Galer´ıa de curvas en el plano

Galerıa de curvas en el plano

Marıa del Carmen Fernandez Garcıa

Índice general

1. Introducción 1

2. Familias de curvas 52.1. Envolturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1. Determinación de las envolturas . . . . . . . . . . . . . 152.2. Cáusticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1. Un ejemplo del cálculo de una cáustica . . . . . . . . . 192.3. Rodamientos y resbalamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1. Cicloides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.2. Epicicloides y epitrocoides . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.3. Hipocicloides e hipotrocoides . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.4. Escaleras que resbalan [13] . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4. Propiedades Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.1. Evolutas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.2. Involutas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.3. Inversa con respecto a un círculo . . . . . . . . . . . . 322.4.4. Curvas pedal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Galería de curvas 353.1. Astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2. Bruja de Agnesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3. Cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4. Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6. Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.7. Cisoide de Diocles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.8. Deltoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.9. Epicicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

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�� ÍNDICE GENERAL

3.10. Hipocicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.11. Espiral de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.12. Espiral de Cornu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.13. Espiral Equiángular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.14. Espiral de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.15. Espiral Hiperbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.16. Lituus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.17. Óvalos de Cassini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.18. Tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4. Conclusiones 91

A. Código en Maple 9 de las gráficas 95

Índice de figuras

2.1. Trayectoria de un proyectil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Trayectoria de una bala, 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Parábola de seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4. Trayectoria de un proyectil auxiliar en el caso ideal, bajo la

acción única de la fuerza de gravedad, desdeñando la acciónde cualquier otra fuerza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5. Curva balística (línea continua) y trayectoria del proyectil bajola influencia única de la fuerza de gravedad. . . . . . . . . . . 10

2.6. Vuelo supersónico de un avión . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.7. Límite de la zona de audibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.8. Zona de audibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.9. Cardioide formada por rayos de luz reflejados en una taza de

leche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.10. (A) Cáustica de un círculo; (B) Un rayo reflejado . . . . . . . 192.11. Nefroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.12. Cicloide alargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.13. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.14. Cicloide acortada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.15. Epicicloide - Epitrocoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.16. Hipocicloide - Hipotrocoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.17. Escalera que resbala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.18. Varias posiciones de la escalera en las que está señalado el

punto medio de ésta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.19. Varias posiciones de la escalera en la que está marcado un

punto fijo que no está en el centro de la escalera . . . . . . . . 262.20. Barra de longitud uno que resbala en una pared vertical . . . . 272.21. Astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.22. Familia de elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

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�� ÍNDICE DE FIGURAS

2.23. Evoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.24. Parábola y su evoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.25. La catenaria y su involuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.26. Involuta Aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.27. Inversa con respecto a un círculo . . . . . . . . . . . . . . . . 332.28. Pedal positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.29. A la izquierda la pedal positiva de la parábola con respecto

a su foco. A la derecha la pedal negativa de una recta conrespecto a un punto fuera de ella. . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1. La astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2. (A) Astroide; (B) Generación doble de la astroide . . . . . . . 363.3. Trasmallo de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4. La astroide como envolvente de elipses . . . . . . . . . . . . . 373.5. Evoluta de la astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.6. La longitud de la tangente cortada por los ejes es constante . . 383.7. Logo de los Pittsburgh Steelers . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.8. Bruja de Agnesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.9. (A) Cardioide; (B) Generación doble de la cardioide . . . . . . 423.10. Generación de cremona de la cardioide . . . . . . . . . . . . . 433.11. La cardioide como envolvente de círculos . . . . . . . . . . . . 433.12. Evoluta de la cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.13. Leva en forma de cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.14. Conjunto de Mendelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.15. Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.16. Arco situado en el corazón de la ciudad de St. Louis Mis-

souri, Estados Unidos. En la fotografía de la izquierda, apareceademás el Antiguo Palacio de Justicia. . . . . . . . . . . . . . 47

3.17. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.18. Cicliode acortada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.19. Cicloide alargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.20. Rueda de un tren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.21. Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.22. P es un punto de la cisoide de las dos curvas con respecto a O 563.23. Cisoide generada por un círculo que se mueve a lo largo de

una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.24. Construcción de la cisoide dada por Diocles . . . . . . . . . . 583.25. Construcción de la cisoide dada por Newton . . . . . . . . . . 58

ÍNDICE DE FIGURAS ��

3.26. Construcción de la tangente a un punto P de la cisoide . . . . 603.27. Duplicación del cubo con ayuda de la cisoide de Diocles . . . . 603.28. La deltoide como envolvente de las rectas de Simpson de un

triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.29. Deltoide generada por rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.30. Propiedades de la deltoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.31. Evoluta de la deltoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.32. Deltoide rotor dentro de una astroide estator . . . . . . . . . . 643.33. Motor Wankel el cual se encuentra en el museo Deutsches de

Munich, Alemania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.34. (A) Epicicloide; (B) Generación doble de la epicicloide . . . . 663.35. (A) Hipocicloide; (B) Generación doble de la hipocicloide . . . 683.36. Una rama de la espiral de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . 703.37. Espiral de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.38. Leva generada por un arco de una espiral de Arquímedes . . . 723.39. Espiral de Cornu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.40. Espiral equiángular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.41. Pentágono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.42. A la izquierda Jakob Bernoulli, junto a él Johann Bernoulli . . 773.43. Espiral equiángular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.44. Espiral equiángular con longitud de los sucesivos radio vec-

tores 0R0 = τ0, 0R1 = τ1, 0R2 = τ 2,... . . . . . . . . . . . . . 793.45. Espiral equiángular derivada de un rectángulo áureo . . . . . . 803.46. Inversa de la espiral equiángular . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.47. Espiral de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.48. Espiral hiperbólica o reciproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.49. Espiral hiperbólica y su asíntota . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.50. Lituus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.51. Óvalos de Cassini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.52. Tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.53. Tractriz y catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

�� ÍNDICE DE FIGURAS

Capítulo 1

Introducción

Lo más curioso, es que todos aquellos que estudian seriamenteesta Ciencia, caen en una especie de pasión. Verdaderamente, loque más placer proporciona no es el saber, sino el estudiar; no esla posesión, sino la conquista; no es el estar aquí, sino el llegarallá.

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

La humanidad fue fascinada por las curvas mucho antes de que estasfueran vistas como objetos matemáticos. Como evidencia están la forma deolas y espirales en la alfarería prehistórica, o los espléndidos pliegues de lasesculturas griegas y góticas. Fueron los geómetras griegos quienes iniciaron elestudio de curvas definidas geométricamente como, por ejemplo, el contornode la intersección de un plano con un cono. La recta y el círculo fuerondistinguidos como bordes de secciones planas de un cono. Algunas curvasfueron generadas por el movimiento de mecanismos articulados, o al menosfueron imaginadas para ser generadas así: la espiral de Arquímedes (287-212antes de J. C.) fue de este tipo. Una clasificación en curvas “geométricas”y “mecánicas” (la cual no corresponde al uso moderno de estos términos)quedó fija hasta el siglo diecisiete cuando la geometría analítica hizo posibledistinguir con precisión que debemos (siguiendo a Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)) llamar ahora curvas algebraicas1 y trascendentes2.

1Aquellas que pueden ser expresadas por potencias racionales de x y y vinculadas poroperaciones de suma, resta, multiplicación y división; por ejemplo: y2 = x/(x+ y).

2Una curva o ecuación trascendental es aquella que no es algebraica; por ejemplo:y = 2x, y = sinx.

1

2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Buscando la forma de las órbitas planetarias Johannes Kepler (1571-1630)trató una variedad de curvas antes de encontrar que la elipse daba el mejorajuste. En el antiguo sistema de Claudio Ptolomeo (85-165 después de J. C.)se suponía que los planetas describían rutas que podían ser construidas pormedio de epiciclos (círculos transportados por otros círculos o esferas).

Cuando Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) trató de explicar sumétodo de cálculo de volúmenes (Principio de Cavalieri), tuvo el cuidado deusar un tipo de curva realmente general, pero le faltó un método analítico dedescripción. Posteriormente en el siglo diecisiete, James Gregory (1638-1675)e Isaac Barrow (1630-1677) dieron reglas de cálculo en forma geométrica parareferirse a arcos monótonos simples. Así las curvas individuales se estabanperdiendo ya en una teoría más general.

Una invención poderosa fue crear una nueva curva por la transformaciónde otra, por ejemplo, la evoluta se forma con los centros de curvatura deuna curva dada. Pero la mayor influencia en el estudio de las curvas fue,por supuesto, la invención del cálculo, el cual no sólo obtiene la solución aproblemas de área y longitud de arco, sino que unifica todo el campo deinvestigación. Una gran variedad de problemas mecánicos pueden ser formu-lados con precisión, por ejemplo, para encontrar la curva del “más rápidodescenso”, la braquistócrona.

Las curvas planas ofrecen un rico y poco explorado campo de estudio, elCapítulo 2 trata de las familias de estas curvas.

El Capítulo 3, Galería de Curvas, presenta información individual de lascurvas, todo lo que me pareció importante decir respecto a ellas, como sulongitud ([8] pp. 755-757), área ([8] pp. 789-790), superficie de revolución ([1]p. 423), volumen de revolución ([1] p. 404), evoluta ([5] pp. 103-104), etc. Lasgráficas se realizaron en Scientific WorkPlace 4, se da el programa generadoen Maple 9 de cada una en el Apéndice A.

Asimismo en el Capítulo 3, para cada curva, las referencias bibliográficasestán en el primer párrafo de la curva en cuestión, aunque pueden apare-cer más referencias posteriormente para puntualizar de dónde se extrajo lainformación que se trata.

Hace algunos años Salvador López Mendoza me dijo que en el nuevoedificio de la Facultad de Ciencias, el Tlahuizcalpan, había salones equipadoscon computadoras para las materias teóricas y que hacia falta material deapoyo para éstos, el Capítulo 3 de esta tesis se pensó como material deapoyo para un curso de Cálculo Diferencial e Integral II o III, al respecto ya manera de ejemplo se implementaron en Maple 9 cinco de las curvas de

3

dicho Capítulo.Una de las razones para elaborar esta tesis fue el hecho de que no existía

en español un texto que hablara de estas curvas.Dentro de los propósitos de esta tesis estuvo incluir al menos las curvas

que se consideran más importantes.Otro de los propósitos al escribir una tesis debe ser el aprender a redactar

un libro, armarlo desde su estructura.Antes de realizar este trabajo, intente varias veces hacer la tesis en com-

putación, tuve tres distintos asesores de tesis. Agradezco profundamente alDr. Pedro Miramontes el ayudarme tanto como lo hizo para realizar y concluireste trabajo. Es en verdad en excelente director de tesis.

4 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Capítulo 2

Familias de curvas

2.1. Envolturas

La noción de envoltura1 se encuentra en las diversas partes de la matemáti-ca.

Supongamos que tenemos una familia de curvas que depende de un pará-metro que es constante para cualquier curva individual, pero que cambia alpasar de una curva a otra. Las curvas de una familia pueden ser tangentes auna misma curva o a un mismo grupo de curvas. En este caso se da el nombrede envoltura de la familia a la curva o al grupo de curvas. Así, la envolturade una familia de curvas es la curva tangente a cada una de las curvas de lafamilia.

Problemas para calcular la curva tangente a una familia de curvas fuerondiscutidos extensamente en 1694 entre Leibniz, Johann Bernoulli (1667-1748)y Guillaume François Antonie, Marquis de L’Hôpital (1661-1704).

En calidad de envolturas aparecen curvas notables que encontramos fre-cuentemente en la matemática y en las aplicaciones de ésta: la parábola, lahipérbola, la astroide, la cicloide, la cardioide, etcétera. A continuación sepresentan la parábola y la hipérbola como ejemplos de envolturas.

Tiro parabólico [2]

Examinemos el movimiento de un cuerpo de manera idealizada, bajo laacción única de la fuerza de gravedad, desdeñando la acción sobre él de

1En algunos textos le dicen envolvente.

5

6 CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS

Figura 2.1: Trayectoria de un proyectil

cualquier otra fuerza. La gravedad actúa verticalmente hacia abajo sobre elcuerpo lanzado con una aceleración g constante.

Sea L la trayectoria por la que se mueve el cuerpo lanzado, ver figura2.1. En cada instante el cuerpo móvil se encuentra en algún punto de ésta ytiene una velocidad de movimiento determinada. La velocidad es un vectortangente a la trayectoria L. Así L es la envoltura de los vectores de velocidaddel cuerpo lanzado.

Consideremos la primera ley del movimiento de Isaac Newton (1643-1727): si ninguna fuerza actúa sobre un cuerpo y el cuerpo está en reposo, per-manecerá en reposo; si ninguna fuerza actúa y un cuerpo está en movimiento,continuará en movimiento a velocidad constante y en línea recta.

La velocidad del cuerpo lanzado puede ser descompuesta en dos compo-nentes: una vertical y otra horizontal. Considerado la primera ley de Newtonsabemos que la fuerza de la gravedad actúa, además el cuerpo es lanzado conun ángulo de elevación ϕ tenemos entonces que la componente vertical esafectada por la gravedad y la horizontal permanece constante durante todoel movimiento. Si designamos por vo a la velocidad con que el cuerpo es lan-zado, ver figura 2.1, y a las componentes horizontal y vertical de la velocidadpor los signos vh y vv respectivamente, entonces:

vh(t) = vo cosϕ (2.1)

vv(t) = vo sinϕ− gt (2.2)

Si yo es la altura inicial del cuerpo lanzado y x(t) y y(t) denotan laposición del mismo:

2.1. ENVOLTURAS 7

Figura 2.2: Trayectoria de una bala, 1547

x(t) = (vo cosϕ)t (2.3)

y(t) = yo + (vo sinϕ)t−gt2

2(2.4)

La trayectoria del cuerpo lanzado es una parábola. Las fórmulas dadasdescriben el movimiento del cuerpo bajo la acción constante de la gravedad.

A principios del siglo XVII no era claro cuál sería la trayectoria de unabala disparada oblicuamente; tan es así que, en 1613, el capitán español confama de experto artillero, Diego Ufano, publicó un Tratado de Artillería enel que consideraba que eran tres los movimientos que participaban en ladeterminación de la ruta seguida por una bala:

...estos tiros se producían primeramente como un movimientoviolento o recto, luego como un movimiento mezclado en el quela bala declina de la línea recta con la que salió del mortero ysigue un arco o línea curva; finalmente, cuando ya perdió todasu fuerza, sigue el movimiento natural buscando el centro (de latierra) hacia abajo, como aparece en la figura (figura 2.2 [11] pp.27-29)...

Ahora, examinemos las trayectorias de los proyectiles lanzados por uncañón instalado en cierto punto 0 de la superficie terrestre. Debemos estudiarla trayectoria del vuelo de un proyectil lanzado desde el punto 0 a la velocidadvo bajo el ángulo ϕ respecto al horizonte.


En la ecuación 2.4 consideremos yo = 0 desdeñando la altura del cañónque está instalado en la tierra. El origen de coordenadas se elige para quex(t) y y(t) sean cero en t = 0.

y(t) = (vo sinϕ)t−gt2

2(2.5)

De la ecuación 2.2 es claro que en el momento t = vo sinϕg

la componentevertical de la velocidad vv es nula. Hasta este instante la componente vv erapositiva, es decir, el cuerpo ascendía; después de este momento es negativay el cuerpo desciende. Así, cuando t = vo sinϕ

g, el cuerpo alcanza su altura

máxima de ascensión, que según la ecuación 2.5 es igual a

ymax =(vo sinϕ)

2

2g

Por otra parte, en la figura 2.1 se ve que vv ≤ vo y que vv = vo sólocuando ϕ = 90◦. Por lo que finalmente

ymax =v2o2g

La altura del proyectil sobre la tierra es nula solamente en dos puntos: enel punto del disparo y en el punto de impacto, al caer a la tierra. Es decir, laaltura es nula para los valores de t que son raíces de la ecuación 2.5

(vo sinϕ)t−gt2

2= 0

esto es, cuando t = 0 ó t = 2vo sinϕg

. La primera raíz corresponde al momentodel lanzamiento del proyectil y la segunda al momento de caída. La distanciaentre el lugar del disparo y el lugar de explosión, de acuerdo a la ecuación2.3, es igual a:

xmax =2v2o cosϕ sinϕ

g=v2o sin 2ϕ

g

La función sin 2ϕ alcanza su valor máximo cuando ϕ = 45◦ (o cuandoϕ = 135◦). Así la distancia máxima de vuelo se obtiene cuando ϕ = 45◦

xmax =v2og

2.1. ENVOLTURAS 9

Figura 2.3: Parábola de seguridad

la cual es dos veces mayor que la altura máxima de ascensión.Analicemos la zona de tiro, es decir, la parte del espacio que ocupan las

trayectorias de los proyectiles lanzados desde O para diferentes ángulos ϕ,en la suposición de que la velocidad vo es fija y todas las trayectorias estánsituadas en un mismo plano. La zona de tiro está limitada por la parábolaque pasa a través del punto de elevación máxima C = (0, v

2o

2g) y los puntos

D1 = (−v2og, 0), D2 = (

v2og, 0) de las explosiones más lejanas, ver figura 2.3. La

parábola en cuestión puede obtenerse lanzando horizontalmente un proyectilcon velocidad vo desde el punto C. Ya habíamos dicho que la trayectoria quedescriben las ecuaciones 2.3 y 2.4 es la de una parábola, substituyendo endichas ecuaciones que el proyectil es lanzado horizontalmente, ϕ = 0◦ convelocidad vo desde el punto C, esto es, yo =

v2o2g. La posición del proyectil que

se mueve por la parábola de seguridad esta dada por:

x(t) = vot (2.6)

y(t) =v2o2g− gt2

2

Esta parábola se denomina parábola de seguridad ya que limita la zonade tiro, por encima de ella un vuelo está fuera de peligro. Veamos esto (figura2.4), la posición de un proyectil auxiliar que se lanza desde O con un ángulode elevación ϕ a velocidad vo esta dada por:

x1(t) = (vo cosϕ)t

y1(t) = (vo sinϕ)t−gt2

2

para x(t) = x1(t1) veamos como es y(t)−y1(t1). Si t = t1 cosϕ, x(t) = x1(t1),


y(t) = v2o2g− g(t1 cosϕ)2

2y y1(t1) = (vo sinϕ)t1 − gt2

1

2además

y(t)− y1(t1) =v2o2g− (vo sinϕ)t1 +

gt212(1− cos2 ϕ) = 1

2g(v0 − gt1 sinϕ)

2 ≥ 0

el que esta diferencia sea no negativa muestra que la trayectoria de cualquierproyectil que se lance desdeO a velocidad vo con cualquier ángulo de elevaciónestá situada debajo de la parábola de seguridad y es tangente a esta última enun punto, es decir, la parábola de seguridad es la envoltura de las trayectoriasde vuelo de los proyectiles, bajo el supuesto de que la única fuerza que actúasobre el proyectil es la fuerza de gravedad y que desdeñamos la acción sobreél de cualquier otra fuerza.

Figura 2.4: Trayectoria de un proyectil auxiliar en el caso ideal, bajo la acciónúnica de la fuerza de gravedad, desdeñando la acción de cualquier otra fuerza.

En la figura 2.5 ([2] p. 8) se expone el tipo aproximado de la trayectoriade un proyectil en el aire (la línea continua es la llamada curva balística) yla línea por la que volaría el proyectil bajo la influencia única de la fuerza degravedad.

Figura 2.5: Curva balística (línea continua) y trayectoria del proyectil bajola influencia única de la fuerza de gravedad.

2.1. ENVOLTURAS 11

La hipérbola como límite de la zona de audibilidad [2]

Un avión vuela a altura h sobre la superficie terrestre a velocidad super-sónica v. ¿Cuál es en un momento dado la región de la superficie terrestreen cuyos puntos ya se ha oído o se oye el sonido del motor del avión? Vamosa suponer que la superficie terrestre sobre la que vuela el avión es absoluta-mente plana y que la altura del avión h y su velocidad v son constantes.

En cada instante el avión en vuelo se encuentra sobre cierto punto, asimis-mo el punto de proyección del avión sobre la superficie terrestre se mueveuniformemente a la velocidad v, describiendo una línea recta l paralela aaquella por la que vuela el avión en el espacio, ver figura 2.6. Representemosel movimiento del avión de derecha a izquierda.

Figura 2.6: Vuelo supersónico de un avión

Supongamos que el avión se encuentra sobre el punto O de la recta l yque hace t segundos el avión se encontraba sobre el punto A de la recta l ala derecha del punto O a distancia OA = vt. Sea B el punto del espacio en elque en este mismo momento se encontraba el avión. Al pasar por el punto Bel avión produjo un ruido que comenzó a propagarse desde este punto B entodas direcciones. Designaremos por u la velocidad del sonido en el aire. Parael momento en que el avión sobrevuela el punto O, es decir, transcurridost segundos el sonido logra, desde el punto B, propagarse en una esfera deradio ut cuyo centro es B. Si el radio de esta esfera es mayor que h, el sonidotiene también tiempo para llegar hasta la tierra y. además, la región en latierra hasta la que llega el sonido desde el punto B será un círculo que seobtiene de la intersección de la esfera con la superficie terrestre. De la figura2.6 se ve que el radio de este círculo es igual a

√u2t2 − h2, y que su centro

se encuentra en el punto A.


Figura 2.7: Límite de la zona de audibilidad

Tomando círculos para todas las posiciones posibles del avión obten-dremos la zona de audibilidad. Sea l cierta semirrecta que parte del puntoO y u, v, h (u < v) tres números positivos. Supongamos que A es un puntoarbitrario de la semirrecta l, y que t es un número positivo tal que la longituddel segmento OA es igual a vt. Designemos por KA al círculo con centro enel punto A y radio

√u2t2 − h2. Hallar en el plano la región de todos los cír-

culos KA que se obtienen para todas las posiciones posibles del punto A en lasemirrecta l. En la figura 2.7 se exponen varios de estos círculos y una líneagruesa que limita la región rellena por estos círculos, es decir, la línea que esel límite de la zona de audibilidad. Al examinar esta figura podemos concluirque el límite de la zona de audibilidad es la envoltura de tales círculos.

