García de la Figal, Javier

García de la Figal, Javier 1

Simulación por el Método de los Elementos Finitos. Departamento de Mecánica Aplicada.

Facultad de Ingeniería Mecánica.

Instituto Superior Politécnico José A. Echevarria.

Dr. Javier García de la Figal Costales.

Profesor Titular.

ISBN: 978 959 261 345 4. La Habana, Cuba. 2011.


P R Ó L O G O

n haE

los últimos años y sobre todo desde la década de los anos 1990, los elementos finitos se n puesto de moda, en el mejor sentido de esta palabra, siendo creciente el número de

ingenieros y especialistas de las más diversas ramas, que los utilizan o pretenden utilizarlos. La existencia de esta poderosa herramienta matemática y la proliferación de los programas profesionales de computación correspondientes (“softwares”), ocurrida esta última desde mediados de los años de 1980, han posibilitado esta situación actual. En ello ha incidido también y de manera importante, el surgimiento y popularización de las computadoras personales PC, de tan amplio uso actualmente en casi todas las esferas profesionales y sociales. Los programas de elementos finitos se ven por los ingenieros y científicos de las ramas afines, como algo que resuelve rápidamente cálculos complejos, un instrumento moderno de “alta tecnología” que se emplea en industrias de punta, tales como la aeroespacial y la nuclear, y que permite por tanto acercarse a las esferas de avanzada; cuyos resultados pueden ser presentados de forma elegante y cómoda, que eleva el nivel científico de casi cualquier cálculo que se haga y que puede utilizarse cómodamente sentado frente a una computadora. Lo extraordinario es que todo esto y varias ventajas más, son completamente ciertas. En realidad pueden agregarse varias cualidades a las anteriores. El Método de los Elementos Finitos (MEF) y sus programas permiten al ingeniero y al especialista, no sólo calcular muchos tipos de problemas de las Ingenierías, sino investigar y profundizar detalladamente en los mismos; le abre las posibilidades de ampliar y trabajar de forma efectiva en múltiples nuevos campos poco tratados por desconocimiento y por su complejidad, como los problemas no lineales mecánicos, los de la ingeniería biomédica y otros muchos más; y abre prácticamente a cualquier especialista el amplio campo de la modelación matemática de los sistemas físicos. Pero quizás uno de los efectos más interesantes que están promoviendo los elementos finitos y las tecnologías a ellos asociadas, sea la ampliación del perfil de trabajo de los ingenieros y científicos, a nuevos campos de las Ingenierías y las Ciencias. Los procedimientos y formulaciones del MEF son tan generales que permiten ser aplicados a disciplinas y especialidades muy diversas, facilitando de esta forma la introducción de los especialistas en campos hasta ahora distanciados de sus intereses originales. Contribuye así a la formación y trabajo de ellos con un perfil más amplio, reforzando esta tendencia general comenzada en los años de la década de 1980. Actualmente es posible ver por ejemplo, a ingenieros en tecnología incursionando en complejos problemas de diseño, a ingenieros civiles analizando problemas de vibraciones mecánicas, o a un ingeniero mecánico involucrado con materiales piezoeléctricos o biomédicos. Todas estas maravillas se han hecho posibles gracias a la conjunción de los factores arriba mencionados, que han coincidido desde finales de la década de los años 1980. Sin embargo es muy frecuente que los intentos de muchos especialistas en emplear estos Métodos y los programas asociados, no sean exitosos. Ocurre en más ocasiones que las deseadas, que los resultados de los cálculos realizados con ellos sean de dudosa validez, incorrectos e incluso que algunos especialistas no lleguen a poder trabajar exitosamente con los programas profesionales. Y todo debido a 2 razones fundamentales: el desconocimiento que hay de forma generalizada, de la teoría de los elementos finitos, y la complejidad de los programas profesionales existentes.


La Teoría de los elementos finitos es, en efecto una serie de procedimientos matemáticos muy complejos para el ingeniero, que se han estado desarrollando intensivamente desde la década de 1950 y que aún continúan enriqueciéndose aceleradamente en la actualidad. La práctica dice que muchas veces los intentos de aprender y estudiar esta teoría, terminan sin concluirse. Por otro lado, los programas correspondientes que se han estado desarrollando y que se ofertan comercialmente, son programas realmente complejos, mas o menos inamistosos con el usuario en el sentido de la interacción hombre - máquina, y que constantemente se están actualizando con los nuevos aportes de las teorías y la presión de la competencia mercantil. Muchos especialistas se ven incentivados a comenzar su empleo con una mínima asesoría inicial, como han hecho exitosamente con otros varios programas, sin alcanzar en este caso el éxito. No tienen en cuenta que esos otros programas (como el EXCEL, WORD, AUTOCAD, de Estadísticas, etc.), emplean teorías, formulaciones y conceptos, que los ingenieros y especialistas conocen en general. Pero que hay un gran desconocimiento sobre la teoría de los elementos finitos, la cual es imprescindible conocer para su empleo exitoso. Los programas profesionales actualmente en el mercado requieren de una base mínima de conocimientos sobre esta teoría, para poder ser utilizados adecuadamente y de forma eficiente. Una de las pretensiones del presente libro es ayudar al ingeniero y al especialista a llenar esas 2 lagunas tan comunes. No pretende explicar detalladamente la teoría y procedimientos del método de los elementos finitos, ni enseñar a usar los programas profesionales, cada uno de los cuales por cierto, tiene sus propios comandos y formas de trabajo. Sino brindar los fundamentos imprescindibles de la teoría y los principios comunes y generales de los programas, para la correcta y eficiente utilización del MEF por los especialistas. En realidad hay un importante factor adicional a los ya mencionados que ha contribuido grandemente a la amplia aplicación actual del MEF, pero que también ha complicado su uso. Se trata de la explosión de nuevas teorías, disciplinas y tecnologías surgidas en varias Ramas de las Ciencias y las Ingenierías, en la década de 1960 y con posterioridad. Estos avances y diversificación de nuevos temas fueron especialmente prolíficos en la Ingeniería Mecánica, en donde surgieron temas y disciplinas tales como la Mecánica del Continumm, de la Fractura, del Daño, múltiples nuevos materiales y muchos avances más. Muchos de los nuevos campos en que incursiona actualmente la Ingeniería Mecánica se deben a aquellos desarrollos empezados en los anos ’60. El MEF permite ser empleado en esos nuevos campos, de hecho algunos de ellos pueden ser abordados práctica y eficientemente solo a través del MEF u otros métodos matemáticos semejantes. Los buenos programas de elementos finitos actuales permiten abordar esas nuevas disciplinas, pero el primer paso para ello es conocerlas profundamente. Esto constituye por tanto, una 3 ra dificultad para el empleo de los actuales programas de elementos finitos y por supuesto, no será abordado a profundidad en este texto. El libro tiene otra pretensión, que es enseñar a modelar por el MEF. En efecto, la teoría, el método y los programas, permiten ir más allá de la realización de cálculos de ingeniería, como es llegar a conformar los modelos matemáticos de sistemas complejos, lo cual abre nuevas posibilidades para la investigación y optimización en múltiples campos. Esta modelación por el MEF tiene sus principios, reglas y fundamentos, los cuales se abordan en este libro. Esas son las intenciones del autor al brindar este texto. Si se logran o no estos objetivos y en qué medida, lo dirá el lector interesado y el fruto que pueda obtener del mismo. Si constituye para él un primer conocimiento científico de estos aspectos, que le ayude a emplear correctamente el MEF, y que lo motive a estudios más profundos, el autor podrá darse por satisfecho.


I N D I C E

PRÓLOGO ---------------------------------------------------------------------------------- 2 ÍNDICE --------------------------------------------------------------------------------------- 5 Capítulo 1.- La Modelación Matemática. ----------------------------------------------- 8 Métodos de Discretizacion. _________________________________________ 8 Procedimiento de masas concentradas. 9 Desplazamientos Generalizados. 9 El concepto de Elementos Finitos. ___________________________________ 10 La Modelación Matemática. 12 Modelos matemáticos discretos. ----------------------------------------------------------- 13 Modelos matemáticos de sistemas continuos. 15 La formulación Directa. ----------------------------------------------------------------- 15 La Formulación basada en los Desplazamientos. ------------------------------------ 17 Las formulaciones Variacionales. 22 El Método de las diferencias finitas. -------------------------------------------------- 25 Métodos tradicionales de cálculo. 29 Teoria de vigas de Euler – Bernoulli.__________________________________ 29 Teoría de placas de Kirchhoff. 31 Capítulo 2.- Principios y conceptos básicos. 35 Introducción. -------------------------------------------------------------------------------- 35 Principios básicos del MEF. 37 Conceptos básicos del método de los elementos finitos. ------------------------------- 41 Rigideces de los elementos estructurales. 41 Las matrices [ B ] y [ C ]. ________________________ 47 La matriz de rigidez global. 53 Transformaciones de las Matrices de rigidez. 54 Las ecuaciones de equilibrio. 59 Metodología para crear la matriz de rigidez global. ________________________ 62 Ejemplos. ________________________________________________________ 66 Capitulo 3. - El Método de los Elementos Finitos. 75 La Formulación basada en los Desplazamientos. ---------------------------------------- 75 Pasos del MEF. 76 Ejemplo. 83 Compatibilidad entre los elementos finitos 87 Convergencia de la Solución. --------------------------------------------------------- 88 Otras Formulaciones matemáticas. 89 Ejemplo. ------------------------------------------------------------------------------------ 91 Formulaciones Mixtas de elementos BEAM. 93 Formulaciones mixtas de elementos placas. 97 Formulación mixta para materiales incompresibles. 97 Módulos de trabajo de los Programas de EF. -------------------------------------- 99


Capitulo 4. - La Formulación isoparametrica. 100 La Formulación isoparametrica. 100 Funciones de forma. ________________________________________________ 102 Matrices de rigidez 109 Matrices intermedias [ H ] y [ B ]. 110 Elementos isoparametricos de los programas profesionales ( ANSYS ). 116 Capítulo 5.- Los Elementos Finitos Fundamentales. 120 Tipos básicos de elementos finitos. ------------------------------------------------------ 120 Grados de libertad. ------------------------------------------------------------------------- 129 Compatibilidad entre los elementos finitos ---------------------------------------------- 131 Definición de los Elementos. 132 Unidades de medidas. 137 Elementos barras (TRUSS o LINK). --------------------------------------------------- 139 Elementos vigas (BEAM). 140 Elementos sólidos planos. ----------------------------------------------------------------- 141 Elementos sólidos volumétricos. 143 Elementos láminas (SHELL) ------------------------------------------------------------- 144 Elementos de los programas profesionales. 147 Capítulo 6.- Creación de las Entidades para el Dibujo. 149 Concepto de Entidad, tipos y jerarquía. --------------------------------------------------- 149 Comandos para la Creación de Entidades. 150 Generación de entidades y figuras. -------------------------------------------------------- 153 La “extrusión”, el “sweep” y el “drag”. 153 Repeticiones y movimientos con las entidades y figuras. ---------------------------- 154 Operaciones Booleanas. 154 Dibujar para después Mallar. ----------------------------------------------------------- 161 Capítulo 7.- El Mallado con Elementos Finitos. 164 Principios Generales del mallado. ----------------------------------------------------- 164 Optimización y refinamiento del mallado. 168 Mallado “mapped’ o “free”. 168 Refinamiento del mallado. 172 Mallado con elementos lineales. ----------------------------------------------------- 173 Mallado con elementos planos y SHELL. 174 Mallado con elementos sólidos volumétricos. ------------------------------------------ 175 Mallado inteligente 176 Capítulo 8.- Condiciones de Apoyos y Cargas. La Solución. 177 Constreñimientos de los grados de libertad (DOF). ------------------------------------ 177 Apoyos Reales y Simulados. 179 Tipos de Cargas. --------------------------------------------------------------------------- 180 Elementos con Pretensión inicial. 184 Tipos de Problemas y de Análisis por el MEF. ------------------------------------------ 185 El análisis estructural Estático y lineal-elástico. --------------------------------------- 188 Análisis no – lineales. 189 Problemas térmicos. 193 Problemas de fluidos. -------------------------------------------------------------------- 195


Problemas Dinamicos. 199 Métodos de solución. 200 Métodos Directos de solución. 202 Frontal solver. ----------------------------------------------------------------------------- 202 Sparce Direct Solver 202 Métodos Iterativos de solución. ------------------------------------------------------- 203 Jacobi Conjugate Gradient (JCG). 203 Prconditioned Conjugate Gradient (PCG). ---------------------------------------------- 204 Capítulo 9.- Análisis e Interpretación de los Resultados. 205 Ploteo y listado de los Resultados. 205 Los Desplazamientos. ----------------------------------------------------------------------- 207 Los Esfuerzos resultantes. 209 Promediados o no promediados. 203 PowerGraph y Full Graphic . ----------------------------------------------------------------- 211 Tipos de esfuerzos. 212 Continuidad y convergencia de los Esfuerzos. --------------------------------------------- 214 La Prueba de convergencia. 216 Capítulo 10.- Validación y Optimización de la Solución. 225 Validación del Modelo. ----------------------------------------------------------------------- 225 Condiciones de la matriz de rigidez. 230 Optimización de la Solución, -------------------------------------------------------------- 232 Capítulo 11. - Importación de dibujos con extensión .IGES 236 Introducción ------------------------------------------------------------------------------------- 236 Formas de importación. 245 Casos típicos de Importación. 251 Importación de Contornos y Superficies . -------------------------------------------------- 252 Importación de SOLIDs y PARTs. 254 Conclusiones. ------------------------------------------------------------------------------------ 261 ANEXOS. ------------------------------------------------------------------------------------ 264 ANEXO 1 Resumen de los principales tipos de Elementos Finitos. 265 ANEXO 2 Formulación de Desplazamientos para vigas. ------------------------------ 266 ANEXO 3 Esquematización de los apoyos y uniones de vigas. 279 Bibliografía. ………………………………………………………………………….. 284


Capítulo 1.

La Modelación Matemática.

Métodos de Discretizacion. Procedimiento de masas concentradas. Desplazamientos Generalizados. El concepto de Elementos Finitos . La Modelación Matemática. Modelos matemáticos discretos. Modelos matemáticos de sistemas continuos. La formulación Directa. La Formulacion basada en los Desplazamientos. Las formulaciones Variacionales. El Método de las diferencias finitas. Métodos tradicionales de cálculo. Teoria de vigas de Euler – Bernoulli. Teoria de placas de Kirchhoff.

n los últimos años se está empleando muy amplia e intensamente la modelación matemática de sistemas de los más diversos tipos y esferas de las Ingenierías y las Ciencias. En ello ha tenido

una gran responsabilidad la difusión de las modernas computadoras personales PC, en continuo perfeccionamiento, que sin dudas han permitido a un universo muy amplio de profesionales, ingenieros y especialistas, acceder y utilizar las poderosas técnicas de la modelación matemática. No puede dejar de mencionarse la proliferación de diversos y numerosos programas de computación (“softwares”), que realizan las operaciones matemáticas más complejas y trabajosas de la modelación matemática y que han acompañado al desarrollo de las PC.

E

En todo este proceso ha sido práctica bastante común por parte de los usuarios la de aprender el uso de esos programas profesionales de forma apresurada e incompleta, y descuidar la teoría y fundamentos de la propia modelación matemática, es decir el estudio más sistemático y profundo de esta disciplina. Esto ha redundado en un mal uso de los programas profesionales y en la creación de muchos modelos de sistemas inadecuadamente simulados, poco precisos y hasta incorrectamente realizados. De aquí la importancia de que todo aquél interesado en las distintas formas de modelación matemática, estudie o refresque los conocimientos básicos de esta importante y poderosa técnica de análisis de sistemas, que con tanto ímpetu ha irrumpido en la vida técnica y científica en el mundo actual.

Métodos de Discretizacion.

rados de libertad ( DOF ), son los parámetros necesarios para determinar la posición de un sistema en un momento dado. En el caso de sistemas estáticos, se refieren a los

desplazamientos que puede tener el sistema, desplazamientos que fijan completamente la posición de aquel. En sistemas dinámicos son los desplazamientos y las aceleraciones. Aquí surge una de las primeras dificultades: en principio los desplazamientos necesarios de un sistema cualquiera tienden a ser prácticamente infinitos, pues esta constituido por infinitos puntos. Es necesario

G

entonces definir cuales serán los puntos (y los desplazamientos) imprescindibles para definir plenamente la posición del sistema. Varios son los métodos desarrollados para este fin, algunos de los principales se estudian a continuación. 1. Procedimiento de masas concentradas.

ste método de discretizacion concentra la masa del sistema solo en determinados puntos del mismo, generalmente en forma de masas puntuales. Así, la masa de la viga de la Fig. 1 a) se

concentra en varias masas concentradas, con lo cual el problema se vera grandemente simplificado. Los desplazamientos (y aceleraciones) quedaran definidos solamente en estos puntos. Considerando que solo ocurran desplazamientos verticales, el esquema de la Fig. 1 a) tendrá 3 grados de libertad (DOFs), los que bastan para definir la posición del sistema discretizado, en todo momento. Si se consideraran posibles desplazamientos horizontales de las masas, se tendrían 3 desplazamientos axiales adicionales, por lo que los DOFs sumarian 6. Obsérvese que si se considerara la viga con su masa distribuida, se tendrían infinitos grados de libertad.

E

2. Desplazamientos Generalizados.

l método de las masas concentradas provee una forma simple de limitar los grados de libertad de

un sistema. Es más efectivo cuando una gran proporción de la masa total esta realmente concentrada en pocos puntos discretos. Pero en los casos en que la masa del sistema esta realmente distribuida, son preferidos otros procedimientos para definir y limitar los DOFs. Uno de ellos es el de los Desplazamientos Generalizados.

E

Este procedimiento se basa en asumir que la configuración deformada de la estructura puede ser expresada como la suma de una serie de patrones de desplazamientos prestablecidos. Estos patrones serán entonces, las coordenadas de los desplazamientos del sistema. Un ejemplo simple de este procedimiento para expresar las deflexiones de una viga, es su representación según funciones trigonométricas (por ejemplo a través de series de Fourier). En la viga de la Fig. 1 b), la deflexión puede ser expresada como la contribución de la suma de varias funciones seno independientes, lo que en forma matemática seria, oo

v ( x ) = ∑ b n sen n π x . n = 1 L

Donde v ( x ) son los desplazamientos verticales (deflexiones lineales o flechas), del sistema. En general cualquier forma arbitraria compatible con las condiciones de borde existentes, puede ser representada por una serie infinita de funciones seno. Las amplitudes de esas formas senoidales pueden ser consideradas como las coordenadas del sistema, de modo que los infinitos grados de libertad de la viga real quedan representados por los infinitos términos incluidos en la serie. La ventaja de este procedimiento esta en que pueden alcanzarse buenas aproximaciones de la real configuración deformada de las vigas, truncando la serie de senos, de modo que una aproximación a por ejemplo, 3 DOFs contendrá solo 3 términos de la serie. Este concepto puede ser generalizado reconociendo que las formas senoidales empleadas como patrones de los desplazamientos, fueron seleccionadas de manera arbitraria en este ejemplo. En general, cualquier funciòn ψ n( x ) que sea compatible con las condiciones de apoyo y que mantenga

García de la Figal, Javier Capitulo 1 La Modelación Matemática.

9

la necesaria continuidad de los desplazamientos internos, podrá ser asumida. Así, la expresión generalizada para los desplazamientos de una estructura de una dimensión será,

v ( x ) = ∑ Z n Ψ n( x ) n

b sen x L

b sen x L

a )m

mm

12

3

v vv

12

3

b sen x L

π1

π2

π3

2

3

v ( x )

=

+

+

+

- - - - - - - - - - -

xL

b )

Fig . 1 . - a ) Idealización de una viga como masas concentradas. b ) Representación de la deflexión de una viga en forma de serie de senos.


10

Para cualquier conjunto asumido de funciones de desplazamientos ψ n la forma resultante de la estructura dependerá de las amplitudes Z n las cuales se denominan coordenadas generalizadas. El número de patrones de formas asumido (funciones) representan los DOFs considerados en esta forma de idealización. Las Coordenadas generalizadas de un sistema con n grados de libertad se definen como todo conjunto de n parámetros independientes, que especifican la posición de cada punto dentro del sistema. Por ser completamente independientes no pueden estar relacionadas de ninguna manera con los constreñimientos impuestos al sistema. 3. El concepto de Elementos Finitos .

n 3 er método para describir los desplazamientos de un sistema en términos de un numero finito de coordenadas de desplazamientos discretas, es el Método de los elementos finitos ( MEF ), el

cual combina ventajas de los 2 procedimientos anteriores. Provee una conveniente y fiable idealización del sistema y es particularmente efectivo en análisis a través de las computadoras digitales.

U

θ3

V

= 1

3 = 1

1 a 2 b 3 c 4 d 5 e 6 f 7

Fig. 2 . - Coordenadas típicas de una viga discretizada en elementos finitos.

Veamos algunos de sus conceptos básicos a través de una viga plana simple. El primer paso en la idealización por elementos finitos es dividir la viga en un número apropiado de segmentos o elementos, como se muestra en la Fig. 2. Sus tamaños son arbitrarios, pudiendo ser todos del mismo tamaño o todos diferentes. Los extremos de los segmentos, a través de los cuales se interconectan entre si, se llaman nodos. Los desplazamientos de estos puntos nodales serán entonces las coordenadas generalizadas de la estructura. La deflexión de la estructura completa puede ser ahora expresada en términos de sus coordenadas generalizadas, por medio de un apropiado conjunto de funciones de desplazamientos asumidas, empleando expresiones similares a ψ n , anteriormente definidas. En este caso, sin embargo, las funciones de desplazamientos se denominan funciones de interpolación, porque definen las formas


11

de los elementos entre los desplazamientos nodales especificados. Por ejemplo, en la Fig. 2 se muestran las funciones de interpolación asociadas con 2 grados de libertad del nodo 3 ( v 3 , θ 3 ) , las cuales producen desplazamientos transversales en el plano de la figura. En principio estas funciones de interpolación pudieran ser cualesquiera curvas que mantengan la continuidad interna de la viga y que satisfagan las condiciones geométricas de los desplazamientos impuestos en los desplazamientos nodales. Para los elementos de este ejemplo es conveniente emplear polinomios cúbicos, conocidos como polinomios hermitianos, mostrados en la Fig. 2. Debido a que las funciones de desplazamientos usadas en este procedimiento satisfacen los requerimientos arriba establecidos, podrá comprenderse que las coordenadas usadas en el Método de los elementos finitos son justamente una forma especial de las coordenadas generalizadas. Las ventajas de este método son las siguientes:

• Puede introducirse cualquier numero deseado de coordenadas generalizadas, mediante simplemente dividir la estructura en un numero apropiado de segmentos.

• Ya que las funciones de desplazamientos seleccionadas para cada elemento suelen ser idénticas, los procesos de cálculo se ven grandemente simplificados.

• Las ecuaciones empleadas por el método están grandemente desacopladas, debido a que cada desplazamiento nodal afecta solo a los elementos vecinos inmediatos. Esto simplifica grandemente también el proceso de cálculo.

La Modelación Matemática.

a modelación matemática en su concepción más general, consta de 3 etapas fundamentales e imprescindibles:

L

• Idealización del sistema, en una formulación matemática que pueda ser resuelta. • La solución de este modelo matemático. • La interpretación de los resultados.

La idealización del problema físico en un modelo matemático, requiere de simplificaciones e hipótesis de trabajo, pero se requiere que la solución que obtenga sea precisa. Está claro que la solución del modelo que se obtenga será válida sólo para el modelo matemático conformado y todas las simplificaciones o errores de él se reflejarán en la solución obtenida. No puede esperarse más información en la predicción del fenómeno físico que la información contenida en el modelo matemático mismo; de ahí la importancia de la correcta construcción del mismo. Se comprende también que nunca se podrá predecir la respuesta del problema físico de forma exacta, pues es imposible reproducir toda la información y detalles presentes en el problema físico real, aún con los más refinados modelos matemáticos. Existen 2 categorías de modelos matemáticos, los modelos discretos (o ”lumped - parameters”), y los modelos basados en la Mecánica del medio continuo (o.”continuum - systems”). Los modelos discretos resuelven y obtienen las respuestas del sistema en función de un número dado de variables de estado, a través de ecuaciones algebraicas. Existen básicamente 3 tipos de


12

modelos discretos en los problemas de ingeniería: los de Estado estable, de Propagación y los problemas de Autovalores y Autovectores (“Eigenvalues” y “ Eigenvectors”). Los modelos matemáticos con base en la Mecánica del medio continuo, conforman las ecuaciones que gobiernan el sistema de forma semejante a los modelos discretos, pero en lugar de trabajar con ecuaciones algebraicas de las variables, trabajan con ecuaciones diferenciales, que son las que definen el comportamiento del sistema. Para obtener la solución exacta del modelo matemático se requiere que todas las condiciones de contorno sean satisfechas, lo que no siempre es posible con exactitud, sino sólo en algunos modelos simples. Por ello se hace necesario en la mayoría de los cálculos, el empleo de procedimientos matemáticos numéricos que buscan la solución lo más cercana a la exacta posible. A continuación se muestra un resumen de los principales tipos de modelaciones matemáticas descritas. Estacionarios Modelos discretos. Dinámicos (o de Propagación) Estacionarios Autovalores Dinámicos Modelación matemática de sistemas de Ingeniería Formulación directa (o diferencial) Modelos continuos. Formulaciones Variacionales. MEF Formulación basada en los Desplazamientos. Método de las Diferencias finitas, MDF.

Modelos matemáticos discretos.

a esencia de los modelos matemáticos Discretos es que el estado del sistema puede ser descrito

directamente con adecuada precisión, por un número determinado de variables de estado. Existen 3 tipos de esta clase de modelo.

L Los problemas Estacionarios son aquellos en los que la respuesta del sistema puede ser obtenida por la solución de un conjunto de ecuaciones algebraicas, en las cuales no interviene la variable tiempo. Es decir que el problema es independiente del tiempo. Muchos de las fórmulas de cálculo que utiliza el ingeniero en su práctica diaria, provienen de asumir modelos Discretos -estacionarios. Se trata de múltiples problemas de Física, Mecánica Teórica y otras disciplinas. En la Fig. 3 se muestra un ejemplo constituido por masas y muelles, sometidos a una fuerza estática F. Haciéndose el cuerpo libre de cada muelle y cada masa, se logra calcular las fuerzas y desplazamientos en cada


13

uno, bajo la acción de la fuerza aplicada. Sea F1, F2, y F3 las fuerzas internas sobre cada uno de los muelles y que, junto a los desplazamientos x1 , x2, son las incógnitas del problema.

K

m

K m KF

xx

1 2 3

1 12

2

Fig. 3 .- Sistema de masas – muelles.

Para el conjunto masa muelle K1 y m1 : F – F2 = x1 * K1 Para el conjunto masa muelle K3 y m2 : F3 = K3 * x2 Para el muelle K2 : F2 – F3 = K2 * (x1 – x2) Del cuerpo libre de la masa m1 puede plantearse además: F = F2 – F1 Y haciendo el cuerpo libre de todo el sistema: F = F1 + F3 Se tienen así las 5 ecuaciones para resolver y obtener las 5 incógnitas del problema: las fuerzas internas y los desplazamientos x1 y x2. Los problemas de Propagación, también conocidos como problemas Dinámicos, se caracterizan porque la respuesta del sistema cambia con el tiempo, o sea el tiempo t es una variable más. En principio emplean el mismo procedimiento de análisis de los sistemas estacionarios, pero las variables de estado y las relaciones de equilibrio dependen del tiempo. El objeto de la solución es calcular las variables de estado para todos los tiempos t. Ejemplo de este tipo de problema es el mismo anterior de muelles y masas, pero ahora considerando sus variables en función del tiempo, es decir en función de cómo se va aplicando la fuerza F, la que será ahora variable. Para ello en lugar de plantear las ecuaciones de la estática, se plantea la ecuación de Newton: F = m * a (a – aceleración), es decir que se consideran las cargas de inercia. Pero estas nuevas cargas se consideran como fuerzas adicionales a las anteriores del estado estacionario, planteándose de hecho el nuevo equilibrio de cada muelle - masa para cada aceleración a, o sea para cada tiempo t. Se trata del conocido Principio de D Alambert, que en esencia reduce el problema a un


14

análisis estacionario, pero con condiciones estacionarias distintas consideradas en cada tiempo t. Los problemas de Autovalores tienen como principal característica la de no poseer una única solución o respuesta, como en los problemas anteriores, sino que pueden tener varias. El objeto del análisis es precisamente obtener esas posibles soluciones. Los problemas de Autovalores o “Eigenvalue” pueden ser tanto Estacionarios como Dinámicos. Estacionarios son, por ejemplo los que abordan los problemas de pérdida de estabilidad (“buckling”), en la zona lineal – elástica; Dinámicos son todos aquellos en los que se requiere trabajar con las frecuencias naturales del sistema, ω. Se trata de los problemas relacionados con las vibraciones de sistemas mecánicos y con las respuestas a las cargas de impacto.

Modelos matemáticos de sistemas continuos.

os pasos básicos para la solución de los problemas basados en la Mecánica del medio continuo son los mismos que en los problemas Discretos, pero en lugar de trabajar con elementos

discretos, lo hacen con elementos diferenciales típicos. El objeto es obtener y resolver las ecuaciones diferenciales que gobiernan el equilibrio (o el movimiento) de ese elemento diferencial, las relaciones constitutivas y los requerimientos de ínter conectividad entre los elementos. Para la solución de las ecuaciones diferenciales se requiere suministrar las condiciones de contorno adecuadas y en problemas dinámicos, las condiciones iniciales también. La solución suele realizarse por Métodos Numéricos.

L

Para ello se han desarrollado varios procedimientos, 4 de los cuales son los mas empleados. Todos tienen por objetivo generar las ecuaciones diferenciales que gobiernan al sistema. Se trata de procedimientos matemáticos algunos de ellos basados en Principios bien conocidos de la Mecánica:

• La Formulación Directa, Formulación basada en los desplazamientos. (Basado en el Principio de los • El Método de los Elementos Finitos ( MEF ). desplazamientos virtuales). Formulaciones Variacionales.

(Basados en el Principio de Hamilton). • El Método de las Diferencias finitas ( MDF ).

1. La Formulación Directa.-

ambién conocida como Diferencial, establece el equilibrio y los requerimientos constitutivos

de un elemento diferencial típico, en función de las variables de estado que intervengan. Se da el caso en estas ecuaciones diferenciales resultantes, de que todos los requerimientos de ínter conectividad necesarios están contenidos en ellas, como corresponde a una solución meramente continua. Pero es más frecuente que las ecuaciones tengan que ser complementadas por ecuaciones diferenciales adicionales, que impongan los constreñimientos adecuados de las variables de estado, para satisfacer todos los requerimientos de compatibilidad. Además y en todos los casos, hay que establecer las condiciones de contorno; y en el caso de análisis dinámicos las condiciones iniciales.

T


15

En varias de las disciplinas tradicionales de las Ingenierías, muchos de los análisis y deducciones se hacen basados en esta formulación. Por ejemplo, en el establecimiento de las ecuaciones que gobiernan los desplazamientos de una viga sometida a flexión (Fig. 4), en Resistencia de Materiales se parte del análisis de un diferencial de longitud dx de la viga, al cual se le establece su cuerpo libre. Según la teoría de Euler - Bernoulli para vigas, basada en las hipótesis de Bernoulli, se obtiene la siguiente ecuación de la elástica de la viga, bien conocida por los ingenieros.

x dxV

M

V + dV

M + dMdxx

L

E Iz

y

x

q y y

z

za

b

P

a) b)

Fig. 4 .- Viga flexionada. a) Esquema de la viga. b) Elemento diferencial.

E Iz y = E Iz y 0 + E Iz θ 0 x + P (x – a)3 / 6 + q (z – b)4 / 24 Donde: Vy - Fuerza Cortante. Iz - momento de inercia de la viga. Mz – momento flector E – módulo de Elasticidad. θ 0 − deflexión angular en x = 0. y 0 - flecha en x = 0. P – fuerza concentrada q – fuerza distribuida. ρ x - radio de curvatura de la elástica. De donde pueden obtenerse otras importantes relaciones muy conocidas, tales como,

d M / dx = V , d V / dx = q

Para el caso en que se desprecie la energía de las fuerzas Cortantes V (o que estas sean realmente nulas = flexión pura), se llega a la conocida ecuación:

1 / ρx = d2 y / dx2 = Mz / E Iz

Todo lo cual constituye la base de las ecuaciones de Resistencia de Materiales, para la flexión de vigas, según la Teoría de Euler - Bernoulli. De hecho muchas de las fórmulas y planteamientos de varias de las Asignaturas y Disciplinas tradicionales de las Ingenierías, están basadas en la formulación Diferencial. Se trata de Asignaturas tales como Resistencia de Materiales, Mecánica de los Fluidos y Termodinámica.


16

2. La Formulación basada en los Desplazamientos. – xiste otro tipo de formulación de trabajo basada en un Principio de hace mucho tiempo conocido

(D’Alambert, 1750), que es el Principio de los desplazamientos virtuales, el cual da pie a una formulación separada de la anterior. Este Principio es de mucha importancia para el método de los elementos finitos MEF y para la Mecánica en general, y se basa en considerar solamente la energía de deformación del sistema. Dada su importancia para el MEF será estudiado más detalladamente. Sus ecuaciones pueden ser establecidas también adicionalmente, partiendo de las ecuaciones diferenciales del sistema. En problemas de 2 y 3 dimensiones, los esfuerzos obtenidos por el Principio de los desplazamientos virtuales son totalmente equivalentes a los obtenidos por el método Directo. El Principio de los Desplazamientos Virtuales establece que: “Si un sistema que se encuentre en equilibrio bajo la acción de un conjunto cualquiera de cargas, es sujeto a desplazamientos virtuales, el trabajo total realizado por esas cargas será nulo”.

E

Puede aplicarse a: una partícula, un cuerpo rígido, un conjunto de partículas o cuerpos rígidos, o a un cuerpo deformable. Analicemos el caso más simple de una partícula A en equilibrio (Fig. 5 a), que tiene aplicada un sistema de fuerzas Σ F = 0. Aplíquese ahora un desplazamiento virtual dU en un sentido dado, y se tendrá que el trabajo T realizado por las fuerzas Σ F será el producto escalar,

T = Σ [ F * d U ]

Que de forma escalar puede plantearse a partir de los valores modulares de los vectores, como,

T = F 1 * d U * cos α 1 + F 2 * d U * cos α 2 + . . . . .

En el caso de una partícula – así como de cuerpos rígidos -, el trabajo T es solo debido a las cargas externas aplicadas. El Principio de los desplazamientos virtuales establece que ese trabajo es nulo, es decir que, Σ [ F * d U ] = 0 , Σ [ F n * d U * cos α n ] = 0

El adjetivo de virtual significa que los desplazamientos virtuales, no son los reales que de hecho ocurrirán en el sistema a consecuencia de las cargas externas reales, sino que son totalmente independientes de estas; y son usados por el analista sólo de forma experimental para establecer la ecuación anterior. Para sistemas formados por sólidos deformables sin embargo (Fig. 5 b), el Principio debe replantearse de la siguiente forma:“El equilibrio de un cuerpo deformable requiere que para cualquier desplazamiento pequeño, compatible y virtual, impuesto sobre el cuerpo en su estado de equilibrio, el trabajo interno total virtual, tiene que ser igual al trabajo externo total virtual”. Se aplica a cada elemento o punto en que se discretiza el modelo, y se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera.


17

Trabajo virtual interno Trabajo virtual externo {ε} {σ} dV = {δUS

n} {f S } dS + [δU Bn} {f B ] dV + {δU R

n} {R} ( 1 ) V S V Esfuerzos en equilibrio con las cargas externas. Deformaciones virtuales correspondientes a los desplazamientos virtuales { δU } Donde: { δU n } – vector desplazamientos virtuales. { ε } − vector deformaciones virtuales. { σ } − vector esfuerzos. { f B} – vector cargas externas volumétricas (body forces). dV – diferencial de volumen del elemento. dS – diferencial de área sobre la cual actúa la presión { f S }. V – volumen total del cuerpo. S – área del cuerpo sobre la que se ejerce la presión { f s }. { f S } – vector cargas externas superficiales (presión). { R } – vector cargas externas concentradas El trabajo virtual interno en los problemas con sólidos deformables, por ser sistemas conservativos, no es más que la energía potencial E que almacena el sólido bajo cargas, durante la aplicación de los desplazamientos virtuales {δUn}. El trabajo virtual externo sigue siendo, como siempre, las fuerzas externas aplicadas multiplicadas por esos mismos desplazamientos virtuales. Para el estudioso del MEF es fundamental entender la aplicación de este Principio en su aplicación a los cuerpos deformables, lo cual no es tan sencillo como pudiera parecer. El termino derecho de ( 1 ), el trabajo de las fuerzas externas, se determina simplemente como el producto de las fuerzas externas aplicadas, por los desplazamientos virtuales de sus puntos de aplicación. El término izquierdo, el trabajo virtual interno, es más difícil de entender y determinar y requiere de una explicación.

α

AA'd U

F

O

U + d UU

a )

R

f

Volumen V

Area S

b )

f BS

δ U

F

F

1

1

2

3

α 2


18

τ

σ

σ

τ

ττ

τ

τ

τx

z

yσ

z x

x y

xzz y

y z

y x

x

y

zc )

Fig. 5 . - El Principio de los desplazamientos virtuales.

a ) Aplicado a una partícula A. b ) Aplicado a un cuerpo deformable. c ) Estado tensional volumétrico.

a expresión de la energía potencial acumulada en un estado tensional volumétrico – el mas

general, Fig. 5 c) -, se determina por la suma de los trabajos de todas las fuerzas distribuidas, actuantes sobre las superficies de ese volumen. La fuerza normal en la cara derecha del elemento de la Fig. 5 c) es,

L

σ x * dy * dz

La que produce un trabajo en el desplazamiento virtual (ε x * dx), dado por:

1 . σ x * dy * dz * ε x * dx 2 siendo ε x la deformación en el eje x, debido a todos los desplazamientos virtuales. Expresiones análogas pueden obtenerse de los trabajos correspondientes al resto de los esfuerzos normales. La fuerza tangencial, τ yz * dy * dx realiza en el desplazamiento virtual (γ yz * dz) un trabajo igual a:

1 . τ yz * dy * dx * γ yz * dz

2 Las expresiones del resto de los sumandos de la energía potencial almacenada dE, se obtienen alternando los subíndices. Como resultado final se obtiene la expresión general,


19

dE = 1 . dx * dy * dz * (σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ yz γ yz + τ zx γ zx + τ xy γ xy ) 2 Esta energía se acostumbra a referir por la unidad de volumen, obteniéndose, dE o = 1 . (σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ yz γ yz + τ zx γ zx + τ xy γ xy ) 2 Para determinar la energía potencia E en todo el volumen del cuerpo deformado, se integra dE o a lo largo de todo el volumen del cuerpo, obteniéndose: E = dE o * dV = 1 . (σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ yz γ yz + τ zx γ zx + τ xy γ xy ) * dV 2 V V Que puede expresarse en forma matricial como, E = { ε } ∗ { σ } ∗ dV L.Q.Q.D. V Que como se observa, es la expresión del termino izquierdo de ( 1 ). En la misma los términos { ε } y { σ } se refieren a todos los tipos de deformaciones y esfuerzos posibles, o sea, tanto lineales y angulares, como normales y tangenciales, respectivamente. Por tanto, la energía potencial acumulada en un cuerpo deformable, se determina a partir del producto de las deformaciones por los esfuerzos. Esta es la vía que emplea el MEF al aplicar el Principio de los desplazamientos virtuales, para hallar la rigidez de cada elemento finito.

l Principio puede plantearse también a partir de las cargas internas de los cuerpos deformables. Sea la viga cargada con el momento concentrado M de la Fig. 6 a), a la que se impone un

desplazamiento virtual unitario de rotación adicional θ = 1, en el extremo derecho libre. La energía potencial de deformación de una viga sometida a flexión pura es:

E

E = M z2(x) * dx .

2 * E I z L Debe observarse que la viga esta ya inicialmente deformada debido a la acción de M; se trata ahora de analizar la acción adicional de un desplazamiento unitario θ = 1. Durante la aplicación del mismo no solo se generan adicionales deflexiones angulares a lo largo de la viga, sino también nuevas flechas, todas virtuales. Por lo que el momento externo M genera 2 energías potenciales de


20

deformación, una debido a las deflexiones angulares virtuales a lo largo de la viga y otra por las flechas verticales virtuales. Recordando que, y’’ = d 2y = d θ = M z(x) * dx . d x

2 d x E I z y como en este problema M z(x) = M = constante, puede plantearse, E = M . E I z y’’ d x + M . E I z d θ d x 2 E I z L 2 E I z L d x Debido a lãs flechas Debido a lãs deflexiones angulares Sustituyendo y’’ = d θ . e integrando a todo lo largo L de la viga, queda, d x E = M θ . + Μ θ . = M θ

2 2 Esta es la energía potencial (interna), que genera M debido al desplazamiento unitario, θ = 1. El trabajo externo T realizado por el momento M es sencillamente,

T = M θ donde θ = 1

L

P

EI

y

x

z

Y

XL

EI

y

x

z M

a ) b )

Elastica virtual

1 2

Fig. 6. Esquema de viga simplemente empotrada.

a ) Con momento concentrado M. b ) Con fuerza concentrada P. x, y – sistema coordenado de la viga. X, Y – sistema coordenado Global.


21

Según el Principio de los desplazamientos virtuales, debe cumplirse que, E = T Sustituyendo queda: M = M ¡ O. K. ¡ En problemas más complejos habrá que tener en cuenta en la determinación de la energía potencial de deformación E, las producidas por las otras cargas internas que estén ocurriendo, las que pueden llegar a ser de 6 tipos: 2 Flectores, 2 Cortantes, Normal y Torsor. De modo que la aplicación de este Principio consiste en determinar la energía potencial y virtual interna del sistema y el trabajo virtual externo producido por las cargas aplicadas, los que tienen que ser iguales entre sí. Y todo durante la aplicación adicional de desplazamientos virtuales en el sistema, los que se toman simplemente iguales a la unidad. Este es el significado de la expresión (1). ebe observarse que para establecer esa relación entre trabajo interno y externo, es necesario aplicar algunas de las Teorías de calculo de las Ingenierías, que establezcan por ejemplo, las relaciones entre los esfuerzos { σ } y las deformaciones { ε }, con las fuerzas externas y los desplazamientos virtuales { δU }. Hay elementos que emplean la teoría de Euler - Bernoulli para vigas, (elementos BEAM), otros la teoría de placas (elementos SHELL), mientras los elementos volumétricos SOLID, hacen uso de la teoría de la Elasticidad. Otros elementos emplean otras diversas teorías de cálculo. Es decir que la implementación de este Principio implica la aplicación de alguna de las Teorías de cálculo de las Ingenierías y las Ciencias Técnicas, lo que explica la gran diversidad de elementos finitos actualmente existentes y el amplísimo campo de trabajo que puede cubrir el MEF.

D

El Principio de los desplazamientos virtuales sirve de base a la Formulación basada en los desplazamientos, la que considera como variables (o sea incógnitas) a los desplazamientos del sistema y es aplicado a problemas de estructuras y sólidos en general. Pero hay otros Principios semejantes, aplicables a otros tipos de análisis. Así se tiene el Principio de las temperaturas virtuales, que considera como variables a las temperaturas, para análisis de flujos de calor y temperaturas; y el de Velocidades virtuales para análisis de flujos de fluidos, con velocidades como variables. Estos Principios son una de las razones de que el MEF sea aplicable a tantos tipos de problemas de Ingeniería distintos. 3. Las Formulaciones Variacionales. -

l Principio de los desplazamientos virtuales tiene una limitación en su aplicación a algunos

tipos de problemas. Si bien en ( 1 ) el vector deformaciones { ε } puede referirse tanto a las deformaciones longitudinales ε como a las tangenciales γ, ambas deben ponerse en función de los desplazamientos { δ U }, para poder procederse a la aplicación del Principio. Donde { δ U } pueden ser tanto desplazamientos virtuales lineales δ y como angulares δθ. Pero hay elementos en que las deformaciones y energías tangenciales no pueden ser puestas en función de los desplazamientos angulares θ, como es el caso de los elementos que modelan vigas y los que modelan placas y bóvedas (elementos BEAM y SHELL respectivamente). En ellos las deformaciones y energías tangenciales varían a lo largo del espesor de la viga o placa, por lo que no dependen solamente del correspondiente ángulo θ de cada sección transversal. Existen otros Principios de trabajo más

E


22

generales que permiten tener en cuenta esas energías de forma separada, como una integral adicional. Esto no puede ser realizado a través del Principio de los desplazamientos virtuales. Uno de estos otros Principios es el Principio de Hamilton, que en su forma mas general establece que, t 2 t 2 δ ( E K – E ) * d t = δ W * d t = 0 t 1 t 1

Donde: E k - energía cinética total del sistema. E - energía potencial del sistema, incluyendo tanto la energía de deformación como la potencial de toda fuerza conservativa externa. W - trabajo realizado por las fuerzas no conservativas actuantes en el sistema, incluyendo las de amortiguamiento.

δ - variaciones ocurridas durante el intervalo de tiempo indicado. El Principio de Hamilton establece que las variaciones de las energías cinética y potencial mas la variación del trabajo realizado por las fuerzas no conservativas, consideradas todas durante un intervalo de tiempo dado, de t 1 a t 2 , tienen que ser iguales a cero. La aplicación de este Principio lleva directamente a las ecuaciones de movimiento del sistema. Posee la ventaja frente el Principio de los desplazamientos virtuales, de que trata solo con cantidades escalares: las energías, que son mucho más fáciles de trabajar que los vectores. Mientras que el anterior Principio hace uso de fuerzas y desplazamientos, es decir magnitudes vectoriales. Aunque el trabajo en si sea un escalar. La aplicación de este Principio a problemas estáticos lleva a que las variaciones de la energía cinética E k sean nulas, mientras los restantes parámetros permanezcan constantes respecto al tiempo. La ecuación anterior queda entonces, δ Π = δ ( E K – E ) = 0 Este es el bien conocido Principio de la energía potencial total mínima o estacionaria. Este Principio permite establecer nuevas Formulaciones matemáticas para obtener el modelo matemático del sistema, llamadas Formulaciones Variacionales, basadas en todas las energías del sistema.. Todo esto se vincula con el surgimiento de los métodos Variacionales en el Análisis Matemático, en fecha tan reciente como en el ano 1943, que permitiera que más adelante Duvaut, Lions, Nayroles y otros autores desarrollaran nuevos métodos de trabajo (1970), que son realmente más generales en su aplicación al MEF. De la conjunción de todos estos factores surgen los novedosos procedimientos matemáticos conocidos como las Formulaciones Variacionales. Las más empleadas están basadas en el Principio de la energía potencial total estacionaria del sistema Π, la cual se invoca que debe ser estacionaria (nula), en todo momento con respecto a las variables de estado.

eamos la aplicación de este Principio primero a un sistema discreto y luego a uno deformable. En un sistema discreto con n grados de libertad y rigidez [ K ], la energía potencial total viene dada

por,

V


23

T T Π = 1 . { U } [ K ] { U } + { U } { R }

2

Donde { U } - desplazamientos reales y de todo tipo de los puntos de aplicación de las fuerzas. { R } - vector fuerzas aplicadas. Debiendo cumplirse que: δ Π . = 0 para i = 1, 2 ,3, 4, . . . . , n δ U i

En cuerpos deformables surge el problema de determinar la rigidez [ k ] del mismo, lo cual lleva al planteamiento de este Principio de la siguiente forma.

{ε} [C] {ε} dV = {US} {f S } dS + [U B} {f B] dV + {U R} {R} V S V = { σ }

Donde los desplazamientos { U } son los desplazamientos reales del cuerpo, bajo la acción de las cargas externas aplicadas. Y [ C ] es la matriz de elasticidad o constitutiva de los elementos. En la expresión de arriba { σ } y { ε } se refieren a los esfuerzos y deformaciones tanto normales como tangenciales. Esta expresión matemática del Principio de la energía potencial total estacionaria, se aplica a cada elemento finito para determinar las matrices de rigidez [ k ] de los mismos. Como su propio nombre indica, permite considerar todas las formas de energías potenciales Π que tiene el sistema y no solo las que puedan ponerse matemáticamente en función de los desplazamientos { U }; tal como por ejemplo, las energías potenciales de las deformaciones tangenciales existentes en los espesores de las vigas, placas y bóvedas. Puede apreciarse su completa semejanza con las expresiones ( 1 ) del Principio de los desplazamientos virtuales, pero con algunos cambios importantes, como el ya mencionado uso de los desplazamientos reales { U }. Pero el mas relevante es que hace factible tener en cuenta las deformaciones y energías transversales en cualquier situación, puesto que además del vector {ε} que se pone en función de los desplazamientos { U }, se pueden adicionar otras integrales para considerar las energías y deformaciones en el espesor de los elementos finitos. De manera que esas deformaciones y energías transversales sean también incógnitas del problema, junto a los desplazamientos. De este modo se consideran las energías y deformaciones que no pueden ponerse en función de los desplazamientos { U }. Debe recordarse que en el Principio de los desplazamientos virtuales todas las deformaciones a ser consideradas, deben ponerse en función de los desplazamientos, teniendo entonces como variables solo a los desplazamientos. Además, el Principio de la energía potencial total estacionaria permite tener en cuenta las llamadas condiciones de contorno naturales, como siempre implícitas en la expresión de Π; mientras las llamadas condiciones de borde esenciales deberán ser establecidas separadamente. Estas ultimas son las condiciones de borde del problema, que se corresponden con los desplazamientos y defor - maciones, en los problemas de tipo estructurales. Por ello también se conocen como condiciones de


24

borde geométricas. Las condiciones de borde naturales, también conocidas como de fuerzas en estos problemas, son las que se corresponden con las fuerzas y momentos prescritos en el contorno. Todo esto amplia considerablemente el campo de empleo del Principio de la energía potencial total estacionaria, siendo también muy utilizado actualmente como base de muchos de los elementos finitos más actuales y con mayores posibilidades de calculo. Es el empleado, por ejemplo, en la mayoría de los análisis no lineales. Existen sin embargo, otros Principios Variacionales que son también empleados como bases de otras Formulaciones del MEF, tales como el Principio de Hellinger – Reissner y el Principio de la Energía Total Complementaria. Pero por sus altas complejidades son mucho menos populares. 4. El Método de las Diferencias Finitas . –

ste Método no es en sí una nueva Formulación, sino más bien un procedimiento matemático para la aplicación de las otras Formulaciones. Es otro de los procedimientos clásicos existentes

para hallar la solución numérica de las ecuaciones del modelo matemático de los problemas de la Mecánica del continuum. Es muy apreciado y familiar porque sus bases refuerzan nuestra comprensión de los procedimientos de división del problema en partes finitas. En este procedimiento matemático las derivadas son remplazadas por aproximaciones diferenciales, pudiendo procederse de una forma directa a la solución de la Formulación Diferencial o la Variacional. Es decir, la solución de las ecuaciones del modelo. Aunque puede ser empleada – y se emplea -, en todo tipo de problemas de la Mecánica del continuum, en la actualidad tiene mayor uso en los problemas de Fluidos y de Transferencia de calor, en donde se presentan sistemas de ecuaciones en derivadas parciales (elípticas, parabólicas o hiperbólicas), en las cuales ha demostrado ser especialmente eficiente.

E

El Método es bastante empleado por lo que se explicara con algún detalle a continuación, en su versión más simple, que es en la implementación del modelo matemático por medio de la Formulación Diferencial. Sea la barra uniforme de la Fig. 7 a), cuya ecuación diferencial es,

u ” + f B = 0 ( 1 I ) E A Y las condiciones de contorno.

u = 0 para x = 0

E A d u = P para x = L d x Empleando un espaciamiento h igual entre las estaciones de diferencias finitas (Fig. 7 b), puede plantearse,


25

u ‘ i + ½ = u i + 1 - u i u ‘ i – ½ = u i - u i - 1 h h u” i = u ‘ i - ½ - u ‘ i + ½ . h O también, u “ i = 1 . ( u i + 1 - 2 u i + u i – 1 ) h Esta última relación se denomina la aproximación diferencial central. Si se sustituye la misma en la ecuación del modelo, se obtiene, E A ( - u i + 1 + 2 u i - u i – 1 ) = f

Bi h ( 1 II )

h Donde f B

i es la carga f B ( x ) en la estación i, y f Bi * h puede interpretarse como la carga total

aplicada en esa estación de diferencias finitas. Asumiendo ahora que se emplea un numero total de n + 1 estaciones de diferencias finitas en la barra, con la estación i = 0 en el extremo fijo y la estación i = n en el otro extremo, las condiciones de borde pueden replantearse como,

u o = 0

E A u n + 1 - u n – 1 . = P 2 h donde se ha introducido la estación ficticia n + 1 fuera de la barra (Fig. 7 c), solo para imponer esta ultima condición de borde. Para la solución por diferencias finitas se aplica ( 1 II ) a todas las estaciones i = 1 , . . . . ., n y se usan las condiciones de contorno ultimas planteadas, obteniéndose, P I 2 - 1 u i P 2 - 1 2 - 1 u 2 P 3 - 1 2 - 1 u 3 = E A - - h - - P n- 1 - 1 2 - 1 u n – 1 P n - 1 1 u n Donde: P i = f B

i h , i = 1 , . . . . , n – 1 , y P n = f Bn = f B

n h / 2 + P


26

Que es la misma ecuación del sistema que se hubiera obtenido por las otras Formulaciones, en este sencillo ejemplo. Las cargas en los nodos correspondientes a f B ( x ), podrán ser obtenidas usando el valor de la carga distribuida en el nodo i y multiplicando ese valor por el espaciamiento h para los nodos interiores, y por h / 2 para el nodo extremo. El sistema de ecuaciones anteriores puede plantearse también como,

{ P } = [ K ] * { u } ( 1 III ) Que constituyen las ecuaciones del modelo matemático de la barra. Queda ahora resolver estas ecuaciones por alguno de los procedimientos de los Métodos numéricos. De este modo es que se resuelve la ecuación diferencial de equilibrio ( 1 I ) por las aproximaciones por diferencias finitas. Cuanto mayor sean las estaciones de diferencias finitas empleadas, o sea menor el espaciamiento h, más precisos serán los resultados obtenidos. Obsérvese que aquí junto con la aplicación del Método de las Diferencias finitas, se ha aplicado la Formulación Diferencial, pues se ha empleado la ecuación diferencial del problema ( 1 I ), en la creación de las ecuaciones de modelo matemático ( 1 III ). En este caso es necesario al aproximar por diferencias finitas, imponer en los coeficientes de la matriz tanto las condiciones de borde esenciales, como las naturales. En este ejemplo, todas ellas pueden ser fácilmente impuestas. Los desplazamientos nulos en los bordes, son las condiciones esenciales y la carga P en el otro extremo será la condición natural. Sin embargo, en problemas con geometrías más complejas la imposición de las condiciones de borde naturales puede complicarse bastante.

x f ( x ) PB

a )

b ) c )

i - 1

i - 1 / 2

i

i + 1 / 2

i + 1

h / 2 h

h h

n - 1 n n + 1

h h

f ( x ) = a xB

Fig. 7 . - Análisis por diferencias finitas de una barra. a ) Barra a ser analizada. b ) Estaciones de diferencias finitas, i – 1, i, i + 1. (Lãs locaciones

i – ½ , y i + ½ no son estaciones) c ) Estación ficticia fuera de la barra.


27

Para salvar esto, se han desarrollado procedimientos de análisis por diferencias finitas basados en el Principio de la energía potencial total estacionaria Π. En este procedimiento las derivadas de los desplazamientos en la energía potencial total Π del sistema, son aproximadas por diferencias finitas, y la condición de una mínima Π se emplea en determinar los desplazamientos incógnitas, en las estaciones de diferencias finitas. Dado que se hace uso de la Formulación Variacional del problema analizado, solo tienen que ser satisfechas las condiciones de borde esenciales (geométricas), en la diferenciación. Este método se conoce como el Método energético de las diferencias finitas. Una ventaja de este último procedimiento radica en la efectividad con que se generan los coeficientes de la matriz de las ecuaciones algebraicas. Esto es debido a la simplicidad que permite el esquema de integración por la energía. No obstante todo lo dicho, sin embargo, el Método de los elementos finitos MEF es una técnica mucho más poderosa y general, siendo la causa del mayor éxito y empleo del mismo en la actualidad. Una de sus varias ventajas es que maneja con mucha mayor facilidad las condiciones de frontera, en especial las irregulares y variables, las que incluye como integrales de una función que se debe minimizar, por lo que el procedimiento queda independiente de las condiciones de frontera del problema.

modo de resumen de este epígrafe puede decirse que las ecuaciones del modelo matemático de un sistema pueden obtenerse por cualquiera de los 4 Principios y Formulaciones aquí

planteados. En la actualidad cuando los modelos son cada vez más complejos y voluminosos, tienen una mayor aplicación las últimas 3 Formulaciones. Mientras el Principio de los desplazamientos virtuales hace uso de los trabajos virtuales, que son magnitudes escalares que pueden sumarse algebraicamente, trabaja también con fuerzas y desplazamientos que son vectores, más complejos de trabajar. Por otro lado el Principio de la energía potencial total estacionaria no emplea fuerzas (vectores), sino solo las variaciones de las energías del sistema, o sea magnitudes escalares lo que puede simplificar los cálculos matemáticos. Debe señalarse no obstante, que los 4 procedimientos son completamente equivalentes y llevan a idénticas ecuaciones de movimiento del sistema.

A

De este modo se tienen algunas de los principales Principios y Formulaciones matemáticas para la conformación de los modelos matemáticos en sistemas de Ingeniería, habiéndose constituido las mismas en una importante rama de las ciencias actuales. Todas se emplean en los mismos tipos de problemas del continuum, térmicos y de fluidos, es decir son procedimientos para resolver los mismos tipos de análisis, dando resultados muy semejantes y equivalentes. Incluso algunas de los pasos que se dan en los diferentes procedimientos, llegan a ecuaciones y planteamientos iguales entre sí. Sin embargo, en el proceso de modelación y simulación de sistemas, la conformación y solución del modelo matemático aquí visto es sólo una parte de todo el proceso de modelación del problema físico real. O sea, que la modelación matemática es mucho más que los aspectos matemáticos propiamente dichos, lo que se verá en detalle en el Capitulo 3. El ingeniero, incluso en su trabajo profesional de análisis y cálculos, se ve obligado a hacer modelos previos de los sistemas que calcula, si bien en la mayoría de los casos emplea los modelos típicos ya elaborados y muy bien conocidos en las distintas disciplinas. En efecto, en los cálculos tradicionales que se realizan en las Ingenierías el especialista hace en primer lugar, de forma implícita o explícita, un modelo del problema real a solucionar, que ha sido más conocido como esquema de análisis. Así los principios generales en que se basa el proceso de modelación de, por ejemplo un sistema estructural dado, que constituyen los pasos para su implementación, son los siguientes.

1. Idealización total del sistema a simular, como un ensamblaje por ejemplo de vigas, placas, elementos continuos, etc., interconectadas por medio de las uniones entre ellos.


28

2. Identificación de los desplazamientos desconocidos de esas uniones, los cuales definen completamente, la respuesta del sistema.

3. Formulación del balance de ecuaciones de las fuerzas, correspondientes con los desplazamientos de las uniones o puntos de interés. Solución de esas ecuaciones.

4. Una vez conocidos los desplazamientos de los nodos, calcular las distribuciones de los esfuerzos, deformaciones y otros parámetros internos de los elementos.

5. Interpretación y análisis de los desplazamientos y demás parámetros calculados.

Para comprender el proceso de modelación por el MEF, es interesante ver primero como se hace la modelación (o esquematización) en los problemas abordados comúnmente por el ingeniero y que se estudia en el Pregrado de las carreras de Ingeniería. En el siguiente epígrafe se abordan 2 problemas típicos de la ingeniería mecánica, resueltos por el método tradicional de la Formulación Directa.

Métodos tradicionales de cálculo.- Teoria de vigas de Euler – Bernoulli . -

continuación se analiza a través de 2 ejemplos simples, los pasos que se emplean para abordar problemas de Resistencias de Materiales por los métodos tradicionales de ingeniería y se vera

que son los mismos empleados en la modelación matemática en general. O sea que el Ingeniero en sus cálculos tradicionales, esta haciendo uso de hecho, de modelos matemáticos bien conocidos y establecidos previamente. Sea una viga como la mostrada en la Fig. 6 b), la cual ya está esquematizada, es decir ya se ha aplicado el paso 1 del proceso de modelación de una estructura. El mismo incluye también la selección del comportamiento o tipo de material, el que se considerará aquí lineal - elástico. La estructura está constituida por una única viga trabajando en el plano y las uniones son un empotramiento – a la izquierda - y el extremo derecho libre. La carga es la fuerza P aplicada en el extremo libre y la rigidez transversal de la viga es E Iz.

A

Paso 2. Los desplazamientos de las uniones (los extremos de la viga) son bien simples: en el empotramiento son todos nulos; mientras que en el extremo derecho se considerará el desplazamiento vertical o flecha en el eje Y, y 2

max y la deflexión o desplazamiento angular, θ 2max. Todo

ello gracias a la aplicación de Teoría de Euler – Bernoulli, basada en las hipótesis de Bernoullí para vigas, y en varias otras hipótesis de tipo general, como la hipótesis de la invariabilidad de las dimensiones originales de las piezas, el principio de Saint Venant, etc. Paso 3. Es conocido de Resistencia de Materiales, que la flecha y 2

max del extremo libre de una viga en voladizo viene dada por,

y 2 max = (P L3 ) / (3 E Iz )

Arreglando convenientemente,

P = [3 E Iz / L 3] * y 2 max ( 2 )

Por otro lado, es posible llegar también a,


29

P = 2 E I z * θ 2

max ( 2 I ) L 2

Donde: y 2

max - deflexión lineal del extremo libre de la viga. Desplazamientos del extremo libre. θ 2

max - deflexión angular del extremo libre. Los términos entre corchetes de las ecuaciones ( 2 ) y ( 2 I ), son las rigideces a flexión de esa viga, o sea es todo lo que no sea fuerzas ni desplazamientos (deflexiones) en esas expresiones. La solución de esas ecuaciones es muy sencilla. Conociendo P se despejan los desplazamientos; o viceversa, conocidos estos se obtiene la fuerza. De esta forma queda establecido el balance de fuerzas correspondientes con los desplazamientos, procediéndose al despeje deseado. Paso 4. El cálculo de los esfuerzos en cualquier punto de la viga se hace por las conocidas ecuaciones de Resistencia de Materiales. Para el empotramiento por ejemplo, los esfuerzos máximos son:

σmax = Mz / Wz

Y para cualquier punto de la viga, τmax = Vy * S*z / b * Iz

Donde: Mz = P L - Momento flector en el empotramiento. Vy = P - Fuerza Cortante. Wz - Módulo de resistencia a flexión de la viga, Iz - momento de inercia de la viga. S*

z - Momento estático de la mitad del área de la viga, respecto al eje z. b – ancho de la viga. Paso 5. Los resultados obtenidos tienen las limitaciones propias del modelo escogido (Fig. 4) y de las hipótesis simplificadoras de las fórmulas empleadas. Así es difícil encontrar en la práctica un empotramiento perfecto como el aquí asumido, pues siempre hay algún tipo de rotación mínima. La fuerza se asumió que se aplicó en un único punto, lo cual nunca ocurre: siempre actúa sobre un área, por mínima que ésta sea. El material se asumió perfectamente lineal-elástico, caracterizado por un módulo de elasticidad E constante y fijo, lo que tampoco ocurre nunca exactamente así. Desde el punto de vista de los resultados obtenidos, su precisión dependerá además de todo lo anterior, de las simplificaciones que traen consigo las fórmulas empleadas, las que se basan en teorías que asumen hipótesis simplificadoras en sus propias formulaciones. Así por ejemplo, las ecuaciones aquí empleadas se basan en la Teoría de Euler - Bernoulli para vigas y suponen las hipótesis de Bernoulli para el cálculo de vigas: la indeformabilidad de la normal a la viga antes y después de cargada y la no consideración de la energía de las deformaciones tangenciales. Junto con otro grupo de hipótesis generales, tales como la de la invariabilidad de las dimensiones originales, el principio de Saint Venant y otras. En la medida que la experiencia y estudios previos demuestran la adecuada precisión de estas fórmulas, el diseñador podrá darse por satisfecho respecto a la solución realizada del modelo matemático propuesto. El modelo matemático en este caso, está constituido por el esquema de análisis realizado en el Paso 1 y por los Pasos 2 y 3, es decir hasta la formulación y solución de las ecuaciones ( 2 ) y ( 2 I ).


30

Debe observarse que ( 2 ) y ( 2 I ) relacionan la fuerza con los desplazamientos, siendo este el tipo de relaciones que buscará conformar y luego resolver el MEF. En este ejemplo las ecuaciones ( 2 ) y ( 2 I ) fueron muy simples de obtener, pero en problemas más complejos (por ejemplo en sistemas hiperestáticos), ambas formulas se convierten en un sistema de muchas ecuaciones, requiriéndose la aplicación de métodos matemáticos avanzados, que serán parte integrantes también del MEF, para hallar su solución. En el caso de sistemas constituidos por vigas y barras, la aplicación del MEF coincide en principio con el Método de los Desplazamientos, tan ampliamente utilizado para obtener la solución de problemas hiperestáticos en estructuras. El MEF permite extender estos principios de trabajo a otros tipos de elementos estructurales, siendo esta una de sus principales ventajas que le ha ayudado a su amplia difusión y empleo en la actualidad. Teoría de placas de Kirchhoff . -

continuación a modo de un 2º ejemplo, se analiza el planteamiento de algunas de las ecuaciones de cálculo para un elemento plano con capacidad de simular una placa, o sea un elemento finito tipo SHELL. Sea una placa rectangular de espesor t (Fig. 8 b), de material isotrópico y lineal-elástico, que cumple con la teoría de Kirchhoff para placas – es decir que se trata de una placa de espesor t fino -. Las hipótesis de Kirchhoff para placas establecen que la recta normal al plano medio antes de la deformación, continuara siendo recta y normal al plano deformado (Fig. 8 a ). Esto implica que no ocurrirán deformaciones tangenciales en el espesor, o sea: γ x z = γ y z = 0. Existiendo solo las deformaciones: ε x , ε y , γ x y , todas en el plano de la placa.

A

Los desplazamientos posibles en este tipo de placa serán los siguientes, w = w ( x, y ) deflexiones lineales transversales (flecha). u = - z δ w desplazamientos lineales en dirección x. δ x v = - z δ w desplazamientos lineales en dirección y. δ y θ x = δ w , θ y = δ w deflexiones angulares. δ x δ y Es decir, solo acciones en el propio plano de la placa, quedando todo además en función únicamente de la flecha w. Este será entonces el único desplazamiento necesario de ser hallado, lo que constituye una de las grandes simplificaciones de la teoría de Kirchhoff para placas finas. Si la placa está simplemente apoyada a todo alrededor y cargada con una presión uniforme q en una de sus caras (Fig. 8 b), la flecha w en un punto cualquiera de coordenadas x,y, viene dada por, w = (16 q / π 6 ) * sen (π x / a) * sen (π y / b) ( 3 I ) (t 3 / 12) [ (C11 / a 4) + 2 H / (a b) 2 + (C22 / b 4) ]


31

donde: C11 = C22 = E / (1 - ν2 ), C33 = G, C12 = ν E / (1 - ν2 ), H = 2 C33 + C12 E – módulo de elasticidad del material. ν - coeficiente de Poisson. G – Módulo de elasticidad de 2o orden, o de Distorsión. t - espesor de la placa. z - distancia del plano neutro a cualquier punto del espesor, en la dirección z, (Fig. 8 c). Arreglando convenientemente, se tiene la expresión ( 3 II ),

q = w * (t 3 / 12 ) [ (C11 / a 4 ) + 2 H / (a b)2 + (C22 / b 4 ) ] * π 6 ( 3 II ) [16 * sen (π x / a) * sen (π y / b) ]

Todo lo que en esta última expresión no sea la carga aplicada q, ni el desplazamiento w, es la rigidez de la placa sometida a flexión. En la Teoría de Placas de Kirchhoff se demuestra que las relaciones entre las deformaciones { ε } y la flecha w, vienen dadas por, δ2 w / δx2 ε x

- δ2 w / δy2 * z = ε y = ε ( 3 III ) 2 δ2w / δx δy τ xy donde ε - es el vector deformaciones en los distintos puntos x, y, z de la placa. El paso siguiente es calcular los esfuerzos en puntos cualesquiera de la placa, Fig. 8 c), a partir de conocer las deformaciones { ε }. Para ello se aplica la Ley de Hooke, la que puede plantearse en su forma matricial de la siguiente manera,

{ σ } = [ C ] ∗ { ε }

Según la Teoría de las Placas, la matriz de Elasticidad [ C ] de este elemento, que tiene un estado tensional plano en sus puntos interiores, viene dada por, E νE 0 [ C ] = 1 /(1-ν2) ∗ νΕ Ε 0 ( 3 ) 0 0 G(1-ν2) Sustituyendo en ella las expresiones de { ε } anteriores y desarrollando las matrices,


32

xw

z

δδ

wx

a )

= θ y

y

x

q

ab

z, w x, y, z - Sistema de coordenado

elemento.q - cargas externas

t - espesor de la pl

w - flecha (desplaza direccion z), de punto de la plact

Punto cualquiera

b )

σ x

σy

σy

σ x

τ x y

c )

z

Plano Neutro

Fig. 8.- Placa sometida a flexión según la teoría de Kirchhoff. Elemento finito tipo SHELL. a ) Desplazamientos. b ) Esquema de la placa. c ) Estado tensional de un punto cualquiera.


33

σx C11 C12 0 δ2 w / δx2

σy = C21 C22 0 * - δ2 w / δy2 * z ( 4 ) τxy 0 0 C33 2 δ2w / δx δy

Donde los elementos C i j de la matriz de elasticidad elemental [ C ], pueden verse en las ecuaciones ( 3 ), es decir,

C 11 = E / (1 - ν2 ) , C 12 = ν E / (1 - ν2 ) , ....................... , etc.

Las expresiones ( 4 ) son por tanto, la forma de expresar la Ley de Hooke en las placas finas sometidas a flexión y son una de las expresiones que emplean los elementos finitos tipo SHELL. Las ecuaciones ( 3 ), ( 3 I ), ( 3 II ) y ( 4 ) son sólo algunas de las relaciones que se necesitan para conformar el modelo matemático de una placa a flexión, a través de los elementos finitos tipo SHELL, que permiten la simulación de este tipo de problema físico real. Son ecuaciones lineales y diferenciales que relacionan los esfuerzos y deformaciones en cualquier punto del elemento, con los desplazamientos en esos puntos, que para una placa son las flechas w. Así como de esas flechas con las cargas externas q. Es decir, relacionan y permiten calcular los principales parámetros de todo cálculo de resistencia y rigidez: esfuerzos, deformaciones y desplazamientos. En el caso más general de un elemento finito de tipo estructural, pueden existir hasta 6 esfuerzos por nodo – 3 normales y 3 tangenciales -, y 6 desplazamientos – 3 lineales y 3 de rotación, - en cuyo caso las relaciones ( 3 ) y ( 4 ) se amplían a un sistema de 6 ecuaciones. De esta forma se aborda, por la Teoría clásica de Placas, los cálculos de resistencia y rigidez de las mismas.


34

Capítulo 2.

Principios y conceptos básicos.

Introducción. Principios básicos del MEF. Conceptos básicos del método de los elementos finitos. Rigideces de los elementos estructurales. Las matrices [ B ] y [ C ]. La matriz de rigidez global. Transformaciones de las Matrices de rigidez.. Las ecuaciones de equilibrio. Metodología para crear la matriz de rigidez global. Ejemplos.

Introducción. l MEF es una amplia y compleja metodología de cálculo aplicable a muy diversos problemas físicos de análisis de ingeniería, diseño y sobre todo de investigación científica, que ha tenido

un amplísimo desarrollo y extensión en las últimas décadas y lo continua teniendo en la actualidad. En sus inicios fue empleado en el análisis de estructuras hiperestáticas, sobre todo en ingeniería Civil primero y en la industria aeronáutica después, en lo que puede considerarse su antecedente. En la actualidad en que las potencialidades del método se han desarrollado extraordinariamente y se ha extendido el uso de las computadoras personales y los programas de cálculo, el énfasis ha pasado a las investigaciones en las más diversas esferas, así como en el diseño y en muy variados análisis de las ingenierías mecánica, civil, eléctrica y aeroespacial. Se ha ido introduciendo su empleo también en investigaciones de circuitos eléctricos y en problemas de la Física. El surgimiento de programas especializados (“software”) en el mercado, ha ayudado mucho a esta rápida expansión. Amplio es el uso del MEF en el campo del diseño asistido por computadoras CAD. Pero hay que tener presente que es sólo una parte de todo el proceso de diseño completo, aunque ciertamente una importante parte del mismo, como puede apreciarse en las etapas del diseño por CAD que se muestran en el siguiente cuadro sinóptico. Generación de la geometría. Análisis por el MEF. CAD Análisis cinemático y de otros tipos. Dibujo automatizado.

E

Los pasos para la modelación por elementos finitos son básicamente los mismos que para la modelación tradicional empleada por el ingeniero, vistos en el Capítulo 1. Viéndolo en su forma más general, las principales etapas de la modelación o análisis empleando el MEF, pueden plantearse como se muestra en la Fig. 9, y son:

García de la Figal, Javier Capitulo 2 35 Principios y Conceptos Básicos.

Problema físico

.Establecimiento de criterios e hipótesis del modelo.

