TEOR´IA DEL CONSUMIDOR - WordPress.comTEOR´IA DEL CONSUMIDOR Adolfo Garc´ıa de la Sienra...

TEORIA DEL CONSUMIDOR

Adolfo Garcıa de la SienraInstituto de Filosofıa

Facultad de EconomıaUniversidad Veracruzana

[email protected]

1. Introduccion

La teorıa del consumidor es uno de los capıtulos mas completa y elegan-temente desarrollados de la economıa neoclasica. Se puede ver como unaespecializacion de la teorıa de la eleccion individual, por lo que es naturalpresentar su estructura logica en terminos de esta ultima. La meta de lateorıa de la demanda walrasiana, sin embargo, no es meramente teorizarsobre la conducta observada del consumidor individual, sino constituir unladrillo en el edificio de la teorıa del equilibrio general.

El primer objetivo de este texto es discutir la cuestion logica relativa alpapel del concepto de utilidad en la teorıa de la demanda walrasiana. ¿Esprescindible el concepto de utilidad? ¿Hay alguna ganancia cognitiva enla “racionalizacion” de la demanda mediante una relacion de preferenciarepresentable (mediante una funcion de utilidad)? ¿Por que no restringirel analisis de la demanda a la mera elaboracion de la funcion de demandawalrasiana?

Otro objetivo de este trabajo es precisamente el de discutir los proble-mas metodologicos relativos a la determinacion de funciones de utilidadque racionalicen la funcion de demanda walrasiana. Se vera, sin embargo,que la funcion de demanda walrasiana no es precisamente un mero repor-te de observaciones empıricas, sino que involucra ya un gran esfuerzo de“teorizacion”. Esto plantea un problema adicional: ¿como se transita deuna estructura de datos empıricos a una funcion de demanda walrasiana,la cual debe ser matematicamente “bien comportada”?

1

2 garcıa de la sienra

Empezare por hacer una presentacion completa y sistematica del con-cepto de demanda walrasiana para proceder a discutir, inmediatamente,el problema de construir funciones de demanda a partir de estructurasde datos empıricos. Llamare al problema de construir funciones de de-manda a partir de las estructuras de datos “el problema de la induccion”.Despues de esto procedere a discutir el problema del papel de la utilidady el significado de la racionalizacion de la demanda. Finalmente, discu-tire el problema de la determinacion de la funcion de utilidad. Veremosque este problema esta estrechamente relacionado con lo que Paul Sa-muelson popularizo como “el problema de la integrabilidad”.1

2. La teorıa clasica de la demanda

La teorıa clasica de la demanda pretende explicar el comportamiento delconsumidor, caracterizado por el aparato conceptual de la teorıa de laeleccion, mediante el concepto de preferencia: la asercion es que el con-sumidor demanda lo que demanda precisamente porque posee un ciertoordenamiento de preferencias que de hecho puede ser representado poruna cierta funcion de utilidad. La tcd genera, a partir de una estructurade preferencia, una serie de funciones. Dada una cierta clase de estruc-turas de preferencia —que aquı llamare ‘clasicas’— se procede a generarlas funciones de demanda walrasiana, indirecta de utilidad, de demandahicksiana y de gasto. El concepto de estructura de preferencia clasica esintroducida en la siguiente definicion.

Definicion 1. C es una estructura de preferencia clasica syss existe ≿ tal que

(0) C = ⟨Ω,≿⟩;

(1) C es una estructura de preferencia regular;

(2) ≿ es estrictamente convexa;

(3) ≿ es localmente insaciada;1 En “The Problem of Integrability in Utility Theory”. El problema ya habıa sido notadoen 1886 por G. B. Antonelli, en Sulla teoria matematica della economia politica, quien inclusoparece haber dado las condiciones de integrabilidad correctas.

teorıa del valor trabajo 3

(4) ≿ es suave.

Teorema 1. Sea C = ⟨Ω,≿⟩ una estructura de preferencia clasica. Entonces exis-te una funcion de utilidad u∶Ω → R que representa C y tiene las siguientes propie-dades:

(1) u es estrictamente cuasiconcava;

(2) u es continuamente diferenciable;

(3) u(0) = 0 y u(x) > 0 para todo x ≠ 0.