Todos los círculos KA posibles llenan la región de audibilidad, así quepara que un punto M en el plano pertenezca a la zona de audibilidad esnecesario que pertenezca a algún círculo KA. Sean A = (vt, 0), M = (x, y)y KA el círculo de radio

√u2t2 − h2 y centro en el punto A. Para que M

pertenezca al círculo KA es necesario que se cumpla la desigualdad

(x− vt)2 + y2 ≤ u2t2 − h2

que es equivalente a

(v2 − u2)t2 − 2vxt+ (x2 + y2 + h2) ≤ 0 (2.7)

El puntoM pertenece a la región de audibilidad si existe un número positivot ( se consideró que no tiene sentido tomar valores negativos para el tiempo)que satisface la desigualdad 2.7.

2.1. ENVOLTURAS 13

Se había dicho que u, v, h y t son números positivos y que u < v entonces(v2−u2)t2, x2+y2+h2 y 2vt son positivos. Para que se cumpla la desigualdad2.7, x debe ser positivo.

Considérese la igualdad

(v2 − u2)t2 − 2vxt+ (x2 + y2 + h2) = 0 (2.8)

y tómense a = v2 − u2, b = −2vx y c = x2 + y2 + h2, a es positivo ya queu < v. Si es discriminante de la ecuación 2.8, b2 − 4ac es negativo entoncesla expresión

at2 + bt+ c = a

(t+

b

2a

)2− 1

4a

(b2 − 4ac

)

es positiva y no se cumple la desigualdad 2.7, por tanto

b2 − 4ac ≥ 0

4v2x2 − 4(v2 − u2)(x2 + y2 + h2) ≥ 0

4u2x2 − 4(v2 − u2)y2 ≥ 4(v2 − u2)h2

Dividiendo esta desigualdad entre el número positivo 4(v2 − u2)h2

u2x2

(v2 − u2)h2− y2

h2≥ 1

x2

(v2−u2)h2u2

− y2

h2≥ 1 (2.9)

Por lo tanto, la región de audibilidad se compone de los puntos (x, y)tales que x > 0 y (x, y) satisface la desigualdad 2.9. Si examinamos todos lospuntos cuyas coordenadas satisfacen la igualdad

x2

(v2−u2)h2u2

− y2

h2= 1 (2.10)

No solo aquellos en que x > 0 obtendremos las dos ramas de la hipérbola.Finalmente, el límite de la zona de audibilidad es la rama derecha de lahipérbola, que se determina por la ecuación 2.10. Con lo expuesto se demostróque la rama derecha de la hipérbola es la envoltura de los círculos KA, estoes, todo punto de esta rama es tangente a uno de los círculos KA.


Ángulo característico [2]

Examinemos el caso h = 0, es decir, cuando el movimiento tiene lugaren la superficie terrestre: en lugar del avión el “automóvil supersónico”. Eneste caso el radio del círculo KA es igual a ut. El punto A en la semirrecta lse encuentra respecto al punto O a distancia vt, ver figura 2.8. Hallar en elplano la región que se llena con los círculos KA.

Figura 2.8: Zona de audibilidad

Todos los círculos KA tienen su centro sobre l. Al variar t la distanciaOA = vt y el radio del círculoKA, que es igual a ut varían. Por esto, la regióndel plano que se llena por los círculos KA, es decir, la zona de audibilidaden este caso representa en sí el ángulo SOT con el vértice en el punto O, elcual está formado por las tangentes comunes de todos los círculos KA (figura2.8). Podemos decir que los lados del ángulo SOT sirven de envoltura paralas circunferencias KA.

La semirrecta l es la bisectriz del ángulo SOT . El ángulo ϕ entre la semir-recta l y una de las semirrectas OS, OT , se denomina ángulo característicopara el “automóvil supersónico”. Puesto que en el triángulo OAE de la figura2.8 tenemos que OA = vt, AE = ut y OE =

√(vt)2 − (ut)2 = t

√v2 − u2

sinϕ =AE

OA=ut

vt=u

v

tanϕ =AE

OE=

ut

t√v2 − u2

=u√

v2 − u2

De esta manera, conociendo las velocidades u y v, se puede calcular lamagnitud del ángulo característico.

2.1. ENVOLTURAS 15

2.1.1. Determinación de las envolturas

La búsqueda de las envolturas generalmente se efectúa mediante la ope-ración de diferenciación. Sea f(x, y, a) = 0 una familia de curvas, cada valorde a da una curva de la familia. Considérese el sistema

f(x, y, a) = 0 (2.11)

f ′a(x, y, a) = 0

Cada punto de la envoltura satisface la ecuación que se obtiene del sistemaanterior al eliminar el parámetro a ([5] pp. 98-99, [2] pp. 61-64, [4] pp. 570-571).

Si la familia de curvas esta determinada mediante dos ecuaciones con dosparámetros a y b.

f(x, y, a, b) = 0

g(a, b) = 0

Entonces cada punto de la envoltura satisface a la ecuación que se obtienedel sistema

f(x, y, a, b) = 0

g(a, b) = 0 (2.12)

f ′a · g′b − g′a · f ′b = 0

omitiendo los parámetros a y b ([2] p. 64).Cabe mencionar que la curva determinada por la ecuación que se obtiene

de eliminar los parámetros en los sistemas (2.11) y (2.12) se compone de laenvoltura y del lugar geométrico de los puntos singulares2 de todas las curvasde la familia ([2] p. 70).

Ejemplo 1. Hallar la envoltura de la familia de círculos KA con centroen A = (vt, 0) y radio

√u2t2 − h2 de la zona de audibilidad que se analizó

antes(x− vt)2 + y2 = u2t2 − h2

2Son puntos singulares: los puntos aislados; aquellos en los que la curva se corta a simisma; o bien, las puntos en los que la curva es tangente a si misma.


Haciendo a = vt y c = vuh se puede transformar a esta familia en

f(x, y, a) = a2(1− h2

c2

)− 2ax+ (x2 + y2 + h2) = 0

Cada valor de a da una curva de esta familia. La derivada de f(x, y, a) conrespecto de a es

f ′a(x, y, a) = 2a

(1− h2

c2

)− 2x

De acuerdo a lo dicho con relación al sistema (2.11), para determinar laenvoltura debemos eliminar a en el sistema

a2(1− h2

c2

)− 2ax+ (x2 + y2 + h2) = 0

2a

(1− h2

c2

)− 2x = 0

Despejando a de la segunda ecuación y substituyéndola en la primera ecuaciónllegamos a

h2x2

c2 − h2− y2 = h2

dividendo entre h2 obtenemos

x2

c2 − h2− y2

h2= 1

que es la ecuación de la envoltura y representa una hipérbola.

Ejemplo 2. Examinemos la familia de trayectorias de los proyectiles queestudiamos al inicio de esta sección dadas por las ecuaciones paramétricas(2.3) y (2.5)

x = (vo cosϕ)t

y = (vo sinϕ)t−gt2

2

despejando t de la primera de estas ecuaciones y substituyéndola en la se-gunda, obtenemos la ecuación cartesiana de la familia de trayectorias, mul-tiplicando esta ecuación por 2v2o cos

2 ϕ llegamos a

gx2 − 2(vo cosϕ)(vo sinϕ)x+ 2(v2o cos2 ϕ)y = 0

2.1. ENVOLTURAS 17

finalmente, haciendo a = vo cosϕ y b = vo sinϕ

f(x, y, a, b) = gx2 − 2abx+ 2a2y = 0g(a, b) = a2 + b2 − v2o = 0

Para encontrar la envoltura a la familia de curvas determinadas por dos ecua-ciones con dos parámetros, aplicamos lo correspondiente al sistema (2.12).Calculamos las derivadas:

f ′a = −2bx+ 4ay, f ′b = −2ax, g′a = 2a, g′b = 2b

Para hallar la ecuación de la envoltura debemos eliminar a y b del sistema

gx2 − 2abx+ 2a2y = 0

a2 + b2 − v2o = 0 (2.13)

2aby + (a2 − b2)x = 0

Multiplicando por b la primera de estas ecuaciones y por −a la tercera ysumándolas obtenemos

gbx2 − a(a2 + b2)x = 0

De la segunda ecuación del sistema (2.13) tenemos que a2 + b2 = v2o , substi-tuyendo en la ecuación anterior llegamos a

gbx2 − av2ox = 0

La recta x = 0 no pertenece a la envoltura (según se observa en la figura 2.3)pues claramente que x = 0 no es solución del sistema (2.13), así

gbx− av2o = 0

despejando a de esta ecuación y substituyéndola en la tercera ecuación delsistema (2.13) llegamos a la ecuación de la envoltura

y =v2o2g− gx2

2v2o

la cual coincide con la de la parábola de seguridad cuyas ecuaciones paramétri-cas (2.6) se dieron antes.


2.2. Cáusticas

Cuando una luz se refleja desde un espejo en otra superficie frecuente-mente se observa una curva de luz brillante en la superficie, esta curva esllamada cáustica, de la idea de quemar.

Un basto ejemplo de envolturas son las curvas cáusticas, que aunque pare-cen producto de la óptica, pertenecen completamente a la teoría de curvas.Son de interés histórico por hacer surgir las primeras preguntas.

Una curva cáustica es la envoltura de rayos de luz emitidos de un puntoreflejados (catacáustica) o refractados (diacáustica) en una curva dada.

Los rayos de luz pueden estar a una distancia finita (como una llama) oprácticamente a distancia infinita (como el sol).

Las curvas cáusticas fueron introducidas en 1682 por el matemático alemánEhrenfried Walter von Tschirnhaus (1651-1708), quien trabajó en geometríadiferencial y construyó espejos con un gran poder para quemar. Asimis-mo fueron estudiadas por Christiaan Huygens (1629-1695), Jakob Bernoulli(1654-1705), Johann Bernoulli (1667-1748), L’Hôpital (1661-1704), AdolpheQuételet (1796-1874), Joseph Louis Lagrange (1736-1813) y otros.

Son ejemplos de éstas: las curvas luminosas que se ven en la superficie deuna taza de leche (ver figura 2.9, que se adoptó de la red de internet) y lospatrones de luz en el fondo de una alberca.

Figura 2.9: Cardioide formada por rayos de luz reflejados en una taza deleche.

Pertenecen a esta familia la cardioide (es la catacáustica de un círculocon un punto radiante en su circunferencia), la nefroide (es la catacáusticade un círculo en el que se reflejan rayos paralelos, o bien, catacáustica de unacardioide con un punto radiante en el vértice), etcétera.

2.2. CÁUSTICAS 19

Por la forma en como se obtienen, se pueden considerar como curvasderivadas o asociadas.

No siempre una fuente de luz reflejada (o refractada) en una curva generaotra curva. Por ejemplo, los rayos de luz reflejados desde el foco de unaparábola no se intersectan, por lo tanto su envoltura no forma ninguna curva.

Actualmente existe software que simula los efectos visuales de las cáusti-cas generadas por el reflejo de los rayos del sol en el agua3.

2.2.1. Un ejemplo del cálculo de una cáustica

Sea x2 + y2 = 1 una circunferencia. Supongamos que rayos paralelosverticales son reflejados por esta circunferencia. Estos producen una nuevafamilia de líneas rectas (ver figura 2.10 A). Encuentre la ecuación de estacáustica [5].

Figura 2.10: (A) Cáustica de un círculo; (B) Un rayo reflejado

Para representar la familia de rayos reflejados elegimos como parámetroel ángulo α entre el rayo y el radio del círculo. De la figura 2.10 B, se puedever que la pendiente del rayo reflejado es tan(2α − π

2) = − cos 2α

sin 2αy que la

ecuación de la recta del rayo reflejado es

y = − 1

2 cosα− x

cos 2α

sin 2α= − 1

2 cosα+x

2

(sinα

cosα− cosαsinα

)(2.14)

La cáustica es a fin de cuentas una envoltura, así de la segunda ecuación del

3Para información respecto al software se recomienda consultar la siguiente direcciónen la red de internet http://www.lysator.liu.se/~kand/caustics/.


sistema (2.11) de la sección anterior tenemos que

f ′α(x, y, α) = −sinα

2 cos2 α+

x

2 cos2 α sin2 α= 0

de dondex = sin3 α (2.15)

substituyendo en la ecuación 2.14 llegamos a

y =1

2

(− 1

cosα+sin4 α

cosα− sin2 α cosα

)= − cosα

(1

2+ sin2 α

)(2.16)

esta ecuación junto con la ecuación 2.15 son las ecuaciones paramétricas dela cáustica. Para quitar el parámetro despejamos sinα de la ecuación 2.15,de la relación sin2 α + cos2 α = 1 despejamos cosα y los substituimos en laecuación 2.16, obtenemos

y = −√1− x

2

3

(1

2+ x

2

3

)

que es la ecuación cartesiana de la cáustica y representa una nefroide, comose dijo antes en esta sección (ver figura 2.11).

10.50-0.5-1

0.5

0

-0.5x

y

x

y

Figura 2.11: Nefroide

2.3. Rodamientos y resbalamientos

Pertenecen a esta familia las curvas que se obtienen por rodamientos. Masespecíficamente, las que se obtienen como lugar geométrico de un punto adistancia h del centro de un círculo de radio b que rueda: sobre una recta

2.3. RODAMIENTOS Y RESBALAMIENTOS 21

fija; en el exterior de un círculo fijo de radio a; o en el interior de un círculofijo de radio a. En esta familia se encuentran las cicloides, epicicloides (comola cardioide y la nefroide), hipocicloides (como la astroide y la deltoide),epitrocoides, hipotrocoides, etcétera.

También pertenecen a esta familia las curvas que se obtienen por resba-lamientos, como la astroide.

2.3.1. Cicloides

Un círculo de radio a rueda, sin resbalar, sobre una recta. ¿Por qué curvase mueve un punto fijo P = (x, y) a distancia h, h > a del centro del círculoque rueda?

Figura 2.12: Cicloide alargada

Como se observa en la figura 2.12, cos(t− π2) = u

h, por lo que

u = h cos(t− π

2) = h sin t

Así la coordenada x del punto fijo sobre el círculo es x = at−u = at−h sin t.Por otro lado, sin(t− π

2) = v

h, de donde

v = h sin(t− π

2) = −h cos t

por lo que la coordenada y del punto fijo es y = a + v = a − h cos t. Lascoordenadas x y y obtenidas son las ecuaciones paramétricas de la cicloidealargada. Substituyendo h por la distancia del origen del círculo que ruedaal punto fijo P = (x, y) se obtienen las ecuaciones paramétricas correspon-dientes a la cicloide de que se trate: cicloide alargada si h > a (ver figura2.12), cicloide si h = a (ver figura 2.13) y cicloide acortada si h < a (verfigura 2.14).


Figura 2.13: Cicloide

Figura 2.14: Cicloide acortada

2.3.2. Epicicloides y epitrocoides

¿Por qué curva se mueve un punto fijo a un círculo de radio b que ruedasin resbalar en el exterior de un círculo de radio a? Si el punto está en lacircunferencia del círculo que rueda, la curva generada es una epicicloide; siel punto generador no está en la circunferencia, la curva es una epitrocoide.

Sea el punto generador aquel en donde se tocan los dos círculos y sea eleje x la recta por la que pasan a los centros de los dos círculos y el punto ge-nerador. Considérese otra posición del círculo que rueda, ver figura 2.15. SeaH = (x, y) el punto generador; sean BF = a, FG = b, FBC = ϕ, JGF =ψ, GH = c; como CF = FJ, aϕ = bψ; GHK = π − (ϕ+ ψ) = θ.

cosϕ = BDBG

cos θ = KHGH

BD = BG cosϕ KH = GH cos θBD = (a+ b) cosϕ KH = c cos(π − (ϕ+ ψ)) = −c cos(ϕ+ ψ)

Por lo que la coordenada x del punto H es

x = BD +KH = (a+ b) cosϕ− c cos(ϕ+ ψ)

sinϕ = GDBG

sin θ = GKGH

GD = BG sinϕ GK = GH sin θGD = (a+ b) sinϕ GK = c sin(π − (ϕ+ ψ)) = c sin(ϕ+ ψ)


Figura 2.15: Epicicloide - Epitrocoide

Así la coordenada y de H es

y = GD −GK = (a+ b) sinϕ− c sin(ϕ+ ψ)

si a+ b = mb

a = (m− 1)b(m− 1)bϕ = bψ

ψ = (m− 1)ϕϕ+ ψ = mϕ

y las coordenadas de H son

x = mb cosϕ− c cosmϕ

y = mb sinϕ− c sinmϕ

Las ecuaciones paramétricas de la epicicloide se obtiene al hacer c = b,mb = a+ b y m = a+b

basí

x = (a+ b) cosϕ− b cosa+ b

bϕ (2.17)

y = (a+ b) sinϕ− b sina+ b

bϕ

2.3.3. Hipocicloides e hipotrocoides

Estas pueden ser generadas por un punto enlazado a un círculo de radiob que rueda sin resbalar en el interior de un círculo de radio a. Como antes,


Figura 2.16: Hipocicloide - Hipotrocoide

si el punto está en la circunferencia del círculo que rueda, la curva es unahipocicloide. Si no, la curva es una hipotrocoide.

Sea el punto generador el punto de intersección de los dos círculos y seael eje x la recta que pasa por el punto generador y el centro de los doscírculos. Considérese otra posición del círculo que rueda, ver figura 2.16. SeaF = (x, y) el punto generador; OH = a, GH = b, HOC = ϕ, HGD = ψ,GF = d; como DH = HC, aϕ = bψ; FGE = π

2− (ψ − ϕ) = α.

Procediendo como antes, las coordenadas de F son

x = OA+ EF = (a− b) cosϕ+ d cos(ψ − ϕ)

y = GA−GE = (a− b) sinϕ− d sin(ψ − ϕ)

si a− b = mb, entonces

x = mb cosϕ+ d cosmϕ

y = mb sinϕ− d sinmϕ

Haciendo d = b, mb = a−b ym = a−bb

se obtienen las ecuaciones paramétricasde la hipocicloide

x = (a− b) cosϕ+ b cosa− b

bϕ (2.18)

y = (a− b) sinϕ− b sina− b

bϕ

Si en estas ecuaciones se reemplaza b por −b, se obtienen las ecuacionesparamétricas de la epicicloide y viceversa.


Cuando abes racional, después de un cierto número de revoluciones, el

punto generador regresa a una posición anterior, la curva es cerrada, y al-gebraica; pero si a

bno es racional, el punto generador nunca regresará a la

misma posición y la curva será trascendente.

Todas las curvas antes mencionadas fueron trazadas por un punto rígida-mente sujeto a un círculo que rueda sin resbalar sobre una recta, sobre uncírculo, o en el interior de un círculo. Es una extensión natural pensar enqué curva trazará un punto fijo sujeto a un círculo, si el círculo rueda sobrealguna otra curva. Se observa que esta forma de generar curvas produciráuna infinidad de ellas.

2.3.4. Escaleras que resbalan [13]

Una escalera situada sobre el suelo liso y apoyada con un extremo en lapared se desliza hacia abajo. ¿Por qué curva se mueve el peldaño en el centrode la escalera (figura 2.17)?

Figura 2.17: Escalera que resbala

Nuestro problema es hallar el conjunto de centros de un segmento delongitud dada, cuyos extremos resbalan sobre una pared vertical y el piso.Tracemos el punto medio del segmento en varias de las posiciones de su res-balamiento (ver figura 2.18 A) para darnos una idea de la curva en cuestión.

Para determinar de que curva se trata establezcamos un sistema de coor-denadas, tomando a los ejes x y y como el suelo y la pared respectivamente.Sea d la longitud de la escalera y ϕ el ángulo de inclinación de ésta con res-pecto al suelo (figura 2.18 B). El peldaño en el centro de la escalera está enel punto medio del segmento de longitud d, así y = d

2sinϕ, y x = d

2cosϕ

para 0 ≤ ϕ ≤ π2.


Figura 2.18: Varias posiciones de la escalera en las que está señalado el puntomedio de ésta

Figura 2.19: Varias posiciones de la escalera en la que está marcado un puntofijo que no está en el centro de la escalera

x2 + y2 =

(d

2

)2

El conjunto de puntos que satisfacen esta ecuación es una circunferencia.Formulemos la pregunta anterior más ampliamente. ¿Por qué curva se

moverá un peldaño de la escalera que no esté en el centro de la escalera?En la figura 2.19 A están dibujados algunos puntos de la curva que des-

cribe el peldaño (que no está en el centro) de la escalera al resbalar ésta.Consideremos ahora que la longitud de la escalera está dividida en dos partesa y b, es decir, d = a+ b (ver figura 2.19 B). Como antes, determinamos lascoordenadas de (x, y), y = b sinϕ y x = a cosϕ para 0 ≤ ϕ ≤ π

2.

x2

a2+y2

b2= 1

En este caso el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen esta


ecuación es una elipse.

10

1

0

Figura 2.20: Barra de longitud uno que resbala en una pared vertical

La astroide como envoltura de una escalera que resbala

Consideremos una escalera de longitud uno que resbala a lo largo de unapared vertical. Sean (0, a) y (

√1− a2, 0) los extremos de la escalera, a ∈ [0, 1].

La distancia entre estos dos puntos es uno. Si conectamos estos puntos conuna línea recta

y = a− ax√1− a2

(2.19)

obtenemos una infinidad de rectas las cuales crean una interesante curva, verfigura 2.20. El problema es calcular esta curva. La envoltura a la familia decurvas dada por la ecuación 2.19 al variar el parámetro a, nos da la ecuaciónde la curva en cuestión. Empleando una vez más el sistema (2.11) de lasección 2.1.1 tenemos

f(x, y, a) = a− ax√1− a2

− y = 0

f ′a(x, y, a) = 1 +−x√1− a2 − a2x(1− a2)−

1

2

1− a2= 0

despejando a de la segunda ecuación del sistema tenemos

a =

√1− x

2

3

substituyendo el valor de a en la primera ecuación del sistema llegamos a

x2

3 + y2

3 = 1

que es la ecuación de la curva generada por la escalera de longitud uno queresbala a lo largo de una pared vertical, la cual resulta ser una astroide (figura2.21).


10-1

1

0

-1

x

y

x

y

Figura 2.21: Astroide

La astroide como envoltura de una familia de elipses

Encuentre la envoltura a la familia de elipses

x2

c2+

y2

(a− c)2= 1

con parámetro c, la suma de cuyos ejes es la constante a > 0, c ∈ (0, a), verfigura 2.22.