Asumciones sobre:* Geometría* Cinemática* Material* Cargas* Condiciones de bordes* Etc.

Conformación del modelo matemático.Selección de: * Elementos finitos * Densidad del mallado. * Parámetros de solución.Representación de: * Cargas * Condiciones de borde * Otras consideraciones.Conformación de ecuaciones de equilibrio.

Solución del sistema de ecuaciones.

Obtención de otros resultados. Análisis de la exactitud de la solución del modelo matemático.

Interpretación de los resultados. Validación.

Mejoramiento del diseñoOptimización del sistema.

Refinamiento del análisis

Refinamiento del mallado, cambios de parámetros, etc.

Mejoramiento del modelo matemático.

Cambio del problema físico

Aplicación del MEF.

Fig. 9. El proceso de análisis (modelación) por Elementos Finitos.


• Establecimiento de las hipótesis y criterios de trabajo que se consideren fundamentales

para la correcta simulación del sistema. • La selección y conformación del modelo matemático, por medio de una adecuada

formulación matemática. • Solución del modelo matemático. • Obtención, análisis y validación de los resultados derivados de esa solución. • Mejoramiento y optimización del modelo

Los pasos más complicados son la correcta idealización del modelo y la adecuada interpretación de los resultados. En efecto, el MEF se usa para modelar problemas físicos en análisis de ingeniería, diseño e investigación científica. El problema físico tiene que ser idealizado previamente para ser llevado a un modelo matemático, es decir a ecuaciones matemáticas. Es precisamente en la conformación y solución de ese modelo matemático que se emplea el MEF propiamente dicho, siendo así el método una parte de todo el proceso de modelación de sistemas. La idealización del problema físico en un modelo matemático, requiere de simplificaciones e hipótesis de trabajo, pues es imposible e innecesario tener en cuenta todos los detalles del sistema real. Ya que el MEF es una técnica numérica de conformar y resolver ese modelo, se requiere que la solución que obtenga sea precisa. Si no se logra la precisión deseada, la solución numérica (o sea el MEF), tendrá que ser de nuevo repetido, con parámetros modificados (por ejemplo con refinamiento del mallado), hasta alcanzar la exactitud suficiente. Tareas importantes en todo este proceso son la interpretación y validación de los resultados, pasos cruciales a realizar por el usuario en el análisis por elementos finitos (EF), y que serán estudiados detenidamente en el Capítulo 9.

Principios básicos del MEF. l método de los elementos finitos MEF, se basa en el principio de sustituir a la pieza o sistema bajo análisis, en muchos elementos finitos interconectados entre sí, cada uno de los cuales posee

las bases y fundamentos de calculo que interesan. Hay autores que plantean que el primero que concibió y aplico este principio de trabajo fue Pitágoras, alrededor de VIII siglos antes de nuestra era, al resolver el entonces complicado problema de determinar el área del circulo, Fig. 10 a). Para ello dividió la circunferencia en muchas y pequeños rectas, sustituyendo el círculo por triángulos, Fig. 10 b), repitiendo la operación con mayor número de triángulos cada vez. El área buscada seria la suma de las áreas de todos los triángulos. Al alcanzar los 90 lados, logro determinar el numero irracional π con una precisión adecuada incluso para los cálculos actuales. Pasando ahora a un caso más actual, sea la viga empotrada de la Fig. 6 b) (Capitulo 1), la cual será sustituida por un elemento finito único, Fig. 11 a), que posee la rigidez E I z propia de la viga real. Todo elemento finito se extiende entre sus nodos, que son parte inseparables de el. Sea que este elemento finito esta sustentado por la teoría de vigas de Euler - Bernoulli, constituyendo el tipo de elemento denominado BEAM 2D. En el mismo se cumplen las ya conocidas expresiones (Cap. 1),

F = 3 E Iz * y 2 max ( 2 ) L 3

E


F = 2 E I z * θ 2

max ( 2’ ) L 2

s

DD

a) b) Fig . 10 . - Determinación del área de un circulo (a), mediante su sustitución por muchos

triángulos (b).

Donde los corchetes son las rigideces de esa viga a flexión, las cuales se pueden determinar haciendo los desplazamientos y 2

max = θ 2 max = 1, o sea, unitarios. De modo que las rigideces

pueden definirse ahora como las cargas virtuales necesarias para generar desplazamientos unitarios en el sistema. Las rigideces del sistema están relacionadas con el termino derecho de la expresión ( 1 ), o sea el trabajo externo del sistema debido a los desplazamientos unitarios. El objeto de la aplicación del Principio de los desplazamientos virtuales es pues, determinar esas rigideces. Para ello hay que determinar simplemente, el termino izquierdo de ( 1 ), para lo cual deben ser conocidas las relaciones generales entre el trabajo de deformación interno con las cargas externas, y todo debido a desplazamientos unitarios. Estas relaciones son brindadas por la Teoría de la Elasticidad, o más generalmente por las teorías de la Mecánica del Sólido Deformable. El MEF aborda el problema precisamente de esta forma, determinando las rigideces de los elementos finitos a partir de la aplicación del Principio .... A continuación “arma” la rigidez de todo el sistema. Conocidas las rigideces, genera a continuación las formulas anteriores ( 2 ) y ( 2’), pero de forma matricial:

F 3 E Iz 0 y 2

max L 3

= * F 0 2 E I z θ 2

max L 2 Es decir,

F = [ K ] * U ( 5 ) Donde: { F } - vector fuerzas externas aplicadas en los nodos de los elementos.


{ U } - vector desplazamientos de los nodos. Se refiere tanto a los lineales como los angulares. [ K ] - matriz de rigidez global del sistema, que es una muy importante característica del modelo, que el MEF “arma” en primer lugar, a través de la aplicación del Principio de los desplazamientos virtuales. El sistema de ecuaciones ( 5 ) constituye entonces, el modelo matemático del sistema analizado.

F

L

E I z

12

2

1

a) b)

nodos

x

y

r

y

y max2

x , r

θmax2

c)

L

1 2 3 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . E

E = 10 elementos finitos

nodo ( N )

Fig. 11 . - a ) Viga simplemente empotrada. b ) Modelada por un elemento finito tipo BEAM 2D.

c ) Modelación de la viga por E elementos finitos y N nodos. x, y - coordenadas cartesianas. r - coordenada natural.

De esta forma se tiene un sistema de ecuaciones donde el vector { F } es conocido, o sea es dato (en este problema), y las incógnitas son los desplazamientos { U }, es decir y 2

max y θ 2 max. De modo

que se tiene un sistema de igual número de incógnitas que ecuaciones. El paso siguiente es resolver este sistema de ecuaciones con la determinación de los desplazamientos. A continuación se pasa al cálculo de otros parámetros de interés, tales como los esfuerzos en distintos puntos de la viga, sus deformaciones, energías y otros. A grandes rasgos este es el procedimiento que emplea el MEF en su Formulación basada en los desplazamientos, que sigue siendo una de las más empleadas. En este sencillo ejemplo pueden apreciarse algunas características fundamentales del MEF. • La necesidad de sustituir a la pieza o sistema bajo análisis, por elementos finitos. Este proceso

se conoce como el mallado o discretización de la pieza o sistema.


• Cada elemento finito esta delimitado por sus nodos, que son los puntos que conectan a los

elementos entre sí, que pueden recibir las cargas y cuyos desplazamientos podrán ser calculados. Las cargas externas y los desplazamientos del sistema, se refieren por tanto solo a los nodos.

• El MEF debe conformar en primer lugar, la matriz de rigidez global [ K ] del sistema, a partir

de la determinación de las rigideces de cada uno de los elementos finitos, por la aplicación del Principio de los desplazamientos virtuales. Para todo esto tiene que emplear una Formulación matemática, tal como, por ejemplo, la basada en los Desplazamientos.

• A continuación, considerando las verdaderas cargas externas { F } como conocidas, al ser

brindadas por el usuario, conforma el sistema de ecuaciones de equilibrio del sistema ( 5 ), es decir el modelo matemático.

• Finalmente procede a la solución de este sistema de ecuaciones, determinando los

desplazamientos de los nodos, { U }. Para ello deberán emplearse métodos avanzados de solución de grandes sistemas de ecuaciones, que son parte integrante del MEF.

• Luego se pasa a la determinación de otros parámetros de interés: esfuerzos, deformaciones, etc. • En principio, cuantos más elementos finitos se empleen, la precisión de los resultados

aumentara, acercándose así más al comportamiento real del sistema. La viga del ejemplo de la Fig. 11 a), puede sustituirse no por uno, sino por E elementos finitos (Fig. 11 c), obteniéndose un sistema mas preciso y adecuado para modelar a la viga original de la Fig. 6 b).

• El concepto de grados de libertad n ( DOFs ), que son todos los desplazamientos que pueden

tener los nodos del modelo. En el caso del modelo de la Fig. 11 b), se trata de los desplazamientos y 2

max y θ 2 max del nodo 2, y los desplazamientos y 1 y θ 1 del nodo 1, que aunque en el ejemplo de la figura son nulos por estar ese nodo empotrado, existen como grados de libertad. Este modelo tiene por tanto, n = 4 DOFs. El sistema de la Fig. 11 c) tiene: n = 2 * N = 2 * 11 = 22 DOFs.

Este ejemplo muestra de forma muy simple en que consiste el MEF, algunos de sus principales conceptos y sus principales etapas. En sistemas más complejos, la implementación de esas etapas implican algunas complicaciones que el MEF debe abordar y resolver. A continuación se pasa a estudiar el MEF de una forma más detallada.

oN es posible en unas pocas páginas exponer ni siquiera de forma somera, el MEF en su amplia complejidad. El objetivo de este Capítulo 2 y del 3 es sólo explicar los procedimientos

fundamentales del método que son imprescindibles para la correcta utilización y comprensión de los modernos programas profesionales de Elementos Finitos, actualmente existentes en el mercado. Como acaba de explicarse, puede decirse que el MEF consiste en dividir el sistema a simular en muchos elementos finitos, conformar las ecuaciones de equilibrio del sistema completo y pasar luego a su solución. En su expresión más básica, el MEF consiste en estas 3 etapas generales. Sin embargo, el surgimiento del MEF en los anos de la década de 1950, significo la aplicación de esos principios no solo a las vigas, en donde eran conocidos y aplicados desde hacia algún tiempo, sino también a otros tipos de elementos estructurales, como placas, laminas, bloques, etc. Las complejidades derivadas de ello, obligó a la actualización y desarrollo de nuevos y complejos procedimientos matemáticos, dando así surgimiento al MEF propiamente dicho.


La primera etapa del método consiste en dividir la pieza a analizar en muchos elementos finitos (cuantos más mejor), en lo que se conoce como el mallado o discretización de la pieza. Cada uno de los cuales esta sustentado por algunas de las Teorías de calculo de las Ingenierías, que en los ejemplos del Capitulo 1 serian la teoría de Euler - Bernoulli para vigas (elementos BEAM); y la teoría de placas basada en las hipótesis de Kirchhoff, para placas (elementos SHELL). En este proceso se aplica un principio general, que establece que la pieza a analizar se debe mallar (o discretizar) con el mayor número posible de elementos, o lo que es igual que los elementos sean lo más pequeños posible. Esto permite captar los parámetros necesarios y deseados, entre puntos (o sea nodos) del sistema analizado, lo más cercanos entre sí, con la menor pérdida de información posible. Para realizar la siguiente etapa, la conformación de las ecuaciones de equilibrio del sistema ( 5 ), se requiere del empleo de complejos procedimientos matemáticos, llamados Formulaciones. El primer procedimiento matemático en que se baso el MEF en sus primeras versiones es conocido por Formulación basada en los desplazamientos, el cual tiene como fundamento el conocido Principio de los desplazamientos virtuales. Se han desarrollados otras varias Formulaciones, siendo las más empleadas en la actualidad:

• La Formulación basada en los desplazamientos. Que hace uso del Principio de los desplazamientos virtuales.

Con interpolación mixta desplazamientos / presión • Formulaciones mixtas. Con interpolación mixta desplazamiento / deformac. transversal

Usan el Principio de la Otras. la energía potencial total estacionaria La Formulación más conocida en la conformación de las ecuaciones de equilibrio y la primera en surgir, es la Formulación basada en los Desplazamientos, cuyos principios en su aplicación a vigas y barras, son los explicados en el epígrafe anterior. De hecho, son de hace tiempo conocidos y ampliamente aplicados, sobre todo en Ingeniería Civil, para resolver sistemas de estructuras hiperestáticas. En esta rama es denominado como el Método de los Desplazamientos. Los principios de este método son los mismos que emplea el Método de los Elementos Finitos, en su Formulación con base en los Desplazamientos. Pero con una extensión importante que hace el MEF: los aplica no sólo a vigas y barras, sino a otros elementos estructurales, tales como superficies planas o abovedadas y a elementos volumétricos, como hexaedros (brics), tetraedros, etc. Esta extensión es uno de los factores que han hecho tan popular al Método de los Elementos Finitos, pues amplía en gran medida el campo de problemas que puede abordar. Pero también es responsable de las complicaciones matemáticas que muchos observan en el Método.

Conceptos básicos del método de los elementos finitos.

Rigideces de los elementos estructurales . 1 ) Rigidez de una barra (elemento TRUSS) . –

S ea ahora una barra con rigidez solo normal, por lo que solo es capaz de resistir desplazamientos y


fuerzas axiales, Fig. 12 a). Posee 1 solo DOF en cada nodo, que es el desplazamiento axial que puede admitir, con 2 DOF por elemento en total: U 1 y U 2. Las rigideces del elemento se determinarán empleando el Principio de los desplazamientos virtuales. Ya se planteó que para la aplicación del este Principio es necesario aplicar una carga δ F n , que produzca un desplazamiento unitario δ U n en un punto dado, que serán siempre en el MEF, los nodos de los elementos. Esa carga deberá ser de la misma dirección, sentido y tipo del desplazamiento unitario que provoca. Pues bien, esa carga δ F n no es mas que la rigidez k i j del elemento finito, que produce el - y solo el -, desplazamiento δ U n unitario. En efecto, dado que la carga provoca un desplazamiento unitario – y solo ese desplazamiento - , puede plantearse que existe una rigidez de la viga k i j , tal que se cumpla,

δ F n = k i j * δ U n

Donde: i - se refiere al nodo del elemento finito donde se aplica la carga cuando ocurre un desplazamiento unitario en el otro nodo: el nodo j. También define el tipo de esa carga aplicada: una fuerza o un momento. j - se refiere al nodo del elemento finito donde ocurre el desplazamiento unitario, así como el tipo de desplazamiento: de traslación o rotación. Y como, δ U n = 1 desplazamiento unitario en el referido nodo j. Mas precisamente se refiere al desplazamiento correspondiente al grado de libertad n. Entonces, δ F n / 1 = k i j para desplazamientos de traslación. δ F n / 1 rad = δ P n = k i j para desplazamientos angulares, si los hubiera. Que expresa que las cargas que provocan desplazamientos unitarios son iguales a las rigideces correspondientes de la estructura, o sea la rigidez del elemento finito. Aquí han surgidos nuevos subíndices i , j en los parámetros manejados y es debido a que si bien los puntos tratados son los nodos del elemento, hay que definir también la dirección y tipo del desplazamiento unitario δ U n y de la carga correspondiente que lo provoca δ F n. Por ello es más correcto escribir,

δ F n = δ F i j Por lo que ahora las ecuaciones anteriores pueden plantearse de una forma más general como,

δ F i j / 1 = k i j ( 6 )


Así, en el elemento TRUSS de la Fig. 12 a), sus posibles cargas nodales virtuales, o lo que es equivalente, sus rigideces son las siguientes. k 11 = E A fuerza necesaria en el nodo donde esta ubicado el DOF 1 (nodo 1) para L crear un desplazamiento unitario exclusivamente en ese propio nodo. k 22 = E A fuerza necesaria en el nodo donde esta ubicado el DOF 2 (nodo 2) para L crear un desplazamiento lineal unitario solamente en ese propio nodo. k 12 = - E A fuerza necesaria en el nodo donde esta ubicado el DOF 1 (nodo 1) cuando L se aplica un desplazamiento unitario axial exclusivamente, en el nodo donde está ubicado el DOF 2 (nodo 2). k 21 = - E A fuerza necesaria en el nodo donde esta ubicado el DOF 2 (nodo 2) cuando se L aplica un desplazamiento unitario axial exclusivamente, en el nodo donde está ubicado el DOF 1 (nodo 1).

m p

321

u2

L

E , A

a )

b )1 2

u 1

u1u2 u3

- nodos

1 32

Fig . 12 . - a ) Elemento finito tipo barra plano (LINK o TRUSS). b ) Sistema conformado por 2 elementos finitos tipo barra.

La rigidez de este elemento denominado LINK o TRUSS suele expresarse en forma de matriz, k 11 k 12 1 -1 [ k ] = = E A ( 7 ) 2 * 2 k 22 k 21 L - 1 1


2) Rigidez de una viga plana (elemento BEAM 2D) . - ea un elemento mas complejo como la viga de la Fig. 11 a), modelada por un único elemento finito del tipo BEAM 2D, plano y que cumple con la Teoría de Euler – Bernoulli para vigas. Esta

teoría esta basada en las hipótesis de Bernoulli, las cuales establecen entre otras cosas, que la rigidez normal sea mucho mayor que la rigidez a flexión, de modo que se desprecian los desplazamientos axiales frente a las deflexiones. En otras palabras, se considera solo la rigidez de flexión. Entonces tendrá 4 grados de libertad, Fig. 11 b), que tendrán que ser renombrados de la siguiente manera:

S

v 1 - desplazamiento lineal del nodo donde esta ubicado el DOF 1. v 3 - desplazamiento lineal del nodo donde esta ubicado el DOF 3, en lugar de y 2

max. θ 2 - desplazamiento angular del nodo donde esta ubicado el DOF 2. θ 4 - desplazamiento angular del nodo donde esta ubicado el DOF 4, en lugar de θ 2

max. No debe confundir que en este ejemplo los desplazamientos del nodo 1 sean nulos por estar empotrados: eso no quita que esos 2 grados de libertad existan. Las posibles cargas nodales (virtuales) de este elemento, o lo que es equivalente sus rigideces son las siguientes. k 11 = f 11 - fuerza necesaria en el nodo donde esta ubicado el DOF 1, cuando se aplica un desplazamiento unitario de traslación en ese mismo nodo, solamente. k 13 = f 13 - fuerza necesaria en el nodo donde esta ubicado el DOF 1, cuando se aplica un desplazamiento unitario de traslación solamente en el nodo donde esta ubicado el DOF 3. k 33 = f 33 - fuerza necesaria en el nodo donde esta ubicado el DOF 3, cuando se aplica un desplazamiento unitario de traslación en ese mismo nodo y solo ese desplazamiento. k 12 = f 12 - fuerza necesaria en el nodo donde esta ubicado el DOF 1, cuando se aplica un desplazamiento unitario de rotación solamente en el nodo donde esta ubicado el DOF 2. k 32 = f 32 - fuerza necesaria en el nodo donde esta ubicado el DOF 3, cuando se aplica un desplazamiento unitario de rotación solamente, en el nodo donde esta ubicado el DOF 2. k 22 = f 22 - momento necesario en el nodo donde esta ubicado el DOF 2, cuando se aplica un desplazamiento unitario de rotación en ese mismo nodo, solamente. k 24 = f 24 - momento necesario en el nodo donde esta ubicado el DOF 2, cuando se aplica un desplazamiento unitario de rotación en el nodo donde esta ubicado el DOF 4, exclusivamente. k 44 = f 44 - momento necesario en el nodo donde esta ubicado el DOF 4, cuando se aplica un desplazamiento unitario de rotación en ese mismo nodo, solamente. Para materiales elásticos e isotrópicos se cumple que:


k i j = k j i

De modo que las otras rigideces de la viga pueden ser determinadas a partir de las anteriores. Así, por ejemplo, k 31 = k 13 - es la fuerza necesaria en donde esta ubicado el DOF 3 (nodo 2), cuando se aplica un desplazamiento de traslación unitario en el nodo donde esta ubicado el DOF 1 (nodo 1) y mas ningún otro desplazamiento. k 42 = k 24 - momento necesario donde esta ubicado el DOF 4 (nodo 2), cuando se aplica un desplazamiento unitario de rotación en el donde esta ubicado el DOF 2 (nodo 1) solamente. Y así sucesivamente con el resto de las combinaciones que resultan de tenerse que i = 1, 2, 3, 4 ; y que j = 1, 2, 3, 4. Resultando que el elemento finito de la Fig. 11 a) tiene 16 rigideces, una por cada una de las cargas y desplazamientos unitarios que permiten sus nodos. Es una combinación de los 4 DOF que tiene el elemento: 4 * 4 = 16. Esto es más fácil de representar en forma de una matriz, que será la matriz de rigidez del elemento BEAM 2D, basado en la teoría de Euler – Bernoulli, es decir con rigidez solo a flexión.

k 11 k 12 k 13 k 14 [ k ] = [ k i j ] = k 21 k 22 k 23 k 24 4 * 4 k 31 k 32 k 33 k 34 k 41 k 42 k 43 k 44

as matrices de los elementos finitos serán siempre simétricas para materiales isotrópicos. La

matriz de rigidez elemental [ k ] no depende de los apoyos del elemento, es decir es completamente general. Así por ejemplo, la viga de la Fig. 13 a ) considerada sin apoyos (en el aire), tendrá también la misma matriz de rigidez anterior.

L

Las matrices de rigidez [ k ] de los elementos finitos estructurales básicos son siempre cuadradas, y con un numero de filas y columnas que coinciden con los grados de libertad n (DOFs) de los elementos. De modo que n es el orden de la matriz. Así, para elementos sólidos planos PLANE (también SOLID 2D), con N = 4 nodos y 2 DOF de traslación por nodo, [ k ] es una matriz con n = ( 2 * N ) = 8 filas y columnas, siendo de la forma: [ k ] 8 * 8 donde N - numero de nodos del elemento. Los elementos volumétricos SOLID de N = 8 nodos y 3 DOF de traslación por nodo, tendrán n = ( 3 * N ) = 24 DOFs y por tanto filas y columnas en su matriz de rigidez [ k ], siendo entonces, [ k ] 24 * 24


del elemento

cartesianas del elemento

E I

r

L

1 21

=1

V

V

h 1

r - Coordenada natural

.x , y - coordenadas.

V - desplazamientos de los nodos.

x

y

21

h2

21

1 = θ2 = 1 Rz

Nodos del elemento

z

θ ,

1

h

R = = 1z 2 4

421

θ

h3

3V

=1

21

a )

b )

c )

d )

e )

Fig. 13 . - Deflexiones de una viga plana debido a todos sus desplazamientos unitarios.

Las matrices [ B ] y [ C ] .-

P ara determinar las expresiones de las componentes k i j de la matriz elemental [ k ], se aplica el

Principio de los desplazamientos virtuales. Como se acaba de explicar, para hallar el termino k 11 de un elemento BEAM 2D (Fig. 13 b) - que es la fuerza necesaria en 1 para tener un desplazamiento unitario y virtual δ v 1 = 1 en ese nodo, - , se aplica la fuerza δ f 11 = k 11 * 1 en el nodo 1. Como se desea generar un desplazamiento de traslación unitario en 1 y solo ese desplazamiento, la elástica de la viga deberá ser como la mostrada en la Fig. 13 b), independiente de los apoyos de la viga. En este proceso se esta aplicando el Principio de los desplazamientos virtuales.


Pero para realizar esas operaciones en todo tipo de elemento finito, el MEF tiene que recurrir a un largo procedimiento matemático. Comienza por armar una nueva matriz, la matriz deformaciones – desplazamientos [ B ], que relaciona a estos parámetros entre si, o sea las deformaciones con los desplazamientos. De modo tal que para todo elemento finito se puede plantear,

{ ε } = [ B ] { U } ( 8 ) donde [ B ] – matriz deformaciones – desplazamientos. { ε } – vector deformaciones del elemento (longitudinales y tangenciales). { u } - vector desplazamientos nodales (longitudinales y angulares). Para el caso más general de un elemento finito volumétrico SOLID 3D, que sostiene alguna de las teorías de cálculo del medio continuo elástico, (por ejemplo, la Teoría de la Elasticidad), se trata de las siguientes relaciones bien conocidas.

εx = δu / δx, εy = δv / δy, εz = δw / δz, ( 9 )

γxy = δu / δy + δv / δx, γyz = δv / δz + δw / δy, γxz = δw / δx + δu / δz Donde u, v, w son los desplazamientos en las direcciones de los ejes coordenados x , y, z respectivamente. Para el caso del elemento BEAM 2D solo existen: ε x y γ xy . Y para una barra TRUSS, solo ε x . Es decir, que las deformaciones serán determinadas a partir de los desplazamientos por medio de expresiones como ( 9 ). Debe observarse que en ( 9 ) aparecen las derivadas de los desplazamientos respecto a las coordenadas x, y, z del elemento, por lo que para hallar las deformaciones es necesario conocer (o asumir) las funciones de cada desplazamiento respecto a las coordenadas del elemento. Es decir, conocer como varían los desplazamientos dentro del elemento. Esto se resuelve asumiendo que los desplazamientos internos son funciones respecto a las coordenadas del elemento, en forma de polinomios de grado p, denominados polinomios de aproximación de los desplazamientos. Los mismos representaran la forma del elemento finito una vez deformado. Por ejemplo, en el caso del elemento BEAM 2D se trataría de la elástica de la viga, que podrá asumirse entonces como,

v ( y ) = β1 + β2 x + β3 x 2 + β4 x 3 + . . . . .

Los polinomios de aproximación de los desplazamientos asumen (o sustituyen) la verdadera configuración deformada del elemento, por lo que cuanto mayor sea el grado p de aquellos, mas se ajustaran a las reales configuraciones deformadas. Pero para el MEF es de interés plantear ( 9 ) de forma matricial, es decir como ( 8 ). Es necesario entonces hallar la matriz [ B ] de cada elemento finito, lo cual pasa por un largo proceso matemático del cual baste saber por ahora que se basa en los polinomios de aproximación asumidos y en la teoría de calculo que sustenta el elemento. A


continuación se dan las expresiones más comunes de la matriz [ B ] para diferentes tipos de elementos. 1 ) Elemento TRUSS 2D. Las deformaciones ε que surgen en la barra de la Fig. 12 a) (elemento TRUSS 2D, con N = 2 nodos), por tratarse de estados tensionales lineales, se determinan como es bien conocido por,

ε = u 2 - u 1 L Lo que puede expresarse en forma matricial como,

ε = - 1 . 1 . * u 1 ( 10 ) L L u 2 [ B ] ( 1 * N ) = 1 * 2 2 ) Elemento BEAM 2D. La matriz deformaciones – desplazamientos [ B ] del elemento BEAM 2D con rigidez solo a flexión, basado en la teoría de Euler – Bernoulli y asumiendo que la elástica de la viga (configuración deformada), es un polinomio de 3er grado, es la siguiente: [ B ] = - 6 + 12 x - 4 + 6 x 6 - 12 x - 2 + 6 x ( 10 I ) 1 * 4 = L 2 L 3 L L 2 L 2 L 3 L L 2

( 1 * 2 N ) 3 ) Elemento PLANE. En el caso de elementos barra (LINK o TRUSS), así como en los elementos BEAM 2D, se trata de un vector fila (o columna), pero en otros tipos de elementos es una matriz. Para un elemento sólido plano SOLID 2D (o PLANE, Fig. 16 a, Capitulo 3), de 4 nodos con 2 DOFs de traslación por nodo, u, v, y asumiendo que cumplen con polinomios de 1 er grado, la matriz [ B ] viene dada por, (1 + y) - (1 + y) - (1 - y) (1 - y) 0 0 0 0 [ B ] = 1 0 0 0 0 (1 + x) (1 - x) - (1 - x) - (1 - x) (10 II) 3 * 8 = 4 ( 3 * 2 N ) (1 + x) (1 - x) - (1 - x) - (1 + x) (1 + y) - (1 + y) - (1 - y) (1 - y) En general para elementos cuadriláteros sólidos planos SOLID 2D, con N = 4 nodos y 2 DOF por nodo de traslación, [ B ] es una matriz de la forma: [ B ] (3 *2 N ) donde N - numero de nodos del elemento.


4 ) Elemento SOLID 3D. Para elementos volumétricos SOLID 3D con N = 8 nodos y 3 DOF por nodo de traslación, [ B ] ( 6 * 3 N )

na segunda matriz es necesario plantear, se trata de la matriz de Elasticidad o constitutiva del

material del elemento, [ C ], de modo tal que,

{ σ } = [ C ] { ε } ( 11 ) Este sistema de ecuaciones constituye la Ley Generalizada de Hooke, en el caso de sistemas elásticos (Teoría de la Elasticidad); o pueden ser en general las ecuaciones constitutivas del material. A continuación se muestran las matrices [ C ] para distintos tipos de problemas con material elástico isotrópico.

Tabla 1 . - Matiz constitutiva [ C ] para materiales elásticos isotrópicos.

Problema Matriz [ C ] Barra ( TRUSS o LINK ) E Viga ( BEAM ) E I Estado deformacional 1 ν . 0 plano. ( SOLID 2D o PLANE ) 1 - ν E (1 − ν) . ν . 1 0 (1 + ν) ( 1 − 2 ν) 1 − ν 0 0 1 − 2 ν 2 (1 − ν) Estado tensional 1 ν 0 plano. ( SOLID 2D o PLANE ) E . ν 1 0 (1 − ν 2 ) 0 0 1 − ν 2

U


Estado 1 ν . ν . 0 0 0 Tridimensional. 1 − ν 1 − ν ( SOLID ) ν . 1 ν . 0 0 0 1 − ν 1 − ν E (1 – ν) . ν . ν . 1 0 0 0 (1 + ν) (1 − 2ν) 1 − ν 1 − ν 0 0 0 1 − 2ν 0 0 2 (1 − ν) 0 0 0 0 1 − 2ν 0 2 (1 − ν) 0 0 0 0 0 1 − ν 2 (1 − ν) Placa a 1 ν 0 flexion. ( SHELL ) E . ν 1 0 12 ( 1 − ν2 ) 0 0 1 − ν 2 Ε − Modulo de Young. ν - coeficiente de Poisson. I - momento de inércia. Componentes de la matriz de rigidez elemental . –

on ambas matrices [ B ] y [ C ] pueden hallarse los términos de la matriz [ k ] de cualquier elemento finito. Veamos el camino para determinar la expresión general de cálculo de esta

matriz para cualquier tipo de elemento finito. El Principio de los desplazamientos virtuales (expresiones ( 1 ) ), aplicado a cuerpos deformables establece:

C

{ε} {σ} dV = {δUS

n} {f S } dS + {δU Bn } {f B ] dV + {δU R

n} {R} ( 1 ) V S V Como ya se indico si el desplazamiento virtual δ U n es unitario, se cumple que la fuerza debida a un desplazamiento unitario no es más que la rigidez del sistema. Volviendo ahora a ( 1 ), si se toman los desplazamientos virtuales unitarios, {δU n} = 1, los términos de la derecha de ( 1 ) serán


las fuerzas debidas a los desplazamientos unitarios, es decir, las rigideces del cuerpo deformable. Aplicando este concepto a un elemento finito se tiene,

{ε} {σ} d V = [ k ] V Sustituyendo las expresiones ( 8 ) y ( 9 ) y luego de un largo desarrollo se llega a,

[ k ] = [ B ] {δU n } [ C ] [ B ] {δU n } d V Y como {δU n} = 1,

[ k ] = [ B ] T [ C ] [ B ] d V ( 12 )

Que es la ecuación general que emplea el MEF, en su formulación basada en los desplazamientos, para determinar la matriz elemental [ k ] de todo tipo de elemento finito. En ( 12 ) se ha sustituido una de las matrices [ B ] por su traspuesta [ B ] T, para poder realizar la multiplicación de ellas, aun cuando no sean cuadradas. Por ejemplo, para los elementos TRUSS planos la aplicación de ( 12 ) brinda el siguiente sistema de ecuaciones. [ k ] = [ B ] T E A [ B ] dx ( 12 I ) L Y para el elemento BEAM 2D con rigidez solo a flexión, [ k ] = [ B ] T E I z [ B ] dx ( 12 II ) L

olvamos a este ultimo elemento, el BEAM 2D para determinar las componentes de su matriz de rigidez elemental [ k ], por la aplicación de ( 12 II ). Ya se dijo que asumiendo la elástica de la

viga como un polinomio de 3er grado, junto con las expresiones de la teoría de Euler – Bernoulli para vigas, puede determinarse la matriz [ B ], la que toma la forma del vector fila,

V

[ B ] = - 6 + 12 x - 4 + 6 x 6 - 12 x - 2 + 6 x ( 10 I ) 1 * 4 L 2 L 3 L L 2 L 2 L 3 L L 2


Para el elemento BEAM 2D la aplicación de ( 12 II ) será entonces, L - 6 + 12 x L 2 L 3 - 4 + 6 x L L 2 [ k ] = 6 - 12 x * E I z * - 6 + 12 x - 4 + 6 x 6 - 12 x - 2 + 6 x d x 4 * 4 L 2 L 3 L 2 L 3 L L 2 L 2 L 3 L L 2 1 * 4 - 2 + 6 x L L 2

0 4 * 1 Una matriz de orden n = 4 * 4: [ k ] = [ B ] T

4 * 1 * E I z * [ B ] 1 * 4 * dx ( 12 II ) 4 -* 4 L Desarrollando esta integral se obtienen todos los términos de la matriz elemental [ k ], siendo el primero de ellos (Fig. 13 b),

k 11 = 12 E I z .

L 3 El termino k 22 por ejemplo, (Fig. 13 c), es el resultado de aplicar un momento en el nodo 1, M 2 = k 22 , tal que genere una rotación unitaria δ θ 2 = 1 rad, exclusivamente. Viene dado por,

k 22 = 4 E I z L De esta forma son determinadas todas las componentes de la matriz elemental [ k ]. En las ecuaciones ( 13 ) se muestran todos los términos de la matriz de rigidez de un elemento BEAM 2D según la teoría de Euler – Bernoulli (es decir, con rigidez solo a flexión) y polinomios de 3 er grado. k 11 k 12 k 13 k 14 12 6L -12 6L [ k ] = [ k i j ] = k 21 k 22 k 23 k 24 = E I z 6L 4L2 -6L 2L2 4 * 4 k 31 k 32 k 33 k 34 L3 -12 -6L 12 -6L ( 13 ) k 41 k 42 k 43 k 44 6L 2L2 -6L 4L2

Para un elemento tipo viga pero ahora con rigidez también axial, es decir una combinación de elemento viga con barra, los DOF serán 6 en total en el elemento: los 3 del nodo 1 ( u1 , v 2 , θ 3 ) y


los 3 del nodo 2 (u 4 , v5 , θ 6 ), siendo nuevos los 2 axiales a la barra (u 1 , u 4 ). La matriz [ B ] tendrá 2 términos adicionales, por los DOF axiales u 1 y u 4 , siendo, [ B ] = - 1. - 6 + 12 x - 4 + 6 x 1 . 6 - 12 x - 2 + 6 x 1 * 6 L L 2 L 3 L L 2 L L 2 L 3 L L 2

Aplicando ahora ( 12’’) se obtiene la nueva matriz de rigidez, que será entonces la siguiente. A/L 0 0 - A/L 0 0 [ k ] = E 0 12 I z /L 3 6L I z /L3 0 -12 I z /L 3 6L I z /L 3 6 * 6 0 6L I z /L 3 4L 2 I z /L 3 0 -6L I z /L 3 2L 2 I z /L 3

(13 I ) - A/L 0 0 A/L 0 0 0 -12 I z /L 3 -6L I z /L 3 0 12 I z /L 3 -6L I z /L 3 0 6L I z /L 3 2L 2 I z /L 3 0 -6L I z /L 3 4L2 I z /L 3 Matriz que responde al siguiente vector desplazamientos, expresado en forma de su traspuesta: { u } T = u 1 v 2 θ 3 u 4 v 5 θ 6 La mayoría de los elementos tipo BEAM 2D de los programas profesionales tienen 6 DOFs (3 por nodo), por lo que se comportan como vigas y como barras de forma conjunta, trabajando con matrices de rigidez como (13 I ). Los elementos BEAM 3D suelen tener 12 DOFs en total, 6 por nodo: los 3 de traslación y los 3 de rotación, posibles en el espacio. Matriz de rigidez del sistema . -

na vez determinadas las rigideces de todos los elementos finitos que componen el modelo bajo análisis, hay que “armar” la rigidez [ K ] del sistema, que se representará también en forma

matricial. Su composición se hace por medio de la suma apropiada de las rigideces [ k ] de todos los elementos del modelo. Donde ”suma apropiada” significa la suma de las componentes de las matrices [ k ] de cada elemento en los nodos comunes, o sea los que interconectan a los elementos.

U

Por ejemplo, volviendo al elemento más sencillo el elemento plano LINK o TRUSS 2 D (Fig. 12 a ), se tiene la representación de una barra con rigidez solo a tracción – compresión. Posee 1 solo DOF en cada nodo, que es el desplazamiento axial que puede admitir, con 2 DOF por elemento en total: U 1 y U 2. La rigidez que posee es solo normal, siendo las siguientes.


k 11 = E A fuerza necesaria en el nodo donde esta ubicado el DOF 1 (nodo 1) para L crear un desplazamiento unitario exclusivamente en ese propio nodo. k 22 = E A fuerza necesaria en el nodo donde esta ubicado el DOF 2 (nodo 2) para L crear un desplazamiento lineal unitario solamente en ese propio nodo. k 12 = - E A fuerza necesaria en el nodo donde esta ubicado el DOF 1 (nodo 1) cuando L se aplica un desplazamiento unitario axial exclusivamente, en el nodo donde está ubicado el DOF 2 (nodo 2). k 21 = - E A fuerza necesaria en el nodo donde esta ubicado el DOF 2 (nodo 2) cuando se L aplica un desplazamiento unitario axial exclusivamente, en el nodo donde está ubicado el DOF 1 (nodo 1). Así, en el caso más simple de 2 elementos LINK iguales m y p, con solo 2 DOFs cada uno (uno por nodo y de tipo axiales, Fig. 12 b), formando un sistema con 3 nodos interconectados entre sí en el nodo intermedio 2, la matriz global se “arma” de la siguiente forma, k 11

m k 12m 0

k 11m k 12

m k 22p k 23

p [ K ] = + = k 21

m k22m + k 22

p k 23p (13 II )

k 21m k 22

m k32p k33

p 0 k 32

p k 33p

[ k ] m [ k ]p matrices de los elementos LINK m y p. Esta matriz global [ K ] queda de orden n = 3, en correspondencia con los 3 DOFs del sistema total de 2 elementos. Como las componentes de toda matriz de rigidez son de hecho las fuerzas surgidas debido a desplazamientos unitarios, solo hay que sumar las componentes de las rigideces correspondientes al nodo de interconexión 2, obteniendo así el equilibrio de fuerzas de ese nodo. Los restantes nodos mantienen sus “fuerzas” propias, que son independientes por no tener contacto sus nodos entre sí. Como se ve, no se trata de una suma de matrices, sino de suma de rigideces. De esta forma es que se “arma” la matriz de rigidez global [ K ]. Conformaciones mas complejas de matrices del sistema se verán en detalle en los Ejemplos al final del capitulo. Transformaciones de las Matrices de rigidez. -

as matrices de rigidez hasta ahora tratadas se refieren a los ejes x, y, z del elemento, donde x se ha considerado el eje axial de la barra o viga. Se trata del sistema coordenado también llamado

sistema coordenado local. Pero en estructuras más complejas los elementos pueden tener diferentes ángulos de posicionamiento, teniendo cada uno sistemas coordenados locales diferentes. Esto requerirá una transformación de las matrices de rigidez de sus sistemas locales hacia el global.

L

Sea una barra con la posición indicada en la Fig. 14 a), cuyos ejes locales x, y no coinciden con los ejes Globales X, Y. La matriz de rigidez local será la dada por ( 7 ), siendo de orden 2 * 2, como ya es conocido (Fig. 12 a). Sin embargo, si sus grados de libertad se quieren referir a los ejes Globales


X, Y (Fig. 14 b) se requerirá hacer una transformación matemática. Lo primero que salta a la vista es que en X, Y se requerirán 4 DOF: Δ 1, Δ2 , Δ 3 , Δ 4 , a partir de la descomposición de los DOF locales u 1 y u 2 inicialmente definidos en la Fig. 12 a). Entonces, para transformar los DOF locales en globales se requiere como paso previo, considerar los DOF locales transversales a la barra: v 2 y v 4 aunque como se sabe, son nulos (Fig. 14 a). De modo que la matriz local del elemento barra deberá plantearse ahora de orden 4 * 4. Para ello a la matriz ( 7 ) se le adicionan los términos de esos 2 nuevos DOFs nulos, quedando,

α

v4

v2u 1

u 3

α

2

1 1

2

U1

V4

V2

U3

DOF en

sistema Global.DOF en sistema

local.

Y

X

x

y

x, y - sistema coordenado local.

X, Y - sistema coordenado Global.

= Δ4

= Δ2

= Δ 3

= Δ1

a) b) Fig. 14. – DOF del elemento barra plana en sistema coordenado local a) y Global b).

1 2 3 4 1 0 -1 0 1 DOF en sistema 0 0 0 0 2 coordenado local. [ k e ] = E A - 1 0 1 0 3 4 * 4 L 0 0 0 0 4 La transformación de ejes coordenados de los DOF se realiza por la operación: u 1 Δ 1 DOF en v 2 Δ 2 DOF en sistema sistema local u 3 = [ T ] Δ 3 coordenado Global. v 4 Δ 4 O sea, { u } = [ T ] * { Δ } Donde [ T ] - matriz de transformación.


Se demuestra que, λ μ 0 0 − μ λ 0 0 [ Τ ] = 0 0 λ μ Para elementos barras. 0 0 − μ λ De forma semejante pueden plantearse las relaciones de las fuerzas en los nodos, respecto a los 2 sistemas coordenados, { f } y { F }, ambos ahora vectores columna de 4 filas. { f } = [ T ] * { F } fzas. en fzas. en sistema Sistema local. Global. El sistema de ecuaciones de equilibrio del sistema en coordenadas Globales será ahora, { F } = [ T ] T [ k e ] [ T ] * [ Δ ] donde: [ K ] e = [ T ] T [ k e ] [ T ] Es la matriz de rigidez del elemento barra en el sistema coordenada Global. Llamando, λ = cos α , μ = sen α - cosenos directores de la posición de la barra. Puede demostrarse que la matriz de rigidez del elemento barra plano en el sistema coordenada Global [ K ]e toma la siguiente forma. 1 2 3 4 DOF en ejes globales λ 2 λ μ − λ 2 − λ μ 1 λ μ − μ 2 − λ μ − μ 2 2 ( 13 III ) [ K ] e = E A − λ 2 − λ μ λ 2 λ μ 3 L − λ μ − μ2 λ μ μ 2 4 Pudiendo plantearse el sistema de ecuaciones del elemento en el sistema Global como, { F } = [ K ]e * { Δ } ( 5 I )

n el caso de elementos viga planos con rigidez a flexión y axial simultáneas, se tienen los DOF locales ya definidos, u 1 , v 2 , θ 3 , u 4 , v 5 , θ 6 (Fig. 13). En un sistema coordenado Global X, Y

(Fig. 15), se tendrán los DOF { Δ }mostrados en la figura. La transformación de coordenadas de los DOF se realiza de forma semejante al de las barras, obteniéndose,

E


α

v5

v2u 1

u 4

α

2

1 1

2

U1

V5

V2

U4

DOF ensistema Global.

DOF en sistemalocal.

Y

X

x

y

x, y - sistema coordenado local.


θ 3

θ 6

= Δ 5

= Δ 3

= Δ 6

= Δ 4

= Δ 2

= Δ 1

Θ6

Θ3

Fig. 15. – DOF del elemento viga plana con rigidez a flexión y axial. En sistema

coordenado local y Global.

u 1 Δ 1 v 2 Δ 2

θ 3 Δ 3 { v } = [ T ] * { Δ } u 3 = [ T ] Δ 4

v 4 Δ 5

θ 6 Δ 6

Donde la matriz de transformación [ T ] es ahora, λ μ 0 0 0 0 − μ λ 0 0 0 0 [ Τ ] = 0 0 1 0 0 0 Para vigas planas con rigidez 0 0 0 λ μ 0 axial y a flexión. 0 0 0 − μ λ 0 0 0 0 0 0 1 De igual forma a lo planteado para barras, las relaciones de las fuerzas { f } en el sistema local y { F } en el Global, ambos ahora vectores columna de 6 filas, vienen dadas por, { f } = [ T ] * { F } fzas. en fzas. en sistema Sistema local. Global.


El sistema de ecuaciones de equilibrio del elemento en coordenadas Globales será ahora, { F } = [ T ] T [ k e ] [ T ] * [ Δ ] ( 5 I ) donde: [ K ]e = [ T ] T [ k e ] [ T ] [ K ]e es la matriz de rigidez del elemento viga plano con rigidez a flexión y axial, en el sistema coordenado Global. Puede demostrarse que esta matriz toma la siguiente forma. 1 2 3 4 5 6 a λ 2 + + 12 b μ 2

1

(a-12 b)λμ aμ 2 + 2 12 bλ 2 SIMETRICA ( 13IV ) − 6 bLμ 6 bLλ 4 b L 2 3 [K ] e = -aλ 2−12bμ - (a-12b)λμ 6 bL μ a λ 2 + 4 + 12 b μ 2

- (a-12b)λμ - a μ 2 − - 6 bL λ (a-12 b)λμ a μ 2 + 5

12 b λ 2 +12 b λ 2 - 6 bL μ 6 bL λ 2 b L 2 6 bL μ − 6 bL λ 4bL2 6 donde: λ = cos α μ = sen α cosenos directores de la posición de la viga. a = E A b = E I L L 3

omo Resumen de las expresiones de las diferentes matrices de rigidez analizadas, se tiene lo siguiente.

C Ecuaciones más generales. Vigas planas con rigidez a flexión y axial: expresiones ( 13 IV ). Barras planas: expresiones ( 13 III ). Casos particulares. Vigas planas a flexión y axiales, α = 00: expresión ( 13 I ). También Fig.(18 a). Viga plana a flexión y axial, α = 900: expresiones de la Fig. (18 b). Viga plana, rigidez solo a flexión, α = 00: expresiones ( 13 ). Barra plana, α = 00: expresiones ( 7 ).


Las ecuaciones de equilibrio.

os 2 ejemplos desarrollados en el Capítulo 1 son casos bien conocidos de cálculos de resistencia, por teorías y disciplinas tradicionales ampliamente empleadas por el ingeniero, tales como Resistencia de Materiales y Teoría de Placas. Pero el MEF sin embargo, requiere para resolver estos problemas (y todos los problemas), crear el sistema de ecuaciones de equilibrio del sistema:

L

[ K ] n * n * {U} n * 1 = { F } n * 1 de todo el sistema ( 5 ) Donde { F } - vector cargas externas nodales. [ K ] – matriz de rigidez global del sistema, de orden n. { U } - vector desplazamientos nodales de los elementos, tanto lineales como angulares. n - numero de grados de libertad del modelo (DOFs). Por ejemplo, para el elemento TRUSS 2D el sistema de ecuaciones ( 5 ) será, F 1 E A 1 -1 U 1 = L F 2 -1 1 U 2 Para el elemento BEAM 2D, con rigidez axial infinita que elimina los efectos de las cargas axiales.

F 1 12 6L -12 6L V 1

M 2 = E I z 6L 4L2 -6L 2L2 θ 2 F 3 L3 -12 -6L 12 -6L V3 M 4 6L 2L2 -6L 4L2 θ 4

El sistema de ecuaciones ( 5 ) constituye el modelo matemático del sistema, planteado además de una forma muy general. Se trata de un sistema de ecuaciones aplicables a una gran variedad de tipos de problemas y cálculos de Ingeniería y de investigación científica. En su implementación pueden emplearse además de las teorías tradicionales ya apuntadas, las disciplinas más diversas, tales como problemas de bóvedas, de vibraciones, de estabilidad o pandeo, análisis térmicos, problemas no lineales, mecánica de los fluidos y otras muchas más. La creación de la matriz de rigidez global del sistema [ K ] el MEF lo hace a través de la aplicación del Principio de los Desplazamientos Virtuales, independiente de la teoría o problema de las Ingenierías de que se trate, lo que permite la amplia versatilidad que tiene el MEF. La creación de ( 5 ) también se hace por la aplicación de este Principio, para lo cual es necesario hacer uso de un largo procedimiento matemático, conocido como la Formulación basada en los desplazamientos. Este procedimiento consiste, en una forma muy resumida, en plantear primero las ecuaciones ( 1 ) para cada uno de los E elementos finitos en los cuales se ha discretizado el modelo a analizar. Para ello se aplica ( 1 ) a cada elemento finito, con la imposición de los desplazamientos virtuales unitarios { δU } en sus nodos, que se corresponden con los DOFs del elemento. De esa manera se determinan las componentes k i j de la


matriz de rigidez de cada elemento [ k ] y con ellas se conforma a continuación la matriz de rigidez global [ K ] de todo el modelo, de orden n. Luego se pasa a la conformación del sistema de ecuaciones de equilibrio ( 5 ) del modelo bajo análisis. La Formulación basada en los desplazamientos es pues, el procedimiento matemático para “armar” el sistema de ecuaciones ( 5 ) del sistema, o sea para crear el modelo matemático, a través de la aplicación del Principio de los desplazamientos virtuales. Una vez conformado el modelo matemático ( 5 ) se pasa a su solución (la 3 ra etapa), para lo cual se requieren métodos matemáticos complejos adicionales, que son partes integrantes también del MEF y son responsables de la alta difusión y versatilidad del método. Se trata de diferentes Métodos Numéricos de solución de grandes sistemas de ecuaciones: de tipos iterativos o directos.

na vez resuelto ( 5 ) se tienen ya calculados los desplazamientos, que son las variables que habían quedado de incógnitas, pudiéndose pasar entonces a la determinación de otros parámetros

derivados que son de mucho interés. Se trata de: las Reacciones en los nodos constreñidos, es decir, las reacciones en los apoyos; los esfuerzos en los nodos del modelo, las deformaciones y otros parámetros.

U

F

L

E I z

12

2

1

a) b)

nodos

x

y

r

y

y max2

x , r

θmax2

Fig . 11 . - (Repetida). a ) Viga simplemente empotrada. b ) Modelada por un elemento finito

tipo BEAM 2D, con 2 DOFs por nodo. Uno de los parámetros de mayor interés son los esfuerzos en diferentes puntos de los elementos, generalmente los nodos (también en sus centros de gravedad), los que se calculan a través de la Ley de Hooke, que para el estado tensional lineal es,

σ = E * ε

Y que se puede plantear de una forma más general en forma matricial como,

{ σ } = [ C ] { ε } ( 11 ) Lo que constituye la Ley Generalizada de Hooke del estado tensional.


Estas son algunas de las ecuaciones fundamentales que emplea el MEF en su Formulación basada en los desplazamientos.

ara los elementos BEAM también pudieran establecerse relaciones como ( 8 ) y ( 11 ) para determinar otros parámetros, como las deformaciones y los esfuerzos en los nodos. Pero en este

caso especifico no son necesarias, pues los esfuerzos en los nodos se determinan directamente a partir de los momentos flectores previamente determinados, por medio de,

P

σ = M y I z Y las deformaciones por,

ε = σ . E Ya se vio que la matriz deformaciones – desplazamientos [ B ] del elemento BEAM 2D con rigidez solo a flexión viene dada por la expresión ( 10 I ): [ B ] = - 6 + 12 x - 4 + 6 x 6 - 12 x - 2 + 6 x ( 10 I ) 1 * 4 L 2 L 3 L L 2 L 2 L 3 L L 2 La cual se emplea para obtener la expresión de la curvatura de la elástica de la viga, d 2 v ( x ) = 1 / ρ z = [ B ] { U } d x 2

e todo lo expuesto pueden observarse algunas características adicionales y generales del MEF.

D • La necesidad de suponer una configuración de los elementos finitos deformados bajo las cargas,

para lo cual se recurre a la aproximación de esa forma, por medio de polinomios de aproximación.

• Los grados de libertad locales DOF de los nodos de los elementos determinan los términos k i j

de la matriz [ k ] de los elementos finitos. Determinan también las cargas que pueden existir en esos nodos. Se determinan aplicando el Principio de los desplazamientos virtuales.

• Las matrices de rigidez de los elementos que en realidad interesa [ K ]e, son las referidas a los

ejes Globales X, Y. Con ellas se pasa a conformar la matriz de rigidez total [ K ] de todo el modelo.

• A continuación se pasa a la conformación y solución del sistema de ecuaciones de equilibrio

( 5 ), es decir el modelo matemático del sistema. Todo referido a los ejes Globales del sistema. Estas ecuaciones pueden ser (y acostumbran a ser) sistemas de muchas ecuaciones con muchas incógnitas, lo que unido al empleo de programas de computación, lleva a la aplicación de


Métodos Numéricos para obtener su solución. Ellos son en la actualidad parte importante del MEF.

• Una vez obtenidos los desplazamientos se procede a la determinación de otros parámetros de

interés: deformaciones, esfuerzos, reacciones, etc. Incluye el empleo de las matrices [ B ] y [ C ] de los elementos.

De esta forma termina la aplicación del MEF. Los ejemplos aquí expuestos se refieren a casos muy simples, pero la aplicación del MEF puede hacerse a estructuras muy grandes y a sistemas complejos, siendo la metodología la misma. Puede aplicarse a diferentes tipos de elementos finitos, tales como los elementos BEAM y LINK, empleados en estructuras; los SOLID 2 D y SOLID 3D para piezas macizas, como elementos de maquinas; y los elementos SHELL que simulan bóvedas y placas. El método sin embargo, sigue siendo el mismo, pudiendo plantearse de forma resumida como compuesto por 3 etapas generales. • Etapa 1. El mallado del sistema. Se trata de “llenar” el dibujo que representa al sistema a

analizar, con elementos finitos. Por supuesto que primero hubo que haber hecho ese dibujo del sistema o pieza a ser modelada.

• Etapa 2. La conformación del sistema de ecuaciones de equilibrio del sistema ( 5 ). Consiste

en los pasos anteriormente explicados en detalle, incluida la complicada conformación de la matriz de rigidez global [ K ].

• Etapa 3. La solución del sistema de ecuaciones de equilibrio, con la aplicación de los Métodos

Numéricos. A continuación se procede a la obtención de otros parámetros de interés.

Metodología para crear la matriz de rigidez global.

continuación se brinda una Metodología general para la creación manual de la matriz de rigidez global [ K ] de sistemas con elementos estructurales tipo barras y vigas. Las

explicaciones se complementan con el siguiente epígrafe Ejemplos. Los pasos a seguir son los siguientes.

A

1 Definir el sistema coordenado Global X, Y de todo el sistema. 2. Numerar los nodos de la estructura y definir los DOFs de la misma en el sistema coordenado Global. Véanse los ejemplos de las Fig. 16 a) y 17. Aquí es bueno destacar algunos puntos de interés.

Si la estructura analizada es isoestática, no definir DOF en los constreñimientos del pórtico o estructura, lo que simplifica el orden y complejidad de la matriz total del sistema. Aun así es posible resolver todos los parámetros de la estructura., aunque esto es opcional. Si es hiperestática, con esta definición de DOFs solo pueden hallarse los desplazamientos del sistema, pero no las fuerzas en los apoyos. En estos casos es preferible definir todos los DOFs del sistema. Véanse los Ejemplos 2 y 3.

Tener bien definidas y claras las coordenadas cartesianas Globales X, Y, Z y las de los

elementos x, y, z. Mantenga la numeración de los DOFs de los elementos finitos y el sentido de sus ejes coordenados elementales (siempre 1 y 2), de forma consecutiva (Fig. 16 b).


θ6

θ

θ

θ2 3

5

V1

V4

1 2

34

Y

X

a

b

c

d

e

1, 2, 3, 4 - nodos de laestructura

X, Y - sist. coord.Global.

1

4 3

2

Fig. 16 a) . Definición de los nodos y DOFs del sistema.

1 2 1

2

1

2

1 2

x

x

x

X

x

y

y

y

Y

y

Z

X ,Y , Z Sistema coordenadoGlobal.

x , y , z Sistemas coordenados de los elementos.

b )

c)

K66

a

b

c1

21

2

1 2

1, 2 - nodos de cada elemento finito.

Fig. 16. b ) Numeración consecutiva de los nodos de los elementos finitos c ) Significado físico del termino K 66. de la matriz global [ K ].


Los DOF axiales a un elemento viga basada en la teoría de Euler - Bernoulli para vigas, solo lo desplazan axialmente como un cuerpo rígido, pues la rigidez axial de este tipo de elemento es infinita (Fig. 17). Este es el significado de considerar solo la rigidez a flexión de las vigas. Así el grado de libertad V 1 es de tipo axial para el elemento “a”, de modo que el nodo del otro extremo del elemento (nodo 2) se desplaza también esa misma magnitud, moviendo al elemento axialmente como un cuerpo rígido. De este modo los DOF y cargas axiales en los elementos vigas con rigidez axial infinita, se definen en uno de sus nodos pero automáticamente actúan en el otro nodo del elemento. Como se verá en el Ejemplo 3 de abajo, esto reduce el orden de la matriz de rigidez elemental [ K ]e, siendo ahora n = 4 * 4 (ecuación 13), constituyendo una importante simplificación. En muchos casos de pórticos y estructuras, esta simplificación es valida pues introduce pequeños errores.

Se da el caso en que algunos DOF de los elementos no quedan incluidos en los DOFs de la

estructura completa. O sea que pueden haber otros DOF internos adicionales a los inicialmente definidos para la estructura. Véanse los Ejemplos.

V1 V1

K11

a

b c

1 2

1, 2 - nodos de la estructura.

X

Y


V1θ3

θ2

K 21

K 31

b )a )

1 2

Fig. 17. - a) Pórtico hiperestatico de 3 barras. DOFs : V1 , θ 2 , θ 3 . b) Elástica del pórtico debido al DOF V1. 1 2 3 4 5 6 K 11 K 12 K 13 0 0 K 16 1

K 21 K 22 K 23 0 0 K 26 2

Referente a los K 31 K 32 K 33 K 34 K 35 0 3 DOF del sistema. [ K ] = 0 0 K 43 K 44 K 45 K 46 4

0 0 K 53 K 54 K 55 K 56 5

K 61 K 62 0 K 64 K 65 K 66 6

3. Definir el orden y configuración de la matriz de rigidez total [ K ] del sistema estructural.


Se define siempre en el sistema de ejes Globales y el orden viene dado simplemente por la suma de todos los DOFs globales definidos en los nodos de la estructura. Es también objetivo de este paso tratar de determinar los elementos nulos de la matriz [ K ]. Así para el ejemplo de la Fig. 16, se tiene la matriz de rigidez Global de todo el sistema que se muestra arriba. De esta forma se tiene una primera definición general de la configuración de esta importante matriz de toda la estructura, lo que ayudara en los siguientes pasos. 4. Convertir los elementos estructurales del sistema en elementos finitos, creándose así el modelo de elementos finitos. Crear la Tabla de conectividad de los elementos finitos y nodos, cuya creación puede estudiarse a través de los Ejemplos en el siguiente epígrafe. 5. Determinar los cosenos directores de cada elemento de la estructura. 6. Crear las matrices de rigidez de cada elemento finito en el sistema coordenado Global, a partir de las matrices de rigidez establecidas de los elemento finitos [ K ]e, referidas a este sistema. Se trata de las ecuaciones ( 7, barras) o (13 I , vigas con rigidez a flexión y axial), validas para coincidencia entre el sistema coordenado del elemento y el Global del sistema (α = 0 0 ). O las mas generales ( 13 III ,barras) y ( 13 IV, vigas: flexión y axiales). En la Fig. 18 se muestran estas matrices [ K ]e para un elemento finito plano tipo viga – barra horizontal y para otro vertical, respecto al sistema Global X, Y. Las mismas fueron obtenidas aplicando ( 13 IV ). 7. Armar la matriz de rigidez total del sistema [ K ], en los ejes Globales, según las matrices de cada elemento finito, la Tabla de conectividad y los cosenos directores. Se trata de determinar cada uno de los términos K i j de la matriz de rigidez total [ K ]. Este procedimiento se explica en detalle también en los Ejemplos.

α = 0 0

1 2 3 4 5 6

A 0 0 - A 0 0 1

0 12 I 6 I 0 - 12 I 6 I 2 L2 L L2 L

[ke] = E 0 6 I 4 I 0 - 6 I 2 I 3 L L L

- A 0 0 - A 0 0 4

0 - 12 I - 6 I 0 12 I - 6 I 5 L2 L L2 L

0 6 I 2 I 0 - 6 I 4 I 6L L

α = 900

1 2 3 4 5 6

12 I 0 - 6 I - 12 I 0 - 6 I 1 L2 L L2 L

0 A 0 0 - A 0 2

[ke] = E - 6 I 0 4 I 6 I 0 2 I 3 L L L

- 12 I 0 6 I 12 I 0 6 I 4L2 L L2 L

0 - A 0 0 A 0 5

- 6 I 0 2 I 6 I 0 4 I 6L L

a ) b )

Fig. 18. Matrices de rigidez básicas [ K }e de elementos vigas planos horizontal ((a) α = 0) y vertical ((b) α = 900), en el sistema coordenado Global. Con rigideces axiales y de flexión simultáneas. Calculadas a partir de ( 13 IV ). De esta forma queda construida la matriz de rigidez total [ K ] de todo el sistema. Para la continuación de la aplicación del Método de los elementos finitos a la solución de una estructura, es decir para completar el análisis se aplican los siguientes pasos restantes.


8. Planteamiento del sistema de ecuaciones del sistema, en el sistema coordenado global. Se trata de las ecuaciones ( 5 ). 9. Definición de los apoyos y cargas externas de la estructura (las condiciones de contorno o bordes). 10. Solución del sistema de ecuaciones del sistema bajo análisis. Consideraciones generales.- • Tener muy claro y bien definido el significado de los términos K i j del sistema. • Las ecuaciones mas generales para el cálculo de las matrices de rigidez [ K ]e de los elementos

referidos al sistema coordenado Global son: - para planas barras: ( 13 III ). - para vigas planas con rigidez a flexión y axial: ( 13 IV ).

A partir de ellas pueden deducirse las pertinentes para otros casos. • Numere solo los nodos del sistema y los DOFs de cada nodo que se reflejen en el

comportamiento de toda la estructura, pues no todos ellos se reflejan en el sistema. Véase el Ejemplo 3.

• Use numeración consecutiva pero con independencia entre la numeración de los nodos y los DOFs.

• Siempre se cumplirá que: K i j = K j i: Todas las matrices de rigidez son siempre simétricas.

Ejemplos.

Ejemplo 1. ea la barra a tracción mostrada en la Fig. E 1, modelada con 2 elementos finitos LINK. Determine las deformaciones axiales de cada elemento finito. Datos: L m , L p. E , A , P.

S

m p

321

U 1U 2 U 3

P

LL

E A

m p

1 32

Fig . E 1 . - Sistema conformado con elementos barra (LINK o TRUSS).

Pasos 1 ), 2 ). El sistema posee 3 DOF: los desplazamientos axiales U 1 , U 2 y U 3 en el sistema coordenado global. Que es igual al local. Obsérvese que se esta numerando el nodo del empotramiento, así como su DOF U1. Se trabaja con los DOF U = Δ.

3 ) La matriz de rigidez del sistema en coordenadas globales será entonces de [ K ] 3 * 3


Pasos 4) y 5). No hay necesidad de crear la Tabla de conectividad de elementos y nodos ni los cosenos directores, por lo sencillo del ejemplo. Paso 6) La matriz de rigidez de cada elemento barra son las expresiones ( 7 ): k 11 k 12 1 -1 [ k ] = = E A ( 7 ) 2 * 2 k 22 k 21 L - 1 1 Paso 7 ) La matriz de rigidez global de todo el sistema ya fue determinada anteriormente y viene dada por las expresiones ( 13 II ). Su obtención se muestra a continuación. k 11

m k 12 m 0

k 11m k 12

m k 22p k 23

p [ K ] = + = k 21

m k22m + k 22

p k 23 p (13 II )

k 21m k 22

m k32p k33

p 0 k 32

p k 33 p

[ k ] m [ k ]p matrices de los elementos LINK m y p. Que para este ejemplo toma finalmente la forma, 1 / L m - 1 / L m 0 [ K ] = E A 1 / L m 1 / L m + 1 / L p 1 / L p 3 * 3 0 - 1 / L p - 1 / L p Pasos 8 y 9 ) Las ecuaciones de equilibrio ( 5 ) para este problema son entonces las siguientes. 0 1 / L m - 1 / L m 0 0 0 = E A 1 / L m 1 / L m + 1 / L p 1 / L p U 2 P 0 - 1 / L p - 1 / L p U 3 Paso 10 ) De donde resolviendo se obtiene: U 2 = P L m . , U 3 = P ( L m + L p ) E A E A Las matrices deformaciones – desplazamientos [ B ] de los elementos vienen dadas por ( 10 ),


U 1 U 2

{ ε m } = B 11m B 12

m * U 2 { ε p } = B 22p B 23

p * U 3 [ B ]p [ B ] m U 1 { ε m } = 1 - 1 1 * U 2 = - U 1 + U 2 = U 2 = P . L m L m L m E A U 2

{ ε p } = 1 - 1 1 * U 3 = - U 2 + U 3 = P . L p L p E A Y de esta forma se tienen los resultados necesarios para continuar con los análisis de ingeniería posteriores, por parte del especialista. En este ejemplo no hay necesidad del empleo de las ecuaciones ( 13 III ) para las rigideces de las barras en ejes Globales, por haber completa coincidencia entre ambos sistemas de ejes.

Ejemplo 2.

etermine las ecuaciones de equilibrio del pórtico plano de la Fig. E 2 a). Considere solo las rigideces a flexión de los elementos, o sea con rigidez axial infinita. D

Datos: E, I, L. Pasos 1 ), 2 ) El sistema coordenado Global X, Y, los nodos y los grados de libertad DOFs del pórtico en el sistema Global, se muestran en la Fig. E 2 a). Por ser la estructura isoestática no se considerarán los DOF del nodo del empotramiento, lo que como se ha planteado es opcional y simplifica el análisis. Obsérvese también que V 1 solo se define en el nodo 1, siendo el mismo en el 2 pues la viga “b” se desplaza como un cuerpo rígido, por considerarse de rigidez axial infinita. Los DOFs globales de la estructura son entonces 4. Paso 3 ) La matriz de rigidez total de todo el sistema será entonces de orden 4 * 4, tomando la siguiente configuración. Es importante ver que por la característica descrita de V 1 puede deducirse que: K 13 = K 14 = K 31 = K 41 = 0. Obteniéndose, 1 2 3 4 K 11 K 12 0 0 1 Referente a los DOFs K 21 K 22 K 23 K2 4 2 del sistema. [ K ] = 0 K 32 K 33 K 34 3 En sistema Global. 0 K 42 K 43 K 44 4


4E I

2L

LE I

V1

2

K11

V1

K 21

K42

21 =

K 32

V34

V = 13

K 33

K 23

K 34

a) b)

c) d )

= 14

e)

♦

♦

♦ K12

K 22

K 24

K 44

♦

1

2

θ

θ 4

θ 4

θ2

a

bX

Y

b

V

V

1

2

1'

3

f )

1

2

Fig. E 2 . - Pórtico de 2 elementos BEAM 2D.

a ) Estructura y parámetros fundamentales del modelo de elementos finitos. b )Cargas debidas a V 1. c ) Cargas debidas a θ 2. d ) Cargas debidas a V 3. e ) Cargas debidas a θ 4. f ) DOF internos.

Pasos 4 ) y 5). La Tabla de conectividad de los 2 elementos finitos en que esta discretizada la estructura (uno horizontal “a” y otro vertical “b”) y de sus nodos, es la mostrada a continuación. También se han determinado sus cosenos directores.


Tabla de conectividad

Elementos DOF e 1 2 3 4 Sist. coord. Local.

a 0 0 1 2 Sist. Coord. Global. b 1' 2 3 4

Elemento α λ μ a 0o 0 1 b 90o 1 0

Tabla cosenosdirectores

Hay que tener en cuenta que el DOF V1 no es valido para la viga vertical “b”, por estar considerando solo rigidez a flexión (o sea que “b” no se alargará). Pero tiene el DOF local V 1’ mostrado en la Fig. E 2 f que es el desplazamiento horizontal de “b” en su nodo superior. El que no aparece como DOF del sistema completo, por la misma razón: el elemento “a” no tendrá alargamiento. Es entonces un DOF interno de la estructura. Paso 6 ) De modo que la estructura queda compuesta por 2 elementos finitos: uno horizontal “a” y otro vertical ”b”. Las matrices de rigidez de cada elemento finitos [ K ]e (en general, es decir con parámetros: L, E, Iz ) en el sistema coordenado Global, se determinan por ( 13 IV ) y son las mostradas en la Fig. 18 para este problema. De ellas se van a eliminar los términos correspondientes a los DOFs axiales (rigidez axial infinita), quedando para α = 0 0 : 1 2 3 4 12 6L -12 6L 1 Referentes a los DOFs [ K ] e = E I z 6L 4L2 -6L 2L2 2 de los elementos. ( 13 ) 4 * 4 L3 -12 -6L 12 -6L 3 6L 2L2 -6L 4L2 4 Que son las ecuaciones (13) ya estudiadas. Sustituyendo los parámetros correspondientes de cada barra de la estructura analizada (Fig. E.2 a), se obtienen las matrices de rigidez de las 2 vigas en el sistema coordenado Global, las que se muestran a continuación. θ = 0 0 θ = 90 0

1

0 0 1 2

0

0

1

2

48 I 24 I2

24 I 8 I

48 I -24 I 4L

-24 I 8 I

- 48 I 24 4 L

-24 I 4 I

- 48 I -24 I 4L 8L

24 I 4 I 4L 4L

[ka] = E4L 4L

I2

2 2

4L 8L

8L A

8L

L

1' 2 3 4

L L1'

2

3

4

12 I -6 I2

-6 I 4 I

12 I 6 I

6 I 4 I

- 12 I -6 L

6 I 2 I

- 12 I 6 I L L

-6 I 2 I L L

[kb] = E L L

I2

2 2

L

LB

L

L

Paso 7 ) La matriz de rigidez total [ K ] de todo el sistema ya se tiene preconfigurada en el Paso 3 ), no debiendo aparecer el DOF 1’. La suma de las 2 rigideces anteriores se hace por las submatrices arriba señaladas A y B, debiendo contener solo los DOFs de todo el sistema: 1, 2, 3 y 4.


B

6 I3 L

8 I

12 I3 L

4 IL

L 6 I

2

1 2 3 4

2 IL

[K] = E

L 2

L 6 I

2

24 I2 4L

24 I2 L

A

+ 4 I2

1

3

4

L12 I 6 I

2 L

6 IL

0 0

0

0

Pasos 8 ), 9 ) Las ecuaciones de equilibrio del pórtico son finalmente las siguientes.

B

6 I3 L

8 I

12 I3 L

4 IL

L 6 I

2

1 2 3 4

2 IL

E

L 2

L 6 I

2

24 I2 4L

24 I2 L

A

+ 4 IL

12 I 6 I2 L

6 IL

0 0

0

0

F

M

F

M

1

2

3

44

2

3

1 V

V

θ

θ

=

Ejemplo 3.

ea el pórtico plano hiperestático mostrado en la Fig. E 3 a), compuesto por una viga y 2 columnas, del cual se desea obtener su matriz de rigidez global y total [ K ]. Considere solo las

rigideces a flexión. Datos: E, I, L.

S Pasos 1 ), 2 ) Los 2 primeros pasos son establecer el sistema coordenado Global X ,Y, los nodos y los grados de libertad globales de toda la estructura, los que se muestran en la Fig. E 3 a). Para llegar a ello se ha considerado que el desplazamiento axial de los elementos es despreciable frente a las deflexiones, según la teoría de Euler – Bernoulli para vigas. O sea, que se considerarán solo las rigideces a flexión de los elementos, de donde se concluye que no habrá desplazamientos verticales en el pórtico. El pórtico es hiperestatico pero por requerirse solo la matriz total [ K ] solo se definirán los DOFs de los nodos no constreñidos. Por tanto, poseerá solo n = 3 grados de libertad globales en sus uniones: V1, θ2 y θ3 . Paso 3 ) La matriz de rigidez global será entonces de orden 3 * 3 y sin elementos nulos.


K 31K21

2L

4 E I

L

32

2 = 1

K22 K32

K12

a) b)

c)

E I

θ

θθ

Y

X

a

cb

1 2V1

= 1V1

K111 2

Fig . E 3 . - Pórtico de 3 elementos BEAM 2D. Rigidez axial infinita.

a) Pórtico plano con sus nodos y grados de libertad. b) Fuerzas debidos al desplazamiento V1 = 1. c) Fuerzas debidas a la rotación θ 2 = 1. X, Y – sistema coordenado Global.

1 2 3 Referentes a los K 11 K 12 K 13 1 DOF del sistema. [ K ] = K 21 K 22 K 23 2 coord. Globales. K 31 K 32 K 33 3 Paso 4 ) y 5 ). La Tabla de conectividad de los 3 elementos finitos (uno horizontal y 2 verticales) en que se discretiza la estructura es la mostrada a continuación. Los nuevos DOF 1’ y 3’ son los desplazamientos verticales de los nodos propios de la viga “a” (Fig. E 4), que no aparecen como DOFs de la estructura completa. Por considerar las vigas con rigidez a flexión solo, quedando por tanto la estructura sin desplazamientos verticales. Son entonces DOF internos. Algo semejante ocurre con los DOF “0”, que son de los apoyos y tampoco se están considerando en la matriz total [ K ]. También se determinan los cosenos directores de cada elemento.


