con el presunto carcter trivial del conocimiento matemtico y de su aprendizaje8. Se ha dado el caso de profesores que por coherencia teoricista han sentido la necesidad de llegar a trivializar efectivamente la matemtica enseada. Esta coherencia les ha empujado, por ejemplo, a explicitar el teorema de la funcin inversa mediante una farragosa sucesin de smbolos lgicos que, adems de ocupar una extensin desmesurada, result mucho menos trivial que las versiones usuales.

8 Postulamos que este prejuicio, caracterstico del euclideanismo, que contra toda evidencia presupone que el proceso de enseanza de las matemticas es un proceso mecnico y trivial completamente controlable por el profesor, dificulta que la comunidad matemtica nuclear (constituida por los productores del conocimiento matemtico) pueda tomar seriamente en consideracin los problemas didctico-matemticos como problemas cientficos no triviales.

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2.2. Entrenar en el uso de algoritmos: el tecnicismo

Dado que el teoricismo identifica aplicar una tcnica matemtica con realizar una actividad absolutamente predeterminada por la teora, resulta que en las instituciones en las que impera este modelo docente es muy difcil imaginar la posibilidad de que una tcnica se desarrolle en manos del alumno, a espaldas de la teora. As se tiende a menospreciar el dominio ms o menos robusto que pueda tener el estudiante de las tcnicas matemticas, ignorndose las posibles funciones de esta robustez en el proceso de aprendizaje. Este punto de vista puede provocar una catstrofe didctica que es especialmente visible cuando afecta a los niveles ms elementales de la enseanza de las matemticas. En la enseanza primaria, en efecto, el menosprecio del dominio de las tcnicas puede provocar un vaco del contenido de la enseanza hasta el punto de que al final del proceso didctico los alumnos no puedan mostrar ningn aprendizaje efectivo, ni siquiera el dominio de las operaciones aritmticas. En este punto parece natural el grito defensivo de volver a lo bsico! para no perderlo todo. Surgen as modelos docentes que enfatizan los aspectos ms rudimentarios del momento del trabajo de la tcnica (Chevallard, Bosch y Gascn, 1997). Los denominaremos modelos docentes tecnicistas o, ms brevemente, tecnicismo. Las tendencias tecnicistas aumentan despus de pocas fuertemente teoricistas (como la que marc el apogeo de la matemtica moderna en los aos sesenta y setenta) y, en general, en periodos de fuerte contestacin social al aumento del fracaso escolar en matemticas (por ejemplo en pocas de extensin brusca de un cierto tramo de la enseanza obligatoria). Hay que contemplar dichas tendencias y el hecho de que muchos profesores se vean abocados al tecnicismo como lo que son, como un fenmeno didctico esencialmente independiente de la voluntad y de la formacin de los profesores. Como dice Brousseau, cuando 200.000 profesores se comportan de una misma manera que puede ser considerada desde cierto punto de vista como simplista, no parece pertinente intentar explicar lo que pasa diciendo que hay 200.000 tontos; es ms prudente cientficamente postular la existencia de un fenmeno, que no depende de las caractersticas personales de los profesores, y que hemos de intentar explicar. La defensa que hace el tecnicismo del dominio de las tcnicas es ingenua y est poco fundamentada; de hecho, el tecnicismo corre el peligro de caer en una apologa del dominio de las tcnicas -especialmente de las algortmicas que son las ms visibles- hasta el punto de tomarlas como objetivo ltimo del proceso didctico. Este extremismo tecnicista conduce directamente a un operacionismo estril (Gascn, 1994). El modelo docente tecnicista identifica implcitamente ensear y aprender matemticas con ensear y aprender tcnicas (algortmicas) por lo que constituye otra forma extrema de trivializar el proceso de enseanza de las matemticas. Dado el nfasis tan exclusivo que pone en las tcnicas simples, el tecnicismo tiende a olvidar los autnticos problemas que son aquellos cuya dificultad principal consiste en escoger las tcnicas adecuadas para construir una estrategia de resolucin. En este sentido puede decirse que el tecnicismo comparte con el teoricismo la trivializacin de la actividad de resolucin de problemas. El tecnicismo parte de ciertas tcnicas algortmicas y plantea solamente aquellos ejercicios que sirven como entrenamiento para llegar a dominarlas; de esta forma excluye de su repertorio de tcnicas las estrategias de resolucin complejas y no algortmicas. La trivializacin de los problemas no proviene aqu de una descomposicin abusiva del proceso de resolucin ni de adjudicar a la actividad de resolucin de problemas un papel auxiliar sino, simplemente, de una fijacin tan fuerte en las tcnicas elementales que impide tomar en consideracin problemas matemticos no rutinarios.

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Los modelos docentes teoricistas y tecnicistas comparten una concepcin psicologista ingenua del proceso didctico que tiene en el conductismo su referente ms claro. En ambos casos se concibe el proceso de enseanza como un proceso mecnico y trivial totalmente controlable por el profesor: el teoricismo tiende a concebir al alumno como una caja vaca que debe llenarse a lo largo de un proceso gradual que parte de los conceptos lgicamente ms simples hasta llegar, paso a paso, a los sistemas conceptuales ms complejos; el tecnicismo, por su parte, considera al alumno como un autmata que mejora el dominio de las tcnicas mediante la simple repeticin que proporciona un entrenamiento concienzudo. Por todas estas razones llamaremos clsicos a ambos modelos docentes en contraposicin a los modernistas que describiremos ms adelante y que interpretaremos como resultado de una doble influencia: por un lado como reaccin a los modelo docentes clsicos y, por otra, como consecuencia de un cambio radical en el modelo epistemolgico de las matemticas dominante en la institucin. Para acabar de caracterizar el papel que juega la actividad de resolucin de problemas en los modelos docentes clsicos, hay que decir que uno de los defectos ms graves que comparten es el de tratar los problemas matemticos como si estuviesen aislados y descontextualizados. Esto significa, por una parte, que los problemas se tratan individualmente y nunca como representantes de ciertas clases de problemas (excepto el caso trivial de las clases algortmicas del tecnicismo) y, por otra, que se tiende a presentar los problemas separados de su contexto, sin ninguna conexin con el sistema (matemtico o extramatemtico) a partir del cual surgen en el seno de una actividad matemtica (excepto la contextualizacin trivial que se da en el teoricismo cuando se utiliza un ejercicio para introducir o para aplicar un concepto). El aislamiento y la descontextualizacin de los problemas sern analizados con ms detalle en lo que sigue. 3. Modelos epistemolgicos cuasi-empricos

El fracaso del Programa Eucldeo llev a la conviccin progresiva de que tanto el origen como el mtodo de la matemtica e incluso su propia justificacin ha de provenir, como en el caso de las otras ciencias, de la experiencia, aunque sin tomar esta nocin en el sentido empirista ms elemental, sino ms bien en un sentido ms sofisticado de experiencia matemtica (en este sentido pueden darse referencias de Russell y Quine, entre otros). Se constat, en efecto, que la matemtica considerada globalmente, al igual que las dems ciencias, estaba organizada en sistemas deductivos no euclideanos puesto que en los sistemas matemticos efectivamente construidos no se da una inyeccin de verdad indudable en los axiomas para que esta verdad fluya por los canales de las inferencias seguras e inunde todo el sistema. Por contra, cuando analizamos las teoras matemticas efectivamente construidas, nos encontramos con sistemas deductivos en los que la inyeccin crucial del valor de verdad, esto es, aquellas proposiciones matemticas que son indudablemente verdaderas y que constituyen la autntica roca firme sobre la que se construye el sistema deductivo no son los axiomas sino un conjunto especial de teoremas que Lakatos (1978a) denomina enunciados bsicos. Esto significa que lo que justifica una teora matemtica no es que los axiomas sean indudablemente verdaderos ni siquiera que sean no contradictorios entre s, sino que permita deducir efectivamente algunos resultados esenciales que queremos que sean deducibles. Para convencerse de esta afirmacin basta imaginar qu justificacin matemtica tendra una teora puramente tautolgica o una geometra lgicamente impecable que no permitiese deducir el teorema de Pitgoras.