Demostracion: Los argumentos dados en el capıtulo anterior establecen laexistencia de una funcion de utilidad continuamente diferenciable. Parademostrar (1), sean x, x′ elementos arbitrarios de Ω con u(x) ≥ u(x′) yx ≠ x′, y sea α ∈ (0, 1). Tenemos que x ≿ x′ y x ≠ x′ lo cual implica, por laestricta convexidad de ≿, que αx+(1−α)x′ ≻ x′; luego, u[αx+(1−α)x′] >u(x′). ◻

Llamaremos normal a una funcion de utilidad que represente una es-tructura de preferencia clasica y que posea las propiedades enunciadas enel Teorema 1..

El problema de calcular el maximo de u para un (p, w) dado es lla-mado el problema del consumidor (pc) o el problema de la maximizacion de lautilidad (pmu). El problema de calcular el mınimo costo de alcanzar undeterminado nivel de utilidad para un sistema de precios p dado es lla-mado el problema de la minimizacion del gasto (pmg). De hecho cada uno deestos problemas es dual del otro. Estos problemas usualmente se atacanmediante el metodo de los multiplicadores de Lagrange.

Teorema 2. Sea C = ⟨Ω,@,µ⟩ la estructura de eleccion inducida por la estruc-tura de preferencia clasica ⟨Ω,≿⟩ y u∶Ω → R una funcion de utilidad normal querepresenta ⟨Ω,≿⟩. Para cada (p, w) ∈ Ω ×R+, la funcion de utilidad u alcanzaun maximo global en un unico punto µ(x) de Bp,w.

Demostracion: Para cualquier par (p, w), el conjunto Bp,w es compacto. Co-mo u es continua, el teorema de Weierstrass implica que u tiene un maxi-mo (de hecho, tambien un mınimo) en Bp,w. Si x es el punto en el que u


asume el maximo, tiene que ser unico. Pues de lo contrario, como Bp,w esconvexo, si x∗ fuera otra punto de Bp,w con u(x∗) = u(x), la combinacionconvexa αx + (1−α)x∗ estarıa en Bp,w y serıa estrictamente mas preferidaque x, debido a la convexidad estricta de ≿, lo cual es imposible. ◻

Definicion 2. La funcion µ ∶ Ω ×R+ → Ω, que asigna a cada (p, w) ∈Ω ×R+ el unico punto de Bp,w en el que u asume el maximo valor, esllamada la funcion de demanda walrasiana.

Teorema 3. La funcion de demanda walrasiana µ es homogenea de grado cero.

Demostracion: Esto se sigue del hecho de que

px ≤ w⇔ αpx ≤ αw.

para α > 0. Es decir, Bp,w = Bαp,αw. ◻

Teorema 4. (Ley de Walras) La funcion de demanda walrasiana µ satisfacela Ley de Walras.

Demostracion: Se requiere demostrar que el punto x en el que u asumeel valor maximo en Bp,w pertenece al hiperplano x ∈ Ω ∣px = w. Six ∉ x ∈ Ω ∣px = w hay una bola abierta V de x y un punto x′ ∈ V ∩Bp,w

tal que x′ ≻ x. Pero ello es imposible porque x es optimo en Bp,w. ◻

Lema 1. La funcion de demanda walrasiana µ es continua.

Demostracion: Es menester mostrar que, para cualquier sistema (p, w), vec-tor infinitesimal ε ∈ *Ω y numero infinitesimal positivo ε,

µ(p + ε, w + ε) ≃ µ(p, w).