Tabla de conectividad Tabla cosenos directores. Elementos DOF Elemento α λ μ e 1 2 3 4 Sist. coord. Local. b 0 0 1 2 Sist. Coord. Global. b 900 0 1 a 1’ 2 3’ 4 a 00 1 0 c 1 3 0 0 c 900 0 1 Paso 6 ) Las matrices de rigidez de cada uno de los 3 elementos finitos que componen la estructura en el sistema coordenado Global, se obtienen sustituyendo los parámetros L, E, I de cada elemento en las matrices básicas [ K ]e dadas por las expresiones ( 13 IV ). Que para α = 0 0 y 900 son las matrices mostradas en la Fig. 18 a) y b) respectivamente. En ellas deben eliminarse ahora los términos por cargas axiales, con lo cual se llega a las ecuaciones (13), obteniéndose,

θ = 0 0 elemento a. θ = 90 0 elemento b.

1’ 2 3’ 3 0 0 1 2

6 6L -6 6L 1’ 12 6L - 12 6L 0 [ k ] = E I 6L 8L2 -6L 4L2 2 [ k ] = E I 6L 4L2 - 6L 2L2 0

4 * 4 L3 -6 -6L 6 -6L 3’ 4 * 4 L3 -12 - 6L 12 -6L 1 6L 4L2 -6L 8L2 3 6L 2L2 -6L 4L2 2

θ = 90 0 elemento c.

1 3 0 0

12 6L -12 6L 1[ k ] = E I 6L 4L2 - 6L 2L2 3

4 * 4 L3 -12 - 6L 12 -6L 0 6L 2L2 -6L 4L2 0

a

V V1' 3'

1 2

Fig. E 4. - DOF internos de los nodos 1 y 2.

Pasos 7 ), 8 ) La matriz de rigidez total y Global [ K ] se calcula sumando adecuadamente cada uno de los términos señalados en cuadros en las matrices anteriores. Así por ejemplo, el término K 22 de la matriz total se determina como: K 22 = ( 8 + 4 ) L 2 E I = 12 E I L 3 L Obteniéndose finalmente, 1 2 3 DOF del F1 24 6L 12L V1 1 sistema. M2 = E I 6L 12L2 4L2 θ2 2 Ejes globales.

M3 L3 12L 4L2 12L2 θ 3 3

[ K ]


Todos los términos de las filas y columnas 1’ y 3’ desaparecen en la matriz total, por ser DOF internos y recordando que en el Paso 3 ) ya fue configurada de orden 3 * 3. Se tiene un sistema donde el vector cargas deberá ser dato, quedando las 3 incógnitas del vector desplazamientos. El sistema de ecuaciones es entonces soluble. Las cargas debidas a la aplicación de cada uno de los DOF unitarios del sistema y las deformaciones que producen se muestran en las Fig. E 3 b y c ). Podrá verse que no habrán términos nulos en la matriz de rigidez [ K ].

2 L

4 E IL

V1

32

E I

V 7 V 4

V 9 V 6

θ θ

θ8

θ5

Fig. E 5 . - Grados de libertad completos del pórtico del Ejemplo 3.

n realidad el sistema de ecuaciones que emplea el Método de los Elementos Finitos para

conformar el modelo matemático de la estructura, considera también los DOFs de los apoyos. En este problema cada empotramiento introduce 3 DOFs adicionales: V 4 , θ 5 , V 6 y V 7 , θ 8 , V9

E

respectivamente (Fig. E 5). Por lo que el sistema de ecuaciones quedara de 9 * 9. F 1 24 6L 12L -12 6L 0 -12 6L 0 V1 M 2 6L 12L2 4L2 -6L 2L2 -6L -6L 0 6L θ2 M 3 12L 4L2 12L2 0 0 -6L -6L 2L2 6L θ3 F 4 = E I -12 -6L 0 12 -6L 0 0 0 0 V 4

M 5 L3 6L 2L 2 0 -6L 4L2 0 0 0 0 θ 5 F 6 0 -6L -6L 0 0 6 0 0 0 V 6 F 7 -12 -6L -6L 0 0 0 12 -6L 0 V 7 M 8 6L 0 2L2 0 0 0 -6L 4L2 0 θ 8 F 9 0 6L 6L 0 0 0 0 0 6 V 9

Donde { F 4 , M 5 , F 6 } y { F 7 , M 8 , F 9 } son las reacciones en los empotramientos derecho e izquierdo de la estructura. Claro que en este problema: V 4 = θ 5 =V 6 = V 7 = θ 8 = V 9 = 0. Para la solución matemática el usuario deberá brindar como datos una combinación de cargas y desplazamientos tal, que se tenga igual número de ecuaciones que incógnitas, de modo que el sistema sea matemáticamente soluble.


Capítulo 3.

El Método de los Elementos Finitos.

La Formulación basada en los desplazamientos. Pasos del MEF. Ejemplo. Compatibilidad entre los elementos finitos. Convergencia de la Solución. Otras Formulaciones matemáticas. Ejemplo. Formulaciones mixtas de elementos BEAM. Formulaciones mixtas de elementos placas. Formulaciones mixtas para materiales incompresibles. Módulos de trabajo de los Programas de E. F.

La Formulación basada en los desplazamientos.-

n lo estudiado hasta ahora sobre las características, principios y conceptos del Método de los

elementos finitos, MEF, se tiene prácticamente la explicación casi completa del mismo. Hay que decir que el procedimiento matemático descrito en los Capítulos precedentes es la denominada Formulación basada en los desplazamientos, en el cual las incógnitas del sistema de ecuaciones de equilibrio del sistema, son sus desplazamientos. Las explicaciones se han referido fundamentalmente a los elementos que simulan barras y vigas, es decir elementos TRUSS y BEAM, aunque también se vieron otros tipos de elementos. Algunos de los aspectos vistos fueron tratados de forma rápida, siendo necesario profundizar en algunos de ellos, lo que se hará en el presente Capitulo.

E

En forma resumida el Método de los Elementos Finitos MEF, en su Formulación basada en los desplazamientos, consiste en formar y resolver el sistema de ecuaciones ( 5 ) del modelo, para lo cual tiene que conformar en primer lugar, la matriz de rigidez global de todo el sistema [ K ]. Para ello, basado en el Principio de los desplazamientos virtuales en conjunto con el empleo de alguna de las teorías de calculo existentes en las Ingenierías y los polinomios de aproximación de los desplazamientos asumidos, primero determina las rigideces elementales [ k ] de todos los elementos finitos que conforman el modelo. A continuación se deberán tener como datos conocidos, o el vector fuerzas externas { F }, o el vector desplazamientos nodales { U }. Siendo conocido uno de estos vectores, el objetivo de la solución de ( 5 ) por el MEF es obtener el otro vector incógnita, en lo que se conoce como la “corrida” o “solución” del modelo. En esto consiste en lo fundamental el MEF, que puede resumirse como un proceso compuesto de 3 etapas: el mallado del sistema, la conformación y la solución del sistema de ecuaciones de equilibrio ( 5 ) del modelo. En el cuadro sinóptico siguiente se muestra el Proceso de modelación completo por elementos finitos y la posición que el MEF propiamente dicho tiene dentro de aquél. Para un estudio mas detallado del MEF es conveniente dividirlo en 6 pasos fundamentales. En el cuadro sinóptico están numerados esos pasos. A continuación se procede a explicar en detalle 5 de los mismos, en su Formulación basada en los Desplazamientos. Dejándose el paso No. 1 - el mallado del sistema - para más adelante en el Capítulo 7, en donde se estudiara con todo el detalle necesario.

García de la Figal, Javier Capitulo 3 El Método de los Elementos Finitos. 75

Cuadro sinóptico de la modelación por el MEF.

Establecimiento de criterios e hipótesis del modelo.

1) Mallado del sistema con elementos finitos. (Etapa 1). 2) Conformación de la matriz de interpolación de los desplaza – mientos, [ H ]. Conformación 3) Conformación de la matriz de El MEF del modelo matemático. rigidez global [ K ]. (Etapa 2) 4) Conformación del sistema de ecuaciones de equilibrio del modelo ( 5 ). Modelación por elementos finitos Solución del modelo 5) Solución del sistema de ecua- matemático. ciones de equilibrio. Obten- (Etapa 3) ción de los desplazamientos. 6) Cálculo de otros parámetros. Obtención e interpre- Análisis e interpretación. tación de los resultados Validación de los resultados. Mejoramiento y optimización del modelo. Pasos del MEF . – Paso 2) Conformación de la matriz de interpolación [ H ]. Se trata de una matriz básica de cada elemento finito que compone el sistema, con las cuales se podrá posteriormente, aplicando ( 1 ) a cada elemento, armar la siguiente matriz necesaria [ B ] de cada uno de ellos, para la continuación del MEF. Es un complejo proceso que tratara de explicarse en detalle a continuación. Aquí surge una importante y primera complicación que el MEF debe abordar en primer lugar, consistente en el tratamiento de los desplazamientos de los elementos. Comúnmente las cargas externas se aplican o se extrapolan hacia los nodos, porque los desplazamientos de interés para la conformación y solución del sistema de ecuaciones del tipo ( 5 ), son los desplazamientos nodales {U}. Sin embargo, en el proceso de cálculo es necesario conocer también los desplazamientos en cualquier punto en el interior del elemento, que en un sistema volumétrico y estructural pueden ser 6: 3 de traslación y 3 de rotación (u, v, w, Rx, Ry, Rz ). Por ello


se hace necesario interpolar los desplazamientos nodales, para obtener los del interior del elemento, para lo cual se asume que esos desplazamientos en puntos interiores responden a polinomios con respecto a las coordenadas del elemento x, y, z. Estos polinomios de interpolación reciben el nombre de funciones de aproximación de los desplazamientos y es bueno ir observando que son de hecho la forma que tomara el elemento deformado. Así, considerando sólo por simplificación un elemento plano, del tipo SOLID 2D o PLANE (Fig. 19 a), con 4 nodos y 2 posibles desplazamientos por nodo (o grados de libertad, DOF: desplazamientos de traslación U, V ), se puede asumir que los desplazamientos en puntos interiores del plano del elemento responden a polinomios de 1er grado (lineales), del tipo.

u(x,y) = α1 + α2 x + α3 y + α4 x y Para cada elemento ( 14 )

v(x,y) = β1 + β2 x + β3 y + β4 x y

Los cuales definen a los elementos finitos tipo – h lineales. Con polinomios de mayores grados se tienen los elementos tipo – p, u(x,y) = α1 + α2 x + α3 y + α4 x y + α 5 x 2 + α 6 y 2 + α 7 x 2 y + . . . . . + α m x p ( 14 I ) v(x,y) = β1 + β2 x + β3 y + β4 x y + β 5 x 2 + β 6 y 2 + β 7 x 2 y + . . . . . + β m x p donde: x, y - son las coordenadas de cualquier punto interior de los elementos, dadas en el sistema coordenado local del elemento. u, v - son los desplazamientos de puntos interiores del elemento. Son de hecho la forma que tomaran los elementos después de deformados. Véase la Fig. 13 b). α, β − coeficientes desconocidos o incógnitos, llamados coordenadas generalizadas, que no son más que las coordenadas que fijan la posición del sistema, pero coordenadas especiales independientes de las condiciones de contorno. p - grado mayor del polinomio. Continuando con el elemento plano de 4 nodos y 2 DOF por nodo (Fig. 19 a), si está armado con los polinomios lineales ( 14 ), tiene un número de coordenadas generalizadas dado por el producto del número de nodos del elemento por los DOFs de cada nodo, es decir que coincidirá con los DOFs totales del modelo, n. En este caso: 2 * 4 = 8 coordenadas generalizadas. Durante la aplicación del MEF las coordenadas generalizadas α, β, ... de cada elemento se ponen en función de los también incógnitas desplazamientos nodales de los elementos U, V, W, ... Esto se hace por medio de la conformación de una matriz conocida como de interpolación de los desplazamientos [ H ], para cada elemento, la que será analizada en detalle en el Capitulo 4. De este


modo se tienen las dependencias entre los desplazamientos nodales U, V, W, ... , que serán las variables con las que se seguirá trabajando en lo adelante; y los desplazamientos en puntos interiores del elemento, u, v, w, ... , aspecto muy importante para la determinación de la configuración deformada del elemento bajo cargas. En ( 14 ) el grado de los polinomios de aproximación de los desplazamientos es de 1 er grado, pero pueden ser y se emplean de 2o grado (cuadráticos), y de 3er o mayores grados (cúbicos, etc., ecuaciones ( 14 I ) ). Según sea mayor el grado de los polinomios mejor será el ajuste del elemento finito a la configuración deformada de la pieza que pretende simular. Con elementos con polinomios de aproximación de 1er grado, o sea lineales como ( 14 ), se tienen los elementos conocidos como de bajo orden o tipo – h lineales, que son los primeros desarrollados y más simples. Los elementos con polinomios de aproximación de mayores grados, son los elementos tipo - p de altos ordenes. A continuación se muestra la cantidad máxima de términos de algunos de los polinomios de aproximación de los desplazamientos más empleados.

Tabla 2.- Características de los polinomios de aproximación de los desplazamientos. Interpolación Grado No. de términos No. de términos en 2 D. en 3 D. Lineal 1 4 7 Cuadrática 2 9 20 Cúbica 3 15 46 Debe observarse que los polinomios lineales obligan o presuponen una relación lineal de los desplazamientos de los nodos U, V, W, ... respecto a sus ubicaciones iniciales, y también de un nodo respecto a los otros, como puede apreciarse en las Fig. 19 b) y 20 a). En otras palabras, que las funciones de aproximación de los desplazamientos que asumen los elementos de bajo orden, implican que el elemento deformado estará compuesto por rectas. En los otros tipos de elementos que asumen polinomios de órdenes superiores [tipo – p, Fig. 19 c, d, e y Fig. 20 b)], se logran ajustes más precisos a las configuraciones deformadas de las piezas. En la Fig. 19 e) se muestra una viga simulada por un elemento finito único, con el sistema de cargas mostrado. La compleja configuración de la elástica de la viga resultante (desplazamientos transversales o flechas v), solo puede ser simulada con polinomios cúbicos o de grados superiores, por lo que si se pretende emplear un único elemento finito, tendrá que ser del alto orden y al menos con polinomios cúbicos (p = 3). Por supuesto que también podrán emplearse elementos lineales tipo – h lineales, pero muchos de ellos, de modo que se aproxime la configuración de la elástica de la viga, con muchos y pequeños tramos rectos. Como se ve, el grado de los polinomios de aproximación de los desplazamientos de los elementos finitos determina el grado de ajuste a sus configuraciones deformadas y la densidad del mallado necesaria en el modelo, es decir la cantidad de elementos finitos a emplear. Los polinomios ( 14 ) y ( 14 I ) permiten realizar la interpolación de los desplazamientos de puntos interiores de los elementos, entre los nodos y constituyen ecuaciones que pueden replantearse de forma matricial, por medio de la conformación de la mencionada matriz de interpolación de los desplazamientos [ H ], para cada elemento finito. Las relaciones entre los desplazamientos en puntos interiores del elemento u, v, w,... (vectorialmente { u } ) y los desplazamientos nodales U, V, W, .... ( vectorialmente { U } ), se escriben entonces matricialmente como,


a) b) c) d)

v u

x

P1

L

q

nodos

e )

Fig. 19.- a) Elemento de 4 nodos y 2 DOF / nodo, sin deformar. b) Elemento deformado, de bajo orden, por lo que la relación entre los desplazamientos es lineales ( tipo – h de bajo orden).

c) Elemento tipo – h con polinomios cuadráticos. d) Elementos tipo - p con polinomios cúbicos. e) Elemento viga, tipo – h.

{ u } (x, y, z) = [ H ] (x, y, z) * { U } para cada elemento. Y pueden ser expresados también en función de los desplazamientos virtuales, como,

{ δu } = [ H ] * { δU } para cada elemento ( 15 )

Donde { δu } - son los desplazamientos virtuales de puntos interiores del elemento. Y { δU } el vector desplazamientos virtuales y nodales de todo el modelo. Para la conformación de la matriz interpolación de los desplazamientos [ H ], el procedimiento tiene que conformar y emplear varias matrices intermedias que le permitirán armar [ H ], con el empleo de polinomios del tipo ( 14 ) o


( 14 I ). Durante ese proceso se ponen las coordenadas generalizadas α, β, ..... en función de los desplazamientos nodales de cada elemento U, V, W, ..... , los que continuarán en adelante como las únicas incógnitas del problema.

Curva inicial de la pieza

Curva real de lapieza después de

deformada

Forma quetomara elelementodeformado

Forma quetomara elelemento

deformado.


Curva real dela pieza

después dedeformada

a) b)

Forma delelementofinito sindeformar


Fig. 20 - Comparación del comportamiento de los elementos de bajo y de alto orden.

a) De bajo orden (4 nodos). b) De alto orden con 4 nodos también.

Por ejemplo, para el elemento finito plano SOLID 2D ( PLANE ), de 4 nodos y 2 DOF de solo traslación por nodo de la Fig. 19 a), con los polinomios de aproximación de los desplazamientos asumidos como lineales o de “bajo orden”, [ H ] viene dada por, [ H ] = 1 (1+x)(1+y) (1-x)(1+y) (1-x)(1-y) (1+x)(1-y) 4 0 0 0 0 ( 15 I ) 0 0 0 0 (1+x)(1+y) (1-x)(1+y) (1-x)(1-y) (1+x)(1-y) Que se corresponde con el vector desplazamientos: { u } T = { u 1 u 2 u 3 u 4 v 5 v 6 v 7 v 8 }. En donde, a diferencia del elemento BEAM 2D, se han numerado los DOFs según un orden dado por numerar primero los desplazamientos u (en dirección x), de todos los nodos, luego los desplazamientos v, y luego los w.


De este modo a través de ( 15 ) quedan establecidas las relaciones entre los desplazamientos virtuales en cualesquiera puntos interiores del elemento {δu}, con sus desplazamientos nodales virtuales {δU}. Existe otro tipo de elementos, los isoparamétricos que no emplean funciones de aproximación de los desplazamientos, como ( 14 ) y ( 14 I ), sino que determinan la matriz de interpolación de los desplazamientos [ H ] de forma directa a través de polinomios denominados funciones de forma, las que pueden ser también lineales o de ordenes superiores. Estos importantes elementos se estudiarán en detalle más adelante, en el Capitulo 4. Paso 3) La conformación de la matriz de rigidez global [ K ] es un complejo problema que aborda el MEF. En la Formulación basada en los desplazamientos, [ K ] se calcula por la suma apropiada de las matrices de rigidez de cada elemento finito [ k ], es decir,

[ K ] = [ k ] Lo primero para ello es el análisis de las deformaciones virtuales del elemento { ε }, que se relacionan con los desplazamientos virtuales y nodales { δU } de las expresiones ( 15 ), por medio de la aplicación del Principio de los desplazamientos virtuales. Llegándose así a armar un sistema de ecuaciones, ya vistas anteriormente, que se pueden generalizar y expresar matricialmente como, { ε } = [ B ] * { δU } para cada elemento. ( 8 ) donde { ε } – vector deformaciones virtuales del elemento (longitudinales y angulares). [ B ] – matriz deformaciones – desplazamientos, que se calcula por, [ B ] = [ D ] * [ H ] donde [ D ] - matriz conformada por algún tipo de derivada respecto a x, y, z. Así, si se emplea la teoría de la Elasticidad se trata de las primeras derivadas de los desplazamientos (ecuaciones ( 9 ), Cap. 2 ). Con otras teorías de cálculo son las segundas derivadas. Su estudio detallado se hará en el Capitulo 4. Por ejemplo, para el elemento plano SOLID 2D, con las deformaciones ε x , ε y , γ xy , se tiene, (1 + y) -(1 + y) -(1 - y) (1 - y) 0 0 0 0 [ B ] = 1 0 0 0 0 (1 + x) (1 - x) -(1 - x) -(1 - x) 3 * 8 4 (1 + x) (1 - x) -(1 - x) -(1 + x) (1 + y) -(1 + y) -(1 - y) (1 - y)


A continuación se procede al planteamiento de la matriz de elasticidad [ C ], (o mas general: matriz constitutiva, también ya vista), de los elementos,

{ σ } = [ C ] ∗ { ε } para cada elemento. ( 11 )

donde { σ } − vector esfuerzos (normales y tangenciales). [ C ] - matriz de elasticidad o constitutiva de los elementos. Debe observarse que ( 11 ) no es más que la Ley de Hooke Generalizada del estado tensional. Como ya se había indicado, las matrices [ C ] y [ B ] permiten obtener de forma directa las matrices de rigidez de los elementos [ k ], a través de las relaciones ( 12 ): [ k ] = [B ] T [ C ] [ B ] dV ( 12 ) V En efecto, las ecuaciones ( 8 ) y ( 11 ) son las necesarias para relacionar el trabajo de deformación interna de los elementos con el trabajo externo, debido a los desplazamientos unitarios, es decir la implementación de la expresión ( 1 ). Ahora puede pasarse a la determinación de la matriz de rigidez global [ K ] de todo el modelo, por medio de la suma apropiada de las rigideces [ k ] de todos los elementos del modelo. Donde ”suma apropiada” significa la suma de las componentes de las matrices [ k ] de cada elemento, en los nodos comunes, o sea los que interconectan a los elementos. Los principios para realizar este proceso ya fueron analizados a través de los Ejemplos 1, 2 y 3 del Capitulo 2 anterior. Como se ha explicado, la determinación de las componentes k 11 , k 12 , k 13 , .... de las matrices de rigidez elementales [ k ], pasa por el calculo de la matriz [ B ], en lo cual se aplica de forma implicita el Principio de los desplazamientos virtuales, utilizando para ello los principios y teorías de calculo correspondientes a la rama de las Ingenierías de que traten los elementos finitos empleados. La matriz [ K ] es generalmente de muy elevado orden n, el que depende de la cantidad de nodos del modelo completo y de los grados de libertad (DOFs) que aporte cada nodo. Así en elementos más complejos que el anterior, como por ejemplo, los elementos SHELL que simulan una placa rectangular (vease la Fig. 6, Capitulo 1), cada uno de los 4 nodos aporta 3 DOF: los desplazamientos lineales u, v, y la rotación R z, por lo que cada elemento aporta 3 * N = 12 DOF (donde N = 4 – es el número de nodos). Los DOFs de todos los elementos del modelo, que pueden ser miles, aportan al orden de la matriz [ K ], obteniéndose así matrices de muy elevados órdenes n. Se comprende entonces la necesidad de recurrir a métodos matemáticos adecuados para conformar y resolver estos grandes sistemas de ecuaciones, que son parte importante del MEF y se analizaran brevemente en el Capitulo 8. Paso 4) Después de la conformación de la matriz de rigidez global del sistema, se pasa a la conformación del sistema de ecuaciones de equilibrio ( 5 ), para lo cual se procede a la creación de uno de sus 2 vectores, comúnmente las carga externa { F }, a partir de los datos iniciales que el usuario suministra. Así, es común conocer el vector cargas externas { F }, o al menos varios de los


componentes de ese vector, además de algunos valores del vector desplazamientos nodales {U}, dados por ejemplo, por los constreñimientos a “tierra” del sistema. En la conformación de { F } comúnmente hay que hacer uso también de las matrices elementales [ B ] y [ H ]. Los restantes valores de { F } y { U } permanecen como las incógnitas del sistema de ecuaciones del sistema.

{ F } = [ K ] * { U } ( 5 ) Paso 5) Una vez conformadas las ecuaciones ( 5 ), el siguiente paso es resolverlo, donde las incógnitas serán los parámetros desconocidos de los vectores { U } y { F }. Se trata de grandes sistemas de ecuaciones lineales, que pueden ser de elevados órdenes, como ya fuera apuntado. Para la solución de ( 5 ) se han desarrollados diversos métodos matemáticos. De los numerosos existentes aplicables a diferentes condiciones de trabajo y tipos de elementos, sólo se mencionaran algunos de los más empleados, cuando se resuelven problemas estáticos. Ellos son partes imprescindibles e importantes del MEF, aunque salen del marco de este texto. Entre estos métodos matemáticos están:

• Solución directa, empleando algoritmos basados en la eliminación de Gauss. (Factorización de Cholesky, Frontal solver, etc).

• Métodos Iterativos. (Gauss – Seidel, Gradiente conjugado, etc.). • Métodos de solución de ecuaciones no lineales. (Newton–Raphson, el método BFGS, etc.).

Paso 6) Una vez determinados los desplazamientos de todos los puntos del sistema – nodales y en puntos interiores de cada elemento -, se procede al cálculo de los esfuerzos y deformaciones, así como otros parámetros de interés, en todos esos puntos. Se trata de la aplicación de las relaciones ( 8 ) y ( 11 ), ya estudiadas.

Ejemplo . –

n E el Capitulo 1 se estudio el calculo de placas según la teoría de placas de Kirchhoff. Veamos la implementación del MEF en el elemento que sustenta esta teoría de cálculo, el elemento

SHELL. Matriz [ H ] . – Sea un elemento rectangular de N = 4 nodos, con 1 DOF de traslación por nodo, que simula una placa, con los desplazamientos nodales W N , Fig. 8. Asumiendo polinomios de aproximación de los desplazamientos h i ( x,y ), pueden plantearse las ecuaciones del tipo ( 14 ) y ( 14 I ) pero en función de los desplazamientos nodales, de modo que, w (x,y) = h 1 * W1 + h 2 * W 2 + h 3 * W 3 + h 4 * W 4 ( 14 II ) donde h i ( x,y ) son polinomios asumidos de grado p. La matriz de aproximación de los desplazamientos [ H ] es entonces un vector,


[ H ] = { h 1 h 2 h 3 h 4 } Las ecuaciones ( 14 II ) pueden plantearse de forma matricial, semejantes a ( 15 ), W 1 w = { h 1 h 2 h 3 h 4 } W 2 ( 14 III )

W 3 Matrices [ B ] y [ C ] . – Para la conformación de la matriz deformaciones – desplazamientos [ B ], hay que tener en cuenta que se tienen 3 deformaciones, propias del estado tensional plano resultante en una placa fina, ε x , ε y , τ x y , Fig. 6, Capitulo 1. Recordando que la expresión general es, [ B ] = [ D ] * [ H ] de ( 3’’’ ) Capitulo 1, se concluye que, δ2 / δx2 - δ2 / δy2 * z = [ D ] 2 δ2 / δx δy donde: w - flecha en cualquier punto x, y de la placa (Fig. 6 ). z - distancia desde el Plano Neutro, en dirección de z. Por tanto, δ2 / δx2 [ B ] = - δ2 / δy2 * z * { h 1 h 2 h 3 h 4 } 2 δ2 / δx δy δ2 h 1 / δx2 δ2 h 2 / δx2 δ2 h 3 / δx2 δ2 h 4 / δx2 [ B ] = z * - δ2 h 1 / δy2 - δ2 h 2 / δy2 - δ2 h 3 / δy2 - δ2 h 4/ δy2 2 δ2 h 1 / δx δy 2 δ2 h 2 / δx δy 2 δ2 h 3 / δx δy 2 δ2 h 4 / δx δy Matriz de rigidez elemental [ k ] . – La matriz de rigidez del elemento se calcula por ( 12 ),


[ k ] = [B ] T [ C ] [ B ] dV ( 12 ) V Donde dV = t dx dy - diferencial de volumen. Si se tuviera un único elemento finito seria mas fácil recurrir directamente a las ecuaciones de la placa de Kirchhoff, dadas en el Capitulo 1. Pero si el sistema bajo análisis estuviera constituido por varios elementos SHELL (que pueden ser decenas de miles), hay que recurrir al MEF. Matriz de rigidez global [ K ] . – La matriz de rigidez global de todo el sistema constituido por E elementos SHELL se calcula por, E

[ K ] = [ k i ] i = 1 Planteamiento y solución del sistema de ecuaciones de equilibrio del sistema . – Las ecuaciones de equilibrio del sistema vienen dadas por,

{ F } 1 * n = [ K ] n * n * { W } 1 ∗ n ( 5 ) donde n - DOFs del sistema. { F } y { W } se refieren a las fuerzas y desplazamientos en z (flechas) de todos los nodos del sistema. Una vez resuelto ( 5 ) se tienen todos las flechas { W } de todos los nodos, mientras que con ( 14 III ) se tienen las flechas en puntos interiores de los elementos. Es decir se tienen determinadas las incógnitas del sistema, pudiéndose pasar entonces al calculo de otros parámetros de interés. Calculo de otros parámetros de interés . – Aplicando ( 8 ) se tiene, ε x

ε = [ B ] * [ W ] = ε y τ xy ε x δ2 h 1 / δx2 δ2 h 2 / δx2 δ2 h 3 / δx2 δ2 h 4 / δx2 W 1

ε y = z * - δ2 h 1 / δy2 - δ2 h 2 / δy2 - δ2 h 3 / δy2 - δ2 h 4 / δy2 W 2 τ xy 2 δ2 h 1 / δx δy 2 δ2 h 2 / δx δy 2 δ2 h 3 / δx δy 2 δ2 h 4 / δx δy W 3 W 4


Teniendo en cuenta ( 14 II ), δ2 w / δx2 ε x

- δ2 w / δy2 * z = ε y = ε ( 3 III ) 2 δ2w / δx δy τ xy Que coincide con ( 3 III ) del Capitulo 1. Esta es la implementación de la Formulación basada en los desplazamientos del elemento SHELL para placas finas. Resta hallar los esfuerzos, a través de ( 11 ),

{ σ } = [ C ] ∗ { ε } para cada elemento. ( 11 ) Donde la matriz de Elasticidad [ C ] para el estado tensional plano queda, E νE 0 [ C ] = 1 /(1-ν2) ∗ νΕ Ε 0 ( 3 ) 0 0 G(1-ν2)

uede observarse de todo lo explicado, que en la Formulación con base en los desplazamientos todo se pone en función de los desplazamientos nodales, por lo que son estos en ultima instancia

las incógnitas del sistema a ser resueltas primeramente. Aunque después queden otros parámetros adicionales a ser determinados, como los esfuerzos, deformaciones y otros. Hasta aquí quedan explicados los pasos constitutivos del método de los elementos finitos, MEF.

P

Con ello no finaliza sin embargo, el análisis o modelación por elementos finitos, sino que hay que pasar a la etapa siguiente del proceso, en que se presentan, analizan y procesan los resultados. Esto incluye la importante etapa de validación de esos resultados, para conocer la confiabilidad y certeza de los mismos. En dependencia de estos análisis, se da por finalizado el proceso de modelación, o se pasa a modificar el modelo, perfeccionándolo y repitiendo el proceso de cálculo con un modelo mas adecuado. Véase la Fig. 7 (Capitulo 2), así como el cuadro sinóptico anterior. Un aspecto que debe tenerse muy presente es que el MEF emplea el Principio de los desplazamientos virtuales para la conformación de algunas de las matrices descritas. Pero para ello, también emplea ecuaciones e hipótesis de cálculo semejantes y frecuentemente iguales a las utilizadas por las Teorías y disciplinas tradicionales de la Mecánica, con el fin de conformar las ecuaciones de equilibrio del sistema ( 5 ), y en especial de la matriz de rigidez [ K ]. Se trata de disciplinas tales como Teoría de Elasticidad, Teoría de las Vibraciones, etc. El empleo de fórmulas e hipótesis de trabajo específicas de las disciplinas de cálculo tradicionales o de disciplinas nuevas, es propio de cada elemento finito, lo que explica la gran diversidad de ellos existentes en la actualidad. El propio MEF las asume también a través de diversas vías, como al seleccionar el tipo de Formulación del elemento, en que por ejemplo, si es la basada en los desplazamientos realiza los cálculos de vigas de hecho según las hipótesis de Bernuollí (teoría de Euler - Bernoulli); y si son placas (SHELL), se está trabajando según las hipótesis de Kirchhoff. También al seleccionar las condiciones de borde del problema por parte del analista, así como por otras vías. Véase Tipos básicos de elementos finitos más adelante en el Capítulo 5.


Compatibilidad entre los elementos finitos. n todo este complicado proceso de solución tienen que cumplirse 2 propiedades importantes:

E

1. El equilibrio de cargas de los puntos nodales de los elementos. 2. El equilibrio de los propios elementos.

Sea una superficie mallada con elementos finitos planos rectangulares (Fig. 21 a). Supóngase que el cálculo ha sido realizado ya, y a través de él se han determinado para cada elemento, las fuerzas en cada nodo (Fig. 18 b). La primera propiedad establece que:

q - 1 q

m - 1 m

q, q - 1, m, m - 1. . . .

elementos finitos

a )

Suma de fuerzas,equilibradas en los nodos

comunes, y con lasfuerzas externas

Fuerzas en cadaelemento, en

equilibrio.q-1 q

m-1m

b )

Fig. 21.- a ) Mallado de una superficie por elementos finitos. b ) Equilibrio de fuerzas en nodos y elementos, en análisis por EF.

“En cada nodo la suma de las fuerzas de los puntos nodales de cada elemento concurrentes en el nodo, está en equilibrio con la carga externa aplicada a ese nodo”


“En cada elemento m están en equilibrio las fuerzas que actúan sobre él”. Estas son dos propiedades fundamentales que tiene que cumplir el modelo creado, para poder proceder a la obtención de la solución por el MEF. Se trata de garantizar el equilibrio de todos los elementos y nodos del modelo, es decir las adecuadas relaciones inter elementos. Para la conformación de la matriz de rigidez global [ K ] del sistema, tienen que cumplirse estos requerimientos, de modo que pueda realizarse la suma de las rigideces elementales [ k ], en la forma explicada mas arriba. Las características y parámetros de los elementos a unirse deben posibilitar el cumplimiento de estas propiedades, diciéndose entonces que son elementos compatibles entre sí.

Convergencia de la Solución.

or Convergencia de la solución obtenida por el MEF se entiende que la misma se acerque lo más posible a la solución exacta del modelo matemático empleado. En efecto, el modelo matemático

tiene una solución exacta y el fin del MEF es alcanzarla, o al menos acercarse lo más posible a ella. Obsérvese que se habla de la solución del modelo matemático escogido y no del problema físico real. Varias son las razones de no alcanzarse la solución exacta, la mayoría de las cuales debidas al surgimiento de diversos errores que se van introduciendo durante el proceso de modelación y solucion. Algunos de los principales errores achacables al propio MEF son los siguientes.

P

• El grado de discretización del modelo. Es el llamado error de discretización y se disminuye aumentando la densidad del mallado, o sea refinando el mallado. Un principio fundamental del MEF, un aspecto básico y primario para alcanzar la solución exacta, es modelar con una densidad del mallado lo más fina posible; alcanzándose la solución exacta sólo con un mayado infinitamente fino. Aunque esto es solo verdadero con el empleo de la Formulación basada en los desplazamientos. Mas adelante se vera como con nuevas Formulaciones y por otras vías, hoy en día hay elementos que empleando uno solo puede modelarse todo el sistema con suficiente precisión.

• La conformación de las matrices de rigidez de los elementos, por el empleo de las

Formulaciones matemáticas, que van introduciendo siempre cierto grado de error.

• Los métodos matemáticos de solución de las ecuaciones del sistema ( 5 ), según el método empleado (Gauss-Seidel, Newton-Raphson, etc).

• Redondeo de las operaciones efectuadas durante los cálculos, que necesariamente tiene que

efectuar el programa. Como se acaba de apuntar, una de las vías más recomendada en la literatura para mejorar la convergencia de la solución, es aumentar la densidad del mallado, es decir aumentar la cantidad de elementos. Aunque en varios de los elementos actuales tipo vigas y barras (lineales), si además las cargas son concentradas, basta con colocar un elemento entre cargas, pues el aumento de elementos no incrementa la exactitud de la solución. Contrario a los elementos planos y volumétricos, en que


para asegurarse que se ha llegado a una solución lo más cercana posible a la exacta del modelo matemático, se hace necesaria una primera corrida con un mallado inicial dado, para observar los resultados obtenidos. A continuación se procede a refinar el mallado y realizar una 2a corrida. Los nuevos resultados obtenidos serán, seguramente diferentes y más precisos que los primeros. Continuando con sucesivos refinamientos del mallado y sus correspondientes corridas, se van obteniendo resultados cada vez más precisos. La continuación de este proceso tiende a presentar cada vez menos diferencias entre los resultados, tendiendo hacia un valor prácticamente constante. El grado de mallado que alcanza esa condición es el más adecuado. Esta es la conocida Prueba de convergencia de la solución y se verá nuevamente en los Capítulos 7 y 9. Es una importante prueba que debe realizar el analista, para lograr un mallado que garantice la obtención de la solución lo más cercana posible a la exacta del modelo matemático, es decir la solución más precisa.

Otras Formulaciones matemáticas. a Formulación basada en los desplazamientos es la utilizada en la conformación de varios de los elementos finitos actualmente en uso, pero no es la única existente. En ella las únicas

incógnitas son los desplazamientos, los que deberán satisfacer las condiciones de contorno, así como las condiciones inter elementos adecuadas. Es apropiada para una gran variedad de problemas prácticos de simulación, pero hay un grupo de ellos que no quedan bien modelados con esta Formulación. Entre estos problemas están:

L

• Las vigas “cortas”, es decir aquéllas cuya razón “radio de giro de la sección

transversal / longitud de la viga”, es mayor que la unidad. En estos casos es también necesario tener en cuenta la energía de deformación transversal (teoría de Timoshenko), no siendo aplicables las hipótesis de Bernoullí propia para vigas de longitudes “normales”, en que se basan toda la teoría de Euler Bernoulli para vigas. Esta hipótesis establece que la normal inicial a la viga antes de cargada, continua normal y recta después de deflectada. En la teoría de Timoshenko, la normal inicial permanece recta, pero no normal al eje deformado de la viga. Véase la Fig. 22 a).

• Las placas y bóvedas de paredes gruesas, es decir las que no cumplen con las

hipótesis de Kirchhoff, las cuales desprecian los esfuerzos normales en la dirección de su espesor y las deformaciones tangenciales en esa dirección. Estas hipótesis consideran que la recta normal a la placa antes de cargarla, permanece recta y normal después de deformada, lo que no es así en las placas y bóvedas gruesas. En ellas es necesario tener en cuenta la energía de la deformación transversal para obtener resultados adecuados, con lo cual se considera que la recta normal inicial permanece recta pero no normal luego de cargada la pieza (Fig. 22 b ). Se trata de la teoría de Reissner - Mindlin para placas gruesas y de la teoría de Vlasov para bóvedas gruesas.

• Las vigas de grandes curvaturas.

• Los materiales incompresibles, o muy cercanos a tales (con ν = 0.5 ο 0.49 ).

• Muchos de los problemas No lineales, tales como los cálculos de estabilidad, las

No linealidades geométricas NLG, los problemas de contacto y otros.


θψ

γ

Posicion inicial

Posicion deflectada

w

θ −ψ −

γ −

Deflexion angular total.Deflexion en teoria E - B.= v xDeformacion tangencial. Teoria deTimoshenko.

Normal segun Timoshenko

Normalpor E - B

a )

δδ

V I G A

w

x

θ y = δδ

wx

δδ

wx

z

b ) P L A C A

Fig. 22 . - a ) Ángulos de giro en una viga. b ) Deflexiones en placa según Reissner – Mindlin.

Para estas aplicaciones se emplean elementos finitos con otras Formulaciones, tales como las Formulaciones mixtas, muchas de las cuales emplean los Principios Variacionales. Entre estos, uno de los más empleados es el Principio de la energía potencial total estacionaria. Dentro de estas nuevas Formulaciones, las que emplean este Principio aprovechan el hecho de que el mismo es equivalente en su planteamiento al Principio de los desplazamientos virtuales, pero más generalizador, para sustituirlo por aquel o por algún otro Principio Variacional, en la determinación de las matrices de rigidez de los elementos. El Principio de la energía potencial total estacionaria Π (Véase también el Capitulo 1), establece que en un medio continuo lineal y elástico, debe cumplirse que la energía potencial total del sistema sea estacionaria, o sea,

δ Π = 0 , respecto a las variables. Esto lleva a:

{ε} [C] {ε} dV = {US} {f S } dS + [U B} {f B] dV + {U R} {R} V S V = { σ }


Lo más significativo de las Formulaciones Mixtas es que emplean no sólo los desplazamientos como variables primarias, sino también las deformaciones y / o los esfuerzos, u otras variables adicionales, las que serán por tanto también incógnitas o datos del problema a resolver. Los Formulaciones Mixtas pues, son otros procedimientos mas completos para la conformación de las matrices de rigidez de los elementos [ k ], y para la posterior creación del sistema de ecuaciones de equilibrio ( 5 ) del sistema. Suelen usar alguno de los Principios Variacionales, mas comúnmente el Principio de la energía potencial total estacionaria. Y en todos los casos permiten tener como variables (incógnitas o datos), a otros parámetros de interés tales como todas las deformaciones tangenciales, además de los desplazamientos. Las Formulaciones mixtas son el procedimiento matemático para la implementación de esas adicionales variables como incógnitas. En realidad existen diversas Formulaciones mixtas, que se han venido desarrollando a través del tiempo por distintos autores. Ejemplo . -

eamos una de ellas, conformada de manera muy simple. Sea una viga modelada por un elemento

finito tipo BEAM 2D, como el de la Fig. 13 a), pero ahora sustentada por la teoría de Timoshenko, con deformaciones tangenciales γ constantes y basado en una Formulación mixta sencilla que emplea el Principio de la energía potencial estacionaria. Con funciones de formas lineales para los desplazamientos v y θ y considerando una deformación γxy constante, la matriz de rigidez que se obtiene es la siguiente.

V

G h . G h . – G h . G h . L L 2 2 G h . - G h . G h L + E h 3 G h L - E h 3 2 2 4 12 L 4 12 L [ K ] = 4 * 4 - G h . – G h . G h . - G h . L L 2 2 G H . - G h . G h L - E h 3 G h L + E h 3 2 2 4 12 L 4 12 L Donde G - modulo de distorsión; y h - altura de la viga. Compárese con la matriz de las expresiones ( 13 ), obtenida por la Formulación basada en los desplazamientos con funciones de forma cúbicas, pero sin deformaciones γ xy. La nueva Formulación brinda 2 matrices [ B ]: [ B ]

1 = 0 0 y / L y / L [ B ] 2 = - 1 / L 1 / L - 1 . L / 2 - x - 1 . L / 2 + x L L


Al actuar [ B ] 1 sobre el vector desplazamientos nodales: V 1 V 2 { U } = θ 3

θ 4 permite determinar directamente las deformaciones longitudinales ε en función de la variable γ de la sección transversal de la viga. [ B ] 2 sirve como siempre, para hallar la curvatura 1 / ρ z de la viga.

lgunas de las Formulaciones mixtas más avanzadas y ampliamente utilizadas en la actualidad son

las siguientes. A

* Con interpolación mixta desplazamiento transversal / deforma

Formulaciones mixtas cion tangencial. * Con interpolación mixta desplazamiento / deformac. tangencial

* Con interpolación mixta desplazamiento / presión, ( U / p ).

El empleo de la Formulación de interpolación mixta desplazamientos / deformaciones tangenciales, en elementos tipo vigas, logra modelar o seguir las formas curvas deformadas con mayor exactitud y menor número de elementos. Hacen un cálculo más completo de los parámetros de la viga, calculando por ejemplo los esfuerzos tangenciales τ xy , al considerar las deformaciones tangenciales γ xy como una variable más además de los desplazamientos. De este modo permiten emplear la teoría de Timoshenko para vigas, mucho más precisa y completa que la tradicional de Euler - Bernoulli. Por otro lado, esta Formulación permite la determinación de los modos de vibración (los eigenvectors o autovectores), de forma más precisa y con un mallado menos denso. Los elementos finitos tipo SHELL que consideran las deformaciones transversales como variables adicionales ( γ xy , γxz , γ yz ) se basan en la Formulación de interpolación mixta desplazamientos transversales / deformaciones tangenciales. Están destinados a modelar placas y bóvedas gruesas, y suelen estar basados en un procedimiento matemático conocido por formulación MITC (Mixed Interpolation of Tensional Component), que elimina el indeseable fenómeno de la fijación tangencial. Son especialmente precisos para estas aplicaciones, haciendo uso de la Teoría de Reissner – Mindlin, más precisa para el cálculo de placas que la tradicional basada en las hipótesis de Kirchhoff. O la teoría de Vlasov para el cálculo de bóvedas gruesas.

n realidad las teorías de calculo mas avanzadas, como la de Timoshenko para vigas y la de Reissner – Mindlin para placas, pueden ser implementadas también a través de Formulaciones

mixtas mas simples y menos avanzadas que las anteriormente mencionadas. Aunque con ellas se presentan 2 aspectos desventajosos, frente al empleo de las Formulaciones mixta con interpolaciones de desplazamientos / deformaciones tangenciales:

E

• La necesidad del empleo de elementos finitos con mayor numero de nodos. En los elementos

planos BEAM 2D, por ejemplo, se requieren al menos 3 nodos para lograr una adecuada exactitud en las representaciones de las deformaciones tangenciales γ xy.


• La necesidad de un mayor numero de elementos en el modelo para lograr resultados exactos. Esto es especialmente importante en elementos vigas o placas finas, es decir de espesores delgados, en donde la combinación de las Formulaciones mixtas más simples con las teorías de calculo mas detalladas, tiende a brindar resultados inexactos, empezando por los desplazamientos. Esto se corrige con el aumento del número de elementos en el modelo, es decir con un mallado muy fino.

E I

L

1 2

1=

1V

V

x

y

21

z

a )

b )δ P11

δ

= k 11

Fig. 13 . - (Repetida). Desplazamiento unitario virtual δ V n .

Estas limitaciones están dadas porque se obtiene un aumento de la rigidez del elemento por encima de la real, sobre todo en elementos “largos”, es decir vigas, placas y bóvedas de espesores muy finos. Lo cual lleva a la necesidad de mallados muy densos (muchos elementos y pequeños), para corregir esto y simular adecuadamente los desplazamientos y demás resultados del modelo. Es el caso del Ejemplo visto anteriormente, con cuya Formulación se requerirá de un mallado muy fino con elementos BEAM, para reducir los errores de cálculo de los resultados. Los elementos BEAM y SHELL con Formulaciones mixtas con interpolaciones de desplazamientos / deformaciones tangenciales, permiten resolver este importante problema de una forma más eficiente. Es decir que el empleo de Formulaciones mixtas con interpolaciones que combinan los desplazamientos y las deformaciones tangenciales, requieren de menos elementos y de menos nodos en los mismo para lograr una adecuada precisión en los cálculos, junto con el empleo de teorías de cálculo mas avanzadas y completas. Es por todo esto que en la actualidad estas teorías de cálculo avanzadas se acostumbran a acompañar en los elementos finitos con las Formulaciones mixtas más avanzadas también. Formulaciones Mixtas de elementos BEAM . –

L a teoría de Euler – Bernoulli para vigas, basada en las hipótesis simplificadoras de Bernoulli, excluye de los análisis las deformaciones tangenciales γ xy , al considerar que las secciones planas


y transversales de la viga antes de cargarla permanecerán planas y normales a la configuración deformada, es decir a su elástica de la viga. En otras palabras, que una recta normal a la Línea Neutra continuara siendo normal y recta a ella, después de cargada. La teoría de Timoshenko, por otro lado, considera las deformaciones tangenciales γ de la viga. En ella se mantiene la hipótesis de que las secciones transversales planas antes de cargada la viga, permanecen planas luego de ser deformada, pero debido a las deformaciones tangenciales no continúan normales a la Línea Neutra de la viga (Fig. 22 a ). Se inclinan un ángulo θ, que ya no es solamente: θ = d v / d x , sino,

θ = d v . - γ d x

Donde θ son las rotaciones de las secciones transversales del elemento. Es decir, son las deflexiones angulares de la viga. Y: γ - es la deformación tangencial en la sección transversal A. Se trata de la deformación γ xy. Aunque las deformaciones y esfuerzos tangenciales en una viga son realmente variables en la altura de su sección transversal A, la deformación γ se puede tomar, en una primera aproximación, como una deformación tangencial equivalente constante, actuando en el Área de cortante A s, de modo que se cumpla, τ = V . , γ = τ . , k = A s . A s G A Donde, V - fuerza cortante en el área A. τ − esfuerzo tangencial en la sección. Se trata del esfuerzo τ xy. k - factor de corrección del cortante, que depende del tipo de sección transversal. Para el caso de una viga rectangular, por ejemplo, k = 5 / 6. Obsérvese que el termino,

G A k . es la rigidez tangencial de la sección.

Para poder implementar esta teoría en un elemento BEAM, es necesario aplicar el Principio de la energía potencial total estacionaria Π, a través de una Formulación mixta, todo lo cual permite considerar las deformaciones y la energía tangenciales, además de los desplazamientos. Para un elemento tipo BEAM 2D, con un numero de nodos Ν (Ν = 2, 3 ο 4), este Principio establece, L L Π = E I d φ 2 d x + G A k d v - θ 2 d x - {US} {f S } dS + 2 d x 2 d x 0 0 S γ


+ [U B} {f B] dV + {U R} {R} = 0

V Los 2 primeros sumandos representan la energía de flexión y la tangencial, respectivamente, mientras que los 3 términos restantes se refieren a las energías potenciales de las cargas. Lo mas común es que la Formulación Mixta que emplea este Principio sea implementada a través de una formulación isoparametrica (Véase el Capitulo 4). Usaremos las interpolaciones isoparametricas siguientes, N N v = h i V i , θ = h i Θ i

1 1 A continuación se toman lãs funciones de forma como polinomios de determinados grados, tales como las funciones de la Tabla 3 (Capitulo 4), y se plantean las ya conocidas relaciones fundamentales del Método de los Elementos Finitos, que para elementos BEAM 2D son: v = { H v ] * { V } , { θ } = [ Η θ ] ∗ { Θ } δ v = { B v } * { V } , δ θ = { B θ } ∗ { Θ } = δ 2 v δ x δ x δ x 2

Donde: { v } T = { v 1 v 2 . . . . v N θ 1 . . . . . θ Ν } { H v } = { h 1 h 2 . . . . h N 0 . . . . . 0 }

{ H θ } = { 0 . . . . . . 0 h 1 . . . . . h N } De donde se obtiene, { B v } = δ h 1 . . . . . δ h N 0 . . . . . . 0 δ x δ x { B θ } = 0 . . . . . . . 0 δ h 1 . . . . . . δ h N δ x δ x La matriz de rigidez del elemento BEAM será,


L L [ k ] = EI { B θ } T { B θ } d x + G A k { B v } - { H θ } Τ { B v } - { H θ } d x 0 0 De este modo se tienen las matrices necesarias implementadas a través de una Formulación Mixta sencilla, que permite considerar las deformaciones tangenciales γ de la viga. Esta Formulación sin embargo como ya se explicara, requiere del empleo de 3 o más nodos colocados simétricamente en la longitud del elemento, para lograr una exactitud buena en los resultados. Con solo 2 nodos las deformaciones tangenciales no se representan con suficiente precisión, pues incrementa la rigidez del elemento por encima de la real, es decir resulta en elementos excesivamente rígidos. Esto es especialmente pronunciado cuando el elemento es fino, y se conoce como la fijación tangencial del elemento. Este indeseable fenómeno también suele ocurrir en los elementos SHELL y se disminuye empleando elementos “gruesos”, es decir, muchos y cortos elementos en el modelo, como ya se indicara.

ara evitar esta situación se ha desarrollado la Formulación mixta para elementos BEAM con

interpolación de desplazamientos transversales / deformaciones tangenciales, en la cual además de las ya planteadas funciones de forma que relacionan los desplazamientos, se definen y trabaja con nuevas funciones para las deformaciones tangenciales. De modo que,

P

N N N - 1 v = h i V i , θ = h i Θ i γ = h i

* γ i 1 1 1 donde h i

* - son lãs funciones de forma para lãs deformaciones tangenciales. γ i - deformaciones tangenciales en los (N - 1) puntos Gauss del elemento. La esencia de esta Formulación esta en que las funciones de forma de las deformaciones tangenciales h i

* son diferentes e independientes de las h i de los desplazamientos. Eso permite construir todas las matrices necesarias de la forma tradicional ( [ H ], [ B ], [ k ], y [ K ] ), incluida la matriz de rigidez elemental, pero incluyendo en la determinación de esta ultima una nueva matriz, la de deformaciones – desplazamientos tangenciales,

[ B γ ] Que considera de una forma más real el efecto de las deformaciones tangenciales en la altura h de las secciones transversales de la viga. De modo que la matriz de rigidez elemental [ k ] queda corregida, al tener en cuenta de forma mas precisa el efecto de la energía tangencial. De esta manera se evita el indeseable fenómeno de la fijación tangencial. Como se aprecia, el empleo de la teoría de Timoshenko para vigas requiere de Formulaciones mixtas avanzadas para su más eficiente implementación en los elementos tipo BEAM.


Formulación mixta para elementos placas .- lgo semejante sucede con la teoría mas detallada y precisa de Reissner – Mindlin para placas, valida para placas de espesores gruesos, para la cual se ha desarrollado la Formulación mixta

con interpolación de desplazamientos / deformaciones tangenciales que evita también el fenómeno de la fijación tangencial. Con ella puede bastar un solo elemento finito para modelar una placa completa, con suficiente precisión. La teoría de Reissner – Mindlin tiene en cuenta las deformaciones tangenciales en el espesor de la placa, o sea que,

A

γ x z = γ y z = 0 Esto implica que la recta que era normal a la placa antes de deformada, seguirá recta pero no normal a esta después de deformada. Esto provoca que los desplazamientos angulares θ x , θ y sean ahora independientes de w, de modo que los desplazamientos posibles en esta placa son (Fig. 22 b), w ( x, y ) desplazamientos o deflexiones lineales. θ x , θ y ángulos de rotación de la recta normal, después de deformada. Las nuevas relaciones para hallar las deformaciones son ahora, u = z θ y , v = - z θ x , ε x = z δ θ y , ε y = - z δ θ y δ x δ y γ x y = z δ θ y - δ θ x , γ x z = δ w + θ y , γ y z = δ w - θ x δ y δ x δ x δ y De modo que todo queda en función de los 3 desplazamientos independientes: w, θ x , θ y , pudiendo ser halladas las deformaciones adicionales en el espesor de la placa, γ x z , γ y z y los esfuerzos correspondientes, τ x z , τ y z . La Formulación mixta con interpolación de desplazamientos / deformaciones tangenciales, es la que puede tratar con éxito los 3 desplazamientos independientes arriba señalados, mediante las relaciones, N

w ( x, y ) = Σ h i * W i i = 1 N N

θ x = Σ h i * Θ x i , θ y = Σ h i * Θ x i i = 1 i = 1 Formulación mixta para materiales incompresibles. -

entro de las Formulaciones mixtas se ha desarrollado otro grupo de elementos especiales, destinados a modelar materiales incompresibles (o casi incompresibles), tales como los líquidos

y los elastómeros (o gomas). Son materiales que se caracterizan por:

D


• Coeficientes de Poisson muy elevados. ν = 0.5, o cercano a ese valor. • Módulos de elasticidad “bulk”, muy elevados también. κ = oo. • Deformación volumétrica prácticamente nula, e = 0.

Además de que la presión hidrostática p es finita y del orden de las cargas de tracción aplicadas en los bordes. Como es conocido, estos parámetros se definen de la siguiente manera. e = Δ V = ε x + ε y + ε z , κ = E . , p = - σ x + σ y + σ z V 3 (1 - 2ν) 3 Para ellos se han desarrollado elementos con la Formulación mixta denominada Formulación basada en Desplazamientos / presión, U / P, en la cual las incógnitas son los desplazamientos y la presión hidrostática en los elementos (elementos HYPER, la línea de elementos 18X y otros). Con ellos se salva la dificultad que tiene la aplicación de la Formulación basada en los desplazamientos a materiales incompresibles, radicada en que la deformación volumétrica e que es muy pequeña, incluso nula para los materiales completamente incompresibles, se determina a partir de las derivadas de los desplazamientos. Estas no pueden ser calculadas con precisión, como los propios desplazamientos. Cualquier error en la predicción de la deformación volumétrica producirá un gran error en los esfuerzos, lo cual a su vez también repercutirá en la exactitud de los desplazamientos, ya que las cargas externas son balanceadas por los esfuerzos, en el Principio de los desplazamientos virtuales. En consecuencia, se requerirá un mallado sumamente fino, para corregir estos efectos en los materiales casi incompresibles. En los completamente compresibles no es posible corregir estas inexactitudes si no es con esta nueva Formulación mixta. En general con la Formulación basada en los desplazamientos la evaluación de la presión p a partir de la deformación volumétrica e, es difícil cuando κ es grande (comparado con G), y cuando se alcanza la completa incompresibilidad, es completamente imposible. Se hace necesario introducir la presión hidrostatica p en el sólido como una nueva variable en el problema. Se trata pues de trabajar con los desplazamientos y la presión p como las variables incógnitas del problema. Esto es lo que hace la Formulación mixta basada en Desplazamientos / presión, U / P. Con ella se introduce una nueva integral en el planteamiento del Principio de los desplazamientos virtuales ( 1 ), que quedara en función de 2 variables independientes: U y la presión en el material p. Para materiales casi incompresibles este Principio se plantea entonces de la siguiente manera, {ε} {σ} dV - [ e ] p d V = . . . . . . . V V Donde {ε} y {σ} son las deformaciones y esfuerzos deviatoricos; y el termino derecho permanece igual que en ( 1 ), considerando las cargas externas. A partir de las ecuaciones resultantes se procede, como siempre, a la determinación de las matrices de rigidez [ k ] de los elementos finitos. Esta es la base de esta nueva Formulación mixta.


a selección del tipo de Formulación para la aplicación del MEF, o más específicamente para la conformación del sistema de ecuaciones de equilibrio ( 5 ), la hace el usuario en el momento de

seleccionar el tipo de elemento finito con el que va a trabajar. Así hay elementos que trabajan con una de las Formulaciones existentes, y otros elementos con otra, lo que determina de hecho sus posibilidades y limitaciones de cálculo. En el Capitulo 5 se vera esto en detalle.

L

Módulos de trabajo de los Programas de EF.

os programas de Elementos Finitos poseen invariablemente 3 módulos principales de trabajo: • El PREPROCESADOR. Donde se construye el modelo geométrico o físico del sistema a

simular y se malla o discretiza con los elementos finitos seleccionados. • La SOLUCION. En el cual se procede a conformar las cargas externas y constreñimientos

del modelo, así como la definición del tipo de Solución o tipo de problema a resolver, o sea si será lineal – elástico, no lineal, vibratorio, etc. Se procede finalmente a ejecutar la solución, es decir conformar y resolver las matrices y vectores de ( 5 ) y obtener los resultados.

• El POSTPROCESADOR. Donde se brindan los resultados de los cálculos, a través de

distintas vías, brindándose también algunas formas de procesamientos de los mismos. Los 3 módulos poseen sus propios comandos y exigencias, siendo imprescindible tener el mayor dominio posible de todos ellos por parte del usuario. En los próximos Capítulos se irán estudiando cada uno de ellos, sus principales comandos y posibilidades, con los cuales se podrán continuar cumplimentando todas las etapas del proceso de cálculo y modelación deseado.

L


Capitulo 4.

La Formulación Isoparamétrica.

La Formulación Isoparamétrica. Funciones de forma ( “shape functions” ). Matrices de rigidez. Matrices intermedias [ H ] y [ B ]. Elementos isoparamétricos de los programas profesionales ( ANSYS ).

La Formulación Isoparamétrica.

os elementos isoparamétricos son un importante grupo de elementos con una formulación especial y constituyen el tipo empleado en muchos de los elementos presentes en los modernos

programas de elementos finitos. Pueden tener nodos adicionales, como se muestra en la Fig. 23, en puntos intermedios de los lados, siendo más frecuentemente uno por lado colocados en el medio de éste, cuando existen tales. Pero los hay con 2, 3 y hasta 4 nodos intermedios por lado. Puede haber además otro nodo en el centro del elemento. Sin embargo, esto no es lo determinante pues los hay frecuentemente sin nodos intermedios en los lados. Todos tienen una importante simplificación para armar las funciones de los desplazamientos dentro del elemento, que es su principal característica y ventaja frente a los otros tipos de elementos, o sea los tipo - p. Se les considera dentro del tipo – h.

L

Los elementos con sólo 2 nodos en total por lado (véase la Fig. 19 a y b, Capitulo 3), colocados en sus extremos, si son de bajo orden determinan los desplazamientos en puntos interiores de los elementos a través de los polinomios de interpolación de los desplazamientos, que asumen de forma lineal, tales como las ecuaciones ( 14 ). Emplean estos polinomios de tipo lineales para armar las matrices [ H ] (ecuaciones ( 15 ) ), con las cuales se obtienen las relaciones entre los desplazamientos nodales y los del interior de los elementos. Los elementos isoparamétricos, trabajen o no con nodos adicionales en cada lado del elemento, no asumen ningún tipo de polinomio del tipo ( 14 ) para conformar la matriz [ H ]. Sino que determinan esas relaciones de manera directa, a través del uso de una función de forma h i (también conocida como “shape function”). Estas funciones de forma son también polinomios, que pueden ser de 1er grado (o sea lineal o de bajo orden), de 20, de 3er o de mayores grados, que son los de altos órdenes. Esto determina en gran medida la exactitud con que se adaptan a las configuraciones de la pieza, antes y después de ser cargada, como se explica más adelante. Las funciones de forma h i son ecuaciones que establecen las relaciones entre las coordenadas en puntos interiores del elemento x, y, z, y las coordenadas de los nodos del elemento X, Y, Z. Llamemos N al numero de nodos y n a los grados de libertad, DOFs del elemento. Entonces el número de funciones de forma h i coincidirá siempre con los grados de libertad, n del elemento. Por ejemplo, un elemento cuadrilátero plano de N = 4 nodos con 2 DOFs de traslación por nodo (Fig. 13 a, Capitulo 3), tiene un total de n = 2 * N = 2 * 4 = 8 DOFs por elemento. La variable i tomara los valores: i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, teniéndose 8 funciones de forma h i . No obstante, en varios casos para simplificar se asumen varias funciones de forma iguales. En el elemento anterior: h 1 = h 5 , h 2 = h 6 , h 3 = h 7 , h 4 = h 8

García de la Figal, Javier Capitulo 4 100 La Formulación Isoparamétrica.

Con ellas será posible plantear que para las coordenadas x, y, z de puntos interiores de un elemento espacial se cumpla, N N N x = h i * X y = h i * Y z = h i * Z ( 16 ) 1 1 1

a)

b)

c)

Fig. 23.- Elementos isoparamétricos con un nodo adicional por lado.

a) Planos. b) Lineal. c) Volumétrico. Estas funciones de forma hi se acostumbran expresar en un nuevo sistema coordenado, conocido como sistema de coordenadas naturales, cuyas variables son: r, s, t, (para el caso más general en el espacio), en correspondencia con los ejes coordenados cartesianos del elemento x, y, z. Son coordenadas adimensionales y varían solo de –1 a +1. La base de la formulación isoparamétrica, es que para la interpolación de los desplazamientos en puntos internos del elemento, u, v, w .... ,a partir de los desplazamientos nodales U, V, W, ... se hace uso de las mismas funciones de forma h i de las coordenadas, es decir, N N N u = h i * U i v = h i * V i w = h i * W i para cada elemento 1 1 1 con DOF de traslación. ( 17 ) Donde las h i están en función de las coordenadas naturales. O sea que las funciones de forma h i son, de hecho, la forma que tomara el elemento después de deformado, expresado de forma adimensional. Esto facilita mucho la conformación de la matriz de interpolación de desplazamientos [ H ] (las ecuaciones ( 15 ) ), para determinar la relación entre los desplazamientos en puntos interiores del elemento y los nodales, haciéndolo de manera mas directa a través de ( 17 ). En general se requerirán tantas funciones de forma h i como DOFs tenga el elemento. Pero si los DOFs son solo de traslación (elementos LINK, PLANE y SOLID), las h i de cada nodo se acostumbran a tomar iguales, por lo que la cantidad de h i

distintas coincidirá con los nodos que tenga el elemento. En elementos con DOFs de traslación y rotación (elementos BEAM y SHELL), las h i correspondientes a los DOF rotacionales pueden también tomarse iguales a las h i traslacionales.


Funciones de forma. 1 ) Elemento TRUSS 2D de 2 nodos. Sea un elemento isoparamétrico tipo barra (TRUSS o LINK, Fig. 24 a), de 2 nodos, con 1 DOF por nodo solamente, con dirección axial a la barra, que en coordenadas naturales será la coordenada r = x / L. Esta será la única coordenada necesaria en este elemento por ser lineal, y que toma los valores: 0 <= r <= +1. Las funciones de forma h i necesarias deberán ser 2, una por cada grado de libertad DOF, pudiendo tomarse en principio funciones lineales, tales como,

h 1 = 1 – r , h 2 = r ( 18 III ) De este modo la función de los desplazamientos axiales u (r), para cualquier punto interior del elemento en la dirección axial, vendrá dada por,

u ( r ) = h 1 (r) * U1 + h 2 (r) * U 2

Que matricialmente puede expresarse como, U 1 u ( r ) = h 1 (r ) h 2 ( r ) U 2

O sea, u ( r ) = { h } * { U } Donde: U 1, U 2 - desplazamientos axiales (en la dirección r), de cada nodo del elemento. u ( r ) - función de los desplazamientos axiales en puntos interiores del elemento. Es de hecho la forma que tomara el elemento deformado. { h } = { h 1 h 2 } - Vector de interpolación de los desplazamientos.. Comparando estas expresiones con ( 15 ), Capitulo 3, se ve que: { h } = [ H ]. Esto es algo fundamental en la formulación isoparametrica: la matriz de interpolación de los desplazamientos [ H ] se conforma directamente con las funciones de forma h i asumidas. Esto constituye una de las importantes simplificaciones de esta formulación. De esta forma expedita se obtienen los desplazamientos interiores del elemento u ( r ), respecto de los nodales { U }, y con una rápida y fácil conformación del vector { h }. Distinto a los elementos tipo – p, que obtienen estas relaciones por medio de largos polinomios de aproximación, tales como las expresiones ( 14 ) y ( 14 I ).


2 ) Elemento TRUSS 2D de 3 nodos. Sea ahora un elemento isoparamétrico tipo barra (TRUSS o LINK, Fig. 25 a), pero de 3 nodos, con 1 DOF por nodo solamente, con dirección axial a la barra, que en coordenadas naturales será nuevamente la coordenada r. Para los elementos lineales de longitud L y 3 nodos la coordenada r es, r = 2 x - 1 L Y en general para cualquier tipo de elemento finito, con nodos intermedios en los lados o caras, las coordenadas naturales toman los valores:

-1 <= r <= + 1 Como se muestra en la Fig. 25 a). Las funciones de forma h i necesarias deberán ser entonces 3, una por cada grado de libertad DOF, siendo lo más común en este elemento que se escojan funciones de tipo parabólicas, tales como,

L

x

rx - coordenada cartesianar - coordenada natural

r = x / L

UU

1

2E A

Fig. 24 . - Elemento finito tipo barra (TRUSS), de 2 nodos y 2 DOFs.

h 1 = ( ½ ) (1 – r) – ( ½ ) (1 – r2 ) por el desplazamiento del nodo 1. h 2 = 1 – r2 por el desplazamiento del nodo 2. ( 18 I ) h 3 = ( ½ ) (1 + r) – ( ½ ) (1 – r2 ) por el desplazamiento del nodo 3.

De modo que la función de los desplazamientos axiales u (r), para cualquier punto en el interior del elemento en la dirección axial, vendrá dada ahora por la expresión,

u ( r ) = h 1 (r) * U1 + h 2 (r) * U 2 + h 3 (r) * U 3

Que de forma matricial puede plantearse como,


U 1 u ( r ) = h 1 (r ) h 2 ( r ) h 3 (r ) U 2

U 3 u ( r ) = { h } * { U }

3 ) Elemento BEAM 2D. Sea ahora un elemento lineal con 2 nodos y 2 DOFs por nodo, uno de traslación y otro de rotación, como el elemento BEAM 2D de la Fig. 11. Esta definido en el plano x, y, con los desplazamientos nodales que ya fueran renombrados como: V 1, θ 2 en el nodo 1, V 3 (en lugar de y 2

max ) y θ 4 (en lugar de θ 2 max ) en el nodo 2. En la Fig. 13 se muestra este elemento en su

forma más general. El eje x será el axial al elemento y por ser un elemento lineal de 2 nodos, coincide con la coordenada natural r, la que será tomada simplemente como: r = x / L. Será la única coordenada necesaria por tratarse de un elemento lineal. Estudiemos las vigas basadas en la teoría de Euler – Bernoulli, o sea aquellas que solo tienen rigidez a flexión (Capitulo 2). Para ellas hay que definir 4 funciones de forma: h 1, h 2, h 3 y h 4, en correspondencia con los 4 DOFs del elemento, las que suelen escogerse como funciones cúbicas, tales como: h 1 ( r ) = 1 – 3 (x / L ) 2 + 2 (x / L ) 3 por el desplazamiento lineal del nodo 1, V 1. h 2 ( r ) = (x / L) [ (1 – (x / L) ] 2 por el desplazamiento angular del nodo 1, θ 2 ( 18 II ) h 3 ( r ) = 3 (x / L ) 2 – 2 (x / L ) 3 por el desplazamiento lineal del nodo 2, V 3. h 4 ( r ) = (x / L) 2 [ (x / L) – 1 ] por el desplazamiento angular del nodo 2, θ 4. Que constituyen las conocidas funciones Hermitianas.

r = - 1x = 0

x rr = 0x = 0.3 L

r = + 1x = L

0.7 L0.3 L

nodo 1 nodo 2 nodo 3+1

r = -1 r = 0

r = +1

h 1

+1

r = -1 r = 0r = +1

h 2

r = -1 r = 0 r = +1

+1h3

Y

a) b)

c) d) Fig. 25 .- a ) Coordenadas locales (del elemento) y naturales, de un elemento TRUSS de 3 nodos.

b) , c) y d) h1, h2, h3 – funciones de forma de cada nodo, respectivamente.


Vectorialmente pueden plantearse como: { h } = { h 1 h 2 h 3 h 4 }. Véase la Fig. 13 para las funciones de forma h 1 y h 2. En el ANEXO 2 se desarrollan en detalle las funciones de forma de este tipo de elemento. En este sentido véase la Fig. A 2 1 de ese ANEXO 2. De modo que los desplazamientos transversales (es decir las flechas), se pondrán en función de esa única coordenada natural. Así, la expresión de la flecha en cualquier punto del elemento viga vendrá dada por, v(r) = h1 (r) * V1 + h2 (r) * θ 2 + h3 (r) * V 3 + h4 (r) * θ 4

Esta función v(r) representa los desplazamientos lineales en puntos interiores del elemento, en función de los desplazamientos nodales lineales { V }, es decir, constituye la ecuación de la elástica de la viga. Vectorialmente: V 1

θ 2 v ( r ) = h 1 (r) h 2 (r) h 3 (r) h 4 (r) V 3 θ 4

v ( r ) = { h } * { V } Los desplazamientos rotacionales θ ( x ) se determinan por la conocida relación,

θ ( x ) = d v ( x ) d x Obsérvese que en la teoría de Euler – Bernoulli las deflexiones angulares son función de las flechas. Contrario al empleo de la teoría de Timoshenko, en que al emplear formulaciones mixtas, ambos tipos de deflexiones son independientes entre sí.

P

L

E Iz

1 2

2

1y max

2

θmax2

b)

nodos

x

y

rx , r

y

V =1 2

= V

= θ

3

4

= 0θ

a)

Fig . 11 . - (Repetida). Viga simplemente empotrada, modelada por un elemento finito tipo BEAM 2D, con 2 DOFs por nodo. Teoria de Euler – Bernoulli.


E I

r

L

1 2

1=

1V

V

h1

1 = θ2 = 1

h2

Rz

r - Coordenada natural del elemento.

x , y - Coordenadas cartesianas del elemento.

V - Desplazamientos.

x

y

z

θ ,

Fig. 13 . - (Repetida). Deflexiones de una viga debido a desplazamientos unitarios, en el extremo izquierdo.