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Este descubrimiento provoc un giro revolucionario en la epistemologa de las matemticas puesto que comport el abandono del ideal eucldeo que haba sido perseguido a lo largo de ms de dos mil aos de historia de las matemticas, y la consiguiente aceptacin de que las matemticas no constituyen una teora eucldea (en el sentido de conjunto de proposiciones que se deducen de axiomas trivialmente verdaderos y que estn formulados con trminos perfectamente conocidos). Histricamente el punto de inflexin de la epistemologa de las matemticas tuvo lugar a partir de la dcada de los setenta gracias, especialmente, a los trabajos de Imre Lakatos. Para las denominadas ciencias experimentales el cambio se produjo antes (en la dcada de los cincuenta) y consisti esencialmente en el abandono del ideal inductivista gracias a la influencia de la obra precursora de Popper (1934 y 1972) y a los historiadores de la ciencia (a la vez que epistemlogos) Kuhn (1957 y 1962), Lakatos (1971, 1976, 1978a y 1978b), Feyerabend (1970), y Toulmin (1972), entre otros9. Lakatos (1978a, pp. 47 y ss.) caracteriza las teoras cuasi-empricas, en contraposicin a las teoras eucldeas, como sigue: si llamamos enunciados bsicos a los enunciados de un sistema deductivo a los que se inyecta inicialmente valores de verdad, entonces un sistema es eucldeo si es la clausura deductiva de los enunciados bsicos que se asumen como verdaderos. En caso contrario, es un sistema cuasi-emprico. De una teora eucldea puede afirmarse que es verdadera en el sentido de que est probada por los enunciados bsicos verdaderos que son los axiomas. Por contra, de una teora cuasi-emprica puede decirse, a lo sumo, que est bien corroborada pero sin dejar nunca de ser conjetural; de hecho en una teora cuasi-emprica los enunciados bsicos verdaderos (que no son los axiomas) son simplemente explicados por el resto del sistema en el sentido de que forman un todo coherente y no contradictorio. Las teoras matemticas en periodo de desarrollo (y todas las teoras pasan por dicho periodo) son informales y es en esta etapa de teoras informales en las que se plantean los problemas ms interesantes tanto desde el punto de vista histrico como epistemolgico (se trata de los problemas que provienen de la exploracin de las regiones fronterizas de los conceptos, del cuestionamiento de la extensin de los mismos y de la diferenciacin de conceptos anteriormente amalgamados). Por esta razn el estudio de la naturaleza del conocimiento matemtico pasa forzosamente por el estudio del desarrollo de las teoras matemticas informales (esto es, antes de ser formalizadas). Utilizando la nocin de teora matemtica informal podemos decir que el hecho de que la matemtica sea cuasi-emprica significa que toda teora matemtica axiomtico-formal debe ser considerada como la formalizacin de alguna teora matemtica informal por lo que se acepta la posibilidad de que existan falsadores heursticos de una teora matemtica formal. Esta propiedad es la que justificara el nombre de teora cuasi-emprica que, por tanto, no hace ninguna referencia a ningn tipo de empirismo entendido en el sentido usual. Por contra, para el euclideanismo una teora matemtica formal define implcitamente su objeto y, por tanto, los nicos falsadores matemticos potenciales son los falsadores lgicos. Esta reduccin de los falsadores potenciales conlleva la identificacin de la verdad con la consistencia. El modelo cuasi-emprico provoca la destrivializacin del conocimiento matemtico al enfatizar el papel esencial del proceso de descubrimiento y pone de manifiesto (en contraposicin al modelo eucldeo) que el anlisis de dicho conocimiento no puede reducirse al estudio de la justificacin de las teoras matemticas.

9 En Gascn (1993, pp. 297-299) se describe con cierto detalle lo que llamamos la primera ampliacin de la epistemologa clsica para las ciencias experimentales. Dicha ampliacin tuvo su origen en el derrumbe del empirismo clsico y es una consecuencia de la crtica de Popper al empirismo lgico de Carnap.

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Se produce en este punto un cambio importante en la forma de plantear el problema epistemolgico: mientras que el euclideanismo el problema epistemolgico era esencialmente un problema lgico: la justificacin lgica de las teoras matemticas; la epistemologa cuasi-emprica plantea y pretende resolver un problema ms amplio y de naturaleza no estrictamente lgica: el problema del desarrollo del conocimiento matemtico. Tenemos aqu por tanto una importante reformulacin del problema epistemolgico que ahora se plantea en los siguientes trminos:

PE2 (Modelos cuasi-empricos): Cul es la lgica del desarrollo del conocimiento matemtico? Cmo se establece si una teora T es superior a otra teora T?

Desde esta nueva perspectiva, el punto central que distingue las teoras cuasi-empricas de las eucldeas radica en la forma esencialmente distinta de concebir el desarrollo de una teora matemtica: (i) El desarrollo de una teora eucldea se reduce prcticamente a la bsqueda de un mtodo de decisin para la elaboracin de teoremas, esto es, un mtodo de algoritmizacin. Naturalmente antes tienen lugar otras etapas: una primera precientfica, ingenua, de ensayo y error, y una segunda de carcter fundacional en la que se reorganiza la disciplina y se limpia de los bordes oscuros. (ii) Pero ese patrn no da cuenta del desarrollo real de las matemticas, esa no es la lgica del descubrimiento matemtico. Para Lakatos las matemticas (informales) se desarrollan siguiendo un patrn muy distinto, el patrn de las teoras cuasi-empricas, que es el patrn de las conjeturas, pruebas y refutaciones (Lakatos, 1976). Es un patrn en el que siempre se parte de un problema y donde la atencin se centra siempre en los bordes oscuros de la teora en formacin. Lo esencial son aqu los procedimientos (no algortmicos): conjeturar, probar tentativamente, contrastar, refutar, buscar contra-ejemplos, modificar un poco el problema original, cambiar las definiciones, etc. Desde este punto de vista, se destrivializa el contenido de la matemtica, porque no es tautolgico pero, sobre todo, se destrivializa la actividad matemtica porque es heurstica en el sentido de no algortmica. 4. Recuperacin de la actividad matemtica

En este punto debemos detener de nuevo la narracin de la evolucin del problema epistemolgico para analizar las consecuencias de los modelos cuasi-empricos sobre los modelos docentes imperantes, esto es, sobre las nuevas maneras de gestionar de forma compartida y sistemtica la enseanza de las matemticas en el seno de las instituciones didcticas. Para ello necesitamos cambiar otra vez de escenario. Antes de analizar los detalles, puede decirse que cuando este nuevo modelo epistemolgico penetra en el Sistema de Enseanza de las Matemticas provoca una tendencia a identificar el saber matemtico con la actividad matemtica exploratoria caracterstica del desarrollo de las teoras matemticas informales. Esta ser, por tanto, la principal influencia general de los modelos epistemolgicos cuasi-empricos (de las matemticas) sobre los nuevos modelos docentes: modernismo y procedimentalismo. No hay que olvidar, sin embargo, que esta influencia no acta aisladamente; entre otras, hay que subrayar la gran presin que ejercen sobre los nuevos modelos docentes los antiguos modelos docentes. Esta presin puede ser tanto en sentido positivo, de mantenimiento de una tradicin, como en sentido negativo, de reaccin en contra de un tipo de prcticas docentes que se consideran arcaicas y que, por tanto, deben ser renovadas.