Para ello procedere del siguiente modo. Siendo p′ = p + ε y w′ = w + ε,mostrare primeramente que hay puntos (no estandar) sobre el hiperplanopresupuestal de Bp′ ,w′ infinitamente cerca de x = µ(p, w). En segundo lu-gar, y de manera analoga, mostrare que hay puntos (estandar) sobre elhiperplano presupuestal de Bp,w infinitamente cerca de x′ = µ(p′, w′). La


continuidad de u implicara que x′ ∈ hal(x), pues de lo contrario habrıanmenus x (estandar) en el hiperplano de Bp,w y x′ (no estandar) en el deBp′ ,w′ tales que x′ ≃ x y x ≃ x′, en cuyo caso tendrıamos que la diferen-cia u(x) − u(x) es positiva y apreciable (porque x ≻ x), de modo que ladiferencia u(x′)− u(x′) tambien lo es, lo cual es imposible porque x′ ≻ x′.

Teorema 5. La funcion de demanda walrasiana µ es continuamente diferencia-ble.

Definicion 3. La funcion indirecta de utilidad es la aplicacion v∶Ω ×R+ → Rque asigna a cada (p, w) el maximo u(x) de u en Bp,w.

Teorema 6. La funcion indirecta de utilidad v tiene las siguientes propiedades:

(1) v es homogenea de grado cero;

(2) v es estrictamente creciente en w y no creciente en pl para todo l;

(3) v es cuasiconvexa;

(4) v es continuamente diferenciable en p y w.

Demostracion: (1) Si α es un numero real positivo, la desigualdad ‘px ≤ w’es equivalente a ‘αpx ≤ αw’, de modo que el conjunto presupuestal Bp,w

es identico a Bαp,αw y el optimo de Bp,w es identico al de Bαp,αw. Pero estosignifica que v(p, w) = v(αp,αw).

(2) Si w′ > w, Bp,w es un subconjunto propio de Bp,w′ y sus correspon-dientes hiperplanos presupuestales no se intersectan, de modo que eloptimo de Bp,w′ es estrictamente preferido al de Bp,w; pero esto signifi-ca que v(p, w) > v(p, w′). Si pl > p′l, Bp′ ,w es un subconjunto propio de Bp,w,donde p′ es identico a p excepto posiblemente en la coordenada l, dondeaparece el precio p′l. Como el hiperplano de Bp′ ,w puede tener elementosen comun con el de Bp,w, el optimo puede ser el mismo en ambos conjun-tos pero tambien es posible que el optimo del segundo sea estrictamentepreferido al del primero, lo cual significa que v(p′, w) ≤ v(p, w).


(3) Es menester demostrar que si v(p, w) ≤ v, v(p′, w′) ≤ v y α ∈ [0, 1]entonces

v[α(p, w)+ (1−α)(p′, w′)] ≤ v.

Para cualquier menu x ∈ Ω, si x no esta en ninguno de los conjuntospresupuestales Bp,w y Bp′ ,w′ , tampoco esta en el conjunto Bα(p,w)+(1−α)(p′ ,w′).En efecto, px > w y p′x > w′ implican

[αp + (1−α)p′]x = αpx + (1−α)p′x > αw + (1−α)w′.

Luego, el optimo de Bα(p,w)+(1−α)(p′ ,w′) tiene que pertenecer a Bp,w o a Bp′ ,w′ .En el primer caso,

v[α(p, w)+ (1−α)(p′, w′)] ≤ v(p, w) ≤ v;

en el segundo,

v[α(p, w)+ (1−α)(p′, w′)] ≤ v(p′, w′) ≤ v.

(4) Para demostrar que v es continuamente diferenciable en p y w, ob-servemos que v es la composicion u µ de las funciones de utilidad y dedemanda walrasiana. Como ambas funciones son continuamente diferen-ciables, la regla de la cadena implica que v es continuamente diferencia-ble. En efecto,

Jv,(p,w) = Ju,µ(p,w) ⋅ Jµ,(p,w). ◻

Teorema 7. Para cada (p, u) ∈ Ω ×u(Ω), la funcion ψ∶Ω → R tal que ψ(x) =px tiene un mınimo w precisamente en un punto de K = x ∈ Ω ∣u(x) ≥ u.

Demostracion: Sea c un nivel de precios tal que px = c para algun x ∈ K. Sic ≤ ψ(x) para todo x ∈ X, c es el mınimo buscado. Si no, el conjunto

C = x ∈ K ∣ψ(x) ≤ c = Bp,c ∩K

es compacto. Por el Teorema de Weierstrass, ψ tiene un mınimo global wen un punto x de C.