Figura 2.22: Familia de elipses

y = (a− c)

√

1− x2

c2

Para obtener la ecuación de la envoltura empleemos el sistema (2.11) dela sección 2.1.1

f(x, y, c) = (a− c)

√

1− x2

c2− y = 0

f ′c(x, y, c) =(a− c)x2

c3√1− x2

c2

−√

1− x2

c2= 0

2.4. PROPIEDADES GENERALES 29

despejando c de la segunda ecuación obtenemos

c = (ax2)1

3

substituyendo en la primera ecuación llegamos a

x2

3 + y2

3 = a2

3

que es la ecuación de la astroide.

2.4. Propiedades Generales

En esta sección veremos cómo a partir de una curva dada se puede obtenersu evoluta, involuta con respecto a un punto, inversa con respecto a un círculoy pedal con respecto a un punto.

2.4.1. Evolutas

El concepto de evoluta se originó con Huygens (1673). Sin embargo, seremonta a Apolonio de Perga (262-190 antes de J. C. aproximadamente) enel año 200 antes de J. C. donde aparece en el libro V de sus Secciones Cónicas([14] p. 86, [3]).

Figura 2.23: Evoluta

La evoluta de una curva es el lugar geométrico de sus centros de curvatura.Ver figura 2.23. Si (α, β) es este centro

α = x− R. sinφ

β = y +R cos φ


donde R es el radio de curvatura, φ el ángulo tangencial y (x, y) es un puntode la curva dada. Las cantidades x, y, R y φ pueden ser expresadas entérminos de una sola variable la cual actúa como parámetro en la ecuaciónde la evoluta.

Asimismo, la evoluta es la envoltura de las normales de una curva dada.A continuación se presenta un par de definiciones que se requieren para

calcular la evoluta de una curva dada ([14] p.86, [8] pp. 483, 500,501 y 503,[5] p. 103).

Definición. Sea f : I ⊆ R → R2, f(t) = (x(t), y(t)) un camino regular4

dos veces diferenciable. Se define la curvatura (con signo) de f en t como

k(t) =x’(t)y”(t)− x”(t)y’(t)

((x’(t))2 + (y’(t))2)3

2

Definición. Sea f : I ⊆ R → R2, f(t) = (x(t), y(t)) un camino regular

dos veces diferenciable. Para los puntos p(t) ∈ R2 de la curva que describe fen los cuales la curvatura k(t) es no nula, se define el radio de curvatura def en p denotado por r(t), como r(t) = 1

|k(t)| . Se llama círculo osculador de lacurva en p al círculo que pasa por p, tiene radio igual a r(t) y cuyo centro seencuentra en (

x(t)− y’(t)k(t) ‖f ’(t)‖ , y(t) +

x’(t)k(t) ‖f ’(t)‖

)(2.20)

Ejemplo. Determine la evoluta de f : R→ R2, f(t) = (t, t2). De acuerdo

con la definición antes dada la curvatura de esta función es

k(t) =2

(1 + 4t2)3

2

por otro lado f ’(t) = (x’(t), y’(t)) = (1, 2t). Así que ‖f ’(t)‖ =√1 + 4t2.

Como la evoluta de una curva es el lugar geométrico de los centros de cur-vatura, substituyendo en la ecuación 2.20 el valor de las funciones se llega ala ecuación de la evoluta.

(

t− 2t2

(1+4t2)3/2

√1 + 4t2

, t2 +1

2(1+4t2)3/2

√1 + 4t2

)

=

(−4t3, 1

2+ 3t2

)

En la figura 2.24 están la función f y con línea gruesa su evoluta, es decir,la gráfica de la función

(−4t3, 1

2+ 3t2

).

4Un camino es regular si la primera derivada de las funciones coordenadas de f soncontinuas y f ’(t) = 0 (vector 0 de R2) para toda t ∈ I.


Figura 2.24: Parábola y su evoluta

Figura 2.25: La catenaria y su involuta

2.4.2. Involutas

La involuta de un círculo fue discutida y utilizada por Huygens en 1673en relación con sus estudios de un reloj sin péndulo para el servicio de barcosen el mar.

Para obtener la involuta de una curva con respecto a un punto en ésta,considérese la tangente a la curva en ese punto. Sea ese punto un punto fijosobre la recta tangente. La involuta es la trayectoria del punto fijo sobre larecta tangente, cuando la recta gira sobre la curva.

Siempre ocurre que si E es la evoluta de la curva C, entonces C es unainvoluta de E ([14] p. 135, [3], [7] pp. 166-171).

Ejemplo. La involuta de la catenaria cuya ecuación cartesiana es

y = cosh x

con respecto al punto (0,1) es la tractriz cuya ecuación cartesiana es

x = ln

(1 +

√1− y2

y

)

−√1− y2

ver figura 2.25, en ella están la catenaria y su involuta con línea gruesa.


Para dibujar una involuta

La involuta de una curva dada puede dibujarse aproximadamente comosigue. Dibujar un número de tangentes a la curva dada. Con centro en laintersección de dos tangentes consecutivas dibujar un arco que pase a travésdel punto de contacto de una de ellas (ver figura 2.26), continuar así.

El error en este método se debe al hecho de que la longitud de arco de lacurva original es remplazada por la suma de los segmentos de las tangentes,la cual es mayor a la verdadera longitud de arco, pero el error puede ser tanpequeño como se desee tomando las tangentes suficientemente juntas.

Figura 2.26: Involuta Aproximada

2.4.3. Inversa con respecto a un círculo

La inversión geométrica parece deberse a Jakob Steiner (1796-1863), quienmostró conocimiento del tema en 1824. En 1825 Lambert Adolphe JacquesQuetelet dio algunos ejemplos. En apariencia fue descubierta de manera inde-pendiente por Giusto Bellavitis (1803-1880) en 1836, y por William Thomson(Lord Kelvin) en 1845, quien la empleó con notable éxito en sus investiga-ciones eléctricas.

Considere un círculo con centro 0 y radio k. Dos puntos A y B colinealescon 0 (figura 2.27), son mutuamente inversos con respecto a este círculo si

(0A)(0B) = k2

En coordenadas polares con 0 como polo, esta relación es

r.ρ = k2


Figura 2.27: Inversa con respecto a un círculo

Dos curvas son mutuamente inversas si cada punto de una tiene un inversoque pertenece a la otra ([14] p. 127, [7] p. 177).

Ejemplo. Pruebe que la parábola y2 = bx es la inversa de la cisoidey2 = x3

2a−x con respecto al círculo de radio√2ab con centro en el origen

(figura 2.27). Haciendo

x = r cos θ

y = r sin θ

se obtienen las ecuaciones polares de la parábola r = b cos θsin2 θ

y la cisoide ρ =2a tan θ sin θ. Al realizar el producto de r por ρ, llegamos a que

rρ = 2ab

por lo que la parábola y la cisoide dadas son mutuamente inversas con res-pecto al círculo de radio

√2ab con centro en el origen.

2.4.4. Curvas pedal

La idea de las curvas pedal positiva y negativa se le ocurrió a ColinMaclaurin (1698-1746) en 1718. El nombre de “pedal” se debe a Terquem.La teoría de las curvas cáusticas incluye a las pedal (Quetelet, 1822) ([14]pp. 160-165, [7] pp.152-159).

El lugar geométrico G de los pies de las perpendiculares de un punto fijoP (el punto pedal) sobre la tangente a una curva dada C es la pedal positivade C con respecto al punto fijo P (figura 2.28). La curva dada C es la pedalnegativa de G. O bien: Dada una curva y un punto fijo 0, dibuje la tangente aun punto P cualquiera en la curva, marque un punto Q en la tangente tal que


Figura 2.28: Pedal positiva

las rectas PQ y 0Q sean perpendiculares, repita las dos últimas instruccionespara cada punto P en la curva. El lugar geométrico de Q es la pedal positiva(o pedal) de la curva dada con respecto al punto 0. Pedal negativa. Dadauna curva y un punto fijo 0, dibuje una recta de 0 a cualquier punto P enla curva, dibuje una perpendicular a la recta 0P que pase por P , repita lasdos últimas instrucciones para cada punto P en la curva. La envoltura de lasrectas es la pedal negativa de la curva dada con respecto al punto 0.

Ejemplo. La pedal de una parábola con respecto a su foco es una recta.A la inversa, la pedal negativa de una recta con respecto a un punto fuerade ella es una parábola, ver figura 2.29.

Figura 2.29: A la izquierda la pedal positiva de la parábola con respecto asu foco. A la derecha la pedal negativa de una recta con respecto a un puntofuera de ella.

Capítulo 3

Galería de curvas

3.1. Astroide

Figura 3.1: La astroide

Buscando la mejor forma para los dientes de los engranes Olaf Roemer(1644-1710), astrónomo danés, descubrió en 1674 las curvas cicloidales ([9]p. 284), una de las cuales es la astroide. La generación doble fue observadaprimero por Daniel Bernoulli (1700-1782) en 1725 ([14] pp. 1-3, [7] pp. 52-61,[6] pp. 173-174, [4] p. 655, [3]).

“Astroide” es una palabra para nombrar un “asteroide” (del griego aster,astro, y eidos, forma), objeto celestial en una órbita alrededor del sol, detamaño intermedio entre un meteorito y un planeta.

La astroide adquirió éste nombre, en un libro publicado en Viena, en [7](p.61) se dice que el libro se publicó en 1938, sin embargo según la pági-na de internet http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/astroid.html ellibro se publicó en 1836 por Karl Ludwing von Littrow. Aún después de la

35

36 CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

publicación de dicho libro fue conocida por otros nombres como cubocicloide,paracicloide, curva de cuatro vértices, etc. Johann Bernoulli y Jean Le Rondd’Alembert (1717-1783) trabajaron con esta curva en 1691 y 1748 respectiva-mente. La ecuación cartesiana de la astroide se encontró en correspondenciade Leibniz de 1715.

Ecuaciones

La ecuación cartesiana de la astroide es:

x2

3 + y2

3 = a2

3

Las ecuaciones paramétricas de la astroide son: 1

x = a cos3 t = (a4)(3 cos t+ cos 3t)

y = a sin3 t = (a4)(3 sin t− sin 3t)

La astroide es una hipocicloide de cuatro vértices. Curva que describe unpunto fijo en un círculo de radio a

4rodando en el interior de un círculo fijo

de radio a (figura 3.2 A).

Figura 3.2: (A) Astroide; (B) Generación doble de la astroide

O bien, lugar geométrico de un punto en un círculo de radio 3a4rodando

en el interior de un círculo de radio a, esta descripción recibe el nombre degeneración doble (figura 3.2 B).

1Se dedujeron en la sección 2.3.3, b = a

4en las ecuaciones (2.18).

3.1. ASTROIDE 37

La envoltura de una barra de longitud a que resbala a lo largo de unapared vertical, genera también a la astroide (ver figura 3.6), como se demostróen la sección 2.3.4.

Un aparato mecánico compuesto de una barra fija con extremos resba-lando en dos vías perpendiculares es llamado trasmallo de Arquímedes (verfigura 3.3, adoptada de la red de internet), así la astroide es la envoltura deun trasmallo de Arquímedes.

Figura 3.3: Trasmallo de Arquímedes

Asimismo, la astroide es la envoltura de la familia de elipses

x2

c2+

y2

(a− c)2= 1

con parámetro c, la suma de cuyos semiejes es constante e igual a a, 0 < c < a(figura 3.4), como se vio al final de la sección 2.3.4.

Figura 3.4: La astroide como envolvente de elipses

Propiedades de la astroide:

Longitud: 6a


Área: 3πa2

8

Superficie de revolución respecto al eje x: 125πa2

Volumen de revolución respecto al eje x: 32105πa3

Su evoluta es otra astroide, ver figura 3.5

Figura 3.5: Evoluta de la astroide

Definamos los ejes de la astroide por dos rectas perpendiculares quepasan por sus vértices. Propiedad: La longitud de la tangente cortadapor los ejes es la constante a (figura 3.6).

Figura 3.6: La longitud de la tangente cortada por los ejes es constante

Existen máquinas cuyo estator2 tiene forma de astroide.El logo del equipo de fútbol americano profesional Pittsburg Steelers con-

sta de tres astroides el de arriba es amarillo, el de en medio rojo y el de abajoazul, ver figura 3.7 que se adoptó de un documento publicado en la Wikipediade la red de internet.

2Parte fija de una máquina rotatoria por oposición a la parte móvil o rotor.

3.2. BRUJA DE AGNESI 39

Figura 3.7: Logo de los Pittsburgh Steelers

3.2. Bruja de Agnesi

Esta curva fue estudiada por Pierre de Fermat (1601-1665) en 1666 yLuigi Guido Grandi (1671-1742) en 1703. En 1748 fue estudiada y nombradacorrectamente versiera por María Gaetana Agnesi (1718-1799) en su libroInstituzioni Analitiche ad uso della gioventù italiana ([3], [14] pp. 237-238, [6]pp. 90-93). Respecto a este libro, un informe de la Academia de las Cienciasde Paris declara:

Se requiere de mucha destreza y sagacidad para reducir, co-mo el autor lo hizo, a métodos casi uniformes estos hallazgosdispersos en medio de los trabajos de matemáticos modernos yfrecuentemente presentados por métodos muy diferentes unos deotros. Orden, claridad y precisión reinan en todo este trabajo. ...Estimamos que este es el tratado más completo y mejor hecho.

María Agnesi dominó lenguajes como el latín, griego y hebreo a muytemprana edad. A raíz de la publicación de su libro fue designada profesorade matemáticas de Bolonia por el Papa Benedicto XIV (1750), es probableque ella no haya rechazado ni aceptado el cargo, sin embargo, su nombrequedó en los documentos de la universidad por cuarenta y cinco años, a pesarde que nunca fue a Bolonia. El nombre de la curva tiene una pintorescahistoria. “Versiera” es el nombre dado por Grandi, el cual significa “librepara moverse”, viene de la palabra italiana “la versiera”. Al traducir el librode Agnesi el inglés John Colson tradujo incorrectamente “la versiera” por“l’aversiera” palabra que significa bruja. Hoy en día la curva es conocidacomo versiera, bruja de Agnesi, cúbica de Agnesi y agnésienne.


Dado un círculo fijo con centro en (0, a2) y radio a

2y dos rectas paralelas

y = 0 y y = a, las rectas son tangentes al círculo en 0 y K respectivamente.Una secante 0A a través del punto fijo 0 corta al círculo en Q. Construya QPperpendicular al diámetro 0K y AP paralelo a él. El punto P es un puntode la Bruja de Agnesi (ver figura 3.8).

Figura 3.8: Bruja de Agnesi

La bruja es también el hiperbolismo3 de un círculo, un punto fijo en éstey una recta tangente al círculo en el lado opuesto al punto fijo.

Con a = 1πla curva se parece a la función de densidad Cauchy de proba-

bilidad.Esta curva se parece a las curvas de resonancia. Por ejemplo las que sirven

para caracterizar (por medio de dos parámetros: la frecuencia de resonanciay el factor de calidad de la cavidad) a un semiconductor que se encuentradentro de la cavidad de un microondas.

En la figura 3.8 se observa que la coordenada x del punto P es igual a ladel punto A, y que la coordenada y del punto P coincide con la del puntoQ. Por otra parte Q = (a

2cos θ, a

2+ a

2sin θ). La ecuación de la recta que pasa

por 0 y Q es:

y = x1 + sin θ

cos θ

esta recta corta a la recta y = a en el punto A cuya coordenada x es:

x =a cos θ

1 + sin θ

3Dada una curva C1, un punto 0 y una recta L1, el hiperbolismo de C1 es la curva C2formada por los puntos P tales que: si Q es un punto de C1, entonces la recta L2 a travésde 0Q intersecta a L1 en A; si L3 es una recta paralela a L1 a través de Q; entonces P esla proyección de A en L3.

3.2. BRUJA DE AGNESI 41

así las coordenadas de cualquier punto P de la bruja de Agnesi son P =( a cos θ1+sin θ

, a2(1 + sin θ)). Haciendo θ = π

2− 2t tanto en x como en y llegamos a

las ecuaciones paramétricas de la bruja de Agnesi:

x =a cos θ

1 + sin θ=

a cos(π2− 2t)

1 + sin(π2− 2t) =

a sin 2t

1 + cos 2t=

2a sin t cos t

1 + cos2 t− sin2 t = a tan t

y =a

2(1+sin θ) =

a

2(1+sin(

π

2−2t)) = a

2(1+cos 2t) =

a

2(1+cos2 t−sin2 t) = a cos2 t

Ecuaciones

La ecuación cartesiana de la bruja de Agnesi es:

y(x2 + a2) = a3

Las ecuaciones paramétricas de la bruja de Agnesi son:

x = a tan t, y = a cos2 t

Propiedades de la bruja de Agnesi:

La recta y = 0 es una asíntota de la curva4.

El área entre la bruja y su asíntota es cuatro veces el área del círculofijo dado (πa2).

Tiene puntos de inflexión en x = ±a/√3.

Una curva llamada la Seudobruja se produce duplicando las ordenadas dela bruja. Esta curva fue estudiada por James Gregory (1638-1675) en 1658 yusada por Leibniz en 1674 para derivar la expresión:

π4= 1− 1

3+ 1

5− 1

7+ ...

4Una recta y = L es llamada asíntota horizontal para la gráfica de f si

lımx→+∞

f(x) = L o lımx→−∞

f(x) = L

([1] p. 258).


3.3. Cardioide

La cardioide es un caso especial del caracol de Pascal estudiado por Eti-enne Pascal (1588-1640), padre de Blaise Pascal (1623-1662). También es uncaso especial de las curvas cicloidales estudiadas por Roemer (1674) en unainvestigación de la mejor forma de los engranes([3], [7] pp. 34-43, [14] pp. 4-7,[6] pp. 118-120).

El nombre de cardioide (del griego cardi, corazón, y eidos, forma) fue usa-do primero por Johann Castillon (1704-1791) en The Philosophical Transac-tions of the Royal Society de 1741. Su longitud fue encontrada por Philippede La Hire (1640-1718) en 1708.

La cardioide es la curva que dibuja un punto fijo P en un círculo querueda sobre el exterior de un círculo fijo de igual tamaño (figura 3.9 A).

Figura 3.9: (A) Cardioide; (B) Generación doble de la cardioide

O bien, es el lugar geométrico de un punto fijo P en un círculo de radio 2aque rueda en el interior de un círculo fijo de radio a, esta descripción recibeel nombre de generación doble (figura 3.9 B).

La cardioide también puede obtenerse como:

La inversa de la parábola, con foco en el origen, con respecto a su foco5.

La pedal de un círculo con respecto a un punto en su circunferencia.

La cáustica de un círculo con un punto radiante en su circunferencia.5Considere el círculo con centro 0 y radio k. Dos puntos A y A’, colineales con 0,

son mutuamente inversos con respecto a este círculo si (0A)(0A’) = k2. En coordenadaspolares con 0 como polo (origen), esta relación es r · ρ = k2 ([14] pp. 127-134, [7] pp.177-181).

3.3. CARDIOIDE 43

Figura 3.10: Generación de cremona de la cardioide

Figura 3.11: La cardioide como envolvente de círculos

Además la curva puede ser vista como una espiral sinusoidal (con p = 12)

o, como se dijo al inicio, como un caso especial del caracol de Pascal.La cardioide es también la envoltura de cuerdas de un círculo. Sean 36

puntos igualmente espaciados en un círculo, etiquetados del 0 al 35. Conectelos puntos 1 y 2, 2 y 4, 4 y 8, ...; 3 y 6, 6 y 12, ...; etcétera. Esta construcciónse llama generación de Cremona (figura 3.10).

Asimismo, la cardioide es la envoltura de los círculos que se describen acontinuación. Se dibuja un círculo base y se marca en el un punto fijo A. Concentro en cualquier punto Q en el círculo base y radio QA, se dibuja otrocírculo. Se repite lo anterior para puntos Q uniformemente espaciados en elcírculo base. El punto A es el vértice de esta cardioide (figura 3.11).


Ecuaciones

La ecuación cartesiana de la cardioide es:

(x2 + y2 ± 2ax)2 = 4a2(x2 + y2)

Las ecuaciones polares de la cardioide son:

r = 2a(1± cos θ), r = 2a(1± sin θ)

Las ecuaciones paramétricas de la cardioide son: 6

x = 2a cos t− a cos 2ty = 2a sin t− a sin 2t

Propiedades de la cardioide:

Longitud: 16a

Área: 6πa2

Superficie de revolución respecto al eje x: 1285πa2

Volumen de revolución respecto al eje x: 643πa3

Su evoluta es otra cardioide (la más pequeña), ver figura 3.12.

La cáustica de una cardioide con un punto radiante en el vértice es unanefroide.

Figura 3.12: Evoluta de la cardioide

La cardioide puede ser usada como leva7. Si la cardioide es montada sobreun eje en el vértice y rotada con velocidad angular constante, una clavija,

3.3. CARDIOIDE 45

Figura 3.13: Leva en forma de cardioide

sujeta a un poste fijo y sostenida en la cardioide, se moverá con unmovimientoarmónico simple, ver figura 3.13 ([14] p. 6).

Existen cardioides de billar. Las órbitas periódicas de la caótica cardioidede billar son estudiadas para introducir una dinámica binaria simbólica.

Figura 3.14: Conjunto de Mendelbrot

La cardioide es la figura central grande del conjunto de Mandelbrot, verla figura 3.14, la cual se adoptó también de la red de internet. El conjuntode Mandelbrot es un fractal que esta definido como el conjunto de puntos cen el plano complejo tales que:

zo = 0 y zn+1 = z2n + c converge.

6Estas se dedujeron en la sección 2.3.2, con b = a en las ecuaciones (2.17).7Rueda provista de un resalte o de una muesca, destinada a transmitir o a accionar el

movimiento de una máquina.


3.4. Catenaria

Figura 3.15: Catenaria

La catenaria (del latín catena que significa cadena), también conocidacomo Cadeneta o curva Funicular, describe la forma asumida por una cadenaperfectamente flexible e inextensible de densidad uniforme colgando de dossoportes y accionada por la gravedad. Fue investigada primero por GalileoGalilei (1564-1642), quien afirmó que la curva era una parábola. Su errorfue detectado experimentalmente en 1669 por Joachim Jungius (1587-1657),geómetra alemán ([9] pp. 287-289, [4] p. 654, [3], [14] pp. 12-14, [7] pp. 118-124, [6] p. 195).