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4.1. Aprender mediante una exploracin libre y creativa: el modernismo

Las formas extremas de los modelos docentes clsicos presentan incoherencias y limitaciones evidentes en la gestin del proceso de estudio de las matemticas. En particular, la asuncin acrtica -y normalmente implcita- de los postulados docentes clsicos choca frontalmente con la abrumadora cantidad de datos empricos que ponen de manifiesto que el proceso de estudio de las matemticas es un proceso no trivial, no mecnico e incontrolable por el profesor. Especialmente inadecuada es la forma como los citados modelos docentes clsicos se ven llevados a considerar la actividad de resolucin de problemas dentro del proceso didctico. As, por ejemplo, el engao que consiste en motivar y justificar la introduccin de nuevos conceptos mediante problemas que estn destinados a desaparecer de la escena, la trivializacin de los problemas, la excesiva algoritmizacin de los conocimientos evaluables y, en definitiva, el fracaso absoluto de los alumnos cuando se enfrentan con problemas matemticos no estandarizados, pueden provocar una situacin insostenible en las instituciones en las que predominan dichas prcticas docentes. Esta situacin puede llevar a la necesidad de rescatar la actividad de resolucin de problemas en s misma, escandalosamente ignorada en los modelos docentes clsicos, y a tomarla como eje y finalidad de la actividad matemtica y, por tanto, de todo el proceso didctico. Denominaremos modelos docentes modernistas o, simplemente modernismo, a esta forma de considerar el proceso didctico que surge inicialmente como reaccin a las evidentes limitaciones de los modelos clsicos. En las instituciones en las que predomina el modernismo se tiende a identificar la actividad matemtica con la exploracin de problemas no triviales, es decir con las tareas que se realizan cuando todava no se sabe gran cosa de la solucin; entonces se tantean algunas tcnicas, se intenta aplicar ste o aquel resultado, se buscan problemas semejantes, se formulan conjeturas, se buscan contraejemplos, se intenta cambiar ligeramente el enunciado del problema original, etc. En otras palabras, el modernismo (del que hemos tenido, y todava tenemos, mltiples muestras) se caracteriza por conceder una preeminencia absoluta al momento exploratorio (Chevallard, Bosch y Gascn, 1997); esto significa que identifica ensear y aprender matemticas con ensear y aprender esta actividad exploratoria, libre y creativa, de problemas no triviales. La anterior caraterizacin del modernismo pone de manifiesto su clara dependencia de un modelo epistemolgico cuasi-emprico de las matemticas y enfatiza hasta qu punto los cambios en los modelos docentes, que implican cambios importantes en la forma de gestionar la enseanza de las matemticas, en los objetivos que sta persigue y que pueden comportar un giro radical en la prctica docente del profesor de matemticas en el aula, pueden estar (parcialmente) explicados por un cambio de modelo epistemolgico general del saber matemtico predominante en la institucin. As, el modernismo reacciona contra la visin simplista de la enseanza considerada como un proceso trivial, mecnico y totalmente controlable por el profesor. Traslada el centro de gravedad del proceso didctico al aprendizaje y considera que dicho proceso de aprendizaje es un proceso de descubrimiento inductivo y autnomo. El adjetivo no trivial con el que se quiere caracterizar a los autnticos problemas, pretende rescatar el sentido original de la nocin de problema trivializada por los modelos docentes clsicos contra los cuales el modernismo es una reaccin. Una definicin muy precisa de lo que se entiende dentro del modernismo por exploracin de problemas no triviales se puede encontrar, por ejemplo, en Arsac (1988) cuando define problema abierto y describe la prctica del problema abierto.

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Se trata de problemas en cuyos enunciados no se sugiere el procedimiento de resolucin (prohbe explcitamente descomponer el problema en ejercicios) y que se encuentran en un dominio conceptual con el que los alumnos tienen cierta familiaridad. As pueden tomar fcilmente posesin de la situacin y empezar a hacer ensayos, proponer conjeturas, llevar a cabo proyectos de resolucin y contraejemplos, que constituyen tareas tpicas de la actividad exploratoria de resolucin de problemas. Una forma complementaria de conceptualizar los problemas no triviales es mediante la nocin de problemas tipo olimpiadas. Callejo (1991) caracteriza este tipo de problemas como sigue: (a) Para resolverlos se debe utilizar una combinacin original de tcnicas; (b) Inicialmente no se sabe como atacarlos por lo que es habitual tener que trabajar sobre ellos durante largo tiempo; (c) Aunque las tcnicas y los conocimientos necesarios para resolver los problemas olmpicos suelen figurar en los libros de texto y en los programas de estudio, no es habitual encontrar problemas semejantes en los manuales; (d) Se trata de problemas que aceptan varias estrategias de resolucin, aunque algunas de ellas son muy originales. Incluso suelen ser resolubles en ms de un dominio matemtico. Algunos ejemplos de problemas olmpicos son los siguientes:

(1) Para cada punto P interior a un tringulo equiltero, se consideran las distancias x, y, z del punto P a los lados del tringulo. Demostrar que la suma x + y + z es constante para cada tringulo equiltero. (2) Se considera el conjunto Sn = {1, 2, 3, 4, 5, ... , n}. Para qu enteros n se puede dividir Sn en dos conjuntos disjuntos cuyos elementos sumen lo mismo? (3) Tres circunferencias del mismo radio pasan por un punto P. Demostrar que los tres puntos de interseccin de cada dos circunferencias determinan una cuarta circunferencia del mismo radio que las tres primeras.

La dispersin de los contenidos de estos problemas no se debe a que hayamos tomado ejemplos al azar, es una condicin perseguida explcitamente por el modernismo para evitar que los problemas aparezcan demasiado ligados a una teora determinada o a un conjunto concreto de tcnicas; en el modernismo es esencial que la exploracin sea realmente libre -tambin de las teoras y de las tcnicas matemticas- para que sea ms creativa, en el sentido cultural de no repetitiva, sorprendente y original. Con riesgo de simplificar abusivamente podra decirse que, aunque el modernismo pretende superar al conductismo clsico, coloca en su lugar una especie de activismo que no deja de constituir otra modalidad de psicologismo ingenuo fundamentada, en este caso, en una interpretacin muy superficial de la psicologa gentica de Piaget. Por lo que respecta al aislamiento y la descontextualizacin de los problemas, que ya era preocupante en los modelos docentes clsicos, podemos decir que no hacen ms que agravarse en el modernismo. Tenemos, en resumen, que teoricismo, tecnicismo y modernismo constituyen modelos docentes extremadamente reduccionistas. Cada uno de ellos enfatiza una nica dimensin de la actividad matemtica, ignorando los restantes. Al desconocer las relaciones funcionales entre dichas dimensiones, no pueden integrarlos en un nico proceso en el que se relacionen y complementen (Gascn, 1994). 4.2. Aprender a utilizar una directriz heurstica: el procedimentalismo

La destrivializacin del conocimiento matemtico llevada a cabo por el modernismo es artificial porque se fundamenta en una ocultacin del entorno matemtico (clases de problemas y tcnicas matemticas necesarias para resolverlos) en el que viven los problemas. Esta ocultacin se realiza, eso s, con la (buena?) intencin de asegurar que