4 ) Elemento PLANE o SOLID 2D. En elementos sólidos planos SOLID 2D, con N nodos y 2 DOF de traslación por nodo, U y V, se requieren n = 2 * N funciones de forma (y DOFs). Para un elemento con forma cuadrilátera con N = 4 nodos, los DOFs y las funciones de forma seran: 2 * 4 = 8, quedando, U 1 u = h 1 h 2 h3 h 4 0 . . . U 2 Desplazamientos en x. v (2 * 1 ) 0 0 0 h 5 h 6 . . . - (2 * 2N) V5 V 6 Desplazamientos en y. [ H ] ( 2 N * 2 ) - (2N * 1) Por tener solo DOFs de traslación, las funciones de forma correspondientes a los desplazamientos U N se acostumbran tomar iguales a las de los desplazamientos V N, es decir, h 1 = h 5 h 2 = h 6 h 3 = h 7 h 4 = h 8 . . . . . . . . . 5 ) Elemento SOLID 3D. Para elementos sólidos volumétricos SOLID 3D, con N nodos y 3 DOF de traslación por nodo, U, V, W, en las direcciones X. Y, Z, respectivamente, se requerirán n = 3 * N funciones de forma (y DOFs). Así, para un hexaedro con N = 8 nodos, los DOFs y las funciones de forma serán: 3 * 8 = 24, por lo que,


U 1 U 2

U 3 - u h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h 7 h 8 0 0 0 . . . . . V 9 v = 0 0 0 0 h 9 h 10 h 11 h 12 h 13 h 14 h 15 h 16 0 . . . V10 w 0 0 0 0 0 0 0 0 h 17 h 18 h 19 h 20 h 21 . . V11 (3 * 1) - (3 * 3N) W 17 W18 W19

[ H ] ( 3 N * 3 ) - (3N * 1) Siendo lo común también que: h 1 = h 9 = h 17 , h 2 = h 10 = h 18 , h 3 = h 11 = h 19 , h 4 = h 12 = h 20 , h 5 = h 13 = h 21 , . . . . , h 8 = h 16 = h 24 6 ) Elemento placa SHELL. Para un elemento SHELL cuadrilátero de N = 4 nodos, capaz solamente de la simulación de placas, basado en la teoría de placas de Kirchhoff, se tienen 3 DOF por nodo: la flecha w y las deflexiones θ x , θ y , actuantes en el plano de la placa. Pero estas 2 ultimas estarán en función de w. Véase el Capitulo 1 para este tipo de placa. La cantidad de funciones de forma de este tipo de elemento es: 1 * 4 = 4 funciones. Los elementos SHELL para placas basados en la teoría de Reissner – Mindlin, tienen también los DOFs anteriores, pero en este caso las deflexiones lineales w y las angulares θ x y θ y son independientes entre sí. Son capaces de evaluar adicionalmente las deformaciones tangenciales γ x z , γ y z , en el sentido del espesor de la placa. La cantidad de funciones de forma y DOFs, para un elemento con N = 4 nodos es: n = 3 * 4 = 12 funciones. 7 ) Elemento bóveda SHELL. Para los elementos SHELL cuadriláteros de 4 nodos que simulan bóvedas (es decir, las denominadas membranas) y placas a la vez, se tienen los 6 DOF por nodo posibles en el espacio: u, v, w de traslación y θ x , θ y , θ z como deflexiones. Si se emplea la teoría de Vlasov ambos tipos de deflexiones son independientes entre sí y las funciones de forma necesarias son, por tanto: 6 * 4 = 24. De esta forma se determinan las ecuaciones de los distintos desplazamientos de puntos interiores de cualquier elemento, por medio de las funciones h i . Y todo en función de los desplazamientos nodales del elemento U. V, W, los que siguen siendo en definitiva, las incógnitas del problema.

Una de las propiedades fundamentales de las funciones de forma h i al trabajarse en forma

adimensional en el sistema coordenado natural r, s, t, es que sus valores son unitarios en el nodo i y cero en los otros nodos. Las funciones h i pueden ser parabólicas, siendo lo más común en los elementos tipo TRUSS (Fig. 25), aunque pueden crearse con mayores grados. El grado de los polinomios de las funciones h i es determinante en las posibilidades de trabajo del elemento y puede ser muy diverso, aunque lo más frecuente es que esté determinado por la presencia o no de nodos


intermedios en los lados del elemento, y por los DOFs posibles de cada nodo, tal como se muestra a continuación. Sólo DOF traslacionales / nodo. hi - lineal. Sin nodo intermedio en los lados Con DOF de traslación y de rotación / nodo. hi - parábola Sólo DOF traslacionales / nodo. hi - parábola Con un nodo intermedio Con DOF de traslación y de adicional por lado rotación / nodo. h i - cúbica Sólo DOF traslacionales / nodo. h i - cúbica Con 2 nodos intermedios Con DOF de traslación y de adicionales por lado rotación / nodo. h i - a la cuarta potencia.

25

s = +1

Nodo 1

6

3

7

r = 0

r = -1

r = +1

4

98

X

Y

s = 0

s = -1

S

r

Fig. 23 . - Elemento isoparamétrico SOLID 2D, de 9 nodos.

Las funciones h i más empleadas (aunque no las únicas) son como las del elemento TRUSS de la Fig. 25 a). Así para los elementos sólidos planos (SOLID 2D) con solo DOFs de traslación en sus nodos (Fig. 26), se suelen emplean las funciones dadas a continuación en la Tabla 3. Debe recordarse que en elementos con DOFs traslacionales se requieren tantas funciones como nodos posea el elemento. De la Tabla 3 puede verse como con el aumento del número de nodos N, son más complejas las funciones de forma h i que pueden emplearse, mejorando así el ajuste de la configuración deformada del elemento a la deformación real, y todo con elementos más grandes, es decir, con menos elementos en el modelo. Esta es otra de las ventajas de los elementos isoparametricos.


Tabla 3 .- Funciones de interpolación (“shape function”), para elementos sólidos planos con 4 – 9 nodos y DOFs de traslación solamente.

Se incluyen sólo si el nodo N >= 5 está definido.

N = 4 N = 5 N = 6 N = 7 N = 8 N = 9

h 1

(1/4) (1+r)(1+s)

- (1/2) h 5

------------

------------

-(1/2) h 8

- (1/4) h 9

h 2 (1/4) (1-r)(1+s) - (1/2) h 5 - (1/2) h 6 ------------ ------------ - (1/4) h 9

h 3

(1/4) (1-r)(1-s)

-------------

- (1/2) h 6

- (1/2) h 7

------------

- (1/4) h 9

h 4

(1/4) (1+r)(1-s)

-------------

------------

- (1/2) h 7

- (1/2) h 8

- (1/4) h 9

h 5

(1/2) (1-r2)(1+s)

-------------

------------

------------

------------

- (1/2) h 9

h 6

(1/2) (1-s2)(1-r)

-------------

------------

------------

------------

- (1/2) h 9

h 7

(1/2) (1-r2)(1-s)

-------------

------------

------------

------------

- (1/2) h 9

h 8

(1/2) (1-s2)(1+r)

-------------

------------

------------

------------

- (1/2) h 9

h 9

(1-r2) (1-s2)

N - número total de nodos del elemento. DOFs de traslación por nodo.

Matrices de rigidez. tra de las ventajas de los elementos isoparametricos consiste en la sensible simplificación matemática que permiten en la conformación de las matrices de rigidez de los elementos [ k ].

Para ello como siempre, se aplica el Principio de los desplazamientos virtuales, o el de la Energía potencial total estacionaria, obteniéndose como resultado que las componentes de esas matrices [ k ] se determinan directamente a través de las funciones de forma h i , correspondientes a los DOFs involucrados i, j, k. Por ejemplo, sea el elemento BEAM 2D de la Fig. 11 con solo 1 DOF de traslación (en el eje y ), y uno de rotación en cada nodo, sustentado por la teoría de Euler – Bernoulli para vigas, que desprecia las deformaciones tangenciales. Las componentes de su matriz elemental [ k ] ya fueron analizadas (ecuaciones ( 13 ), Capitulo 2 ), habiendo sido determinadas a partir de la ecuación general,

O

[ k ] = [ B ] T E I z [ B ] dx ( 12 II ) L Ahora gracias a la formulación isoparametrica, las componentes k i j de estos elementos pueden hallarse de forma más directa, a través de las funciones de forma, por,


k = E I z (x) * h i’’(x) * h j’’(x) * d x i j L

donde h’’(x) - son las 2a derivadas de las funciones de forma de los desplazamientos h i y h j , respectivamente. Es decir, que para los elementos BEAM existe una forma mucho mas expedita de determinar la matriz elemental [ k ], a través de las derivadas de las funciones de forma h i’’. En general para cualquier tipo de elemento finito, la matriz de rigidez elemental [ k ] se sigue determinando por la ya conocida expresión general ( 12 ),

[ k ] = [ C ] [ B ] dV ( 12 ) [ B ] T

V Siendo: d V = dx dy dz el volumen diferencial de un punto del elemento finito. En realidad ( 12 ) se acostumbra a trabajar en coordenadas naturales, en donde dV = (det J) dr ds dt (J – Jacobiana de la transformación). Por lo que será necesario que las matrices [ B ] y [ B ] T, estén en función de estas coordenadas también. Al final, de todas formas hay que proceder a la determinación de las matrices [ B ] de cada elemento finito, a través de las ya conocidas relaciones

[ B ] = [ D ] * { H }

Donde [ D ] es una matriz dada por algún tipo de derivada respecto a las coordenadas naturales r, s, t, que se aplica sobre la matriz de interpolación de los desplazamientos [ H ], ecuaciones ( 15 ), ya conocida y estudiada en el Capitulo 3. Pero resulta que esta ultima matriz no es mas que la matriz conformada con las diferentes funciones de forma asumidas, es decir que: [ H ] matriz formada por las funciones h i . Con el uso de nodos intermedios en los lados del elemento, junto con las coordenadas naturales, se logran emplear funciones h i de grados altos, e implementar la matriz [ H ] de forma mas expedita que con los elementos tipo – p. Se trata entonces de elementos tipo – h, pero de altos ordenes. Por tanto, una novedad de la formulación isoparametrica consiste en la facilidad con que se arman las matrices [ H ], [ B ] y [ k ] de los elementos, directamente a partir de las funciones de forma h i asumidas y con la posibilidad de introducir nodos intermedios en los lados. Matrices intermedias [ H ] y [ B ]. –

A continuación se analiza la determinación de estas 2 matrices intermedias para algunos de los principales tipos de elementos finitos. La otra matriz intermedia necesaria ( C ), ya fue tratada

en detalle en el Capitulo 2.


1 ) Elementos TRUSS. Para los elementos barra TRUSS, [ D ] consiste en lã primera derivada de la matriz [ H ], que en este elemento es un simple vector línea: [ H ] = { h } = { h 1 h 2 . . . . }, por lo que,

[ B ] = d { h } d x de modo que para un elemento TRUSS plano de 2 nodos, empleando las funciones de forma h 1 y h 2 lineales dadas en ( 18 III) y solo con esfuerzos σ x , se obtiene en coordenadas cartesianas,

[ B ] = [ -1 / L 1 / L ] 2 ) Elementos BEAM. Para los elementos viga BEAM la matriz [ H ] es también un vector línea: [ H ] = { h } = { h 1 h 2 h 3 h 4 }, y se cumple,

[ B ] = d 2 { h } d x 2 De modo que para un elemento BEAM 2D de 2 nodos (Fig. 11 b), con la teoría de Euler Bernoulli, esfuerzos σ x y τ xy y con las funciones h i de 3 er grado dadas por ( 18 II ), (cúbicas, elementos Hermitianos), se obtiene el ya conocido vector, [ B ] = - 6 + 12 x - 4 + 6 x 6 - 12 x - 2 + 6 x 1 * 4 L 2 L 3 L L 2 L 2 L 3 L L 2 ( 10 I ) Es importante notar que esta matriz [ B ] y el resto de las matrices y análisis pueden estar en función del sistema coordenado natural, como ya se apuntara. La matriz [ B ] sirve también para determinar la curvatura de la elástica de la viga plana, a través de, d 2 v ( r ) = d 2 . { h } { V } = 1 / ρ z = [ B ] { V } d r 2 d r 2 Y no para la determinación de las deformaciones ε, ni los esfuerzos σ, como ya se analizara.


3 ) Elementos PLANE o SOLID 2D. Para elementos sólidos planos cuadriláteros SOLID 2D, con 4 nodos, 2 DOF de traslación por nodo, U y V y funciones de forma tomadas de la Tabla 3 para N = 4 nodos (es decir lineales), la matriz [ H ] viene dada por las expresiones ( 15 I ), (Capitulo 2). Pero pueden ahora “armarse” a partir de las funciones de forma dadas por la Tabla 3, obteniéndose [ H ] en coordenadas naturales, como, [ H ] = 1 . (1 + r)(1 + s) (1 - r)(1 + s) (1 + r)(1 + s) (1 - r)(1 + s) ( 2 * 8 ) 4 = 2 * 2N 0 0 0 0 0 0 0 0 (1 - r)(1 – s) (1 - r)(1 - s) (1 + r)(1 - s) (1 + r)(1 - s) La matriz [ D ] es en este caso es, δ / δ x δ / δ x δ / δ x δ / δ x 0 0 0 0 [ D ] = 0 0 0 0 δ / δ y δ / δ y δ / δ y δ / δ y ( 3 * 2 N ) δ / δ y δ / δ y δ / δ y δ / δ y δ / δ x δ / δ x δ / δ x δ / δ x Las 3 filas se corresponden con las 3 deformaciones posibles del estado deformacional plano: ε x , ε y , γ x y . Por lo que [ B ] en función ahora de las coordenadas cartesianas vendrá dado por: ζ h 1 ζ h 2 ζ h 3 ζ h 4 0 0 0 0 ζ x ζ x ζ x ζ x [ B ] = 0 0 0 0 ζ h 1 ζ h 2 ζ h 3 ζ h 4

( 3 * 8 ) ζ y ζ y ζ y ζ y ζ h 1 ζ h 2 ζ h 3 ζ h 4 ζ h 1 ζ h 2 ζ h 3 ζ h 4 ζ y ζ y ζ y ζ y ζ x ζ x ζ x ζ x Es decir una matriz de la forma:

[ B ] ( 3 * 2N )

Que se corresponden con el vector desplazamientos: { u } T = { u 1 u 2 u 3 u 4 v 5 v 6 v 7 v 8 }


4 ) Elementos SOLID 3D. Para el caso mas general de un estado deformacional volumétrico soportado por la Teoría de la Elasticidad, se tienen las ecuaciones ( 9 ), que relacionan todas las deformaciones posibles en el espacio con los desplazamientos nodales U, V, W.

εx = δU / δx, εy = δV / δy, εz = δW / δz, ( 9 )

γxy = δU / δy + δV / δx, γyz = δV / δz + δW / δy, γxz = δW / δx + δU / δz Ecuaciones que pueden plantearse en forma matricial como, ε x δ/ δx 0 0 U ε y 0 δ/ δy 0 V ε z 0 0 δ/ δz W = γ xy δ/ δy δ/ δx 0 γ yz 0 δ/ δz δ/ δy γ xz δ/ δz 0 δ/ δx La gran mayoría de los elementos volumétricos SOLID 3D, poseen solo 3 DOF de traslación por nodo, U, V y W, y cuando soportan la Teoría de la Elasticidad, se tiene una matriz de 6 * 3 N, o sea: [ B ] ( 6 * 3N ). En correspondencia con las 6 deformaciones existentes en el espacio: ε x , ε y , ε z , γ x y , γ z y , γ x z . Así, para un elemento hexaédrico de N = 8 nodos, se tendrán: n = 3 * N = 3 * 8 = 24 funciones de forma y DOFs, obteniéndose la matriz [ B ] a partir de ( 9 ), que se muestra en la página siguiente. Esta matriz está en correspondencia con el vector desplazamientos nodales: { U } T = { U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 V9 V10 V11 V12 V13 V14 V15 V16 W17 W18 W19 W20 W21 W22 W23 W24 }.

odo esto implica una importante simplificación matemática en la determinación de esas

componentes, respecto a los elementos no isoparametricos, es decir los tipo - h tradicionales y los tipo – p. Debe tenerse claro que los elementos isoparametricos no son en sí una nueva Formulación matemática, en el sentido de un procedimiento matemático para armar el sistema de ecuaciones de equilibrio ( 5 ), sino un tipo de elemento que aborda la relación entre los desplazamientos interiores de los elementos y los de sus nodos, de una forma nueva y propia, que simplifica mucho las operaciones matemáticas. Pero que en el proceso de conformación y solución de las ecuaciones de equilibrio del modelo ( 5 ), pueden tener como base a cualesquiera de las Formulaciones matemáticas existentes (la basada en los Desplazamientos o alguna de las Mixtas). Véase Otras formulaciones en el Capítulo 3.

T


δ h 1 /δx δ h 2 /δx δ h 3 /δx δ h 4 /δx δ h 5 /δx δ h 6 /δx δ h 7 / δx δ h 8 /δx 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 δ h 9 /δy δ h 10 /δy δ h 11 /δy δ h 12 /δy δ h 13 /δy δ h 14 /δy δ h 15 /δy δ h 16 /δy 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 δ h17 /δz δ h18 /δz δ h19 /δz δ h20 /δz δ h21 /δz δ h22 /δz δ h23 /δz δ h24 /δz [ B ] = ( 6 * 3 N ) δ h 1 /δy δ h 2 /δy δ h 3 /δy δ h 4 /δy δ h 5 /δy δ h 6 /δy δ h 7 /δy δ h 8 /δy δ h 9 /δx δ h 10 /δx δ h 11 /δx δ h 12 /δx δ h 13 /δx δ h 14 /δx δ h 15 /δx δ h 16 /δx 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 δ h 9 /δz δ h 10 /δz δ h 11 /δz δ h 12 /δz δ h 13 /δz δ h 14 /δz δ h 15 /δz δ h 16 /δz δ h17 /δy δ h18 /δy δ h19 /δy δ h20 /δy δ h21 /δy δ h22 /δy δ h23 /δy δ h24 /δy δ h 1 /δz δ h 2 /δz δ h 3 /δz δ h 4 /δz δ h 5 /δz δ h 6 /δz δ h 7 /δz δ h 8 /δz 0 0 0 0 0 0 0 0 δ h17 /δz δ h18 /δz δ h19 /δz δ h20 /δz δ h21 /δz δ h22 /δz δ h23 /δz δ h24 /δz En resumen las ventajas de los elementos isoparamétricos de altos órdenes y por tanto sus campos de empleo son:

• Importante simplificación en la Formulación matemática de estos elementos, en especial en las operaciones necesarias para conformar las matrices deformaciones - desplazamientos [ B ] y la matriz de rigidez global [ K ]. En esas simplificaciones juega un importante papel el uso de las coordenadas naturales. Estas son las principales distinciones de estos elementos, tanto respecto de los lineales como de los de alto orden no isoparamétricos.

• Modelación más precisa de los contornos curvos iniciales del modelo, pues los lados de los

elementos con nodos intermedios en ellos, pueden hacerse curvos desde su configuración inicial.

• Mayores tolerancias a sus distorsiones geométricas iniciales, con menor afectación en la

precisión de los cálculos. En efecto, esta formulación hace que el error numérico de la solución sea menos sensible a las distorsiones iniciales del elemento, siendo más adecuados


para ajustarse a configuraciones deformadas de las piezas que cambian bruscamente, donde precisamente quedan más distorsionados los elementos.

a)


Curva realdespués dedeformada

Forma quetoma el

elementodeformado.

Forma quetoma el

elementodeformado



b)



Forma quetoma el

elementodeformado

c)




Fig. 20 (Repetida) - Comparación del comportamiento de diferentes tipos de elementos isoparametricos. a) Lineal (4 nodos). b) Lineal, con formas extras. c) Cuadrático (de 8 nodos).


• Necesidad de empleo de menor número de elementos, con la consiguiente simplificación del modelo. Hay elementos BEAM y SHELL, con los que incluso con el empleo de un solo elemento en el modelo, se puede obtener toda la información necesaria, es decir puede simularse adecuadamente el comportamiento del sistema. No obstante, esto no es en general recomendable, pero muestra cuan “grueso” puede llegar a hacerse el mallado.

• Algunos elementos están sólo disponibles como isoparamétricos, como es el caso de los

elementos tipo CRACK empleados en análisis de Mecánica de la Fractura. Realmente en la práctica muchos de los elementos finitos que actualmente emplean los programas profesionales modernos, son isoparamétricos, aprovechando así las importantes ventajas y simplificaciones en la modelación y los cálculos que ellos permiten. Estas son las características de los elementos isoparamétricos, que como se ha apuntado, se basan en que para la interpolación de los desplazamientos en puntos internos del elemento, u, v, w .... , a partir de los desplazamientos nodales U, V, W, ... hacen uso de las mismas funciones de interpolación hi , que para las coordenadas del elemento. Pero se han desarrollado otros tipos de elementos como los subparamétricos, en los cuales los desplazamientos son interpolados a un menor grado que las coordenadas del elemento. O los superparamétricos en los cuales se aplica lo inverso.

Elementos isoparametricos de los programas profesionales ( ANSYS ). o obstante, los programas modernos ofertan otras muchas combinaciones de las funciones h i distintas de las arriba mostradas. Es decir que en este sentido se siguen desarrollando nuevos

elementos con distintos tipos de funciones de forma h i cada vez más precisas. Los programas modernos acostumbran a brindar básicamente, 3 tipos de elementos isoparametricos, en relación con sus “shape functions”:

N

• Isoparametrico lineal Sin nodos intermedios. • Isoparametrico lineal, pero con formas extras (parabolas). • Isoparametrico cuadráticos. Con un nodo intermedio en cada lado. Los elementos lineales isoparametricos (Fig. 20 a), solo permiten disponer de “shape function” lineales en esos elementos, con las limitaciones de que no se adaptan de la mejor manera ni a las formas deformadas de la pieza, ni a su configuración inicial. Carecen siempre de nodos intermedios en los lados. Los elementos lineales isoparametricos con formas extras (Fig. 20 b), tampoco tienen nodos intermedios, pero permiten al usuario seleccionar entre “shape function” lineal o de 2 do grado (parábolas), que constituye su “forma extra” de trabajo. Al emplearse la “forma extra” se logra un mejor ajuste a la verdadera configuración que tomara la pieza bajo las cargas aplicadas. Ejemplo de esto son los elementos cuadriláteros de 4 nodos PLANE 42 , SHELL 41, SHELL 63 y el volumétrico hexaedro de 8 nodos SOLID 45, los cuales tienen funciones de forma lineales h i, pero tienen también la opción de conformarse y trabajar con funciones parabólicas, a voluntad del usuario. Esta ultima es su “forma extra” de trabajo. Los elementos cuadráticos (Fig. 20 c), son elementos isoparametricos con un nodo intermedio adicional en cada lado, lo que les permite “shape function” de tipo cuadráticas en todo momento, es decir de 2 do grado pero con un mayor numero de términos en sus polinomios. Tienden al numero


máximo posible de términos: 9 para los elementos planos ( 2D ) y 20 para los espaciales ( 3D ), según la Tabla 2 del Capitulo 3. Con ellos se logra no solo un mejor ajuste a las configuraciones deformadas (según una función cuadrática mas completa), sino también a la configuración original de la pieza, por compleja que esta sea. Esto lo logran tanto por la presencia del nodo intermedio en sus lados, como por la función de forma hi de tipo cuadráticas más completas con la que trabajan. Es el caso de los elementos PLANE 82, SOLID 92 y SOLID 95, con un nodo intermedio en sus lados o caras y largas funciones de forma cuadráticas, aunque con Formulaciones basadas en los desplazamientos. En la Fig. 27 también se observa como el grado de la función h i se refleja en el comportamiento de los desplazamientos entre los nodos extremos de cada lado. Sea un elemento sólido plano (SOLID 2D), cuadrilátero con 2 DOF de traslación por nodo, U, V. Se ofertan como isoparametricos de los 3 tipos descritos. En el caso de que no tenga nodos intermedios adicionales y que h i sea lineal, es decir un elemento de bajo orden, los desplazamientos entre los nodos tendrán también una distribución lineal (Fig. 27 b-1). Si se le activa la “forma extra” el ajuste será parabólico, Fig. 27 b- 2). Con un nodo adicional por lado, hi será de tipo cuadrático, es decir de alto orden y la distribución de los desplazamientos entre nodos será de forma cuadrática (Fig. 27 c). Los elementos isoparametricos PLANE, SHELL y SOLID pueden ofertarse mas raramente con 2 nodos adicionales por lado, asumiendo una función de forma de tipo cúbica (Fig. 24 d), permitiendo así un ajusta aún más preciso a la configuración deformada de la pieza y todo con un menor número de elementos. Funciones cúbicas sin nodos intermedios suelen tener todos los elementos lineales tipo BEAM. Así, los elementos lineales BEAM 2D (es decir que trabajan en el plano), tales como el BEAM 3, BEAM 23 y el BEAM 54, se ofertan con funciones h i cúbicas a pesar de ser elementos lineales de 2 nodos y 3 DOFs (2 de traslación y 1 rotación), por nodo. Iguales funciones poseen los elementos lineales espaciales BEAM 3D: los BEAM 4, BEAN 44, y BEAM 24. El mejor ajuste que logran a las configuraciones deformadas de las piezas, se refleja también en la mayor precisión que logran en el cálculo de los esfuerzos. Como la variación de ellos es la 1a derivada de los desplazamientos (véanse las ecuaciones ( 9 ) y ( 11 ), Capitulo 2), se tiene que:

• Si los desplazamientos de los puntos interiores del elemento tienen una variación lineal en su comportamiento real, los esfuerzos tendrán una distribución constantes en el interior de los elementos, o lo que es equivalente, entre los nodos de los elementos.

• Si los desplazamientos reales tienen variación cuadrática, los esfuerzos variarán

linealmente.

• Con desplazamientos reales con variación cúbica, los esfuerzos tendrán variación cuadrática (parabólica) en el interior del elemento.

Así, conociéndose como variarán los esfuerzos (información existente y bastante disponible para muchos casos), se puede seleccionar el grado del polinomio h i (y por tanto el “shape function” de los elementos isoparametricos), que simulen mejor la forma de variación de los esfuerzos reales. Para un estudio más completo de la selección de estos tipos de elementos, véase Definición de los elementos, en el Capitulo 5. Con el empleo de elementos con nodos intermedios en los lados y funciones hi no lineales (o sea los elementos cuadráticos de altos órdenes), pueden lograrse ajustes más preciso además, a las formas curvas iniciales de los distintos bordes de la pieza modelada, con menos cantidad de elementos. Pues las funciones hi las ajustan más adecuadamente, dando la posibilidad de que los bordes o


lados sean curvos (Fig. 20 c). Véanse también las Fig. 27 e y f). Es decir que se logran mejores ajustes tanto al modelar las formas curvas iniciales, como al simular las mismas luego de deformadas por las cargas, todo con menos número de elementos, lo que constituye una de sus principales ventajas. Es una decisión del usuario seleccionar sus elementos isoparamétricos con las funciones de forma h i más adecuadas para el tipo de problema a resolver, en particular según el conocimiento previo que tenga sobre como deberá ser la distribución real de los esfuerzos. En este sentido puede también decidirse por trabajar con elementos tipo – p.

e )

f )

36 elementos linealesSHELL 63

9 elementos cuadraticos SHELL 93

a) b) c) d)

1

2

Rect

as

Arco

s


Fig. 27 .- Elementos isoparametricos. Adaptación a las configuraciones deformadas. Elementos PLANE. a) Elemento de 4 nodos y 2 DOF / nodo, sin deformar. b) De 4 nodos

deformado. 1 - de bajo orden, es decir con desplazamientos lineales ( isoparamétrico lineal). 2 – de 2 do grado ( isoparametrico con “forma extra”: parabólica ). c) Isoparamétrico de 8 nodos, desplazamientos cuadráticos ( isoparametrico cuadrático ) d) Isoparamétrico de 12 nodos,

desplazamientos cúbicos. Adaptación a las formas iniciales de la pieza. Elementos SHELL. e) Isoparametricos lineales

de 4 nodos. f) Isoparametricos cuadráticos de 8 nodos.


Capítulo 5.

Los Elementos Finitos Fundamentales.

Tipos básicos de elementos finitos. Grados de libertad. Compatibilidad entre los

elementos finitos. Definición de los elementos. Unidades de medida. Elementos barras (TRUSS o LINK). Elementos vigas (BEAM). Elementos sólidos planos (PLANE).

Elementos sólidos volumétricos (SOLID). Elementos láminas (SHELL). Elementos de los programas profesionales.

Tipos básicos de elementos finitos.

uchos son los elementos finitos desarrollados para dar respuesta a las disímiles y numerosas condiciones y tipos de análisis que son abordados actualmente por el MEF. Hay programas

profesionales de EF que tienen más de 190 tipos de elementos distintos, y cada uno tiene ciertamente, sus usos y aplicaciones más adecuados. Aquí sólo se verán los más comunes y básicos, en lo que ayudará agruparlos según distintos criterios. De hecho, los elementos finitos se agrupan en varias clasificaciones, cada una de ellas atendiendo a distintas características fundamentales.

M

En este sentido se tienen las siguientes clasificaciones de los elementos finitos actuales. 1) Según sus dimensiones. 2) Por sus formas geométricas. 3) Según las teorías de calculo que sustentan. Clasificaciones 4) Según el polinomio de aproximación de los desplazamientos. 5) Por la formulación matemática. 6) Si son de formulación isoparametrica o no. 7) Según los grados de libertad de los nodos. 8) Por el número de nodos. 1 ) Una primera clasificación es atendiendo a si el elemento queda definido y trabaja en el plano o en el espacio, o incluso si son puntuales. Se trata de la dimensión del espacio en la que trabaja el elemento. En este sentido se tienen los elementos lineales, que están constituidos por una simple línea, pero que pueden trabajar en el plano o en el espacio, o sea ser de 2 (2D) ó 3 (3D) dimensiones; los elementos planos 2D, siempre de 2 dimensiones; los volumétricos 3D, y los 1D que son los puntuales. Según esta clasificación se tendrán los elementos siguientes:

García de la Figal, Javier Capitulo 5 120 Los Elementos Finitos Fundamentales.

• Puntuales, 1D. • Lineales, 2D o 3D. • Planos, 2D • Volumétricos, 3D. • Laminas, 2D o 3D.

En las Fig. 25 se muestran los elementos según esta clasificación. Los elementos puntuales son de una única dimensión, o sea 1D, y son usados en simular partes muy específicas de algunos modelos, tales como masas concentradas (elementos MASS), codos en sistemas de tuberías (elementos BUOY) y muelles puntuales (SPRING). Se caracterizan porque quedan definidos por un único nodo; o por 2 pero ubicados en la misma posición en el espacio. Los elementos lineales (Fig. 28 b, f), se emplean para modelar los elementos estructurales de los tipos: tubos, vigas o barras, entendiéndose por ésta última las que no tienen rigidez a flexión, sino sólo a tracción - compresión. Estas se acercan más a la solución exacta, pues su discretización puede responder a los elementos reales de la estructura, cuando está compuesta por barras. Los elementos lineales pueden ser de 2 dimensiones, cuando trabajan en un plano, o de 3 dimensiones 3D, trabajando entonces en el espacio. Los elementos planos se caracterizan por estar contenidos en un plano, siendo por tanto siempre de 2 dimensiones, 2D (Fig. 28 c y d). Pueden tener forma rectangular o triangular. Los elementos láminas (Fig. 28, g) son empleados para modelar 2 importantes tipos de elementos estructurales: las bóvedas y las placas. Tienen por tanto forma de una superficie aunque trabajan y se comportan en el espacio, es decir son de 3 dimensiones, 3D. Este es el tipo de elementos láminas que traen modernamente los programas. Cuando tienen forma aboveda se emplean en la simulación de tanques, tuberías y todo tipo de pieza caracterizada por ser bóveda o placa, o sea porque su espesor sea menor que sus otras 2 dimensiones (los lados). Los elementos volumétricos (Fig. 28 e), son aquellos que como su nombre indica son sólidos con forma espacial, siendo por tanto siempre de 3 dimensiones, 3D. Válidos para modelar el elemento estructural tipo bloque. 2 ) Una segunda clasificación es atendiendo a la forma del elemento. Así por ejemplo, aunque los elementos planos ideales son cuadrados o triángulos equiláteros, en la práctica pueden estar deformados o desviados de esa forma ideal, dando así origen a diferentes formas (Fig. 29). Las deformaciones sólo son admisibles en magnitudes limitadas, como se muestra en esa figura, donde se brindan los valores de desviaciones admitidos por un programa profesional. Cada programa tiene establecido por “default” las tolerancias admisibles de cada distorsión, aunque generalmente permiten al usuario alterarlas a su conveniencia, lo cual por cierto no es recomendable. En los programas los elementos volumétricos se denominan de diferentes formas: BRICK, HEXA, TETRA, o PENTA, en dependencia de las formas espaciales que tengan (Fig. 30). Aquí se les llamara a todos como SOLID. El elemento Hexaédrico o BRICK ideal es el cubo, que tiene todas sus caras iguales y a 90 0 entre sí, pues es el que brinda la solución más cercana a la exacta. Pero los programas admiten determinadas desviaciones o deformaciones, dentro de tolerancias admisibles


d) e)

f) g)

xy

x

y y

x

xz

y

x

y

z

Elementos segun sus dimensiones.

c)

b)

y

z

xa)

y

xz

Fig. 28.- Tipos de elementos finitos según su dimensión.

a) Puntual 1D. b) Lineal 2D. c) Sólido planos 2D cuadrilátero. d) Sólido plano triangular 2D. e) Volumétrico 3D. f) Lineal 3D. g) Lámina 3D.

sus tolerancias de distorsiones admisibles. Las cuales también los programas comúnmente permiten sean alteradas por el usuario. 3 ) Una tercera clasificación de los elementos está basada en el tipo de teoría de cálculo con la que pueden trabajar. Los elementos están muy vinculados con las teorías de cálculo e hipótesis de trabajo existentes en las diferentes ramas de las Ingenierías, que son la base de cálculo y de análisis del elemento finito. Se trata de las fórmulas estudiadas en disciplinas bien conocidas por los ingenieros, tales como Resistencia de Materiales, Teoría de Placas, Mecánica de los fluidos, etc. Esto está muy vinculado con el Tipo de Problema a analizar. Los elementos de tipo estructurales por ejemplo, que suelen emplearse en los Problemas estructurales y que son los más generales, atendiendo a la teoría de calculo pueden clasificarse como se resume a continuación (Vea la Fig. 31).

• Barra ( LINK ) • Viga ( BEAM ) • Solido plano, 2D ( PLANE ) Teorías de calculo de los • Axisimétrico ( PLANE o SHELL ) Problemas estructurales. • Placa a flexión • Bóveda de paredes delgadas ( SHELL ) • Bóveda de paredes gruesas. • Solido volumetrico, 3D. ( SOLID )


En los programas profesionales la barra se denota por: TRUSS o LINK. Puede ser 2D, o sea con 2 DOF traslacionales por nodo; o 3D, con las 3 traslaciones en cada nodo. La viga se denota comúnmente como BEAM y posee invariablemente rigidez a flexión. Pueden ser de 2 dimensiones (2D, Fig. 31 b), con 2 DOF de traslación por nodo (en U, V ), más otro DOF de rotación (alrededor de z, Rz ); o de 3 dimensiones (3D, Fig. 31 f), con los 6 DOF en cada nodo. La teoría que los sustentan puede ser la de Euler - Bernoulli basada en las hipótesis de Bernoulli, o la teoría de Timoshenko, que tiene en cuenta la energía de deformación transversal. Los elementos sólidos planos ( PLANE, Fig. 31 c, d ), permiten modelar piezas, pero tiene que estar contenido todo el problema (incluidas las cargas) en un plano. Esto les permite solo 2 DOF de traslación por nodo, pudiendo tener un 3er DOF adicional de rotación. La pieza se asume conformada por múltiples “capas” iguales colocadas una a continuación de la otra en sentido del espesor, en todas las cuales ocurre lo mismo que en la primera capa mallada. Pueden asumir un estado tensional plano ( etp ), o estado deformacional plano ( edp ). Las piezas con edp se modelan asumiéndolas como una superficie de espesor unitario, malladas con estos elementos planos. En los distintos programas profesionales, los elemento sólidos planos se denominan de diferentes formas: PLANE, SOLID 2D, QUAD, TRIANG. Con ellos es posible modelar con mucho detalle, pues se puede hacer uso de muchos elementos con un costo bajo de tiempo de máquina, memoria y esfuerzo por el analista. Es importante destacar que un elemento 2D, al estar necesariamente contenido en un plano, sus cargas externas, constreñimientos, desplazamientos, deformaciones, esfuerzos y demás parámetros, sólo estarán definidos en ese plano, que casi siempre es el plano X,Y Global, en un sistema coordenado cartesiano; o el R,θ, en coordenadas polares Global también.

a

b

aspect ratio:a / b < 5

a)

α

α <

b) c) d)

30o

h

b

h / b < 5

b

α

α = 30 - 900

Fig. 29.- Distorsiones admisibles de elementos sólidos planos.

( PLANE o SOLID 2D ).

Los elementos SHELL (Fig. 31 g), se emplean para modelar laminas, o sea bóvedas y placas. Se basan en las teorías de cálculo correspondientes (la de Kirchhoff para placas de paredes delgadas; y la de Reissner - Mindlin para gruesas). Cuando se desean para modelar placas pueden tener superficies planas o incluso curvas en general (pero en ningún caso alabeadas), utilizando las


fórmulas y planteamientos de la Teoría de Placas. La configuración de estos elementos modernamente es casi siempre en el espacio, o sea son 3D, admitiendo sus parámetros en los 3 ejes x, y, z. Los hay con solo 3 DOF traslacionales por nodo (muy poco vistos en la actualidad), o con los 6 DOF posibles por nodo. Admiten cargas externas en todas las direcciones, incluidas normales a su superficie (presión).

a) b) c)

Fig. 30 . - Tipos de elementos volumétricos. a) Hexaedro o Brick. b) Tetraedro. c) Pentaedro.

a)

c) d)e)

b)

g)

xy

x

y y

x

xz

y

x

y

z

y

xz

LINK, BEAM 2D PLANEtriangular

PLANE cuadrilatero SOLID

SHELL

Segun las teorias de calculo.

y

z

x

Spring, Contac, Buoy

f) LINK, BEAM 3D

Fig . 31 . - Elementos según sus Teorías de cálculo. a) SPRING, BUOY, CONTAC. b) LINK 2D, BEAM 2D. c) PLANE cuadrilátero.

d) PLANE triangular. e) SOLID. f) LINK 3D, BEAM 3D. g) SHELL 3D,

Pueden también definirse en un plano y no por ello dejan de comportarse como 3D, es decir con hasta 6 DOF por nodo. El espesor puede ser pequeño (espesor < 10 % del lado menor), o grueso, según sea la teoría de calculo del elemento, o sea según cumpla con las hipótesis de Kirchhoff para placas y bóvedas delgadas, o con la Teoría de Reissner - Mindlin para gruesas.


Simulan la superficie por su línea media y constituyen un tipo de elemento un tanto especial, pues son para mallar superficies, pero en realidad ellos son espaciales, o sea 3D.

Los elementos sólidos volumétricos SOLID, se emplean para modelar piezas y sistemas en el espacio. Por ello admiten al menos, los 3 desplazamientos de traslación por nodo, en U, V, W, y las 3 fuerzas del espacio, existiendo elementos que llegan a tener los 6 DOF en cada nodo. Es un elemento muy poderoso, preciso y versátil, con el que pudiera mallarse todo tipo de pieza, estructura o sistema, pudiendo sustituir aparentemente, a todos los anteriores. Así una viga por ejemplo, pudiera modelarse con estos elementos en lugar de con los BEAM, siendo seguramente más preciso en la modelación y en sus resultados, que éste. Pero hay que tener mucho cuidado con este tipo de selección, pues su uso complica considerablemente los cálculos a realizar por el programa, aumentando así el tiempo de máquina y la memoria necesarios para obtener la solución. Además la cantidad de resultados se incrementa también mucho, lo que puede dificultar grandemente el análisis y procesamiento de los mismos. Por todo ello su uso debe limitarse a los casos que realmente lo requieran. Los esfuerzos y deformaciones en estos elementos son siempre en las 6 posibles direcciones del espacio (σx, σy, σz, τxy, τxz, τzy). Los elementos axisimétricos son un tipo especial destinados a modelar piezas de revolución, pero simulando sólo la mitad de una sección transversal de las mismas. Son siempre elementos planos es decir 2D, pero distintos a los de 2 dimensiones vistos anteriormente SOLID 2D, pues pueden ser sólidos planos con 4 nodos y 3 DOF traslacionales por nodo (elementos isoparametrico PLANE con traslaciones en U, V, W); o ser del tipo de láminas (SHELL), con 2 nodos y 4 DOF por cada nodo (traslaciones en U, V, W, y rotación alrededor de z). De esta forma pueden simular el comportamiento de piezas abovedadas o cónicas, que además sean de revolución. Cuando las hipótesis y teorías de cálculo base son las de bóvedas, son capaces de tener en cuenta los efectos de bordes propios de ellas. En este caso se presentan como SHELL. O pueden ser como los elementos sólidos planos PLANE (placas, etp, o edp). Ahorran trabajo de modelación, tiempo de corrida y memoria de máquina, siendo indicados en la modelación detallada de tanques, tubos, tolvas y otras muchas piezas de este tipo. Están representados en la Fig. 32.

a) b)

y

x

x

zz

y

z, w

r, u

θ

σ z

σ r

σθ

σθ

τ r, z

c )

Fig. 32.- Elementos Axisimétricos. a) De 2 nodos (elementos SHELL) . b) De 4 nodos (elementos sólidos planos, 2D) c ) Estado tensional en coordenadas cilíndricas.

Para cada uno de los elementos estructurales descritos es aplicable la Formulación basada en los desplazamientos más general, que es en el espacio, o sea 3D. Pero sólo tendrán que emplearse las variables de desplazamientos, deformaciones y esfuerzos más apropiadas para cada problema. En la Tabla 4 se resumen estas variables de algunos de estos elementos. Por ejemplo, en un elemento tipo


placa (elemento SHELL), las ecuaciones que relacionan a algunos de los parámetros de la Tabla 4, según la Teoría de placas son: (3), ( 3’ ), (3´´) y (4), ya vistas en el Capitulo 1.

Tabla 4 .- Variables correspondientes a varios elementos estructurales.

Elemento estructural Desplazamientos Vector {ε} Vector {σ}

Barra u εx σx

Viga en el plano. w k x M x

Estado tensional plano u, v ε x, ε y, γ xy σ x, σ y, τ xy

Estado deformacional plano

u, v ε x, ε y, γ xy σ x, σ y, τ xy

Axisimétrico u, v ε x, ε y, ε z, γ xy, σ x, σ y, σ z, τ xy, Espacial, 3D u, v, w ε x, ε y, ε z, γ xy, γ xz, γ zy σ x, σ y, σ z, τ xy, τ xz, τ yz

Placa a flexión w. k x, k y, k z M x, M y, M z εx = δu / δx, εy = δv / δy, εz = δw / δz, γxy = δu / δy + δv / δx, γyz = δv / δz + δw / δy, γxz = δw / δx + δu / δz, k x = δ 2 w / δx 2 , k y = δ 2 w / δy 2 , k z = 2 δ 2 w / δx δy 4 ) Una cuarta clasificación es agrupar a los elementos atendiendo al grado del polinomio de aproximación de los desplazamientos, que asumen entre los nodos del elemento deformado. O el “shape function” en los elementos isoparametricos. Se trata de la interpolación de la configuración deformada del elemento, a partir del conocimiento de los desplazamientos de sus nodos. Constituye el aspecto matemático fundamental del MEF. Si estas funciones son lineales (ecuaciones ( 14 ) del Capitulo 3, por ejemplo), son los elementos de bajo orden o lineales (Fig. 19 b), también conocidos como tipo – h lineales. Si el polinomio es de orden superior se tienen los elementos de alto orden, que pueden ser los tipo – h parabólicos o cuadráticos, o los tipo – p. El polinomio de aproximación de los desplazamientos determina el grado de ajuste del elemento a las formas deformadas de la pieza, como se aprecia en la Fig. 19. Esta característica de los elementos finitos fue ampliamente tratada en el Capitulo 3. Todos pueden ser además isoparametricos o no. Los elementos isoparamétricos, con una formulación más avanzada, pueden ser tanto de bajo orden o lineales, como de altos ordenes. Pueden tener o no, más cantidad de nodos que los de tipo – h o tipo – p (Capitulo 4).

a) b) c) d) Fig. 19 (Repetida).- Elementos tipo – h y tipo – p. a) Elemento de 4 nodos y 2 DOF / nodo, sin deformar. b) De 4 nodos deformado, de bajo orden, por lo que brinda desplazamientos lineales ( tipo – h ). c) Elemento tipo – h, función de desplazamientos cuadráticos. d) Elemento tipo - p,

desplazamientos cúbicos.


5 ) Una quinta clasificación divide a los elementos según la Formulación matemática que usan en la implementación del MEF. Las Formulaciones matemáticas están íntimamente vinculadas con las teorías de cálculo que sustenta al elemento, pues las Formulaciones más avanzadas permiten emplear teorías de cálculo más precisas, modernas y generales. Como se observa, la Formulación del elemento, la teoría de cálculo que lo sustenta y la exactitud de los resultados, son factores íntimamente relacionados. En este sentido se tiene generalmente lo siguiente. BEAM: Teoría de Euler - Bernoulli. (Teoría clásica de vigas). Formulación basada en los Desplazamientos. SHELL: Hipótesis de Kirchhoff. (Láminas y placas finas) La mayoría de los SOLID 3D y SOLID 2D (o PLANE), que se basan en la Mecánica del sólido deformable ( elasticidad, plasticidades, viscoplasticidad, viscoelasticidad, etc.). Desplazamientos / deformación BEAM. Teoría de Timoshenko. Formulaciones transversal. (Vigas anchas o cortas). Mixtas. Desplazamientos transversales / SHELL. Teoría de Reissner - Mindlin. deformación transversal. (Laminas gruesas). Desplazamientos / presión SOLID, PLANE. ( de la serie de (U / P) elementos 18X y los HYPER). Materiales incompresibles o casi incompresibles. La formulación mixta desplazamientos / presión ( U/P ), es especialmente indicada para el análisis de materiales incompresibles – en los que el coeficiente de Poisson μ = 0.5 - , como los materiales elastómeros y los hiperelasticos; así como los casi incompresibles – en los que μ = 0.49. Tiene en cuenta no solo a los desplazamientos como incógnitas, sino también a la presión hidrostática. La mayoría de los elementos SOLID 3D y SOLID 2D (o PLANE), se sustentan en la Teoría de la Elasticidad, y comúnmente admiten también las distintas teorías de calculo de la moderna disciplina Mecánica del sólido deformable (plasticidades, viscoelasticidad, viscoplasticidad, etc.). Mayoritariamente siguen empleando la Formulación basada en los desplazamientos. 6 ) Una sexta clasificación agrupa a los elementos según tengan la formulación isoparametrica o no. Esta formulación tiene una serie de importantes ventajas, que han hecho que casi todos los elementos finitos de los programas modernos sean isoparametricos. Véase el Capitulo 4. Existen otras clasificaciones pero están fuertemente vinculadas a las arriba descritas. Así, el numero de nodos del elemento esta vinculado a si este tiene formulación isoparametrica o no. Solo los isoparametricos permiten nodos intermedios en los lados o caras del elemento, o en su interior. Los grados de libertad que puedan tener los nodos, es otra importante característica de los elementos. De este modo se tienen los principales tipos de elementos finitos existentes. En la TABLA 5 se brinda un resumen de las distintas clasificaciones aquí descritas, mientras que en el ANEXO 1 se relacionan los principales tipos de elementos finitos existentes. El conocimiento de ellos es un


Tabla 5 .- Clasificaciones de los principales elementos finitos.

Den

omi –

na

ción

.

T

RU

SS o

L

INK

B

EA

M

PL

AN

E o

SOL

ID 2

D

SOL

ID 2

D

o PL

AN

E

SH

EL

L

SO

LID

3D

SH

EL

L

Tip

o de

E

lem

ento

*

Tipo

– h

T

ipo

– p

----

----

---

Tipo

– h

Ti

po -

p

----

----

---

Tipo

– h

Tipo

- p

--

----

--

Tipo

– h

----

-

Tipo

- h

Ti

po -

p

----

----

-

Tipo

- h

----

----

-

Tipo

- h

Ti

po -

p

--

----

---

Form

ulac

ión

base

.

Des

plaz

amie

ntos

Des

plaz

amie

ntp

/ de

form

ació

n tra

nsve

rsal

Des

plaz

amie

ntos

Des

plaz

amie

ntp/

def

orm

ac.

trans

vers

al

D

espl

azam

ient

os

Des

olaz

amie

ntos

/ pr

esió

n

Dso

laza

mie

ntos

Des

plaz

amie

ntos

o

Des

plaz

amie

nto

trans

v.

/def

orm

ac. t

rans

vers

al

Des

plaz

amie

ntos

Des

plaz

amie

ntos

/ pr

esió

n

Des

plaz

amie

ntos

.

Des

plaz

amie

ntos

o

Des

plaz

amie

nto

trans

v.

/def

orm

ac. t

rans

vers

al

Des

plaz

amie

ntos

Des

plaz

amie

ntos

o

Des

plaz

amie

nto

trans

v.

/def

orm

ac. t

rans

vers

al

DO

F po

r no

do.

u, v

u,

v,

w

u, v

, R

z

u, v

, w,

Rz,

Ry,

Rx

u

v

u

v

u , v

, w

u, v

, w,

Rz

u, v

, w

, R

z,

R y,

R x

u, v

, w

u, v

, w

u, v

, w

, R

z, R

x,R

y

u,

v,

w,

Rz,

R x,R

y

Dim

ensi

ón

2 D

3 D

2 D

3 D

2

D

2

D

2 D

2 D

3

D

3 D

3 D

3

D

3

D

Ele

men

to

estr

uctu

ral

B

arra

Vig

a Es

tado

te

nsio

nal p

lano

Esta

do d

efor

-m

acio

nal p

lano

Sólid

o pl

ano

Lá

min

a Es

paci

al

Bóv

edas

de

pa–

rede

s del

gada

s B

óved

as d

e pa

- re

des g

rues

as.

Plac

a a

flexi

ón

pare

des d

elga

da

Plac

a a

flexi

ón

pare

des g

rues

a

Form

a de

l E

lem

ento

.

Li

neal

Só

lido

Plan

o A

xisi

mét

rico

Só

lido

Vol

umét

rico.

Lá

min

as

* Todas las variantes de Formulaciones pueden ser además, de elementos isoparamétricos, y en los programas profesionales modernos de elementos finitos, casi invariablemente son tales.


importante paso en el dominio de esta metodología de cálculo. Muchos analistas se ven limitados al uso de unos pocos tipos de elementos, los que en ocasiones no son los más adecuados a sus problemas, por desconocimiento de la amplia variedad de elementos existentes, cada uno con sus posibilidades y limitaciones de trabajo.

Grados de libertad. os Grados de libertad ( “Degree of Freedom”, DOF), son las direcciones y valores que pueden tener las variables básicas (movimientos o desplazamientos, temperaturas, y otras), de forma

libre, es decir sin constreñimientos en los nodos de los elementos finitos en un sistema coordenado dado. Así por ejemplo, trabajando en un sistema coordenado Cartesiano de los nodos, X, Y, Z, y en Problemas Estructurales, cada nodo puede llegar a tener hasta 6 grados de libertad en el espacio del tipo desplazamientos: 3 de traslación a lo largo de cada uno de los ejes coordenados (desplazamientos U, V, W); y 3 de rotación alrededor de cada eje (RX, RY, RZ). Pueden existir además grados de libertad de otros tipos, como temperaturas, velocidades y presiones, en dependencia del tipo de Problema de ingeniería de que se trate.

L

Al quedar definido un elemento como 1D, 2D o 3D, quedan definidos también el número máximo de Grados de libertad (DOF) de sus nodos, que pueden tener. Así un elemento 2D puede tener hasta 3 DOF por nodo: en el caso de Problemas estructurales serían 2 DOF de traslación (U y V) y uno de rotación (alrededor de Z). En el caso más general de elementos 3D, pueden haber hasta 6 grados de libertad totales: 3 de traslación (U, V, W), y 3 de rotación (alrededor de X, Y, Z). Así un elemento tipo barra definido en el plano (Fig. 31 b), tiene solo 2 DOF por nodo: traslaciones U y V, siendo por tanto 2D. Ese mismo elemento definido en el espacio (Fig. 31 f), tendrá 3 DOF: las 3 traslaciones U, V, W. Es entonces un elemento 3D. El elemento de la Fig. 31 b), pero ahora definido como viga 2D, es plano, pero por ser viga suele tener 3 DOF por nodo: 2 de traslación (en U y V), y uno de rotación (alrededor de Z). En este sentido se tiene lo siguiente. Elemento Tipo de calculo Dimensión DOFs / nodo MASS Masa 1 D 3 de traslación LINK 1D Barra (Tracción – compresión) 1 D 1 de traslación Poco empleado LINK 2D Barra (Tracción – compresión) 2 D 2 de traslación BEAM 2D Viga 2 D 2 de traslación 1 de rotación BEAM 2D Viga 2 D 1 de traslación Poco 1 de rotación empleado BEAM 3D Viga 3 D 3 de traslación 3 de rotación PLANE 2 D 2 de traslación PLANE 2 D 2 de traslación Poco 1 de rotación empleado SHELL Bóveda, placa, panel 3 D 3 de traslación 3 de rotación


SHELL Bóveda 3 D 3 de traslación SOLID 3 D 3 de traslación SOLID 3 D 3 de traslación Poco 3 de rotación empleado Por ser los DOFs las variables que tienen disponibles los nodos del modelo, es necesario en casi todos los tipos de Problemas que al menos un grupo de ellos estén constreñidos, es decir que se les de valores nulos y fijos, para que el programa pueda proceder a la solución. Así, en el caso de los Problemas de tipo Estructurales el modelo tiene que estar constreñido a “tierra” para poder procederse, pues en caso contrario es un modelo con movimiento en el espacio como un todo, lo que se conoce como movimiento de “cuerpo libre”, el cual no puede ser resuelto. Esto se evita imponiendo desplazamientos nulos a todos los nodos necesarios para que el modelo sea estático y cinematicamente invariable. No obstante, existe un tipo de Análisis denominado Trasiente, que permite abordar problemas no constreñidos, denominados modelos con movimiento de “cuerpo libre”.

El comando para colocar constreñimientos en los DOF del tipo desplazamientos en los nodos es, Solution > Apply > Displacement > On Nodes > Para lo cual se da valores nulos a los desplazamientos a ser constreñidos. En los nodos se pueden aplicar también diferentes cargas, las que siempre se colocan en los nodos, aún cuando el usuario los puede definir en áreas, líneas o volúmenes previamente mallados, en cuyos casos el programa los lleva automáticamente a los nodos contenidos en esas entidades. Esto implica que se está trabajando con el sistema coordenado nodal, el cual a su vez generalmente coincide con el sistema coordenado Global, X, Y, Z de todo el modelo. Esto es importante tenerlo en cuenta porque al imponer a un DOF dado una carga o un constreñimiento, por ejemplo un desplazamiento en X, se está imponiendo en el eje X del sistema coordenado Global del modelo. Los DOF son como ya se ha indicado, desplazamientos en los Problemas de tipo Estructurales, pero pueden ser de otras variables en dependencia del tipo de Problema de que se trate, como se muestra a continuación. Tipo de Problema DOF Label Estructural Traslación U, V, W Rotación RX, RY, RZ Térmico Temperatura TEMP Fluidos Velocidades VX, VY, VZ Presiones PRES Temperatura TEMP


En el epígrafe anterior se estudiaron algunas características de los elementos en cuanto a sus DOF de desplazamientos por nodo. Se vio como los elementos 2D sólo tienen hasta 3 DOF por nodo, U, V, y RZ, aunque suelen tener sólo los 2 de traslación. Los elementos 3D por su parte, pueden llegar a tener los 6 DOF, o sea U, V, W, RX, RY, RZ. Aunque es frecuente que sólo tengan los 3 de traslación. Otra característica importante es que los DOFs definen también las direcciones de otros parámetros que puede tener el elemento. Por ejemplo, un elemento 2D (PLANE) con capacidad de 3 DOF por nodo, sólo admite cargas aplicadas en esas mismas 3 direcciones. Así si tiene capacidad en U, V y RZ, las cargas que pueden aplicársele son: FX, FY, MZ, es decir en las mismas direcciones y tipos que los DOFs de los nodos. De igual forma ese elemento tiene capacidad de evaluar sólo esfuerzos en σx, σy y τxy, es decir esfuerzos y deformaciones en el propio plano x, y en que está definido el elemento. La mayoría de los programas profesionales obligan a que los elementos 2D y los axisimétricos, sean definidos en el plano XY Global del modelo. Muchos elementos PLANE y SOLID sólo tienen capacidad de movimientos de traslación en los nodos, o sea U, V, W. Lo cual los hace más simples y rápidos en los cálculos, algo importante cuando se tienen muchos elementos. Por supuesto que sólo tienen capacidad entonces para cargas (externas e internas) del tipo de Fuerzas (FX, FY, FZ) y no de Momentos. Los esfuerzos y deformaciones que pueden evaluar no tienen esta limitación, pudiendo llegar a evaluar los 6 esfuerzos totales del estado tensional volumétrico (σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz). Esta limitación de algunos elementos, de admitir sólo DOF traslacionales, no impide sin embargo los cálculos precisos y adecuados; la ausencia de Momentos en sus nodos se suple con una mayor densidad del mallado. A la hora de unir un tipo de elemento con otro, es importante tener en cuenta que sean compatibles, que en el caso de los DOF significa que el número y tipo de ellos en cada nodo sean iguales. Así, un elemento 2D de 3 DOF por nodo, sólo puede unirse y trabajar adecuadamente con otro con los mismos 3 DOF por nodo. Esto será tratado en detalle en el siguiente epígrafe. Aunque existen procedimientos para hacer compatibles elementos con distintos DOFs, a través de ecuaciones creadas por el usuario, o por medio de elementos especiales de interconexión.

Compatibilidad entre los elementos finitos.

n muchas ocasiones es necesario emplear varios tipos de elementos finitos distintos, para la modelación de un sistema dado. Así por ejemplo, puede desearse modelar una placa rodeada

de vigas. Para la placa se usarían elementos sólidos planos del tipo QUAD o PLANE, mientras que para las vigas de los bordes, elementos BEAM. Se requiere que haya compatibilidad entre estos 2 tipos de elementos, para garantizar que trabajen de forma conjunta adecuadamente.

E

La compatibilidad entre los elementos significa que los DOFs dentro de los elementos y en sus bordes comunes, tengan continuidad, o sea que no existan fisuras en ellos. Para esto, es necesario que los elementos que se unan cumplan los siguientes requisitos.

• Igual base en su Formulación, por ejemplo que todos sean de la Formulación basada en los desplazamientos.

• Tengan el mismo número de nodos en sus contornos comunes. No deben ligarse por

ejemplo elementos de alto orden con los de bajo orden.


• Los grados de libertad (DOFs) de los nodos comunes, deben ser los mismos en cantidad y en tipos. No deben ligarse elementos de 2 DOF por nodo, con otros de 3 DOF en cada uno. Por ejemplo, no deben ligarse elementos TRUSS 2D con BRICK, pues el primero solo tiene 2 DOF por nodo (desplazamientos U y V), mientras el otro tiene al menos, 3 DOF en cada nodo (desplazamientos U, V, W), pudiendo ser también de 6 DOF.

Casi todos los programas los elementos con Formulaciones basada en los desplazamientos, así como con las otras Formulaciones, los brindan como elementos isoparamétricos los que deben estar ligados solo a otros elementos isoparametricos de igual orden. No obstante algunos elementos como los SPRING, GAPS y MASS, pueden mezclarse con casi todos los restantes. Teniendo presente estos principios el usuario puede trabajar con distintos tipos de elementos en su modelo, con garantía de que se interconectarán y trabajarán adecuadamente. En caso contrario debe hacerse uso de elementos especiales de interconexión, que permiten conectar adecuadamente determinados elementos no compatibles entre sí; pero pueden ser evitados con una correcta y cuidadosa selección de los elementos por el usuario, en la inmensa mayoría de los casos.

Definición de los Elementos.

osse

L pasos siguientes a la construcción del dibujo de la pieza o modelo son la definición y la lección de los elementos con los que se va a trabajar. La selección incluye:

1. Las dimensiones con que trabajará el elemento (1D, 2D o 3D). 1. “Shape function” lineal o parabólica. 2. La formulación matemática y la teoría de cálculo necesarias para el tipo de análisis a

realizar, es decir la base matemática y de calculo del elemento finito. 3. La forma del elemento (rectangular o triangular, en los elementos planos; hexaedro,

pentaedro, etc, en los volumétricos). Los 3 primeros puntos se empezaron a tratar anteriormente en Tipos básicos de elementos finitos, y están íntimamente relacionados entre sí. Estos 3 primeros puntos se deciden por el analista, al definir el tipo de Problema y de Análisis que va a resolver, para lo cual deberá basarse en la teoría de cálculo adecuada. Para problemas Estructurales por ejemplo, es muy empleada la Mecánica del medio continuo. Los tipos de elementos estructurales que pueden encontrarse en ella y que en gran medida definen la teoría de cálculo, como ya fuera indicado son:

• Barra • Viga • Estado tensional plano, 2D • Estado deformacional plano, 2D • Axisimétrico • Placa a flexión • Bóveda de paredes delgadas • Bóveda de paredes gruesas. • Espacial, 3D.


Esta es una primera e importantísima decisión del analista, que determina en gran medida las características y posibilidades del modelo que va a construir y que determinan los 3 primeros pasos del proceso de selección de los elementos finitos con que va a modelar. Es bueno resaltar que si bien todos los problemas pueden ser resueltos con elementos volumétricos SOLID, esto no es práctico en muchos casos, por el tiempo de máquina, memoria requerida, complicaciones innecesarias en los resultados obtenidos y otras razones semejantes. Con esta decisión se definen en gran parte los aspectos relacionados con los DOF de los nodos, analizados en el epígrafe anterior. Véase además la Tabla 2. Ya se vio como con relación al polinomio de la función “shape function” de los elementos, la mayoría de los programas modernos permiten la selección de los siguientes tipos de elementos isoparametricos. • Isoparametrico lineal Sin nodos intermedios. • Isoparametrico lineal, pero con formas extras (parábolas) • Isoparametrico cuadráticos. Con un nodo intermedio en los lados. Los elementos lineales isoparametricos solo permiten disponer de “shape function” lineales en esos elementos, con las limitaciones ya estudiadas de los mismos. Los elementos lineales isoparametricos con formas extras (“shape functions” parabolicas), permiten al usuario seleccionar entre “shape function” lineal o de 2 do grado. Los elementos cuadráticos son elementos isoparametricos con un nodo intermedio adicional en cada lado, lo que les permite “shape function” de tipo cuadráticas, con mayor numero de términos en sus polinomios que los elementos anteriores. En problemas estructurales, los elementos con polinomios lineales frecuentemente brindan adecuadas exactitudes con un razonable consumo de tiempo de maquina. Deben evitarse las formas muy degeneradas del elemento en regiones criticas o de especial interés, o sea evitar emplear las formas triangulares ( 2 D ) o tetraédricas ( 3 D ), en regiones con altos gradientes de variación de los parámetros de interés. Debe evitarse también el uso de elementos con polinomios lineales excesivamente distorsionados. En análisis con no – linealidades estructurales usualmente se obtienen mejores exactitudes a menos costo, si se emplean elementos con polinomios lineales con mallados finos, en comparación con los elementos cuadráticos con mallados gruesos. Los elementos cuadráticos no tienen más puntos de integración que los de polinomios lineales, por lo que estos últimos son preferidos en los análisis no – lineales. Al modelar laminas curvadas, el empleo de elementos con polinomios lineales o de los cuadráticos tiene, cada uno de ellos, sus ventajas y desventajas. En la mayoría de los casos prácticos se obtienen buenas exactitudes con un mínimo de tiempo de maquina, con los elementos lineales. Debe asegurarse en estos casos, que se emplee la suficiente cantidad de elementos para modelar adecuadamente las superficies curvas. En este sentido, se recomienda para los elementos lineales SHELL, que estos no cubran un arco de mas de 15 o. Para análisis no estructurales (térmicos, magnéticos), los elementos con polinomios lineales son casi tan buenos como los cuadráticos, y con menos costo. Incluso los elementos triangulares y tetraédricos lineales producen iguales exactitudes que los cuadráticos, en estos análisis. En los análisis estructurales con elementos triangulares o tetraédricos, los elementos cuadráticos brindan generalmente mayor exactitud en los resultados, a un menor costo de maquina que los elementos con polinomios lineales. Este es por tanto su principal campo de empleo.


En el 3 er punto del proceso de selección de los elementos debe seleccionarse la Formulación matemática mas adecuada para el problema a resolver, es decir la Formulación basada en los desplazamientos, o algunas de las otras Formulaciones mixtas existentes, más exactas en sus cálculos. Con la primera, la exactitud de los resultados es peor y para mejorarla hay que realizar mallados mas finos. Con las Formulaciones mixtas se obtienen mejores exactitudes al poder sustentar teorías de cálculo mas precisas. Hay elementos BEAM y SHELL de Formulaciones mixtas, que al ser además isoparametricos de altos órdenes, sobre todo de funciones cuadráticas tienen magnifica exactitud en los resultados con el uso de muy pocos elementos. En este 3 er punto del proceso de selección hay que decidir además si trabajar con elementos del tipo isoparamétricos, pero esto es resuelto frecuentemente por el propio programa, pues muchos de los elementos que ofertan son isoparamétricos. De hecho los programas ofertan elementos isoparamétricos sustentados por distintas Formulaciones matemáticas, lo cual incide en la disminución de la densidad del mallado necesaria del modelo, otras de las ventajas de estos elementos. Como se ha apuntado, las Formulaciones mixtas permiten sustentar teorías de cálculo más amplias y precisas. Esto y el mayor ajuste a las formas deformadas que alcanzan, permiten en efecto, la disminución de la densidad de mallado necesaria en el modelo. Así por ejemplo, los elementos con formulaciones basadas en desplazamientos SHELL 63 para superficies, así como el PLANE 42 y el SOLID 45, a pesar de tener “shape functions” parabólicas en sus formulaciones isoparametricas, deberán ser usados siempre con muchos y pequeños elementos, para obtener la precisión adecuada en los cálculos. Se trata de que todos estos elementos requieren de mallados finos. Sin embargo, con el uso de otras formulaciones matemáticas puede disminuirse la densidad. Elementos isoparametricos de altos órdenes (cúbicos) y con formulación mixta desplazamiento / deformación transversal son:

• BEAM 3, BEAM 4, BEAM 44, BEAM 54, BEAM 23 E isoparametricos de altos órdenes y con la formulación desplazamiento transversal / deformación transversal:

• SHELL 43, SHELL 143, SHELL 91, SHELL 93, SHELL 99, SHELL 181 Funciones parabólicas. Funciones cuadráticas. Con ellos pueden bastar pocos o incluso un único elemento (los de funciones cuadráticas), para modelar la rigidez de cada viga o placa, respectivamente; es decir, cuando se trata del cálculo de los desplazamientos. Sin embargo, para el calculo de los esfuerzos siempre se requerirán densidades de mallados mas finas que para los desplazamientos, con vistas a obtener resultados adecuados en cuanto a la precisión de los esfuerzos. Por lo que de todas formas aun con las formulaciones mixtas e isoparametricas de altos ordenes, también es recomendable evitar el empleo de densidades de mallado muy gruesas (muy pocos elementos), aunque pueden usarse densidades más gruesas que con el elemento SHELL 63, por ejemplo. Es decir que con el empleo de elementos isoparametricos y formulaciones mixtas se puede definitivamente usar mallados más gruesos. Esto puede resultar importante para simplificar los procesos posteriores de Solución y Post procesamiento de los resultados, en modelos muy complejos. El elemento BEAM 24 es una excepción, pues a pesar de ser de formulación mixta e isoparametrico con “shape functions” no lineales, deberá ser usado siempre con muchos y pequeños elementos, en la modelación de vigas de paredes delgadas, que es su campo de utilización. Por otro lado, los elementos BEAM 188 y 189 a pesar de ser de formulación basada en los desplazamientos, permiten la disminución de la densidad del mallado a un mínimo (un solo elemento en el caso del 189),


incluso para los esfuerzos. Los elementos PLANE 82, SOLID 92 y SOLID 95, con un nodo intermedio en sus lados o caras y largas funciones de forma cuadráticas, se sustentan sin embargo en la Formulación basada en los desplazamientos. La selección de la forma del elemento (4 o paso del proceso de selección), es otro aspecto importante no sólo por su incidencia en la precisión de los cálculos a realizar, sino también por las necesidades del proceso de mallado, en donde la forma del elemento juega un papel fundamental. Ya se ha explicado como cada una de las formas de los elementos tiene una configuración y proporciones ideales, para alcanzar el máximo de precisión en los cálculos (véase la Fig. 29, para los elementos planos), dadas porque son las tenidas en cuenta al definir las Formulaciones y procedimientos de cálculo que los sustentan.

a) b)

Elementosdeformados.

Elementodistorsionado

Fig. 33.- a) Mallado con elementos rectangulares. b) Con elementos triangulares.

En este sentido, hay que tener presente que al mallar ciertas configuraciones geométricas complejas, se obliga al elemento seleccionado a distorsionarse para poderse ajustar a esas configuraciones. Y hay formas de elementos que se ajustan a ellas más fácilmente, con menores distorsiones que otras. En la Fig. 33 se ve un ejemplo de cómo la forma triangular es más “noble” para adaptarse a geometrías complejas, que la rectangular. De igual forma sucede con el elemento tetraédrico, en comparación con el hexaedro o brick. Los programas profesionales no mallan geometrías complejas, si no es con los elementos más versátiles: triángulos o tetraedros. Aunque admiten el uso de los otros tipos, cuando la complejidad de la geometría no afecta sus distorsiones iniciales, más allá de las admisibles propias de cada tipo de elemento.

aL definición del elemento con el que se va a trabajar en el modelo consiste en definirlo y activarlo en el programa, y es un proceso que incluye invariablemente 3 pasos fundamentales.

1. Element type. Se escoge el elemento deseado, dentro de los que oferta el programa. Cada

elemento tiene su propia formulación base y la teoría que lo sustenta. 2. Real Constant. Se definen las propiedades geométricas del elemento. Se trata de: los

momentos de inercia, módulos de resistencia, dimensiones de la sección transversal, etc., en el caso de vigas. O los espesores en elementos SHELL, por ejemplo.


3. Material Properties. Se dan las propiedades mecánicas del material, necesarias para la realización de los cálculos.

Los comandos para la definición del elemento, son los siguientes. 1. PreProcessor>Element type>Add> Despliega todos los elementos disponibles para los distintos tipos de análisis posibles de realizar. Structural

Mass Link Beam Tube Solid Shell

Hyperelastic Visco elastic

Contact --

Otros. A su vez al seleccionar uno de los grupos, se despliegan todos los elementos de ese tipo que posee. Por ejemplo, en LINK despliega para ser definidos, los siguientes elementos. LINK: 2D Spar 1 -- elemento barra en el plano. 3D spar 8 -- elemento barra en el espacio.

Bilinear 10 Actuator 11

En donde se define definitivamente el elemento deseado. 2. PreProcessor > Real Constant > Add > Se despliega una pantalla, en donde se escriben las dimensiones y características geométricas necesarias para continuar con la definición del elemento. Se trata de los espesores de los elementos SHELL, o las características geométricas de las secciones transversales de los BEAM y LINK.

3 PreProcessor > Material Properties > Isotropic > Material No. 1 >

Despliega una pantalla para que el usuario escriba las propiedades del material, necesarias para la completa definición del elemento. Por ejemplo para material isotrópico y lineal-elástico, y en análisis Estáticos, basta dar sólo el módulo de elasticidad E y el coeficiente de Poisson, ν. La 3a propiedad que el programa requiere para esos cálculos, el módulo de Distorsión G, lo calcula automáticamente a partir de las anteriores, mediante,

G = E / [2 (1 + ν) ]


Pueden darse otras muchas propiedades y características del material, tales como la densidad ρ, el coeficiente de dilatación térmica α, y otras muchas, en dependencia del tipo de problema y análisis que se desee realizar. De este modo quedan completamente definidos los elementos finitos en el programa, quedando todo listo para el mallado de la pieza o sistema a analizar.

Unidades de medidas.

na atención especial merecen las unidades de medidas con las que trabajar en los programas. En principio ellos admiten sus modelaciones y soluciones en cualquier sistema de unidades. Puede

decirse incluso que a los programas “no les interesan” las unidades. Es el usuario, por tanto el que tiene que tenerlas presente, y usar en todo momento un sistema de unidades consistente. Así, si emplea el kilogramo fuerza Kgf como unidad de fuerza, tendrá que emplear la unidad técnica de masa, UTM como unidad de masa. Y si modeló todo el sistema en cm, tenerlo presente en toda otro parámetro en que las unidades de longitud estén involucradas.

U

Las unidades quedan definidas por el usuario al dibujar la pieza así como al dar el módulo de elasticidad E y la densidad ρ, en los comandos de “Material Properties”; también al dar la gravedad g, cuando trabaja con el peso propio o en análisis dinámicos. Por lo general es muy común trabajar en cm como unidad de longitud, pero por supuesto no es obligatorio. Las unidades de medidas más empleadas en los programas por los usuarios, se dan a continuación. Todo parte de recordar que con el kgf se corresponde la unidad técnica de masa (el UTM), como unidad de masa; y con el N el kgm. Además de las relaciones: Sistema absoluto: 1 kg-f = 1 UTM * 9.8 m / s2 Sistema gravitacional: 1 N = 1 kg-m * 1 m / s2 Las relaciones entre ambos sistemas son: 9.8 N = 1 kgf , 1 kgm = 9.8 UTM Son conocidas, además, las relaciones: 1 kgf = 1 kgm * 9.8 m / s2 , 1 kgm = 1 kgf 9.8

Aunque no deben ligarse de esa forma las unidades de masa y fuerza, pues no son compatibles.

1. Para modelados de las piezas en cm, es decir al usar las longitudes del modelo en cm: E – en [Kgf / cm2], ρ - densidad, en [UTM / cm3], g = 9.8 [m / s2] - aceleración de la gravedad. Fuerza - en [Kgf]. En este caso, por ejemplo para el acero: E = 2*106 [Kgf / cm2], ρ = 7.85∗10−4 [UTM / cm3] Dentro de este caso en que se usa el cm, no pueden emplearse las siguientes unidades: ¡ No E - en [MPa], ρ - en [Kgm / cm3], Fuerza – en [N]. usarse ¡ Pues no son unidades compatibles.


Error en el que incurren algunos usuarios de forma más frecuente que lo pensado.

