Oscar Valenzuela

Actividad 4 Conversión de coordenadas

Para convertir las coordenadas cartesianas a polares me auxilio de la siguiente Tabla que me es muy funcional

Cuando el punto está en el cuadrante súmalePrimero 0° 0segundo 180° πtercero 180° πcuarto 360° 2π

1. Encontrar las coordenadas polares de los siguientes puntos de coordenadas cartesianasa)(√3 ,1)

r=√x2+ y2=√ (√3 )2+(1 )2=√3+1=√4=2→r=2

θ=arctan yx=tan−1 y

x=tan−1 1

√3=30 °=30 ° π

180=π6→θ=π

6

(r , θ )=(2 , π6 )b)( 3√3

2.−3√32

)

r=√x2+ y2=√( 3√32 )2

+(−3√32 )2

=√ 274 + 274

=√ 544 =√ 272 =√27√2

=3√3√2

→r=3 √3√2

α=arctan yx=tan−1 y

x=tan−1

−3√323√32

=tan−1−6√36 √3

=tan−1−1=−45°

α=−45 ° π180

=π4→θ=α+2 π=315 °=7 π

4

(r , θ )=( 3√3√2,7 π4 )

c)(0 ,2 )

r=√x2+ y2=√ (0 )2+(2 )2=√0+4=√4=2→r=2θ=arctan y

x=tan−1 y

x=tan−1 2

0= tan−1∞=90 °=90 ° π

180= π2→θ= π

2

(r , θ )=(2 , π2 )d) (−√3

2,−12

)

Oscar Valenzuela

r=√x2+ y2=√(−√32 )

2

+(−12 )2

=√ 34 + 14=√ 44=√1=1→r=1

α=arctanyx=tan−1

yx=tan−1

−12

−√32

=tan−1 22√3

=30 °

α=30 ° π180

=π6→θ=α+2π=210 °=7 π

6

(r , θ )=(1 , 7 π6 )2. Convertir la siguiente ecuación de coordenadas cartesianas a polares ¿Qué figura

representa la ecuación dada?

x2+3x+5+ y2−4 y+2=25

Antes de realizar el ejercicio recuerdo las siguientes igualdades:

Después, ordeno términos y transpongo el valor independiente del segundo miembro de la ecuación al primer miembro para igualar a cero y resuelvo los valores independientes…

x2 + y2 + 3x – 4y – 18 = 0Sustituyo las igualdades pertinentes…

r2 + 3r Cos - 4r Sen - 18 = 0

Así, he convertido la ecuación cartesiana a polar, pero falta saber qué figura es…

Si tengo mi ecuación:x2 + y2 + 3x – 4y – 18 = 0

por mis conocimientos previos la ecuación posee la forma general de la Circunferencia

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

y al transformarla a su forma canónica sé que tiene el siguiente lugar geométrico y su respectivo radio de…

C (-3/2, 2) r = 97/4 ≈ 24.25 u

Oscar Valenzuela

3- ¿Qué figura representa la ecuación r=4 cosθr=6 senθ y cuál es su diferencia?

Para r = 4Cos

Si multiplicamos por r a toda la ecuación tratando de verificar una relación como las siguientes…

r (r = 4Cos)

r2 = 4rCos

Como r2 = x2 + y2 y r Cos = x,

Sustituyendo…

x2 + y2 = 4x

Oscar Valenzuela

Igualando a cero…

x2 + y2 – 4x = 0

Agrupando y completando TCP…

x2 – 4x + 4 + y2 = 4

Factor izando…

(x – 2) 2 + y2 = 4

Se obtiene la circunferencia con Centro (2, 0) y radio = 2

Para r = 6Sen

Si multiplicamos por r a toda la ecuación tratando de verificar una relación como las siguientes…

r (r = 6Sen)

r2 = 6rSen

Oscar Valenzuela

Como r2 = x2 + y2 y r Sen = y, sustituyendo…

x2 + y2 = 6y

Igualando a cero…

x2 + y2 – 6y = 0

Agrupando y completando TCP…

x2 + y2 – 6y + 9 = 9

Factorizando…

x2 + (y – 3)2 = 3

Se obtiene la circunferencia con Centro (0, 3) y radio = 3

La diferencia entre ambas ecuaciones estriba que al tener Cos se ubica su centro de la circunferencia en el eje de las abscisas mientras que la segunda fórmula al poseer Sen indica su centro en la ordenada al origen

Oscar Valenzuela