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la exploracin sea libre (sobre todo de las tcnicas matemticas potencialmente tiles, para que stas no disminuyan los grados de libertad del explorador) y creativa en el sentido cultural de sorprendente y no rutinaria, antes citado. Pero existe una forma ms acorde con la actividad matemtica de destrivializar el uso de las tcnicas matemticas: pasa por enfatizar que el conocimiento e incluso el dominio de ciertas tcnicas bsicas no implica, en absoluto, la posibilidad de elaborar autnomamente estrategias heursticas complejas de resolucin de problemas. De hecho, ni el modernismo ni ninguno de los modelos docentes clsicos se plantean el difcil problema de cmo guiar al alumno en la eleccin de la tcnica adecuada, cmo crear las condiciones que le permitan construir una estrategia de resolucin de un problema mediante una combinacin adecuada de tcnicas, o cmo hacer posible el desarrollo interno de una tcnica en manos de los alumnos. Llamaremos modelos docentes procedimentalistas o, mejor, procedimentalismo, al que sita como principal objetivo del proceso didctico el dominio de sistemas estructurados de tcnicas heursticas (en el sentido de no algortmicas). Mientras la destrivializacin del conocimiento matemtico llevada a cabo por el modernismo se basaba en la dificultad de descubrir la estrategia matemtica adecuada para abordar un problema, dentro de un universo de problemas potencialmente infinito, el procedimentalismo empieza acotando un campo de problemas y pone el nfasis en la dificultad de elaborar y de interiorizar una estrategia de resolucin compleja til para abordar los problemas de dicho campo. El procedimentalismo puede ser interpretado como la completacin del tecnicismo en cuanto que reaccin al teoricismo: en el procedimentalismo tambin se pone entre parntesis la teora, enfatizando el trabajo de la tcnica mucho ms all de las tcnicas simples. Adems, el procedimentalismo completa y mejora la destrivializacin del conocimiento matemtico iniciada por el modernismo. Por todo ello podemos considerar que el procedimentalismo es un modelo docente de segundo orden, puesto que relaciona funcionalmente dos dimensiones (o momentos) de la actividad matemtica: el momento exploratorio y el momento del trabajo de la tcnica (Chevallard, Bosch y Gascn, 1997). En el procedimentalismo no se pretende analizar el papel que juegan las teoras matemticas cristalizadas en el aprendizaje de las matemticas ni, en particular, su relacin con la actividad de resolucin de problemas. Se parte de un alumno hipottico (Gascn, 1989) que, se supone, ha adquirido los conocimientos necesarios y domina las tcnicas bsicas para abordar los problemas de una cierta clase. En estas condiciones el procedimentalismo se centra en el problema didctico de posibilitar el diseo, la utilizacin y el dominio de estrategias complejas de resolucin de problemas. Su principal limitacin consiste en que trata nicamente con clases prefijadas de problemas como consecuencia del olvido del momento terico. Por tanto, el procedimentalismo no puede tomar en consideracin el desarrollo de las tcnicas en manos del alumno ni la correspondiente ampliacin de las clases de problemas exploradas. En aquellas instituciones didcticas en las que predomina el procedimentalismo, la resolucin de problemas se utiliza como una estrategia didctica encaminada a que el alumno llegue a dominar sistemas estructurados de procedimientos matemticas que pueden cristalizar, o no, en un patrn de resolucin en el sentido de Polya (1945, 1954 y 1962-65). Este punto de vista comporta necesariamente trabajar con clases de problemas (nocin dual, aunque relativamente secundaria, de la de patrn de resolucin) y pone de relieve una cuestin central: cmo determinar la amplitud ms adecuada en cada caso de la clase de problemas que se tomar como base para ensear un patrn de resolucin?

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Si se quieren ensear, por ejemplo, tcnicas de resolucin de problemas de contar, qu clase de problemas es la ms adecuada?, la clase de los problemas de variaciones?, la de problemas de contar simples (que la incluye) o, incluso, la de todos los problemas de contar descomponibles en una cadena de problemas simples? Cmo se relacionan entre s las correspondientes tcnicas de resolucin? (Gascn, 1989, pp. 59-65).

En resumen, si nos fijamos ahora en los tipos de problemas tomados en consideracin en cada uno de los modelos docentes descritos hasta aqu, el procedimentalismo puede interpretarse, por una parte, como una completacin del tecnicismo que slo toma en consideracin clases algortmicas de problemas, excesivamente cerradas y, por otra, como una reaccin al modernismo que parece no querer poner ningn lmite al universo de problemas potencialmente utilizables, en una exploracin descontrolada que, en la prctica, es equivalente a considerar cada problema absolutamente aislado de los otros. Podemos decir, por tanto, que con el procedimentalismo se rompe definitivamente el aislamiento tradicional de los problemas; tanto el aislamiento clsico que encerraba los problemas en clases algortmicas independientes, como el aislamiento modernista que prohbia agrupar los problemas en clases (con sus tcnicas matemticas asociadas) para asegurar que la exploracin fuese libre y creativa (Gascn, 1994). 5. Epistemologa constructivista: el desarrollo psicogentico como nueva base emprica de la epistemologa

Empezaremos resumiendo brevemente las dos primeras etapas de la reconstruccin racional que estamos haciendo de la evolucin de la epistemologa de las matemticas que, no hay que olvidarlo, slo puede entenderse en el marco de la epistemologa de las ciencias en la que est inmersa. En la primera etapa -el euclideanismo- tenamos una epistemologa sin ninguna base emprica que asuma, a priori, el ideal de la trivializacin del conocimiento matemtico as como la irrelevancia del proceso de descubrimiento para justificar la validez de las teoras matemticas. En este sentido podemos considerar la epistemologa eucldea como una parte de la filosofa.10 En la segunda etapa (la de los modelos cuasi-empricos) se toman los datos que proporciona la historia de la ciencia (y, en particular, la historia de las matemticas) como la base emprica de la epistemologa. Sin embargo, y a pesar de coincidir en este punto, se produce una gran dispersin (que llega a ser abierta discrepancia) entre los diversos autores citados (Popper, Lakatos, Kuhn, Feyerabend, Toulmin) cuando intentan describir los mecanismos del desarrollo del conocimiento cientfico. Una primera conjetura para explicar esta falta de acuerdo es la insuficiencia de los datos histricos (de la historia de las ciencia) como base emprica de la epistemologa. Esta presunta insuficiencia es, precisamente, uno de los puntos de partida de la epistemologa constructivista de Piaget (1972 y 1975), que culmina en Piaget y Garca (1982). De hecho, la discrepancia es tan profunda que ni tan slo hay acuerdo respecto a la posibilidad o imposibilidad de interpretar racionalmente el desarrollo de la ciencia. No todos los autores que toman la historia de la ciencia como base emprica de la epistemologa encuentran algn tipo de racionalidad en el desarrollo del conocimiento cientfico. De entre los citados, tan slo Popper y Lakatos distinguen claramente entre ciencia y pseudo-ciencia y se atreven a formular normas metodolgicas para establecer la

10 No debera ser necesario aclarar que esta consideracin de la epistemologa euclidea como una parte de la filosofa, no tiene ninguna connotacin peyorativa.

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aceptabilidad o el rechazo de una teora (Popper, 1934) o a dar criterios para decidir la superioridad de un programa de investigacin sobre otro (Lakatos, 1978b). Para Piaget y Garca (1982, p. 243) nunca hasta aqu se trat el verdadero problema epistemolgico que, segn ellos debera formularse como sigue:

PE3 (Constructivismo): En qu consiste el paso de una teora T de nivel inferior, a otra teora T, de nivel superior? Cules son los mecanismos del desarrollo del conocimiento cientfico (y, en particular, matemtico)?