La verdadera ecuación de la curva fue obtenida hasta 1690-1691 por Leib-niz, Huygens y Johann Bernoulli, en respuesta a un desafío puesto por JakobBernoulli para encontrar la ecuación de la “curva cadena”. David Gregory,profesor de Oxford, escribió un extenso tratado sobre la catenaria en 1697.

Huygens fue el primero en usar el término catenaria en una carta a Leibnizen 1690.

Cuando la vela de un buque esta sujeta a dos barras horizontales y elviento sopla en dirección perpendicular a las barras, la vela forma una cate-naria.

Como antes se dijo, la catenaria es la forma asumida por una cadenainextensible de densidad uniforme que está en reposo.

Asimismo, la catenaria puede obtenerse como la evoluta de la tractriz.

3.4. CATENARIA 47

Figura 3.16: Arco situado en el corazón de la ciudad de St. Louis Missouri,Estados Unidos. En la fotografía de la izquierda, aparece además el AntiguoPalacio de Justicia.

En St. Louis, Missouri, Estados Unido existe un arco con la forma deuna catenaria invertida que mide 192 metros, tanto de alto como de ancho.El interior del arco es hueco, contiene un sistema de transporte, escalerasde emergencia y un área de observación en la cima. Fue diseñado por elarquitecto finlandés-americano Eero Saarinen, en 1947. La construcción delarco empezó en febrero de 1963 y terminó en octubre de 1965. La formadel arco no es exactamente el de una catenaria invertida, Saarinen prefirióuna forma que fuera ligeramente alargada y más delgada en la cima, paratransferir más peso de la estructura abajo en lugar de en el exterior en la base.Ver la figura 3.16 que se adoptó de un documento publicado en la Wikipediade la red de internet.

La longitud de arco s medida desde el punto más bajo (el cual situamosen (0, a)) a cualquier punto en la catenaria, es proporcional a la tangente delángulo que forman la tangente horizontal (ya que la tangente en el puntomás bajo es horizontal) con la tangente en el extremo superior. En cualquierpunto de la catenaria

s = ady

dx(3.1)


La longitud de arco tiene como base un triángulo rectángulo, en el cual dx ydy son los lados, así ds2 = dx2+ dy2, por lo que para la ecuación de la curvadebemos tener

s2 + a2 = a2ds2

dx2

dx2

a2=

ds2

s2 + a2

dx

a=

ds√s2 + a2

(3.2)

Resolviendo esta ecuación tenemos

x

a= ln

(s+

√s2 + a2

)+ k

Sea k = ln 1a, así

x

a= ln

(s+

√s2 + a2

)+ ln

(1

a

)(3.3)

exa =

(s +

√s2 + a2

)(1a

)(3.4)

Por otro lado, multiplicando por −1 cada lado de la ecuación 3.3 obtenemos

−xa= − ln

(s+

√s2 + a2

)− ln

(1

a

)

−xa= ln

(s+

√s2 + a2

)−1+ ln

(1

a

)−1

−xa= ln

(1

s +√s2 + a2

)+ ln (a)

e−xa =

a

s+√s2 + a2

s−√s2 + a2

s−√s2 + a2

e−xa =

−s+√s2 + a2

a(3.5)

Sumando las ecuaciones 3.4 y 3.5 resulta que

exa + e−

xa =

2√s2 + a2

a(3.6)

3.4. CATENARIA 49

Ahora, despejando dy de la ecuación 3.1 tenemos

dy =sdx

a

Substituyendo en esta ecuación el lado derecho de la ecuación 3.2 obtenemos

dy =sds√s2 + a2

resolviendo esta ecuación llegamos a que

y =√s2 + a2

substituyendo el valor de√s2 + a2 en la ecuación 3.6 obtenemos la ecuación

cartesiana de la catenariaexa + e−

xa =

2y

a

y =(a2

) (exa + e−

xa

)

La ecuación cartesiana de la catenaria es:

y = a cosh(xa

)=(a2

) (exa + e−

xa

)

Propiedades de la catenaria:

Leonhard Euler (1707- 1783) mostró en 1744 que una catenaria rotadaalrededor de su asíntota genera un catenoide, la única superficie derevolución mínima.

Su evoluta es la tractriz.


3.5. Cicloide

Figura 3.17: Cicloide

Nicholas de Cusa (1401-1464) fue el primero en estudiar la cicloide, cuan-do estaba intentando encontrar el área de un círculo por integración ([3], [14]pp. 65-70, [9] pp. 275-278, [7] pp. 80-89, [6] pp. 192, 195).

Marin Mersenne (1588-1648) dio la primera definición formal de la cicloideen 1599 y estableció propiedades obvias tales como que la longitud de la basees igual a la circunferencia del círculo que rueda. Intentó encontrar el áreabajo la curva por integración pero fracasó.

En 1599 Galileo Galilei dio nombre a esta curva. Trató de encontrar elárea por comparación de esta área con la del círculo generador. Después defallar, recurrió a introducir cortes de pedazos de pesos de metal dentro dela forma de la cicloide. Encontró que la razón de las pesos era aproximada-mente tres a uno, pero decidió que no era exactamente tres, de hecho creyó(equivocadamente) que la razón no era racional.

Mersenne propuso el problema del área al francés Gilles Personne deRoberval (1602-1675) en 1628. Éste fue resuelto por Roberval en 1634. Sia = h entonces el área bajo la curva de un arco es 3πa2. Roberval orgullosode su resultado, le escribió a René Descartes (1596-1650) dándoselo. Descartesreplicó que el resultado era “uno bueno del cual no me había dado cuentaantes, que no causa dificultad a ningún geómetra moderadamente hábil.”

Descartes retó a Roberval a encontrar un método para dibujar una tan-gente a la cicloide habiendo descubierto él mismo como construir una. Rober-val fracasó, pero Fermat, quien estaba incluido en el reto, tuvo éxito.

Vale la pena notar que de manera independiente: Evangelista Torricelli(1608-1647) descubrió el área de la cicloide; y Vincenzo Viviani (1622-1703)encontró un método para construir una tangente.

En 1658 Blaise Pascal resolvió los problemas del área y el centro degravedad de cualquier segmento de la cicloide. También resolvió los pro-

3.5. CICLOIDE 51

blemas del volumen y el área de la superficie del sólido de revolución formadopor la rotación de la cicloide respecto al eje x.

Pascal (bajo el nombre de Dettonville) publicó un reto ofreciendo dospremios por la solución de los dos primeros problemas antes mencionados.El inglés John Wallis (1616-1703) y Antoine de Lalouvère (1600-1664) se en-teraron. La solución de Lalouvère fue errónea. Wallis no tuvo éxito. Renéde Sluze (1622-1685), Michelangelo Ricci (1619-1682), Huygens, Sir Chisto-pher Wren (1632-1723) y Fermat comunicaron sus descubrimientos a Pascalsin estar enterados de la competencia. La contribución de Wren fue la másnotable, encontró que la longitud de un arco es 8a.

El físico holandés Huygens descubrió en 1659 que la cicloide es tautócrona(llamada también isócrona), lo que significa que dos partículas de la mismamasa que caen en un arco cicloidal invertido de diferentes alturas alcanzanel punto más bajo en el mismo instante. El problema de la tautocronía esla determinación del tipo de curva a lo largo de la cual debe moverse unapartícula sujeta a una fuerza específica para producir un movimiento armóni-co. El período de este movimiento es 2π. En 1673 Huygens demostró que lacicloide es tautócrona, y determinó su evoluta.

En 1692 Jakob Bernoulli y Johann Bernoulli mostraron que la cicloide esla catacáustica (cáustica por reflexión) de un círculo cuando los rayos de luzprovienen de un punto en la circunferencia.

El problema de la braquistócronia (del griego brachistos, el menor, ycronos, tiempo) es la determinación de un camino a lo largo del cual unapartícula se mueve de un punto en un plano a otro, sujeta a una fuerza es-pecífica, en el menor tiempo posible. En junio de 1696 Johann Bernoulli retóa su hermano Jakob Bernoulli (eran rivales) a resolver el problema. En di-ciembre de 1696 Johann repitió su reto en el Acta eruditorum, pidiendo leenviarán soluciones antes de la pascua de 1697. Él ya sabía que la cicloide erabraquistócrona y publicó su solución en 1697. Además de Johann y JakobBernoulli también Leibniz, Newton y L’Hôpital resolvieron el problema. Éstefue uno de los primeros problemas variacionales y su investigación fue elpunto de arranque para el desarrollo del cálculo de variaciones.

La cicloide puede obtenerse como la catacáustica de un círculo en la quela fuente de luz proviene de un punto en la circunferencia.

Asimismo la cicloide es el lugar geométrico de un punto fijo P a distanciah del centro de un círculo de radio a que rueda, sin resbalar, a lo largo deuna línea recta, si h = a (ver figura 3.17). Si h < a es una cicloide acortada(ver figura 3.18), mientras que si h > a es una cicloide alargada (ver figura


Figura 3.18: Cicliode acortada

Figura 3.19: Cicloide alargada

3.19).Cabe señalar que mientras un tren se dirige de México a Querétaro, hay

momentos en que las ruedas retroceden. Las ruedas de los trenes no son sólodiscos, hay una saliente especial en cada una de ellas, ver figura 3.20. Lasaliente evita que el tren se salga de la vía. La parte más baja de la ruedaes la que por momentos se mueve en dirección opuesta al rumbo del tren.La curva por la que se mueve la parte más baja de la rueda es una cicloidealargada.

Figura 3.20: Rueda de un tren

3.5. CICLOIDE 53

Ecuaciones paramétricas de la cicloide: 8

x = at− h sin ty = a− h cos t

Propiedades de la cicloide:

La longitud de un arco es 8a, y fue calculada por Sir Christopher Wrenen 1658.

Si a = h, el área bajo un arco es 3πa2, como lo determinó Roberval en1628.

Su evoluta es una cicloide en una posición diferente.

Su involuta también es una cicloide en otra posición.

Es tautócrona, esto es, dos partículas de la misma masa que caen enun arco cicloidal invertido de diferentes alturas alcanzan el punto másbajo en el mismo instante.

Es braquistócrona, es decir, es la curva del más rápido descenso. O bien,el camino que une dos puntos fijos que debe seguir una partícula pararecorrerlo en un tiempo mínimo es el de una cicloide.

La catacáustica de un arco cicloidal cuando los rayos de luz son per-pendiculares a su base está compuesta de dos arcos cicloidales máspequeños.

Huygens diseño un reloj con un péndulo de longitud variable. El péndulose movía entre dos molduras, ambas tenían la forma de una cicloide. Huygensuso el hecho de que la involuta de una cicloide es la cicloide misma. En suexperimento Huygens uso también la involuta de un círculo en el péndulodel reloj para aproximar la trayectoria de la cicloide. Sin embargo, el uso delprincipio de tautocronía en el diseño del reloj planteó demasiados problemasmecánicos para hacerlo práctico.

Hay ruedas de engranes que tienen la forma de una cicloide.

8Se dedujeron en la sección 2.3.1.


Con un propulsor Voith-Schneider, probado primero en 1927, un buquepuede maniobrar de manera precisa y moverse al lado. El propulsor giraalrededor de un eje, vertical al movimiento, así el buque sigue la trayectoriade una cicloide. La posición de la hoja determina la dirección del buque, estábasado en el mismo principio que el mecanismo de la aleta de un pez. Elpropulsor es llamado cicloidal o propulsor trocoidal.

3.6. Círculo

El estudio del círculo se remonta más allá de la historia registrada. Losprimeros teoremas relacionados con círculos se atribuyeron a Tales de Mileto(624- 547 antes de J. C. aproximadamente) alrededor del año 650 antes deJ. C. ([14] pp. 21-25, [6] pp. 65-66).

Uno de los problemas de los matemáticos griegos fue el de encontrar uncuadrado con la misma área que un círculo dado. Anaxágoras (499-428 antesde J. C.) en 450 a. de J. C. es el primer matemático registrado que estudióeste problema.

El libro III de los Elementos de Euclides (325-265 antes de J. C. aproxi-madamente) del año 300 antes de J. C., trata de las propiedades del círculo.

El problema de encontrar el área de un círculo condujo a la integración.El círculo es una sección cónica. Menaechmus (380-320 antes de J. C.

aproximadamente) es famoso por su descubrimiento de las secciones cónicas.Él fue el primero en mostrar que las elipses, parábolas e hipérbolas se obtienencortando un cono con un plano no paralelo a la base. Menaechmus descubriólas secciones cónicas mientras intentaba resolver el problema de la duplicacióndel cubo.

Figura 3.21: Círculo

3.6. CÍRCULO 55

El círculo es la elipse cuyos ejes son de igual longitud. O bien la colecciónde puntos en el plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Como se dijo antes, el círculo es la sección cónica que se obtiene cortandoun cono con un plano paralelo a la base.

El círculo es la pedal de una hipérbola con respecto a uno (u otro) de susfocos.

El círculo es una rosa de un pétalo. Las rosas son un tipo de hipotrocoides.La rosa de un pétalo se obtiene haciendo c = 0 en la ecuación paramétricadel hipotrocoide.

Si en la ecuación polar de la espiral sinusoidal p = 1, la espiral sinusoidalen cuestión es un círculo.

Ecuaciones

La ecuación cartesiana del círculo es:

x2 + y2 = a2

Las ecuaciones paramétricas del círculo son:

x = a cos t, y = a sin t

Propiedades del círculo:

La cardioide es la catacáustica (cáustica por reflexión) de un círculocon un punto radiante es su circunferencia.

La catacáustica de un círculo en el que se reflejan rayos paralelos es lanefroide.

El caracol de Pascal es la catacáustica de un círculo en el que puntoradiante no está en su circunferencia.

La envoltura de círculos con centro en un círculo C, donde cada círculopasa a través de un punto fijo A en C, es la cardioide.

La forma de un círculo permanece intacta mientras damos una vuelta,lo que la hace muy útil como tapa para frascos. Y también para relojes conmanecillas que dan vuelta. La cabeza de un tornillo también es un círculo.El hombre obtuvo grandes ventajas con el uso de la rueda.


3.7. Cisoide de Diocles

Ésta curva fue descubierta por el griego Diocles (240 − 180 antes de J.C. aproximadamente) para resolver la duplicación del cubo o problema deDelian: ¿cuánto debe incrementarse la arista de un cubo para duplicar elvolumen del cubo? Diocles también estudió el problema de Arquímedes decortar una esfera con un plano de manera que los volúmenes de los segmentosestuviesen en una proporción dada. ([14] pp.26-30, [3], [7] pp.130-133, [4] p.653.)

El nombre de cisoide (viene de una palabra griega que significa en formade hiedra) se mencionó por el griego Geminus (10 antes de J. C. - 60 des-pués de J. C. aproximadamente) en el siglo primero antes de J. C., esto es,aproximadamente un siglo después de la muerte de Diocles. Posteriormenteel método usado para generar esta curva se generalizó, llamamos a las curvasgeneradas de este modo cisoides.

En los comentarios del trabajo de Arquímedes On the Sphere and theCylinder la cisoide es atribuida a Diocles.

Roberval y Fermat construyeron la tangente de la cisoide (1634).En 1658 Huygens y Wallis encontraron que el área entre la curva y su

asíntota es 3πa2.

Figura 3.22: P es un punto de la cisoide de las dos curvas con respecto a O

Dadas dos curvas y un punto fijo O. Sean Q y R las intersecciones de unarecta variable a través de O con las curvas dadas. El lugar geométrico de Pen esta recta tal que

OP = OR −OQ = QR

es la cisoide de las dos curvas con respecto a O, ver figura 3.22.

3.7. CISOIDE DE DIOCLES 57

Figura 3.23: Cisoide generada por un círculo que se mueve a lo largo de unarecta

Así la cisoide de dos círculos concéntricos de radios r1, r2, con respecto asu centro común es un círculo con el mismo centro y radio |r1 − r2| .

La cisoide de un círculo de diámetro OA (radio a) y una recta tangenteal círculo en A con respecto al punto fijo O es la cisoide de Diocles.

Se puede generar la cisoide de Diocles como el conjunto de puntos deintersección P de la recta OR con un círculo de radio a tangente en R a larecta L que se obtienen cuando el círculo se mueve rígidamente a lo largo dela recta L, ver figura 3.23.

Según algunas consideraciones modernas en común (Morris Kline, ThomasL. Heath) aquí está cómo construyó Diocles la curva en su libro Sobre Espe-jos Ardientes: sean AB y CD diámetros perpendiculares de un círculo, verfigura 3.24. Sea E un punto en el arco BC y Z un punto en el arco BD talque BE y BZ son iguales. Dibuje ZH perpendicular a CD. Dibuje ED. SeaP la intersección de ZH y ED. La cisoide es el lugar geométrico de todoslos puntos P determinados por todas las posiciones de E en el arco BC y Zen el arco BD con arco BE igual al arco BZ (la porción de la curva que caefuera del círculo es una última generalización).

También se puede generar la cisoide de Diocles de la siguiente manera:considere dos parábolas iguales, póngalas vértice con vértice y ruede una alo largo de la otra. El vértice de la parábola que rueda traza una cisoide deDiocles.

Newton dio la siguiente construcción para la descripción de esta curva por


Figura 3.24: Construcción de la cisoide dada por Diocles

un movimiento continuo: Un ángulo recto tiene un lado GF de longitud fija,el punto F se mueve a lo largo de la recta fija CI, mientras que el lado GHpasa a través del punto fijo E; un lápiz en el punto medio de GF describirála cisoide de Diocles, ver figura 3.25 ([9] pp. 182-183).

Figura 3.25: Construcción de la cisoide dada por Newton

Ecuaciones

La ecuación cartesiana de la cisoide de Diocles es:

y2 = x3

2a−x

La ecuación polar de la cisoide de Diocles es:

r = 2a tan θ sin θ

3.7. CISOIDE DE DIOCLES 59

Las ecuaciones paramétricas de la cisoide de Diocles son:

x = 2at2

1+t2, y = 2at3

1+t2

Propiedades de la cisoide de Diocles:

La recta x = 2a es una asíntota de la curva.

El área entre la curva y su asíntota es 3πa2.

La cisoide es la inversa de la parábola y2 = bx con respecto al origen(radio de inversión

√2ab ).

La pedal de una cisoide de Diocles con respecto a un punto P es lacardioide. Si la asíntota de la cisoide es la recta x = 1 y su vértice elorigen, entonces P = (4, 0).

La cáustica de la cisoide cuando el punto radiante es (8a, 0) es unacardioide.

La pedal de una parábola con respecto a su vértice es la cisoide deDiocles.

Si los puntos P y Q en la cisoide son tales que el ángulo POQ es rectoentonces el lugar geométrico de intersección de las tangentes a P y Qcae en el círculo con diámetro (a

2, 0), (2a, 0).

Construcción de la tangente. Ver figura 3.26, A tiene la dirección de larecta AC mientras que el punto de la escuadra en B se mueve en ladirección BQ. Normales a AC y BQ en A y B respectivamente se en-cuentran en el centro de rotación, D. DP es así normal a la trayectoriade P .

Duplicación del cubo. Dado un segmento CB, con la ayuda de la cisoidede Diocles, podemos construir un segmento CM tal que (longitud CM)3 =2(longitud CB)3.


Figura 3.26: Construcción de la tangente a un punto P de la cisoide

Figura 3.27: Duplicación del cubo con ayuda de la cisoide de Diocles

Descripción paso a paso, ver figura 3.27

1. Dados dos puntos C y B.

2. Construya un círculo un con centro en C que pase por B.

3. Sean O y A en el círculo tales que la recta OA es perpendicular a larecta CB.

4. Construya la cisoide de Diocles que se genera con el círculo antes dadoy la recta tangente al círculo en el punto A con respecto a O.

5. Construya un punto D tal que B sea el punto medio del segmento CD.

3.8. DELTOIDE 61

6. Construya la recta que pasa por A y D. Sea Q la intersección de lacisoide y la recta AD. (La intersección no puede ser encontrada conregla y compás.)

7. SeaM la intersección de la recta CD y la recta OQ, (longitud CM)3 =2(longitud CB)3.

3.8. Deltoide

La tricúspide o deltoide fue concebida primero por Leonhard Euler, matemáti-co suizo (1707- 1783), en 1745 en relación con un estudio de curvas cáusticas.E investigado en 1856 por otro matemático suizo Jakob Steiner (1796-1863).A veces es llamada hipocicloide de Steiner. El nombre de deltoide (de formade la letra griega delta mayúscula) no es usado en todas partes ([3], [7] pp.72-79, [14] pp. 71-74, [6] pp. 131-135).

Ecuaciones

La ecuación cartesiana de la deltoide es:

(x2 + y2 + 12ax+ 9a2)2 − 4a(2x+ 3a)3 = 0

Las ecuaciones paramétricas de la deltoide son: 9

x = 2a cos t+ a cos 2ty = 2a sin t− a sin 2t

La deltoide es un hipocicloide de tres vértices formada por un punto enun círculo de radio a o 2a que rueda en el interior de un círculo fijo de radio3a. Se le llama generación doble a la que ocurre cuando el radio del círculoque rueda es 2a.

La deltoide también puede obtenerse como la envoltura de un diámetrode un círculo de radio 2a que rueda en el interior de un círculo fijo de radio3a.

Steiner descubrió en 1856 que la deltoide es la envoltura de las rectas deSimson de un triángulo10. El centro de la deltoide es el centro del círculo de

9Se dedujeron en la sección 2.3.3.10Se dibuja un círculo y se inscribe en el un triángulo. Se toma un punto P en el círculo

y se marca el pie de las perpendiculares de P a los lados del triángulo. Estos tres puntosse encuentran sobre una recta, la cual es conocida como recta de Simson.


los nueve puntos de dicho triángulo11, ver figura 3.28, asimismo el círculo delos nueve puntos esta inscrito en la deltoide.

Figura 3.28: La deltoide como envolvente de las rectas de Simpson de untriángulo

Además, la deltoide es la envoltura de las rectas que se describen a con-tinuación. Se dibuja un círculo base con centro en O y diámetro D’OD.Comenzando en D se marcan puntos a intervalos de 10◦ en sentido contrarioal de las manecillas del reloj, y se los numera 0,1, 2, ..., el punto D es elnúmero 0. Comenzando en D’, en el sentido de las manecillas del reloj, semarcan puntos cada 20◦ y se los numera 0,1,2, etc. Se unen los pares de pun-tos con el mismo número. Si el radio del círculo base es a, la deltoide quedainscrita en un círculo de radio 3a. Ver figura 3.29.