2. Si se desea emplear el [ MPa ] como unidad (en el módulo E y en los esfuerzos, por ejemplo), una variante es emplear el m como unidad de longitud, de modo que,

E - en [MPa], ρ - en [Kgm * / m3], g = 9.8 [m / s2], Fuerza – en [MN] Para el acero: E = 2 * 105 [MPa], ρ = 7.85 ∗ 10 3 [kgm / m3]

3. También pueden emplearse las longitudes en mm junto con el empleo del [ MPa ] :

E - en [N / mm2 = MPa], ρ - en [Kgm / mm3], g = 9.8 [m / s2], Fuerza – en [N]. Para el acero: E = 2 * 105 [N / mm2], ρ = 7.85 * 10-6 [kgm / mm3]. Estos son las unidades más cómodas y empleadas, al menos en los análisis de tipo Estáticos, aunque por supuesto no tienen que ser usadas obligatoriamente. En el caso de Análisis Dinámicos (“Trasient”, “Modal”, “Spectrum”, etc), al estar involucradas en sus cálculos las frecuencias naturales ω del sistema, es recomendable emplear invariablemente la unidad del metro m, en todas las longitudes, junto con: Sist. Absoluto: E – en [Pa], ρ - en [Kgm / m3], g = 9.8 [m /s2], Fuerza – en [N]. Así para el acero: E = 2*1011 [Pa], ρ = 7.85*10 3 [Kgm / m3]. Sist. Gravitacional: E – en [Kgf / m2], ρ - en [UTM / m3], g = 9.8 [m / s2] , Fuerza - en [Kgf]. Para el acero: E = 2*10 10 [Kgf / m2] , ρ = 7.85∗10 2 [UTM / m3] Con lo que se garantiza un sistema consistente de unidades en estos tipos de análisis.

uando se realizan Problemas de fluidos, hay que trabajar con las viscosidades del mismo. Generalmente los programas trabajan con la viscosidad dinámica μ, la que está relacionada con la viscosidad cinemática ν, según,

C

μ = ν ∗ ρ

Como es conocido, la unidad de μ en el sistema absoluto es [ N – s / m2 ], que recibe el nombre de Poiseville [ P ]. Las unidades correspondientes de ν son: [ m2 / s ]. En el sistema gravitacional las unidades son las siguientes:

μ - 1 kg – s / m 2 llamado poise [ p ] , ν - 1 cm 2 / s llamado Stokes [ St ] . Las relaciones entre uno y otro sistema son, μ: 1 N – s / m2 (Poiseville) = 10 [ p ], ν: 1 m2 / s = 10 4 [ St ] 1 p = 1 gr / cm – s ,


En los programas de elementos finitos será recomendable trabajar con las siguientes unidades.

1. Si se trabaja con unidades lineales en m,

Sist. Absoluto: μ - en [N – s / m2 ] , ν - en [m2 / s] , ρ - en [kgm / m3 ], fuerza - [ N ] Sist. gravitacional: μ - en [ p ] , ν - en [ m 2 / s ] , ρ - en [ UTM / m3 ], fuerza - [ kg-f ]

2. Si se desea trabajar las unidades de longitud en cm,

μ - en [N – s / cm2 ] , ν - en [ St ] , ρ - en [kgm / cm3 ], fuerza - [ N ]

n los Problemas térmicos los programas en la mayoría de los análisis emplean temperaturas con unidades de grados, pudiendo el usuario emplear la unidad deseada, tal como [ o C ], [ o F ] u otra. Algunas de las unidades térmicas generalmente necesarias y en las que puede trabajar el usuario son:

E

K – coeficiente de conductividad térmica [ calorías / (m2 – s – o C ) ] C - calor específico [ calorías / ( kgm – s – o C ) ]. Q - flujo de calor [ calorías / s ] h – coeficiente fílmico de convección [ calorías / (m2 – o C – s ) ] De este modo quedan completamente definidos y activados los elementos finitos en el modelo.

Elementos barras (TRUSS o LINK).

os elementos LINK o TRUSS según sea el programa empleado, son elementos lineales destinados a simular barras, es decir elementos estructurales con una dimensión (el largo o

longitud), muy larga en relación con las otras 2 (las de la sección transversal). Además se caracterizan por carecer de rigidez a Flexión, teniendo sólo rigidez Normal (o sea de tracción-compresión). Por ello sólo admiten Fuerzas en sentido axial a la barra. Pueden ser de 2D o de 3D.

L

El más general es el LINK 8, elemento isoparamétrico 3D con los 3 DOF de traslación por nodo, U, V, W (Fig. 34 a). Puede estar ubicado en cualquier posición del espacio, definida por el sistema de ejes coordenados Globales, XYZ. Requiere de 2 nodos para su definición, el I y el J, y en esa dirección y sentido queda definido el sistema de ejes coordenados del elemento, bastando una sola coordenada del mismo: la “x”. Tiene por fundamento matemático la Formulación basada en los desplazamientos, con polinomios de aproximación de los desplazamientos lineales.


Y

ZX

x , u

I

J

X,Y,Z - Sist Coord.Global

x, y, z - Sist. Coord. del elemento.

σ x

a) b)

u, v, w - desplazamientos.

y , v

z , w

Fig. 34.- Elemento isoparamétrico LINK 8. a) Configuración general. b) Estado tensional.

El único parámetro geométrico que requiere para quedar definido es su área transversal, la que se da a través del “Real Constant”. Admite, además del material lineal – elástico, las distintas plasticidades y el creep, junto a los grandes desplazamientos, como No – linealidades geométricas.

Elementos vigas (BEAM).

o

s elementos que simulan vigas son elementos lineales también y se diferencian de los tipo TRUSS o LINK, en que poseen capacidad de rigidez a Flexión. Uno de ellos es el BEAM 3, de capacidad 2D (en el plano), con 3 DOF por nodo: u, v y RZ. Requieren de sólo 2 nodos para definir sus extremos (el I y el J), los cuales son generados por el programa al crear el elemento (Fig. 35 a). Posee rigidez a tracción, por lo que además de trabajar como viga lo hace como barra, siendo por tanto su matriz de rigidez como ( 13’).

L

Las propiedades geométricas mínimas que requiere son: momento de inercia respecto al eje “z” del elemento, y el área y altura de la sección transversal. Admite la constante de rigidez tangencial SHEARZ, con la que realiza los cálculos teniendo en cuenta esa rigidez. El elemento BEAM 3 emplea la formulación de interpolación mixta desplazamientos / deformaciones transversales, por lo que cumplen con las hipótesis que se emplean en vigas gruesas (teoría de Timoshenko), que consideran las deformaciones y energías transversales de la viga. Es entonces adecuado para simular vigas cortas aunque también de cualquier longitud. En los programas modernos casi todos los elementos BEAM tienen esta formulación y son además isoparamétricos, con funciones de aproximación h i cúbicas, por el uso de los polinomios Hermitianos. Con todo esto evitan la necesidad de mallados muy finos. Otros elementos semejantes en cuanto a sus polinomios son: BEAM 4, 44, 54, 23, 24. El BEAM 3 solo soporta material lineal – elástico, así como análisis con grandes desplazamientos. Los elementos BEAM 188 y 189 de nueva generación, aunque son de formulación basada en los desplazamientos, tienen varias ventajas frente a los anteriores, entre ellas la disminución de la densidad del mallado necesaria a un mínimo. Permiten además, el calculo del alabeo de las secciones y las distintas formas de plasticidades del material, así como el creep, las grandes deformaciones y desplazamientos, como No linealidades.


I

Jy,

vx, u

X

Y

altura

X,Y - Sist Coord Global.x,y - Sist. coord. del

elementou, v, Rz - Desplazamientos.

Rz

a)

στ

x

z xσz

x

y

z

b)

Fig . 35 . -Elemento isoparamétrico BEAM 3. a) Configuración general. b) Estado tensional de puntos del elemento.

Elementos sólidos planos

os elementos sólidos planos ( SOLID 2D o PLANE ), como ya se ha explicado son aquellos que

están definidos en un plano, que generalmente tiene que ser el plano X,Y del sistema coordenado Global. Pueden poseer por nodo, 2 DOF (de traslación, U y V, que es lo común) ó 3 DOF (u, v de traslación y RZ de rotación).

L

El PLANE 42 por ejemplo, es un elemento sólido plano isoparamétrico propio para simular piezas planas y también volúmenes, con estados tensional o deformacional planos (etp o edp respectivamente). Es de 4 nodos por lo que es un cuadrilátero, pero el programa puede convertirlo en triángulo (Fig. 35), uniendo los nodos K y L. Los triángulos se adaptan mejor a las geometrías complejas y de cambios bruscos. Posee formulación basada en los desplazamientos, con polinomios de aproximación lineales o parabólicos (la “forma extra”), dejando esta selección al usuario según lo desee. Por ser un elemento plano, sólo admite cargas en el plano, que tienen que ser también en el sistema X,Y Global. Es de 2 DOF traslacionales por nodo, lo que implica que sólo admite fuerzas como cargas externas ( FX y FY ). Admite comportamientos del material de tipo elásticos y plásticos. Los elementos sólidos planos admiten en su definición trabajar con una de las siguientes opciones:


Plane stress Axisymetric Plane strain

Plane stress with thickness. Con la opción de “plane strain” (es decir “edp”), es que pueden modelarse figuras que realmente son volumétricas, pero que se modelan en el plano, con espesor unitario y se asume que todo lo que le sucede a esa “placa” simulada, le ocurre también a las demás “placas” que se presupone componen la pieza en el espacio. Esto simplifica mucho los modelos volumétricos, ahorrando tiempo de máquina y trabajo. Esta opción es adecuada para piezas de espesores gruesos, que es cuando el estado tensional que surge, es el deformacional plano o “plane strain”. Debe tenerse en cuenta que las cargas que se apliquen a la “placa” unitaria dibujada, sea la que corresponde con ella, es decir con un espesor unitario. La opción “plane stress” (estado tensional plano o “etp”), simula mejor las piezas de espesores pequeños, por lo que es aconsejable trabajar con esta opción en esos casos. Los esfuerzos que consideran los elementos sólidos planos dependerán de si trabaja con una u otra opción. Con “etp” el elemento trabaja con: σx, σy, τxy. Mientras que con “edp”: σx ,τxy y σz (Fig. 36 c y d, respectivamente). A través del “Real Constant” se fija el espesor del elemento, que puede ser diferente para cada nodo. El PLANE 42 admite además de material lineal – elástico, las plasticidades y el creep, junto a las grandes deformaciones y desplazamientos, como No – linealidades geométricas.

I J

KL

x, u

y, v

X

Y

(o axial)

(o radial)

I J

K, L

X,Y Sistema coord. Global.x,y Sistema coord. del elemnto.u, v - Desplazamientos.

a) b)

σ

σ

τ

x

xy

σ

τ

x

xy

z

d)c)

Fig. 36.- Elemento isoparamétrico PLANE 42. a) Configuración general. b) Configuración

triangular. c) Estado tensional plano (etp). d) Estado deformacional plano (edp).


Elementos sólidos volumétricos.

os elementos sólidos volumétricos son los que tienen formas más diversas, pudiendo ser hexaedros (o brick), pentaedro o tetraedro. Son siempre de 3 dimensiones o sea 3D, y

pueden tener 3 DOF de traslación por nodo (que es lo más común), o los 6 DOF del espacio. En correspondencia tendrán capacidad de poseer sólo las 3 fuerzas FX, FY y FZ (internas y externas), o las 3 fuerzas y los 3 momentos que pueden existir en el espacio. En todo caso, siempre tendrán las 6 componentes de esfuerzos y deformaciones del estado tensional y deformacional volumétrico (σx, σy, σz, τxy, τxz, τzy).

L

Y

Z

X

x, u

y, v

J

I

K

O

L

MN

P O,P

K,LI

J

M

N

I

J

K, L

M,N,O,P

Opción Pentahedro.

Opción Tetrahedro.

X,Y,Z - Sist. coord. Global.x,y,z - Sist. coord. del elemento.

z, w

u, v, w - Desplazamientos.

a) b)

τ

σσ

xy

τxz

yx

c) σz

τyz

Fig. 37.- Elemento isoparamétrico SOLID 45. a) Configuración general. b) Otras configuraciones posibles. c) Estado tensional en puntos del elemento.

No requieren de ningún parámetro a ser definido por “Real Constant” y en el proceso de ser mallado un volumen, pueden adaptar su forma inicial, llevándola a pentaedro o tetraedro, según lo requiera el mallado de la pieza. Para ello une varios nodos en una misma posición. En la Fig. 37 se muestra uno de estos elementos, el isoparamétricos SOLID 45, que posee su formulación isoparamétrica aunque basada en los desplazamientos, pudiendo el analista seleccionar el grado de sus funciones de forma, como lineales o parabólicos , esta ultima a través de la opción “extra shape function”. Esta opción aplica además un método conocido como Selective Reduced Integration Method (también conocido como Mean Dilation Method, o B–Bar Method), que previene el fenómeno de la fijación volumétrica que tiende a ocurrir en los casos de materiales incompresibles.


Este método reemplaza las deformaciones volumétricas en los puntos de integración Gauss, por la deformación volumétrica promedio de los elementos. Esta incorporado a todos los elementos SOLID de tipo volumétricos. El SOLID 45 admite además de material lineal – elástico, los distintos tipos de plasticidades y el creep, así como las grandes deformaciones y desplazamientos. como No – linealidades geométricas. Como ya se apuntara, la mayoría de los elementos SOLID 3D y SOLID 2D (o PLANE), se sustentan en la teoría de la Elasticidad, o en algunas de las teorías de cálculo de la Mecánica del sólido deformable (plasticidades, viscoelasticidad, viscoplasticidad, etc.). Y mayoritariamente siguen empleando la formulación basada en los desplazamientos.

Elementos láminas (SHELL).

os elementos tipos láminas o SHELL están destinados para superficies abovedadas o curvadas en general e incluso planas, pero nunca alabeadas y son modernamente

espaciales, o sea 3D. Como se ve, pueden emplearse también como elementos con configuración plana, a pesar de lo cual siguen siendo de 3D. Esto significa que continúan teniendo hasta 6 DOFs por nodo. Son elementos isoparametricos lineales, pero también con la “forma extra” parabólica, por lo que alcanzan adecuados ajustes a sus formas deformadas.

L

La primera distinción que hay que tener en cuenta en estos elementos es la tipo de lámina de que se trata, la que definirá su campo de empleo. En este sentido pueden emplear los siguientes tipos de láminas: Tipos de Bóvedas (membranas) SHELL 41 laminas Placas (a flexion o Bending) SHELL 63, SHELL 43, . Panel a cortante SHELL 28 SHELL 93, SHELL 181 Se observa que mientras el elemento SHELL 41 admite trabajar sólo como bóveda y el SHELL 28 como panel, existen elementos que permiten trabajar con varias de estas opciones a la vez. Así el elemento SHELL 63 admite tanto el trabajo de bóveda como de placa; mientras que los SHELL 43, 93 y 181 admiten trabajar con los 3 tipos de láminas (bóveda, placa y panel). La selección de trabajar como bóveda o como placa en el elemento SHELL 63 se hace al definir el elemento, a través del comando “Element Type” en donde se escoge entre una de las siguientes Opciones,

Bending and Membrane stiffness (trabajo como placa y bóveda) SHELL 63 Bending stiffness only (trabajo como placa sola) Membrane stiffness only. (trabajo como bóveda sola)


Aquí Bending significa capacidad de placa, mientras Membrane capacidad de bóveda. Los elementos SHELL 43, 93 y 181 trabajan siempre con los 3 tipos de láminas: bóveda, placa y panel. Comúnmente los elementos SHELL son de 6 DOF por nodo, aunque en elementos que sólo soportan capacidad de bóveda lo más común es que posean los 3 DOF traslacionales solamente. En la actualidad es mas frecuente que todos estos elementos sean de formulación isoparamétrica, más comúnmente de 4 u 8 nodos, si son cuadriláteros, o de 3 ó 6 nodos en los triangulares. La selección de trabajar con cuadriláteros o con triángulos la hace al usuario a la hora de mallar a través de, Main Menu > Preprocesor > Meshing – Mesher Options > Donde realiza la selección deseada. Existen 2 teorías de calculo para las placas, la de Kirchhoff y la de Reissner – Mindling. Ambas consideran que la normal a la lamina permanece recta después de deformada esta. Pero mientras la teoría de Kirchhoff asume que esa recta se mantiene normal en todo momento, la de Reissner – Mindling no. Esto implica que las deformaciones tangenciales se desprecian en la teoría de Kirchhoff, siendo valida entonces solo para placas de paredes delgadas. En correspondencia los estados tensionales de puntos de la lámina son como el mostrado en la Fig. 35 c), con esfuerzos tangenciales solo en el plano de la placa. Esta teoría es valida para placas de paredes delgadas, mientras que la de Reissner – Mindling es para paredes gruesas. Para el calculo de membranas (o sea, bóvedas) de paredes delgadas, también se considera que la recta normal a la bóveda antes de ser cargada, permanece como tal luego de deformada. Se desprecian las tensiones normales en la dirección del espesor. Esta es la base de la teoría de Laplace. Para las bóvedas gruesas existe la teoría de Vlasov, que considera que la normal a la superficie cambia su longitud al ser cargada aquella, junto con considerar los esfuerzos normales en la dirección del espesor. El elemento SHELL 63 por ejemplo (Fig. 38 a), tiene 4 nodos, teniendo en cada uno los 6 DOFs. El espesor de cada nodo puede ser distinto, lo que se define a través del comando “Real Constant”. Tanto en su opción de placa (“Bending”) como de bóveda (“Membrane”), sólo asume las hipótesis de Kirchhoff, propias para paredes finas, pues trabaja con la formulación basada en los desplazamientos. Esto implica, entre otras cosas, que en el estado tensional de un punto de la placa se consideren esfuerzos tangenciales solo en el propio plano de la placa (Fig. 38 c ), Lo que constituye un esquema simplificado del comportamiento real de una placa, valido para los casos de paredes finas. El SHELL 63 es isoparamétrico por lo que puede trabajar con funciones de interpolación h i de tipo lineal o parabólicas, según escoja el usuario, permitiéndole la opción parabólica (la forma extra), disminuir el número de elementos necesarios en el modelo. El elemento SHELL 63 solo puede trabajar con material lineal – elástico y admite grandes desplazamientos, como No – linealidad Geométrica. Menos elementos aún requerirán otros elementos, como los SHELL 43 y 143, al ser isoparámetricos lineales con “formas extra”, o los isoparametricos cuadráticos SHELL 91, 93, 99 y 181, siendo todos con formulación mixta. Es decir, que la selección del elemento determina en gran medida la densidad del mallado necesaria en el modelo, para lograr una adecuada precisión de los cálculos.


Por otro lado, los elementos SHELL que emplean la formulación de interpolación mixta desplazamiento transversal / deformación transversal, trabajan con la teoría de Reissner - Mindlin, propia para placas de espesores gruesos; y con la teoría de Vlasov, en el caso de bóvedas de paredes gruesas. Tal es el caso de los elementos SHELL 43, 143, 91, 93, 99 y 181. Al considerar la teoría de placas de Reissner - Mindlin, tienen en cuenta todos los reales esfuerzos existentes en una placa, como se ve en el estado tensional de un punto de la misma, mostrado en la Fig. 38 d ). Por ello son validos para modelar laminas que llegan a tener espesores gruesos. Admiten además distintos tipos de materiales no – lineales, por todo lo cual es un grupo de elementos de usos mucho más generales y precisos que el SHELL 63. Los elementos SHELL 43, 143 y 181 son modificados para evitar la fijación tangencial, en correspondencia con la formulación Bathe – Dvorkin, siendo los elementos conocidos como SHELL MITC (Mixed Interpolation of Tensional Component). En el ANEXO 1 se da un resumen de los distintos tipos de elementos finitos con que cuentan comúnmente los programas profesionales modernos de Elementos Finitos. Véase también la Tabla 2 para sus distintas clasificaciones.

I

J

K, L

Opción triangularJ

KL

Ix, u

y, vz, w

Y

Z

XX,Y,Z - sist. coord Global.

x,y,z - Sist. coord del elemento.x,y - en el plano del

elemento

Rz

Rx

Ry

u, v, w - Traslaciones.Rx, Ry, Rz - Rotaciones.

a) b)

τ

σσ

xy

yx

c)

τ

σσ

τ

xy

τxz

yx

c)

yz

σ zd )

Fig. 38.- Elementos isoparamétricos SHELL. a) Configuración general del SHELL 63. Formulación basada en los desplazamientos. b) Configuración triangular.

c) Estado tensional en puntos del elemento SHELL 63. d ) Estado tensional del elemento SHELL 43, con Formulación mixta.


Elementos de los programas profesionales. continuación un resumen de algunos de los más importantes elementos finitos de los programas ANSYS y sus características de trabajo.

A Elementos BEAM . - BEAM 3 * Teoria de Timoshenko. 2 D BEAM 23 * Grandes desplazamientos. BEAM 54 * Isoparametricos con funciones de formas cúbicas. * Formulacion mixta. BEAM 4 3 D BEAM 44 * 2 nodos. * Isoparamétrico con funciones parabólicas. BEAM 24 * Teoria de Vlasov.

xy BEAM 2D

BEAM 3D

Elementos PLANE, SOLID y SHELL. Formulación con base en los desplazamientos. -

* Teoría de placas de Kirchhoff.

SHELL 41 3 D * Material lineal – elástico (Teoría de Elasticidad). SHELL 63 * Grandes desplazamientos. * Isoparametricos lineales con “forma extra”. * Formulación de desplazamientos. * Formulación de desplazamientos PLANE 42 2 D * Teoría de Elasticidad y de Plasticidad. SOLID 45 3 D * Grandes desplazamientos y deformaciones * Isoparametricos lineales con “forma extra”.

x

y y

xx

y

zx

z

y


Elementos cuadráticos SOLID. -

* Nodos intermedios. SOLID 92 * Isoparametricos cuadráticos. * Teorías de Elasticidad y Plasticidad. SOLID 95 * Formulación de desplazamientos.

Elementos SHELL con formulaciones mixtas. - SHELL 91 * Isoparamétricos cuadráticos. * Grandes desplazamientos SHELL 93 * Formulaciones Mixtas. SHELL 99 * Nodos intermedios * Teoria de Reissner - Mindlin. SHELL 43 * 4 nodos. * Teoría de Elasticidad y Plasticidad. SHELL 143 * Isoparametricos lineales con * 3 D SHELL 181 “formas extras”. * 6 DOFs por nodo.

x

y

z x

y

z

PLANE 82 * Grandes desplazamientos y deformaciones.


Capítulo 6.

Creación y Generación de Entidades para el Dibujo.

Concepto de Entidad, tipos y jerarquías. Comandos para la Creación de Entidades. Generación de entidades y figuras. La extrusión, el “sweep”, el “drag”. Repeticiones y movimientos de las entidades y figuras. Operaciones Booleanas: suma, resta, división, overlap, partition, pegado, classify. Dibujar para después Mallar.

Concepto de Entidad, tipos y jerarquías.

l primer paso en la creación de un modelo de EF es la modelación grafica, o sea el dibujo de la pieza, estructura o proceso que se desea simular. Para ello existe un

grupo de comandos con los cuales pueden dibujarse figuras de cierto grado de complejidad. Debe tenerse presente al concebir y realizar el dibujo que luego habrá que mallarlo, por lo que no bastará un dibujo bien hecho desde el punto de vista de la representación gráfica de la pieza o sistema, sino que permita el posterior mallado con elementos finitos de forma adecuada. Por ello estos programas poseen herramientas adicionales especiales para adecuar el dibujo al posterior mallado. O sea que al dibujar para después calcular por el MEF, hay que conocer también las reglas del mallado de las piezas.

E

Es importante definir 2 conceptos fundamentales del dibujo, el de figura y el de entidad. La figura es el dibujo de la pieza o sistema que se desea obtener. Se trata por ejemplo, de un árbol, una viga canal, una estructura formada por varias vigas, etc. Las figuras están conformadas por las entidades, que son los elementos de dibujo básicos para hacer las figuras y son las que el usuario debe ir creando para obtener finalmente la pieza o sistema deseado. Las entidades se clasifican según una jerarquía, existiendo entidades de jerarquías inferiores y superiores. Las entidades básicas son:

• El punto (o Keypoint). Es la primera entidad, o sea la de menor jerarquía. • La línea. • El área. • El volumen. Es la entidad de jerarquía superior. • Los nodos. • Los elementos finitos.

Cada entidad contiene a las entidades inferiores a ella. Así la línea contiene puntos; un área contiene líneas, que a su vez está conformada por puntos; y el volumen está constituido por áreas, líneas y puntos. Por otro lado cada entidad puede considerarse constituida por la entidad inferior repetida varias veces. Por ejemplo, la línea es el conjunto de muchos puntos muy unidos entre sí. Sin embargo, en la práctica de crear entidades por medio de comandos en los

García de la Figal, Javier Capitulo 6 149 Creación y Generación de Entidades para el Dibujo.

programas de EF, basta para crear una línea recta por ejemplo, crear previamente los 2 puntos extremos y a continuación se crea la línea directamente por el programa. Si se desea un área, una de las vías es crear 4 líneas formando un marco cerrado y a partir de él, se crea el área. Aunque existen varias otras vías para crear líneas, áreas y volúmenes. El proceso de dibujo puede dividirse en 2 tipos de acciones básicas: las de creación de entidades y figuras más o menos simples, y las de generación de las mismas. En las del primer grupo se crean las entidades y figuras básicas deseadas, tales como: líneas, áreas, círculos y volúmenes. Con las acciones del 2o tipo se modifican las entidades y figuras inicialmente hechas, es decir se duplican, cambian de posición, se rotan, etc., pudiendo generarse también nuevas figuras mediante la realización de diversas Operaciones con las iniciales. Se verá también otro grupo de acciones, llamadas Operaciones Booleanas, que permiten manipular las entidades para la creación de figuras complejas. Los programas de EF poseen numerosos comandos destinados a formar las entidades y figuras necesarias, con los que el usuario crea y genera las mismas. Los comandos están en el módulo denominado PREPROCESADOR, y en él generalmente se pueden hacer otras varias operaciones más, tales como definir los elementos a emplear, mallar las figuras y otras muchas funciones.

Comandos para la Creación de Entidades.- l pse

E rimer paso será siempre la creación de las entidades y figuras más simples. A continuación verán algunos de los principales comandos para la creación de entidades y figuras.

I Creación de Puntos.- El punto es la entidad más elemental, de menor orden y está presente en todas las demás. Su creación es en principio muy fácil, pues basta definir las coordenadas (generalmente Cartesianas), del mismo, para tenerlo completamente definido. Los programas sin embargo, permiten su creación mediante muy diversas formas, algunas de las cuales son las siguientes. PreProcessor > Create > Keypoints > In Active CS. Crea punto, a partir de las coordenadas cartesianas (x,y,z), que se le suministre. PreProcessor > Create > Keypoints > KP between KP Crea un punto entre otros 2, previamente existentes PreProcessor > Create > Keypoints > On Line. Crea un punto en cualquier posición dentro de una línea, previamente definida. II Creación de Líneas. Para la creación de líneas se requiere generalmente, tener previamente definidos los puntos, entre los cuales se trazará aquélla. La misma no tiene que ser necesariamente recta, sino que es posible crear líneas de diversa curvatura. Para ello se dispone de menús con los cuales crear los tipos deseados. Entre estos menús están los empleados para crear:

- Líneas, se trata de varios diferentes tipos de líneas. - Arcos, es decir líneas circulares, que pueden ser parte de una circunferencia, radios de

acuerdo, etc.


- Splines, o sea curvas que pasan obligatoriamente, por determinados puntos. A continuación se plantean algunos de los principales comandos de estos menús. PreProcessor > Create > Line > Straigt Line. Crea una línea recta, entre 2 puntos PreProcessor > Create > Line > Overlaid on Area. Crea una línea sobre un área previamente definida. PreProcessor > Create > Line > Tangent to line. Línea tangente a otra línea. PreProcessor > Create > Line > Tan to 2 Lines. Línea tangente a otras 2, previamente definidas. PreProcessor > Create > Line > Normal to line. Línea normal a otra línea. PreProcessor > Create > Arc > By 3 KP. Creación de un arco de circunferencia, que pase por 3 puntos, previamente definidos. Permite seleccionar entre un arco de 90 grados, o de mayor longitud, incluida la circunferencia completa. PreProcessor > Create > Arc > By End KP and Radius. Crear un arco, que pase por 2 puntos y un 30 que hará de centro. PreProcessor > Create > Arc > By Center & Radius. Arco de circunferencia, definido por su centro y su radio. PreProcessor > Create > Arc > Full Circle. Circunferencia completa. PreProcessor > Create > Splines > Creación de Splines, es decir de curva que pasa por varios puntos. Permite hasta 6 puntos. PreProcessor > Create > Arc > Line Fillets > Crea radios de acuerdo entre 2 líneas no colineales. Permite dar el radio del arco, deseado. III Creación de Áreas. Es posible crear áreas de las más disímiles formas, tanto contenidas en un plano, como abovedadas e incluso alabeadas en el espacio. El área está constituida por líneas, las que a su vez tienen puntos, pero la mayoría de los comandos para la creación de áreas las generan sin necesidad de la definición previa de las entidades inferiores por parte del usuario, como se infiere de los comandos que se dan a continuación. PreProcessor > Create > Area > Rectangle > By 2 Corners. Creación de área rectangular plana, a partir de definir en ese momento, las coordenadas de 2 de sus puntos, ubicados en una diagonal del rectángulo a crear. PreProcessor > Create > Area > Rectangle > By Dimension. Crea área plana rectangular, a partir de definirle las coordenadas de los puntos correspondientes a 2 esquinas, ubicadas en una diagonal. PreProcessor > Create > Area > Circles > Solid Circle. Estos comandos crean un círculo PreProcessor > Create > Area > Circle > Annulus. completo, y zonas circulares


PreProcessor > Create > Area > Circle > Part. Annulus. o anulares. PreProcessor > Create > Area > Polygon > Triangule. Creación de diferentes tipos de po- > Square. lígonos. > Pentagon. > Hexagon. PreProcessor > Create > Area > Arbitrary > By KPs. Crea áreas planas de configura- > Overlaid on Area. ción arbitraria, por diversas vías. > By Lines. > By Skinning. IV Creación de Volúmenes. Por volúmenes se entienden piezas de 3 dimensiones y además macizas, con los que logran representarse más fielmente a las piezas reales, pues todas son en realidad, piezas volumétricas. Están conformados por las entidades inferiores, pero los comandos permiten generarlos directamente, sin tener definidas necesariamente de forma previa aquéllas entidades. Una vez creados los volúmenes, también quedan creadas las entidades inferiores necesarias para su definición. Algunos de los principales comandos se dan a continuación. Un concepto importante es que aquí espacial no es sinónimo de volumen. Así una figura constituida por volúmenes, siempre estará en el espacio, pero lo contrario no es siempre cierto. Por ejemplo, un árbol hecho con cilindros “llenos”, es decir macizos, es una figura volumétrica y espacial; pero un área cilíndrica es espacial pero no es un volumen, al estar hueca, es decir ser sólo la “cáscara”. Aquí la entidad volumen significa espacial y macizo. PreProcessor > Create > Volume > Block > By 2 Corners & Z. Creación de volumen hexaedro, a partir de definirle 2 puntos pertenecientes a 2 esquinas de la diagonal de una de sus caras, en el plano XY, y la distancia o espesor en Z. PreProcessor > Create > Volume > Block > By Dimensions. Volumen hexaedro, a partir de definirle las coordenadas de 3 de sus esquinas. PreProcessor > Create > Volume > Cylinder > Solid Cylinder. Cilindros sólidos o huecos, > Hollow Cyl. defnidos por distintas vías. > By Dimensions. PreProcessor > Create > Volume > Prism > Creación de prismas: Tetraedros, Pentaedros, Octaedros, etc. PreProcessor > Create > Volume > Sphere > Creación de Esferas, sólidas o huecas. PreProcessor > Create > Volume > Cone Crea Conos, completos o truncados. PreProcessor > Create > Volume > Torus > Creación de volúmenes tóricos.


Generación de entidades y figuras.

La “extrusión”, el “sweep” y el “drag”.

or generación se entiende aquí la creación de nuevas entidades y figuras, a partir de las ya existentes. Se trata de varias herramientas que facilitan mucho en algunas ocasiones, la

creación de nuevas y más complejas figuras a partir de las hechas previamente. Tres son las operaciones fundamentales para generar nuevas entidades: el extrude, el sweep y el drag, las que se aplican sólo a las entidades. Las nuevas entidades y figuras generadas son de una jerarquía superior a las iniciales.

P

El extrude es una operación que permite mover una entidad a lo largo de una recta, generando una nueva entidad de orden superior. Por ejemplo, al “extrudar” un punto se obtiene una línea recta; la “extrusión” de una recta genera un área (Fig. 39 a); y de un área se obtiene un hexaedro. El sweep es una operación semejante, pero en la que se hace girar la entidad inicial alrededor de un eje fijo. Así al hacerle “sweep” a un punto se genera una circunferencia; al hacerle “sweep” a una recta, alrededor de un eje normal a ella, surge un círculo (Fig. 39 b); si el eje es paralelo a la recta, surge un cilindro hueco, es decir con sólo la cubierta o cáscara. De un área rectangular al girarla alrededor de uno de sus lados, se obtiene un cilindro lleno o macizo. El drag, es una operación semejante al extrude, diferenciándose sólo en que la línea que sirve de guía puede ser curva.

Línea inicial, a ser "extrudada".

Línea guía para la extrusión.

Area generada por la extrusión.

a)

Línea que se gira.

Eje de giro.

Area Circular generada.

b)

extrusión sweep

Fig. 39.- Dos tipos de generación de entidades. a) Extrusión de una recta. b) ¨Sweep¨ de una recta.

Algunos de los comandos para ejecutar estas operaciones son los siguientes. PreProcessor > Operate > Extrude / Sweep > Line-Along Line. Genera un área rectangular, al extrudar una recta, a lo largo de otra, previamente definida.


PreProcessor > Operate > Extrude / Sweep > Line-About Axis. Genera un círculo, si el eje de giro es normal a la línea inicial; y un tubo, si el eje, es paralelo a la línea. Operación de “sweep” PreProcessor > Operate > Extrude / Sweep > Area-Along Line. Genera un volumen hexaedro, al extrudar un área a lo largo de una recta predefinida. Si esa línea no es recta sino curva, es una operación de “drag”, generando un volumen prismático. PreProcessor > Operate > Extrude / Sweep > Area-About Axis. Genera un cilindro macizo, al girar el área, alrededor de uno de sus lados. Si el eje de giro está separado del área, se obtiene un cilindro hueco. Repeticiones y movimientos de las entidades y figuras.

demás de las operaciones anteriores que sólo se aplican a entidades, existen otras que se aplican también a figuras completas. Entre estas nuevas posibilidades se encuentran las que

mueven entidades y figuras (Move) y las que las copian (Copy). El Move son operaciones que mueven una entidad o figura (o un conjunto de ellas), de una posición a otra, ubicándolas así en un nuevo lugar en el espacio. En realidad no generan nuevas entidades. El Copy genera nuevas entidades y figuras a partir de las existentes, ubicándolas además en nuevas ubicaciones, pero manteniendo a las que sirven de partida sin alteraciones en su posición inicial. Además permite repetirlas tantas veces como se desee. Estas son las principales diferencias con el Move, ya que éste borra las entidades iniciales. Comandos para generar entidades y figuras por estas vías se brindan a continuación.

A

PreProcessor > Move/Modify > Set of KPs. Mueven la entidad, a la nueva posi- > Lines. ción, según las coordenadas > Area. suministradas, para el movimiento deseado. > Volumen. PreProcessor > Copy > KPs. Crea nuevas entidades iguales a las iniciales, > Lines. en nuevas posiciones, según las coordenadas > Area. dadas para la ubicación de ellas. Pueden sacar- > Volumen se tantas copias como se desee.

Operaciones Booleanas.

tro grupo de manipulaciones que pueden hacerse con las entidades (y sólo con ellas), para la creación de figuras mas complejas, están relacionadas con operaciones a partir de las

entidades ya creadas, tales como dividirlas en entidades del mismo tipo, pero más numerosas y

O


pequeñas; sumar varias para agruparlas en una sola entidad, y otras muchas operaciones de este tipo. Son las conocidas Operaciones Booleanas con Entidades, y básicamente son las siguientes.

• Add. • Substract • Divide. Operaciones Booleanas necesarias y propias • Glue de los Programas profesionales de elementos finitos. • Overlap. • Partition. • Intersect. • Classify.

La operación Booleana de sumar o Add no es más que la suma de varias entidades para sustituirlas por una única de igual jerarquía a las iniciales. Puede representarse como: A1 + A2 => A3, Fig. 40. La nueva entidad resultante incluye a todas las componentes iniciales. Una condición importante es que las entidades a sumar, tienen que tener algún tipo de contacto entre ellas; y si son áreas tienen que estar en el mismo plano, o sea ser coplanares y no estar alabeadas. Si son líneas deben pertenecer a la misma área y ser preferiblemente tangentes, aunque esto último no es imprescindible. Las líneas a sumar no tienen que ser coplanares, sumándose de 2 en 2. En todo caso las entidades a sumar tienen que ser de la misma jerarquía, es decir solo se puede sumar áreas con áreas, volúmenes con volúmenes, etc. Substract es una operación en la que se resta una entidad a otra (Fig. 41). La operación puede representarse como: E1 - E2 => E3. Para que se pueda efectuar es condición indispensable que la zona de contacto (zona ¨overlap¨) ente las entidades sea de la misma jerarquía que la 1ª entidad involucrada en la operación, E1. Al igual que Add, las líneas deberán ser tangentes y pertenecer a una misma área, y si se aplica a áreas éstas deberán ser coplanares y no alabeadas. Divide es la operación con la cual se dividen entidades en 2 o más entidades nuevas. Puede representarse como: L1 - L2 => L3 y L4. El resultado es dividir a L1 en las nuevas entidades L3 y L4 (Fig. 42 a), haciendo desaparecer a la entidad “divisora”, L2. Para efectuar esta operación es necesario que la zona de contacto común, sea de una jerarquía de un orden menor que la 1a entidad L1 involucrada en la operación.


E1

E2

E3

E1 + E2 => E3

=>

Add

Fig. 40.- Operación Suma (Add).

***

*

L1

L2

**

L3

=>

L1 - L2 => L3

Substract .

*

A1A2 =>

A3

A1 - A2 => A3Area substrae Area .

a )

b )

Fig. 41.- Substract entre entidades de dibujo. a) Substract entre 2 Líneas. b ) Substract entre Áreas.


*

*

*

* * *

*

L2

L1

L3

L4

=>

L1 - L2 => L3 y L4

Línea Divide a línea:

=>A2

A1 A3

A4

A1-A2 => A3 y A4

Area Divide a Area .

a )

b )

Fig. 42 . ‘ Operaciones Divide entre entidades. a ) Operación Divide entre 2 Líneas.

b ) Área Divide a Área.

Las operaciones Overlap son empleadas para dividir 2 ó más entidades, creando 3 ó más nuevas que incluyen a las iniciales. Con esta operación se logra que permanezcan intactas las entidades iniciales, que es la principal diferencia con el Add, como puede verse en la Fig. 43. Crea regiones menos complicadas que este comando, las que en muchas ocasiones pueden después mallarse con más facilidad. Es condición indispensable que la zona de contacto (o “overlap”), sea de la misma jerarquía que las entidades involucradas.

Partition es una operación semejante a la anterior de Overlap, es decir que divide 2 ó más entidades creando 3 ó más nuevas que incluyen a las iniciales. Pero no tiene la necesidad de que la zona “overlap” o superpuesta, tenga que ser de la misma jerarquía que las iniciales involucradas, sino que pueden ser así o de diferentes órdenes. Además mantiene inalterables a otras entidades no involucradas en la operación. Es por tanto una operación semejante pero más general que la anterior Overlap.

El Glue es una operación que “pega” o une a varias entidades. Puede llegar a cambiar a una de ellas y crear nuevas, haciendo además la función adicional del comando Overlap. Su principal empleo es sin embargo, garantizar que las zonas en contacto entre las entidades se unan, sustituyéndolas por una única, allí donde coincidían varias en una misma ubicación. Garantiza


así que haya perfecta continuidad entre las entidades, algo muy importante para el posterior mallado de ellas. Para su aplicación es imprescindible que las jerarquías de las entidades a unir sean del mismo orden, y a su vez que cada una de ellas sea de una jerarquía menor que las entidades a las que se aplica el Glue. Por ejemplo puede unir áreas comunes pertenecientes a varios volúmenes, que son las entidades a las que se aplica el Glue; o unir líneas comunes pertenecientes a áreas diferentes. Otra condición es que las zonas a unir tienen que estar en los extremos de las entidades a las que pertenecen, de modo que a ninguna de las entidades de las Fig. 40, 41, 42, 43 o 44 pueden aplicárseles el Glue. Esta operación es muy poderosa, pues llega incluso a dividir y reorganizar las partes comunes de las entidades cuando sea necesario. Así en las 2 áreas A1 y A2 de la Fig. 45 a), con la aplicación de Glue a las mismas, se divide al área A2 en 2 nuevas áreas A3 y A4, de modo que aquella queda dividida (y de hecho sustituida) por estas 2 nuevas áreas. Creándose la línea e común a las 3 áreas: A1, A3 y A4 (Fig. 45 c), listas para un posterior mallado correcto (Fig. 45 d). Es decir que la operación de Glue efectúa primero la operación de Overlap a las áreas iniciales cuando es necesario, dividiéndolas en 3, y posteriormente une las líneas comunes, en una única línea e.

=>L1

L2L3

L5L4

*

***

*

*

* *

a)

Line overlap Line.

A1

A2

L1 + L2 => L3, L4, L5,

A3

A4

A5A1 + A2 => A3, A4, A5

b)

Area Overlap a Area.

=>

Fig. 43.- Operaciones de Overlap. a) Línea Overlap por otra Línea. b) Área Overlap a otra Área.


A 2

A 1

A 4

A 3

Partition de A1 y A2 => A3, A4, A5, A6

A5

A6

Fig. 44 . - Operación de Partition entre áreas.

Línea f

A1A2

a) b)

A1A4

Línea e.

A3

c) d)

Fig. 45.- Dibujo de áreas para ser posteriormente malladas. a) y b) Con 2 áreas definidas: Incorrecto. c) y d) Con la aplicación del Glue a las 2 áreas:

Correcto. La operación de Classify permite realizar una acción semejante a Divide, con la diferencia que las 2 entidades involucradas inicialmente, son remplazadas por nuevas entidades. Suele estar instrumentada en los programas para ser empleadas solo entre líneas (Fig. 46). Varias de las operaciones Booleanas pueden ser ejecutadas con más de 2 entidades a la vez. Por ejemplo, restar (Substract) varias áreas involucradas, en una única operación, Fig. 47. Para ello se ejecuta la operación a través de los comandos With Options.


L1

L2

L3

L4

L5

L6

a ) b )

Fig. 46 . - Operación Classify entre líneas.

a )

b )

A2

A1

A3

A4

A1 - A2 - A3 = A4

Areas A2 y A3 se restan al araea A 1, simultaneamente .

Fig. 47 . - Substract de varias áreas de forma simultanea, por medio de la operación Substract With Options.


aL mayoría de las Operaciones Booleanas permiten que las entidades superiores a las que pertenecen las que están involucradas en la operación, sean actualizadas automáticamente. Así,

al sumar 2 áreas ( Add ), el volumen al que pertenecen se actualiza de modo tal que se reconforma con las nuevas áreas resultantes. Esto elimina que el usuario tenga que borrar el volumen inicial y reconformarlo con las nuevas áreas obtenidas. Las Operaciones Booleanas constituyen importantes herramientas imprescindibles para la correcta representación del dibujo del sistema a modelar, para conformarlo adecuadamente a los efectos de su posterior mallado con elementos finitos.

Dibujar para después Mallar.

l

proceso de dibujo de la pieza, estructura o proceso hay que realizarlo pensando en representar adecuadamente no sólo a la pieza, sino que ese dibujo tiene como fin el poder ser mallardo posteriormente, es decir discretizardo completamente con elementos finitos. Esto crea una serie de requerimientos adicionales al dibujo, que complican a veces de forma grande, el proceso de dibujar. Es decir, que no es lo mismo dibujar pensando solamente en obtener una representación lo más fiel posible de la pieza o sistema real a simular, que hacerlo para que además pueda ser convertida adecuadamente en un modelo de elementos finitos. Esto es un reflejo de la diferencia que hay entre dibujar una pieza y modelarla por EF.

E

Quizás el primer aspecto que haya que tener en cuenta sea que no todos los detalles de la pieza merecen ser tenidos en cuenta con la misma importancia. Esto dependerá de cuáles son los intereses del usuario en el análisis a realizar. Si se está modelando por ejemplo una estructura grande y es de interés conocer los desplazamientos máximos, no es importante dibujar con todos los detalles reales las zonas de aplicación de las cargas, donde muy posiblemente surjan esos desplazamientos máximos. En efecto, los mismos ocurren muy frecuentemente en esas zonas pero no son afectados por una discretización y detalles más o menos gruesos de las mismas. Incluso el dibujarlas y después mallarlas finamente puede ser contraproducente, creándose los denominados puntos singulares, que son indeseables por alterar los resultados (Fig. 48), y que se estudiarán en detalle en el Capítulo 9. Así si se van a emplear fuerzas concentradas en un nodo (o en pocos), lo mejor es mallar esas zonas gruesamente (pocos elementos y grandes), y olvidarse de los esfuerzos calculados por el programa en esos puntos, que no serán los reales por no existir nunca una fuerza tan concentrada que sólo esté aplicada en un único nodo (Fig. 49). Sin embargo el resto del modelo puede ser adecuado para los restantes análisis, estando aplicándose de hecho el Principio de Saint Venant. Ahora bien, si lo que interesa son los esfuerzos precisamente en esas áreas de aplicación de las cargas o de los apoyos, son esas regiones las que tienen que dibujarse primero y mallarse después con el máximo detalle posible. Otro ejemplo es el de los concentradores de tensiones, donde surgen normalmente esfuerzos elevados pero que dependen grandemente de la forma geométrica de la zona donde ocurren. Así si el interés son precisamente los esfuerzos en esa región, hay que dibujarla con todo el detalle posible y además simular las cargas aplicadas también con detalle, es decir tener en cuenta la verdadera forma y tipo de carga aplicada. Pero si se desean estudiar los


desplazamientos de la pieza o los esfuerzos en otras zonas, lo mejor es dibujar la zona del concentrador sin mucho detalle y luego incluso mallarla de forma gruesa.

Es decir que al crear las distintas entidades que irán conformando el modelo, hay que hacerlo teniendo presente el posterior mallado que se hará. Hay que tener especial cuidado con las zonas de unión entre las entidades. En la Fig. 45 a) se muestra un dibujo realizado con 2 áreas, A1 y A2, que desde el punto de vista estrictamente del dibujo, está bien resuelto. Pero para el posterior mallado se presentarán problemas, pues la línea “f” solo pertenece a un área, la A1, lo que hará que la malla de elementos finitos de esta área, no quede vinculada o “agarrada” a la malla del área A2, como se muestra en la Fig. 45 b). Esto producirá que ambas áreas del modelo queden desvinculadas y que luego en el proceso de solución, el programa “vea” al modelo como un mecanismo (véase el Capítulo 9). En la Fig. 45 c) se muestra el dibujo correcto, consistente en dibujar 3 áreas, A1, A3 y A4, de modo que se fuerce a la línea “e” a ser común a las 3. Al mallarlas el programa garantizará que los nodos en esa línea pertenezcan a las 3 áreas, quedando así los elementos unidos entre sí. (Fig. 42 d). Por cierto, que para que realmente la línea ”e” sea común a las 3 áreas, es necesario ejecutar la operación Glue entre las mismas, lo que unirá las líneas comunes de cada área en la línea “e”. De hecho otra vía de realizar este modelo es partiendo de las áreas A1 y A2 iniciales, Fig. 45 a), y aplicarles la operación Glue, lo que crea las 2 áreas A3 y A4, ya unidas por la línea “e” con la A1 (Fig. 45 c), en lo que constituye la forma más rápida de crear el modelo final de la Fig. 45 d).

Fig. 48 . - Modelo incorrecto. Fuerzas y apoyos concentrados en un nodo, junto con

discretización fina: puntos singulares.


Fig. 49 . - Modelo correcto. Discretización gruesa en puntos de cargas y apoyos

concentrados.

a correcta unión entre las entidades del dibujo es uno de los principales problemas que hay que corregir, al trasladar un modelo hecho en un procesador de dibujo (por ejemplo

AUTOCAD), hacia un programa de elementos finitos. Muchas veces las uniones realizadas en el dibujo a trasladar, no están adecuadamente definidas para las necesidades del modelado por elementos finitos. Otro aspecto a tener en cuenta en estos casos es que frecuentemente los detalles necesarios para un dibujo preciso de una pieza, en los cuales los programas de dibujo son muy prolijos, son excesivos e incluso perjudiciales para su posterior mallado con elementos finitos. Esto es causa común de dificultades para el mallado y deberá ser evitado o corregido por el usuario. Véase el Capítulo 11. Estos son algunos requerimientos del mallado del modelo para su correcta “corrida” y análisis posteriores, pero no los únicos. Varios requerimientos adicionales surgen por las necesidades del adecuado análisis, procesamiento e interpretación de los resultados, los que se estudiarán en el Capítulo 9.

L


Capítulo 7.

El Mallado con Elementos Finitos.

Principios Generales del mallado. Optimización y refinamiento del mallado. Mallados “Mapped”, “Free” o “Sweep” . Refinamiento del mallado. Mallado con elementos lineales. Mallado con elementos sólidos planos y SHELL. Mallado con elementos sólidos volumétricos. Mallado Inteligente.

Principios Generales del mallado.

l mallado o discretizacion de las piezas, es decir el proceso de llenar las entidades y figuras del dibujo con elementos finitos, es uno de los procesos más complejos a ser realizado por

el usuario, y de mayor importancia en la modelación. El mismo determina en gran medida, junto con la selección y definición del tipo de elemento finito, la precisión de los resultados. Para lograr el mallado adecuado los programas poseen varias opciones que abordan y resuelven los problemas que surgen durante este proceso. Es importante que el usuario los conozca y use. El mallado más complejo es el de piezas volumétricas, que se mallan con los elementos volumétricos correspondientes. Ya en el Capítulo 6 se vieron algunos requisitos del mallado, que deben ser previstos cuando se hace el dibujo de la pieza.

E

Una de las decisiones fundamentales a tomar es la determinación de la densidad del mallado a emplear. Si bien las mayores densidades tienden a acercarse más a la solución exacta del modelo matemático, son también las más complejas de realizar. Y lo que es quizás más importante, incrementan la complejidad de los cálculos a ejecutar; aumentando el tiempo de máquina, la memoria necesaria y la cantidad de resultados a analizar al final, algo muy importante a tener en cuenta. Por ello es necesario seleccionar la densidad del mallado adecuada, que no sea mayor ni menor que la necesaria. Por ejemplo, en las Fig. 50 a), b) y c) se muestra un modelo que parte del dibujo de un área con un hueco, mallada con 3 densidades distintas. En a) con un mallado grueso constituido de solamente 12 elementos, no se logra modelar adecuadamente la circunferencia del hueco; en b) con 900 elementos, un mallado excesivamente fino, que si bien modela muy bien la geometría, posee demasiados elementos para una pieza tan sencilla. En c) finalmente, con 53 elementos se muestra una densidad de mallado más adecuada, al menos desde el punto de vista de la represen tación física del modelo, que es un primer requerimiento fundamental que tiene el mallado. El otro aspecto que incide y de forma importante en la selección del grado o densidad del mallado, es la exactitud de la solución a obtenerse, bajo el principio general de que con el aumento del número de elementos, aumenta aquélla. Pero el mallado más refinado no necesariamente significará una mayor precisión de los resultados, pues como se verá más adelante para cada caso o modelo existe una densidad dada a partir de la cual la exactitud de los resultados no aumenta con el mayor refinamiento del mallado. Esto requiere de un cuidadoso estudio por parte del usuario, que incluye la realización de una prueba, conocida como Prueba de covergencia, que permite determinar el grado de mallado necesario y adecuado. Esta importante prueba se muestra en la Fig. 51 para una viga “fina”, pero será estudiada con detalle en el Capítulo 9.

García de la Figal, Javier Capitulo 7 164 El Mallado con Elementos Finitos.

a ) b ) c )

d ) e )

Fig. 50 .- Entidades con diferentes densidades de mallado. a) Área mallada con 12 elementos. b) Con 900 elementos. c) Con 53 elementos. d) Cilindro mallado con 22 elementos hexaédricos muy deformados. e) Cilindro con 637

elementos hexaédricos. A continuación algunas recomendaciones generales para la más correcta selección de la densidad del mallado. Los desplazamientos se logran simular con precisión con mallados más gruesos que la simulación de los esfuerzos, debido a que los desplazamientos tienen una variación a lo largo de las dimensiones del modelo, más lenta o suave que los esfuerzos, los que varían mas bruscamente. Así si sólo solo son de interés los desplazamientos puede hacerse un mallado más grueso. Si el interés son los esfuerzos (y las deformaciones), deberá conocerse previamente la forma aproximada de su variación, lo que será el principal criterio para la determinación de la densidad del mallado. Así, si se sabe que variarán rápidamente en una zona dada (por ejemplo un concentrador de tensiones), debe aumentarse el número de elementos de modo tal que sean capaces sus nodos de “captar” la mayor cantidad de esfuerzos disímiles que habrán en esa zona. Aunque en esto incide de manera importante también el tipo de elemento y su formulación matemática, como ya fuera analizado en capítulos anteriores. Especialmente importante es poseer un mallado con muchos elementos en el modelo, cuando se trabaja con elementos tipo SOLID, BEAM o SHELL, con Formulación basada en los desplazamientos. Los SOLID casi exclusivamente se disponen con esta Formulación. Los BEAM y SHELL que posean esta Formulación, al no considerar las deformaciones transversales, producen matrices de rigidez de los elementos (y del modelo completo) mayores que las reales, especialmente cuando son “largos” y pocos los elementos usados, es decir con mallados “gruesos”. Esto brinda desplazamientos inferiores a los reales, por lo que se hace necesario el empleo de elementos “cortos” o sea mallados mas refinados. Qué es un elemento BEAM o SHELL “largo” o “corto” no es algo que esté claramente definido. Por ejemplo con elementos BEAM simulando una viga de sección rectangular de espesor unitario, “corto” significa que la longitud del elemento sea alrededor de ¼ o menos, de la altura h de la viga que está simulando. Para lograr una buena simulación incluso de los desplazamientos, se requieren entonces mallados muy finos, o sea con muchos elementos, como puede apreciarse en la Fig. 51. Esto es así sobre todo en vigas “finas”, como en la de espesor unitario de la Fig. 51, pero es menos pronunciado a medida que el espesor de la viga real sea mayor.


Esta problemática se alivia con el empleo de elementos isoparametricos de altos ordenes (“shape function” cuadráticas, con un nodo intermedio en los lados), y con formulaciones mixtas en los elementos PLANE y SHELL, disponibles como opción a escoger por el usuario en los programas. Con ellos puede modelarse la pieza con menos elementos, sin afectación en la exactitud de los resultados. Los elementos BEAM se ofertan casi exclusivamente con “shape function” cúbicas. Los elementos BEAM y SHELL con formulaciones mixtas, consideran en sus procedimientos de calculo las energías de deformaciones transversales de los elementos, dando así rigideces más cercanas a las reales, incluso con elementos “grandes”, es decir con pocos elementos. Se trata de la formulación mixta desplazamiento / deformación transversal, para los elementos BEAM, que es casi siempre la empleada en este tipo de elemento en los programas modernos. Y la formulación desplazamiento transversal / deformación transversal, implementada por el procedimiento MITC, en algunos elementos SHELL. Véase Definición de los elementos en el Capítulo 6. De hecho los programas ofertan elementos isoparamétricos sustentados por distintas Formulaciones matemáticas, lo cual incide en la disminución de la densidad del mallado necesaria del modelo. Como se ha apuntado, las Formulaciones mixtas permiten sustentar teorías de cálculo más amplias y precisas. Esto y el mayor ajuste a las formas deformadas que alcanzan, permiten en efecto, la disminución de la densidad de mallado necesaria en el modelo. Así por ejemplo, los elementos con formulaciones basadas en desplazamientos SHELL 63 para superficies, así como el PLANE 42 y el SOLID 45, que poseen además “shape functions” parabólicas en sus formulaciones isoparametricas, deberán ser usados siempre con muchos y pequeños elementos, para obtener la precisión adecuada en los cálculos. Se trata de que todos estos elementos requieren de mallados finos. Con el uso de otras formulaciones matemáticas puede disminuirse la densidad. Elementos isoparametricos de altos órdenes (cúbicos), y con la formulación mixta desplazamiento / deformación transversal son:

• BEAM 3, BEAM 4, BEAM 44, BEAM 54, BEAM 23

E isoparametricos de altos órdenes y con la formulación mixta desplazamiento transversal / deformación transversal:

• SHELL 43, SHELL 143, SHELL 91, SHELL 93, SHELL 99, SHELL 181 Funciones parabólicas. Funciones cuadráticas. Con ellos pueden bastar pocos o incluso un único elemento (los de funciones cuadráticas), para modelar la rigidez de cada viga o placa, respectivamente; es decir, cuando se trata del cálculo de los desplazamientos. Sin embargo, para el calculo de los esfuerzos siempre se requerirán densidades de mallados mas finas que para los desplazamientos, con vistas a obtener resultados adecuados en cuanto a la precisión de los esfuerzos. Por lo que de todas formas aun con las formulaciones mixtas e isoparametricas de altos ordenes, también es recomendable evitar el empleo de densidades de mallado muy gruesas (muy pocos elementos), aunque pueden usarse densidades más gruesas que con el elemento SHELL 63, por ejemplo. Es decir que con el empleo de elementos isoparametricos con formulaciones mixtas y “shape function” cuadráticas se puede definitivamente usar mallados más gruesos. Esto puede resultar importante para simplificar los procesos posteriores de Solución y Post procesamiento de los resultados, en modelos muy complejos. En la literatura se plantea que en general para disminuir las distorsiones de los elementos, bien al adaptarse a configuraciones iniciales complejas o al simular grandes deformaciones, es recomendable aumentar el número de elementos, o sea aumentar la densidad del mallado. Sin embargo, actualmente el usuario puede decidirse por elementos isoparamétricos de altos órdenes (“shape funtions” cuadráticas, con un nodo intermedio en los lados), con los cuales no solo se obtienen mejores ajustes a las configuraciones deformadas de la pieza, como ya fuera explicado


en el Capítulo 4, sino también a las configuraciones iniciales o indeformadas. Véase las Fig. 27 e) y f) de ese Capitulo 4. Por lo tanto, la disminución de la densidad del mallado sin afectar la exactitud de los resultados, deberá ser siempre lo buscado en un modelo adecuadamente confeccionado y para ello es decisivo el empleo de elementos con alguna de las formulaciones mixtas anteriores y además de tipo isoparametricos de altos ordenes (“shape functions” preferentemente cuadráticas o de ordenes mayores). Con ellos pudiera incluso bastar un único elemento para modelar la rigidez de una viga o placa adecuadamente; no así para el calculo de los esfuerzos (o sea la resistencia), que requerirían de mallados menos gruesos. De todas formas, siempre permitirán una disminución del número de elementos, respecto a los necesarios con la Formulación basada en los desplazamientos y de tipo lineal.

M

Sección transversal cuadrada; h = 0.1 m

Elementos BEAM, 2 nodos, formulación basada enlos desplazamientos.

L = 10 m.

n elementos igualmente espaciados.

200 400 600 800 1000

0.32

0.24

0.16

0.08

0

Flec

ha e

n el

ext

rem

o, m

Número de elementos, n.

m

Fig 51 .- Prueba de convergencia de los desplazamientos, en una viga “fina” modelada

con elementos BEAM basados en los desplazamientos, tipo - h. El elemento BEAM 24 es una excepción, pues a pesar de ser de Formulación mixta e isoparametrico con “shape functions” no lineales, deberá ser usado siempre con muchos y pequeños elementos, en la modelación de vigas de paredes delgadas, que es su campo de utilización. Por otro lado, los elementos BEAM 188 y 189 a pesar de ser de Formulación basada en los desplazamientos, permiten la disminución de la densidad del mallado a un mínimo (un solo elemento en el caso del 189), incluso para los esfuerzos. Los elementos PLANE 82, SOLID 92 y SOLID 95, con un nodo intermedio en sus lados o caras y largas funciones de forma cuadráticas, se sustentan sin embargo en la Formulación basada en los desplazamientos.

nE la selección del grado de mallado necesario, los detalles de los apoyos y de las aplicaciones de cargas son menos importantes, si el interés del analista es en zonas alejadas de ellos. En

este caso aquellas zonas pueden ser malladas menos densamente. Igual sucede en zonas alejadas de discontinuidades en su geometría (como un agujero). Aplicando el principio de Saint Venant se determinan las zonas que requieren un mallado más fino. La distancia entre el punto de aplicación de una carga y la zona donde sus efectos se han disipado, se llama longitud de


atenuación. El código ASME especifica por ejemplo, que en cilindros la longitud de atenuación es de 2.5 < r * t , donde r – radio del cilindro, y t - su espesor. Otras fuentes dan valores de (2 – 4) < r * t. El principio de Saint Venant es por tanto útil para determinar el número de elementos requeridos en diferentes regiones del mallado. Así, sólo zonas dentro de la longitud de atenuación tienen que mallarse de forma fina, pudiendo ser el resto del modelo de densidad más gruesa. Esto es válido si se desean los resultados de las zonas de aplicación de las cargas y apoyos, pues hay ocasiones que es mejor mallar esas zonas gruesamente. Véase el Capítulo 9 para una discusión más amplia de estos casos. Lo importante no es tanto modelar la geometría de la estructura o sistema, como su comportamiento. No perderse en detalles que no incidan significativamente en el comportamiento del sistema, es decir saber simplificarlo. Trabajar con mallados gruesos en zonas no importantes y refinar adecuadamente sólo en las de interés. En todos los casos tienen que colocarse nodos en donde existan apoyos, en puntos de aplicación de las cargas concentradas y en general donde sea necesario obtener información y resultados de desplazamientos, esfuerzos, temperaturas, etc. Grandes variaciones o diferencias en las rigideces de los elementos empleados en un mallado, reduce la exactitud de los cálculos numéricos, en especial cuando esos elementos están conectados a nodos comunes. Esto ocurre cuando existen elementos de tamaños muy dispares, conectados entre sí. No obstante, en los programas modernos de EF esto no es causa de problemas, siempre que el mallado sea sensible a las variaciones de los esfuerzos.

Optimización y refinamiento del mallado. na de las primeras decisiones a tomar por el usuario en el momento de mallar su pieza, es decidir sobre la forma de sus elementos, cuando se emplea uno de los 3 tipos siguientes:

U

• Sólidos planos, SOLID 2D ( o PLANE ). • Láminas, o sea elementos SHELL. • Sólidos volumétricos, SOLID 3D.

Se trata de que estos elementos pueden ser seleccionados con forma de cuadriláteros o de triángulos; o ser hexaedros o tetraedros, según sean planos o volumétricos respectivamente. Esta selección que debe hacer el usuario incide de forma importante en varios aspectos del modelo. Un mallado con elementos planos cuadriláteros se muestra en las Fig. 50 a), b), c), pero en principio, pudieran haberse hecho con elementos triangulares. Se trata de los 2 tipos básicos de mallados existentes: el mallado “Mapped” y el “Free”. Mallados “Mapped”, “Free” o ¨Sweep¨.-

l mallado “mapped” se caracteriza por estar constituido por elementos cuadriláteros o hexaédricos (brick), según se trate de areas o volúmenes, respectivamente. Con ellos se

logra, en la mayoría de los casos, resultados más precisos y exactos, reduciéndose el error de la solución, especialmente en elementos sólidos planos y volumétricos (PLANE, QUAD, SOLID 2D, SOLID 3D). La excepción a esta regla está con el uso de elementos tipo SHELL, en problemas de flexión pura y en problemas no lineales, en los cuales se ha demostrado que los triángulos dan resultados más veraces. El mallado “mapped” además permiten obtener resultados mas uniformes, que son más fáciles de interpretar y analizar, siendo por ello el tipo de mallado que debe priorizarse por el analista, siempre que sea posible. Contrario al mallado

E


“free” en que al tenerse elementos triangulares o tetraédricos, se tienen muy diversas orientaciones de los elementos y por tanto, de los resultados obtenidos después de la corrida. Desde este punto de vista pues, siempre que sea posible será preferible mallar superficies con elementos cuadriláteros que con triángulos, y de tipo hexaédricos que tetraédricos en los volúmenes. Los triángulos y tetraedros deben reservarse sólo para transiciones de un malllado con una densidad dada a otra; o en configuraciones geométricas complejas, pues se adaptan mejor, con menos distorsiones iniciales a estas condiciones. Varios son los comandos que tienen los programas para ayudar y posibilitar el mallado más adecuado de las piezas. Uno de los requisitos que tienen casi todos los programas modernos para mallar uniformemente (mallado “mapped”), es que la figura tiene que ser de 3 ó 4 lados, en caso de ser una superficie; o de 4 o 6 caras en los volúmenes. Para figuras de mayores lados o caras, para mallarlas de forma “mapped” se requiere reducirlas a estos números, sin afectar la real forma de la figura, para lo cual existen varias vías. Puede usarse la operación booleana de sumar (Add), o una nueva operación llamada Concatenate. Siempre que sea admitido (líneas tangentes y unidas a una misma área, o en áreas planas y coplanares), es recomendable emplear Add, pues en el caso de líneas permite definir el numero de elementos deseados en la nueva línea obtenida. El comando Concatenate concatena o convierte varias líneas o áreas en una sola continua, pudiendo así reducir la superficie a una de 3 o 4 lados, o el volumen a uno de 4 o 6 caras. Pero las 2 líneas concatenadas no desaparecen, por lo que tendrán que definirse los números de elementos deseados a cada una de ellas. Esta operación posee varias otras características diferentes a la suma (Add), algunas buenas y otras no tanto, por lo que se emplea cuando se desean mallados con efectos específicos, además de mallados ¨mapped¨ en áreas de más de 4 lados, o volúmenes de más de 6 caras. A este comando se accede por,

PreProcessor > Meshing-Concatenate > Line. > Area. Como se observa, se aplica a líneas o a áreas, aunque es bueno aclarar que no es una operación Booleana. Por otro lado, a la nueva línea (o área) concatenada, no podrá asignársele por el usuario un número de elementos dado, previo al mallado, sino que hay que asignárselo a las líneas originales, mediante el empleo por ejemplo del comando SIZE. Una vez aplicado el comando Concatenate de modo tal que queden conformadas las entidades adecuadas, puede entonces mallarse la figura con elementos cuadriláteros o hexaédricos de forma uniforme (¨mapped¨). Es decir que es parecido al comando Add ya visto, aunque con Concatenate pueden unirse áreas no coplanares o alabeadas y líneas no tangentes, permitiendo siempre el posterior surgimiento de nodos en la línea o punto de unión de las líneas originales. El mallado ¨mapped¨ puede ordenarse a áreas con más de 4 lados, de modo que el programa realice las operaciones de concatenate necesarias de modo automático (o inteligente), ¨picando¨ los 4 keypoints de 2 de las líneas del área, concatenando a las líneas restantes. Se accede por, Main Menu > Preprocesador > Meshing > Mesh > Areas > Mapped > Pick corners. Por ejemplo, al área de 5 lados de la Fig. 52 a) se le aplicó la operación de Add a las líneas L3 y L4 (Fig. 52 b), convirtiéndose el área inicial definitivamente en una de 4 lados: L1, L2, L6 y L5. Al mallarla de forma “mapped” con cuadriláteros, se obtiene un mallado completamente uniforme, aunque perdiéndose el nodo en la unión de las líneas L3 y L4, lo cual puede deformar esa zona del área mallada resultante. Otra opción de mallado “mapped” del área inicial de la Fig. 52 a), es dar la operación de concatenate a las líneas L3 y L4, de modo que a los efectos del mallado el área se compondrá ahora de 4 lados, pudiendo entonces mallarse con elementos cuadriláteros también. Aunque el


Area de5 lados.

Líneas a serconcatenadas.

Líneaconcatenada.

L2

L3

L4L5

L1

L2

L5

L6

Concatenate

a) b)

sumada(Add)unidas

Add: L3 + L4 => L6Ordenando mallar 6elementos por lado

L1

L2

L5

Líneaconcatenada

c) Concatenate: L4 y L3 =>Ordenando 6 elementos

L3

L4L1

A1

A2L1

L2 L3

L4L5

ConcatenateL2 y L3

e )d ) f )

Línea concatenada, L7

Concatenate de L3 y L4

L2L3

L4

L5

L1

L2L3

L4

L5

Delete L7

L2

L1

L5

A1A1

A1

g )

Fig. 52.- Concatenación de Líneas. a) Área inicial de 5 líneas. b ) Área de 4 lados por

suma (Add) de las líneas L3 y L4. Mallado “mapped”. c) Área de 5 líneas, con concatenate de las líneas L3 y L4 y con mallado tipo ¨mapped¨. d ) Dibujo de un engranaje. e ) Mallado

“Free” de engranaje confeccionado con una sola área. f ) Nuevo mallado “mapped” del engranaje. Con 2 áreas y concatenado de L2 y L3. g ) Concatenate y posterior borrado de esa

operación.

área continúa siendo realmente de 5 lados. Para obtener el mismo mallado “mapped” de la Fig. 52 b), se ordena usar 6 elementos en las líneas L1, L2 y L5 (mediante el uso del comando SIZE), mientras que solo 3 en las líneas L3 y L4. La diferencia en el mallado resultante es que por esta vía se garantiza un nodo común en la unión de las líneas no tangentes L3 y L4. Otra


opción de mallado es por ejemplo, luego de concatenar L3 y L4, ordenar el empleo de 6 elementos rectangulares planos en cada una de las 5 líneas del área, de donde se obtiene el interesante mallado mostrado en c). O sea que la operación de concatenate permite en primer lugar usar elementos cuadriláteros (o hexaédricos) junto con mallados “mapped”, en áreas de mas de 4 lados (o volúmenes de mas de 6 caras), y además permite obtener mallados con distribuciones especificas, siendo especialmente indicado cuando existan líneas que no son tangentes, o áreas no coplanares o alabeadas, casos en que no puede emplearse la operación Add. El comando concatenate deberá aplicase a las líneas luego de haber conformado el área, y no al revés. Igualmente respecto a las áreas, si pertenecieran a un volumen, es decir primero se crea el volumen y entonces se procede a concatenar las áreas de interés. Además deberá ser el último paso antes del mallado ¨mapped¨ porque las líneas o áreas concatenadas no podrán ser usadas en ninguna subsiguiente operación del modelo, aparte de mesh, clear y delete. Por ejemplo a una línea obtenida por concatenate de otras 2, no podrá colocársele cargas, ni ser parte de ninguna operación Booleana, ni ser copiada, movida, rotada, ni “extrudada”; ni podrá ser empleada en otra operación de concatenate. Pero la línea o área concatenada puede ser borrada (¨delete¨) luego del mallado, de modo que el programa vuelva a reconocer las líneas (o áreas) originales, para posteriores operaciones. Por ejemplo en la Fig. 52 g) se muestra un área formada por 5 líneas: L1, L2, ... , L5. Si se concatenan las líneas L3 y L4 para formar L7, el programa no reconocerá a las líneas L3 y L4 como pertenecientes al área, aunque no desaparecen. Sin embargo al borrar a L7 luego del mallado, se reasignan L3 y L4 al área A1, pudiendo procederse con ellas con otras operaciones, tal como, por ejemplo extrudar el área para formar un volumen. Hay que anotar que con el mallado ¨mapped¨ pueden emplearse también elementos con forma triangular o tetraédrica, cuando sea interés del usuario.

tro tipo de mallado existente es cuando se deja al programa mallar de forma libre, en lo que

se conoce como mallado “Free”. Suelen emplearse en este mallado elementos triangulares o tetraédricos, con los cuales podrán mallarse piezas con contornos irregulares. Pero también puede ordenársele al programa emplear elementos cuadriláteros o hexaédricos, en áreas / volúmenes de cualquier número de lados / caras, los que el programa tratará de emplear, a menos que tenga que deformarlos mucho. En ese caso los convierte en triángulos o tetraedros. En las Fig. 50 a), b), c) se muestra este tipo de mallado “Free”, en que se ordenó emplear cuadriláteros. De forma “Free” pueden mallarse superficies y volúmenes de cualquier número de lados o caras, que es realmente su principal ventaja. No obstante algunos de los resultados obtenidos luego de la solución del modelo con este tipo de mallado, pueden ser más complejos de interpretar y analizar que con el mallado ¨mapped¨, como son las direcciones de los esfuerzos y otros varios parámetros. De aquí la importancia de que el usuario trate en todo momento que sea posible, de hacer uso del mallado tipo “mapped”.

O

l “sweep” es una 3 ra opción de mallado de volúmenes con elementos hexaédricos, aun cuando

no cumplan los requisitos de caras requeridas para usar el mallado “mapped”. Es una operación que malla el volumen a partir de un patrón inicialmente establecido en una de sus áreas. Se obtiene el mismo efecto que mallando un área con elementos planos y luego extrudándola para formar un volumen mallado. En este caso, si el área inicial se malló con elementos cuadriláteros, el volumen quedara mallado con hexaedros, y si se emplearon triángulos, se obtendrán tetraedros. Con el “sweep” sin embargo, solo se obtienen mallados con hexaedros. Puede implementarse especificando la cantidad de elementos deseados en el área inicial y cual

E


a ) b )

Fig. 53 . - Mallado a través de la opción ¨sweep¨ de un volumen.

será el área final (target). O dejarse todo a elección del comando. La ejecución de esta opción se hace por, Main Menu > Preprocesador > Meshing > Mesh > Volumen Sweep > Sweep. En la Fig. 53 se muestra un cilindro mallado con elementos hexaédricos con esta opción, que no hubiera sido posible mallar con mallado “mapped”, por la disposición de las 4 áreas que lo componen.