Se trata, en realidad, de un problema distinto del planteado por Lakatos que se refera a cmo se establece si T es superior o no es superior a T?, pero no deja de ser una nueva (re)formulacin del problema epistemolgico en clara continuidad con las anteriores. Simbolizaremos mediante PE3 esta reformulacin constructivista del problema epistemolgico. La tesis central de la epistemologa constructivista podra formularse como sigue: para abordar el problema epistemolgico es imprescindible utilizar como base emprica, al lado de los hechos que proporciona la historia de la ciencia, los que proporciona el estudio del desarrollo psicogentico. La razn de ello reside en que los hechos histricos slo pueden mostrarnos la realidad factual del desarrollo cientfico y las diversas formas que toma dicho conocimiento en cada periodo histrico; pero para conocer los instrumentos y mecanismos del desarrollo cientfico (y abordar as el verdadero problema epistemolgico) es preciso recurrir a los datos empricos de la psicognesis. La tesis anterior descansa, naturalmente, sobre el postulado de que los instrumentos y mecanismos que determinan el paso de un periodo (de la historia de la ciencia) al siguiente son anlogos a los que determinan el paso de un estadio psicogentico al estadio siguiente. En qu consisten estos instrumentos y mecanismos del desarrollo, presuntamente comunes a la historia de la ciencia y a la psicognesis? En el caso de las matemticas, que es el que nos interesa aqu, podramos citar dos instrumentos de construccin de conocimientos matemticos que segn Piaget y Garca aparecen tanto en la historia de las matemticas como en la psicognesis de los conocimientos matemticos (cuya fuente comn son los procesos de asimilacin y acomodacin): dichos instrumentos son la abstraccin reflexiva y la generalizacin completiva. La abstraccin reflexiva extrae sus informaciones a partir de las acciones y operaciones del sujeto (y no de los objetos mismos como es el caso de la abstraccin emprica). Este instrumento tambin podra denominarse tematizacin reflexiva porque consiste en la conceptualizacin exhaustiva de las entidades matemticas construidas progresivamente, y esto an antes de que stas se plasmen en axiomatizaciones. Un ejemplo muy caracterstico de estas construcciones y tematizaciones sucesivas nos lo da el desarrollo de la actividad matemtica que ha desembocado en la teora de grupos: (a) Los primeros grupos, debidos a Galois, fueron referidos a permutaciones, centrndose la atencin en el estudio de stas. (b) Con F. Klein y los grupos de transformaciones geomtricas, se pone el nfasis en el estudio de los invariantes, esto es, en la estructura concreta e implcita de grupo. (c) Se elabora por fin la nocin de grupo abstracto que tiene como base un conjunto cualquiera, pasando a ser la propia estructura explcita de grupo (tematizada) el objeto de estudio. La generalizacin completiva constituye una sntesis nueva en el seno de la cual las leyes particulares antiguas adquieren nuevas significaciones. As decimos que hay generalizacin completiva cuando una estructura, conservando sus caracteres

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esenciales se ve enriquecida por nuevos subsistemas que se agregan sin modificar los precedentes. Por ejemplo la incorporacin de las lgebras no conmutativas que completan a las conmutativas. Esta descripcin de los instrumentos de construccin del conocimiento matemtico proporciona una nueva interpretacin sobre la naturaleza de los objetos matemticos como extrados de las acciones u operaciones del sujeto en lugar de ser entidades lgicas, lingsticas, ideales o cuasi-empricas. Decir que los objetos matemticos son construidos por las acciones del sujeto no es metafrico, significa: (a) Que las acciones del sujeto nunca son aisladas, estn coordinadas con otras acciones. (b) Que de estas coordinaciones se extraen formas que pueden desprenderse de sus contenidos. (c) Y que estas formas se coordinan a su vez para dar nacimiento, por reflexin, a las operaciones fundamentales que constituyen el punto de partida de las estructuras lgico -algebraicas (Piaget y Garca, op. cit. p. 248). En cuanto a los mecanismos de desarrollo comunes a la historia de las matemticas y a la psicognesis hay que subrayar un proceso de naturaleza completamente general que conduce de lo intra-objetal (o anlisis de los objetos), a lo inter-objetal (o estudio de las relaciones y transformaciones entre dichos objetos) y de all a lo trans-objetal (o estudio de las estructuras construidas tomando como soporte dichas transformaciones). Se trata de una triada dialctica que se reencuentra en todos los dominios y en todos los niveles tanto de la historia de las matemticas como de la psicognesis del pensamiento matemtico (Piaget y Garcia, op. cit. p. 33). As, por ejemplo, el desarrollo histrico de la geometra se inicia con el estudio de las relaciones internas entre los elementos de las figuras, sin tomar en consideracin el espacio como tal ni las transformaciones de las figuras en el interior de un espacio: es la etapa intra-figural. Es una larga etapa dominada por la geometra eucldea clsica. Viene a continuacin una etapa en la que se estudian las relaciones entre las diversas figuras geomtricas y, en especial, el estudio de las transformaciones que relacionan unas figuras con otras. Histricamente corresponde al periodo en el que predomina la geometra proyectiva (Poncelet y Chasles). Constituye la etapa inter-figural. Por fin tenemos una tercera etapa llamada trans-figural caracterizada por el predominio de las estructuras geomtricas; esto es el estudio y clasificacin de las geometras que, histricamente, coincide con el Programa de Erlangen de Flix Klein. El desarrollo histrico del lgebra considerada globalmente constituye otro ejemplo del mecanismo general del desarrollo intra-, inter-, trans-, aunque ste es un caso mucho ms complejo que el de la geometra. Cuando el lgebra se constituy como disciplina su tema central de estudio era la resolucin de ecuaciones. Durante el primer periodo se trata de la resolucin de ecuaciones especficas mediante mtodos empricos; estamos en una etapa intra-operacional. En una segunda etapa, que histricamente comienza en el siglo XVIII, el objeto central del estudio del lgebra pasan a ser las transformaciones que pueden convertir una ecuacin no resoluble en otra resoluble estudindose, por lo tanto, los propios criterios de resolubilidad. Estamos as en una etapa inter-operacional que histricamente estuvo muy influenciado por la obra de Lagrange y Gauss. Con Galois y el desarrollo de la teora de grupos, que es la primera estructura tematizada en matemticas, culmina la historia de la resolucin de ecuaciones y comienza el predominio del anlisis de estructuras algebraicas. Es el punto de partida de un largo y muy complejo periodo trans-operacional (Piaget y Garca, op. cit.pp. 156-157). Faltara, para acabar de resolver el problema epistemolgico tal como lo plantean Piaget y Garca, dar cuenta de los principios motores de tales construcciones cuyos instrumentos y cuyos mecanismos de desarrollo se han descrito. El ms importante de dichos

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principios es la bsqueda de razones que incluye pero va ms alla que la mera descripcin de fenmenos. As, las razones de las propiedades de los objetos que se descubren en el periodo intra- se encuentran precisamente en las transformaciones de dichos objetos que son caractersticas del nivel inter-. A su vez, las propiedades de las transformaciones son explicadas por las estructuras globales propias de la etapa trans-. Tanto el matemtico como el nio que ha llegado a cierto nivel, no se contentan jams con comprobar o descubrir. En cada etapa buscan llegar a las razones de aquello que han encontrado (Piaget y Garca, op. cit. p. 159). En resumen, la epistemologa constructivista pretende explicar el desarrollo del conocimiento matemtico mediante nociones anlogas a las utilizadas para describir el desarrollo psicogentico. En particular tiende a identificar el saber matemtico con la actividad histrico-psicogentica de construccin de estructuras matemticas cada vez ms complejas mediante un proceso que usa como instrumento la tematizacin reflexiva que desemboca en la generalizacin completiva, y cuyo mecanismo principal de desarrollo viene marcado por la sucesin de etapas intra-, inter- y trans-, presentes en todos los dominios y en todos los niveles. 6. El aprendizaje de las matemticas como construccin de conocimientos

Detengmonos de nuevo en la narracin de la evolucin del problema epistemolgico para analizar algunas consecuencias de la incidencia de la epistemologa constructivista sobre los modelos docentes imperantes en el Sistema de Enseanza de las Matemticas. Cambiamos otra vez de escenario y nos volvemos a sumergir en el mbito tradicionalmente reservado a la didctica. Analizaremos dos nuevos modelos docentes que, por depender de la epistemologa constructivista, denominaremos respectivamente constructivismo psicolgico y constructivismo matemtico. Mostraremos que ambos relacionan -aunque sea parcialmente- el momento exploratorio, esto es, la dimensin exploratoria de la actividad matemtica, con el momento tecnolgico-terico, es decir, aquel momento de la actividad matemtica en el que se elaboran justificaciones e interpretaciones de la prctica matemtica. Al mismo tiempo, esa dependencia condiciona un cierto olvido del momento del trabajo de la tcnica, esto es, del trabajo tcnico que empieza siendo rutinario, pero que a medida que se desarrolla juega un papel ms y ms importante como integrador de las otras dimensiones de la actividad matemtica (Chevallard, Bosch y Gascn, 1997). Repitamos una vez ms que los modelos docentes11 que estamos describiendo no existen en estado puro. Las prcticas docentes efectivamente existentes en las instituciones didcticas participan en mayor o menor medida de los diversos modelos docentes descritos, por lo que siempre tienen un carcter mixto y complejo.