Propiedades de la deltoide:

Cuando la deltoide es generada como la envoltura de las rectas deSimpson de un triángulo, el radio del círculo de los nueve puntos es 1

2

del radio r del círculo en el que esta contenido el triángulo original.Asimismo el radio del círculo en que esta contenida la deltoide es 3

2r.

11El ortocentro es el punto donde concurren las alturas de un triángulo ([10], p. 156).Los puntos medios de los lados de un triángulo, los puntos de intersección de las alturas

con los lados y los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vérticesestán sobre un círculo llamado el círculo de los nueve puntos ([10], p. 172).

3.8. DELTOIDE 63

Figura 3.29: Deltoide generada por rectas

La tangente a la tricúspide en un punto P corta a éste en dos puntosE y H. Las normales a la tricúspide en E, P y H son concurrentes ysu lugar geométrico esta en el círculo que contiene a la tricúspide, verfigura 3.30.

Figura 3.30: Propiedades de la deltoide

Las tangentes en E y H se encuentran en ángulo recto en el punto K,el cual esta sobre el círculo que esta inscrito en la deltoide

La longitud de la tangente interceptada por la curva (es decir, la lon-gitud de EH) es constante e igual a 4a.

El lugar geométrico del punto medio D del segmento tangente EH estaen el círculo que esta contenido en la deltoide.


Si J corta a EH en ángulo recto y esta en el círculo que esta contenidoen la deltoide, J es otra tangente a la deltoide.

Longitud: 163a

Área: 29πa2

La astroide es la cáustica de la deltoide con rayos paralelos en cualquierdirección.

La evoluta de la deltoide es otra deltoide, ver figura 3.31.

Figura 3.31: Evoluta de la deltoide

La deltoide puede actuar como un rotor dentro de una astroide estator12,ver figura 3.32.

Figura 3.32: Deltoide rotor dentro de una astroide estator

El motor rotatorio Wankel (ver figura 3.33 que se adoptó de un documentopublicado en laWikipedia de la red de internet) fue inventado por el ingeniero

12Parte fija de una máquina rotatoria por oposición a la parte móvil o rotor.

3.9. EPICICLOIDE 65

Figura 3.33: Motor Wankel el cual se encuentra en el museo Deutsches deMunich, Alemania.

alemán Félix Wankel alrededor de 1951. El rotor de este motor es semejanteal deltoide y se mueve dentro de una epitrocoide.

3.9. Epicicloide

Ecuaciones paramétricas de la epicicloide:

Si el eje x pasa a través de un vértice son:13

x = (a+ b) cos t− b cos (a+b)tb

y = (a+ b) sin t− b sin (a+b)tb

Si el eje x biseca el arco entre dos vértices sucesivos son:

x = (a+ b) cos t+ b cos (a+b)tb

y = (a+ b) sin t+ b sin (a+b)tb

Hay cuatro curvas estrechamente relacionadas entre si: la epicicloide, lahipocicloide, la epitrocoide, y la hipotrocoide. Todas ellas son trazadas por

13Las ecuaciones correspondientes se dedujeron en la sección 2.3.2.


Figura 3.34: (A) Epicicloide; (B) Generación doble de la epicicloide

un punto fijo P a distancia h del centro de un círculo de radio b el cual ruedaen un circulo fijo de radio a. Las dos primeras ocurren cuando h = b, lasrestantes cuando h = b ([3], [14] pp. 81-85, [9] pp. 278-283, [6] pp. 168-170).

Estas curvas fueron estudiadas por Alberto Durero (1471-1528 en alemánAlbrecht Dürer) en 1525, Girard Desargues (1591-1661) en 1640, Roemer aquien se atribuye la invención de estas curvas (1674), Huygens (1679), Leib-niz, Newton (1686), L’Hôpital (1690), Jakob Bernoulli (1690), La Hire (1694),Johann Bernoulli (1695), Daniel Bernoulli (1725) y Euler (1745, 1781).

Daniel Bernoulli fue el primero en darse cuenta de la generación doble.

Apolonio de Perga (262-190 antes de J. C. aproximadamente) geómetragriego (200 antes de J. C.) tuvo la idea de describir los movimientos celestescomo combinación de movimientos circulares. Fue Hiparco de Nicea (190-120antes de J. C.) el más grande astrónomo de la Antigüedad, quien elaboró estateoría en detalle (150 antes de J. C.). Los resultados llegaron a ser famosos(150 después de J. C.) por los libros del astrónomo griego Claudio Ptolomeo(85-165 después de J. C.). Se pensó en la Tierra colocada como centro celeste,alrededor del cual los otros cuerpos celestes rotan. La combinación de larotación de la Tierra y la rotación de los planetas alrededor de ella forman unaepicicloide. Esta teoría geocéntrica debió ser la teoría aceptada por casi 2000años. La teoría heliocéntrica (como la construyó Nicolás Copérnico (1473-1543)), también se discutió por los griegos.

3.9. EPICICLOIDE 67

Los astrónomos encuentran formas de las curvas cicloidales en varias coro-nas14. También ocurren como cáusticas.

La longitud de estas curvas fue dada por Newton.Casos especiales:

Si a = b se obtiene una cardioide.

Si a = 2b se genera una nefroide.

La epicicloide es la curva generada por un punto fijo P en un círculo deradio b que rueda en el exterior de un circulo fijo de radio a, ver figura 3.34(A).

O bien es la curva trazada por un punto fijo en un círculo de radio a+ bque rueda dentro de un círculo fijo de radio a, ver figura 3.34 (B). Estadescripción recibe el nombre de generación doble.

Propiedades de la epicicloide:

Si a = (m−1)b conm ∈ N, m > 1 el área y la longitud de la epicicloideson respectivamente:

area = πb2m(m+ 1)

longitud =

8mbm−1 si m = 2n con n ∈ N

16mbm−1 si m = 4n− 1 con n ∈ N

8mb si m = 4n+ 1 con n ∈ N

Cuando a/b es un número racional la curva es cerrada y algebraica.Cuando dicho cociente esta en su forma más simple (es decir, cuandonumerador y denominador no tienen factores en común), el numeradores el número de veces que el círculo que rueda toca al círculo fijo.

Cuando a/b no es racional la curva es trascendente.

La evoluta de una epicicloide es una epicicloide similar, pero menor entamaño (ver evoluta cardioide figura 3.12).

14Halo luminoso que suele rodear al Sol y a la Luna.


Figura 3.35: (A) Hipocicloide; (B) Generación doble de la hipocicloide

La pedal con respecto al centro es una rosa: r = c sinnθ.

Las ecuaciones paramétricas de la epicicloide se transforman en las dela hipocicloide al reemplazar b por −b en ellas. Si b ∈ Z, b = 0 cuando

• a = −2b se obtiene un segmento de recta.

• a = −3b se obtiene una deltoide.

• a = −4b se obtiene una astroide.

3.10. Hipocicloide

Hay cuatro curvas estrechamente relacionadas: la epicicloide, la epitro-coide, la hipocicloide y la hipotrocoide. Todas ellas son trazadas por un puntofijo en un círculo que rueda en un círculo fijo.

La hipocicloide es la curva trazada por un punto fijo P en la circunfer-encia de un círculo de radio b el cual rueda sin resbalar en el interior de uncírculo fijo de radio a, ver figura 3.35 (A). Cuando el punto no está sobre lacircunferencia la curva generada es una hipotrocoide.

Generación doble. Si el radio del círculo que rueda sin resbalar en elpárrafo anterior es a−b, ver figura 3.35 (B), se genera la misma la hipocicloidedel párrafo anterior.

3.10. HIPOCICLOIDE 69

Varios tamaños de círculos generan diferentes hipocicloides (epicicloides).Sean a el radio del círculo fijo, y b el radio del círculo que rueda. La razóna/b define la forma de la curva, consideremos b = 1 siempre. Así las hipoci-cloides (epicicloides) son curvas de un parámetro a, con la propiedad de quecuando a es positivo se genera una hipocicloide. Y cuando a es negativo seobtiene una epicicloide. Las curvas que tienen los vértices hacia el centro sontradicionalmente identificadas como epicicloides, aún cuando son tambiénhipocicloides. Asimismo las curvas cuyos vértices apuntan fuera del centroson identificadas como hipocicloides, aún cuando son también epicicloides.

Estas curvas fueron estudiadas por Alberto Durero (1471-1528) en 1525,Girard Desargues (1591-1661) en 1640, Roemer a quien se atribuye la in-vención de estas curvas (1674), Huygens (1679), Leibniz, Newton (1686),L’Hôpital (1690), Jakob Bernoulli (1690), La Hire (1694), Johann Bernoulli(1695), Daniel Bernoulli (1725) y Euler (1745, 1781).

Daniel Bernoulli fue el primero en darse cuenta de la generación doble.Los astrónomos encuentran formas de las curvas cicloidales en varias coro-

nas. También ocurren como cáusticas.

Ecuaciones paramétricas de la hipocicloide:

Si el eje x pasa a través de un vértice son:15

x = (a− b) cos t+ b cos a−bbt

y = (a− b) sin t− b sin a−bbt

Si el eje x biseca el arco entre dos vértices sucesivos son:

x = (a− b) cos t− b cos a−bbt

y = (a− b) sin t+ b sin a−bbt

Casos especiales:

Si a = 2b se obtiene un segmento de recta.

Si a = 3b se obtiene una deltoide.

Si a = 4b se obtiene una astroide.15Las ecuaciones correspondientes se dedujeron en la sección 2.3.3


Propiedades de la hipocicloide:

La curva es cerrada y algebraica cuando a/b es racional. Cuando a/bno es racional la curva es trascendente.

La evoluta de una hipocicloide es una hipocicloide similar aunque demayor tamaño (ver la evoluta de la astroide o de la deltoide figuras 3.5o 3.31 respectivamente).

La pedal con respecto al centro es una rosa (r = c sinnθ).

Si a = (n+1)b donde n es un entero, entonces el área de la hipocicloidees πb2n(n− 1).

3.11. Espiral de Arquímedes

Figura 3.36: Una rama de la espiral de Arquímedes

La ecuación polar de la espiral de Arquímedes es:

r = aθ

Esta espiral fue estudiada por Arquímedes (287-212 antes de J. C.) alrede-dor del año 225 antes de J. C. en su tratado On Spirals. Pero se debe a Conon(280-220 antes de J. C. aproximadamente), amigo de Arquímedes ([3], [14]pp. 209-211, [7] pp. 173-174, [6] p. 186, [4] p. 656).

3.11. ESPIRAL DE ARQUÍMEDES 71

Fue la primera curva mecánica (es decir, trazada por un punto en movimien-to) considerada por un matemático griego. Supongamos que un canal girasobre uno de sus extremos y que desde este extremo es lanzada una canica avelocidad constante. La trayectoria de la canica, vista desde arriba, trazaráuna espiral de Arquímedes.

En la espiral de Arquímedes hay una distancia fija entre ramas sucesivasigual a 2πa si θ es medido en radianes.

Tiene dos ramas (figura 3.37), una para θ > 0 y otra para θ < 0. Sólo semuestra una rama en la figura 3.36.

Figura 3.37: Espiral de Arquímedes

rm = amθ es una generalización de la espiral de Arquímedes.La cual incluye cuatro casos especiales:

Espiral de Arquímedes (m = 1);

Espiral de Fermat (m = 2);

Espiral hiperbólica o recíproca (m = −1);

Lituus (m = −2).

Fue Sacchi en 1854 quien distinguió este grupo de espirales por vez primera.Esta curva es la pedal de la involuta de un círculo.

Propiedades de la espiral de Arquímedes:

La longitud de arco de 0 a θ es:


Figura 3.38: Leva generada por un arco de una espiral de Arquímedes

s = a2

[θ√1 + θ2 + ln

(θ +

√1 + θ2

)]

La curva inversa con respecto al origen (o polo) es la espiral hiperbólicao recíproca.

Arquímedes podía encontrar la longitud de varias tangentes de la espiral.Lo que puede ser usado para la trisección de un ángulo y cuadrar un círculo.

Esta espiral encontró amplio uso como leva, para convertir un movimientoangular uniforme en movimiento lineal uniforme. La leva consiste de un arcode espiral arriba del eje x junto con su reflejo con respecto al eje x. La levaes montada sobre un eje en el polo (origen) y rueda con velocidad angularconstante. El pistón que mantiene contacto con un mecanismo de resortetiene como resultado un movimiento lineal uniforme (figura 3.38). Esta levase uso en las viejas maquinas de coser.

3.12. Espiral de Cornu

También conocida como clotoide o espiral de Euler, este último nombredebido a que fue Euler quien empezó a estudiar la curva (1744) en unainvestigación sobre la elasticidad de un resorte. Es la curva cuya curvaturaes función de la longitud. Esto es, la curvatura crece con la distancia desdeel origen ([3], [14] p. 215).

3.12. ESPIRAL DE CORNU 73

Figura 3.39: Espiral de Cornu

Esta curva se descubrió en la era de la geometría diferencial (1700), dondese hizo precisa la noción de curvatura como la proporción en que la curvacambia de dirección (o una medida de como se tuerce una curva en un puntodado). El “Teorema Fundamental de las Curvas Planas” establece que unacurva plana esta en esencia definida por su curvatura.

A la espiral de Cornu se le asignó este nombre por el científico francésMarie Alfred Cornu (1841-1902), quien la estudio en relación con la difracciónde la luz. A partir de los trabajos de Cornu esta curva se uso con amplituden el cálculo de la difracción de la luz.

Esta curva puede ser parametrizada por las integrales de Fresnel, lascuales son bien conocidas en la teoría de difracción.

Cabe mencionar que Agustin Jean Fresnel (1788-1827) fue uno de losfundadores de la teoría de ondas de luz.

Las ecuaciones paramétricas de la espiral de Cornu son:

x =∫ t0cos s

2

2ads

y =∫ t0sin s2

2ads

Propiedad de la espiral de Cornu:

Los puntos asintóticos son(√

πa

2,√πa

2

)y(−√πa

2,−

√πa

2

).

Se utiliza en el trazado de carreteras y ferroviarios como curva de transi-ción, con el fin de evitar discontinuidades en la aceleración de los vehículos.El tipo de curva más usual en carreteras es: tramo recto, clotoide, circular,clotoide, tramo recto.


3.13. Espiral Equiángular

Mi hermano, profesor en Basle, ha tomado esta oportunidad parainvestigar varias curvas que la naturaleza pone ante nuestros ojoscada día... Johann Bernoulli 1692 [5]

Figura 3.40: Espiral equiángular

También conocida como espiral logarítmica o logística fue descubierta porRené Descartes (1596-1650) en 1638 en un estudio de dinámica ([3], [14] pp.206-209, [7] pp. 98-109, [6] p. 184, [4] p. 656).

Evangelista Torricelli (1608-1647) trabajó en la curva de manera indepen-diente y encontró su longitud.

Entre los primeros matemáticos griegos, los pitagóricos creían firmementeque todas las cosas podían ser explicadas en términos de números. Insistíanen que hay siempre alguna ley involucrando números la cual esta representadatanto en obras de arte, como en formas vivientes, creaciones de la naturaleza.Una de estas ideas fue la ley de la razón áurea.

Encontramos esta proporción en geometría cuando dividimos un segmentodado en dos partes a y b tales que la razón b/a es igual a la razón (a+ b)/b,donde a < b. Se llama “phi” a la razón b/a y es igual a la raíz positiva dela ecuación x2 − x − 1 = 0, la cual es φ = (1 +

√5)/2. Ésta fue llamada

“proporción divina” por Luca Pacioli (1445-1517), matemático italiano delsiglo quince en su libro Divina proportione, las figuras de este texto fuerondibujadas por Leonardo da Vinci (1452-1519).

Esta proporción se representa con la letra griega φ en honor a Fidias, elescultor más famoso de la Grecia antigua.

La razón áurea aparece en muchos giros inesperados, en la serie de Fi-bonacci, en la figura del pentágono (ver figura 3.41), en las dimensiones del

3.13. ESPIRAL EQUIÁNGULAR 75

cuerpo humano, en la concha de moluscos o en el arreglo de las hojas en eltallo de las flores.

Figura 3.41: Pentágono

Leonardo da Vinci escribió:

Las hojas siempre vuelven su lado superior hacia el cielo asípueden recibir mejor el rocío sobre toda su superficie; las hojasestán arregladas en las plantas de tal modo que una cubre a otra lomenos posible. Esta alternación provee espacios abiertos a travésde los cuales el sol y el aire pueden penetrar. El arreglo es talque gotea de la primera hoja descendiendo a la cuarta hoja enalgunos casos y a la sexta hoja en otros.

Esta observación llama la atención sobre el fascinante fenómenomatemáti-co que ocurre naturalmente: la filotaxia folial y los números de Fibonacci.

La filotaxia folial explica como las hojas están ordenadas en las ramas,porque son opuestas, en verticilo o alternantes:

Las hojas opuestas son opuestas con respecto a otras, usualmente hilerasadyacentes cruzan en ángulo recto a las hojas opuestas originales. Son ejem-plos la hierbabuena, el arce, el fresno y el castaño de indias.

Verticilo significa tres o más hojas en un nodo. Un ejemplo es la cola decaballo común.

Las hojas alternantes se distribuyen a lo largo de la rama en una espiral.Si dibujamos una línea del punto de unión de una hoja a la siguiente estalínea se enrollará y elevará alrededor de la rama. Una misma especie siempreproduce el mismo número de hojas por vuelta alrededor de la rama. Unaporción igual de la circunferencia del tallo siempre separará a unas hojas deotras. Así es creada una espiral equiángular.


El arreglo alternante de hojas en cada especie es explicado en términosde una clasificación jerárquica.

La clasificación dos describe aquellas especies que tienen hojas que se al-ternan 180 grados en los dos lados de la rama. Esto significa que la tercerahoja se encuentra directamente sobre la primera hoja y que la cuarta hojaesta del otro lado de la rama directamente sobre la segunda hoja. Si unalínea en espiral es dibujada desde la primera hoja pasando por la segunday tercera hojas, la línea habrá dado una vuelta a la rama una vez. La clasi-ficación dos se describe con la fracción 1/2. El numerador es el número derevoluciones alrededor de la rama y el denominador representa las dos hojasque se encontraron en esta espiral de 360 grados (sin contar la primera hoja).Ejemplos: maíz, pasto, sicómoro, abedul y olmo.

La clasificación tres se describe con 1/3, en ella esta el falso hellebore.La clasificación cinco es 2/5, la más común entre las maderas duras como

el roble, cerezo, tulipero, nogal, nogal americano y otros. Aquí en dos vueltasalrededor de la rama se encuentran cinco hojas.

La clasificación ocho es 3/8 en ella están el manzano, el acebo y el helechodulce.

La clasificación trece es 5/13. Son ejemplos el peral, el sauce y el almendro.Estas razones (1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21,...) son la divergencia espiral

angular de una hoja a otra. Analizando estas razones se observa de que cadanúmero del numerador y cada número del denominador es la suma de los dosnúmeros precedentes (2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 8 + 13 = 21 y así). Esta serie denúmeros tomó su nombre del hombre que los analizó por primera vez en elsiglo trece, Leonardo de Pisa (1170-1250), más conocido por su sobrenombre:Fibonacci. En 1753 Robert Simpson (1687-1768) observó por primera vez queel límite del cociente de un número de Fibonacci entre el anterior tiende a φcuando n tiende a infinito.

En 1202 Fibonacci publicó su libro Liber abaci, el cual presenta en sutercera sección un problema que lleva a la introducción de los números deFibonacci:

Un hombre puso un par de conejos en un cuarto cerrado.¿Cuántos pares de conejos pueden ser producidos por ese par enun año si suponemos que cada mes cada par engendra un nuevopar el cual a partir del segundo mes puede reproducirse?

La sucesión resultante es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... (Fibonacci omitióel primer término en su Liber abaci). Esta sucesión, en la cual cada número


es la suma de los dos números precedentes, ha probado ser extremadamentefructífera y aparece en muchas diferentes áreas de las matemáticas y la cien-cia.

En biología, estructuras aproximadamente iguales a la espiral equiángularocurren frecuentemente a organismos donde el crecimiento es proporcional altamaño, por ejemplo en la tela de araña y en la concha de los moluscos.

Como señaló D’Arcy Thompson en su libro On growth and form ([12] p.757):

En el crecimiento de una concha no puede concebirse una leymás simple que esta, a saber que se ensanchará y alargará enlas mismas proporciones invariables. Y esta simpleza de leyes eslo que la naturaleza tiende a seguir. La concha, como la criatu-ra dentro de ella, crece en tamaño pero no cambia su forma; yla existencia de esta constante relatividad de crecimiento, o con-stante similitud de forma, es esencial y puede ser la base de unadefinición de la espiral equiángular.

Jakob Bernoulli (1654-1705) encontró las propiedades de autoreproduc-ción de esta curva y la llamó spira mirabilis (espiral admirable). Pidió que lacurva fuese grabada en su lápida mortuoria con la frase en latín “Eadem mu-tata resurgo” (“Aunque transformado reaparezco”). En la lápida fue grabadauna curva que parece más una espiral de Arquímedes.

Figura 3.42: A la izquierda Jakob Bernoulli, junto a él Johann Bernoulli

Los halcones se aproximan a su presa en la forma de una espiral equián-gular: su aguda visión esta en un ángulo de su dirección de vuelo; este ánguloes el de inclinación de la espiral.


Figura 3.43: Espiral equiángular

Los ojos de los insectos son compuestos, se acercan a una fuente de luzsin perderla de vista, por lo que su vuelo forma una espiral equiángular.

Las ramas de las espirales de las galaxias son aproximadamente espiralesequiángulares. Nuestra propia galaxia, la Vía láctea, se cree tiene cuatroramas principales, cada una de las cuales es una espiral equiángular coninclinación de doce grados aproximadamente.

La espiral equiángular es llamada también espiral áurea porque puedeser derivada de un rectángulo áureo: la longitud de los ejes cortados por laespiral se ajusta a la razón áurea (figura 3.45).