Refinamiento del mallado . -

tra opción que brindan los programas es el refinamiento del mallado. Son comandos que permiten afinar un mallado ya existente – o una parte de él -, para obtener elementos más

numerosos y pequeños en una zona dada. El refinamiento lo realiza el programa en dependencia del tipo de elemento que se tenga definido, que para esa operación se clasifican de la siguiente forma.

O

• Tipo – h. En los cuales el refinamiento lo realiza el programa, incrementando el

número de elementos, mediante la división de los existentes. Es el tipo de refinamiento más usual y empleado.

• Tipo – r. Se hace el refinamiento del mallado por la reubicación de los nodos, de modo tal que se reduce el tamaño de los elementos.

• Tipo – p. Son elementos de alto orden que permiten incrementar el orden de la función de aproximación de los desplazamientos, sin incremento del número de nodos ni de elementos. Permiten la variación del orden del polinomio del tipo (13), en un amplio rango, generalmente desde 2 hasta 6.

El más común y empleado es el tipo – h. Con el refinamiento de las zonas de interés – por ejemplo en zonas con concentración de tensiones - se puede tener un mallado grueso en las partes de menor interés y más fino (o sea refinado) en las zonas deseadas, como se observa en la zona alrededor del hueco en la Fig. 50 c). Es una herramienta muy útil e importante en la optimización del modelo. Los comandos para la refinación del mallado se dan a continuación. PreProcesso r> Meshing-Modify Mesh > Refine at > Kps > Nodes > Elements


> Line > Area.

Al marcar una de esas opciones (por ejemplo “Nodes”) y señalar un nodo, el programa refina el mallado de todos los elementos que están alrededor del nodo marcado. Permite controlar por el usuario la profundidad o alcance del refinamiento y el grado del mismo, o sea hacerlo más o menos fino.

tro aspecto importante en la obtención de un mallado adecuado es garantizar que no existan varios nodos o elementos en una misma posición, lo que generalmente no se detecta por

simple visualización. Esto trae como consecuencia que los elementos no queden “agarrados” entre sí en esos nodos ubicados en el mismo lugar, pero no unidos. Esto hace que el programa “vea” al modelo como un mecanismo, declarándolo inestable y no pudiendo resolverlo. La solución es unir los nodos que ocupan la misma posición en el espacio por medio del comando:

O

Preprocessor > Numbering Control > Merge > Nodes. Excepción de esto es cuando se modelan entidades con juegos o en contacto entre sí, mediante los elementos GAP, CONTAC, SPRING y otros. En todos los demás casos, con la unión de los nodos (“merge”), se garantiza la continuidad del mallado. A veces sucede que luego de varias operaciones de mallados y borrados posteriores, quedan elementos ubicados en la misma posición, los que no son posibles detectar a simple vista tampoco. Esto también es causa de inestabilidad del modelo. Para resolverlo se hace la unión de esos elementos, convirtiéndolos en uno sólo mediante el comando: Preprocessor > Numbering Control > Merge > Elements Luego de realizados varios mallados de pruebas y borrados posteriores de los elementos, con vista a volver a mallar, es común que la numeración de los nodos y los elementos que el programa ha ido realizando en cada mallado, no queden con numeración corrida sino que haya saltos en ella. El programa trabaja de forma más optimizada, es decir forma las matrices de rigidez más optimizadamente, cuando las numeraciones de los nodos y los elementos son corridas, sin saltos en ellas. Para corregir esto están los comandos: Preprocessor > Numbering Control > Compress > Nodes. Preprocessor > Numbering Control > Compress > Elements Pero la principal forma de optimizar el mallado, al menos respecto a la cantidad de elementos necesarios es decir a la densidad del mallado, es por medio de la Prueba de Convergencia ya apuntada más arriba, y que será estudiada en detalle en el Capítulo 9.

Mallado con elementos lineales.

l mallado con cualquiera de los elementos lo realiza el programa sobre alguna de las entidades previamente dibujadas, debiendo existir correspondencia entre las dimensiones y

posibilidades de trabajo del elemento y la entidad. Así, para mallar con elementos lineales (se trata de los elementos LINK, BEAM, SPRING y otros), se requiere que las entidades a ser malladas sean líneas.

E


Al modelar tensores es preferible hacer uso de los elementos tipo barra, TRUSS, LINK, pero con un solo elemento en toda su longitud. En elementos BEAM, si se desea introducir articulaciones entre las vigas, sólo se define el código de descarga a uno de los elementos que intervienen en la unión. Antes de mallar se requiere preparar la operación de mallado mediante la definición de la densidad del mallado deseada, si se quiere uniforme o no, la forma del elemento a usar, etc. Por supuesto, previo a todo hay que tener definidos y seleccionados los elementos a emplear. Este proceso de preparación del mallado incluye los siguientes pasos. PreProcessor > Meshing-Size Control > Basic. Activar el proceso de mallado de entidades, quitando la señal OFF, convirtiéndola en ON. PreProcessor > Meshing-Size Control > Size > No. of elem. Division. Se da la cantidad de elementos que se desea usar en el mallado. El programa la asume como aproximada. PreProcessor > Meshing-Mesh > Line. Ejecuta el mallado de las líneas que se le señale. De esta forma queda mallada la figura, pudiendo pasarse a la etapa de refinamiento del mallado. Sobre esto se volverá a tratar en el Capítulo 10 como parte del proceso de optimización del modelo.

Mallado con elementos sólidos planos y SHELL.

l

mallado con elementos sólidos planos (QUAD, PLANE, SOLID 2D, TRIANG), requiere disponer de áreas definidas previamente, pues mallan superficies. Las mismas deben estar

definidas en el plano coordenado Global XY, que es en el que trabajan estos elementos. Las recomendaciones que se verán a continuación son válidas también para los elementos láminas (SHELL), con la diferencia de que por ser 3D pueden mallar superficies en cualquier ubicación del espacio.

E

Los programas generalmente sólo mallan superficies de 3 ó 4 lados de forma uniforme (“mapped”), por lo que el usuario si desea este tipo de mallado, debe acondicionar la figura a esa configuración mediante los comandos de concatenar o de sumar, si fuera necesario. Siempre que sea posible debe usarse un mallado uniforme (“mapped”) o sea, con igual o proporcional separación entre nodos y con elementos cuadriláteros. Es más fácil de crear por el programa, son más precisos en sus resultados, y además sus resultados son más simples de interpretar. El mallado no uniforme (“free”) sólo se justifica en zonas de transición de densidades de mallado distintas y en configuraciones complejas, las que son preferibles mallarlas con elementos triangulares. Estas recomendaciones son válidas también al usar elementos SHELL, los que se adaptan bien a superficies curvadas (tanques, tubos). Pero en estos casos el ángulo de barrido de cada elemento no debe ser mayor de 150 y los nodos del elemento deben estar en un mismo plano; si no, se incrementa el error de la solución. Es decir que la superficie puede estar curvada, pero no alabeada (“warp”). Los elementos SHELL con formulación que cumplen las hipótesis de Kirchhoff, (o sea con formulación basada en los desplazamientos), son indicados para placas y bóvedas de paredes delgadas - considerándose como tales las láminas de espesores menores del 10 % de su lado menor -, y presuponen que no hay variación de tensiones en la dirección del espesor de la placa. Si el espesor es grueso deben seleccionarse los elementos SHELL de formulación MITC, ya estudiados anteriormente. La gran ventaja de todos los elementos SHELL frente a los otros sólidos planos, es que pueden soportar cargas y apoyos en cualquier eje del espacio, mientras que los sólidos planos tienen que estar definidos en el plano XY Global, y sólo admiten las


cargas y apoyos en ese plano. Pero si todo el problema está en ese plano, quizás sea mejor trabajar con los elementos SOLID 2D. cargas y apoyos en ese plano. Pero si todo el problema está en ese plano, quizás sea mejor trabajar con los elementos SOLID 2D. La preparación previa al mallado en todos estos elementos, sigue los mismos pasos anteriormente vistos, adicionándose uno nuevo, que define si se hará de forma uniforme, o sea con elementos iguales (mallado “Mapped” ), lo que requiere de superficies uniformes y regulares de 3 o 4 lados solamente. O si se deja libertad al programa para que cambie las formas de los elementos, es decir los distorsione según lo requiera la geometría de la figura a mallar. Esta forma de mallar se conoce como “Free”, y permite mallar cualquier tipo de superficie, por compleja que sea.

La preparación previa al mallado en todos estos elementos, sigue los mismos pasos anteriormente vistos, adicionándose uno nuevo, que define si se hará de forma uniforme, o sea con elementos iguales (mallado “Mapped” ), lo que requiere de superficies uniformes y regulares de 3 o 4 lados solamente. O si se deja libertad al programa para que cambie las formas de los elementos, es decir los distorsione según lo requiera la geometría de la figura a mallar. Esta forma de mallar se conoce como “Free”, y permite mallar cualquier tipo de superficie, por compleja que sea. PreProcessor > Meshing-Size Control > Basic.PreProcessor > Meshing-Size Control > Basic. Activar el proceso de mallado de entidades, quitando la señal OFF. PreProcessor > Meshing-Size Control > Size > No. of elem. Division. Se da la cantidad de elementos que se desea usar en el mallado. El programa la asume como un valor aproximado. Preprocessor > Meshing-Size Control > Mesh Opt. > Free Mallado uniforme (¨Mapped¨) o , > Mapped libre (“Free”). Selección de la forma del elemento: Quad o Triang. PreProcessor > Meshing-Mesh > Area. Ejecuta el mallado de las áreas que se señalen. De este modo, las superficies quedan listas para proceder a su refinamiento, si es necesario.

Mallado con elementos sólidos volumétricos.

on elementos sólidos volumétricos se mallan volúmenes. Se trata de los elementos tipo SOLID 3D o BRICK, TETRA y PENTA. El usuario debe seleccionar entre un mallado

uniforme (“mapped”), para lo cual requiere que el volumen sea uniforme y regular; o dejar al programa libertad de cambiar la forma de los elementos, de hexaedros a pentaedros o tetraedros, según la geometría de la figura lo requiera (mallado “free”). Lo dicho anteriormente del uso de los elementos planos rectangulares y triangulares, se aplica también a los elementos BRICK y tetraédricos, siendo los primeros más precisos, pero adaptándose mejor los segundos a las configuraciones complejas. De igual forma, en mallados tipo “mapped” debe asegurarse que las áreas sean de 3 o 4 lados, mientras los volúmenes de 4 o 6 caras, y en caso contrario usar los comandos de concatenar o de sumar líneas o áreas.

C

La elección entre mallar con elementos láminas o con otros tipos de elementos, no es a veces tan evidente, particularmente en el caso de flexión. Con elementos SHELL es más fácil y rápido mallar piezas espaciales que con elementos volumétricos, y aunque sólo mallan superficies, con el espesor pueden llegar a simular bien el volumen de muchas piezas. Si la modelación requiriera de elementos láminas de espesor grueso, se emplean los SHELL de formulación mixta MITC, ya estudiados. Es común por ejemplo modelar vigas de paredes delgadas con ellos, mallando las alas y alma de forma independiente, lo que permite modelar con más precisión los detalles de la viga, que con el empleo de elementos BEAM. Aunque últimamente han surgido nuevos elementos BEAM (BEAM 188 y BEAM 189), más precisos en el cálculo de


vigas. El usuario debe pues, hacer un análisis cuidadoso para emplear los elementos SHELL, siempre que sea posible. vigas. El usuario debe pues, hacer un análisis cuidadoso para emplear los elementos SHELL, siempre que sea posible. Los comandos para la preparación y el mallado con elementos sólidos volumétricos, son semejantes a los empleados con elementos planos y láminas. Los comandos para la preparación y el mallado con elementos sólidos volumétricos, son semejantes a los empleados con elementos planos y láminas. PreProcessor > Meshing-Size Control > Basic.PreProcessor > Meshing-Size Control > Basic. Activar el proceso de mallado de entidades, quitando la señal OFF. PreProcessor>Meshing-Size Control>Size>No. of elem. Division. Se da la cantidad de elementos que se desea usar, en el mallado. El programa la asume como un valor aproximado. Preprocessor > Meshing-Size Control > Mesh Opt. > Free Mallado uniforme (“Mapped”) o > Mapped libre (“Free”). Selección de la forma del elemento: Hexaedro o Tetraedro. PreProcessor > Meshing-Mesh > Volumen. Ejecuta el mallado de los volúmenes que se le señale.

Mallado inteligente.

l Mallado inteligente o Smart Size es una opción de mallado de figuras que suelen ofrecer los programas, que selecciona un tamaño de los elementos iniciales para generar a continuación un mallado tipo “Free”, de forma más optimizada y automáticamente. Brinda al usuario la mejor opción de seleccionar razonablemente el tamaño de los elementos en un mallado automático. Provee un rango de densidad del mallado a ejecutar, desde grueso hasta fino, a ser seleccionado por el usuario, pero seleccionando el propio algoritmo la mejor densidad del mallado y forma de los elementos, a partir de la densidad seleccionada por el usuario. Este algoritmo primero computa un estimado inicial del tamaño de los elementos en los lados de todas las líneas, áreas y volúmenes a ser mallados. Esos tamaños de los elementos son a continuación refinados, para adecuarse a las curvaturas y geometrías complejas de la figura. Gracias a que los elementos de todas las líneas y áreas son dimensionados antes del comienzo del mallado, la calidad del mismo no dependerá del orden en el cual sean malladas esas entidades. Si se desea emplear elementos cuadriláteros o hexaédricos en un mallado con Smart Size y se le ordena al programa, éste trata de hacerlo con esos elementos, pero si van a quedar muy deformados, automáticamente los cambia para triángulos o tetraedros, que permiten acomodarse a configuraciones complejas de la figura, con menos deformaciones de sus geometrías. Este algoritmo se accede por medio de, Main Menu > Preprocessor > Meshing - Size Control > SmartSize > Basic > O también por: Main Menu > Preprocessor > Meshtool > El Smart Size es preferido para el mallado de figuras especialmente complejas, en modelos espaciales y se recomienda emplear cuando falla el mallado tradicional que brinda el programa.

E


Capítulo 8.

Condiciones de Apoyos y Cargas. La Solución.

Constreñimientos de los grados de libertad (DOF). Apoyos reales y simulados. Tipos de Cargas. Desplazamientos. Fuerzas. Cargas superficiales. Cargas volumétricas. Elementos con Pretensión inicial. Tipos de Problemas y de Análisis por el MEF. El análisis estructural Estático y lineal-elástico. Análisis no – lineales. Problemas térmicos. Problemas de fluidos. Problemas Dinámicos. Métodos de solución. Frontal Solver. Jacobi Conjugate Gradient (JCG). Prconditioned Conjugate Gradient. Sparce Direct Solver.

Constreñimientos de los grados de libertad (DOF).

n el Capítulo 4 fue explicado el concepto de grados de libertad de los nodos de los elementos finitos (DOF), y se estudió que en el espacio, pueden llegar a ser 6: 3 de traslación y 3 de

rotación, en el caso de problemas Estructurales. Se vieron también los distintos DOFs que tienen los diferentes tipos de elementos. Constreñimientos son los grados de libertad de los nodos que están impedidos de moverse, por estar ligados a “tierra”. Los nodos constreñidos constituyen por tanto, los apoyos a “tierra” de la estructura o pieza. En el caso de problemas Térmicos o de Fluidos, es necesario también imponer constreñimientos a los DOFs, que serán en estos casos temperaturas, presiones o velocidades, con valores conocidos y fijos dados por el usuario inicialmente.

E

En dependencia de los DOFs que queden constreñidos, en los problemas estructurales se tienen distintos apoyos, siendo los más usados los siguientes (Fig. 54).

• El simple apoyo. Quita un solo DOF traslacional, en una dirección dada, que puede ser en el eje X, en Y o en Z. Se trata de la eliminación de los desplazamientos: u, v, o w.

• La articulación plana. Usada en figuras planas, quita los 2 DOF de traslación que pueden existir en el plano: u y v, dejando libre para moverse la rotación Rz.

• La articulación espacial. Quita los 3 DOF traslacionales que pueden haber en el espacio, dejando libres los 3 DOF rotacionales.

• El empotramiento plano. Elimina los 3 DOF que pueden haber en el plano: u, v, y Rz. • Empotramiento espacial. Elimina los 6 DOF del espacio.

Generalmente los modelos a ser resueltos por el MEF con DOF de desplazamientos (elementos estructurales), tienen que estar ligados a “tierra”, es decir ser estáticos y no tener movimientos libre

García de la Figal, Javier Capitulo 8 177 Condiciones de Apoyos y Cargas. La Solución.

respecto a ella. En caso contrario se dice que el sistema tiene movimiento de Cuerpo rígido, que es cuando en una dirección dada, todo el modelo tiene libertad de moverse de forma conjunta. Otro tipo de movimiento que pudiera ocurrirle es el movimiento como mecanismo, cuando una de las partes del modelo se mueve respecto a otras. Los programas abortan la solución cuando detectan alguna de estas 2 situaciones. Esto es así para la mayoría de los análisis abordados por este método, aunque los hay que sí admiten movimientos respecto a “tierra”, como son los análisis Dinámicos, en que admiten el movimiento de la pieza completa (de cuerpo rígido). Vea Tipos de Problemas y Análisis por el MEF en este propio Capítulo. Por otro lado hay elementos finitos especiales que simulan articulaciones entre elementos, o sistemas muelle-amortiguadores, con los que pueden modelarse mecanismos. Para declarar los constreñimientos en los modelos se le ordena al programa que el desplazamiento correspondiente al DOF que se desea constreñir, tiene un valor nulo. Es decir que los programas pueden imponer desplazamientos en los nodos y para señalar un constreñimiento se declara que el desplazamiento en la dirección deseada, es nulo. Para ello se entra a trabajar en otro de los módulos del programa, denominado SOLUTION en el cual se continúan conformando los parámetros necesarios para la simulación del problema. Así en este nuevo módulo se operan los comandos para imponer los apoyos al modelo, a través del camino, Solution > Loads-Apply > Displacement > On Nodes. El mismo permite marcar con el “mouse” los nodos a los que se les van a eliminar DOFs. Al marcar “On Nodes”, se abre una ventana que pregunta por los DOF de esos nodos que se desean eliminar. En ese momento está reclamando por el valor del desplazamiento que se desea imponer a esos nodos, pero al darle un valor nulo, se está de hecho imponiendo un constreñimiento. En dependencia de los DOFs que se eliminen, así será el tipo de apoyo que se impone, como muestra la Fig. 54.

a)

v = 0

X

Y b)

u = v = 0

X

Y c)Y

X

Z

u = v = w = 0

e) Y

XZ

u = v = w = 0Rx = Ry = Rz = 0

d)

X

Y u = v = 0Rz = 0

Fig. 54.- Principales tipos de Apoyos. a) Simple apoyo. b) Articulación plana. c) Articulación espacial. d) Empotramiento plano. e) Empotramiento espacial.

u – desplazamiento en dirección X. v – desplazamiento en dirección Y. w – desplazamiento en dirección Z. X, Y, Z - sistema coordenado Global.


Apoyos reales y simulados.

os apoyos generados por los programas son absolutamente rígidos, o sea que eliminan completamente los DOF seleccionados, por lo que pueden considerarse como perfectos. Pero los

apoyos reales dejan casi siempre libertad para algún pequeño movimiento. En la práctica no existe articulación ni empotramiento perfectos. Una vía para simular el apoyo real es no constreñirlo como se indicó más arriba, sino modelarlo por medio de muelles (elementos SPRING), los cuales permiten controlar el grado de movimiento que deja el apoyo, dado por la rigidez del muelle seleccionado. Para ello hay que conocer al menos aproximadamente, la magnitud de esas rigideces, que simulen adecuadamente al apoyo real. Es necesario conocer entonces el grado de empotramiento que cada tipo de unión tiene y que mide cuanto se aleja la unión de ser una articulación perfecta. Para esto véase el ANEXO 3. Sin embargo, si lo que interesa son las Reacciones en los apoyos y la estructura es estáticamente determinada, la rigidez del apoyo carece de importancia. En el sistema de la Fig. 55 por ejemplo, las reacciones son independientes de las rigideces de los muelles. Por supuesto, los desplazamientos y esfuerzos en la barra sí dependen de esa rigidez.

L

P

Fig. 55.- Viga soportada por muelles.

Otra situación relacionada con los apoyos reales, es que en ocasiones ocurre que el constreñimiento de un DOF actúa en un solo sentido,- dejando libre el movimiento en el sentido contrario. Los constreñimientos de los programas sin embargo, son siempre en ambos sentidos de cada DOF. Para solucionar esta situación en estos casos, se realiza una primera corrida con los apoyos simulados y de los resultados obtenidos, se detectan los sentidos irreales (por ejemplo, los que dieron constreñimientos negativos, y que deben ser libres en ese sentido). A continuación se quitan esos apoyos al modelo y se “corre” nuevamente, simulando entonces el verdadero comportamiento de esos apoyos. En ocasiones es necesario colocar apoyos adicionales a los estrictamente necesarios para garantizar que el modelo sea estático, para evitar que se comporte como un mecanismo o con movimiento de cuerpo rígido. Estos comportamientos son muchas veces fáciles de detectar, pero hay situaciones en que no. En la Fig. 56 a) se muestra una estructura compuesta por vigas BEAM 2D, que como se sabe admiten solo 3 DOF por nodo: u, v, Rz. Dado que el problema es realmente plano, bastan los apoyos mostrados para que el sistema sea estable y pueda ser resuelto por el programa. En la Fig. 56 b), se muestra la misma estructura, pero ahora conformada con elementos láminas, que son siempre de 6 DOF, es decir espaciales. Aunque parece seguir siendo estable, el programa no la “ve” como tal, pues la considera con posibilidades de moverse en el eje Z y alrededor de X. Situaciones semejantes son comunes en modelos que simulan sistemas muy largos, como es el caso, por ejemplo del brazo de una grúa.


P

Pa) b)

Y

X

Z

X

Y

Fig. 56.- a) Estructura de elementos vigas 2D. b) Estructura de elementos láminas (SHELL).

La inestabilidad del modelo de la Fig. 56 b ) se resuelve adicionando constreñimientos a los movimientos en la dirección z del modelo, y en la rotación alrededor de x. Con esto el programa lo considerará estable y puede entonces resolverlo. En general es recomendable adicionar como constreñimientos todos los DOFs de los nodos que no interesen en el comportamiento de la estructura, lo que además de resolver problemas de posibles inestabilidades, simplifica el modelo, algo importante sobre todo en los compuestos por muchos elementos. Debe recordarse que lo importante no es tanto modelar la estructura, como su comportamiento.

Tipos de Cargas.

as cargas que pueden imponerse a los modelos en los programas de EF, son múltiples y variadas, como se muestra a continuación.

L

Desplazamientos

Cargas Aceleraciones (Inercias, gravedad)VelocidadesPresiones (sobre superfficies, sobre líneas o en fluidos )TemperaturasFlujos de calor (Conducción, convección, radiación )Otras

Fuerzas / Momentos (Nodales, es decir concentrados )


En realidad todas las cargas el programa las “coloca” o en los nodos del modelo (siendo entonces cargas concentradas), o en los elementos finitos directamente (cargas distribuidas), pues así es como puede resolver el sistema de ecuaciones de equilibrio ( 5 ). Aunque el programa permite que el usuario coloque algunas cargas en cualquier punto o entidad del modelo (superficies, líneas, etc), las que llevará a los nodos o elementos correspondientes automáticamente, a los efectos de los cálculos.

q y

FY

FX

Y

X

xy

X, Y Sistema coordenado Global

x, y Sistema coordenada delelemento

Fig. 57 . - Cargas sobre un elemento BEAM.

FX, FY - fuerzas concentradas nodales. q y - fuerza distribuida en el elemento. Aquí surge un problema en los programas, consistente en que el sistema coordenado de los nodos coincide con el sistema coordenado Global X, Y, Z, como ya ha sido indicado (Capítulo 6), mientras que el sistema coordenado de los elementos es el correspondiente sistema coordenado del elemento x, y, z, el cual varía según el tipo de elemento (véanse las Fig. 45, 46, 47, 48 y 49, del Capítulo 6). Un aspecto muy importante a la hora de imponer una carga al modelo, será entonces saber en qué sistema coordenado se está colocando, pues pueden no coincidir los ejes de una carga nodal con otra sobre un elemento. Esto se ilustra en la Fig. 57, en que se pretenden colocar todas las fuerzas perpendiculares a una viga inclinada, pero las cargas en un extremo se colocaron como cargas nodales (FX, FY), pues son concentradas, mientras que la distribuida en la viga ( qy ), es considerada por el programa como una carga en el elemento. Esto da por resultado que las cargas nodales colocadas en los extremos, queden incorrectamente ubicadas, al no estar perpendiculares a la viga como se deseaba. Las fuerzas concentradas en este ejemplo, deberán colocarse en las direcciones de los ejes del elemento x, y, descomponiéndolas vectorialmente en esas direcciones. A continuación se brindan algunas características de los principales tipos de cargas, para lo cual es bueno que el lector refresque el concepto de grado de libertad (DOF), visto en el Capítulo 5. Desplazamientos. La carga desplazamientos se impone directamente por el usuario en los nodos, aunque hay programas que permiten señalar la línea o área deseada, e imponen los desplazamientos señalados a todos los nodos contenidos en esa entidad. Los desplazamientos impuestos pueden ser de traslación


(u, v, w) y de rotación (RX, RY, RZ). Para que un nodo admita un desplazamiento dado, tiene que pertenecer a un elemento con capacidad de DOF en esa dirección, pues de hecho constituyen también los DOF del modelo. Así, a los elementos LINK o TRUSS no pueden imponérseles desplazamientos rotacionales, pues sólo admiten los desplazamientos u, v, w. Los desplazamientos pueden ser cargas pero también pueden ser constreñimientos. Ya se vio más arriba que los DOF que actúan como constreñimientos, que son imprescindibles para que el modelo sea estático y cinemáticamente invariable; se obtienen imponiendo desplazamientos nodales nulos; mientras que como cargas con valores no nulos, implican desplazamientos de los nodos impuestos por el usuario. Fuerzas. Las Fuerzas / Momentos serán casi siempre cargas de tipo concentradas y como tales, se aplican en los nodos del elemento, por lo que se refieren al sistema coordenado Global del modelo. En los problemas Estructurales, se refieren en efecto a las fuerzas y momentos aplicados en el modelo, pero el término de Fuerza puede significar también otros tipos de cargas, tales como se indica en el cuadro siguiente. Tipo de Problema Fuerza Label Observaciones Estructural Fuerzas FX, FY, FZ Momentos MX, MY, MZ Térmico Heat flow rate HEAT calor / tiempo Fluido Fluid flow rate FLOW Las Fuerzas / Momentos con los que pueden trabajarse en los programas, pueden ser de ambos tipos, es decir Fuerzas y/o Momentos, para lo cual el elemento tiene que disponer también de los DOF correspondientes. Así a un elemento con posibilidades de DOF traslacionales solamente, sólo pueden imponérsele Fuerzas; para admitir Momentos requiere que posea DOF rotacionales. Todas las Fuerzas / Momentos aplicados, el programa las considera al final como aplicadas a los nodos, o sea Fuerza Nodales concentradas, pues son las necesarias para conformar los sistemas de ecuaciones de equilibrio ( 5 ) para resolver el problema. Como en el caso de los desplazamientos, pueden haber comandos que permitan colocar las fuerzas en los nodos, con sólo señalar la línea, superficie o volumen donde los nodos se encuentran ubicados realmente, pero que serán trasladadas a los nodos antes de proceder al cálculo por parte del programa. Hay sin embargo una excepción, en que esta carga no será concentrada en los nodos, y es cuando el usuario la coloca como distribuida en una línea. Es el caso de una fuerza distribuida sobre una viga, la que queda como una carga distribuida aplicada en los elementos ( carga q y de la Fig. 57). Las Fuerzas Nodales por ser concentradas usualmente producen grandes desplazamientos del nodo cargado, comparados con los nodos cercanos; junto con grandes esfuerzos en ese nodo. Este comportamiento puede no ser real, pues por concentrada que pueda ser una carga verdadera, nunca quedará colocada en un único nodo. Si los elementos unidos al nodo cargado son mayores que la verdadera área cargada, estos efectos son insignificantes para el resto de la pieza, pues la carga nodal queda “extendida” sobre esos elementos. No obstante los grandes esfuerzos resultantes en


esos nodos cargados, pueden no tener significado real y deben interpretarse como tales. Los mismos se incrementan con el refinamiento de la malla en esa zona, y son conocidos como esfuerzos espurios. Para evitar esos esfuerzos grandes e irreales, es mejor colocar fuerzas distribuidas; o cargas nodales pero en elementos grandes, o sea en zonas con pocos elementos. Debe aclararse que no todos los esfuerzos obtenidos en esos nodos, tienen que ser irreales, como se explicará mas detalladamente en el Capítulo 9. Cargas superficiales. Este tipo de carga puede ser aplicada tanto en los nodos como en los elementos, debiendo tenerse presente la diferencia de ejes coordenados de cada uno de estos componentes del modelo. Pueden ser cargas sobre áreas, es decir sobre caras de los elementos, siendo presiones propiamente dicho; o sobre líneas (elementos lineales BEAM o LINK), o sea cargas linealmente distribuidas. Tipo de Problema Carga superficial Label Observación Estructural Presiones PRES Sobre áreas, líneas o elemen tos Térmico Convección CONV Heat flux FLUX Calor / area-tiempo La presión PRES se aplica como una carga superficial en los problemas Estructurales, mientras que como un DOF en los problemas de Fluidos. Esto significa que en este tipo de problema hay que imponer imprescindiblemente presiones, pues constituirán los constreñimientos del modelo, mientras que es por supuesto optativo en los problemas Estructurales. Véase Grados de Libertad del Capítulo 5, y Constreñimientos de los grados... en este propio Capítulo. Cargas volumétricas. (Body loads). Son determinados tipos de cargas que se agrupan en esta denominación, como las que se muestran a continuación. Son cargas que se aplican en el volumen de los elementos, aunque algunas de ellas pueden ser aplicadas en sus nodos, a voluntad del usuario. Como se observa en la Tabla inferior, la temperatura es trabajada en los elementos estructurales como una carga volumétrica. En elementos de tipo Térmicos, sin embargo, constituye uno de los DOF (véase el Capitulo 5), por lo que hay que darla siempre obligatoriamente, de modo que queden bien definidos los contornos térmicos del modelo. Serán de hecho, sus constreñimientos.


Tipo de Problema Body Loads Label Observación Estructural Temperaturas TEMP Fluencia FLUE Aceleraciones lineales ACX, ACY, ACZ --- Aplic. del peso Aceleraciones angulares OMX, OMY, OMZ Térmico Heat generation rate HGEN Calor /volumen-tiempo Algunos de los principales comandos para la aplicación de las cargas son los siguientes. Solution > Loads-Apply > Displacement > On Nodes. Solution > Loads-Apply > Force/Moment > On Nodes. Solution > Loads-Apply > Pressure > On Nodes. > On Line > On Area. > On Element > On Beam. Solution > Loads-Apply > Gravity > Solution > Loads-Apply > Tempratures > Solution > Loads-Apply > Others >

Elementos con Pretensión inicial.

n diversos problemas es de interés considerar la existencia de una pretensión inicial en la pieza, antes de aplicarle alguna de las cargas anteriores y proceder a su solución. Puede deberse a:

E

• Expansiones térmicas de los elementos de la estructura o piezas, ocurridas antes de la aplicación de las cargas externas.

• Distintos tipos de fijaciones, tales como por interferencia, aprietes y otros. • Pernos de unión pretensionados.

La pretensión inicial puede crearse por medio de una deformación inicial de una forma simple en prácticamente cualquier elemento, mediante la imposición de un desplazamiento prescrito como un primer Caso de carga, con su correspondiente “corrida” o solución; y luego un 2 o Caso de carga con las cargas externas deseadas. Se trata entonces de 2 “corridas” del modelo por intermedio del comando RESTART. Hay, sin embargo, elementos finitos – principalmente muchos de los lineales -, que permiten una deformación inicial que puede ser especificada directamente al ser definido el elemento, en su correspondiente REAL CONSTANT. Se trata de los elementos: LINK 2, LINK 8, LINK 10 Elementos con BEAM 3, BEAM 4, BEAM 44, BEAM 54 posibilidad de pre - BEAM 188, BEAM 189 tensión en forma de deformación inicial. PIPE 59


En el caso específico de la simulación de pernos de unión, es recomendable incluir el perno (que puede ser uno de los anteriores elementos LINK o BEAM), con una deformación inicial producida por la fuerza inicial o de montaje requerida en la unión. Esta deformación inicial necesaria, puede ser calculada “a mano” y se le introduce al elemento por parte del usuario, a través de su REAL CONSTANT. Esta solución es mejor que reemplazar el perno por las 2 fuerzas opuestas que actúan sobre él, pues así al ocurrir otras cargas posteriores sobre el modelo, no se cambian estas 2 fuerzas iniciales en el perno. En la realidad nuevas cargas modifican la carga sobre el perno, porque está interactuando con todo el conjunto. Existe un nuevo elemento, el PRETS 179 que permite aplicarle una pretensión inicial a una pieza modelada con elementos SOLID 2D (PLANE) o SOLID 3D, dígase un perno. De modo que se simula la pretensión deseada en el perno a través del elemento PRETS 179, el que se la trasmite a los elementos SOLID del perno. La pretensión puede ser aplicada en forma de una fuerza inicial o de un desplazamiento inicial. Permite modelar el perno de forma mucho más detallada, al emplear elementos SOLID en él, en lugar de elementos lineales. De este modo posibilita hacer un análisis mucho más preciso y en detalle de toda la zona de unión, y todo con una sola “corrida” del modelo. La pretensión inicial permanece invariable durante la aplicación de las cargas externas y su posterior solución. Si la unión modelada causa interacción a través de los contornos de las superficies o líneas de las piezas, y es posible que éstas puedan separarse, es mejor usar elementos tipo GAP (los elementos CONTAC 48, CONTAC 49), con un “juego” inicial negativo. Es el caso por ejemplo, de 2 bridas fuertemente unidas entre sí por medio de tornillos pretensionados, pero que la presión interior de los tanques a que pertenecen, tienda a separarlas y en efecto lleguen a separarse en algún momento bajo la acción de la presión. Las bridas deben modelarse unidas por los elementos de contacto.

Tipos de Problemas y de Análisis por el MEF.

na vez terminadas de simular las cargas externas y los apoyos se tiene completado el modelo, quedando listo para la ejecución de la solución, donde se conforma y resuelve el sistema de

ecuaciones de equilibrio ( 5 ). Este proceso se conoce como la “corrida” o solución del programa o modelo. Pero previamente hay que seleccionar el tipo de Problema de ingeniería de que se trata, y el tipo de Análisis que se necesita ejecutar dentro de cada tipo de Problema. Existen en las Ingenierías en efecto, múltiples tipos de problemas y de formas de analizar cada uno de ellos, que los programas modernos pueden efectuar a través del MEF, siendo por ejemplo, uno de los más empleados dentro de los Problemas, los de tipo Estructural. Dentro de este a su vez, algunos de los Análisis que pueden realizarse son:

• Static, estacionario o estático. • Transient o respuestas a cargas trasientes (impactos). • Buckling o Pandeo. Analisis en

Harmonic o análisis de Repuestas de Frecuencias. Problemas • Spectrum o análisis dinámicos con cargas aleatorias. Estructurales • Modal o análisis Modales.

U


En todos los tipos de Problemas el Análisis más común y empleado es el Estático o Estacionario, en el cual a su vez pueden efectuarse varios tipos de opciones. Así, en los Problemas de tipo Estructurales, el análisis Estático posee varias opciones, tales como el Análisis lineal elástico, que es el más recurrente en los cálculos estructurales de resistencia, sobre todo por los principiantes. O los distintos tipos de Análisis No Lineales, grupo muy amplio en el que están todos los tipos posibles de no linealidades estructurales existentes: geométricas, del material, de contornos y por el desarrollo de grietas. En los epígrafes siguientes del Capítulo se exponen los principios de algunos de estos tipos de Problemas (El análisis estructural estático y lineal-elástico, Análisis no – lineales, Problemas Térmicos, Problemas de Fluidos). En la próxima pagina se muestra un cuadro resumen con los diversos tipos de Problemas de Ingeniería, posibles de abordar por la mayoría de los programas modernos y sus correspondientes Análisis. Así pues lo primero a definir antes de proceder a la solución o “corrida” del modelo, es el tipo de Problema de Ingeniería a abordar, para lo cual se recurre al comando del “MAIN MENU”, Main Menu > Preferences > Donde se selecciona el tipo de Problema. Luego se pasa a la definición del tipo de Análisis deseado, a través del comando correspondiente, que se encuentra en el módulo de trabajo denominado SOLUTION, y que es el siguiente. Solution > Analisys Type > En el que se selecciona el tipo de Análisis deseado: Static, Trasient, Buckling, .......... etc. Una vez cumplida esta etapa, es que se procede a colocar las cargas externas al modelo y los apoyos o constreñimientos, quedando entonces listo todo para “ejecutar” la solución. El comando para ordenar la ejecución o “corrida” del programa, o sea proceder a hallar la solución, es: Solution > Solve > Current LS > O.K. Con el mismo el programa procede a conformar el sistema de ecuaciones ( 5 ) del sistema, pasando a continuación a “ejecutar” su solución, avisando el final exitoso del proceso, a través del despliegue de algún tipo de mensaje, tal como:

Solution is Done !


Problemas de Ingeniería. Tipos de análisis. Lineal – elástico

Estáticos No lineales Véanse los tipos más adelante. Estructurales Ortotrópicos ( Composites ) Buclking Lineal–elástico. No-lineales (snack back o through) Plásticos Trasientes ( modelación de cargas de impacto ) Espectrales Armónicos Fatiga Estacionarios o Adiabáticos Térmicos estáticos Térmicos. Trasientes Térmicos Adiabáticos Laminar Adiabático Incompresibles Fluidos Turbulento Térmico Laminar Adiabático Compresible Turbulento Térmico No-Newtonianos Electrostáticos Eléctricos Conducción eléctrica Magnéticos.


Los Problemas de Ingeniería y los Análisis aquí expuestos pueden combinarse entre sí, como ocurre frecuentemente en los problemas reales. Así es posible combinar problemas Estructurales con los de tipo Térmico, para analizar por ejemplo las tensiones térmicas que surgen debido a procesos de transferencia de calor en una estructura o pieza. O estudiar mediante modelación el surgimiento de esfuerzos y desplazamientos en una pieza, debido a la acción de un flujo de agua que incide sobre ella, mediante la combinación de un Problema de Estructuras con uno de Fluido. Es decir que los programas permiten la combinación de varios tipos de Problemas con sus respectivos Análisis, para abordar de forma más fiel el verdadero y complejo comportamiento de los problemas reales. Varias de estas posibles combinaciones accesibles en los programas son las siguientes.

• Térmicos – estructurales. • Magnéticos- estructurales • Electrostático – magnético – térmico – estructural • Piezoeléctrico • Térmico – fluido • Fluido – estructural • Térmico – electrostático • Térmico – magnético • Eletrostático – magnético – circuito.

s muy importante señalar que cada uno de los Problemas y Análisis mencionados, se resuelven por el programa basado en las distintas Formulaciones matemáticas de los elementos, que están a

su vez vinculadas con las teorías de calculo existentes en las Ingenierías. Estas ultimas se refieren a los distintos procedimientos de cálculo y teorías desarrollados en las diferentes ramas. Así, en el caso de los Problemas Estructurales se tienen las teorías de cálculo aplicables a cada tipo de elemento estructural, vistos en Tipos básicos de elementos finitos del Capítulo 5, cada uno de los cuales tiene sus fórmulas e hipótesis de cálculo bien conocidas por el ingeniero. Igual sucede con los restantes tipos de Problemas y de Análisis. El pretender abordar uno de ellos por el MEF, no exime por tanto al especialista, del conocimiento más profundo de sus correspondientes bases y teorías de cálculo, para poder tener éxito en sus análisis.

E

A continuación se exponen algunos principios básicos de varios de los más importantes Problemas con sus respectivos Análisis. El Análisis estructural Estático y lineal – elástico.

l análisis Estático y lineal-elástico es con mucho el más empleado dentro de los Problemas de tipo Estructurales, por la mayoría de los usuarios, sobre todo por parte de los que se dedican a

cálculos de ingeniería. Es aquél que considera únicamente cargas estáticas, es decir las que se aplican muy lentamente hasta alcanzar su valor final y luego quedan constantes, de modo que no produzcan ningún tipo de efecto dinámico. Además, considera que el material tiene un comportamiento lineal - elástico perfecto como se muestra en la Fig. 58 a), por lo que los elementos finitos que lo emplean están soportados por las ecuaciones correspondientes de la Teoría de la Elasticidad. Es el más simple de todos los análisis que se pueden realizar por el MEF, y cubre una buena gama de problemas reales que se resuelven adecuadamente con este tipo de análisis. Desde el punto de vista del MEF la linealidad se expresa porque las ecuaciones de equilibrio del sistema:

E


{ F } = [ K ] * { U } ( 5 )

se comportan linealmente, es decir la matriz de rigidez global del modelo [ K ] es constante en todo momento. No obstante el usuario debe hacer un estudio cuidadoso para determinar si esta opción es capaz de modelar adecuadamente su problema y en todo caso, tener presente las limitaciones que impone su uso. En especial, prever que el valor de los esfuerzos no tendrá límites y que al calcularlos por ejemplo en un concentrador de tensiones, según la teoría elástica, pueden tender al infinito. Análisis no - lineales .- Las No – linealidades estructurales pueden deberse a 5 causas fundamentales.

Debido a los materiales con comportamientos no–lineales. No – linealidades del material. Por cambios en la geometría del modelo. No – linealidades geométricas. Desplazamientos dependientes de condiciones de contorno. No–linealidades de contorno. Fuerzas dependientes de las condiciones de contorno. Fuerzas BC. Por el comportamiento y desarrollo de grietas en el material. Mecánica de la Fractura.

Todas estas situaciones provocan que el sistema de ecuaciones ( 5 ) tenga un comportamiento no – lineal, lo que se manifiesta porque la matriz de rigidez global [ K ] del sistema es variable durante la aplicación de cargas externas. Esta es la causa en principio y en todos los casos, de las No – linealidades estructurales. A continuación se da una breve explicación de algunas de ellas.

os programas modernos admiten comportamientos del material de muchos otros tipos además del lineal - elástico, más acordes con los materiales realmente existentes, conocidos como materiales

con comportamientos no lineales, o No linealidades del material. Se trata de aquellos materiales cuyas curvas del diagrama σ v.s. ε no son lineales, sino que responden a distintas funciones matemáticas. Entre estos materiales están:

L

σ

ε0

Py

L

A

A

A - A

b)a)

δ

x

Y zY

max

Fig. 58.- Distintos tipos de Análisis Estructurales.

a ) Diagrama de material lineal y perfectamente elástico. b ) No – linealidad geométrica, en una viga flexionada, larga y fina.


• Multielástico. (MELAS). O sea elástico pero sin ser necesariamente lineal. • Anisotrópico. (ANISO, HILL). • Plasticidad isotrópica bilineal. (BISO). Es decir, curva σ vs. ε, con un tramo recto elástico y otro recto plástico. • Plasticidad isotrópica multilineal. (MISO). • Plasticidad cinemática bilineal. (BKIN). • Plasticidad cinemática multilineal. (MKIN). Plasticidades • Plasticidad isotrópica no lineal . (NLISO). • Plasticidad cinemática no lineal. (CHABOCHE). • Viscoplasticidad. (AMAND, RATE). Según el modelo de Amand, de Perzyna, o de Peirce. • Creep. (CREEP) Tanto viscoplástico como viscoelástico. • Viscoelasticidad. (EVISC). Según el modelo generalizado de Maxwell, u otros modelos. • Drucker-Prager. (DP). Para simulación del hormigón y materiales con partículas. • Hiperelasticidad. (HYPER). Modelo Mooney-Rivling, Neo-Hookean, Polynomial Form, o

Arruda-Boyce, todos para materiales incompresibles como los elastómeros. • Piezoeléctrico. (PIEZ).

Como se observa, el usuario tiene a su disposición una buena variedad de comportamientos mecánicos de los materiales (una de las 4 No linealidades estructurales existentes), para seleccionar el más adecuado para su problema. Aunque deberá tener en cuenta que no todos los elementos admiten todos los tipos de materiales descritos. Así, los elementos: SHELL 63, 99, 191, BEAM 3, BEAM 4, BEAM 44, solo admiten material lineal BEAM 54 - elástico. Mientras que los elementos: SHELL 43, 91, 93, BEAM 24, PLANE 42, 82, admiten además, los SOLID 45 y 92 diferentes tipos de plasticidades. Por otro lado, los elementos: SHELL 181, BEAM 188 y BEAM 189, PLANE 182 y 183 Todos los tipos de materiales, SOLID 185, 186 y 187, LINK 180. excepto: EVISC, PIEZ y DP. Este último grupo de elementos soportan incluso otros tipos de materiales, a ser definidos por el usuario. Se trata de la familia de elementos 18X; aunque el LINK 180 y el SHELL 181 no pueden trabajar con los materiales incompresibles (como la mayoría de los hiperelasticos), ni con los casi incompresibles. Esto es debido a que no son de formulación mixta desplazamientos / presión U / P, como los otros de la familia 18X. La selección del modelo de material, en todos los casos, se realiza a través de, Main Menu > Materials Props > Materials Models > MENU. Y es donde el usuario brinda los parámetros del modelo matemático del material seleccionado. Luego debe simular las cargas no como estáticas, sino irlas aplicando progresivamente, es decir en función del tiempo, de modo que el programa pueda recalcular la matriz [ K ] del modelo en dependencia de la relación σ v.s. ε del material, procediendo a continuación con la solución de


( 5 ) y todo para cada incremento de carga. El programa realiza todo esto de forma completamente automática, según se le programe por el usuario. Existe un grupo especial de elementos destinados a la modelación de materiales completamente o parcialmente incompresibles, caracterizados porque el coeficiente de Poisson es μ = 0.5 ó μ = 0.49, respectivamente. La mayoría de los completamente incompresibles son materiales hiperelásticos (como los elastómeros); mientras que en los casi incompresibles están los de comportamiento elasto – plástico, trabajando en la zona plástica con grandes deformaciones. Se trata de los elementos: PLANE 182 y 183, SOLID 185, 186 y 187, HYPER. Materiales incompresibles o casi. Todos ellos están basados en la formulación mixta desplazamiento / presión, U/P.

tra de las No - linealidades estructurales es la Geométrica, caracterizada también porque el comportamiento de las ecuaciones ( 5 ) es no – lineal, debido en este caso a que la matriz [ K ]

varía con los desplazamientos { U }. Uno de los muchos casos en que esto ocurre es el mostrado en la Fig. 58 b), de una viga fina de muy pequeño momento de inercia I z pero muy larga y sometida a flexión. En ella ocurren grandes desplazamientos, no siendo aplicables las hipótesis de Bernoullí para vigas, en especial la de la invariabilidad de las dimensiones originales. En efecto la viga de longitud inicial L antes de ser cargada, tiene una sensible disminución de su longitud horizontal luego de ser sometida a la carga externa, de modo que el acortamiento δ tiene que ser tenido en cuenta. Esto hace que no sean aplicables las ecuaciones de flexión de vigas de Euler - Bernoulli, en especial la que brinda la flecha máxima, que para el caso de la Fig. 58 b) vendría dada por,

O

y

max = P L 3 . 3 E I z La que no es válida ahora porque la rigidez de la viga: [ K ] = 3 E I z va aumentando con la L 3 aplicación de la carga, al estar disminuyendo constantemente la longitud real L. Los programas permiten tener en cuenta estos tipos de variaciones de las dimensiones originales de las piezas a medida que se van cargando. Para ello el usuario debe simular las cargas aplicándolas progresivamente, de modo que el programa pueda ir recalculando la matriz [ K ] del modelo y resolviendo ( 5 ) para cada incremento de carga. La activación de la No – linealidad geométrica se hace por el comando, Main Menu > Solution > Analysis Options > NLGEON > On. Con ello el programa activa las 3 posibles formas de No – linealidades geométricas: las denominadas de grandes deformaciones, las de grandes desplazamientos y las de grandes rotaciones. En la primera se consideran las deformaciones como finitas, es decir que no son infinitesimales, de modo que el programa va actualizando los cambios de orientación y de dimensiones del modelo (espesores, áreas, etc.) que las grandes deformaciones producen a medida que se va cargando; los desplazamientos y rotaciones pueden ser grandes o no. Puede ser habilitada en casi todos los elementos SOLID, PLANE, lineales y SHELL. Mientras que las No – linealidades de grandes desplazamientos y / o rotaciones asumen que los desplazamientos y rotaciones son grandes pero las deformaciones se evalúan de forma lineal, es decir no calculan grandes


deformaciones. Los 3 tipos se pueden modelar con la mayoría de los elementos SHELL y con muchos otros, entre los cuales se encuentran: BEAM 188 y 189, SHELL … Grandes desplazamientos, ro - PLANE 42, 72, 182 y 183 ... , SOLID 45, 73, 185, 186 y 187 ... taciones y deformaciones. Mientras que la mayoría de los elementos lineales solo admiten grandes desplazamientos y rotaciones. LINK 1, 8, 10, 11, BEAM 3, 4, 23, 24, 44, 54. Solo grandes desplazamientos y rotaciones. De modo que una buena parte de los elementos estructurales SHELL, SOLID 3D y SOLID 2D (o PLANE), pueden calcular los 3 tipos de No – linealidades geométricas. Por otro lado los distintos tipos de No – linealidades estructurales pueden actuar simultáneamente, como es el caso de la viga larga de la Fig. 58 b ), en que si llegan a producirse esfuerzos plásticos en el empotramiento, tendrá esta No – linealidad del material (es decir la plasticidad), junto con las No – linealidades Geométricas a la vez. Dentro de esta última se tendría solo grandes desplazamientos. Como se acaba de analizar, no todos los elementos que ofertan los programas pueden simular estos complejos comportamientos, por lo que para modelar las No – linealidades estructurales es muy importante el elemento a seleccionar, a lo que el usuario deberá dedicar una especial atención. Los elementos estructurales que en este sentido tienen mayores posibilidades son las siguientes, ya mencionados anteriormente: BEAM 188 y 189, SHELL 181, Admiten casi todas las No – linealidades del material SOLID 185, 186 y 187, LINK 180 (con las excepciones de EVISC, PIEZ y DP), PLANE 182 y 183 y todas las Geométricas. Como puede observarse, se trata de la familia de elementos 18X, que son los más poderosos en modelar No – linealidades estructurales. Los elementos SOLID 185, 186, 187, PLANE 182, 183, admiten además la simulación de materiales incompresibles (HYPER) y los casi incompresibles.

as No – linealidades de contorno, la 3 ra de las No Linealidades Estructurales, ocurren cuando durante el proceso de carga del sistema, tienen lugar cambios bruscos en el status de la matriz de

rigidez global [ K ], debido a diferentes causas. Uno de estos casos típicos es el de 2 superficies en contacto que se separan (o que se aprietan), durante el proceso de aplicación de las cargas, en los llamados Problemas de contacto. En todos estos casos se produce en determinado momento, uno o sucesivos cambios bruscos de la matriz de rigidez global [ K ] del sistema. Para la simulación de las No – linealidades de contorno se emplean elementos especiales, tales como:

L

CONTAC 12, 26, 48, 49, 52, CONTA 171, 172, 173, 174, 178. Elementos de Elementos TARGE 169, 173, 174. Contacto de cambios COMBIN 7, 14, 37, 39, 40. del Status LINK 10, SHELL 41, SOLID 65. de [ K ].


Cada uno con sus especificidades y campos de empleo particulares. Problemas Térmicos.-

os Problemas térmicos son aquellos en los cuales están involucradas las temperaturas y los flujos de calor en sus diversas formas (conducción, radiación, convección libre o forzada y radiación).

En su forma más general pueden ser:

L

Adiabáticos, en los que no hay transferencia de calor con el medio ambiente. Térmicos, en los cuales existe ese intercambio de calor. Estables (“Steady state”). Pueden ser también: Trasientes, que son los dependientes del tiempo. En la implementación del MEF a los problemas térmicos se hace uso de la Ley de Conservación de la Energía. Hay 2 grupos de elementos que tratan los Problemas térmicos. Uno de estos grupos esta constituido por casi todos los elementos destinados a los problemas Estructurales, los que admiten como propiedad adicional el coeficiente de dilatación térmica α, junto con la imposición de temperaturas como una de las cargas en los nodos o elementos. Con esto son capaces de determinar las deformaciones, desplazamientos y esfuerzos térmicos, debidos a los cambios de temperaturas, es decir se trata de problemas combinados térmicos - estructurales. Todo parte de la determinación de la deformación térmica ε, producida por un cambio de temperatura Δ T,

ε = Δl / l = α ∗ Δ T

En este tipo de Problemas combinados térmicos – estructurales, los programas emplean temperaturas absolutas en las propiedades y cálculos que realizan, aunque el usuario puede emplear cualquier sistema de unidades térmicas pues se trabaja con las diferencias de temperaturas. Es decir que puede emplear [ o C ] ó [ o F ], o por supuesto temperaturas absolutas, según sea su elección. Específicamente para el trabajo con el coeficiente α , el programa permite la definición de una temperatura de referencia TREF, que será la temperatura para la cual ε = 0, de modo que en la ecuación anterior:

Δ T = T – TREF

siendo T la temperatura de trabajo, que se introduce como carga en el modelo. En estos Análisis térmicos - estructurales la temperatura de referencia es muy importante pues define la temperatura para la cual se va a asumir que ε = 0, y se define por uno de los comandos,


Main Menu > Solution > Load > Setting > Temp. Ref. Main Menu > Solution > Foltran Set up > Flow envoirement > Ref. Condition > Temp. Ref (TREF). Por “default”, es decir de inicio, el programa considera la TREF = 0 o, pero para problemas que empiezan a la temperatura ambiente debe suministrarse: TREF = 25 0 C. Los elementos de tipo estructurales sólo admiten como cargas térmicas a las temperaturas, no pudiendo emplearse, por tanto los otros tipos de cargas térmicas, como los flujos de calor. La inmensa mayoría de los elementos estructurales que ofertan los programas tienen la opción de permitir dentro de sus propiedades el coeficiente de dilatación térmica α . El otro grupo de elementos son propiamente los térmicos, los cuales trabajan con las propiedades térmicas correspondientes, que deberán ser suministradas por el usuario al definir el elemento: K – Conductividad térmica. h – Coeficiente fílmico de convección. c - Calor específico. Entalpía. Emisividad térmica. Acerca de sus unidades de medidas consúltese Unidades de Medidas del Capítulo 4. Los elementos con posibilidades de Análisis térmicos son los siguientes. PLANE 35, 55, 75, 77, 78. SOLID 70, 90, 87. CONTACT 48, 48. CONTA 178. SHELL 57. LINK 32, 33, 34 MASS 71. COMBINE 14, 37, 39. Todos estos elementos con posibilidades térmicas admiten como uno de sus grados de libertad (DOF), a las temperaturas, que en los cálculos térmicos el programa las considera en unidades de grados absolutos. Algunos tipos de cálculos muy específicos ( Creep, radiación y algún otro), deberán trabajarse por el usuario sólo en temperaturas absolutas, por lo que tendrá que usar esa unidad de medida en esos análisis. Pero en los restantes Análisis térmicos puede cambiar para el sistema térmico de unidades deseado, suministrando una temperatura offset, TOFFST, que es la diferencia entre el 0 absoluto y el 0 del sistema de unidades térmicas que desea emplear. Al dar por ejemplo TOFFST = 273o K, ( o 460o R ), podrá trabajar todo el problema en [ o C ] ( o en [ o F ] ), aunque el programa siga realizando los cálculos en temperaturas absolutas. Los resultados se brindarán en [ o C ] o [ o F ] respectivamente. Esta TOFFST se da a traves de, Main Menu > Preprocesor > Materials Prop > Temp units > TOFFSET. Main Menu > Solution > Foltran Set up > Flow envoirement > Ref. Condition > Offset Temp. Además de las temperaturas estos elementos admiten también como cargas térmicas en los nodos y elementos, distintas formas de transferencias de calor. Las mismas pueden ser aplicadas en forma de cargas concentradas (equivalente a las fuerzas en los Problemas estructurales), superficiales o


volumétricas, como se explicara en un anterior epígrafe (Tipos de Cargas). Se suministran por parte del usuario a través de, Main Menu > Applied > Thermal > Temp Convection Cargas térmicas Heat Flux, Heat Generation. y Constrenimientos. Heat Flow, Radiation. Los Problemas térmicos, a diferencia de otros tipos de Problemas, pueden prescindir del establecimiento de las condiciones térmicas de contorno, las que no serian más que las temperaturas o tipos de transferencias de calor existentes en los bordes del modelo, es decir sus prescindibles constreñimientos térmicos. De hecho en muchos problemas puede ser suficiente para su adecuada modelación, la colocación de solo las cargas térmicas actuantes. Tanto las cargas como las condiciones de contorno permanecerán constantes durante la solución del problema, dándose ambas como cargas térmicas. Un aspecto importante en los Problemas térmicos es que hay que diferenciar los parámetros que se darán como cargas térmicas (“Loads”) en los elementos y nodos, de las condiciones térmicas iniciales del problema. Estas últimas serán las temperaturas válidas sólo al inicio de la solución, pero que podrán cambiar sus valores durante el desarrollo de la misma. Mientras que lo introducido como cargas permanecerán como constantes y fijas durante toda la solución. Las condiciones térmicas iniciales del modelo se dan por uno de los siguientes caminos, [ IC ] Main Menu > Solution > Loads > Apply > Initial Conditions > Temp [ TUNIF ] Main Menu > Solution > Setting > TUNIF. La diferencia entre ellos es que TUNIF (Temperatura uniforme) aplica la temperatura inicial a todos los nodos del modelo; mientras que IC permite aplicarla a los nodos deseados por el usuario, uno a uno. Por “default” TUNIF = TREF = 0 o. Problemas de Fluidos.-

os Problemas de Fluidos que abordan los programas pueden ser, en su forma más general de los siguientes tipos de Análisis:

L Incompresible Fluidos Newtonianos Compresibles, (cuando Mach > 0.3 ) Fluidos No-Newtonianos -- Dilatantes, seudoplásticos o viscoplásticos. Problemas de Transporte de especias. Sonido. Cambios de fases de estado. Advection.


Para ello se emplean elementos sustentados por las teorías correspondientes a los fluidos estáticos y sus flujos, es decir por las teorías de la Mecánica del Medio Continuo. Admiten como grados de libertad (DOF) en sus nodos a las presiones, velocidades, temperaturas y distintos tipos de energías (energía cinética y de disipación, de los fluidos turbulentos). Se trata de los elementos FLUID 141 que trabaja en el plano ( 2D, cuadrilátero de 4 nodos, o triangular de 3 ), y el FLUID 142 ( 3D, hexaedro de 8 nodos, o tetraedro de 5 ). Son elementos isoparametricos con funciones de forma lineales, lo que obliga al empleo de muchos y pequeños elementos en el mallado. Esta es una característica importante en el empleo de los elementos que simulan fluidos: la necesidad del empleo de mallados muy finos en todo momento. En la implementación del MEF a los problemas de fluidos por medio de la Mecánica del Medio Continuo, se hace uso de diferentes Principios bien conocidos de esta disciplina. • El Principio de Conservación del Momentum, para la determinación de las velocidades. • El Principio de Conservación de la masa, para los cálculos de las presiones. • La Ley de Conservación de la energía, para los cálculos de las temperaturas. Para estos análisis es indispensable conocer y suministrar al menos (es decir como mínimo), 2 propiedades del fluido, en el momento de definir el elemento, μ - la viscosidad, generalmente se trabaja con la dinámica. Problemas de Fluidos. ρ − la densidad del fluido. Propiedades. Las que se brindan a través de, Main Menu > Preprocesor > Foltran Set Up > Fluid Properties >

Las cargas sobre el fluido son las presiones, velocidades y / o energías que soportara en sus distintas partes, y deben ser suministradas por el usuario. Es necesario también establecer las condiciones de contorno del fluido, que son de hecho sus necesarios e imprescindibles constreñimientos. Se trata también de presiones, velocidades y / o energías, pero ahora en los bordes del modelo. Pueden ser dadas simplemente como cargas externas a través de, Main Menu > Solution > Loads > Apply > Fluid / CFD > Cargas y constrenimientos del fluido. En todos los Problemas de fluidos las presiones con las que en principio trabajan los programas en sus cálculos, son siempre las presiones absolutas p abs. Pero puede darse una presión de referencia p ref , a ser introducida por el usuario, de modo que en ausencia de gravedad y rotaciones, el usuario trabaje con la presión relativa p rel según, p abs = p rel + pref Donde la presión de referencia no seria más que la presión atmosférica, por ejemplo:

p ref = p atm = 101 350 [ N / m 2 ]


Que por cierto es el valor de p ref que da el programa por “default”, es decir que tiene habilitada desde el inicio del problema. En adelante todos los resultados y datos iniciales estarán como presiones relativas. La p ref puede ser redefinida por el usuario a través de, Main Menu > Solution > Foltran Set up > Flow Env .> Ref. Conditions > Press. Ref. Para trabajar por ejemplo, en otro sistema de unidades. Además, pueden darse las condiciones iniciales del problema, que son las presiones, velocidades o energías que serán validas solo al inicio de la solución, pero que luego podrán ir cambiando durante el desarrollo de la misma. Se dan por, Main Menu > Solution > Loads > Apply > Initial Conditions > Velocities, Pressures, Energy. Si no se brinda nada por parte del usuario sobre ellas, el programa las asumirá como nulas. Otro aspecto a considerar es la condición inicial de las propiedades del fluido, que es la presión que el programa tomara como inicial para las propiedades del fluido al inicio de la solución, si las propiedades se suministran como no constantes. Pero que podrán cambiar (y seguramente cambiaran), a lo largo de la solución. Se trata de la presión absoluta, obtenida según lo suministrado por el usuario. Así por ejemplo, si no se especifica ninguna presión como condición inicial ni como contornos, la presión absoluta que tomara el programa para las propiedades iniciales del fluido, será la p ref.

s muy común que los Problemas de fluidos estén ligados con los Problemas térmicos, sobre todo en problemas de fluidos compresibles. Para ello se siguen empleando los elementos FLUID 141 y

FLUID 142, siendo necesario en esos casos al seleccionar estos elementos suministrarle al programa las siguientes propiedades para proceder a estos análisis combinados fluidos – térmicos.

E

μ - la viscosidad, generalmente se trabaja con la dinámica. ρ − la densidad del fluido. c – calor específico. Problemas de Fluidos y K – conductividad térmica del fluido Térmicos. Propiedades. Lo que se hace a través de, Main Menu > Preprocesor > Foltran Set Up > Fluid Properties > En estos problemas combinados los análisis pueden ser, además de los propios de los fluidos, como: Adiabáticos. Cuando no hay intercambio de calor con el medio ambiente externo al modelo. La temperatura del fluido permanecerá constante.

Térmicos. En los que ocurren intercambios de calor con el medio ambiente.


Todos los problemas combinados fluidos – térmicos admiten las mismas cargas propias de los fluidos (presiones, velocidades, ... ), así como las térmicas (temperaturas y transferencias de calor). Para la aplicación de estas ultimas, véase el epígrafe anterior. Es también imperativo establecer las condiciones de contorno del fluido, pues constituyen sus indispensables constreñimientos, que permanecerán constantes a lo largo de toda la solución. Se trata de los valores de presiones, velocidades, o energías en los contornos del modelo y se dan como cargas por medio de, Main Menu > Solution > Loads > Apply > Fluid / CFD > Además pueden darse las condiciones térmicas de contorno, que son las temperaturas y los distintos tipos de transferencias de calor (heat flux, volumetric heat sources, heat transfer (film) coefficient y radiación), en los bordes del modelo. Se dan también como cargas térmicas, y pueden no ser imprescindibles para la modelación y corrida del sistema, como ya se apuntara para los Problemas térmicos en general. Para su aplicación véase el epígrafe anterior. Otro aspecto a considerar, como en todo Problema de fluidos, son las condiciones iniciales de la solución, que son las presiones, velocidades o energías que serán validas solo al inicio de la Solución, pero que luego irán cambiando. Se dan por, Main Menu > Solution > Loads > Apply > Initial Conditions > Velocities, Pressures, Energy. El no brindar nada por parte del usuario sobre ellas, significa que el programa las asumirá como nulas. A estas condiciones iniciales de la solución habrá que adicionar la condición térmica inicial del problema, que es la temperatura a la cual se comenzara a “correr” la solución. Esta temperatura es la Temperatura nominal NOMI, suministrada a través de, Main Menu > Preproceso r> Flotran Set Up > Flow Enviroment > Ref Cond > Temp. NOMI. Por “default”, NOMI = TUNIF = 0 o Finalmente en estos problemas combinados térmicos – fluidos también habrá que considerar las condiciones iniciales de las propiedades del fluido, si se habilita que esas propiedades sean variables. Ahora además de la presión absoluta se tendrá a la temperatura, que serán los 2 parámetros que tomara el programa para valorar las propiedades iniciales del fluido. Pero que al cambiar la presión y temperatura a lo largo de la solución, permitirán cambiar también a las propiedades del fluido, actualizándolas constantemente a lo largo de la “corrida”. Hay que tener mucho cuidado con la temperatura que se da como condición térmica inicial de las propiedades del fluido, lo que requiere de un análisis más detallado, el que se realiza a continuación. En los Problemas de fluidos en general están involucradas 2 tipos de energías propias del fluido en movimiento: la almacenada y la cinética vinculada con la velocidad V. La suma de ambas tiene que ser constante en todo momento, según el Principio de conservación de la energía. Si además existe intercambio de calor con el medio ambiente, hay que adicionar las energías térmicas de ese intercambio. En el caso de los fluidos compresibles sus propiedades y en especial la densidad ρ serán variables, al comportarse según la Ley de los gases ideales, quedando ρ siempre en función de la temperatura y la presión. Por ello los fluidos compresibles deberán ser considerados siempre como fluidos – térmicos. Con sus energías están relacionadas 2 tipos de temperaturas: L a Temperatura estática T estática, relacionada con la energía almacenada. La Temperatura total T Total o de estancamiento, relacionada con la energía cinética.


La Temperatura estática T estática es la empleada, junto con la presión absoluta, en calcular la densidad ρ del fluido compresible, a través de la Ley de los gases ideales. Es además la temperatura empleada por el programa para calcular todas las otras propiedades iniciales del fluido, las que podrán luego cambiar (y seguramente cambiaran) a lo largo de la “corrida” de la solución. La Temperatura total T Total o de estancamiento es la temperatura del fluido compresible después de haber alcanzado el reposo (V = 0), isentropicamente. Es la temperatura con la que trabaja el algoritmo de solución. En un problema adiabático por ejemplo, permanece constante durante todo el proceso. Se especifica por el usuario a través de, Main Menu > Preprocesor > Flotran Set Up > Flow Enviroment > Ref. Condt > Temp, TOTAL Aquí surge una dificultad: la temperatura que se conoce generalmente es la inicial del fluido y por tanto la de sus propiedades iniciales. Por lo que el dato que se dispone es la Temperatura estática T estática, a la entrada del ducto del sistema, la que el programa no admite le sea suministrada por el usuario directamente. Pero en aquel punto se suele conocer también la velocidad de entrada del fluido, pudiendo aplicarse la conocida relación, T total = T estatica + V

2 . 2 c p

donde: V - velocidad del fluido. c p - calor específico. Esta relación permite al usuario calcular la T Total a la entrada del ducto, para ser suministrada al programa. Este hará lo inverso: con la T Total suministrada y con V, calculara la T estatica, que empleara junto con la presión absoluta, en determinar la densidad ρ del fluido compresible a la entrada del ducto y en cada punto del sistema, pues ρ será variable a medida que avanza la “corrida”. La densidad la actualiza en cada instante según la Ley de los gases ideales. La Temperatura estática T estática es empleada también, como ya se indicara, en calcular otras propiedades iniciales del fluido compresible. En efecto, en ellos no solo la densidad suele ser variable, sino también parámetros como la viscosidad μ y la conductividad térmica K. Los programas ofertan distintas formulas de variación de las propiedades, a ser consideradas por el usuario, considerando siempre que T estatica es la temperatura inicial de todas ellas. En fluidos incompresibles no se trabaja con las temperaturas anteriores, sino con la Temperatura nominal NOMI, ya mencionada, que será la inicial de las propiedades del fluido, si se consideran variables. Porque en efecto, en análisis fluidos – térmicos de los fluidos incompresibles, también es posible considerar variaciones de las propiedades del fluido en función de la temperatura, según diferentes formulas de variación suministradas por los programas. Por cierto que esta temperatura nominal NOMI es también la temperatura de la condición térmica inicial de todos los problemas fluidos – térmicos, es decir la temperatura a la cual comenzara la solución en todos los casos. Problemas Dinámicos. –

A continuación se señalan algunas consideraciones para estos tipos de análisis, solo relacionadas

con las unidades de medida a ser empleadas y el uso de la gravedad “g”.


1 Las soluciones ¡exactas! en todos los análisis Dinámicos se obtienen con las dimensiones

básicas del Sistema Internacional de unidades SI, es decir: Dibujo [m] , E = [ N / m 2 ] , rho = 7.85e3 [kg / m 3] , g = 9.8 [m / s 2], masa = [kg].

Los resultados serán obtenidos en las unidades: Diplac. [ m ] ; Stress [ Pa ].

2. Si en análisis MODAL: Dibujo [mm], las unidades a emplear deberán ser: E = [10*N / cm 2], rho = 7.85e-6 [kg / mm3]. Con lo cual las frecuencias naturales coincidirán con las exactas, con cualquier método de solución seleccionado. Y si hay masas concentradas: Método Reduced, el que además en todos los casos permite eliminar los DOF rotacionales.

3 Si en análisis TRASIENTE: Dibujo [mm] , entonces: E = [ 10*N / cm 2 ] , rho = 7.85e-6 [kg / mm 3] , g = 9.8 [m / s 2]. Método: Full. Y si hay masas concentradas (en [kg]) activar Lumped mass. Así los resultados coincidirán con los exactos y se obtendrán en las siguientes unidades: Diplac: [ m ] Stress: [ MPa ]. Si se trabaja con plasticidad, preferible emplear plasticidad Bilinear y Stress en [MPa].

4 Las frecuencias naturales (análisis MODAL), no dependen del valor de “g” suministrado. Respecto al empleo de la gravedad “g” en los análisis TRASIENT se tiene lo siguiente.

- Sin masas concentradas, considerando solo la densidad de los materiales y con cargas externas F aplicadas, al aplicar “g” considera que ésta carga se esta aplicando con impacto.

- Sin masas concentradas, considerando solo la densidad de los materiales y con cargas externas F aplicadas, al no aplicar “g” (g = 0) la respuesta es el impacto sin considerar la gravedad como impactante, o sea el impacto es solo debido a las cargas externas F.

Con masas concentradas en los análisis TRASIENT siempre habrá que suministrar “g”, aunque la corrida considerará esa carga impactante, lo que no siempre es lo deseado. Veamos algunos casos.

- Con masas concentradas, considerando la densidad de los materiales y con cargas externas F aplicadas, al suministrar “g” la respuesta considera que “g” se aplica con impacto.

- Con masas concentradas, considerando la densidad de los materiales pero sin carga externa F, al no aplicar “g” (g = 0) las respuestas obtenidas son nulas. Es decir no resuelve bajo estas condiciones, siendo por tanto imprescindible suministrar “g” en este caso.

- Con masas concentradas, considerando la densidad de los materiales y aplicando también cargas externas F, al no aplicar “g” (g = 0) se obtienen las respuestas debidas al impacto de F sin el impacto de “g”. Pero sin considerar las masas concentradas en el análisis.

- Pareciendo entonces la opción más viable para muchos de los análisis de cargas de impacto, una primera corrida TRASIENT con el valor de “g”y tiempo grande; y las restantes corridas como TRASIENT. Lo que garantiza tener a partir del 2do.TRASIENT valores de “g” constantes evitando así el impacto debido a “g”, y solo debido a las F.

Métodos de solución.

or “corrida” o solución del modelo se entiende la conformación y solución del sistema de ecuaciones de equilibrio del modelo ( ecuaciones 5 ), ya estudiadas,

P


{ F } = [ K ] * { U } ( 5 )

En primer lugar hay que armar la matriz de rigidez global de todo el sistema [ K ], lo que se hace a partir de las matrices de rigidez [ k ] de cada elemento. Un aspecto importante en todo el proceso son los grados de libertad constreñidos del modelo, dados por el usuario. Luego conociendo las cargas externas aplicadas al modelo { F }, se resuelve ( 5 ) con los desplazamientos { U } como las incógnitas del problema; o viceversa, conocido el vector desplazamientos, se calculan las “fuerzas” { F }. Es más común sin embargo, que se dispongan de varias de las cargas { F } y de varios de los desplazamientos { U }, con los que se procede a armar y resolver ( 5 ), hallando los valores de ambos vectores que quedaron como incógnitas. En todo caso, una vez determinadas esas incógnitas se pasa al cálculo de los restantes parámetros de interés, tales como los esfuerzos, deformaciones, etc. En la solución de ( 5 ) se emplean diferentes métodos matemáticos de solución de los distintos tipos de sistemas de ecuaciones. La “corrida” o solución del modelo implica todo este largo y complejo proceso. Para la solución de los sistemas de ecuaciones resultantes, por realizarse a través de softwares y computadoras, tendrá que recurrirse a los Métodos Numéricos. En la Tabla 6 se muestran algunos de estos métodos. Para todo este largo proceso explicado, el MEF requiere aplicar un Método de solución, entendiéndose por tal no solo el procedimiento de solución del sistema de ecuaciones ( 5 ), sino también el de conformación de la matriz de rigidez global [ K ] y del propio sistema ( 5 ). O sea que implica procedimientos para llevar a cabo 3 tareas: la conformación de [ K ], del propio sistema de ecuaciones ( 5 ), y finalmente su solución. Complejos y variados han sido los Métodos de solución que se han ido desarrollando a lo largo del tiempo, para resolver tan complicadas tareas, siendo algunos de los más importantes y actualmente empleados los siguientes.