11 La propia nocin de modelo docente tal como la estamos utilizando, esto es, como conjunto de prcticas docentes compartidas que permiten organizar y gestionar el proceso de enseanza de las matemticas en una institucin determinada, es voluntaria e inevitablemente ambgua. No deberamos olvidar, sin embargo, que la nocin de modelo epistemolgico de las matemticas tal como ha sido utilizada aqu, y tal como se utiliza habitualmente, no es mucho ms precisa. En la seccin 7 apuntaremos la necesidad de avanzar en la descripcin de los componentes bsicos de ambos tipos de modelos entendidos como sistemas de prcticas (matemticas o docentes) y postularemos para ambos una estructura comn, la descrita por las praxeologas (Chevallard, 1997 y 1999).

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6.1. Gnesis cognitiva de conocimientos: constructivismo psicolgico

Incluiremos dentro de los modelos docentes constructivistas todas aquellas maneras de interpretar el proceso de enseanza-aprendizaje que identifican ensear matemticas con posibilitar que los estudiantes construyan los conocimientos matemticos. Cuando no se hace ninguna referencia explcita a la naturaleza matemtica de la propia actividad de construccin ni al contexto en el que se realiza dicha construccin y cuando, adems, no se para mucha atencin a la naturaleza del proceso de construccin porque, implcitamente, y en concordancia con los postulados de la epistemologa constructivista, se supone que se trata de un proceso psicolgico y no de una actividad con relevancia matemtica en s misma, entonces diremos que el modelo docente en cuestin es el constructivismo psicolgico. En particular, dentro de esta forma de constructivismo, se instrumentaliza la resolucin de problemas como un simple medio para construir conocimientos nuevos. Hay que decir que los modelos docentes influenciados por el modelo epistemolgico constructivista son muchos y complejos. Existe una enorme variedad de maneras diferentes de entender la construccin de los conocimientos matemticos as como el papel que desempea la resolucin de problemas en esa construccin. Aqu describiremos dos variantes ideales extremas: empezaremos por la modalidad ms simplista de los modelos docentes fundamentados en una epistemologa constructivista, esto es, por la que postula implcitamente que la construccin de los conocimientos matemticos se lleva a cabo mediante un proceso puramente psicolgico. En la prxima seccin describiremos otra modalidad de modelo docente constructivista que es ms sofisticada porque toma en cuenta que el proceso de construccin de los conocimientos matemticos es un proceso de modelizacin matemtica explicitable, controlable y de gran inters en s mismo. Todos los modelos docentes fuertemente influenciados por una epistemologa constructivista suelen ir acompaados de una teora del aprendizaje que puede resumirse en un pequeo conjunto de hiptesis tomadas precisamente de la psicologa gentica y, en parte, de la psicologa social que le proporcionan una base psicolgica mucho ms slida de la que tenan el teoricismo, el tecnicismo y el modernismo. Para simplificar, tomaremos la descripcin que hacen algunos autores de lo que denominan una situacin problema (ver, por ejemplo, Douady, 1986). Esta caracterizacin nos servir para entender mejor el papel que juega la actividad matemtica en general y la actividad de resolucin de problemas en particular, dentro del constructivismo psicolgico.

(i) El alumno debe poder introducirse en la resolucin del problema y ha de poder considerar lo que es una solucin posible.

(ii) Los conocimientos del alumno tienen que ser, en pricipio, insuficientes para resolver el problema.

(iii) La situacin problema debe permitir al alumno decidir si una solucin determinada es correcta o no.

(iv) El conocimiento que se desea que el alumno adquiera (construya) tiene que ser la herramienta ms adecuada para resolver el problema propuesto, al nivel de los conocimientos del alumno. (En la construccin de este conocimiento radica el objetivo fundamental de toda la actividad).

El avance fundamental del constructivismo psicolgico, respecto de los modelos docentes unidimensionales, consiste en que relaciona funcionalmente dos dimensiones diferentes de la actividad matemtica: el momento exploratorio con el momento tecnolgico-terico

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(Chevallard, Bosch y Gascn, 1997), dando gran importancia al papel de la actividad de resolucin de problemas aunque slo sea como instrumento de la gnesis de los conceptos. Contina ignorando, sin embargo, la funcin del trabajo de la tcnica en el aprendizaje de las matemticas en general y en la resolucin de problemas en particular. Dado que las situaciones-problema se eligen en funcin del concepto o conocimiento que se quiere que el alumno construya, resulta que el constructivismo psicolgico est ms cerca del teoricismo que del tecnicismo aunque, como ya hemos dicho, se sustenta en una base psicolgica ms slida (la psicologa gentica) y, tambin, en un modelo epistemolgico (la epistemologa constructivista) mucho ms elaborado que el euclidianismo que serva de base a los modelos docentes clsicos. Lo anterior no impide que el constructivismo psicolgico presente los problemas matemticos tan aislados como el teoricismo y el tecnicismo y casi tanto como el modernismo. Pero el sistema conceptual en el que el concepto a construir ocupar su lugar, constituye un cierto contexto de la situacin problema que se ha elegido como instrumento de construccin de dicho concepto y permite decir que incluso en esta variante del constructivismo, los problemas se presenten bastante ms contextualizados que en los modelos docentes unidimensionales descritos anteriormente. 6.2. Gnesis de conocimientos mediante modelizacin: constructivismo matemtico

Si llamamos descontextualizacin de un problema de matemticas a la separacin entre el problema propiamente dicho y el sistema (matemtico o extramatemtico) a partir del cual el problema se genera de una manera natural -en el seno de una determinada actividad matemtica-, parece claro que en el teoricismo los problemas estn ms descontextualizados que en el constructivismo psicolgico. Llamaremos modelo docente modelizacionista o, simplemente, modelizacionismo, al que interpreta aprender matemticas como un proceso de construccin de conocimientos matemticos (relativos a un sistema matemtico o extramatemtico) que se lleva a cabo mediante la utilizacin de un modelo matemtico de dicho sistema. De esta forma, casi por definicin, resulta que en el modelizacionismo la descontextualizacin de los problemas desaparece hasta el punto de llegar a identificarse el objetivo de la resolucin de los problemas, con la obtencin de conocimientos sobre el sistema modelizado. La actividad de resolucin de problemas se engloba, por tanto, en una actividad ms amplia que podemos llamar actividad de modelizacin matemtica y que esquematizaremos en cuatro estadios, sin entrar en detalles ni querer prejuzgar una sucesin temporal lineal entre ellos (Chevallard, 1989).