Supongamos que un canal gira sobre uno de sus extremos y que sobreel canal, desde el extremo sobre el que gira, es lanzada una canica con acel-eración constante. La trayectoria de la canica trazará una espiral equiángular.

Curva que corta todos los radio vectores de un punto fijo 0 en un ánguloconstante α, ver figura 3.43. Cualquier radio desde el centro 0 a cualquierpunto de tangencia en la espiral equiángular formará el mismo ángulo entreel radio y la recta tangente.

Ecuaciones

Las ecuaciones paramétricas de la espiral equiángular son:

x = aet cotα cos ty = aet cotα sin t

La ecuación polar de la espiral equiángular es:

r = aeθ cotα


La espiral equiángular se distingue porque la distancia entre sus ramasaumenta en progresión geométrica.

Una espiral equiángular con inclinación α = π2es un círculo.

Propiedades de la espiral equiángular:

φ = (1+√5)/2 es solución de la ecuación 1+x = x2. La sucesión ge-

ométrica: .....φ−3, φ−2, φ−1, 1, φ, φ2, φ3..... es una sucesión de Fibonacciya que tiene la propiedad de que cada término es la suma de los dosanteriores y el cociente de cada término entre el anterior es igual a φ. Esla única sucesión geométrica que es también una sucesión de Fibonacci.Los números de Fibonacci pueden ser representados geométricamenteen dos dimensiones por la espiral equiángular con longitud de los suce-sivos radio vectores 0R0 = φ0, 0R1 = φ1, 0R2 = φ2,... (ver figura 3.44)Una ecuación polar de la espiral equiángular correspondiente a estasucesión de Fibonacci es: r = eθφ

−2

Figura 3.44: Espiral equiángular con longitud de los sucesivos radio vectores0R0 = τ0, 0R1 = τ 1, 0R2 = τ2,...

Puede ser derivada de un rectángulo áureo (un rectángulo tal que lalongitud de los ejes cortados por la espiral se ajusta a la razón áurea.Lado mayor entre lado menor igual a razón áurea = φ). Una ecuación


Figura 3.45: Espiral equiángular derivada de un rectángulo áureo

polar de una espiral equiángular así obtenida es: r = eaθ dondea = 2 ln

((1 +

√5)/2)/π La longitud de los radio vectores 0R0 = φ0,

0R1 = φ1, 0R2 = φ2,... en la figura 3.45 coincide con la sucesión deFibonacci.

La curva pedal derivada de una espiral equiángular, cuando el puntopedal es el origen (o polo), es otra espiral equiángular.

La evoluta de una espiral equiángular es otra espiral equiángular.

La cáustica de una espiral equiángular, cuando el polo es el puntoradiante, es otra espiral equiángular.

La inversa con respecto al polo de una espiral equiángular (r = aeθ cotα)es otra espiral equiángular (ρ = ae− θ cotα, radio de inversión a). Verfigura 3.46, la espiral gruesa es la inversa con respecto al círculo pun-teado de la espiral delgada.

La espiral logarítmica, llamada por Bernoulli “la curva de vida” puedetambién, literalmente, estar en la muerte. Un reporte reciente sugiere al

3.14. ESPIRAL DE FERMAT 81

Figura 3.46: Inversa de la espiral equiángular

ataque de fibrilación como un preludio del paro cardíaco “esta marcado poruna interrupción en el patrón espiral estable del músculo del corazón en unaserie de espirales excitables en los meandros del corazón”. La geometría frac-tal provee modelos generados por computadora de esos patrones y la medicinapreventiva puede beneficiarse.

3.14. Espiral de Fermat

Figura 3.47: Espiral de Fermat

Fue discutida por Pierre de Fermat (1601-1665) en 1636. También esconocida como parabólica por su analogía con y2 = a2x ([3], [14] p. 212, [6]p. 186, [7] p. 175).

La gente que practica omphaloskepsis adoptó la curva como su símbolo.La omphaloskepsis es un estilo de vida alrededor del acto de la contemplacióndel propio ombligo como un método para alcanzar la meditación superior.


La ecuación polar de la espiral de Fermat es:

r2 = a2θ

Para cualquier valor positivo de θ, r puede tomar valores positivos onegativos, por lo que la gráfica es simétrica respecto al polo.

La espiral de Fermat es la inversa con respecto al polo de una Lituus.

3.15. Espiral Hiperbólica

Figura 3.48: Espiral hiperbólica o reciproca

Llamada así por su analogía con la ecuación yx = a, es conocida tambiéncomo espiral Reciproca. Fue creada por Pierre Varignon en 1704 y estudiadaen detalle por Johann Bernoulli (entre 1710-1713) y Roger Cotes (1682-1716)en 1722 ([3], [14] pp. 211-212, [6] p. 186, [7] p. 175, [4] p. 656).

La ecuación polar de la espiral hiperbólica es:

rθ = a

La espiral hiperbólica puede obtenerse como la inversa con respecto alpolo de una espiral de Arquímedes.

Propiedad de la espiral hiperbólica:

Esta curva tiene como asíntota una línea recta que dista a unidades delpolo, ver figura 3.49.

3.16. LITUUS 83

Figura 3.49: Espiral hiperbólica y su asíntota

Figura 3.50: Lituus

3.16. Lituus

Roger Cotes (1682-1716) fue el primero en estudiar la curva. Profesordesignado en Cambridge a la edad de 24 años, su trabajo fue publicado sólodespués de su muerte([3], [14] pp. 212-213, [6] p. 186, [7] p. 175, [4] p. 656).

Cotes descubrió un importante teorema sobre las raíces n-ésimas de launidad; anticipó el método de mínimos cuadrados y descubrió un método deintegración de fracciones racionales que tienen por denominador un binomio.

Colin Maclaurin (1698-1746) dio nombre a la curva en el libro Harmo-nia Mensurarum de 1722. Lituus significa garfio, por ejemplo un báculo deobispo.

Si sólo se grafican valores positivos de r, el resultado se parece a la espiralen el capitel de una columna iónica.

Es el lugar geométrico de un punto P moviéndose de manera que el áreadel sector circular OPA permanece constante.


O bien, es la inversa con respecto al origen de una espiral de Fermat.

La ecuación polar de la espiral lituus es:

r2θ = a2

Propiedad de la espiral lituus:

El eje horizontal es su asíntota.

3.17. Óvalos de Cassini

Figura 3.51: Óvalos de Cassini

Esta curva llamada también Cassinian o Elipse Cassinian fue concebidapor Giovanni Domenico Cassini (1625-1712) astrónomo italiano a quien elrey de Francia, Luis XIV, otorgó la ciudadanía francesa. Estudió esta familiade curvas en relación con los movimientos relativos del Sol y la Tierra en1680. El creía que estas curvas podían representar órbitas planetarias mejorque las elipses de Kepler. Cassini concibió estas curvas catorce años antesde que Jakob Bernoulli describiera su lemniscata ([3], [14] pp. 8-11, [6] pp.153-155, [15] pp. 10-11).

Gian Francesco Malfatti (1731-1807) estudió estas curvas en 1781.

3.17. ÓVALOS DE CASSINI 85

Cassini realizó trabajos de hidráulica, entre cuyas aportaciones se encuen-tra el estudio de las inundaciones causadas por las crecidas del río Po, en elnorte de Italia. Contribuyó a la medida del meridiano de París, que muchosaños después serviría para definir al metro como la unidad de longitud.

En 1675 Cassini descubrió la división existente entre los anillos de Sat-urno, separación que en su honor lleva su nombre. Más tarde, descubriócuatro satélites de ese mismo planeta: Japeto, Rea, Tetis y Dione.

Como resultado de sus observaciones, en particular las que realizó del Sol,Cassini quedó ciego, al igual que Galileo.

Para rendir homenaje a Christiaan Huygens y a Giovanni DomenicoCassini, la NASA utilizó sus apellidos para nombrar a una misión que seacerca a Saturno.

Es el lugar geométrico de un punto el producto de cuyas distancias a dospuntos fijos F1, F2 es constante (c2).

Ecuaciones

La ecuación cartesiana de los óvalos de Cassini es:

(x2 + y2)2 − 2a2(x2 − y2) + a4 = c4

La ecuación polar de los óvalos de Cassini es:

r4 + a4 − 2r2a2 cos 2θ = c4

F1 = (−a, 0) F2 = (a, 0)

La forma de la curva depende de c/a. Si c < a la curva consta de doslazos. Si c > a la curva esta formada por un solo lazo. Cuando c = a la curvase vuelve la lemniscata de Bernoulli. El número de focos puede ser mayor ados. El lugar geométrico de un punto el producto de cuyas distancias a treso más puntos fijos es constante da lugar a otras curvas.

Propiedad de los óvalos de Cassini:

Si b−a es el radio interior de un toro cuyo círculo generador tiene radioa. La sección formada por un plano paralelo al eje del toro y que distaa unidades de el es un óvalo de Cassini. Si b = 2a este plano es unatangente interior a la superficie y la sección es una Lemniscata. Cortesarbitrarios del toro no son óvalos de Cassini. La intersección de un toroy un plano paralelo al eje del toro se llama sección spiric.


Figura 3.52: Tractriz

3.18. Tractriz

La tractriz surge del siguiente problema propuesto a Leibniz por el médicofrancés Claude Perrault (1613 -1688). ¿Cuál es la trayectoria de un objeto(P ) arrastrado por una cuerda de longitud constante (a) cuando el extremoque se jala (A) se mueve a lo largo de una recta horizontal (ver figura 3.52)?Leibniz encontró la curva usando el hecho de que el eje x es una asíntota ala tractriz ([14] pp. 221-224, [7] pp. 119-124, [4] p. 659, [9] p. 289, [3]).

Sin embargo, el problema fue resuelto primero y generalizado por Huygensen 1692, quien le dio el nombre de tractriz, y después por Leibniz, JohannBernoulli, Joseph Liouville (1809 -1882) y Eugenio Beltrami (1835 -1900). Latractriz es conocida también como curva equitangencial.

El nombre de tractriz viene del latín tractus que significa tirar, jalar,arrastrar.

En la figura 3.52 se observa que

dy

dx= − y

√a2 − y2

resolviendo esta ecuación tenemos

x = a ln

∣∣∣∣∣a+

√a2 − y2

y

∣∣∣∣∣−√a2 − y2 (3.7)

Si y = a cos t en 3.7, entonces

x = a ln(sec t+ tan t)− a sin t − π

2< t <

π

2

3.18. TRACTRIZ 87

Mientras que si y = a

cosh ta

en 3.7, entonces

x = t− a tanht

a

Ecuaciones

La ecuación cartesiana de la tractriz es:

x = a ln

(a+√a2−y2y

)−√a2 − y2

Las ecuaciones paramétricas de la tractriz son:

x = a ln(sec t+ tan t)− a sin t, y = a cos t o bienx = t− a tanh t

a, y = a

cosh ta

Como ya se dijo, la tractriz es la trayectoria de un objeto (P ) arrastradopor una cuerda de longitud constante (a) cuando el extremo que se jala (A)se mueve a lo largo de una recta horizontal (ver figura 3.52).

La tractriz también puede obtenerse como una involuta de la catenaria.Se pueden dibujar la tractriz y la catenaria de la siguiente manera: sobre

el eje de las x partiendo de x = 0 se marcan 20 puntos a distancia d entrecualesquiera dos de ellos (d = 5 milímetros o menos). Numerar estos puntos0, 1, 2, 3, ..., de derecha a izquierda. A través de los puntos 1, 3, 5, ...,dibujar rectas paralelas al eje y. Con los puntos 0, 2, 4, ..., como centrosdibujar cuartos de círculo de radio fijo 9d, como se muestra en la figura 3.53,en la recta vertical en 1 marcar P1 = 9d cosh

(19d9d

)(ordenada de la catenaria

correspondiente a la abscisa x = 19d), desde este punto dibujar las tangentesP1T0 y P1T2 a los círculos con centro en los puntos 0 y 2 respectivamente.Con P1 como centro, dibujar un arco de T0 a T2. Sea P3 el punto donde P1T2corta a la recta vertical en 3, desde este punto dibujar la tangente P3T4 alcírculo con centro en 4. Con centro en P3 dibujar un arco de T2 a T4. Sea P5el punto donde P3T4 corta a la recta vertical en 5, desde este punto dibujarla tangente P5T6 al círculo con centro en 6. Con centro en P5 dibujar un arcode T4 a T6; seguir así hasta terminar.

La curva que resulta de unir los arcos T0, T2, T4, T6, ...,forma aproxi-madamente la tractriz con parámetro a = 9d. Los puntos P1, P3, P5, ...,caenaproximadamente en la catenaria con parámetro a = 9d.


Figura 3.53: Tractriz y catenaria

Cabe señalar que en esta construcción de la tractriz y la catenaria P1T0 =P1T2, P3T2 = P3T4, ..., así T2 puede obtenerse como la intersección de latangente P1T2 con el círculo con centro en 2 ó como una de las interseccionesde círculo con centro en P1 y radio P1T0 con el círculo con centro en 2. Lomismo ocurre para cualquier Ti con i > 0.

La tractriz es la curva que corta en ángulo recto a todos los círculos deradio constante cuyos centros caen en una línea recta.

La superficie de revolución de la tractriz alrededor de su asíntota es lla-mada pseudoesfera en virtud de que si la longitud de la tangente es a (verfigura 3.52) el área de esta superficie de revolución coincide con el área dela esfera de radio a y su volumen es la mitad del volumen de dicha esfera.La pseudoesfera tiene una curvatura negativa constante, esta propiedad per-mitió a Bertrami en 1868 construir un modelo de geometría hiperbólica (noeuclidiana), en el que un “plano” es representado por su superficie.

La tractriz fue propuesta por Schiele como la forma ideal de un eje rotativoque mantiene la producción y distribuye uniformemente el gasto.

3.18. TRACTRIZ 89

Propiedades de la tractriz:

El eje x es una asíntota de la curva.

En la tractriz cualquier segmento tangente del punto de tangencia a laasíntota es de longitud constante.

La envoltura de las normales de la tractriz, es decir, la evoluta de latractriz es la catenaria.

Capítulo 4

Conclusiones

Los matemáticos de los siglos pasados fueron muy hábiles calculistas.Hubo integrales difíciles de calcular, como la que se requiere para calcular elárea de la superficie generada por la revolución de la cardioide respecto aleje x, en la que emplee Maple 9 y aún con estos recursos los resultados erandifíciles de interpretar.

Existen fórmulas para determinar la evoluta de una curva y varias in-terpretaciones para ésta. Sin embargo para la involuta, con excepción de lainvoluta de un círculo, no encontré una fórmula para calcularla. Todas lascurvas tienen una única evoluta. En cambio hay tantas involutas a una curvacomo puntos en ésta.

Maple 9 no gráfica lo que se espera en gráficas implícitas, es decir, lasgráficas implícitas de Maple 9 no siempre son correctas, por ejemplo en Maple9 se dio la siguiente instrucción:

> with(plots):

implicitplot(4*y^2-3*x^(2/3)+4*x^(8/3)=1,x=-1..1,y=-1..1,

scaling=constrained);

La ecuación dada corresponde a una nefroide, Maple dibujo poco menosde la mitad de la nefroide. Se pudo dibujar la nefroide completa después derealizar las operaciones necesarias para obtener las ecuaciones paramétricasde la misma, esto es, con las siguientes instrucciones Maple 9 dibujo completala nefroide:

> plot([(sin(t))^3,-cos(t)*(.5+(sin(t))^2),t=0..2*Pi],


Scientific WorkPlace en cambio no presenta problemas para graficar ecua-ciones implícitas. Asimismo, Maple 9 dibuja con huecos algunas gráficas en

91

92 CAPÍTULO 4. CONCLUSIONES

coordenadas polares que no debieran tener huecos, ejemplo:> with(plots):

polarplot(sqrt(2*cos(2*t)),t=-Pi..Pi);

La anterior es la ecuación polar de los óvalos de Cassini con parámetrosa = c = 1, por alguna razón que desconozco Maple 9 no dibuja la partecentral de la gráfica. La misma ecuación polar con t en el mismo intervalo devalores en Scientific WorkPlace traza la gráfica completa, sin huecos.

La inversa con respecto a un círculo tiene sentido sobre todo para lascurvas en coordenadas polares. Identificar quien es la inversa de una u otracurva en coordenadas polares es fácil.

Los libros que más se utilizaron para este trabajo fueron [14], [7] y [9]. Ellibro de consulta que menos me gustó fue el [6]. El estilo del libro que másme gustó fue el de [5].

La historia nunca me gusto, sin embargo, la historia de las matemáticasque he estudiado un poco a partir de este trabajo me parece muy interesante.

Este trabajo me llevó a aprender Scientific WorkPlace 4 y Maple 9. Comosiempre pasa en computación ahora me vendría bien aprender otro procesadorde texto, pero siempre es bueno aprender. He visto que ya hay otra versiónde Maple muy distinta de la versión 9, habrá que aprenderla.

Bibliografía

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93

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[15] Zárate Méndez Yassir. "Historia de la ciencia, Cassini y Huygens pio-neros de la observación de los anillos de saturno", en El faro, la luz dela ciencia Número 40. Ciudad Universitaria. 2004.

Se obtuvo información muy relevante para este trabajo principalmente detres sitios de la red de internet:

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves

http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCurves.html

http://www.2dcurves.com

En todos ellos aparecen las curvas de las que trata esta tesis. En el primerode estos sitios se encuentra además la biografía de muchos matemáticos.

Apéndice A

Código en Maple 9 de lasgráficas

Se presenta aquí el código en Maple 9 de las gráficas que se elaboraronen el Capítulo 3.

Figura 3.1, la astroide

> plot([(cos(t))^3,(sin(t))^3,t=0..2*Pi],x=-1.25..1.25,

y=-1.25..1.25,thickness=2);

Figura 3.2, dos formas de generar la astroide como hipocicloide

Se elaboraron animaciones en Maple 9 para visualizar la generación dehipocicloides y epicicloides. La astroide es un hipocicloide en el que el radiodel círculo que rueda es b = a

4o b = 3a

4y el radio del círculo fijo es a. El

comando para llevar a cabo una animación en Maple 9 es animated. Si entrelos parámetros de este comando se incluye la opción frame = n, el número deimágenes de la animación es n. Sin embargo, si no se incluye la opción frame,el número de imágenes de la animación es 25. El procedimiento hipoAnimaEj-eXporVertice(a,b) realiza las animaciones del hipocicloide, las cuales constande 25 imágenes. Las figuras 3.2 (A) y (B) son la imagen 22 ( theta = 5,4978 ytheta = 16,493 respectivamente) de las animaciones hipoAnimaEjeXporVer-tice(4,1) e hipoAnimaEjeXporVertice(4,3) respectivamente. A continuaciónse presenta el procedimiento (en Maple 9) hipoAnimaEjeXporVertice(a,b):

> hipoAnimaEjeXporVertice:=proc(a,b)

95

96 APÉNDICE A. CÓDIGO EN MAPLE 9 DE LAS GRÁFICAS

local p,x,y,curva,F;

if frac(a/b)<>0 then p:=b*2*Pi else p:=2*Pi end if:

x:=t->(a-b)*cos(t)+b*cos((a-b)*t/b):y:=t->(a-b)*sin(t)-b*sin((a-b)*t/b):with(plots):

curva:=plot([a*cos(t),a*sin(t),t=0..2*Pi],color=gray):

F:=proc(t)

plots[display](

plot([x,y,0..t],color=green),

plot([(a-b)*cos(t)+b*cos((a-b)*u/b),(a-b)*sin(t)+

-b*sin((a-b)*u/b),u=0..2*Pi*b/(a-b)],color=blue),

# ((a-b)*cos(t),(a-b)*sin(t)) coordenadas del

# centro del círculo que rueda

# (b*cos((a-b)*u/b),-b*sin((a-b)*u/b)) círculo de

# radio b que rueda sobre el círculo de radio a

pointplot([[(a-b)*cos(t)+b*cos((a-b)*t/b),

(a-b)*sin(t)-b*sin((a-b)*t/b)]],symbol=

circle,symbolsize=6,color=red));

end:

animate(F,[theta],theta=0..p,background=curva,


end;

Figura 3.4, la astroide como envoltura de elipses

> with(plots):

astroelip:=proc(n)

local j,grafo:

for j from 1 to n do

grafo[j]:=plot([.2*j*cos(t),(1-.2*j)*sin(t),t=0..2*Pi],

color=red):

od:

grafo[n+1]:=plot([(cos(t))**3,(sin(t))**3,t=0..2*Pi],

color=green):

display(seq(grafo[k],k=1..n+1));

end;

> astroelip(4);

97

Figura 3.5, evoluta de la astroide

> x:=t->a*(cos(t))^3; # Se dan las ecuaciones paramétricas

y:=t->a*(sin(t))^3; # de la curva

a:=1; # Se le asigna un valor al parámetro

> pdx:=D(x); # pdx = primera derivada de x

pdy:=D(y); # pdy = primera derivada de y

> sdx:=D(D(x)); # sdx = segunda derivada de x

sdy:=D(D(y)); # sdy = segunda derivada de y

> x2:=x-pdy*((pdx)^2+(pdy)^2)/(pdx*sdy-sdx*pdy);

y2:=y+pdx*((pdx)^2+(pdy)^2)/(pdx*sdy-sdx*pdy);

> with(plots):

g1:=plot([x(t),y(t),t=0..2*Pi],scaling=constrained):

# g1 es la gráfica de la curva

g2:=plot([x2(t),y2(t),t=0..2*Pi],color=blue):

# g2 es la gráfica de la evoluta de la curva g1

display([g1,g2]);

Figura 3.6, la astroide como envoltura de una barra que resbala

> for j from 1 to 4 do

indi[j]:=.2*j:

od:

indi[5]:=.9:

indi[6]:=.98:

with(plots):

for j from 1 to 6 do

grafo[j]:=plot(indi[j]*(1-x/sqrt(1-(indi[j])^2)),

x=0..sqrt(1-(indi[j])^2)):

grafo[6+j]:=plot(indi[j]*(-1+x/sqrt(1-(indi[j])^2)),

x=0..sqrt(1-(indi[j])^2)):

grafo[12+j]:=plot(indi[j]*(1+x/sqrt(1-(indi[j])^2)),

x=-sqrt(1-(indi[j])^2)..0):

grafo[18+j]:=plot(indi[j]*(-1-x/sqrt(1-(indi[j])^2)),

x=-sqrt(1-(indi[j])^2)..0):

od:

grafo[25]:=plot([(cos(t))^3,(sin(t))^3,t=0..2*Pi],

color=blue):


# grafo[25] es la gráfica de la astroide

display(seq(grafo[k],k=1..25));

Figura 3.8, bruja de Agnesi

> with(plots):

g1:=plot([2*tan(t),2*(cos(t))^2,t=-1.2..1.2]):

# g1 es la Bruja de Agnesi

g2:=plot([cos(t),1+sin(t),t=0..2*Pi]):

g3:=plot([x,2,x=-5..5]):

g4:=plot([x,2*x/3,x=0..3]):

g5:=plot([x,8/13,x=0.9231..5]):

g6:=plot([3,y,y=0..2],scaling=constrained):

g7:=plot([12*t/13,1-5*t/13,t=0..1]):

g8:=plot([t,1,t=0..1]):

g9:=plot([.2*cos(t),1+.2*sin(t),t=0..(2*Pi-arccos(12/13))]):

display([g1,g2,g3,g4,g5,g6,g7,g8,g9]);

Figura 3.9, dos formas de general a la cardioide

La figura 3.9 (A) es la imagen 37 (theta= 4.7124) de la animaciónepiAnimaEjeXporVertice(1,1). El siguiente es el procedimiento en Maple 9de epiAnimaEjeXporVertice(a,b).