Cualquier punto de K que minimice la funcion ψ tiene utilidad u. Enefecto, por definicion, px = w y la utilidad de x tiene que ser u. Puessupongase que u(x) > u y considerese el segmento X = x ∈ Ω ∣x = αx, 0 ≤α ≤ 1. Como X es compacto y u es continua, u(X) es un intervalo cerrado,con extremos u(0) y u(x), esto es, u(X) = [u(0), u(x)]. Por lo tanto, existeun punto x0 ∈ X tal que u(x0) = u; esto es, existe un α ∈ [0, u(x)) tal queu(αx) = u. Pero entonces px0 = αpx < w, contradiciendo el hecho de quepx ≤ px para todo x ∈ K.

Se sigue que hay un unico punto x ∈ K que minimiza ψ. Pues, si x′ fueraotro punto tal, la combinacion convexa αx+ (1−α)x′ tambien lo serıa, locual implica que u[αx + (1 − α)x′] = u, contradiciendo el hecho de queu[αx + (1−α)x′] > u(x). ◻

Definicion 4. La funcion de gasto es la aplicacion e ∶Ω × u(Ω) → R queasigna a cada (p, u) el mınimo de ψ en x ∈ Ω ∣u(x) ≥ u.

Teorema 8. La funcion de gasto e tiene las siguientes propiedades:

(1) e es homogenea de grado uno en p;

(2) e estrictamente creciente en u y no decreciente en pl para todo l;

(3) e es concava en p;

(4) e es continuamente diferenciable en p y u.

Definicion 5. La funcion de demanda hicksiana es la aplicacion h ∶ Ω ×u(Ω)→ 3(R) que asigna a cada (p, u) el vector optimo del PMG.

Teorema 9. La funcion de demanda hicksiana h tiene las siguientes propiedadespara todo (p, u) ∈ Ω × u(Ω):

(1) h es homogenea de grado cero en p;

(2) h es estrictamente creciente en u y no decreciente en pl para todo l;

(3) hay precisamente un elemento en h(p, u), de modo que h es una funcion.

(4) ph(p, u) = w;


Teorema 10. La funcion de demanda hicksiana satisface la ley compensada dela demanda; e.e.

(p′′ − p′) ⋅ [h(p′′, u)− h(p′, u)] ≤ 0.

Teorema 11. Para cada (p, u), la funcion de demanda hicksiana es el vector dederivadas de la funcion de gasto con respecto a los precios

h(p, u) = ∇pe(p, u).

Demostracion: Sea K el conjunto x ∈ Ω ∣u(x) ≥ u. Como K es convexo ycerrado, y hemos demostrado (Teorema 7.) que y la funcion soporte deK, e(p, u), es diferenciable con respecto a p , existe un unico punto x ∈ Ktal que p la caracterıstica de que ∇e(p, u) = x, donde es el unico punto talque

Esto es una consecuencia del teorema de dualidad, donde

Teorema 12. La funcion de demanda hicksiana h(⋅, u) satisface las siguientesidentidades:

(1) Dph(p, u) = D2pe(p, u);

(2) Dph(p, u) es semidefinida negativa;

(3) Dph(p, u) es simetrica;

(4) Dph(p, u)p = 0.

Teorema 13. (Ecuacion de Slutsky) Para todo (p, w) y u = v(p, w):

∂hl(p, u)∂pk

= ∂µl(p, w)∂pk

+ ∂µl(p, w)∂w

µk(p, w).

De manera compacta,

Dph(p, u) = Dpµ(p, w)+Dwµ(p, w)µ(p, w)t.

Teorema 14. (Identidad de Roy)

x(p, w) = − 1∇wv(p, w)∇pv(p, w).