• Frontal Solver. • Sparce Direct Solver. • Jacobi Conjugate Gradient (JCG). • Preconditioned Conjugate Gradient (PCG).

Métodos Directos de solución. – Frontal Solver.-

s un Método de solución que resuelve el sistema de ecuaciones por eliminación directa, basado

en el método de Eliminación de Gauss, en oposición a los métodos iterativos donde la solución es obtenida por medios indirectos, o sea por iteraciones sucesivas. Este Método no arma la matriz de rigidez global [ K ] de forma completa, sino que va conformando su armado y la solución simultáneamente, a medida que el proceso soluciona cada elemento finito del modelo. La forma de operar es la siguiente.

E


Tabla 6 . - Métodos Numéricos. • Solución de ecuaciones de 1 variable. - Método de Newton Raphson. Método de bisección. Iteración de punto fijo. • Métodos Directos de solución de Sistemas de ecuaciones lineales. - Eliminación de Gauss. • Métodos Iterativos de solución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales. –

- Iteración de Jacobi. - Iteración de Gauss – Seidel. - S O R. Sobre Relajaciones Sucesivas.

• Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. - Runge – Kutta. Método de Euler. Método de Taylor de orden superior. • Solución de ecuaciones de derivadas parciales.

- Diferencias finitas de Poisson. Para ecuaciones de derivadas parciales elípticas. - Diferencias hacia atrás. Para ecuaciones de derivadas parciales parabólicas. - Crank – Nicolson. Para ecuaciones de derivadas parciales parabólicas. - Diferencias finitas para ecuaciones de derivadas parciales hiperbólicas.

• Una vez que las matrices de cada elemento son calculadas (colocadas en un file con extensión .EMAT), lee los grados de libertad (DOF), del primer elemento.

• El programa elimina todo DOF que pueda ser expresado en términos de los DOFs que se

encuentran en la diagonal de la matriz [ K ], y escribe una ecuación en un file especial con extensión .TRI. Este proceso es repetido para todos los elementos hasta que todos los DOFs alejados de la diagonal hayan sido eliminados, siendo así conformada completamente la matriz de rigidez triangularizada. Esta queda en el file “file.TRI”., siendo la matriz de rigidez del sistema con todos sus elementos colocados en un entorno de su diagonal.

• Finalmente el programa calcula los DOFs nodales por medio de sustitución, y

emplea las matrices individuales de los elementos para calcular la solución de cada elemento.

Este es uno de los Métodos de solución más empleado y el que ofertan muchos programas por “default”. Es muy robusto siendo válido incluso por ejemplo para análisis no lineales. Por lo general es empleado para modelos de tamaños medios ( alrededor de 50 000 DOFs) y no tiene grandes requisitos de memoria, aunque generan “files” relativamente grandes. Esto último sin embargo, no constituye problema con los discos duros de varios GB de memoria actualmente disponibles. En el epígrafe Optimización de la Solución en el Capítulo 10, se brinda más información sobre este método de solución, pues está vinculado a la numeración “optimizada” de los nodos y elementos. Un concepto vinculado con este método es el wavefront, que no es más que el número de DOFs retenidos por la solución durante el proceso de triangularización de la matriz de rigidez [ K ],


debido a que no pudieron ser eliminados en ese momento. A medida que el proceso de solución va resolviendo cada elemento y sus grados de libertad, el wavefront se va reduciendo, hasta que finalmente se hace nulo cuando todos los DOFs han sido procesados. El valor máximo de los weavefront es el máximo wavefront, mientras que la raíz media cuadrática es el RMS wavefront. El RMS wavefront incide de forma importante en el tiempo necesario para la solución, mientras que el máximo wavefront incide en la memoria necesaria para la solución (en especial la memoria “scratch”). Sparce Direct Solver .-

s un Método también basado en la eliminación directa de ecuaciones, caracterizado por ser muy poderoso donde incluso matrices pobremente condicionadas pueden ser resueltas

satisfactoriamente. Es especialmente indicado para análisis lineales donde los métodos iterativos de solución sean lentos, como aquellos de matrices con tendencia al “ill conditions” (muchos grados de pandeo, así como con elementos muy deformados). Es especialmente indicado en análisis no lineales y para modelos grandes en general, de 500 000 DOFs y mayores, los que maneja con recursos de computo limitados, como baja memoria o espacio de disco.

E

Es el más robusto para todo tipo de análisis no lineal y para el empleo del multiplicador de Lagrange. Así, es la opción más confiable para: • Elementos con formulación mixta U / P. • Análisis elasto – plásticos. • Estudios de pandeo no lineal, junto con el empleo del “arc length”. • Problemas de contacto con fricción. Es el mas eficiente de todos los Métodos de Solución en estructuras con elementos BEAM y SHELL. Típicamente requiere de 1 GB de memoria por cada millón de DOFs; junto con 10 GB de espacio de disco. Los programas de elementos finitos están empleándolo como la primera opción que ofertan, es decir como la opción por “default”. Métodos Iterativos de solución. – Método Jacobi Conjugate Gradient. (JCG) -

ste Método también comienza con la formulación de la matriz de rigidez de cada elemento, pero en lugar de conformar una matriz global triangularizada, el método JCG ensambla la matriz

global de rigidez [ K ] de todo el modelo, y la escribe en un “file. FULL”. Es entonces que calcula la solución de los DOFs por medio de iteraciones sucesivas hasta la convergencia, empleando por tanto métodos iterativos de solución de sistemas de ecuaciones.

E


Este Método es muy poderoso en hallar la solución, válido para modelos grandes y complicados (más de 1 millón de DOFs ), y generador de files menores que los obtenidos con el Frontal Solver. Pero requieren más memoria de trabajo que aquél. Por todo ello es recomendable para análisis en 3-D que involucran matrices grandes y espaciadas, difíciles de triangularizar. Su empleo se recomienda en problemas de tipo acústico, magnético, térmico y multifísico. Para su uso se debe tener especial cuidado en que el modelo esté adecuadamente constreñido, pues no calcula el pivote mínimo y la solución continúa sus iteraciones aún si es posible movimiento de cuerpo rígido en el modelo. Método Preconditioned Conjugate Gradient (PCG). –

ste procedimiento es similar al JCG, y conforma primero las matrices de rigidez de los elementos para armar después la matriz de rigidez global [ K ]. Usa entonces la diagonal de esta

matriz como un precondicionador.

E Es indicado también para modelos grandes (más de 1 millón de DOFs), y requiere de gran cantidad de memoria para operar, similares a la del Sparce Direct Solver, aunque menos que el Frontal Solver (alrededor de menos de 1 / 4 del espacio de éste). Ahorran mucho espacio en el disco duro en comparación con los Solvers de Métodos Directos de solución, gracias al relativamente pequeño tamaño de los files que generan, aunque requiere para ello del doble de espacio que el método JCG. Pero en cuanto a tiempo de ejecución es más rápido respecto a este, del orden de 4 a 10 veces, con elementos SOLID estructurales y del tipo SHELL, elementos con los cuales es altamente eficiente. Es por tanto recomendado para modelos con elementos SHELL y SOLID, modelos en 3-D y en 2-D que den matrices del sistema muy espaciadas; así como para problemas no lineales donde surjan configuraciones singulares (elementos con matrices de rigidez nulas). No es indicado en problemas de contacto ni con materiales hiperelásticos. Al igual que el JCG, debe tenerse especial cuidado en tener el modelo adecuadamente constreñido, pues no calcula el pivote mínimo y la solución continúa sus iteraciones aún si es posible un movimiento de cuerpo rígido en el modelo.

n general los Métodos de Solución que emplean procesos iterativos asumen menores definiciones positivas de las matrices del sistema, por lo que no son aplicables a algunos problemas no

lineales. Aunque el método PCG si soporta su aplicación a problemas donde la no linealidad es predominantemente de contacto. También en algunos problemas elasto – plásticos con cargas monotónicas puede ser empleado.

Estos son algunos de los más importantes y empleados Métodos de solución disponibles en los programas modernos de elementos finitos, aunque no son los únicos. Una vez cumplido con la solución o “corrida” del modelo, se está en disposición de pasar a los POSTPROCESADORES de los programas, para la presentación, análisis y procesamiento de los resultados. Este es el tema que se aborda en el siguiente Capítulo.

E


Capítulo 9.

Análisis e Interpretación de los Resultados.

Ploteo y listado de los Resultados. Los Desplazamientos. Los Esfuerzos resultantes. Promediados o no promediados. PowerGraph y Full Graphic . Tipos de esfuerzos. Continuidad y convergencia de los Esfuerzos. La Prueba de convergencia.

Ploteo y listado de los Resultados.

a presentación de los resultados obtenidos después de la ejecución del programa, se hace por medio de 2 vías fundamentales: mediante el ploteo en la pantalla, de la pieza deformada debido a las cargas; y por el listado de los diferentes parámetros calculados. Esto se hace en un nuevo módulo de trabajo del programa destinado a estos fines, llamado GENERAL POSTPROCESADOR.. En el mismo se obtienen los múltiples parámetros calculados en la solución, mediante el accionamiento de sus diferentes comandos. Los que brindan los resultados más fundamentales son:

L

• “Plot Result”. Plotea en una pantalla los diferentes resultados seleccionados de cada

vez. Por Ploteo se entiende aquí el dibujo de la pieza deformada, en colores, según una escala que brinda los diferentes valores del parámetro seleccionado para el ploteo.

• “List Result”. Brinda en forma de listado los resultados seleccionados. Con esta opción

se logra conocer con precisión los valores calculados en los nodos o elementos del modelo. Cada una de estas opciones, a su vez permiten obtener los resultados según 2 tipos básicos de vías, conocidas por: el Nodal Solution y el Element Solution, en cada una de las cuales se obtienen distintos parámetros calculados por el programa durante la solución. General PostProcessor > Plot Result > Nodal Solution > > Element Solution > General PostProcessor > List Result > Nodal Solution >

Element Solution >

A través del Nodal Solution se obtienen los datos más fundamentales del modelo, tales como los desplazamientos de cada nodo en las diferentes direcciones (DOFs) así como los esfuerzos y fuerzas en los mismos. También temperaturas, velocidades y presiones, en problemas térmicos y de fluidos. Es decir, son los resultados vinculados con los grados de libertad ( DOFs ) de los nodos, que son obtenidos directamente de la solución del sistema de ecuaciones del modelo. Los esfuerzos /

García de la Figal, Javier Capitulo 9 205 Análisis e Interpretación de los Resultados.

deformaciones que brinda son de los nodos y de forma promediada, de modo que no se observen “saltos” en el ploteo de los mismos. Todos los resultados los almacena en el sistema coordenado nodal de cada nodo, que generalmente coincide con el sistema coordenado Cartesiano Global. En el Element Solution se obtienen otros resultados derivados de los desplazamientos, tales como los esfuerzos y deformaciones en los nodos de los elementos también, pero ahora almacenados en el sistema coordenado de los elementos. Estos resultados los almacena y brinda de forma no promediada. También da los valores de las energías involucradas en las soluciones, y de otros parámetros. El ploteo de todos los resultados en pantalla mediante esta opción, los hace junto con el ploteo de los bordes de todos los elementos del modelo, es decir, que junto con el ploteo en pantalla del resultado seleccionado, brinda el mallado completo del modelo. La obtención de los esfuerzos / deformaciones merecen un análisis más detallado. Ya se menciono que siempre el programa almacena y luego brinda los correspondientes a los nodos. Hay otra vía que permite el almacenamiento y posterior ploteo / listado de los esfuerzos / deformaciones, en los centros de gravedad ( c.g. ) de los elementos, los que se obtienen a través del Element Table: General Postproc > Element Table > Plot Element Table > Siendo almacenados entonces en el sistema coordenado de cada elemento. Como se observa los esfuerzos / deformaciones son almacenados en los nodos o en los c.g. de los elementos, pero en realidad el programa no los calcula en ninguno de esos 2 lugares al resolver el problema, sino en unos lugares especiales conocidos como puntos de integración o de GAUSS, que se encuentran en lugares específicos en el interior de los elementos. Para almacenar y brindar luego estos resultados al usuario, el programa los extrapola a los nodos o a los c.g. de los elementos, empleando en ello el “shape function” del elemento. Lo cual por cierto introduce un error llamado error de interpolación, que generalmente es muy pequeño. Los esfuerzos / deformaciones de los puntos Gauss pueden obtenerse por el usuario a través de, Solution > Loads >Output Ctrl. > Integration Pt. > ERSEX > No – Copy them. Lo que debe requerirse antes de pasar a la Solución del modelo. Independiente del sistema coordenado empleado durante el calculo y posterior almacenamiento luego de extrapolarlos hacia los nodos o al c.g del elemento, el programa los plotea / lista por “default”, en el sistema Cartesiano Global. Esto puede cambiarse para algún otro sistema coordenado, cuando sea necesario, a través de, General Postproc > Options for Output > Global Cartesian Global Cilindrical, Global Spherical, As calculated, Local. Con As calculated, si es a través del Nodal Solution, se obtienen los esfuerzos / deformac. en el sistema coordenado Global; y si es por el Element Solution, en el sistema coordenado de los elementos. Deberá tenerse presente por tanto, las coordenadas y puntos en que se calculan, almacenan y brindan los resultados, que pueden ser distintos, lo cual puede ser causa de confusiones y malas interpretaciones. Véase el Capítulo 5 para los sistemas coordenados de cada elemento.


Todas las formas del ploteo / listado de todos los resultados pueden hacerse por medio de uno u otro de los 2 sistemas gráficos que posee el programa: el PowerGrafic y el Full Graphic. El primero de los cuales el programa lo ejecuta por “default”, por lo que es el que se estudiara primeramente en los próximos epígrafes. Con el empleo del PowerGraphic los esfuerzos / deformaciones promediados (es decir, con el empleo del Nodal Solution), son brindados solo de los elementos que se encuentran en contacto con las áreas externas del modelo; no así los desplazamientos, que siempre los brinda de todos los nodos existentes. En una gran mayoría de casos, esto no es causa de mayores problemas ya que los esfuerzos / deformaciones suelen ser mayores en las zonas externas de las piezas. No obstante, esto puede ser cambiado para obtener el ploteo / listado de los esfuerzos / deformaciones de todos los nodos, a través del empleo del segundo sistema grafico para la presentación de resultados que provee el programa, el Full Graphic. Para acceder a este, se emplea, PowerGraphic > OFF. Lo que desactiva el PowerGraphic, activando el Full Graphic. Con el Full Graphic el promediado de los esfuerzos / deformaciones de los nodos de los elementos, también se hace teniendo en cuenta todos los nodos del modelo. Esta opción por tanto, brinda valores de estos resultados menores pero más reales que con el empleo del PowerGraphic, el que es por tanto más conservador. Sin embargo, aun trabajando con el PowerGraphic puede hacerse que el promediado de los esfuerzos / deformaciones se realice teniendo en cuenta todos los nodos del modelo, a través del comando AVRES, General Postproc > Options for Output > AVRES , , Full. Con los esfuerzos / deformaciones sin promediar (es decir a través del Element Solution), se brindan los resultados de todos los nodos del modelo, en todo momento y en ambos sistemas gráficos.

Los Desplazamientos.

os desplazamientos que brinda el programa en el módulo de resultados (GENERAL POSTPROCESADOR), son por “default” de los nodos de los elementos y en el sistema de ejes

coordenados Cartesianos Global. El usuario puede cambiar el sistema coordenado de ellos, para algún otro, por ejemplo al sistema coordenado de los elementos o para coordenadas cilíndricas. Esto es especialmente útil cuando se tienen los elementos en direcciones que no coinciden con los ejes Cartesianos Globales, e interese conocer los desplazamientos en direcciones específicas, como suele ocurrir al analizar bóvedas (tanques, tubos, etc.). Para ello se emplea,

L

General Postproc > Options for Output > ..... Los ploteos de los desplazamientos brindan una buena idea de cómo la estructura trabaja, y en no pocas ocasiones son una primera comprobación de errores cometidos en alguna etapa del modelado, que suelen reflejarse en configuraciones de la pieza deformada que no se corresponden con lo


esperado. Los desplazamientos rotacionales son difíciles de comprender y es común que el usuario los ignore. Incluso muchos programas no los plotean, dibujando sólo los de tipo lineal, representando por líneas rectas la unión de los nodos desplazados. Esto puede llevar a pérdida de interpretación de los resultados, en algunos casos. A los efectos del ploteo de los desplazamientos, los programas acostumbran a realizar algún tipo de interpolación entre los desplazamientos de los nodos del modelo, de modo de representar en pantalla la configuración de la pieza deformada, de la forma más próxima posible a la real. PowerGraphic hace interpolación lineal (opción “default”), durante el ploteo de los desplazamientos entre nodos. Pero puede activarse una interpolación cuadrática de puntos entre los nodos (según un sub – mallado que crea entre los nodos del elemento). Esto ultimo puede requerirse a través del comando /EFACET, que se estudiara en detalle en el siguiente epígrafe, con lo cual logra representaciones precisas de las más complejas configuraciones de la pieza deformada. Existe un comando, el comando /EDGE, que controla si se van a ver durante el ploteo de los resultados, los bordes de todos los elementos del modelo, o solo los bordes externos del modelo, es decir sus áreas, volúmenes, etc. Se accede a el a través de, Main Menu > PlotCtrl > Style > Edge Option > /Edge > All/edge only. Solo se verán los los bordes externos del modelo. Main Menu > PlotCtrl > Edge Option > /Edge > edge only/All. Se verán los bordes de todos los elementos. Esta ultima opción permite ver junto con el ploteo de cada resultado, el mallado del modelo, siendo ambas opciones validas solo con el modulo Nodal Solution, pues con Element Solution el ploteo de los resultados siempre se acompaña con el mallado completo del modelo. El número de elementos debe ser suficiente para que sean capaces de seguir la configuración de la pieza deformada con suficiente precisión. En la Fig. 56 a) se muestra una viga simplemente apoyada, modelada por un único elemento BEAM, isoparamétrico y con formulación mixta, es decir un elemento de suficiente precisión. Se carga con una fuerza uniformemente distribuida, que puede ser su peso propio. El resultado es que no hay ningún desplazamiento, pues debe recordarse que estos sólo son obtenidos en los nodos, los cuales son fijos en este caso. En b) con 2 elementos, se obtiene la flecha en el centro de la viga de forma correcta, pero la forma de la elástica es incorrecta, pues el ploteo es siempre representado con rectas entre los nodos. En c) con 3 elementos, se obtiene la viga deformada con una apariencia más realista, pero la máxima flecha en el centro no se muestra bien, pues no hay nodo en el medio. Aunque este pudiera parecer un ejemplo extremo, ilustra la necesidad de estudiar bien como modelar el comportamiento de la estructura y no sólo su forma. Este caso ejemplifica claramente también, como en los puntos donde se necesite colocar fuerzas concentradas y apoyos (así como temperaturas, presiones o velocidades), hay que tener definidos nodos, pues es en ellos donde pueden colocarse aquellos. Se requieren nodos también en los puntos donde se desean obtener los resultados (esfuerzos, desplazamientos, etc.), como en el punto central de la viga de la Fig. 59, donde ocurrirán los esfuerzos y la flecha máximos. Esto son entonces otros importantes factores a considerar para la selección del número de elementos del modelo.


c)

b)

a)

elástica de laviga

Desplazamiento nulo.

Fig. 59.- Simulación de viga simplemente apoyada. a) Conformada con un solo elemento BEAM. b) Con 2 elementos. c) Con 3 elementos.

Los Esfuerzos resultantes.

Promediados o no promediados. -

omo ya fuera señalado, los esfuerzos que brindan los programas de EF pueden corresponder a los nodos o al c.g. de los elementos, según se recurra a los comandos de Nodal o Element

Solution, o de Element Table, respectivamente, del POSTPRCESADOR. Los esfuerzos, sin embargo son calculados realmente en los puntos GAUSS en la mayoría de los elementos sólidos planos y volumétricos y en los tipo láminas. Estos son puntos interiores al elemento, que comparados con los nodos no son fáciles de identificar y localizar. Los programas normalmente los extrapolan hacia los nodos o a los c.g. de los elementos, y es en esos puntos donde el usuario puede recoger la información en la mayoría de los programas profesionales.

C

En cada nodo habrá un vector esfuerzos, producto del elemento a él “agarrado”. Debido a que el “shape function” de los elementos es una aproximación al verdadero campo de los desplazamientos, es normal que haya discrepancias entre los vectores esfuerzos en el nodo común a varios elementos. Esta es una de las principales causas de discontinuidad de los esfuerzos, aunque no la única y se convierte en una medida de la inexactitud de la solución del modelo, realizada por el programa. El mismo da la opción al usuario de promediar o no los vectores esfuerzos de cada nodo, (es decir, cuando se trabaja con el Nodal Solution), siendo una potestad del usuario que debe analizar con cuidado. Con el Element Solution siempre los resultados son sin promediar. Si bien el ploteo en pantalla de los esfuerzos en forma promediada brinda una imagen de ellos sin “saltos”, que es lo esperado en la mayoría de los casos, al hacer esta operación puede perderse información valiosa acerca de la calidad y adecuación del modelo. Hay que decir que los esfuerzos en un material homogéneo real son continuos, por lo que todo “salto” o discontinuidad de aquellos es señal de errores de distintos tipos existentes durante la modelación y la solución. Uno de ellos es el arriba señalado, que se reduce con el incremento de los elementos en el modelo. Por ello las discontinuidades de los esfuerzos pueden considerarse una medida del error de discretización, es decir la falta de una mayor discretización del mallado. Pero hay otras causas de discontinuidades reales de los esfuerzos, que se verán a continuación, por lo que ellas no pueden achacarse completamente al error de discretización como comúnmente se hace.


La mayoría de las veces se escoge la salida de los esfuerzos / deformaciones de forma promediada (Nodal Solution), por dar una impresión al ser ploteados más acorde a la realidad, al no producir “saltos” o discontinuidades. Pero hay casos en los que en realidad existen esos “saltos”, por lo que aquella operación altera los resultados reales. Una de estas situaciones es cuando hay cambios de material de unos elementos a otros, lo que produce un “salto” o discontinuidad real de los esfuerzos / deformaciones. Por eso si hay diferencias en las propiedades del material, tales como E, ν, α, ó alguna otra, los esfuerzos no deben promediarse, al menos en esa zona de cambios. Lo mismo ocurre si hay cambios en las características geométricas de los elementos finitos. Se trata pues, de situaciones en que se tienen diferentes Material o Real Constant. Una 3a causa de “saltos” reales ocurre cuando se unen elementos sólidos planos o del tipo láminas, en la modelación de la unión de 2 placas de espesores distintos. En esa unión existe realmente una discontinuidad de los esfuerzos, con valores mayores en la placa de menor espesor. Incluso ocurre una concentración de tensiones, que normalmente no captan los elementos. El promediado de los esfuerzos daría los mismos valores para ambas placas, distorsionando lo que realmente ocurre: la de menor espesor tendrá esfuerzos mayores. En general, siempre que ocurra un cambio brusco de la geometría del modelo, debe ocurrir un “salto” en los esfuerzos / deformaciones ploteados. Son las llamadas discontinuidades geométricas del ploteo de los esfuerzos / deformaciones.

P P

Distribución delos esfuerzospromediados.

Distribución real delos esfuerzos. Sin

promediar.

(-)

(+)

(-)

(+)

a) b) c)

Fig. 60.- Efecto del promediado de los esfuerzos nodales.

Por otro lado las cargas aplicadas en los nodos, si éstos están colocados en bordes libres de la pieza, no producen en la realidad discontinuidades en los esfuerzos. Pero si los nodos cargados no están en los bordes libres (Fig. 60 a), sí habrá una discontinuidad real en esa zona (Fig. 60 c). El promediar los esfuerzos hace que se pierdan los reales esfuerzos máximos en esa zona (Fig. 60 b). Durante el promediado de los esfuerzos / deformaciones (Nodal Solution), el PowerGraphic excluye por ”default” el promediado en las discontinuidades geométricas; mientras que puede excluirlas (a voluntad del usuario, pues por “default” las promedia), en las discontinuidades por cambios de material y por parámetros del Real Constant de los elementos. De modo que se puedan apreciar los verdaderos valores de los esfuerzos / deformaciones en esas zonas, en donde los saltos en los ploteos, son lo real. Para impedir el promediado de los esfuerzos / deformaciones en las


zonas con cambios de Material y de Real Constant, de modo de permitir su posterior ploteo / listado sin promediar (y con “saltos”), se puede recurrir al comando AVRES, General Postproc > Options for Output > AVRES,4 Y para promediar a través de las discontinuidades geométricas también, o sea promediar bajo toda circunstancia, empléese: AVRES, ,Full. Con lo cual se pierde información en aquellas zonas donde realmente existen “saltos”. El comando AVRES no tiene efecto en los desplazamientos, ni en otros DOFs. El ploteo / listado de los esfuerzos / deformaciones a través del Element Solution, siempre se realiza sin promediar, incluso por supuesto en las discontinuidades descritas. Como se ve, el problema del promediado de estos resultados es algo de suma importancia en los análisis por Elementos Finitos. Para los elementos lineales, del tipo LINK, BEAM y PIPE, los esfuerzos se calculan a partir de las fuerzas y momentos nodales, obteniéndose de ellos los esfuerzos / deformaciones para cada elemento, por lo que no hay necesidad de ningún tipo de promediado. PowerGraphic brinda el ploteo de los esfuerzos / deformaciones y de los desplazamientos no solo de los nodos, sino también pueden requerirse de puntos intermedios de los lados y caras de los elementos. Para ello se emplea el comando /EFACET, a través de, General Postproc > Options for Output > /EFACET > 1 EFACET ____ Brinda los resultados Main Menu > PlotCtrl > Style > Size and Shape > /EFACET > 1 EFACET solo en los nodos. (“Default”). General Postproc > Options for Output > /EFACET > 2 EFACET __ Brinda los resultados en Main Menu > PlotCtrl > Style > Size and Shape > /EFACET > 2 EFACET los nodos y en un punto intermedio de los lados o caras de los elementos General Postproc > Options for Output > /EFACET > 4 EFACET __ Brinda los resultados Main Menu > PlotCtrl > Style > Size and Shape > /EFACET> 4 EFACET en los nodos y en 2 puntos intermedios de los lados o caras de los elementos. Con ello se logran aproximaciones cuadráticas en el ploteo de los desplazamientos, lo que resulta en una aproximación mas precisa a las configuraciones deformadas. Los esfuerzos / deformaciones en esos puntos intermedios se calculan a partir del promediado del de los nodos, brindando valores mas reales de ellos. Este comando /EFACET es valido solo para el Nodal Solution. PowerGraph y Full Graphic . -

C omo se había mencionado, existen 2 sistemas gráficos para la presentación de los resultados: el

PowerGraph y el Full Graphic. Las opciones arriba presentadas son las que provee el primero


de los sistemas, el PowerGraphic. Que constituye el más avanzado y el que provee el programa por “default”, razones por las que se le ha dedicado la mayor atención. Con la opción Full Graphic se tienen las siguientes características en el ploteo / listado de los resultados, muchas de ellas contrarias a las brindadas por el PowerGraphic. • Todos los nodos de todos los elementos se consideran en el ploteo / listado de los resultados, en

todo momento. El PowerGraphic brinda solo de los elementos en contacto con las áreas. • Si se seleccionan los esfuerzos / deformaciones de forma promediada (Nodal Solution), se

realiza el promediado en todas las zonas, independiente de las discontinuidades reales que existan. El PowerGraphic permite no promediar en zonas con determinadas discontinuidades.

• Realiza el promediado de los esfuerzos / deformaciones (Nodal Solution), y el ploteo / listado de todos los resultados teniendo en cuenta solo los nodos seleccionados. De los no seleccionados, no brinda ningún resultado. El PowerGraphic da los resultados de los nodos pertenecientes a los elementos seleccionados.

• Brinda los desplazamientos (y otros tipos de DOFs), tanto de los nodos de las esquinas de los elementos, como de los nodos intermedios de sus lados, en elementos que los posean. No brinda, sin embargo los esfuerzos / deformaciones de esos nodos intermedios de los lados de los elementos. El PowerGraphic brinda ambos parámetros incluso de puntos internos, entre nodos, de los elementos, logrando así aproximaciones cuadráticas en el ploteo de los desplazamientos.

• No hace interpolación de ningún tipo entre los desplazamientos de los nodos, durante el ploteo de los mismos. Esto hace que los resultados de los ploteos coincidan exactamente con lo listado. El PowerGraphic hace interpolación lineal de los desplazamientos, de puntos entre nodos.

• No permite el ploteo de los resultados en los elementos SHELL, en sus caras superior e inferior, a la vez. El PowerGraphic si lo permite.

Con el empleo de: AVRES,1,Full y /EFACET,1 los resultados del PowerGraphic se igualan a los del Full Graphic. Los comandos: /EFACET, AVRES y /EDGE no tienen efecto con el sistema Full Graphic. Con el mismo, sin embargo, se dispone de un comando, el AVPRIN, que permite controlar el promediado de los esfuerzos / deformaciones invariantes (los esfuerzos principales S1, S2 y S3, el SEQV, etc). Por “default” (tanto con el PowerGraphic como con el Full Graphic), los esfuerzos / deformaciones son promediados en los nodos, y entonces los parámetros invariantes son recalculados a partir de esos valores promediados. Con: AVPRIN,1 valido solo con el Full Graphic, se obtienen y brindan los esfuerzos / deformaciones invariantes por su promediado directamente, lo que generalmente brinda valores mayores y mas reales de los mismos. Finalmente debe señalarse que cuando se plotean / listan resultados a través del Element Table, como se almacena solo un dato de cada parámetro de cada elemento, no hay diferencias en lo brindado por los 2 sistemas gráficos del programa. Tipos de esfuerzos. -

O tra problemática en el análisis de los esfuerzos está relacionada con los tipos de esfuerzos

existentes y con los ejes coordenados en los cuales se brindan. Los tipos de esfuerzos calculados en cada nodo o elemento suelen ser variados, siendo mas comunes los siguientes.


• Esfuerzos normales en las direcciones ortogonales del sistema Global X,Y,Z, o del elemento, x, y, z. Normalmente los programas brindan ambas opciones.

• Esfuerzos tangenciales en los planos XY, XZ, YZ; o xy, xz, zy, correspondientemente. • Esfuerzos principales y el tangencial máximo. • Esfuerzos equivalentes (por el criterio de Huber-Misses, y otros criterios).

Los programas más frecuentemente almacenan esos esfuerzos / deformaciones respecto a los ejes coordenados Cartesianos Globales X, Y, Z (Nodal Solution); o respecto al sistema de ejes de los elementos x, y, z. (Element Solution y Element Table). Lo más común es, sin embargo que se brinden (es decir, que se ploteen / listen), respecto a los ejes Globales Cartesianos, siendo opción del usuario cambiar esto hacia otro sistema Coordenado. En ocasiones los esfuerzos en el sistema Global son difíciles de interpretar, como en el caso de elementos tipo láminas (SHELL) al modelar bóvedas, que no sean paralelos a los ejes Globales. En estos casos es mejor recibir los esfuerzos en los ejes de los elementos. De todas formas si estos ejes no son colineales (como ocurre con un mallado “Free”) entre ellos, también se puede dificultar la interpretación de los esfuerzos. Una vía para obviar esta problemática de la posible inconsistencia de los distintos sistemas de ejes coordenados disponibles, es calcular los esfuerzos principales (S1, S2 y S3), de los elementos y promediarlos. Esto es opcional en algunos programas; existiendo incluso los que reportan la dirección de estos esfuerzos. Los esfuerzos en los puntos GAUSS no requieren de ser promediados y pudieran ser usados como alternativa a los esfuerzos nodales. Pero no son fáciles de localizar en los elementos y muchos programas no los reportan. Es común creer que los esfuerzos en estos puntos no tienen error; en realidad no incluyen el error de la extrapolación presente en los esfuerzos nodales, pero sí adolecen de los errores de discretización y de todas las aproximaciones hechas durante el proceso de idealización del problema real. Los esfuerzos en el centro de gravedad (c.g.) de los elementos, otra de las opciones que brindan los programas a través del Element Table, a primera vista pareciera que ofrecen menos información, pues cada elemento tiene un solo c.g., pero varios nodos. Sin embargo hay tantos c.g. como nodos en un mallado infinito de elementos (o que tienda a tal), por lo que ésta puede ser una buena opción. La principal desventaja de estas 2 últimas opciones, los puntos GAUSS y la de los c.g. de los elementos, es que no brindan esfuerzos en las superficies o bordes exteriores de las piezas, donde precisamente suelen tener los mayores valores. Por todo lo explicado sobre los esfuerzos / deformaciones que brindan los programas, es difícil dar recomendaciones generales. Lo importante en todo caso, es siempre conocer las verdaderas direcciones, puntos y tipos a los que se refieren los esfuerzos / deformaciones que el usuario está requiriendo del programa, y saber a que atenerse en cada situación.

U n último aspecto que es importante analizar es el relacionado con los esfuerzos en puntos singulares, que son aquellos localizados en puntos específicos de la geometría, con valores de

esfuerzos muy distantes de los reales, o sea que no se corresponden con estos, diciéndose entonces que son esfuerzos espurios. Una de las causas de ellos son los concentradores de tensiones mal modelados, en especial cuando se trabaja con materiales lineales - elásticos. En estos casos los esfuerzos teóricos pueden aumentar mucho, en dependencia de la forma en que el usuario haya modelado el concentrador y no tienen límite teórico, pues el programa considera al material de resistencia infinita (Fig. 58 a). Así en un árbol escalonado con un cambio de diámetros brusco, sin radio de acuerdo y con un mallado muy fino en esa zona, los esfuerzos calculados por el programa


de EF tienden al infinito, lo que no es real. Por otro lado una discretización gruesa de estas zonas no “capta” el rápido cambio de estos esfuerzos, dando valores muy inferiores a los reales, por lo que se prefiere un mallado grueso, si no son de interés los resultados en esas zonas Discretizarlas finamente debe hacerse sólo si se modela con el mayor detalle la geometría real del concentrador, para obtener los verdaderos esfuerzos que surjan. Hay que aclarar que los esfuerzos en los puntos singulares pueden ser en efecto elevados y el problema está en obtener los que realmente ocurren en esas zonas cuando sean de interés. Otra zona donde pueden surgir esfuerzos singulares es en aquellos lugares donde se aplican las cargas externas y los apoyos concentrados en nodos (Fig. 61). El problema es que nunca la carga real ni los apoyos estarán tan concentrados como para estar en un único nodo, por lo que esta condición debe ser evitada, distribuyendo la carga y los apoyos entre varios nodos muy cercanos entre sí (es decir con una discretización de los elementos fina en esas zonas). O aplicar las cargas como una presión. No obstante, en los elementos lineales (BEAM, TRUSS) con “shape function” no lineales, como la mayoría de los que brindan los programas modernos, esto no es causa de problemas mayores. En los restantes tipos de elementos, al colocar las fuerzas externas concentradas en un único nodo (o en pocos nodos), junto con una discretización gruesa de los elementos, se obtienen menores esfuerzos que con una discretización fina de esa zona, indicando que no se está considerando el verdadero efecto de la aplicación real de la carga. O en otras palabras, que está aplicando más fielmente el Principio de Saint Venant. Pero la discretización fina de la zona de aplicación de fuerzas y apoyos concentrados, puede llegar a crear puntos singulares, con esfuerzos y desplazamientos excesivos, mayores de los reales. En el siguiente epígrafe se dan ejemplos de esto. Los verdaderos esfuerzos en esas zonas sólo es posible obtenerlos con una modelación precisa y adecuada que se corresponda con la verdadera forma de aplicación de las cargas y apoyos en la pieza real. No obstante, en muchas ocasiones no interesan los esfuerzos en esos puntos, en cuyo caso es preferible un mallado grueso, de modo que se obtengan esfuerzos pequeños que no alteren la adecuada interpretación posterior de los resultados en otras zonas. Lo mejor es evitar el uso de fuerzas y apoyos concentrados en un único nodo ( o en un reducido número de ellos ).

Continuidad y convergencia de los Esfuerzos.

l análisis de los esfuerzos obtenidos luego de la solución por el MEF, es una importante fuente

de información sobre varios aspectos del modelo y de la propia solución, por lo que su análisis debe hacerse cuidadosamente.

E Como ya fuera señalado en el epígrafe anterior, los esfuerzos en los materiales homogéneos y de geometría continua, son continuos, sin “saltos”, por lo que cualquier discontinuidad en los esfuerzos resultantes puede considerarse como errores. Las discontinuidades se observan bien durante el ploteo de los esfuerzos sin promediar (Element Solution), pues aquella operación elimina artificialmente los “saltos”. También si surgen diferencias grandes en zonas del modelo, entre los ploteos en el PowerGraphic y el Full Graphic, puede considerarse como falta de discretizacion del mismo. Una vía efectiva de disminuir los “saltos” es aumentar la discretización del mallado del modelo, pues en efecto al disminuir las distancias entre los nodos, las diferencias de los esfuerzos disminuyen también.


Por esto, se dice que la discontinuidad de los esfuerzos es una medida del error de discretización del modelo, pues en gran medida mide la falta o no de una mayor discretización en el mallado. No obstante esto es cierto sólo en zonas donde no incidan otras causas de discontinuidades reales de los esfuerzos / deformaciones, ya que pueden ser varias las razones de ellas. Varias causas de “saltos” fueron analizadas en el epígrafe anterior, y pueden resumirse como:

• Cambios de materiales en un mismo modelo. • Cambios en las características (RC) de los elementos del modelo. • Las cargas concentradas, aplicadas en nodos interiores del modelo. • Los constreñimientos de los nodos. • Cambios bruscos en los espesores de elementos SHELL (placas y bóvedas),

y en general siempre que existan cambios bruscos de la geometría del modelo. • Esfuerzos referenciados a ejes no paralelos entre sí. • Elementos SHELL, no coplanares. • Más de 2 elementos unidos a lo largo de un borde común.

No obstante, en zonas donde no ocurran estas acciones la falta de continuidad de los esfuerzos se debe fundamentalmente a la falta de una mayor discretización del mallado, por lo que en la práctica se asume como una medida de este error. Pero hay que tener cuidado, pues este criterio puede conducir a juicios errados en algunas situaciones. En regiones donde los esfuerzos / deformaciones son realmente constantes, la variación o gradiente de los esfuerzos brindada por el programa ocurre debido a errores inevitables durante el proceso de solución, aunque estas variaciones de los esfuerzos tiende a ser baja. Al plotearlos sin promediar puede ocurrir que pequeñas diferencias de los esfuerzos aparezcan ploteados con grandes “saltos”, produciendo la impresión de grandes discontinuidades. Pero es solo un problema de la escala del ploteo, y debe tenerse cuidado con esas situaciones para evitar errores de juicio. El gradiente o variación de los esfuerzos / deformaciones en el punto de máximo esfuerzo es siempre nulo. Esto hace que la discontinuidad de esfuerzos en ese punto sea menor que en cualquier otro punto del modelo. Para una densidad de mallado fija, la discontinuidad de esfuerzos será mayor donde el gradiente de esfuerzos cambie más rápidamente (excepto donde los esfuerzos sean constantes). Es conveniente pues, para estudiar la precisión obtenida examinar las discontinuidades de los esfuerzos cerca de los esfuerzos máximos, así como en el propio máximo, pues es donde podrá apreciarse con más precisión como se comporta la convergencia de los esfuerzos. Si bien una pobre continuidad indica pérdida de exactitud, debido fundamentalmente al error de discretización, lo opuesto no es siempre cierto. Contrario a lo comúnmente creído una discontinuidad nula no significa necesariamente que no haya error de discretización. Un ejemplo de esto es la viga simplemente apoyada de la Fig. 59 b), modelada con sólo 2 elementos y sometida a su peso propio, que obviamente es un mallado pobre. Mostraría una discontinuidad de esfuerzos en el centro muy baja, aunque los esfuerzos máximos obtenidos estarán por debajo de los reales, debido precisamente a un mallado grueso, es decir a la presencia de muy pocos elementos. Ahora bien, ¿qué es una discontinuidad de esfuerzos aceptable? Difícil pregunta, cuya respuesta no es sencilla ni única. El analista es quien tiene que responder a ella, basado en su experiencia y en los


resultados de corridas previas. El estudio de los problemas resueltos, que proveen los propios programas, y los análisis Benchmark, suelen ser una buena ayuda. Como se ve por todo lo explicado, una forma de validar el modelo y de apreciar la exactitud de los resultados, es estudiar de forma cuidadosa el ploteo de los esfuerzos / deformaciones sin promediar. La Prueba de convergencia. -

na vía muy efectiva para resolver la densidad de mallado más adecuada en un modelo es realizar la Prueba de Convergencia, que se basa en asumir que las discontinuidades se deben a la falta de

discretización del modelo – lo que como ya se mencionó, no siempre es así -. Consiste en “correr” el modelo al menos 2 veces, con diferentes grados de refinamiento del mallado. En zonas donde éste es la causa fundamental de las discontinuidades, al ir refinando más, las diferencias entre los esfuerzos en los mismos nodos entre 2 corridas consecutivas irán disminuyendo, hasta alcanzarse un refinamiento tal que ya no produzca cambios en esas diferencias. Se entiende entonces que los esfuerzos convergieron a sus valores “reales”, o al menos que ese grado de mallado final da los esfuerzos con la mayor precisión posible. En la Fig. 51 del Capítulo 7 se muestra una Prueba de convergencia de los desplazamientos, con elementos BEAM. Pero es la Prueba de Convergencia de los esfuerzos la que indica mejor la densidad de mallado más adecuada del modelo, por ser los esfuerzos más sensibles a los cambios en la densidad que los desplazamientos.

U

Fig. 61 . - Rectángulo compuesto por 3 áreas.

La Prueba de Convergencia de los esfuerzos se hace estudiando los esfuerzos en una zona de interés del modelo, a medida que se hacen “corridas” con mayor número de elementos, es decir con


modelos con mallados más finos. En la Fig. 62 se muestran 3 modelos obtenidos de 3 mallados distintos de la pieza mostrada en la Fig. 61, compuesta por 3 áreas. En ella interesan estudiar los esfuerzos alrededor del hueco. Los modelos han sido confeccionados con vistas a realizar 3 “corridas” de la pieza con diferentes grados de mallado cada una (Fig. 62). Nótese que la diferencia en la cantidad de elementos entre estas 3 “corridas” es pequeña ( 165, 152, 107 elementos ), lo que explica la semejanza de los modelos de la Fig. 62. La diferencia de elementos está fundamentalmente alrededor del hueco, y sólo se detecta si se observa cuidadosamente esta zona. Los esfuerzos máximos obtenidos alrededor del hueco para cada una de las 3 “corridas” fueron: σ x = 382 572 kg / cm2 para la 1 ra “corrida” σ x = 404 439 kg / cm2 para la 2 ra “corrida” σ x = 403 509 kg / cm2 para la 3 ra “corrida” (Fig. 62). Los desplazamientos máximos, obtenidos en los extremos libres del rectángulo fueron de, Max. desplazamientos: 6.004 cm. para la 1 ra “corrida” Max. desplazamientos: 6.005 cm. para la 2 ra “corrida” Max. desplazamientos: 6.008 cm. para la 3 ra “corrida” (Fig. 64).


Fig . 62 . - Prueba de Convergencia.

a ) Primer modelo obtenido: 107 elementos. b ) Segundo modelo: 152 elementos. c) Tercer modelo: 165 elementos. El Error (en % ) se refiere al percentage error in energy norm, Γ.

Para conocer cual de los mallados es el adecuado, es decir el que capta mejor la rápida variación de los esfuerzos existentes alrededor del hueco, los esfuerzos de las diferentes “corridas” se comparan entre sí. Comparando los esfuerzos máximos entre 2 “corridas” consecutivas se tienen los siguientes errores relativos, E 2 - 3 = [ 404 439 - 403 509 ] / 403 509 = 0.0023 * 100 = 0.23 %


E 1 – 2 = [ 404 439 - 382 572 ] / 382 372 = 0.0571 * 100 = 5.71 % Es decir una diferencia entre los esfuerzos de la 2da y 3 ra “corridas”, E 2 – 3, muy pequeña, por lo que se dice que los esfuerzos convergen. Esto significa que el mallado correspondiente a la corrida No. 2 de 152 elementos es adecuado. O sea, que no es necesario aumentar el mallado a los 165 elementos del 3 er modelo, para obtener un aceptable error de la solución numérica del modelo. Este concepto se explica en el próximo Capítulo. Si se analizan los máximos desplazamientos en los 3 modelos, ocurridos en los extremos libres del rectángulo, se observa aún una mayor cercanía entre todos ellos: E 2 - 3 = [ 6.008 - 6.005 ] / 6.005 = 0.000499 * 100 = 0.0499 % E 1 – 2 = [ 6.005 - 6.004 ] / 6.004 = 0.000166 * 100 = 0.0166 % Lo que corrobora que en general los desplazamientos convergen más rápidamente que los esfuerzos. O sea que se obtienen los desplazamientos adecuados con mallados más gruesos que el necesario para los esfuerzos. Como conclusión de esta Prueba de convergencia puede decirse que el modelo No. 2 con sus 152 elementos es suficiente para tener un mínimo error numérico de la solución, lo que queda determinado por la convergencia entre los esfuerzos de las corridas 2 da y 3 ra.

Fig. 63 . - Esfuerzos horizontales (eje X), alrededor del hueco. Corrida No. 3.


Fig . 64 . - Desplazamientos en el eje X. ( cm ). Corrida No. 3.

Fig. 65 . - Rectángulo constituido por una sola área.


Fig . 66 . - Modelo obtenido del área de la Fig. 61. Corrida No. 3.

El Error (en % ) se refiere al percentage error in energy norm Γ.

Fig. 67 . - Modelo obtenido del área de la Fig. 61. Corrida No. 4.

El Error (en % ) se refiere al percentage error in energy norm Γ.


os modelos de la Fig. 62 se mallaron sobre un rectángulo compuesto por 3 áreas (Fig. 61), pero la

Prueba de convergencia se realizó sólo al área 2 y alrededor del hueco, es decir que sólo se incrementaron los elementos en esa zona. Mucho cuidado debe tenerse al seleccionar a que zonas aplicarle esta prueba. Si se hubiera trabajado con un rectángulo compuesto por una sola área (Fig. 65) y se hiciera la Prueba de convergencia a toda ella, se efectuaría a todos los elementos del área completa incluidas las 4 esquinas, lo que en realidad alteraría la Prueba. En efecto, al colocar cada uno de los apoyos y fuerzas en un único nodo de las esquinas, se están creando los llamados puntos singulares, que como ya se indicara generan esfuerzos y desplazamientos que en este caso son irreales, muy superiores a los verdaderos.

L

Para mostrar este punto, analicemos el sistema compuesto por una sola área (Fig. 65), la que será mallada con 4 densidades distintas cada vez más finas, procediéndose a las “corridas” de cada uno de estos modelos. En la Fig. 66 se muestra el modelo en la 3 ra “corrida”, con 2051 elementos y en la Fig. 67 en su 4 ta “corrida”, con 27 403 elementos, que es la última. Podrá observarse el fino mallado existente en todas las partes del modelo, el que al coincidir con los puntos de cargas y apoyos concentrados en un nodo, crean las singularidades. El problema es que en realidad, nunca una carga o apoyo estará concentrado en un único nodo.

La diferencia entre los desplazamientos de estas 2 últimas “corridas” es grande: [ 11.938 - 9.543 = 2.395 cm. ], lo que pudiera indicar (erróneamente) que la 4 a corrida con sus 27 403 elementos aun no es satisfactoria, por no ocurrir ni siquiera la convergencia de los desplazamientos. Este resultado es producto de haber realizado la Prueba de convergencia a puntos singulares, lo que debe evitarse en todo momento. Ya se sabe que si el interés es la zona alrededor del hueco, basta el modelo de la Fig. 62 b) con sus 152 elementos; y si interesan las esquinas éstas deben modelarse más acordes con las reales formas de aplicación de las cargas y apoyos. Deberá entonces tenerse mucho cuidado al seleccionar las partes del modelo a serles aplicada esta prueba.

a Prueba de convergencia puede hacerse por el usuario “a mano”, o sea ir mallando la pieza o

figura cada vez mas finamente, según su propio criterio, para cada una de sus posteriores “corridas”. O haciendo refinamientos sucesivos del mallado en la zona de interés, a partir de un mallado inicial. Pero los programas profesionales de elementos finitos poseen herramientas que automáticamente determinan el grado de mallado inicial más conveniente, así como los incrementos de elementos en cada una de las “corridas” siguientes, y todo de una forma consecutiva. Es la herramienta conocida por Adaptive meshing, que de hecho realiza la Prueba de convergencia de los esfuerzos automáticamente. Los ejemplos dados en este epígrafe han sido realizados empleando esta herramienta, es decir que los mallados sucesivos dados a los modelos de las Fig. 61, 66 y 67, y sus posteriores “corridas”, pueden ser determinados y realizados por el propio programa de forma automática.

L

El comando para emplear el procedimiento Adaptive meshing es, Main Menu > Solution > Solve – Adaptive meshing > Seleccionando el número de corridas a ejecutar o el error de la solución deseados. La aplicación de esta herramienta a una zona específica del modelo y no a todo, puede ser ventajosa en muchos casos. Se hace seleccionando previo a la aplicación del comando, los keypoint que


definen a la zona de interés. Luego al aplicar el comando se escoge la opción de: “Selected Keypoints”. El empleo de esta herramienta está vinculado al error existente entre los esfuerzos en un mismo nodo, pero obtenidos de los vectores esfuerzos calculados para cada elemento. La razón de las discontinuidades de los esfuerzos en un nodo es que en cada uno coinciden 2 o más elementos, y cada elemento tiene un vector esfuerzo que no es exactamente igual al de los otros elementos “agarrados” a un mismo nodo. Esa diferencia constituye un “error” del proceso de cálculo. De hecho la Prueba de convergencia puede hacerse también controlando un valor admisible de ese “error”. El cálculo de ese “error” los programas lo realizan basados en lo desarrollado al respecto por Zienkiewicz y Zhu, y tienen como fin el cálculo del denominado error porcentual en norma de energía ( percentage error in energy norm ). Llamando,

[ Δ σni ] -- el error entre los esfuerzos en el nodo n del elemento i.

Se puede definir el error en energía del elemento i como,

e i = 1 / 2 { Δ σni }T * [ D ]-1 * { Δ σn

i } * d (Vol) Vol Donde: Vol -- volumen del elemento. [ D ] -- matriz esfuerzo – deformación. d(Vol) - diferencial de volumen. El error de la energía en todo el modelo será, E

e = e i

i = 1 siendo E -- el número total de elementos del modelo. El percentage error in energy norm es la normalización del error anterior respecto a la energía de deformación, 0.5

Γ = e / ( e + U )


Siendo U -- la energía de deformación de todo el modelo (o de la parte del mismo que se está analizando). Se ha establecido que si los errores de los elementos e i son todos iguales, entonces el modelo con ese número de elementos es el más eficiente. Es difícil dar valores recomendados o admisibles del error Γ, pues dependerá de muchos factores. Los programas al permitir la realización de la Prueba de convergencia a través del Adaptive meshing, dejan la opción de llevarla a cabo de modo que se garantice un error Γ dado por el usuario. Qué valor, es algo difícil de recomendar; aunque los programas dan por “default” sus valores recomendados ( por ejemplo Γ = 5 ). El autor sin embargo, ha comprobado que los mismos frecuentemente son muy rigurosos. Ejemplo de ello es la Prueba desarrollada en la Fig. 56, donde un Γ = 34.5 fue satisfactorio. Lo mejor es controlar la Prueba a través de la comprobación de la convergencia de los esfuerzos realizada por el usuario, como se hizo en ese ejemplo. Como se ha explicado el aumento del refinamiento del mallado en todos los casos aumenta la precisión de los esfuerzos resultantes, es decir que los acerca más a los reales. Pero lo que no es siempre cierto es que con el aumento del refinamiento las diferencias entre los esfuerzos (o las discontinuidades), sean cada vez menores. Hay problemas en que un 1er refinamiento disminuye las diferencias y el siguiente las aumenta; para disminuir nuevamente en el siguiente refinado. Los modelos de la Fig. 61 son un ejemplo de ello. Idealmente se requeriría de una serie de corridas para formarse una opinión de cómo los resultados convergen, pero esto es frecuentemente impráctico, sobre todo en análisis con elementos sólidos 3D. Los programas realizan el refinamiento de las mallas por varias vías, en dependencia del tipo de elemento seleccionado. En este sentido, se tienen los tipos de elementos:

• h- type. • r- type. • p- type.

Cada uno de los cuales tiene su forma propia de refinamiento del mallado, como ya fuera explicado en el Capítulo 7. Como se ve el estudio de las discontinuidades de los esfuerzos y la Prueba de convergencia son fuentes importantes de información sobre la calidad del modelo conformado y de algunos de los posibles errores tenidos durante la solución. Un analista experimentado recurre rápidamente a estos análisis para conocer cuan valido y adecuado es el modelo confeccionado.


Capítulo 10.

Validación y Optimización de la Solución.

Validación del Modelo. Condiciones de la matriz de rigidez. Optimización de la Solución.

Validación del Modelo.

na vez hecho el modelo, hallada la solución y analizados los resultados, el analista pudiera darse por satisfecho y continuar con los análisis y diseños posteriores. Pero falta un paso

importante, muchas veces olvidado o más bien desconocido, que es la validación de los resultados. No sólo con fines científicos o académicos, como en una ponencia de un evento científico, sino para la propia seguridad y confianza del usuario, es necesario cumplimentar esta importante etapa. Si bien la validación más completa e indiscutible es la comparación de los resultados del modelo con datos obtenidos de experimentos o de la práctica, no es esta la única forma de validar reconocida. Quedan muchas cosas por hacer y comprobar antes de llegar a esa etapa de validación, la que por cierto no siempre es factible su realización, al menos de forma completa.

U

Por tanto, cuando aquí hablamos de validación nos referimos a la comprobación de cada uno de los aspectos involucrados en el modelo, y no se trata siempre de una comparación con experimentos, o a una validación matemática precisa. Aquí juega mucho la experiencia del analista, el que debe tener muy en cuenta su propia confianza, experiencia y certeza de lo que hace. A continuación se dan algunas formas de comprobación y validación del modelo, antes, durante y después de su realización y “corrida”. Una primera forma de validación de los resultados es compararlos con resultados conocidos y reconocidos de análisis semejantes hechos previamente. Es muy recomendable antes de acometer la modelación de un problema complejo, modelar y correr un modelo simplificado, e incluso alguno que sólo contenga los aspectos en los que se tengan dudas o incertidumbres, pero que puedan compararse sus resultados con lo publicado o conocido. Una práctica en este sentido es estudiar, previo a un modelo espacial 3D deseado, uno plano con estado deformacional plano, mucho más simple. Y determinar en éste los aspectos y detalles que realmente se requieran. Otra recomendación es comenzar con modelos simplificados, pero fáciles y rápidos de resolver, e irlos complicando y determinando si realmente requieren esos mayores detalles. La validación de los resultados se hace analizando cuidadosamente cada una de las etapas y aspectos de todo el proceso de simulación, comenzando por las realizadas antes de la “corrida” del modelo, es decir durante el proceso de creación del mismo. Esto suele involucrar aspectos, parámetros y decisiones que debe tomar el analista durante el proceso previo a la conformación de

García de la Figal, Javier Capitulo 10 225 Validación y Optimización de los Solución.

su modelo, es decir durante el trabajo previo de “mesa”. Hay en efecto, muchos aspectos que se acostumbran a tomar como los clásicamente empleados en las Ingenierías, sin tener en cuenta que la modelación permite profundizar en cada uno de ellos, simulándolos mas fielmente a su verdadero comportamiento en la realidad. Entre ellos se encuentran:

• Propiedades y características del material. No hay por que considerarlo siempre como lineal – elástico.

• Geometría de la pieza. Modelando las partes de interés de la pieza o sistema, con el mayor detalle posible.

• Tipos de elementos seleccionados y opciones que afectan su formulación. La selección del elemento mas adecuado a cada tipo de análisis, es un aspecto fundamental en la validación del modelo.

• La conectividad y compatibilidad entre los elementos. • Propiedades geométricas y físicas de los elementos, tales como propiedades de las

secciones transversales en vigas, o espesores en bóvedas y placas (elementos SHELL). • La consistencia de las direcciones locales de los elementos. • Las ecuaciones y tipos de constreñimientos empleados. Empleo de constreñimientos

elásticos y de otros tipos, más reales. • La modelación de las condiciones de borde e iniciales, cuando existan. • La modelación de las cargas, las que pueden ser modeladas no solo como estáticas

sino también en forma de trasientes (impactos), aleatorias, periódicas y variables en general.

La modelación precisa y actualizada con las últimas teorías existentes, de cada uno de los aspectos anteriores, constituye una primera vía muy efectiva de validación y actualidad del modelo.

o que queda por ser chequeado una vez “corrido” el modelo, usando los resultados de la

solución, es lo siguiente. L

• La adecuación del mallado. • El error numérico de la solución. • La validación de la idealización de las condiciones de contorno.

Como ya se indicara es muy importante realizar alguna investigación previa a la corrida del modelo definitivo, para determinar la densidad del mallado adecuada a través, por ejemplo de la Prueba de convergencia de los esfuerzos ya tratada anteriormente. Los programas disponen de varios comandos para chequear distintos aspectos del mallado y de los elementos que lo componen. Los siguientes son algunos de ellos. PreProcessor > Checking Control > Sape Checking > Activa la orden de mandar un mensaje en pantalla, al detectar elementos cuyas configuraciones sean tales, que excedan las tolerancias establecidas por el propio programa.


PreProcessor > Meshing-Plot Bad Element > Plotea en pantalla a los elementos distorsionados, existentes en el mallado, para identificarlos rápidamente. PreProcessor > Meshing-Select Bad Element > Hace una selección de los elementos distorsionados. De modo que puedan eliminarse a continuación. No obstante, esos elementos muy distorsionados, pudieran quedarse en el modelo, si ocurren en las regiones de bajos esfuerzos. La exactitud de los resultados es un concepto amplio y complejo, acerca del cual el usuario siempre debe tener algún tipo de valoración. En el mismo inciden múltiples factores, tales como:

• Las simplificaciones resultantes de asumir la linealidad del material. • Las representaciones de las uniones de la estructura. • Las propiedades del material. Factores que • Las cargas y su simulación. inciden en la • La densidad del mallado. exactitud de los • Los tipos de elementos. resultados. • La forma de los elementos. • El error numérico de la solución.

Y otros varios más. El último, el error numérico de la solución, puede definirse como el error debido a la aplicación de los procedimientos matemáticos propios del MEF. Varios programas profesionales permiten realizar al usuario un ajuste del mismo a un valor deseado antes de proceder a la solución; una de esas vías es la herramienta de Adaptive meshing ya estudiada, en que el percentage error in energy norm Γ puede considerarse una medida del error numérico de la solución. Como se aprecia el mismo es sólo uno de los varios factores que intervienen en la exactitud de los resultados, muchos de los cuales quedan incluso fuera del control del usuario. Así por ejemplo, en muchos problemas no es posible predecir las cargas con exactitud. Variaciones de la carga externa con una razón de hasta 2 son comunes, especialmente cuando la carga es dependiente de fenómenos tales como: fricciones, cargas de fluidos, impactos o de transferencia de calor. En análisis de materiales no lineales puede no ser posible predecir el límite de fluencia con una exactitud mejor del 10 – 20 %. Las tolerancias en los espesores de los materiales son usualmente del 5 % y después de procesos de conformación, se incrementan aún más. Estas posibles causas de errores deberán ser valoradas al fijar la exactitud deseada en los análisis por EF. No tiene sentido esforzarse en reducir el error numérico de la solución al 1 – 2 %, si hay errores adicionales en cualquier lugar del modelo, del 20 % y más.

ara ayudar al chequeo y validación se recurre a toda una serie de informaciones y mensajes de

advertencias, que generalmente brindan los programas acerca de varios de los parámetros y condiciones con los cuales efectúa las operaciones. Algunas de estas informaciones las brinda automáticamente, cuando surge algún problema, otras cuando se la requiere por parte del usuario.

P

Luego de corrido el programa o durante su corrida y antes de proceder a la obtención de los resultados, el programa suele ir desplegando varios mensajes que brindan información sobre:


• Errores y advertencias. • Estadísticas del modelo. • Parámetros usados como medida de la exactitud numérica de la solución.

Los mensajes de errores (“errors”) tienen que ser inmediatamente corregidos, pues generalmente detienen la corrida del programa. Son de tal magnitud que no puede proceder a obtener la solución. Los errores que detienen la ejecución del programa son muchas veces debido a las llamadas singularidades del modelo, que provocan que la solución sea indeterminada, o que no exista una solución única, generando lo que se llama una matriz de rigidez del modelo [ K ] singular. Las principales causas de singularidades son:

Insuficientes constreñimientos del modelo. Elementos no lineales en el modelo, tales como “gaps”, deslizadores, etc., que hacen que la

estructura sea de hecho un mecanismo. Valores negativos de alguna propiedad del material. Insuficiente unión entre los elementos, que hace que el modelo se comporte como un

mecanismo. Pandeo, lo que puede ocurrir bajo cargas de compresión, si reducen la rigidez de los

elementos a cero, por el efecto de reducción que producen los esfuerzos. Gran disparidad entre las rigideces de los elementos finitos.

Algunos de los mensajes de errores debidos a las singularidades pueden ser de uno de los tipos siguientes:

“Pivots set to zero”. “Negative main diagonal value”.

Matriz de rigidez singular. Ejemplos de singularidades son cuando al comenzar a resolver el problema, el programa detecta que el modelo es un mecanismo, al faltarle ligaduras que fijen adecuadamente sus partes componentes entre sí. O cuando detecta que tiene movimiento respecto a “tierra”, es decir que el modelo se mueve como un todo, en lo que entiende como movimiento de cuerpo rígido. Las causas de todos estos errores pueden ser múltiples, pero están relacionadas siempre con los problemas en la conformación de la matriz de rigidez [ K ], lo que se analizará con más detalle en el siguiente epígrafe. En el mismo se tratará de explicar también el significado del concepto de pivote. Estos problemas se deben casi invariablemente a los errores cometidos por el propio usuario durante todo el proceso de modelación, por desconocimiento de los principios y requerimientos del mismo. Grandes diferencias de rigideces entre los elementos finitos del modelo, son otra posible causa de dificultades en la formación de la matriz [ K ]. Aunque las mismas pueden ocurrir sobre todo en elementos sólidos 2D o 3D, es difícil que esto sea causa de problemas en los programas modernos, a menos que la diferencia sea extremadamente grande. Sin embargo, en el caso de vigas y de elementos SHELL, como la rigidez es función del cubo de la longitud del elemento, sí es posible la ocurrencia de este problema. Un caso frecuente ocurre al modelar tuberías, en donde los tramos rectos son mucho menos rígidos que los curvos (los elementos ELBOWS). Esto se resuelve


dividiendo los tramos rectos en varios elementos. Las grandes diferencias de rigideces en estos tipos de elementos también incrementan el error de la solución. Hay programas que dan una información más precisa sobre las singularidades detectadas. Ejemplos de estas otras informaciones de errores son los siguientes. X “There are 3 small equations solver pivots terms. Check for an insufficient constrained model ”. X “DOF (e. g. Displacements) limit exceeded at time = 1. Maximum value = 8303325 Limit = 1 000 000 ”. Todos los errores detienen inmediatamente la ejecución de la solución por parte del programa, debiendo ser corregidos por el analista antes de volver a ordenar la ejecución. Por otro lado, las advertencias (“warnings”) son mensajes acerca de algunas irregularidades que el programa detecta, pero que no tienen que ser corregidas necesariamente, pudiendo el usuario juzgar sobre:

• Si no tienen mayores consecuencias • Si el efecto que producirán, puede ser considerado en el posterior procesamiento e

interpretación de los resultados. • O si definitivamente debe parar la corrida del programa y corregir las causas de la

advertencia, mejorando así el modelo. Algunas de las causas de algunos de los más frecuentes mensajes de advertencias, son los siguientes.

• Distorsiones iniciales de los elementos, con valores que van más allá de lo permitido por el programa para cada tipo de elemento.

• Datos que deben ser ignorados por el programa, porque no pueden ser interpretados o son inconsistentes. Como una carga aplicada en un nodo inexistente.

• Aparentes duplicaciones, como más de una carga de iguales dirección y sentido, aplicadas a un mismo nodo.

• Informaciones brindadas sobre diversos parámetros con los que opera el programa, durante la obtención de la solución.

Ejemplos de posibles advertencias informadas por los programas, son las siguientes.

! “140 of the 2912 elements, violate shape warning limits ”.

! “Out of the 2920 defined elements, only 1493 elements are selected ”. Implica que el usuario realizó una selección de sólo 1493 elementos, antes de proceder a ordenar la ejecución del programa. Causa casi segura de


problemas que impedirán la ejecución total.

! “Element order last length 1493 do s not match number of selected element 2920. e New order vector being created ”. Problema detectado por el programa durante la ejecución, pero que probablemen- te pueda resolver de forma adecuada por sí mismo. Todos los mensajes deben ser atendidos y juzgados por el usuario, siendo parte importante del proceso de chequeo y validación de los resultados. Las advertencias no detienen el proceso de solución del programa, pero generalmente aumentan las imprecisiones de los cálculos realizados.

na comprobación de los resultados fácil de realizar y que ayuda a su validación, es el chequeo de las Reacciones en los apoyos de la pieza o estructura. Consiste en comprobar que la suma de las

Reacciones, sea igual a la suma de las fuerzas aplicadas, en cada dirección. Una significativa diferencia entre ellas puede ser indicativa de serios problemas con la exactitud de la solución. Aunque también puede ser resultado de peculiaridades del problema abordado, tales como:

U

• Cargas ignoradas por estar aplicadas a nodos constreñidos. • Acciones “internas” y reacciones en ecuaciones de constreñimientos, que son ignoradas.

Para realizar esta comprobación, las fuerzas de inercia pueden determinarse por la suma de las masas, con las cuales se calculan aquéllas.

Condiciones de la matriz de rigidez. a matriz de rigidez es posiblemente el parámetro más difícil de conformar por el programa y uno de los más decisivos en la correcta solución del problema planteado. Se trata de conformar y

resolver las ecuaciones de equilibrio del sistema, que al plantearlas para todo el modelo en problemas de tipo estructurales, se escriben matricialmente como (Capítulo 2),

L

{ F } = [ K ] * { U } ( 5 )

donde: { F } - Vector cargas externas aplicadas a los nodos. [ K ] - Matriz de rigidez global del modelo { U } - Vector desplazamientos de los nodos. Este proceso constituye una etapa fundamental del Proceso de cálculo del MEF, ya visto en el Capítulo 2. Una de las primeras dificultades relacionada con la matriz de rigidez [ K ], es que generalmente constituye una matriz de orden n muy elevado, que será usada en el planteamiento del sistema de ecuaciones ( 5 ), necesario para la solución del problema. En un sistema por ejemplo con 5000 nodos, que no es un modelo grande, si es en el espacio cada nodo puede aportar 6 DOFs a la


matriz de rigidez global, teniéndose un total de 6 * 5 000 = 30 000 términos en la matriz, lo que significa que ésta será de orden 173, o sea una matriz de [173 * 173]. La formación de esa gran matriz de rigidez global de todo el modelo, se realiza a partir de todos los pasos necesarios para la conformación del modelo, en el cual se hacen numerosas simplificaciones explícitas e implícitas por parte del usuario, como se ha visto a lo largo de este texto. Varios son los problemas o dificultades que pueden presentársele al programa para la formación de la matriz [ K ], algunos ya estudiados en el epígrafe anterior, generadores de errores y casi siempre debidos a singularidades en el modelo. Las causas más frecuentes de los errores son las siguientes.

• Insuficientes constreñimientos para prevenir el movimiento de cuerpo rígido. • Insuficientes constreñimientos o conexiones entre los elementos finitos, para prevenir la

formación de un mecanismo. • Gran disparidad entre las rigideces de los elementos finitos.

En correspondencia con ellos el programa detiene la ejecución de la solución, desplegando los distintos mensajes de errores ya analizados. Uno de ellos por ejemplo, es el de Matriz de Rigidez Singular, indicativo casi siempre de un movimiento de cuerpo rígido de todo el modelo, es decir que está insuficientemente constreñido a “tierra”; o de que en realidad es un mecanismo. El problema radica que cada elemento finito, con sus propias rigideces aporta sus valores propios a la matriz global de rigidez [ K ] y el programa tiene que compatibilizar todos los valores aportados, pues existen nodos comunes a varios elementos. Cuando ocurre alguna de las situaciones arriba mencionadas el programa se ve obligado a “redondear” algunos de los valores de las matrices de rigidez [ k ] aportados por cada elemento finito, de modo de compatibilizarlos en los nodos comunes. Estos “redondeos” van aumentando el error numérico de la solución, por lo que cuando el programa los considera excesivos (a partir de un valor auto establecido por “default”), aborta la ejecución de la solución enviando el mensaje anterior, o alguno de los mensajes anteriormente señalados por X , o incluso algunos otros tipos de informaciones. El error numérico de la solución es por tanto el ocurrido fundamentalmente por problemas en la conformación de la matriz de rigidez total del modelo [ K ], siendo el error que el programa se ve obligado a introducir al realizar los “redondeos” de los valores de las matrices de rigidez de los elementos, para poder conformar la matriz total [ K ]. Pivote es la cantidad de elementos en una línea o columna de la matriz de rigidez del modelo (vease la Fig. 70 más adelante). El programa selecciona el valor máximo y el mínimo de toda la matriz y determina una razón entre estos valores extremos, llamada Razón del pivote, que valora el grado de variaciones que se ve obligado hacer para conformar la matriz de rigidez global. La misma es una medida de la adecuación de la matriz para ser empleada en el sistema de ecuaciones, que el MEF tiene que conformar y resolver. Los valores de la Razón de pivote no pueden ser ni muy elevados ni cercanos a cero. Tampoco pueden ser negativos. A los desordenes del modelo que producen estos valores extremos (como las singularidades), se les llama “ïll condition”. Las singularidades producen que la Razón del pivote sea extremadamente grande, o que tienda a cero, pudiendo hacerla incluso negativa. Estos son valores extremos que abortan la ejecución del programa. Existe otro grupo de informaciones que los programas brindan (o se les puede solicitar) sobre otros parámetros usados también como medida del error numérico de la solución. El número de condición de la matriz de rigidez es uno de ellos, que evalúa más directamente el error que la Razón


del pivote. Es la razón entre el mayor y el menor “eigenvalue” de la matriz de rigidez, y cuanto más elevado sea mejor. Un número de condición bajo puede ser debido también a las singularidades del modelo, tales como:

• Que el modelo está próximo a ser un mecanismo. • Existir mucha diferencia entre las rigideces de los elementos. • Existir mucha diferencia entre el tamaño del menor elemento del modelo, y el tamaño de la

estructura completa, o sea un mallado extremadamente fino en alguna zona. Esta última situación puede ser un problema frecuente. Se ve en ella que si bien refinar mucho el modelo disminuye el error de discretización, puede sin embargo producir este otro tipo de problema. Para resolverlo se incrementan los constreñimientos de la estructura, pues lo que está sucediendo es que el programa la ve cercana a un mecanismo. Otra solución es hacer uso de la Submodelación, donde se divide la estructura en submodelos, cada uno refinado adecuadamente, independizándolos del resto del modelo total por medio de condiciones de bordes adecuadas.

Optimización de la Solución. l volumen de cálculos que tiene que realizar el programa para conformar las matrices y vectores necesarios y a continuación hallar la solución, es realmente grande. De ahí la importancia de

trabajar de la forma más rápida y sencilla posible, sin pérdida – o con la pérdida mínima -, de precisión en los resultados. Para ello el programa dispone de varios métodos de conformación de sus matrices y vectores, y de solución, los cuales selecciona según el tipo de análisis a realizar. Muchas veces es el usuario el que debe hacer algunas de estas selecciones. Se trata de los Métodos de Solución analizados en el Capítulo 8.