Primer estadio: El punto de partida o primer estadio de la modelizacin matemtica lo constituye una situacin problemtica en la que pueden formularse preguntas y conjeturas, normalmente con poca precisin, y en la que se pueden llegar a detectar y formular provisionalmente algunos problemas matemticos. Aunque tradicionalmente se han considerado preferentemente sistemas extramatemticos (principalmente fsicos) como candidatos a ser modelizados matemticamente, no hay ninguna razn intrnseca para que esto sea as. Desarrollaremos a continuacin un ejemplo de sistema matemtico (se trata, en concreto, de un sistema aritmtico) cuya modelizacin matemtica permite construir (o producir) conocimientos matemticos relativos a dicho sistema.

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Puede surgir una situacin problemtica delante del hecho siguiente: algunos alumnos an aplicando una tcnica incorrecta para sumar dos fracciones, obtienen el resultado correcto. As, por ejemplo, escriben:

Esta situacin pone en evidencia un fenmeno aritmtico que es problemtico puesto que provoca cuestiones cuya respuesta no es inmediata: Porqu sucede esto? Debe haber alguna relacin especial entre los numeradores? Y entre los denominadores? Deben ser fracciones irreducibles? Qu relacin debe darse entre dos fracciones para que puedan sumarse de esta extraa manera? Segundo estadio: Engloba la definicin o delimitacin del sistema subyacente a la situacin problemtica y la elaboracin del modelo matemtico correspondiente. El disponer del lenguaje y de las tcnicas propias del modelo matemtico, permitir formular con ms precisin los problemas enunciados provisionalmente en el estadio anterior. Para delimitar el sistema a modelizar se eligen las variables que consideraremos relevantes para describir el fenmeno. En nuestro caso tomaremos como variables del sistema los numeradores a, b y los denominadores c, d de las fracciones. El modelo algebraico del sistema viene dado entonces por la ecuacin diofntica:

en la que todas las variables pueden jugar indistintamente el papel de datos o de incgnitas. Este modelo general permite formular con precisin diferentes problemas matemticos:

(i) Dados los numeradores a y b, cmo estn relacionados los denominadores de las fracciones cuya suma correcta se obtiene mediante la regla falsa? (ii) Dada una fraccin a/c, cmo construir todas las fracciones que pueden sumarse con ella mediante la regla en cuestin? (iii) Dados los denominadores c y d, cmo estn relacionados los numeradores de dichas fracciones para que se puedan sumar mediante la regla falsa?

Tercer estadio: Incluye, adems del trabajo tcnico dentro del modelo, la interpretacin de este trabajo y de sus resultados dentro del sistema modelizado.

Para el primer problema, suponiendo que los numeradores a y b son dados, no nulos y primos entre s, se obtiene una ecuacin diofntica que tiene como solucin particular trivial (se obtiene para z = 0) c = d = 1, y cuya solucin general viene dada por:

)64(5123

)64(511310

6413

5110

-=

-+

=-

+

babcad +=+

)(11

Z-

++

zzb

bza

a

21

Para el segundo problema, dada la fraccin a/c se obtiene una solucin particular b/d = 0/1 y, suponiendo que a y 1 c son primos entre s, se obtiene la solucin general:

Por fin, si conocemos los denominadores c y d, tenemos la solucin particular (para z = 0) a = b = 0 y, suponiendo que c 1 y d 1 son primos entre s, tenemos la solucin general:

Cuarto estadio: En este ltimo estadio de la actividad de modelizacin matemtica se pueden enunciar problemas nuevos cuya resolucin permitir responder a cuestiones, relativas al sistema, difcilmente formulables antes de la elaboracin del modelo matemtico. En este estadio los problemas pueden independizarse del sistema inicial.

Algunas de dichas cuestiones, en nuestro ejemplo, podran ser: es posible que las dos fracciones tengan el mismo signo? cmo han de ser las fracciones si los numeradores son iguales? es posible que la suma de los inversos de dos enteros sea, a su vez, el inverso de otro entero? cuando sucede esto?

Resulta, en definitiva, que en el modelizacionismo el objetivo de la actividad matemtica -y por tanto el de la enseanza de las matemticas- es la obtencin de conocimientos relativos a un sistema modelizado que, en principio, puede ser tanto matemtico como extramatemtico. Los problemas slo adquieren pleno sentido en el contexto de un sistema; as la resolucin de un problema pasa siempre por la construccin explcita de un modelo del sistema subyacente y tiene como objetivo la produccin de conocimientos relativos a dicho sistema. El modelizacionismo perfecciona, en cierta forma, al constructivismo psicolgico ya que, al igual que ste, concibe la actividad matemtica como una actividad de construccin de conocimientos matemticos nuevos; pero el modelizacionismo profundiza en el significado de construir conocimientos nuevos al referirlos a sistemas concretos y operativizar esta construccin mediante la elaboracin de un modelo matemtico y el trabajo dentro del mismo. Adems, el modelizacionismo lleva hasta sus ltimas consecuencias la contextualizacin de los problemas que era slo incipiente en el constructivismo psicolgico. Debemos aadir, para acabar, que el modelizacionismo cuando toma en consideracin la modelizacin de sistemas matemticos (y no tan slo extramatemticos), tambin conecta funcionalmente el momento exploratorio con el momento tecnolgico-terico. Se trata de una conexin mucho ms equilibrada que la realizada en el constructivismo psicolgico puesto que en el modelizacionismo la actividad de construccin tiene inters matemtico en s misma, no se toma como un mero instrumento al servicio de las nociones a construir. La relacin entre el sistema a modelizar y el modelo matemtico de dicho sistema es relevante matemticamente porque produce conocimientos matemticos relativos al sistema. Por todas estas razones, el modelizacionismo, que tambin se fundamenta en la epistemologa constructivista, puede ser considerado como un constructivismo matemtico. Sus limitaciones ms importantes tienen relacin, de nuevo, con el olvido del momento del trabajo de la tcnica y del papel del desarrollo de las tcnicas matemticas en la actividad matemtica (Chevallard, Bosch y Gascn, 1997).

)()1(1

Z-+

+ zcz

zaca

)()1()1(

Z-

+-

zd

dzc

cz

22

7. Evolucin del problema docente y necesidad de nuevos modelos epistemolgico-didcticos

Hasta aqu hemos descrito una reconstruccin racional de la evolucin del problema epistemolgico (de las matemticas) que podemos resumir como sigue:

Esta evolucin, que puede interpretarse como una ampliacin sucesiva del objeto de estudio de la epistemologa, est ligada asimismo a la ampliacin de su base emprica provocada por la evidente inadecuacin de sta para abordar el problema que la epistemologa plantea en cada momento. Hemos visto que los modelos epistemolgicos situados dentro del euclideanismo tenan como nico objetivo la justificacin lgica de las teoras matemticas (no necesitaban ninguna base emprica); los modelos epistemolgicos cuasi-empricos pretendan resolver el problema ms amplio del desarrollo del conocimiento matemtico (por esta razn requieren la utilizacin, como base emprica, de los datos histricos); por fin la epistemologa constructivista pretenda explicar no slo cmo se establece que una teora cientfica es superior a otra sino, tambin, cules son los instrumentos y los mecanismos que provocan el paso de una teora de nivel inferior a otra de nivel superior. Este objetivo ms amplio requiere utilizar como base emprica los datos de la psicognesis, adems de los que proporciona la historia de la ciencia, aunque en realidad se interpreta la historia de las ciencias y, en particular, la de las matemticas, a imagen y semejanza del desarrollo psicogentico del nio. El resumen anterior pone de manifiesto que la naturaleza del problema epistemolgico PE ha ido evolucionando: comenz siendo un problema puramente lgico PE1, se convirti despus en un problema histrico PE2, y parece que ha acabado siendo un problema esencialmente cognitivo PE3. Paralelamente hemos esquematizado una reconstruccin racional (no histrica) de la evolucin de lo que hemos denominado, de forma voluntariamente ambigua, modelos docentes ideales que, repitmoslo una vez ms, se encuentran entremezclados en las actuales instituciones didcticas y, por tanto, no existen ni han existido nunca- en estado puro. Hemos definido cada uno de los modelos docentes a partir de la dimensin (o dimensiones) del proceso de estudio de las matemticas que dicho modelo enfatiza y hemos mostrado que ste nfasis estaba fuertemente asociado, en cada caso, a un modelo epistemolgico general de las matemticas. Hemos empezado a mostrar que cada modelo docente condiciona, aunque sea a un nivel muy general, la forma de organizar y gestionar el proceso de enseanza de las matemticas incidiendo, por tanto, sobre la prctica profesional del profesor de matemticas en el aula. En particular el modelo docente imperante en una institucin didctica determina grandemente el papel que el profesor deber asignar a la actividad de resolucin de problemas de los alumnos y, en

PE1

Cmo detener el regreso infinito y llevar a cabo una

justificacin lgica de las teoras

matemticas?