> epiAnimaEjeXporVertice:=proc(a,b)

local p,x,y,curva,F;

if frac(a/b)<>0 then p:=b*2*Pi else p:=2*Pi end if:

x:=t->(a+b)*cos(t)-b*cos((a+b)*t/b):y:=t->(a+b)*sin(t)-b*sin((a+b)*t/b):with(plots):

curva:=plot([a*cos(t),a*sin(t),t=0..2*Pi],color=gray):

F:=proc(v)

plots[display](

plot([x,y,0..v],color=green),

plot([(a+b)*cos(v)-b*cos((a+b)*u/b),(a+b)*sin(v)-

b*sin((a+b)*u/b),u=0..2*Pi*b/(a+b)],color=blue),

pointplot([[(a+b)*cos(v)-b*cos((a+b)*v/b),

(a+b)*sin(v)-b*sin((a+b)*v/b)]],

symbol=circle,symbolsize=6,color=red));

99

end:

animate(F,[theta],theta=0..p,background=curva,

scaling=constrained,frames=49);

end;

La figura 3.9 (B) es la imagen 19 (theta=9.4248) de la animaciónhipoAnimaEjeXporVertice(1,2). El procedimiento correspondiente a esta an-imación se dio en la figura 3.2.

Figura 3.10, generación de cremona de la cardioide

> with(plots):

for i from 0 to 35 do

p[i]:=[cos(Pi*i/18),sin(Pi*i/18)]:

g[i]:=plot([p[i]],style=point):

od:

p[36]:=p[0]:

with(plottools,line):

inicio:=1:


g[35+i]:=line(p[inicio],p[inicio*2]);

inicio:=inicio*2;

od:

inicio:=3:


g[40+i]:=line(p[inicio],p[inicio*2]):

inicio:=inicio*2;

od:


g[43+i]:=line(p[5*i],p[10*i]):

g[45+i]:=line(p[7*i],p[14*i]):

g[47+i]:=line(p[9*i],p[18*i]):

od:


g[45+i]:=line(p[2*i+1],p[4*i+2]):

od:


p[i]:=[cos(-Pi*i/18),sin(-Pi*i/18)]:

od:


inicio:=1:


g[53+i]:=line(p[inicio],p[inicio*2]);

inicio:=inicio*2;

od:

inicio:=3:


g[58+i]:=line(p[inicio],p[inicio*2]):

inicio:=inicio*2;

od:


g[61+i]:=line(p[5*i],p[10*i]):

g[63+i]:=line(p[7*i],p[14*i]):

od:


g[62+i]:=line(p[2*i+1],p[4*i+2]):

od:

display(seq(g[k],k=0..70),axes=none);

Figura 3.11, la cardioide como envoltura de círculos

> with(plots):

g[9]:=plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi],color=blue):


r:=sqrt((cos(Pi*i/9)+1)^2+(sin(Pi*i/9))^2):

g[i]:=plot([r*cos(t)+cos(Pi*i/9),r*sin(t)+sin(Pi*i/9),

t=0..2*Pi]):

od:


r:=sqrt((cos(Pi*i/9)+1)^2+(sin(Pi*i/9))^2):

g[i]:=plot([r*cos(t)+cos(Pi*i/9),r*sin(t)+sin(Pi*i/9),

t=0..2*Pi]):

od:

display(seq(g[k],k=0..17),scaling=constrained);

Figura 3.12 evoluta de la cardioide

101

> # Se dan las ecuaciones paramétricas de la curva

> x:=t->2*a*cos(t)-a*cos(2*t);y:=t->2*a*sin(t)-a*sin(2*t);

# Se le asigna un valor al parámetro

a:=1;







> with(plots):

# Verificar el dominio del parámetro de curva y su evoluta


g2:=plot([x2(t),y2(t),t=0..2*Pi],color=blue): # Evoluta

display([g1,g2]);

Figura 3.15, la catenaria

> plot([x,cosh(x),x=-2..2],view=[-2.5..2.5,-1.5..4.5],


Figura 3.17, la cicloide

> with(plots):

g[1]:=plot([t-sin(t),1-cos(t),t=-2.3562..8.3776],

color=green):

g[2]:=plot([x,0,x=-2.3562..10],color=plum):

g[3]:=plot([8.3776-sin(t),1-cos(t),t=0..2*Pi],color=blue):

g[4]:=plot([8.3776-t*sin(8.3776),1-t*cos(8.3776),t=0..1],

color=black):

g[5]:=plot([[8.3776-sin(8.3776),1-cos(8.3776)]],

style=point,symbol=circle):

display(seq(g[k],k=1..5),axes=none,scaling=constrained);

Figura 3.18, cicloide acortada


> with(plots):

# g1 es la cicloide acortada

g1:=plot([2*t-sin(t),2-cos(t),t=Pi..5*Pi],color=green):

# g2 es el círculo que rueda

g2:=plot([2*(9.9377-sin(t)),2*(1-cos(t)),t=0..2*Pi]):

# g3 es el segmento que une el centro del círculo que

# rueda con el punto fijo

g3:=plot([2*9.9377-t*sin(9.9377),2-t*cos(9.9377),t=0..1],

color=blue):

# g4 punto fijo al círculo que rueda

g4:=plot([[2*9.9377-sin(9.9377),2-cos(9.9377)]],

style=point):

# g5 es la recta por la que rueda sin resbalar el círculo

g5:=plot([x,0,x=6.5..32]):

display([g1,g2,g3,g4,g5],scaling=constrained,axes=none);

Figura 3.19, cicloide alargada

> with(plots):

# g1 es la cicloide alargada

g1:=plot([2*t-3*sin(t),2-3*cos(t),t=Pi..5*Pi],

color=green):

# g2 es el círculo que rueda

g2:=plot([2*(9.9377-sin(t)),2*(1-cos(t)),t=0..2*Pi]):

# g3 es el segmento que une el centro del círculo que

# rueda con el punto fijo

g3:=plot([2*9.9377-3*t*sin(9.9377),2-3*t*cos(9.9377),

t=0..1],color=blue):

# g4 punto fijo al círculo que rueda

g4:=plot([[2*9.9377-3*sin(9.9377),2-3*cos(9.9377)]],

style=point):

# g5 es la recta por la que rueda sin resbalar el círculo

g5:=plot([x,0,x=6.5..32]):

display([g1,g2,g3,g4,g5],scaling=constrained,axes=none);

Figura 3.21, círculo

> plot([cos(x),sin(x),x=0..2*Pi],view=[-1.5..1.5,-1.5..1.5],

thickness=2);

103

Figura 3.22, punto en la cisoide de las dos curvas respecto al origen

> with(plots):

g[1]:=plot([[1-1/sqrt(2),1-1/sqrt(2)]],style=point,

color=blue):

g[2]:=plot([cos(t),sin(t),t=0.6109..0.9599]):

g[3]:=plot([x,(x-1)^2+1,x=0.8..1.2]):

g[4]:=plot([x,x,x=0..1.1]):

display(seq(g[k],k=1..4),axes=none,scaling=constrained);

Figura 3.23, cisoide generada por un círculo que se mueve a lo largo deuna recta

> with(plots):

g[1]:=plot([4*t^2/(1+t^2),4*t^3/(1+t^2),t=-1.1..2]):

g[2]:=plot([4,t,t=-2.4..6.5]):

g[3]:=plot([2+2*cos(t),3+2*sin(t),t=0..2*Pi]):

g[4]:=plot([4*t,3*t,t=0..1]):

g[5]:=plot([x,3,x=2..4]):


Figura 3.24, construcción de la cisoide dada por Diocles

> with(plots):

g[1]:=plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi]):

g[2]:=plot([x,(sin(3*Pi/8))*(x+1)/(cos(3*Pi/8)+1),

x=-1..0.8]):

g[3]:=plot([cos(5*Pi/8),y,y=-1.2..1.2]):

g[4]:=plot([x,sqrt(((x+1)^3)/(2-(x+1))),x=-1..0.1]):

g[5]:=plot([x,-sqrt(((x+1)^3)/(2-(x+1))),x=-1..0.1]):

g[6]:=plot([[cos(5*Pi/8),(sin(3*Pi/8))*(cos(5*Pi/8)+1)/

(cos(3*Pi/8)+1)]],style=point,color=blue):

g[7]:=plot([0,y,y=-1.2..1.2]):

g[8]:=plot([x,0,x=-1.2..1.4]):

display(seq(g[k],k=1..8),scaling=constrained,axes=none);

Figura 3.25, construcción de la cisoide dada por Newton


> with(plots):

g[1]:=plot([(2*t^2)/(1+t^2),(2*t^3)/(1+t^2),t=0..2]):

g[2]:=plot([1,t,t=0..3]):

g[3]:=plot([1+t*cos(Pi+2*arctan(3/4)),

1.5+t*sin(Pi+2*arctan(3/4)),t=0..2]):

g[4]:=plot([.44+1.44*t,-.42-.42*t,t=-2..0]):

g[5]:=plot([t,0,t=-2.5..1.5]):


Figura 3.26, construcción de la tangente a un punto P de la cisoide

> # Para la construcción de la tangente se emplea la

# construcción de la cisoide dada por Newton.

# En dicha construcción el punto medio del lado(coral

# cuyas ecuaciones paramétricas (x,y) se dan a

# continuación) traza la cisoide, en este caso el punto

# medio es P=(x(1),y(1))

x:=t->1+t*cos(Pi+2*arctan(3/4));y:=t->1.5+t*sin(Pi+2*arctan(3/4));evalf(x(1));

evalf(y(1));

> #Se calcula la intersección D de las normales verde y azul

solve((x+1)*sin(Pi+2*arctan(3/4))/cos(Pi+2*arctan(3/4))=

1.5,x);

> with(plots):

# g[1] rama de la cisoide

g[1]:=plot([x,sqrt((x^3)/(2-x)),x=0..1.7],color=violet):

# g[2] recta vertical que pasa por x=1

g[2]:=plot([1,t,t=0..3]):

# g[3] lado coral de la escuadra.

# El punto medio de éste traza la cisoide

g[3]:=plot([1+t*cos(Pi+2*arctan(3/4)),

1.5+t*sin(Pi+2*arctan(3/4)),t=0..2],

color=coral):

# g[4] lado azul claro de la escuadra

g[4]:=plot([.44+1.44*t,-.42-.42*t,t=-2..0],color=cyan):

# g[5] eje x

g[5]:=plot([t,0,t=-2.5..1.5]):

105

# g[6] normal al lado azul claro

g[6]:=plot([-1+t*cos(Pi+2*arctan(3/4)),

t*sin(Pi+2*arctan(3/4)),t=-2..0],color=blue):

# g[7] normal a la recta por la que se desliza lado coral

g[7]:=plot([t,1.5,t=-2..1],color=green):


# g[8] normal al punto P=(.72,.54) de la cisoide

g[8]:=line([-.5625,1.5],[.72,.54]):

# g[9] tangente al punto P=(.72,.54) de la cisoide

g[9]:=plot([.72+.96*t,.54+1.2825*t,t=-1..1],color=brown):


Figura 3.27, duplicación del cubo con ayuda de la cisoide de Diocles

> with(plots):

g[1]:=plot([(4*t^2)/(1+t^2),(4*t^3)/(1+t^2),t=-2..2]):

g[2]:=plot([2+2*cos(t),2*sin(t),t=0..2*Pi]):

g[3]:=plot([4,t,t=-6.5..6.5]):

g[4]:=plot([2,t,t=-6.5..6.5]):

g[5]:=plot([4-2*t,4*t,t=0..1.6]):

g[6]:=plot([2.454*t,3.0919*t,t=0..2]):


Figura 3.28, la deltoide como envoltura de las rectas de Simpson de untriángulo

> # g[1] dibuja un círculo de radio uno con centro en el

# origen.

# A, B y C son los vértices de un triángulo inscrito

# en el círculo de radio uno. En este caso particular

# los valores de A, B y C se dan a continuación,

# adecuadamente estos valores pueden modificarse.

# Se requiere que los lados del triángulo que se

# da no sean paralelos a los ejes coordenados.

A[1]:=cos(Pi/3);A[2]:=sin(Pi/3);

B[1]:=cos(3*Pi/4);B[2]:=sin(3*Pi/4);

C[1]:=0;C[2]:=-1;

> # P[1,1] punto en el círculo repecto al cual se


# determina una recta de Simpson correspondiente

# al triángulo dado.

theta:=arccos(A[1]);

P[1,1]:=cos(theta/2);P[1,2]:=sin(theta/2);

# Pendientes de las rectas AB, AC y BC.

mab:=(B[2]-A[2])/(B[1]-A[1]):

mac:=(C[2]-A[2])/(C[1]-A[1]):

mbc:=(C[2]-B[2])/(C[1]-B[1]):

# Ecuaciones de las rectas AB, AC y BC.

Rab:=x->A[2]+(x-A[1])*mab:Rac:=x->A[2]+(x-A[1])*mac:Rbc:=x->B[2]+(x-B[1])*mbc:

> # Ecuaciones de las rectas perpendiculares a los

# segmentos AB, AC y BC respectivamente que pasan

# por el punto P[1]=(P[1,1],P[1,2]).

Pab:=x->P[1,2]-(x-P[1,1])/mab:Pac:=x->P[1,2]-(x-P[1,1])/mac:Pbc:=x->P[1,2]-(x-P[1,1])/mbc:# Q1=(xq1,Rab(xq1))es el pie de la perpendicular de P

# al lado AB del triángulo.

xq1:=solve(A[2]+(x-A[1])*mab=P[1,2]-(x-P[1,1])/mab):

xiab:=min(A[1],B[1],xq1):

xfab:=max(A[1],B[1],xq1):

# Q2=(xq2,Rac(xq2)), Q3=(xq3,Rbc(xq3)) son los pies de

# las perpendiculares de P a los lados AC y BC del

# triángulo.

xq2:=solve(Rac(x)=Pac(x)):

xiac:=min(A[1],C[1],xq2):

xfac:=max(A[1],C[1],xq2):

xq3:=solve(Rbc(x)=Pbc(x)):

xibc:=min(B[1],C[1],xq3):

xfbc:=max(B[1],C[1],xq3):

> # Ecuación de la recta que pasa por Q1 y Q2.

RQ12:=x->Rab(xq1)+(x-xq1)*(Rac(xq2)-Rab(xq1))/(xq2-xq1):# RQ12(xq3)=Rbc(xq3), la aparente diferencia entre ellos

# se debe al "evalf". Que RQ12(xq3)=Rbc(xq3) significa que

# Q3 es colineal con Q1 y Q2.

evalf(RQ12(xq3));

107

evalf(Rbc(xq3));

> for i from 2 to 20 do

P[i,1]:=cos(theta/2+(i-1)*Pi/10);

P[i,2]:=sin(theta/2+(i-1)*Pi/10);

x1[i]:=solve(Rab(x)=P[i,2]-(x-P[i,1])/mab);

evalf( %);

x2[i]:=solve(Rac(x)=P[i,2]-(x-P[i,1])/mac);

# R[i] es la recta de Simpson del triángulo ABC con

# respecto al punto P[i]=[P[i,1],P[i,2]].

R[i]:=Rab(x1[i])+

(x-x1[i])*(Rac(x2[i])-Rab(x1[i]))/(x2[i]-x1[i]);

evalf(Rab(x1[i]));

evalf((Rac(x2[i])-Rab(x1[i]))/(x2[i]-x1[i]));

# g[i] dibuja la recta R[i].

g[i]:=plot([x,R[i](x),x=-2..2],x=-2..2,y=-2..2,

color=cyan):

od:

> # Círculo de los nueve puntos.

# E, F y G son los puntos medios de los lados del

# triángulo ABC.

E[1]:=(B[1]+C[1])/2:

E[2]:=(B[2]+C[2])/2:

F[1]:=(A[1]+C[1])/2:

F[2]:=(A[2]+C[2])/2:

G[1]:=(A[1]+B[1])/2:

G[2]:=(A[2]+B[2])/2:

# A continuación se determinan el centro y radio del

# círculo que pasa por E, F y G.

xpmgf:=(G[1]+F[1])/2:

ypmgf:=(G[2]+F[2])/2:

xpmef:=(E[1]+F[1])/2:

ypmef:=(E[2]+F[2])/2:

medgf:=x->ypmgf-(x-xpmgf)/mbc:medef:=x->ypmef-(x-xpmef)/mab:xcentro:=solve(medgf(x)=medef(x)):

radio:=sqrt((E[1]-xcentro)^2+(E[2]-medgf(xcentro))^2):

# A continuación se determinan J, K y L, los puntos de

# intersección de las alturas del triángulo ABC con los


# lados.

xj:=solve(Rab(x)=C[2]-(x-C[1])/mab):

xk:=solve(Rbc(x)=A[2]-(x-A[1])/mbc):

xl:=solve(Rac(x)=B[2]-(x-B[1])/mac):

# Se determinan H, M y N, los puntos medios de los

# segmentos que unen el ortocentro con los vértices

# del triángulo ABC.

xortocentro:=solve(C[2]-(x-C[1])/mab=A[2]-(x-A[1])/mbc):

yortocentro:=A[2]-(xortocentro-A[1])/mbc:

xh:=(xortocentro+A[1])/2:

yh:=(yortocentro+A[2])/2:

xm:=(xortocentro+B[1])/2:

ym:=(yortocentro+B[2])/2:

xn:=(xortocentro+C[1])/2:

yn:=(yortocentro+C[2])/2:

> with(plots):


# g[1] dibuja un círculo.


# g[21], g[22] y g[23] dibujan los segmentos AB, AC y BC.

# que incluyen respectivamente a Q1, Q2 y Q3.

g[21]:=line([xiab,Rab(xiab)],[xfab,Rab(xfab)]):

g[22]:=line([xiac,Rac(xiac)],[xfac,Rac(xfac)]):

g[23]:=line([xibc,Rbc(xibc)],[xfbc,Rbc(xfbc)]):

# g[24] dibuja los pies de las perpendiculares de P a los

# lados del triángulo, es decir, Q1, Q2 y Q3.

g[24]:=plot([[xq1,Rab(xq1)],[xq2,Rac(xq2)],[xq3,Rbc(xq3)]],

style=point):

# g[25], g[26] y g[27] dibujan los segmentos que unen

# Q1, Q2 y Q3 con P[1]=[P[1,1],P[1,2]].

g[25]:=line([P[1,1],P[1,2]],[xq1,Rab(xq1)]):

g[26]:=line([P[1,1],P[1,2]],[xq2,Rac(xq2)]):

g[27]:=line([P[1,1],P[1,2]],[xq3,Rbc(xq3)]):

# g[28] es la recta que pasa por Q1, Q2 y Q3.

g[28]:=plot([x,RQ12(x),x=-2..1]):

# g[29] dibuja los puntos medios de los lados del triangulo.

g[29]:=plot([[E[1],E[2]],[F[1],F[2]],[G[1],G[2]]],

style=point,color=blue):

109

# g[30] es el círculo de los nueve puntos.

g[30]:=plot([xcentro+radio*cos(t),medgf(xcentro)

+radio*sin(t),t=0..2*Pi]):

# g[31] J, K y L,puntos de intersección de las alturas con

# los lados de ABC.

g[31]:=plot([[xj,Rab(xj)],[xk,Rbc(xk)],[xl,Rac(xl)]],

style=point,color=coral):

# g[32] H, M y N, puntos medios de los segmentos que unen

# el ortocentro con los vértices de ABC.

g[32]:=plot([[xh,yh],[xm,ym],[xn,yn]],style=point,

color=violet):

# g[33] dibuja el círculo en el que esta contenida la

# deltoide.

g[33]:=plot([xcentro+3*radio*cos(t),medgf(xcentro)

+3*radio*sin(t),t=0..2*Pi]):


Figura 3.29, deltoide generada por rectas


P[i,1]:=cos(i*Pi/18);

P[i,2]:=sin(i*Pi/18);

od:


Q[i,1]:=cos(Pi-i*Pi/9);

Q[i,2]:=sin(Pi-i*Pi/9);

od:

> # Los puntos P y Q 6, 18 y 30 coinciden, por eso no se

# graficaron las rectas que los unen.

with(plots):


g[i]:=plot([x,P[i,2]+(x-P[i,1])*(Q[i,2]-P[i,2])/

(Q[i,1]-P[i,1]),x=-2..3.5]):

od:


g[i-1]:=plot([x,P[i,2]+(x-P[i,1])*(Q[i,2]-P[i,2])/

(Q[i,1]-P[i,1]),x=-2..3.5],x=-2.5..3.2,

y=-3.2..3.2):


od:



(Q[i,1]-P[i,1]),x=-2..3.5],x=-2.5..3.2,

y=-3.2..3.2):

od:



(Q[i,1]-P[i,1]),x=-2..3.5],x=-2.5..3.2,

y=-3.2..3.2):

od:



Figura 3.30, propiedades de la deltoide

> y1:=x->sqrt(-x^2-12*a*x-9*a^2+sqrt(4*a*(2*x+3*a)^3));y2:=x->-sqrt(-x^2-12*a*x-9*a^2+sqrt(4*a*(2*x+3*a)^3));y3:=x->sqrt(-x^2-12*a*x-9*a^2-sqrt(4*a*(2*x+3*a)^3));y4:=x->-sqrt(-x^2-12*a*x-9*a^2-sqrt(4*a*(2*x+3*a)^3));

> dy1:=D(y1);

dy2:=D(y2);

dy3:=D(y3);

dy4:=D(y4);

> a:=1;

# P=(1,y1(1))=(1,sqrt(10*sqrt(5)-22))

# dy1(1)=(-7+3*sqrt(5))/sqrt(10*sqrt(5)-22)

y1(1);

dy1(1);

> # La siguiente es la ecuación cartesiana de la

# tangente al punto P de la deltoide.

ytp:=x->sqrt(10*sqrt(5)-22)+(x-1)*dy1(1);> # E=(xe,y3(xe)) y H=(xh,y2(xh)) son las intersección de

# la tangente ytp con la deltoide.

xe:=solve(sqrt(10*sqrt(5)-22)+(x-1)*(-7+3*sqrt(5))/

sqrt(10*sqrt(5)-22)=

sqrt(-x^2-12*a*x-9*a^2-sqrt(4*a*(2*x+3*a)^3)));

xh:=solve(sqrt(10*sqrt(5)-22)+(x-1)*(-7+3*sqrt(5))/

111

sqrt(10*sqrt(5)-22)=

-sqrt(-x^2-12*a*x-9*a^2+sqrt(4*a*(2*x+3*a)^3)));

> # Ecuaciones de las tangentes a los puntos

# E y H de la deltoide

yte:=x->y3(xe)+(x-xe)*dy3(xe);yth:=x->y2(xh)+(x-xh)*dy2(xh);# El producto de las pendientes de yte y yth

# es igual a -1 (la aparente diferencia de

# este producto con -1 se debe al evalf), por

# lo que yte y ytp se encuentran en ángulo

# recto.

evalf(dy3(xe)*dy2(xh));

# K=(xk,yte(xk)) es el punto donde se intersectan

# yte y yth.

xk:=solve(yte(x)=yth(x)):

# La norma de K es uno (la aparente diferencia de

# de la norma de K con uno es por el evalf), lo que

# significa que K esta en el círculo que esta inscrito

# en la deltoide.

evalf(sqrt(xk^2+(yte(xk))^2));

> # ynE, ynH, ynP son las ecuaciones de las normales a los

# puntos de la deltoide E, H, P respectivamente.

ynE:=x->y3(xe)-(x-xe)/dy3(xe);ynH:=x->y2(xh)-(x-xh)/dy2(xh);ynP:=x->y1(1)-(x-1)/dy1(1);

> # Se verifica que las normales ynE, ynH, ynP son

# concurrentes, es decir, que se intersectan en

# C=(xc,yc) y que este punto esta en el círculo

# que contiene al tricúspide.La instrucción evalf

# origina aparentes pequeñas diferencias con respecto

# a los valores reales.

xc:=evalf(solve(ynE(x)=ynP(x),x));

yc:=evalf(ynP(xc));

evalf(ynE(xc));

evalf(ynH(xc));

sqrt(xc^2+yc^2);

> # Se verifica que la longitud de EH es 4a.

longitud:=evalf(sqrt((xh-xe)^2+(y2(xh)-y3(xe))^2));


> # D=(xd,yd) es el punto medio del segmento EH. Se verifica

# que D esta en el círculo que esta contenido en el del-

# toide. Se puede verificar que yd=sqrt(sqrt(5)/2-.5) y

# que D esta en el círculo de radio uno con centro en el

# origen.

xd:=(xe+xh)/2;yd:=ytp(xd);

evalf(sqrt(xd^2+yd^2));

> # J=(xj,ytp(xj)) es la intersección de la tangente ytp y

# el círculo que esta contenido en la deltoide. Sea rj la

# recta que pasa por J y es perpendicular a ytp, esta

# recta debe ser tangente a la deltoide. Como al determinar

# donde se intersectan rj y la deltoide se obtiene una

# única solución Q, rj resulta ser tangente a la deltoide.

# Otra forma de verificar que rj y la deltoide son tan-

# gentes es comprobar que la pendiente de rj es igual a

# la derivada de la deltoide valuada en Q.

S:=solve(sqrt(10*sqrt(5)-22)+(x-1)*(-7+3*sqrt(5))/

sqrt(10*sqrt(5)-22)=sqrt(1-x^2));

> xj:=sqrt(5)-2;

ytp(xj);

rj:=x->ytp(xj)-(x-xj)*sqrt(10*sqrt(5)-22)/(-7+3*sqrt(5));Q:=solve((14-6*sqrt(5))/sqrt(-22+10*sqrt(5))-

(x-(sqrt(5)-2))*sqrt(10*sqrt(5)-22)/(-7+3*sqrt(5))

=-sqrt(-x^2-12*a*x-9*a^2-sqrt(4*a*(2*x+3*a)^3)));

evalf(-sqrt(10*sqrt(5)-22)/(-7+3*sqrt(5)));

evalf(dy4(Q));

> with(plots):

g[1]:=plot([x,y1(x),x=-1.5..3],color=violet):

g[2]:=plot([x,y2(x),x=-1.5..3]):

g[3]:=plot([x,y3(x),x=-1.5..-1],color=blue):

g[4]:=plot([x,y4(x),x=-1.5..-1],color=green):

g[5]:=plot([x,ytp(x),x=-2..3]):

g[6]:=plot([x,ynE(x),x=-2..3]):

g[7]:=plot([x,ynH(x),x=1.6..3]):

g[8]:=plot([x,ynP(x),x=0..2.4]):

g[9]:=plot([3*cos(t),3*sin(t),t=0..2*Pi]):


g[11]:=plot([[xd,yd]],style=point,color=blue):

113

g[12]:=plot([x,rj(x),x=-2..1.5]):

g[13]:=plot([x,yte(x),x=-1.5..0],color=cyan):

g[14]:=plot([x,yth(x),x=-1..3],color=cyan):


Figura 3.31, evoluta de la deltoide

> # Se dan las ecuaciones paramétricas de la curva

> x:=t->2*a*cos(t)+a*cos(2*t);y:=t->2*a*sin(t)-a*sin(2*t);# Se le asigna un valor al parámetro

a:=1;







> with(plots):

# Verificar el dominio del parámetro de curva y su evoluta


g2:=plot([x2(t),y2(t),t=0..2*Pi],color=blue): # Evoluta

display([g1,g2]);

Figura 3.32, deltoide rotor

> with(plots):

g1:=plot([32*(cos(t))^3,32*(sin(t))^3,t=0..2*Pi],

thickness=2):

g2:=plot([8+16*cos(t)+8*cos(2*t),16*sin(t)-8*sin(2*t),

t=0..2*Pi]):

display([g1,g2]);

Figura 3.34, dos formas de generar una epicicloide

La figura 3.34 (A), epicicloide, es la imagen 45 (theta = 11.519) dela animación epiAnimaEjeXporVertice(3,2), cuyo procedimiento se dio en lafigura 3.9.

La figura 3.34 (B), generación doble de la epicicloide, es la imagen 23(theta = 28.798) de la animación hipoAnimaEjeXporVertice(3,5), el proced-imiento correspondiente se dio en la figura 3.2.


Figura 3.35, dos formas de generar una hipocicloide

La figura 3.35 (A), hipocicloide, es la imagen 24 (theta = 11.519) de laanimación hipoAnimaEjeXporVertice(7,2), cuyo procedimiento se dio en lafigura 3.9.

La figura 3.35 (B), generación doble de la hipocicloide, es la imagen 24(theta = 28.798) de la animación hipoAnimaEjeXporVertice(7,5), el proced-imiento correspondiente se dio en la figura 3.2.

Figura 3.36, una rama de la espiral de Arquímedes

> with(plots):

polarplot(2*t,t=0..18.85,scaling=constrained);

Figura 3.37, espiral de Arquímedes

> with(plots):

polarplot(t,t=-8..8,scaling=constrained);

Figura 3.39, espiral de Cornu

> x:=t->int(cos((v^2)/(2*a)),v=0..t);> y:=t->int(sin((v^2)/(2*a)),v=0..t);> a:=.2;

with(plots):

g1:=plot([x(t),y(t),t=0..2.45]):

g2:=plot([-x(t),-y(t),t=0..2.45]):

display([g1,g2],scaling=constrained);

Figura 3.40, espiral equiángular

> with(plots):

polarplot((exp(t*cot(5*Pi/12)))/144,t=0..15.708,


Figura 3.41, pentágono

115

> xintersec:=solve(sqrt(1-(x-1)^2)=

sqrt(((1+sqrt(5))/2)^2-x^2),x);

evalf( %);

yintersec:=sqrt(1-(xintersec-1)^2);

evalf( %);

y2:=yintersec+sqrt(1-(.5-xintersec)^2);

evalf( %);

> with(plots):


g1:=plot([x,0,x=0..1]):

g2:=plot([x,x/2,x=0..2]):

g3:=plot([1+cos(t),sin(t),t=0.4..Pi/2],color=green):

g4:=plot([(1+sqrt(5))*cos(t)/2,

(1+sqrt(5))*sin(t)/2,t=0.4..Pi/2],color=blue):

g5:=line([0,0],[xintersec,yintersec]):

g6:=line([1,0],[xintersec,yintersec]):

g7:=line([xintersec,yintersec],[0.5,y2]):

g8:=line([0.5,y2],[1-xintersec,yintersec]):

g9:=line([1-xintersec,yintersec],[0,0]):

g10:=plot([1,y,y=0..0.5]):

display([g1,g2,g3,g4,g5,g6,g7,g8,g9,g10],

scaling=constrained,axes=none);

Figura 3.43, espiral equiángular

> with(plots):

g1:=plot([(cos(t))*exp(t*cot(5*Pi/12)),

(sin(t))*exp(t*cot(5*Pi/12)),t=0..3*Pi]):

g2:=plot([t*(cos(7*Pi/3))*exp(7*Pi*cot(5*Pi/12)/3),

t*(sin(7*Pi/3))*exp(7*Pi*cot(5*Pi/12)/3),t=0..1]):

g3:=plot([(cos(7*Pi/3))*exp(7*Pi*cot(5*Pi/12)/3)+

t*cos(3*Pi/4),(sin(7*Pi/3))*exp(7*Pi*cot(5*Pi/12)/3)

+t*sin(3*Pi/4),t=-4..4]):

g4:=plot([(cos(7*Pi/3))*exp(7*Pi*cot(5*Pi/12)/3)+2*cos(t),

(sin(7*Pi/3))*exp(7*Pi*cot(5*Pi/12)/3)+2*sin(t),

t=4*Pi/3..7*Pi/4]):

g5:=plot([t*(cos(8*Pi/3))*exp(8*Pi*cot(5*Pi/12)/3),

t*(sin(8*Pi/3))*exp(8*Pi*cot(5*Pi/12)/3),t=0..1]):


g6:=plot([(cos(8*Pi/3))*exp(8*Pi*cot(5*Pi/12)/3)+

t*cos(Pi/12),(sin(8*Pi/3))*exp(8*Pi*cot(5*Pi/12)/3),

+t*sin(Pi/12)t=-4..4]):

g7:=plot([(cos(8*Pi/3))*exp(8*Pi*cot(5*Pi/12)/3)+2*cos(t),

(sin(8*Pi/3))*exp(8*Pi*cot(5*Pi/12)/3)+2*sin(t),

t=-Pi/3..Pi/12]):

display([g1,g2,g3,g4,g5,g6,g7],scaling=constrained);

Figura 3.44, espiral equiángular con longitud de los sucesivos radiovectores 0R0 = φ0, 0R1 = φ1, 0R2 = φ2,...

> # Las siguientes son las ecuaciones paramétricas de la

# espiral equiángular

x:=t->(cos(t))*exp(4*t/((1+sqrt(5))^2));y:=t->(sin(t))*exp(4*t/((1+sqrt(5))^2));

> # La ecuación polar de la espiral equiángular anterior

# es r=exp(4*t/((1+sqrt(5))^2))

tau:=(1+sqrt(5))/2;

t1:=solve(exp(4*t/((1+sqrt(5))^2))=tau);

t2:=solve(exp(4*t/((1+sqrt(5))^2))=tau^2);



> with(plots):


g1:=plot([x(t),y(t),t=0..t4]):

g2:=line([0,0],[x(t1),y(t1)]):

g3:=line([0,0],[x(t2),y(t2)]):

g4:=line([0,0],[x(t3),y(t3)]):

g5:=line([0,0],[x(t4),y(t4)]):

display([g1,g2,g3,g4,g5],scaling=constrained);

Figura 3.45, espiral equiángular derivada de un rectángulo áureo

> tau:=(1+sqrt(5))/2;

with(plots):


g1:=polarplot(exp(t*2*ln((1+sqrt(5))/2)/Pi),t=0..29*Pi/8):

g2:=line([1,tau],[-tau^2,tau]):

117

g3:=line([-tau^2,tau],[-tau^2,-tau^3]):

g4:=line([-tau^2,-tau^3],[1,-tau^3]):

g5:=line([1,-tau^3],[1,tau]):

g6:=line([tau^4,tau^5],[-tau^6,tau^5]):

g7:=line([-tau^6,tau^5],[-tau^6,-tau^7]):

g8:=line([-tau^6,-tau^7],[tau^4,-tau^7]):

g9:=line([tau^4,-tau^7],[tau^4,tau^5]):

display([g1,g2,g3,g4,g5,g6,g7,g8,g9],scaling=constrained);

Figura 3.46, inversa de la espiral equiangular

> with(plots):

g1:=polarplot(exp(-t*cot(5*Pi/12)),t=-Pi..5):

g2:=polarplot(exp(t*cot(5*Pi/12)),t=-5..Pi,color=green,

thickness=2):

g3:=polarplot(1,t=0..2*Pi,color=cyan):

display([g1,g2,g3]);

Figura 3.47, espiral de Fermat

> with(plots):

g1:=polarplot(t^.5,t=0..3*Pi):

g2:=polarplot(-(t^.5),t=0..3*Pi):


Figura 3.48, espiral hiperbólica o reciproca

> with(plots):

g1:=polarplot(2/t,t=-13*Pi/4..-Pi/4):

g2:=polarplot(2/t,t=Pi/4..13*Pi/4):


Figura 3.49, espiral hiperbólica y su asíntota

> r:=t->a/t;> a:=2;

> with(plots):

g1:=polarplot(r(t),t=-13*Pi/4..-0.55):

g2:=polarplot(r(t),t=0.55..13*Pi/4):

g3:=plot([t,a,t=-3.1..3.1]):

display([g1,g2,g3],scaling=constrained);


Figura 3.50, lituus

> with(plots):

g1:=plot([2*cos(t)/sqrt(t),2*sin(t)/sqrt(t),

t=Pi/36..21*Pi/4]):

g2:=plot([t*cos(Pi/6),t*sin(Pi/6),t=0..2/sqrt(Pi/6)]):

g3:=plot([(sqrt(24/Pi))*cos(t),(sqrt(24/Pi))*sin(t),

t=0..Pi/6]):

display([g1,g2,g3],scaling=constrained);

Figura 3.51, óvalos de Cassini

> with(plots):

# Cuando Maple gráfica g1 por alguna razón que

# desconozco no dibuja la parte central de la gráfica.

# La misma ecuación polar con t en el mismo intervalo

# de valores (t entre -Pi y Pi) en Scientific

# WorkPlace traza la gráfica completa.

g1:=polarplot(sqrt(2*cos(2*t)),t=-Pi..Pi):

# g2 es la gráfica de la ecuación polar de los ovalos de

# Cassini con parámetros a=1 y c=1.5

g2:=polarplot(sqrt(cos(2*t)+sqrt(1.5^4-1+(cos(2*t))^2)),

t=-Pi..Pi,color=violet):

# g3 es la gráfica de la ecuación polar de los ovalos de

# Cassini con a=1 y c=1.2

g3:=polarplot(sqrt(cos(2*t)+sqrt(1.2^4-1+(cos(2*t))^2)),

t=-Pi..Pi,color=cyan):

# g4 y g5 son las gráficas azul fuerte y verde

# respectivamente de la ecuación polar de los ovalos

# de Casini con parámetros a=1 y c=0.9, en Scientific

# WorkPlace, las mismas ecuaciónes

# con t en el mismo intervalo de valores da gráficas

# continuas, sin huecos.

g4:=polarplot(sqrt(cos(2*t)+sqrt(.9^4-1+(cos(2*t))^2)),

t=-Pi..Pi,color=blue):

g5:=polarplot(sqrt(cos(2*t)-sqrt(.9^4-1+(cos(2*t))^2)),

t=-Pi..Pi,color=green):

g6:=plot([[-1,0],[1,0]],style=point): # Focos

display([g1,g2,g3,g4,g5,g6],scaling=constrained);

119

Figura 3.52, tractriz

> x:=t->a*ln(sec(t)+tan(t))-a*sin(t);

y:=t->a*cos(t);

> a:=1;

x(1.1);y(1.1);

# Sabemos que la tangente a la tractriz en el punto

# P=(x(1.1),y(1.1))=(x(1.1),a*cos(1.1))

# tiene pendiente -y(1.1)/sqrt(a^2-((y(1.1))^2)

#

# y=a*cos(t) entonces sqrt(a^2-((y(1.1))^2)=a*sin(1.1)

#

# Así la tangente a la tractriz en el punto (x(1.1),y(1.1))

# tiene como vector de dirección a (a*sin(1.1),-a*cos(1.1)).

# El punto en donde la tangente corta el eje x es:

#

# A=(x’,0)=(x(1.1),a*cos(1.1))+t”(a*sin(1.1),-a*cos(1.1))

#

# De donde resulta que t”=1

#

# Q=(x(1.1),a*cos(1.1))+t’(a*sin(1.1),-a*cos(1.1))

# Q=(a*ln(sec(1.1)+tan(1.1)-a*sin(1.1)+t’*a*sin(1.1),

# a*cos(1.1)-t’*a*cos(1.1))

#

# Si t’=0, Q=P y si t’=1, Q=A. Así que si en la

# ecuación de la tangente t’ se mueve entre cero

# y uno dibujamos el segmento que va de P a Q

> with(plots):

g1:=plot([x(t),y(t),t=-1.4..1.4]):

g2:=plot([[x(1.1),y(1.1)]]):

g3:=plot([ln(sec(1.1)+tan(1.1))-sin(1.1)+t*sin(1.1),

cos(1.1)-t*cos(1.1),t=0..1]):

g4:=plot([x(1.1),y,y=0..y(1.1)]):

display([g1,g2,g3,g4],scaling=constrained);

Figura 3.53, tractriz y catenaria


> # rectas verticales


g[i]:=plot([.3+(i-1)*.6,x,x=0..12],scaling=constrained):

od:

> # cuartos de círculo


g[i+10]:=plot([1.8+(i-1)*.6+2.7*cos(t),2.7*sin(t),

t=Pi/2..Pi],scaling=constrained):

od:

> # de los siguientes dos círculos sólo se dibuja hasta

# donde cortan estos al eje y

g[19]:=plot([1.2+2.7*cos(t),2.7*sin(t),

t=Pi/2..arccos(-1.2/2.7)]):

g[20]:=plot([.6+2.7*cos(t),2.7*sin(t),

t=Pi/2..arccos(-.6/2.7)]):

> # P[1] es un punto de la catenaria con parámetro a=2.7

P[1]:=[5.7,2.7*cosh(5.7/2.7)]:

> # T[0] punto en que la recta P[1]T[0] es tangente al

# círculo con centro en el punto al que se nombro "0"

t0:=arccos(2.7/sqrt((.3)^2+(P[1][2])^2))+

arccos(-1/sqrt(1+(P[1][2]/.3)^2)):

T[0]:=[6+2.7*cos(t0),2.7*sin(t0)]:

> with(plottools,line):

g[21]:=line(P[1],T[0]):

g[22]:=line([-5.7,2.7*cosh(5.7/2.7)],

[-6-2.7*cos(t0),2.7*sin(t0)]):

> u[0]:=-arccos((T[0][1]-P[1][1])/sqrt((T[0][1]-P[1][1])^2+

(T[0][2]-P[1][2])^2)):


radio[i]:=sqrt((T[2*i][1]-P[2*i+1][1])^2+

(T[2*i][2]-P[2*i+1][2])^2):

f[i]:=x->P[2*i+1][2]-sqrt(radio[i]^2-(x-P[2*i+1][1])^2):h[i]:=x->sqrt(2.7^2-(x-5.4+.6*i)^2):S:=solve(sqrt(2.7^2-(x-5.4+.6*i)^2)=P[2*i+1][2]-

sqrt(radio[i]^2-(x-P[2*i+1][1])^2)):

if S[1]<S[2] then T[2*(i+1)][1]:=S[1];

else T[2*(i+1)][1]:=S[2] end if;

T[2*(i+1)][2]:=f[i](T[2*(i+1)][1]):

121

r[i]:=x->T[2*(i+1)][2]+(P[2*i+1][2]-T[2*(i+1)][2])*(x-T[2*(i+1)][1])/(P[2*i+1][1]-T[2*(i+1)][1]):

P[2*(i+1)+1][1]:=5.1-.6*i:

P[2*(i+1)+1][2]:=r[i](P[2*(i+1)+1][1]):

g[23+i]:=line([P[2*i+1][1],P[2*i+1][2]],

[T[2*(i+1)][1],T[2*(i+1)][2]]):

g[32+i]:=line([-P[2*i+1][1],P[2*i+1][2]],

[-T[2*(i+1)][1],T[2*(i+1)][2]]):

u[2*(i+1)]:=-arccos((T[2*(i+1)][1]-P[2*i+1][1])/radio[i]):

g[41+i]:=plot([P[2*i+1][1]+radio[i]*cos(t),P[2*i+1][2]+

radio[i]*sin(t),t=u[2*(i+1)]..u[2*i]]):

g[50+i]:=plot([-P[2*i+1][1]+radio[i]*cos(t),P[2*i+1][2]+

radio[i]*sin(t),t=Pi-u[2*i]..Pi-u[2*(i+1)]]):

od:

> with(plots):

display(seq(g[k],k=1..58));

Galer´ıa de curvas en el plano

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