E

Si el analista desconoce o tiene poca información sobre los distintos métodos de cálculo que le ofrece como opciones el programa – lo que es muy común -, lo mejor es dejar que sea el propio programa el que trabaje con la opción que él entienda. Casi siempre las opciones que el programa tiene como “default”, o sea las que él propone para trabajar, son las más usadas, las que tienen mayor éxito en la mayoría de los problemas y análisis de EF. Por cierto que esta es una recomendación válida no sólo para la selección de los Métodos de Solución, sino para todas las otras opciones de selección que el programa ofrece al usuario, mucha de las cuales no entiende. Este epígrafe se referirá a uno de los aspectos más importantes y complejos en la conformación del modelo matemático: la formación de la matriz global de rigidez [ K ]. La misma es conformada por los datos que aportan todos los elementos finitos del modelo, el que puede haber sido mallado de muy diversas formas. Un aspecto importantísimo es la numeración que se haga (por el usuario o por el programa), de los nodos y los elementos. En efecto, según estén numerados los mismos en el mallado, así quedará conformada la matriz de rigidez. Y las distintas formas que pueda tomar ésta, será decisivo en el “trabajo” necesario para hallar la solución del modelo, es decir, en el tiempo de máquina necesario, la memoria a emplear, el error numérico de la solución e incluso las posibilidades de llegar realmente a la solución final o no. El programa, según el método de solución que emplee, tiende a optimizar la matriz de rigidez global, en especial su ancho de banda, de modo de facilitar al máximo la solución del sistema de ecuaciones ( 5 ). Semiancho de Banda es el mayor ancho de las líneas de la matriz, desde el término diagonal, hasta el último elemento no nulo de la línea. De forma semejante está el Semiancho de


Altura, que es la mayor altura de las columnas de la matriz, desde el término diagonal hasta el último elemento no cero de la columna, en sentido vertical, o sea en la dirección de las columnas. Como la matriz es siempre simétrica, el semiancho de banda es igual al semiancho de altura. Cuanto menores sean estos 2 parámetros más fácil y rápido se solucionan las ecuaciones ( 5 ), lo que implica que los elementos de la matriz [ K ] estén agrupados lo más posible alrededor de su diagonal. El semiancho de banda se optimiza numerando los nodos de modo que la diferencia entre sus números, sea la mínima. Esto se logra cuando se numeran los nodos primero en la longitud menor (desde el punto de vista del número de elementos), y en las longitudes mayores después. En el caso del elemento tipo “brick” o hexaedro por ejemplo, la numeración óptima es la mostrado en la Fig. 68, la cual el programa puede lograrla de forma muy sencilla, pues los nodos en columnas paralelas tienen numeración corrida. Obsérvese que el resultado es que la diferencia en numeración de los nodos consecutivos es mínima, aunque logra numeración corrida sólo en las columnas.

12

2436

48 57

54

51

49

50

1

13

2537

14

153

27

399

618

30

4221

3345

11

10

7

4

8

5

2

26

60

Fig. 68.- Hexaedro con la numeración de los nodos optimizada.

El mallado por ramas puede ejemplificarse por los casos mostrados en la Fig. 69, donde se muestran 2 líneas perpendiculares malladas con elementos lineales con distintas variantes de numeración en sus nodos. En el caso a) se cumple bastante bien el principio de optimización del semiancho de banda: la diferencia en la numeración de los nodos es la mínima en la línea vertical (son consecutivos), mientras que en la horizontal se alcanzan diferencias mayores, pero bastante pequeñas en los nodos consecutivos. Esto permite conformar una matriz de rigidez global como la mostrada en la Fig. 70


a), donde los elementos de ella, marcados con puntos quedan bastante agrupados alrededor de la diagonal. Esta constituye precisamente la matriz óptima. Puede observarse que el ancho de banda es de orden 5, pues es el mayor ancho de las líneas, en específico de las líneas número 8 a la 11. En la Fig. 69 b) se muestra una numeración con mucha diferencia entre la numeración de los nodos, dando la matriz de rigidez con un semiancho de banda grande (Fig. 70 b). La numeración de la Fig. 69 c), es similar a la del caso a), pero queda mucha diferencia entre los nodos consecutivos 5 y 10, por lo que la matriz será algo más dispersa, que la del caso a). Obsérvese de paso como las matrices de rigidez, son en efecto siempre simétricas.

4

3

2

1

13 11 9 7 5 6 8 10 5 8 3 9 13 4 6 10

2

7

12

1

4

3

2

1

9 8 7 6 5 10 11 12

a) b) c)

11 1312

Fig. 69.- Mallados en ramas. a) Numeración de los nodos, con el mínimo de diferencia entre sus números. b) Numeración con

mayor diferencia entre los nodos. c) Numeración cercana al caso a).

Respecto al proceso de numeración de los elementos (y por tanto de su formación), el programa suele hacerlo de forma automática al mallar las figuras, tratando de ayudar a conformar también la matriz de rigidez global óptima. Es el caso del método de solución llamado Frontal Solver, que es uno de los resolvedores más empleados para la conformación de la matriz [ K ] y para la solución de las ecuaciones ( 5 ). Para la solución de los sistemas de ecuaciones lineales planteadas por el modelo, emplea el Método Numérico de tipo Directo conocido por Eliminación de Gauss, conformando la renumeración de los elementos según los siguientes principios:

• En las mallas sin ramificaciones, la renumeración de los elementos se hace numerando primero el lado más corto, y luego los mayores. El último en numerar (y en creársele elementos), es el lado mayor (Fig. 71).

• El caso de mallados con ramificaciones (Fig. 69), la renumeración es más simple,

numerándose los elementos en cada rama, empleando en cada una el criterio anterior. Si hay varias ramas con diferentes anchos, es más conveniente realizar la creación y numeración de los elementos en orden descendente respecto a su ancho, es decir comenzar con la rama más ancha, y luego las siguientes, en orden descendente.


a) b)

8910111213

Fig. 70.- Matrices de rigidez global, de los modelos de la Fig. 69.

a) Matriz optimizada (triangularizada). b) Matriz alejada de la óptima.

1

2

3

4

5

6

7

8

Fig. 71 .- Numeración de los elementos en mallado sin ramificaciones, por el método Frontal Solver.

El programa luego de mallar automáticamente a las distintas entidades del dibujo, al proceder a la solución por este método, renumera los nodos y elementos de forma tal que le permita conformar la matriz de rigidez global de forma óptima, o lo más cercana a ella posible. Cumpliendo para ello con los requisitos arriba planteados respecto a la numeración de nodos y elementos, y varios otros requisitos más. El fin de todos estos cambios es generar durante el proceso de solución, la matriz de rigidez global triangularizada, llamada así por tender a ser como la mostrada en la Fig. 70 a). Es decir que buscan conformarla lo más cercana posible a la matriz óptima. Es con esta matriz de rigidez global del modelo triangularizada, con la que el programa trabaja durante toda la solución. Esto lo hace incluso después que el usuario, por necesidades de la conformación de su modelo, borra partes del mallado hecho por el programa y lo reconforma; así como cuando refina una zona, o cuando define elementos manualmente a su voluntad. Situaciones estas más comunes y frecuentes de lo que pudiera pensarse. Otros métodos de solución, como el Método Jacobi Conjugate Gradient ( JCG ), no se toman el trabajo de conformar la matriz optima, por lo que generan “files” menores aunque requieren de más memoria para alcanzar la solución.


Capitulo 11

Importación de Dibujos con Extensión . iges

Introducción. Formas de importación. Casos típicos de Importación Importación de Contornos y Superficies. Importación de SOLIDs y PARTs. Conclusiones.

Introducción

n los últimos años se ha expandido mucho el empleo de diversos programas de computación para el dibujo o representación gráfica de objetos, los que son muy conocidos y usados por

múltiples especialistas en la actualidad. Se trata de programas tales como: SOLID WORK, SOLID EDGES, 3D STUDIO, y sobre todo los de la familia AUTODESK ( AUTOCAD, DESKTOP, POWER PACK, INVENTOR, etc. ). Son realmente programas muy poderosos, con múltiples herramientas no solo para el dibujo de piezas complejas, sino también para la proyección y confección de planos de piezas y ensamblajes completos de los conjuntos. Por lo general estos programas se caracterizan por la exactitud de los objetos que pueden “modelar”, entendiendo esta palabra como la correcta y exacta representación de una pieza o conjunto en una superficie plana. No hay dudas que son programas que todo diseñador y proyectista actual debe conocer y dominar.

E

De aquí que se haya convertido en interés y práctica la metodología de dibujar las piezas o conjuntos en uno de estos programas, para “exportarlos” luego hacia uno de los programas de elementos finitos ( PEF ), y proceder a continuación al “cálculo” de la pieza. De este modo se aspira a obviar el aprendizaje ( o al menos el dominio completo ), de los comandos de dibujado o creación de entidades de dibujo de los programas de elementos finitos, profundizando solamente en sus etapas de mallado, tipos de solución y postprocesamiento. Es un procedimiento inteligente, que permite emplear cada tipo de programa en sus máximas posibilidades. Sin embargo, en más ocasiones que las deseadas ocurre que los “modelos” llevados a los PEF, tengan diversas dificultades para poder seguir procesándolos en esos programas. Pueden no crearse los volúmenes deseados, o el surgimiento de líneas o áreas adicionales a las concebidas inicialmente en el programa de dibujo, u otras varias situaciones; incluso que el PEF no pueda “importar” el dibujo. Frecuentemente se le hecha la culpa al programa de E.F., no siendo necesariamente así. Muchas de esas dificultades en el traslado de ficheros surgen por el diferente concepto de “modelación” que tienen estos 2 grupos de programas. “Modelar”en los programas de “dibujo” significa hacer la representación lo más precisa posible de la pieza o conjunto deseado, y todo en el

García de la Figal, Javier Capitulo 11 236 Importación de Dibujos con Extensión .IGES.

plano de la pantalla. Para ello disponen de múltiples comandos, tales como de creación de “work plane”, “work sketch”, “work axis”, líneas de construcción y otros que ayudan a generar las entidades, pero que son innecesarios e indeseables al exportarse a los PEF. Dado los objetivos de los programas de dibujo, ellos disponen de comandos para la creación de diversos detalles de las piezas, tales como “fillers”, “chamfers”, y otros muchos. Además los comandos para la creación de los distintos objetos que conforman el dibujo son de mucha precisión, permitiendo grandes exactitudes en las dimensiones. “Modelar” en los programas de elementos finitos tiene otro significado: la representación del correcto comportamiento de la pieza o proceso analizado bajo la acción de cargas externas. Esto trae algunas diferencias importantes con las representaciones realizadas por los programas de “dibujo” anteriormente mencionadas, que hay que tener en cuenta al “exportarlas” a los PEF. En el Capítulo 7 se hizo un amplio estudio de las necesidades requeridas de un dibujo para ser convertido en modelo de elementos finitos.

sí por ejemplo, en la representación de un simple pasador hecha en un programa de AUTODESK,

suele ser de interés dibujarlo con todos los detalles para su posterior construcción, como se muestra en la Fig. 72. Al ser “exportado” hacia un PEF, se recrean todos los detalles, Fig. 73 y 74, incluido el ‘work plane” que se vio obligado crear el programa de AUTODESK. A los efectos de la modelación del comportamiento bajo cargas del pasador en un PEF, es muy probable que varios de esos detalles generados con tanta exactitud, sean innecesarios y aún incluso indeseables, pues complican el modelo sin aportar nada realmente necesario. Por ejemplo los biseles ( “chamfers” ) son generalmente innecesarios, así como los huecos centradores, muy necesarios para el centrado de la pieza en el torno, pero que nada aportan a los efectos de resistencia y rigidez. El “work plane” llevado al PEF, puede ser otra fuente de dificultades a la hora de mallar el modelo por elementos finitos.

A

Fig . 72 . - Representación de- de un pasador en programa de AUTODESK.


En la Fig. 75 se muestra el modelo de elementos finitos del pasador de la Fig. 72, construido luego de su traslado a un PEF. Aunque pudiera parecer un mallado adecuado para esta pieza, en realidad tiene algunas desventajas. En primer lugar se han requerido 10 342 elementos y 2 072 nodos para su modelación, algo excesivo para una pieza tan simple. Claro que si fuera esta la única pieza a modelar el usuario pudiera darse por satisfecho. Pero en piezas más complejas, o si se modelaran varias piezas a la vez, tantos elementos serán causa casi segura de varias complicaciones a la hora de “correr” e interpretar los resultados de este modelo. Se trata de problemas tales como: el elevado tiempo de máquina requerido para hallar la solución, el tamaño de los ficheros generados por el programa, la enorme cantidad de resultados generados que dificultarán su análisis e interpretación, y otros. En la Fig. 76 se muestra un modelo del pasador simplificado, donde se han eliminado todos los detalles superfluos a los efectos de su comportamiento a resistencia y rigidez. Puede observarse que tiene tan solo 576 elementos y 179 nodos, con los cuales se obtiene una precisión en los resultados semejante a la del modelo de la Fig. 75. Si bien estas diferencias entre ambos modelos del pasador no son realmente determinantes en este sencillo caso, en piezas más complejas pueden ser causa de problemas en la conformación del modelo de elementos finitos, e incluso que en ocasiones no pueda ser conformado en absoluto.

Por todo ello es muy conveniente simplificar el dibujo que se va a llevar al PEF, eliminando todo lo que no sea imprescindible para su modelación. Aquí no se cumple el adagio de que “Todo lo que abunda no sobra”. En los modelos de elementos finitos sólo debe existir lo estrictamente necesario para la modelación a realizar. Debe recordarse algo ya dicho anteriormente, que lo importante no es modelar la pieza, sino su comportamiento bajo la acción de las cargas externas.


n problema frecuente ocurre cuando se “exportan” varias figuras desde AUTODESK hacia un

PEF, que han sido construidas empleando el objeto conocido como PART. El problema consiste en que las PARTs son en efecto trasladadas, pero todas desde el mismo origen del sistema de coordenadas Global del PEF, como se muestra en la Fig. 78. Esta figura es el resultado de trasladar las 2 PARTs de la Fig. 77 dibujadas en AUTODESK, a un PEF. Como se observa el resultado no es satisfactorio. Suelen existir herramientas en los PEF que permiten corregir esto, pero el problema puede y debe evitarse con el conocimiento de las interacciones existentes entre ambos tipos de programas. Cómo realizar la correcta transferencia en este ejemplo, se estudiará más adelante.

U

Fig. 77. - Dibujo en AUTODESK, compuesto por 2 PARTs. Sólo se han representado las

líneas.


Fig. 78 . – Traslado del dibujo de la Fig. 74 compuesta por 2 PARTs, a un PEF.

a) Volúmenes obtenidos, uno dentro del otro. b) Volúmenes vistos en sus líneas componentes.

trO o ejemplo no de traslado incorrecto, sino de la obtención de un modelo de elementos finitos inadecuado, es decir que no es el más conveniente, lo constituyen los modelos de estructuras

compuestas por perfiles laminados. Los cuales son de hecho PARTs normalizadas en los programas de AUTODESK. En la Fig. 79 se muestra una estructura conformada en AUTODESK por perfiles laminados normalizados.


Realizándole algunos constreñimientos a este dibujo, a pesar de ser varias PARTs, puede ser trasladado al PEF satisfactoriamente como un único volumen (Fig. 80 a). Entonces puede ser mallado con elementos finitos de tipo volumétricos SOLID 3D, obteniéndose finalmente el modelo de elementos finitos de la Fig. 80 b). El mismo consta de 66 287 elementos y 23 891 nodos. Si bien este modelo puede ser perfectamente “resuelto”, y un principiante se dará por satisfecho con los resultados, posiblemente no sea el modelo más adecuado porque al emplearse elementos de tipo volumétricos, SOLID 3D que además están dispuestos de una forma “Free” en el mallado, se obtendrá una gran cantidad de resultados luego de la solución. Adicionalmente los resultados estarán dados respecto al sistema de coordenadas de los elementos, coordenadas que de hecho son diferentes para cada elemento finito. Todo esto complica y a veces de forma importante, el análisis e interpretación de los resultados. Como es conocido, para la modelación de vigas laminadas es mucho más conveniente y adecuado el empleo de otros tipos de elementos, tales como los elementos SHELL, o los elementos BEAM especiales para perfiles delgados. Para ello es necesario concebir el dibujo en AUTODESK con otros tipos de objetos. En la Fig. 81 se muestra un modelo de la misma estructura anterior pero con elementos SHELL, necesitando sólo 1 609 elementos y 1 738 nodos; pero estos elementos no pueden mallarse sobre la Fig. 80 a). Mientras que en la Fig. 82 se muestra un modelo con elementos BEAM 189. Puede observarse la importante disminución de elementos necesarios y su disposición más uniforme en ambos modelos, siendo indiscutiblemente más adecuados y viables para la modelación de la estructura. Especialmente indicados son los elementos BEAM para perfiles delgados, con los que se logra un modelo con un mínimo de elementos ( ¡sólo 10 ¡ ), sin pérdida de información ni exactitud en los resultados. Para colmo de ventajas, el dibujo necesario realizar en AUTODESK para este modelo es sumamente simple, como se muestra en la Fig. 83. Compárese con el dibujo de la Fig. 79, necesario para el primer modelo de la Fig. 80 b ). Es un ejemplo claro de cómo en muchos casos el dibujo detallado de las piezas, como el de la Fig. 79, no es necesariamente el más adecuado para la modelación posterior por elementos finitos.


Todo lo hasta aquí apuntado refuerza la idea central de que trasladar un “modelo” desde AUTODESK hacia un PEF, no es una tarea tan sencilla y que debe escogerse con mucho cuidado y trabajo previo de mesa, los tipos de objetos a usar en AUTODESK y la forma de trasladarlos al PEF. Esto será precisamente el objeto de estudio de los próximos epígrafes.

Fig. 80 . - Modelo de elementos finitos de la estructura de la Fig. 79.

a ) Volumen de la estructura, trasladada al PEF desde AUTODESK. b ) Modelo de elementos finitos de la estructura. Elementos SOLID 3D.

66 287 elementos. 23 891 nodos.


Fig. 81 . - Modelo de elementos finitos con elementos SHELL.

1 609 elementos, 1 738 nodos.


Formas de importación.-

asta ahora se ha hecho referencia a la exportación de un dibujo de un programa de AUTODESK hacia un programa de elementos finitos, PEF. En adelante ese proceso se

denominará como la importación del dibujo por el PEF, que evidentemente se trata de lo mismo, en dependencia desde que programa se mire. Varios son las formas, expresadas en la extensión de los ficheros generados, que se han desarrollado para la exportación de dibujos en los programas de AUTODESK y de otras firmas. Las distintas formas de exportación ( y por tanto de importación por el PEF ), se expresan por medio de la extensión en que se generan los ficheros capaces de contener toda la información recogida en el dibujo realizado. Entre las extensiones que se han estado empleando están:

H

• . IGES (Initial Graphics Exchange Specification) Formato neutral desarrollado por el Instituto Nacional de Standards y Tecnologías, del Dpto. de Comercio de USA. • . SAT • . UG • . PRO/E • . STEP Y otras. De todas ellas la que más empleo ha tenido y la más usada por el mayor número de programas de “dibujo”, son los ficheros con extensión .IGES, que es la forma de fichero que se tratará en este Capítulo. Casi todos los programas modernos de elementos finitos tienen capacidad de importar este tipo de fichero. Básicamente suelen poseer 2 formas de realizar esa importación:


• Por el procedimiento conocido como “No defeaturing”, que es como su nombre indica la forma básica habilitada por el programa para realizar la importación.

• Por un procedimiento alternativo, llamado “Defeature model”.

Options for IGES import

IGES import options No defeaturing

Defeature model

MERGE Merge coincident Keypoints ?

CREATE Create solids if applicable

SMALL Delete small areas ?

Yes

Yes

Yes

Fig. 84 . - Opciones para la Importación de files .IGES.

El usuario podrá seleccionar de entre las opciones de la Fig. 84 la más adecuada para su análisis. En todo caso deberá siempre:

Mantener activado ( YES ) la opción:

MERGE Merge coincident Keypoints ? Procedimiento Defeature model .- El procedimiento de importación del PEF denominado “Defeature model” es el que oferta el programa como 2 da opción, siendo sin embargo el recomendado a usar primeramente. Es recomendado fundamentalmente cuando la entidad a ser obtenida después de la importación sea un volumen y sólo uno. Permite la captura del fichero con el dibujo de forma más completa y con una mínima intervención del usuario. Pero requiere que el volumen a importar esté lo más correctamente elaborado para ser convertido posteriormente en un modelo de elementos finitos, es decir que tenga necesidad de pocos cambios. Algunas otras características de esta opción son: • No traslada al PEF notas escritas, dimensiones acotadas, etc. • No permite reconvertir el modelo en un nuevo file con extensión .IGES, ni de ningún otro tipo.

Es decir que no permite reexportar el modelo desde el PEF. Esta opción permite seleccionar básicamente entre 2 vías fundamentales (Fig. 84). 1 ) Crear el volumen del dibujo en el PEF ( “CREATE Solids if aplicable: Yes”, Fig. 84 ). Crea en efecto el volumen junto con todas sus áreas, líneas y keypoints, entendiendo que aquél ya viene


en la forma deseada por el usuario, y que requerirá de pocas modificaciones. Permite importar también keypoints, áreas y líneas, aunque con limitaciones para convertirlas en Volúmenes; así como superficies de revolución. Esto es porque desactiva muchas de las operaciones de Crear y Operar del Preprocesador del programa, tales como: • Crear y Operar las que sólo podrá emplearse con volúmenes. Es decir que desactiva la creación

de nuevas áreas, líneas, etc., así como las operaciones Booleanas con esas entidades, permitiéndolas sólo con volúmenes.

• Desactiva las operaciones de “Copy” y “Move” de todas las entidades de dibujo, incluso de los

volúmenes. Es decir que no podrán moverse ni copiarse ninguna entidad de dibujo. No obstante, activa 2 grupos de nuevas herramientas de simplificación y reparación de las figuras, con vistas a que éstas sean adecuadas por el usuario a las necesidades de un modelo de elementos finitos. Estas herramientas son las siguientes. Geometry Repair . - Permite realizar algunos tipos de reparaciones sencillas al volumen, tales como: • Plotear y listar ( PLOT, LIST ) los “gaps” existentes entre Keypoints y líneas. • Detectar entidades de dibujo ( DETACH ), que podrán ser luego eliminadas. • Completar algunas entidades: LNFILL, ARFILL.

Cavidad Boss

Fig. 85 . - Geometry Simplify . - Consiste en un grupo de comandos para la eliminación o cambio de formas desproporcionadamente pequeñas o deformadas, que nada aportan y sí complican el futuro modelo de elementos finitos. Se trata de: Líneas Cavidades Entidades muy pequeñas - Areas Deformadas - Boss Loops ( Fig. 85 ) Loops Para ello dispone de comandos tales como los siguientes. LNMERGE Llevar líneas hacia un KP


ASRMERGE Llevar área hacia una línea LNCOLLAPSE Sumar líneas ARCOLLAPSE Sumar áreas LNSPLIT Dividir líneas o áreas en 2 ARSPLIT ALPFILL Remover loops VCVFILL Remover cavidades y boss. En la Fig. 83 se muestra el uso de algunos de estos comandos para la eliminación de una forma muy puntiaguda en un área. Esta punta será causa de errores en los resultados del modelo de elementos finitos, al generar esfuerzos espúreos y debe ser reformulada. Para ello se emplean los comandos de Geometry Simplify, como se explica en la propia figura, en la que se llega a un área de 4 lados, que podrá entonces ser mallada de forma “mapped”.. 2 ) Cuando el usuario desactiva la opción de crear volúmenes ( “CREATE volumen if applicable : No”, Fig. 84 ), es porque el dibujo a importar no está constituido por volúmenes, sino por áreas, líneas y keypoints, siendo por tanto la opción indicada para estos casos. Aunque también puede usarse para importar estas entidades para después ser convertidas en un volumen por el usuario, aunque con importantes limitaciones en ello, al desactivar también muchas de las operaciones de: Crear, operaciones Booleanas, Move y Copy. La principal diferencia de esta opción es que activa un grupo de comandos adicionales, el topological repair, que permitirán hacer una reparación más profunda de las entidades antes de convertirlas en volumen, ampliando así las opciones de adecuación de ese futuro volumen. Como es de esperar, no permite importar Solids ni Parts, aunque sí superficies de revolución, incluso cerradas. Esta opción es recomendada cuando:

• El modelo a importar es muy grande y complicado. • Dibujos que no constituyan un sólido, es decir áreas o líneas. • Áreas con contornos no comunes. • Mayores posibilidades de trabajo sobre las entidades, para

la posterior creación del volumen, que con la opción anterior. El toipological repair es un grupo de comandos previos a los otros 2 ya descritos, que el programa activa automáticamente con la opción Defeature model, si detecta que es necesario su empleo. Con ellos se puede adicionalmente: • Unir “gaps” de: keypoints, líneas y áreas • Crear volúmenes a partir de las áreas. Esta constituye la principal nueva posibilidad que permite esta herramienta. • Borrar entidades con mayor libertad


Luego de cerrado el Topological repair, se activan las 2 otras herramientas descritas: Geometric repair y Geometric simplify.

Silver

Crear KP

Crear áreapor SPLIT Colapsar

área

Hacia esta línea

Colapsar línea

Hacia este KP

Colapsarlínea

Hacia este KP

! Area de

4 lados !

Area inicial


Fig. 86 . - Modificación de área excesivamente puntiaguda. Comandos SIMPLIFY . De todo lo dicho se observa que la opción de Defeature model tiene algunas limitaciones, ya descritas al inicio de este epígrafe, siendo quizás la más importante de ellas que desactiva muchas de las posibilidades de trabajo con entidades que brinda el PREPRCESADOR, tales como “Move”, “Copy” y muchas de las operaciones Booleanas. Esta opción es indicada para la importación de una única pieza, que puede ser compleja y que puede estar constituida o no por un volumen. Acciona 3 grupos de comandos para la reparación y simplificación del modelo. Quizás su principal desventaja radique precisamente en la presencia de esos comandos nuevos, que si bien pueden ser muy útiles, requieren ser aprendidos y dominados por el usuario, adicionalmente a todos los otros del programa que se supone ya domine. Las firmas los han incluidos para supuestamente rectificar las incongruencias de los modelos dibujados en AUTODESK, con las necesidades de los PEF. En realidad los cambios necesarios realizar a los “modelos” importados, pueden hacerse también por medio del PREPROCESADOR de los programas de elementos finitos. Y posiblemente esto sea mucho más deseable para el usuario. Esto se consigue con la otra opción de No defeaturing, Fig. 84. No obstante el programa recomienda comenzar la importación del fichero con la opción de Defeature model, y sólo si se falla con ella, pasar a la otra: No defeaturing. La principal aplicación del procedimiento Defeature model de importación de files, está por tanto cuando la figura a ser mallada está constituida por un único volumen, que puede llegar a ser complejo. Pero que el usuario conoce que requerirá de pocas simplificaciones y reparaciones ( o de ninguna ), para ser procesado posteriormente como modelo de elementos finitos de forma adecuada. Como se verá a continuación la otra opción, la de No defeaturing en una gran mayoría de situaciones no es capaz de crear volúmenes por sí sola, sólo las áreas, líneas y keypoints de la figura, quedando como tarea adicional al usuario la creación de los volúmenes. Hay muchos casos en que esto constituye una importante desventaja. Procedimiento No defeaturing . – Quizás la principal ventaja que tenga este procedimiento de importación sea que deja activados todos los comandos de procesamiento de las entidades, que posibilita el PREPROCESADOR del programa con sus muchos y útiles comandos, los que además son ya conocidos por el usuario. Tiene además otras características que pueden ser importantes en determinadas situaciones. • Permite importar dibujos compuestos por entidades o figuras separadas, o varias figuras a la

vez. • Permite salvar el modelo desde el PEF hacia un nuevo fichero con extensión .IGES. Es decir

permite la reexportación del modelo. • Permite agregar ( crear ) nuevas entidades con completa libertad, y operar entre ellas. Todo

gracias a las posibilidades del PREPROCESADOR, que deja activado completamente. • Generalmente tiene éxito en aquellos casos donde la opción Defeature model falla, aunque sin

llegar a crear los volúmenes en la mayoría de los casos. Una importante característica de esta opción radica en que una gran cantidad de figuras espaciales ( 3 D ), tanto SOLIDs como PARTs, no logran ser trasladadas al PEF como tales, sino sólo sus áreas, líneas y keypoints. Por lo que en esos casos el usuario requerirá de trabajo adicional para la creación del o los volúmenes deseados. Y en muchos de esos casos podrán haber dificultades para la


creación de esos volúmenes. La causa de esto parece ser la creación de áreas, líneas y keypoints adicionales en el proceso de importación, por lo que una detección y borrado previo de todo lo adicional creado luego de la importación, o su unión, ayudará a la creación exitosa de los volúmenes por esta opción. No obstante esto puede ser una importante complicación para la importación de volúmenes, incluso en piezas sencillas, no complicadas. Por ello la otra opción de Defeature model debe preferirse como primera opción para la creación de un único volumen, complejo o no. Normalmente las áreas obtenidas en el PEF con la opción de No defeaturing, se ven solo en sus líneas, por lo que para verlas de forma “llena”, debe emplearse:

[ Utility Menu > PlotCtrl > Style > Solid Model Facet > Normal ] El procedimiento No defeaturing es el más indicado para la importación de líneas, superficies, regiones y contornos. En resumen esta opción es en general más poderosa para la importación de todo tipo de dibujos, que la opción de Defeature model. Para piezas volumétricas muy complejas o cuando la figura está compuesta por varias piezas separadas, donde generalmente falla esta opción, el trabajar con No defeaturing brindará con más seguridad el éxito, aunque posiblemente sin llegar a crear los volúmenes. Esta tarea deberá completarla el usuario posteriormente.

Casos típicos de importación .

ara la correcta importación de un fichero .IGES por un PEF, es necesario tener en cuenta el tipo de objeto en el que se ha conformado la figura en el programa inicial de dibujo. Estos programas

poseen diversos tipos de entidades y de operaciones con ellas, para la creación de sus “modelos”, y cada una de ellas tienen sus características al crear los ficheros .IGES. Así las figuras pueden estar constituidas por entidades tales como: líneas (polyline, 3Dpolyline, círculos, spline, etc.), contornos, superficies, o regiones. Con algunas de ellas pueden hacerse diferentes operaciones Booleanas ( “join”, “cut”, “substract” ) y de otros tipos (“extrude”, “revolve”, “sweep” ). También pueden crearse objetos más complejos y muy útiles, como los PREFILES, los SOLIDs., las PARTs, las SCENE y los ASSEMBLY y SUB ASSEMBLY. En general no es tan importante las vías y comandos empleados por el usuario en la creación de las figuras (es decir las entidades y operaciones empleadas), las que pueden ser muy diversas, sino cuales de los objetos anteriores, como resultado final pretende importar desde el PEF. Este es el tema de este epígrafe. Antes de ver casos particulares de importación, se expondrán algunas consideraciones generales.

P

Un aspecto que debe realizarse siempre por el usuario en el PEF es borrar todas las líneas y en el caso de volúmenes las áreas también, que sean superfluas o adicionales al dibujo importado. También es importante la unión ( “Merge” ) de todos los keypoints. Todo esto deberá hacerse inmediato después de la importación, por alguna de las vías posibles en cada caso (Topological Repair, el Preprocesador, etc.). Esto es algo determinante en muchos casos para el éxito de la importación. Otra recomendación general es que las figuras obtenidas como producto de una copia de un objeto o entidad original ( uso del comando COPY ), no podrán ser trasladadas al PEF, sino sólo el original, por lo que deberá evitarse el uso de esta opción. Esto puede ser resuelto con la exportación de esa copia a otro fichero exterior, y luego “attachada” a la pieza original, a través del CATALOG. Hay


casos como en las PARTs normalizadas en que existen vías más expeditas, como el POWERCOPY y el POWEREDIT que resuelven esta situación y se verán más adelante en el caso 7 ). Es frecuente que para la importación exitosa de una figura, puedan emplearse varias de las formas de importación vistas en el epígrafe anterior. En los análisis que siguen se enmarcarán en un rectángulo las opciones más adecuadas y recomendadas para cada caso. Se brinda no obstante un análisis de todas las otras vías posibles, porque puede ser que las aquí recomendadas no cubran completamente las expectativas del usuario.

Importación de Contornos y Superficies. –

os Contornos, que pueden ser cerrados o abiertos, son todas las entidades constituidas por los diferentes tipos de líneas, es decir aquéllas producto del empleo de los comandos del Menú DESIGN:

L

LINE, POLYLINE, RECTANGLE, CIRCLE, SPLINE, ARC, etc.

Por Superficies se entienden las entidades, tanto planas como 3D, en las que además del contorno cerrado existe un área dentro de éste. Para su creación se emplean comandos de AUTODESK tales como:

2D SOLID, 3D FACES, 3D SURFACES

Son Superficies también todos las entidades obtenidos por: EXTRUDE, REVOLVE, o SWEEP de líneas, mientras que pueden llamarse objetos constituidos por superficies, a los obtenidos por la aplicación de las operaciones anteriores a los contornos; así como los objetos obtenidos por el empleo del Menú SURFACES. Es decir todo lo que se entiende como superficie u objetos constituidos por superficies, en los programas de dibujo. A continuación se brinda un análisis de las posibilidades de las distintas formas de importación de estas entidades y objetos; así como de la entidad REGIÓN, la que a los efectos de la importación se comporta como una superficie. • Defeature model.

Creación de Volúmenes. -- Crea todos los contornos, sean cerrados o abiertos, como líneas; mientras que las superficies y regiones como áreas. Activa el Topological Repair, el cual puede tener dificultades en ser completado. No obstante no debe emplearse específicamente en superficies generadas por los comandos de AUTODESK: [ Surfaces > Create Primitives > Cone, Cylynder, Sphere, ... ] Pues se crean entidades complejas de una sola área, que son imposibles de mallar con elementos finitos posteriormente.

No crear Volúmenes. --- I D E M


• No defeaturing.

Creación de Volúmenes. -- Crea áreas de los dibujos provenientes de superficies, de regiones o de contornos cerrados no parametrizados, es decir que no sean “prefiles”. Pudiendo ser mallados correctamente.

Los contornos abiertos y los “prefiles” quedan como líneas. No crear Volúmenes. -- I D E M

Fig. 87 . -- Cilindro obtenido en el PEF, producto de la importación por No defeaturing de un objeto constituido por superficies. ( Superficie cilíndrica obtenida por extrusión de un

circulo).

Fig . 88 . - Mallado del cilindro de la Fig. 87. a ) Luego de la importación por Defeature. b ) Luego de la importación por No Defea- ture.


El usuario deberá escoger cuidadosamente entre estas opciones, en dependencia de lo deseado. Por ejemplo, sea el caso de un objeto constituido por superficies, como el cilindro de la Fig. 87, generado por extrusión de un circulo, a través del comando de AUTODESK:

[ Surfaces > Create Surfaces > Extrude ] Puede ser trasladado por cualquiera de las 2 formas de importación, y a continuación ser mallado. Pero este mallado será distinto en dependencia de la forma de importación empleada, como se aprecia en la Fig. 88, donde el mallado “mapped” más uniforme, se obtiene con la opción de No defeaturing.

Importación de SOLIDs y PARTs . –

a importación de figuras generadas como SOLIDs o PARTs en el programa de dibujo, tiene

como objetivo la creación de Volúmenes en el PEF. En sus creaciones el usuario puede haber empleado múltiples tipos de entidades y operaciones con ellas para la obtención de su figura espacial. Sin embargo en la mayoría de los casos no son importantes las vías empleadas, sino el resultado final a ser generado como fichero .IGES, es decir si es un SOLID o una PART. Por otro lado la figura definitiva a ser importada por el PEF puede estar constituida por uno sólo o por varios objetos SOLIDs o PARTs, es decir ser un ASSEMBLY. En este caso se deberán realizar algunas operaciones previas antes de la importación por el PEF, para poder ser mallado adecuadamente con los elementos finitos. Pero el proceso de importación en sí es el mismo, se trate de uno o varios objetos espaciales.

L

Como siempre, luego de la importación y creación de la figura en el PEF, el primer paso deberá ser la unión adicional de los keypoints ( MERGE KP ), y el borrado ( DELETE ) de todas las líneas y áreas superfluas. A continuación se analizan las posibilidades de importación de diferentes tipos de objetos de AUTODESK.

1 ) Importación de un único SOLID o PART.- • Defeature -- Creación de Volumen. -- Crea directamente el volumen deseado en el PEF, el cual


podrá ser mallado adecuadamente. No creación de volumen -- ¡ No se crea nada en el PEF ¡ • No defeaturing. Crear volumen No crea el volumen, sino sus áreas, líneas y keypoints. No crear volumen El volumen puede ser creado a través del PREPROCESADOR luego, aunque hay casos en que puede llegar a ser imposible. 2 ) SOLIDs sin JOIN. Es decir sin la unión o suma de los objetos. Semejantes a la Fig. 89. • Defeature model . --

Crear Volúmenes -- Crea los volúmenes independientes entre sí (Fig. 89), pudiendo haber problemas al mallarlos, al no permitir la operación de GLUE o unión de las áreas comunes de los volúmenes. Esto puede crear dificultades en la unión de los elementos finitos en esa zona. (Fig. 90). Obsérvese la falta de unión de los elementos en las áreas de contacto de ambos volúmenes. No obstante un usuario experto podrá resolver esto por otras vías.

Con la opción de “No crear Volumen”, no se realiza la importación en absoluto, es decir que no se importa nada al PEF. • No defeaturing . -- Crear Volúmenes -- No llega a crear los volúmenes, sólo sus áreas, líneas y keypoints. Se puede posteriormente crear los volúmenes deseados, y a través de GLUE unir las áreas comunes para el adecuado mallado final. Pero a menos que los SOLIDs sean muy sencillos, será dificultoso crear esos Volúmenes deseados. 3 ) SOLIDs con JOIN. Es decir con la unión o suma de los objetos (Fig. 91). [ Modify > Solid Entities > Join ] • Defeature model Crear Volúmenes -- Crea los objetos en forma de un solo Volumen de toda la pieza compuesta, Fig. 91, que podrá entonces ser mallada adecuadamente. Véase la Fig. 92. • No defeaturing. Crear Volúmenes -- No crea los volúmenes, sino sus áreas,..... , etc. Pero todas surgirán en el origen coordenado del PEF, como se muestra en la Fig. 78 b). O con alguna complicación en las áreas, que dificultaran la creación posterior de los volúmenes deseados.


2 Areas encontacto, peroperteneciente cadauna a un volumendistinto.

Fig. 89 . - Creación de volúmenes independientes en el PEF, a partir de 2 SOLIDs sin

JOIN. Importación por Defeature model. Sólo se han representado las líneas.

a )b )

Fig. 90 . - Mallado de los Volúmenes trasladados al PEF de la Fig. 86. Uso de Importación

por Defeature model. a ) Modelo completo incorrecto. b ) Detalle de zona de unión.


Fig . 91 . - 2 SOLIDs con Join, en AUTODESK, importado por Defeature Model. Representación de sólo las líneas.

Fig. 78 b) (Repetida). Importación a ANSYS de 2 PARTs con Join, por medio de No

defeaturing.


Fig. 92 . - Modelo adecuado de elementos finitos obtenido de los 2 SOLIDs de la Fig. 86, (con

Join). Importación por medio de Defeature model. Obtención de un volumen único.

4 ) PARTs sin JOIN. – Es decir sin la unión o suma de los objetos. • Defeature model.

Crear Volúmenes -- Crea los volúmenes pero todos desde el origen coordenado global del PEF (Fig. 78 b ).

• No defeaturing. -- No crea volúmenes por ninguna opción; y las áreas, líneas y keypoints los coloca desde el origen de coordenadas globales del PEF. 5 ) PARTs con JOIN. Es decir con la unión o suma de los objetos. Semejante a la Fig. 91. [ Parts > Pleaced Features > Enter Param. Boolean operation > Join ] • Defeature model

Crear Volumen -- Crea un único volumen de todas las piezas, que puede ser mallado adecuadamente. El resultado es igual al de la Fig. 92.

• No defeaturing. -- No crea volúmenes por ninguna opción, sólo áreas .... etc. Pueden ser creados por el usuario posteriormente los volúmenes deseados, pero puede llegar a ser un proceso dificultoso. El autor ha experimentado la importación de PARTs parametrizadas por medio de constreñimientos ( 3D CONSTRAINT ), no obteniendo resultados satisfactorios.


6 ) Arboles normalizados . – Por árboles normalizados se entenderá aquí la creación de dibujos de árboles en programas de AUTODESK, empleando las posibilidades de las herramientas CONTENT 3D > SHAFT GENERATOR, que permite la creación de árboles en 3D de muy diversos tipos preestablecidos. El resultado obtenido según el empleo de las distintas formas de importación del PEF es el siguiente. • Defeature model

Crear Volúmenes -- Crea un único volumen de todo el árbol, que puede ser mallado adecuadamente. ( Fig. 93 ). • No defeaturing. -- No crea los volúmenes aunque sí las áreas, ......, etc. Algunas de las áreas

deberán ser borradas por ser superfluas para la posterior creación de los volúmenes por el usuario. Esto puede ser un proceso engorroso.

Fig. 93 . - Modelo de elementos finitos obtenido de la importación través de la opción

Defeature model, de un árbol normalizado de AUTODESK. 7 ) Estructuras de vigas normalizadas. – Una de las posibilidades que brindan los actuales programas de dibujo es el proyecto de estructuras, empleando los perfiles normalizados de las diferentes Normas, Standards o firmas suministradoras. Para lograr esos proyectos los programas disponen de múltiples comandos que el usuario deberá emplear, lo cual hace que no siempre sea posible la importación de la estructura definitiva desde PEF. Para lograrlo exitosamente deberá tener en cuenta algunas recomendaciones en el momento de dibujar su estructura en AUTODESK. A continuación se da el procedimiento a seguir.


• Crear la primera viga normalizada, a través de los comandos de AUTODESK:

[ Content 3D > Steel shapes ] • Crear las restantes vigas componentes de la estructura, una a una. Esto puede ser hecho por

distintas vías, en dependencia de lo deseado. Puede por ejemplo, emplearse nuevamente el comando anterior, para crear nuevos tipos de perfiles. O emplear el comando COPY para crear una copia de la primera viga en cualquier posición deseada. O puede emplearse la opción Power Copy,

[ Move > Power Command > Power Copy ]

que permite una copia de una viga, colocándola perpendicular con la primera. • En cualesquiera de estos casos deberá desvincularse la parametrización que surgirá entre la

primera viga y las restantes, mediante el empleo del comando Power Edit,

[ Move > Power Command > Power Edit ]

El cual permite además variar las dimensiones de las vigas copiadas. • Activar una de las PARTs, es decir una de las vigas.

Mouse derecho en el nombre > Active Part de la PART a activar, en el Browser

• Realizar la operación JOIN de la PART acabada de activar, con una de las restantes vigas ( es

decir la unión de 2 de las vigas ).

[ Part > Pleaced features > Combine > Join ]

Realizar luego de forma consecuente la unión con las siguientes vigas restantes de la estructura, repitiendo sucesivamente la operación de JOIN, hasta conformarla completamente (Fig. 76). • Una vez conformada la estructura completa, crear el fichero .IGES.

[ Files > Export > IGES ]

• Abrir el programa de elementos finitos, e importar el fichero .IGES creado.

[ Files > Import > IGES ]

Con la opción: Defeature model, Crear volumen.

De este modo queda creado un único volumen que podrá ser mallado adecuadamente con elementos SOLID 3D, Fig. 91).


No obstante es bueno recordar que para crear modelos de elementos finitos de vigas de perfiles delgados, es más conveniente en muchos casos emplear elementos SHELL (Fig. 81), o elementos especiales de perfiles delgados (Fig. 82).

e todo lo expuesto se comprende la necesidad de que antes de trasladar una figura a un PEF, a través de un “fichero .IGES”, debe hacerse un cuidadoso estudio de los objetos de AUTODESK

a ser trasladados, y la forma de importación más adecuada del PEF. Esto garantizará el éxito del traslado y de la creación del modelo de elementos finitos más correcto.

D

Conclusiones

1. La importación al PEF de contornos, superficies o regiones, puede realizarse tanto por la opción Defeature Model, como por No Defeaturing. Aunque debe preferirse esta última pues la primera desactiva varios comandos del PREPROCESADOR, lo que puede dificultar las posteriores operaciones sobre objeto importado.


Fig. 80 b) - Repetida. Modelo con elementos SOLID 3D.

Fig. 81 . - Repetida. Modelo con elementos SHELL.


2. Para importar un solo SOLID o PART, emplear Defeature Model, junto con Crear Volumen.

3. Para importar Objetos separados, en general empléese No Defeaturing. Sin embargo, si esos objetos separados son SOLIDs, se importan mejor empleando Defeature Model. No deben ser en ningún caso, PARTs, las que no logran ser bien importadas de forma separada, por ninguna vía. Es decir que:

4. No logran importarse PARTs sin JOIN, por ninguna vía.

5. SOLIDs sin JOIN, deben importarse solo con No Defeaturing. Si se desea la creación de una única pieza

6. SOLIDs con JOIN, empléese Defeature Model. en el programa de Elementos Finitos. 7. PARTs con JOIN, importarlas solo con Defeature Model.

En todos los casos debe tratarse que los objetos a ser trasladados estén ya simplificados, o sea que estén concebidos para las necesidades de un modelo de Elementos Finitos, de modo que requieran de un mínimo de ( o de ninguna ) modificaciones, luego de haber sido importados al Programa de Elementos Finitos. Con todos estos requerimientos cumplimentados, el usuario podrá tener la seguridad y confianza de que sus objetos importados serán los adecuados para lograr la modelación por EF exitosamente.


A N E X O S.

García de la Figal, Javier ANEXOS 264

A N E X O 1

Resumen de los principales tipos de Elementos Finitos.

1 DSPRINGMASSBUOYGAP

2 D2 D TRUSS2 D BEAM2 D PIPE

Plane sressPlane strain

Axisym. solidAxisym. SHELL

Sólidosplanos.

3 D3 D TRUSS3 D BEAM3 D PIPEHexaedroPentaedroTetraedro

Sólidosvolumétricos.

Tipos de Elementos Finitos.

PLANESOLID

SPRINGMASSBUOYGAP

COMBINE

CRACK

MenbranePlate

Panel a cortanteSHELL

MenbranePlate

Panel a cortanteSHELL

SPRINGMASSBUOYGAP

COMBINE


A N E X O 2

Formulación basada en los Desplazamientos para vigas 2 D.

Elemento isoparametrico tipo BEAM, basado en la Teoria de Euler-Bernoulli para vigas.

del elemento

cartesianas del elemento

E I

r

L

1 2

1=

1V

V

h 1

r - Coordenada natural

.x , y - coordenadas.

V - desplazamientos de los nodos.

x

y

21

h2

21

1 = θ2 = 1 Rz

Nodos del elemento

z

θ ,

1

h

R = = 1z 2 4

421

θ

h3

3V

=1

21

Fig. A 2 1. - Deflexiones de una viga debido a desplazamientos unitarios en sus extremos.

Sea un elemento BEAM 2D que simula una viga de tipo recta y plana, de sección uniforme y con rigidez a flexión solamente. En cada uno de sus nodos 1 y 2, tendrá entonces 2 posibles grados de


libertad (DOF): las traslaciones verticales y las rotaciones alrededor de z. A cada uno de estos DOF, se les llama desplazamientos nodales. La elástica resultante de la aplicación de desplazamientos unitarios de cada tipo, en el nodo izquierdo 1, mientras se mantienen constreñidos los otros 3 posibles desplazamientos nodales de la viga, se muestra en la Fig. A 2 1. Las formas de la elástica de la viga debido a cada uno de esos desplazamientos nodales unitarios, mientras permanecen constantes los restantes desplazamientos, pueden asumirse de cualquier forma arbitraria, siempre que cumplan con los requerimientos de continuidad de los nodos y de todos los puntos de la viga. Cada una de esas elásticas son las funciones de interpolación de los desplazamientos, o “shape function”. En el caso de vigas es común asumirlas con funciones en forma de polinomios de hasta 3er grado, tales como los polinomios hermitianos, h 1 ( x ) = 1 – 3 (x / L ) 2 + 2 (x / L ) 3 por el desplazamiento lineal del nodo 1, V 1. h 2 ( x ) = (x / L) [ (1 – (x / L) ] 2 por el desplazamiento angular del nodo 1, θ 2

Donde r = x / L es la coordenada natural del elemento. Y para los desplazamientos aplicados en el extremo derecho,

h 3 ( x ) = 3 (x / L ) 2 – 2 (x / L ) 3 por el desplazamiento lineal del nodo 2, V 3. h 4 ( x ) = (x / L) 2 [ (x / L) – 1 ] por el desplazamiento angular del nodo 2, θ 4. Vectorialmente se expresan como,

{ h } = { h 1 h 2 h 3 h 4 }

Y que constituye la matriz (el vector) de aproximación de los desplazamientos del elemento.

La elástica de la viga será: y(r) = v(r) = h1 (r) * V1 + h2 (r) * θ 2 + h3 (r) * V3 + h4 (r) * θ 4

Matricialmente, y( r ) = v( r ) = { h } { V } Los desplazamientos rotacionales en puntos interiores del elemento viga (o sea, las deflexiones angulares), se determinan por la conocida relación,

θ ( x ) = d y ( x ) d x La notación aquí empleada para los desplazamientos nodales, se ha tomado de la siguiente forma,

V1 V 1 θ2 Rz 1

V3 = V 3

θ 4 Rz 2


Otra de las matrices intermedias requeridas es la matriz deformaciones – desplazamientos [ B ], que viene dada por,

[ B ] = d 2 .{ h } [ A 2 1 ] d x 2

Con las funciones de forma anteriores se llega al vector, [ B ] = - 6 + 12 x - 4 + 6 x 6 - 12 x - 2 + 6 x 1 * 4 L 2 L 3 L L 2 L 2 L 3 L L 2 La matriz de Elasticidad [ C ] para este elemento viene dada por, [ C ] = E I z

Estas matrices intermedias son necesarias para obtener la matriz de rigidez elemental. Aplicando el Principio de los desplazamientos virtuales, se llega a la expresión general, L [ k ] = [ B ] T [ C ] [ B ] d x [ A 2 2 ] 0 Sustituyendo [ A 2 1 ] en [ A 2 2 ], se tiene la expresión especifica para el elemento BEAM 2D, [ k ] = k = EI z (x) * h i’’(x) * h j’’(x) * d x [ A 2 3 ] i j L donde h’’(x) - son las 2a derivadas de las funciones de forma h i y h j , De [ A 2 2 ] se tiene, L - 6 + 12 x L 2 L 3 - 4 + 6 x L L 2

[ k ] = 6 - 12 x E I z - 6 + 12 x - 4 + 6 x 6 - 12 x - 2 + 6 x d x 4 * 4 L2 L 3 L 2 L 3 L L 2 L2 L 3 L L 2 1 * 4 - 2 + 6 x L L 2

4 * 1 0


Desarrollando estas integrales se obtienen las componentes de la matriz de rigidez [ k ] del elemento. El resultado final es la matriz de rigidez del elemento BEAM 2D recto, de sección uniforme y basado en la teoría de Euler – Bernoulli, que será simétrica, es decir que k i j = k j i , 12 6L -12 6L [ k ] = E I 6L 4L2 -6L 2L2 L3 -12 -6L 12 -6L [ A 2 4 ] 6L 2L2 -6L 4L2 Las ecuaciones [A 2 4 ] constituyen la matriz de rigidez de una viga 2D, obtenida a partir del Principio de los desplazamientos virtuales. Cada uno de sus términos k i j, tiene un significado físico real, representando la carga que surge al aplicarse un solo desplazamiento unitario, mientras permanecen nulos los restantes grados de libertad. Así el término k12 = (6L) EI z /L3, es la fuerza necesaria (o que surge), en el nodo 1 cuando se aplica un desplazamiento angular unitario θ2 = 1 en ese mismo nodo, siendo nulos los demás desplazamientos, o sea V1 = V3 = θ 4 = 0. El primer subíndice del término significa el tipo de “carga” necesaria (fuerza o momento) y en qué nodo surge, mientras que el 20 es el desplazamiento unitario aplicado. Así, el significado de los restantes términos de la matriz de rigidez [ A 2 4 ], son los siguientes. k11 = (12) EI /L3 - fuerza necesaria en el nodo 1, cuando se aplica un desplazamiento lineal unitario en ese mismo nodo, V1 = 1. k13 = (-12) EI /L3 – fuerza necesaria en el nodo 1, al aplicarse un desplazamiento lineal unitario, V3 = 1, en el nodo 1. k22 = (4L2) EI /L3 - momento necesario en el nodo 2, al aplicarse un desplazamiento angular θ2 = 1 en ese mismo nodo. k21 = (6L) EI /L3 - momento necesario en el nodo 2, al aplicarse un desplazamiento lineal unitario V1 = 1, en ese mismo nodo. k34 = (-6L) EI /L3 - fuerza necesaria en el nodo 2, debido a un desplazamiento unitario angular, θ4 = 1, aplicado en ese mismo nodo 2. Este largo proceso de obtención de [ A 2 4 ] para cada elemento finito del modelo es parte integrante del Método de los Elementos Finitos, en su Formulación basada en los desplazamientos. La aplicación de los desplazamientos nodales unitarios provocan el surgimiento de las correspondientes cargas nodales: F1 , M2 ,, F3 , M4 . Las mismas están relacionadas con los desplazamientos nodales de forma lineal, de la siguiente manera. F1 12 6L -12 6L V1 M2 = E I 6L 4L2 -6L 2L2 θ 2 [ A 2 5 ] F3 L3 -12 -6L 12 -6L V 3 M4 6L 2L2 -6L 4L2 θ 4


ara un elemento tipo viga 2D pero ahora con rigidez también axial, es decir una combinación de

elemento viga con barra, los DOF serán 6 en total: los 2 transversales a la viga (flechas), los 2 de rotación (deflexiones angulares) y los 2 axiales a la barra. La matriz de rigidez será entonces la siguiente.

P

A/L - A/L 0 0 0 0 - A/L A/L 0 0 0 0 [ k ] = E 0 0 12 I /L 3 6L I /L3 -12 I /L 3 6L I z /L 3 0 0 6L I /L 3 4L2 I /L 3 -6L I /L 3 2L2 I z /L 3 0 0 -12 I /L 3 -6L I /L 3 12 I /L 3 -6L I z /L 3 0 0 6L I /L 3 2L2 I /L 3 -6L I /L 3 4L2 I z /L 3 Es importante recordar que en última instancia, la matriz de rigidez se determina por la aplicación del Principio del trabajo o desplazamientos virtuales. En efecto, aplicando un desplazamiento unitario correspondiente a uno de los 4 grados de libertad, manteniendo nulos los otros 3 restantes e igualando el trabajo realizado por las fuerzas externas con el realizado por las internas, es que se llega a las ecuaciones [ A 2 4 ]. Obsérvese finalmente que las ecuaciones [A 2 4 } y [ A 2 5 ], no son diferenciales sino ordinarias, característico de los sistemas conformados con vigas y barras. Ejemplo 1.

ea el pórtico plano mostrado en la Fig. A 2 2 a), compuesto por una viga y 2 columnas, del cual

se desea obtener su matriz de rigidez global o total [ K ]. Datos: E, I, L. S El primer paso es establecer los grados de libertad de toda la estructura. Considerando que el desplazamiento axial de los elementos es despreciable frente a las deflexiones (Teoría de Euler – Bernoulli para vigas), no habrá desplazamientos verticales en el pórtico. Por tanto, posee solo 3 grados de libertad en sus uniones: V1, θ2 y θ3 (Fig. A 2 2 a). Cada uno de los términos de la matriz de rigidez global [ K ] de la estructura se puede evaluar por la aplicación sucesiva de un desplazamiento unitario en cada uno de esos grado de libertad, mientras se mantienen nulos los otros 2. Determinando entonces las cargas desarrolladas en cada miembro, mediante los coeficientes de la matriz ( A 2 4 ). Esta es la esencia de la metodología explicada. Los desplazamientos unitarios deben aplicarse en correspondencia con los tipos de DOF de cada nodo. Así, cuando el desplazamiento lineal V1 = 1 es aplicado (Fig. A 2 2 b), sólo los elementos verticales se deforman (las 2 columnas), para lo cual hay que aplicar las cargas: K 11 , K 21 , K 31 , de modo que solo ocurra ese desplazamiento V 1. Es decir, se trata de las fuerzas o momentos en los extremos de cada elemento, relacionadas con términos de la primera columna de la matriz ( A 2 4 ). Debe


tenerse presente que el coeficiente K11 recibe la contribución de cada una de las 2 columnas del pórtico, por lo que vendrá dado como el doble de uno de los términos de ( A 2 4 ), de modo que,

K11

K21K31

2 L

4 E I

L

V1

23

3 = 1

K33 K23

K13

a) b )

c)

E I= 1V1

θθ

θ

Fig . A 2 2 .- Ejemplo 1. a) Pórtico plano, con sus grados de libertad. b) Fuerzas debidos al desplazamiento V1 = 1. c) Fuerzas debidas a la rotación θ3 = 1.

K11 = 2 k 11columna = (2) 12 E I / L 3

Considerando ahora la rotación de la unión izquierda θ 3 = 1 mostrada en la Fig. A 2 2 c), se observa que además del momento K 33 , es necesario aplicar las cargas: K 23 y K 13 , para que solo ocurra esa rotación θ 3 = 1. En el término K33 contribuyen tanto la viga como la columna izquierda, y viene dado por el término 20 de la columna 2 de la matriz ( A 2 4 ), considerándolo 2 veces, quedando,

K33 = k 22 columna + k 22

viga = (4 L 2 ) E I / L 3 + (4) (2 L)2 (4 E I ) / (2 L) 3 = (12 L 2) E I / L 3


Sólo la columna izquierda contribuye a K13, mientras que sólo la viga a K23. Por otro lado, los términos de la matriz [ K ] correspondientes al giro θ 2 = 1 de la unión derecha, K22, K12 y K32, son análogos a los de la unión izquierda. De esta forma, empleando los términos de la matriz ( A 2 4 ) se conforma la matriz de rigidez total para el pórtico analizado, obteniéndose los siguientes términos definitivos. K11 = 2 k 11

columna = (2) 12 E I / L 3 K31 = K 13 = 2 * k 21

columna = 2 * (6 L) E I / L 3 K21 = K 12 = k 21

columna = (6 L) E I / L 3 K33 = k 22

columna + k 22viga = (4 L 2 ) E I / L 3 + (4) (2 L)2 (4 E I ) / (2 L) 3 = (12 L 2) E I / L 3

K22 = K 33 = (12 L 2) E I / L 3 K32 = K 23 = k 42

viga = (2) * (2 L) 2 (4 ) E I / (2 L ) 3 = 4 L 2 / E I Pudiendo conformarse la matriz de rigidez global [ K ] de la estructura, y con ella su modelo matemático, es decir las relaciones fuerzas – desplazamientos, las quedan de la siguiente manera.

F1 24 6L 12L V1 M2 = E I 6L 12L2 4L2 θ2 ( A 2 6 )

M3 L3 12L 4L2 12L2 θ 3

n realidad el sistema de ecuaciones que emplea el Método de los Elementos Finitos, para

conformar el modelo matemático de la estructura, considera también los DOFs de los apoyos. En este problema cada empotramiento introduce 3 DOFs adicionales: V 4 , θ 5 , V 6 y V 7 , θ 8 , V9

E

respectivamente, Fig. A 2 3. Por lo que el sistema de ecuaciones quedara de 9 * 9. F 1 24 6L 12L -12 6L 0 -12 6L 0 V1 M 2 6L 12L2 4L2 -6L 2L2 -6L -6L 0 6L θ2 M 3 12L 4L2 12L2 0 0 -6L -6L 2L2 6L θ3 F 4 = E I -12 -6L 0 12 -6L 0 0 0 0 V 4

M 5 L3 6L 2L 2 0 -6L 4L2 0 0 0 0 θ 5 F 6 0 -6L -6L 0 0 6 0 0 0 V 6 F 7 -12 -6L -6L 0 0 0 12 -6L 0 V 7 M 8 6L 0 2L2 0 0 0 -6L 4L2 0 θ 8 F 9 0 6L 6L 0 0 0 0 0 6 V 9 ( A 2 7 ) Donde { F 4 , M 5 , F 6 } y { F 7 , M 8 , F 9 } son las reacciones en los empotramientos derecho e izquierdo. Claro que en este problema: V 4 = θ 5 =V 6 = V 7 = θ 8 = V 9 = 0. Para la solución


matemática de ( A 2 7 ) el usuario deberá brindar como datos una combinación de cargas y desplazamientos tal, que se tenga igual número de ecuaciones que incógnitas, de modo que el sistema sea soluble.

2 L

4 E I

L

V1

23

E I

V 7 V 4

V 9 V 6

θ θ

θ8

θ5

Fig. A 2 3 . - Grados de libertad completos del pórtico del Ejemplo 1.

Ejemplo 2 . – etermine las reacciones en los apoyos del pórtico de la Fig. A 2 4.

D Datos: P, L, E, I Como se observa se trata del mismo pórtico del ejemplo anterior (Fig. A 2 2), por lo que tiene 3 DOFs: V 1 , θ 2 , θ 3. Por tanto las ecuaciones de equilibrio del sistema están dadas por las ecuaciones ( A 2 6 ), Fig. A 2 2 a), o ( A 2 7 ), Fig. A 2 3. Aquí trabajaremos con las ecuaciones ( A 2 6 ). Hay que tener presente que en la deducción de estas ecuaciones se han supuesto numerosas cargas creadas o surgidas por desplazamientos unitarios virtuales. Pero en realidad solo algunas de ellas estarán presentes ante una carga externa dada, en este caso la fuerza P. Las cargas presentes ahora serán las que estén en correspondencia con los DOFs del pórtico analizado, o sea, K 11 fuerza en correspondencia con el desplazamiento V 1 = 1. K 22 momento en correspondencia con el desplazamiento θ 2 = 1. K 33 momento en correspondencia con el desplazamiento θ 3 = 1.


De estas cargas, K 11 es una carga externa, en correspondencia con la fuerza P. Mientras que las otras 2, K 22 y K 33 son internas al pórtico, pues en efecto en esos puntos no hay cargas externas aplicadas. Todas ellas son debidas a (o producidas por) desplazamientos unitarios supuestos, por lo que para hallar sus verdaderos valores, habrá que multiplicarlas por los valores reales de los desplazamientos correspondientes. Será necesario entonces en primer lugar hallar esos desplazamientos. Pero antes, unas líneas sobre el convenio de signos a emplear en este tipo de problema y con las ecuaciones ( A 2 6 ) y ( A 2 7 ). El usuario esta en libertad al definir los DOFs del pórtico, de escoger el sentido de ellos aparentemente de forma arbitraria. Pero no es tan así. El usuario puede en efecto, seleccionar a su voluntad el sentido de un primer DOF, por ejemplo V 1 positivo hacia la derecha. Ya esto implicará que todo otro desplazamiento lineal - horizontal así como todas las fuerzas horizontales que puedan existir, respondan a ese convenio. Para definir los otros 2 DOFs del pórtico, θ 2 , θ 3 , hay que asumir la configuración deformada mas probable (aproximada) del pórtico, ante el desplazamiento unitario V 1. Tal como se hizo en las Fig. A 2 2 b). De donde quedan definidos los sentidos positivos que deberán tener esos DOFs en los nodos superiores del pórtico. En adelante, todo desplazamiento angular y todo momento tendrán esos sentidos como positivos también. En estos ejemplos por tanto, los sentidos positivos de los DOFs y las cargas son los mostrados en la figura A 2 2. Es decir, + + Obsérvese sin embargo, que esta metodología es equivalente a definir primero los sentidos positivos de los desplazamientos lineales horizontal y vertical, y a continuación aplicar la regla de la mano derecha, para determinar el sentido positivo de los desplazamientos angulares θ y los momentos.

- Calculo de los desplazamientos del pórtico.- Para ello recurrimos a las ecuaciones (A 2 6), replanteándolas para este Ejemplo 2 como,

P 24 6L 12L V1 0 = E I 6L 12L2 4L2 θ2 ( A 2 6 )

0 L3 12L 4L2 12L2 θ 3 Se trata de un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas, los desplazamientos, por lo que es un sistema soluble matemáticamente. Luego de proceder a su solución se tienen los valores siguientes de desplazamientos. . V 1 = P L 3 , θ 2 = P L 2 , θ 3 = - P L 2 24 E I 4 E I 8 E I


Estos son los desplazamientos que surgen en el pórtico debidos a la aplicación de la fuerza P.

2 L

4 E I

L

V

23

EI

1

θ θ

P

Fig . A 2 4 - Ejemplo 2.

- Cuerpo libre de cada barra.- A continuación se procederá a realizar el cuerpo libre de cada elemento del pórtico. Para ello se parte de la fuerza aplicada P, y del desplazamiento que ésta produce de forma más directa, V 1, el cual está vinculado con K 11. Y como K 11 es la fuerza debida a V 1 = 1, deberá cumplirse que, K 11 * V 1 = P ( A 2 8 ) 24 E I * V 1 = P L 3

Sustituyendo el valor calculado de V 1 , 24 E I * P L 3 = P L 3 24 E I P = P O.K.


Es decir, que en efecto el producto de K 11 * V 1 = P. De igual forma los desplazamientos reales (calculados) θ 2 , θ 3 , se corresponden con las cargas internas K 22 y K 33, multiplicadas por sus respectivos desplazamientos reales. Es decir, M 2 = K 22 * θ 2 = 4 Ε Ι θ 2 + 8 E I θ 2 = 3 P L L L M 3 = K 33 * θ 3 = 4 E I θ 3 + 8 E I θ 3 = - 3 P L L L 2 Pasemos ahora al cuerpo libre de cada elemento del pórtico. Comencemos por la carga externa P, la que deberá dividirse entre los 2 elementos sobre los cuales esta actuando, la viga y la columna derecha. Para saber en que proporción es esta distribución, baste recordar la expresión de K 11 analizada en el Ejemplo 1, dada por,

K11 = 2 k 11columna = (2) 12 E I / L 3

Que indica que K 11 se debe a las 2 columnas del pórtico. Como cada una de ellas tiene la misma rigidez y longitud (es decir, son iguales), la distribución de K 11 * V 1 = P (expresión ( A 2 8 ) ), sobre los 2 elementos del pórtico sobre los que actúa (la viga y la columna derecha), tendrá que ser igual en cada uno. O sea, P Fuerza horizontal en la viga y en 2 la columna derecha. Como se muestra en la Fig. A 2 5. Continuando con el cuerpo libre de la viga, se colocan ahora los momentos internos M 2 y M 3 calculados, de modo que se requerirá un par de fuerzas R (internas), para lograr el equilibrio, Fig. A 2 5. De modo que del cuerpo libre de la viga, 3 P L - 3 P L = R ( 2 L ) R = 3 P 4 Continuando con el cuerpo libre de la columna derecha, se coloca en su punto superior el momento interno calculado M 2 y la fuerza R, ambos contrarios a los de la viga por tratarse de cargas internas. Pudiéndose entonces calcular el momento necesario en el empotramiento inferior de la columna derecha, para garantizar el equilibrio.


3 P L - P L = M 5 2 M 5 = 5 P L 2

V * K = P1 11R

RR

R R

R

P / 2

P / 2

P / 2P / 2

P / 2

P / 2

3 P L

3 P L

3 P L2

3 P L2

M = 2 P L8 M = 5 P L

25

Fig . A 2 5. - Cuerpos libres del Ejemplo 2.

Procediendo de forma semejante con la columna izquierda, se tiene el cuerpo libre de la Fig. A 2 5, de donde se obtiene, M 8 = 2 P L Ahora pueden completarse los cuerpos libres mostrados en la Fig. A 2 5. De modo que se tiene “resuelta” la hiperestaticidad del pórtico. De aquí es posible obtener las reacciones pedidas en los empotramientos.


M 5 = 5 P L , R = 3 P , P En el empotramiento derecho. 2 4 2 M 8 = 2 P L , R = 3 P , P En el empotramiento izquierdo. 4 2

Una simple comprobación de los cálculos realizados puede hacerse de forma muy simple, implementando el cuerpo libre de todo el pórtico en su conjunto. - P L + 3 ( 2 P L ) - 5 P L + 2 P L = 0 4 2 0 = 0 ¡ O.K. ¡

i se empleasen las ecuaciones ( A 2 7 ) que consideran todos los DOFs del pórtico, Fig. A

2 3, incluidos los de los empotramientos, se hubieran obtenido las mismas reacciones en ellos, es decir, M 5 = 5 P L , V 6 = R = 3 P , V 4 = P En el empotramiento derecho. 2 4 2 M 8 = 2 P L , V 9 = R = 3 P , V 7 = P En el empotramiento izquierdo. 4 2

S


A N E X O 3

Esquematización de los apoyos y uniones de vigas.

a) b) c) Fig. A 3 1 .- Bases de columnas.

a) Para cargas ligeras. Esquematización: articulación. b) Para una distribución más uniforme de las cargas. Esquema: articulación. c) Empotramiento.

V

a) b)

Fig. A 3 2 .- Uniones viga – columna. a) Sobre la columna. Articulación. b) Lateral a la columna. Con 20 – 25 % de empotramiento.


VV M

c) d)

Fig. A 3 3 .- Uniones viga – columna.

c) Lateral a la columna, con 100 % de empotramiento. d) Lateral a la columna, con asiento. Y con 15 – 20 % de empotramiento.

V M

F max

L i

L

Σ L 2i

F = M L

16 - 20 mm

max

.Lateral a la columna, con asiento. 100 % de empotramiento.

Fig . A 3 4.- Unión viga - columna.

a) b)

Fig. A 3 5 .- Uniones viga – columna.

a) Empotramiento del 15 – 20 %. b) Empotramiento del 20 – 25 %.


a) b)

Fig. A 3 6 .- Uniones viga – columna. a) Con el 50 – 60 % de empotramiento. b) Con el 70 – 75 % de empotramiento.

Fig. A 3 7. Unión viga - columna. 100 % de empotramiento.


a) b)

hh'

travesano

larguero

h < h'Una sóla hilera de tronillosen el travesano.

h = h'2 holeras de tornillosen el travesano.

Fig. A 3 8 .- Uniones travesaño – larguero.

a) h < h’. b) h = h’.

travesano

larguero

Travesano tipo "sombrero"2 hileras de tornillos.

Fig. A 3 9 .- Unión travesaño – larguero. Travesaño tipo sombrero ó Ω.


Tabla A 3 1 .- Grado de empotramiento de uniones travesaño – larguero, atornilladas.

h / h’ 0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 φ 1.0 1.0 0.99 0.97 0.96 0.92 0.87 0.82 0.77 0.70

φ = 1 + 0.1328 (h / h’) – 0.4293 (h / h’) 2 φ = 1 empotram. perfecto (Θ elast = 0) Grado de empotramiento. φ = 0 articulación (Θ elast = Θ artic = máximo)

Θ elast = Θ artic (1 - φ)

Θelast- deform. angular elástica

Θartic- deform. angular de articulación perfecta.

M

Θ

hh'

travesano

elast

Fig. A 3 10 .- Deformación de unión travesaño – larguero.


BIBLIOGRAFIA

1. Ansys Autodyn. User Manual. Version 11.0. Century Dynamic Corporation. 2007. 2. Aguilar, F. y García de la Figal, J. Determinación del Límite de Rotura de Cable por el

MEF. Revista de Ing. Mecánica. No. 3, (2008), 57 – 62. 3. Ashby, M. y Jone, D. Engineering Material 1. 2nd edition. Butterworth Heinemann.

Oxford. ISBN 0 7506 3081 7. 4. Bathe, K. Finite Element Procedures. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. 1996. 5. García de la Figal, J. Calculo de Barra Antivuelco de Vehiculo Automotor. Revista de Ing.

Mecánica. No. 3, (2005), 80 – 90. 6. García de la Figal, J. Análisis de Comportamiento Mecánico de Sección de Aorta.. Revista

de Ing. Mecánica. Vol. 12 , No. 2. Mayo Agosto 2009. 9 – 18. ISSN 1815-5944. 7. García de la Figal, J. Modelación por el MEF del Proceso de Infiltración de Liquido en

Material Poroso. Revista de Ing. Mecánica. No. 1, (2007), 7 – 14. 8. García de la Figal, J. Cálculo de Patana Especializada Construida de PRFV. Revista de Ing.

Mecánica. No. 3, (2006), 69 – 76. 9. García de la Figal, J. y Alves, C. et al. Simulación de Antorcha de Plasma. Revista Cubana

de Ingeniería. 1 (3), 25 – 30, 2010. 10. García de la Figal, J. y J. Frías, O. Optimización del Diseño de Pared Tipo Sándwich para

Tanque. 14 Convención Científica de Ing. y Arquitectura. CUJAE. La Habana, Dic. 2008. ISBN 978 959 261 281 5.

11. García de la Figal, J. y Alves, C. et al. Diseño de Antorcha de Plasma. 15 Convención Científica de Ing. y Arquitectura. CUJAE. La Habana, Dic. 2010. ISBN 978 959 261 317 1.

12. Hallquist, J. LS – Dyna. Theoretical Manual. Livermore Software Technologic Corporation. May 1998.

13. Hearn, E. J. Mechanic of Materials 1. 3th edition, Butterworth Heinemann. Oxford. 2000. ISBN 0 7506 3265 8.

14. Hearn, E. J. Mechanic of Materials 2. 3th edition, Butterworth Heinemann. Oxford. 1999. ISBN 0 7506 3266 6.

15. Moaveni, S. Finite Element Analysis. Theory and Application with Ansys. Prentice Hall, N. Jersey, 07458. ISBN 0 13 785098 0.

16. Programer Manual for Ansys. 002328, January 2007. Ansys Incorporation and Ansys Europe Ltd.

17. Saad, M. Elasticity. Theory, Applications and Numerics. Elsevier, Butterworth Heinemann, NY. 2005. ISBN 0 12 605811 3.

18. Vázquez, A. J. y Damborenea, J. J. Ciencia e Ingeniería de los Materiales Metálicos. Colección de Textos universitarios. Consejo Superior de Investigaciones Científicas. Madrid, 2000.

19. Zimmermam, W. B. Process Modeling and Simulation with Finite Element Method. World Scientific Publishing Co. Ltd. N. 2004. Jersey. ISBN 981 238 793 5.

20. Zinckiewicz, O. C. y Taylor, R. L. The Finite Element Method. Vol. 2: Solid Mechanics. 5th edition, Butterworth Heinemann. Oxford. ISBN 0 7506 5055 9.


García de la Figal, Javier

Documents

Transcript of García de la Figal, Javier