Euclideanismo

PE2 Cul es la lgica del desarrollo del

conocimiento matemtico?

Modelos cuasi-empricos

PE3

Cules son los instru-tos y mecanismos

(comunes a la historia y a la psicognesis) del desarrollo del conoci-miento matemtico?

Constructivismo

23

consecuencia, ningn aspecto del proceso de estudio de las matemticas es ajeno a su influencia. Podramos hablar, por tanto, de la evolucin del problema docente, interpretando el problema docente como el que se plantean las instituciones que tienen la responsabilidad de llevar a cabo el proyecto social de la enseanza de las matemticas. Podemos considerar que la forma de plantearse (implcitamente) el problema docente por parte de las instituciones y cuyas formulaciones sucesivas denominaremos, respectivamente, PD1, PD2 y PD3, queda reflejada en los tres grandes tipos de modelos docentes clsicos, modernistas y constructivistas- ya que stos pueden ser considerados, respectivamente, como las respuestas institucionales a la correspondiente formulacin del problema docente.

La cuestin que nos planteamos para terminar, y cuya respuesta slo apuntaremos aqu, se refiere a la interrelacin entre ambos problemas (epistemolgico y docente):

PE/PD: Qu nuevas teoras epistemolgicas generales deberan proponerse (como respuesta a qu nuevas reformulaciones del problema epistemolgico), si queremos que puedan servir de base a modelos docentes que superen las limitaciones de los modelos docentes habituales y, en particular, de los modelos docentes constructivistas?

Podemos resumir las limitaciones de los modelos docentes descritos hasta aqu como sigue: (a) Modelos docentes de primer orden: Los modelos docentes clsicos y el modernismo son extremadamente reduccionistas porque enfatizan una nica dimensin de la actividad matemtica; por esta razn pueden ser considerados de primer orden. As, el teoricismo se centra en el momento tecnolgico-terico, el tecnicismo en el trabajo de la tcnica y el modernismo en el momento exploratorio, ignorando en todos los casos los restantes momentos de la actividad. Los tres presentan los problemas matemticos muy aislados y fuertemente descontextualizados. (b) Modelos docentes de segundo orden: El procedimentalismo y los modelos docentes constructivistas pueden ser considerados como modelos docentes de segundo orden puesto que toman en consideracin y conectan dos momentos o dimensiones de la actividad matemtica. As, el procedimentalismo desarrolla el trabajo de la tcnica que slo era incipiente en el tecnicismo y lo relaciona con el momento exploratorio, llevando a cabo una exploracin controlada de determinadas clases de problemas (superando as el aislamiento de stos). Los modelos docentes constructivistas, por fin, conectan los momentos exploratorio y tecnolgico-terico pero, por el contrario, continan ignorando las funciones del trabajo de la tcnica en el proceso de estudio. Desde el punto de vista de la teora de los momentos didcticos (Chevallard, 1997 y 1999) se requiere un modelo docente que adems de relacionar funcionalmente los

PD1 Cmo mecanizar y

controlar la transmisin de teoras y el

entrenamiento en el uso de tcnicas algortmicas?

Modelos docentes clsicos

PD2 Cmo gestionar el proceso de descubri-miento inductivo y autnomo de los

alumnos?

Modelos docentes modernistas

PD3

Cmo posibilitar que los alumnos construyan los conocimientos matem-ticos siguiendo ciertas

etapas en dicho proceso de construccin?

Modelos docentes constructivistas

24

momentos exploratorio, tecnolgico-terico y del trabajo de la tcnica (lo que se conseguira integrando el procedimentalismo y el modelizacionismo), no olvide los tres momentos restantes: el del primer encuentro, el de la institucionalizacin y el de la evaluacin. A pesar de que se han realizado algunos avances en esta direccin (Bosch y Gascn, 1994), debemos reconocer que estamos todava lejos de disponer de la caracterizacin de un modelo docente que integre funcionalmente todas las dimensiones de la actividad matemtica. Volviendo a la cuestin PE/PD, debemos preguntarnos: cmo modificar el modelo epistemolgico ingenuo que, como dice Brousseau (1987), est en la base de los modelos docentes habituales? o, en otros trminos, cmo debera ampliarse el objeto de estudio de la epistemologa y cmo debera ampliarse correlativamente su base emprica, a fin de que el nuevo modelo epistemolgico pueda sustentar modelos docentes menos simplistas que los descritos hasta aqu? En un trabajo anterior, (Gascn, 1993, pp. 299-303), hemos mostrado que la base emprica utilizada por el constructivismo para abordar el problema epistemolgico presenta graves deficiencias respecto del objetivo del problema que pretende abordar. Incluso suponiendo que el problema epistemolgico consistiese en explicar los mecanismos del desarrollo del conocimiento matemtico, es fcil mostrar que los datos de la psicognesis (completados con los que proporciona la historia de las matemticas) son radicalmente insuficientes para dar cuenta de la gnesis y el desarrollo de los conocimientos matemticos. Partiendo de la crtica de Vygotsky a la separacin (e incluso oposicin) que Piaget propugna entre instruccin y desarrollo (Vygotsky, 1934, p. 133), hemos puesto de manifiesto que la base emprica minimal para abordar el problema epistemolgico (incluso si aceptamos la versin restringida del mismo que plantea el constructivismo), debe incluir los hechos que se producen en las instituciones didcticas. No basta con los datos empricos obtenidos en el estudio del desarrollo psicogentico porque la epistemologa deber dar cuenta de fenmenos que dependen esencialmente de la institucin didctica en el seno de la cual tiene lugar la denominada gnesis personal de los conocimientos matemticos. Hemos aportado nuevos argumentos para reforzar la tesis antropolgica (Chevallard, 1991) segn la cual no puede separarse el estudio de la gnesis y el desarrollo de los conocimientos matemticos del estudio de la comunicacin, la utilizacin y la transposicin institucional de los mismos. Hemos mostrado, en definitiva, la necesidad ineludible de una nueva ampliacin del objeto de estudio de la epistemologa de las matemticas. Tendremos, por tanto, una nueva reformulacin del problema epistemolgico, que denominaremos PE4, y una respuesta tentativa en forma de nuevo modelo epistemolgico general del conocimiento matemtico, que denominaremos modelo antropolgico:

PE4 (Modelo antropolgico): Cules son las leyes que rigen la produccin, la comunicacin y la utilizacin del saber matemtico en el seno de una institucin, as como su transposicin entre las diferentes instituciones?

Es en este punto en el que, en cierto sentido, confluyen ambos problemas (el epistemolgico y el docente12) y parecen confundirse en cuanto a sus necesidades empricas. Histricamente este momento se corresponde con las primeras formulaciones