3. El modelo Cobb-Douglas

Si adoptamos la funcion de utilidad Cobb-Douglas sobre el ortante de unespacio especıfico obtenemos un modelo especıfico de la TCD. Aquı desa-rrollaremos el modelo para L = 2. Es interesante observar que la funcionCobb-Douglas satisface las propiedades enunciadas en el Teorema 1. ypor lo tanto representa una relacion de preferencia clasica. En la cons-truccion de cualquier modelo se requiere obtener las siguientes funcio-nes:

(1) La funcion µ de demanda walrasiana, la cual asigna a cada siste-ma de precios-riqueza (p1, p2, w) el menu de consumo (x1, x2) =µ(p1, p2, w) que maximiza la utilidad del agente bajo ese sistema.Esta funcion se obtiene resolviendo el PMU.

(2) La funcion indirecta de utilidad v, la cual asigna a cada (p1, p2, w)la utilidad maxima que el consumidor puede alcanzar en esa si-tuacion; es decir, la utilidad que le brinda su consumo optimo:v(p1, p2, w) = u[µ(p1, p2, w)].

(3) La funcion de demanda hicksiana h, la cual asigna a cada vec-tor (p1, p2, u), donde u es un nivel de utilidad determinado, elmenu de consumo (x1, x2) que minimiza el costo de alcanzar elnivel de utilidad u: h(p1, p2, u) = (x, y). Esta funcion se obtieneresolviendo el pmg.

(4) La funcion de gasto e, la cual asigna a cada (p1, p2, u), donde u esun nivel de utilidad determinado, el costo mınimo de alcanzar elnivel de utilidad u: e(p1, p2, u) = p1 x1 + p2 x2 = ph(p1, p2, u). Debeverificarse que e(p1, p2,µ(p1, p2, w)) = w.

Ası, para un consumidor con una funcion Cobb-Douglas se requiereresolver el PMU, el PMG y determinar las funciones siguientes:

(1) La funcion de demanda walrasiana µ(p1, p2, w);

(2) la funcion de utilidad indirecta v(p1, p2, w);

(3) la funcion de demanda hicksiana h(p1, p2, u);


(4) la funcion de gasto e(p1, p2, u)

Una vez hecho esto, hay que hacer lo siguiente:

(5) Demostrar que

e(p1, p2, v(p1, p2, w)) = w y v(p1, p2, e(p1, p2, u)) = u.

(6) Demostrar que

∇(p1 ,p2)e(p1, p2, u) = h(p1, p2, u).

(7) Demostrar que las funciones satisfacen la ecuacion de Slutsky:

Dph(p, u) = Dpµ(p, w)+ [µ1(p, w)Dwµ(p, w)⋯µL(p, w)Dwµ(p, w)] .

(8) Demostrar que satisfacen la Identidad de Roy:

µ(p, w) = − 1∇wv(p, w)∇pv(p, w).

Se procede primero a resolver el PMU:

Maximizar xα1 x1−α2

sujeto a p1x1 + p2x2 = w

Para ello, comenzamos por formular el lagrangiano:

L(x1, x2,λ) = xα1 x1−α2 + λ[w − p1x1 − p2x2].

Derivando L con respecto a x1, x2 y λ, e igualando las derivadas a cero,obtenemos las condiciones de primer orden:

αxα−11 x1−α

2 − λp1 = 0 (1)

(1−α)xα1 x−α2 − λp2 = 0 (2)

w − p1x1 − p2x2 = 0. (3)


Despejando λ en (1) y (2), obtenemos

λ = p−11 αxα−1

1 x1−α2 (4)

y

λ = p−12 (1−α)xα1 x−α2 (5)

Ası,

p−11 αxα−1

1 x1−α2 = p−1

2 (1−α)xα1 x−α2 . (6)

Para separar variables, multiplicamos ambos lados de (6) por xα2 y obte-nemos

p−11 αxα−1

1 x2 = p−12 (1−α)xα1 . (7)

Multiplicando ahora ambos lados de (7) por x1−α1 ,

p−11 αx2 = p−1

2 (1−α)x1. (8)

Despejando x2, obtenemos

x2 = p1α−1p−1

2 (1−α)x1. (9)

Al sustituir la parte derecha de (9) por x2 en la tercera condicion, obtene-mos:

w = p1x1 + p2p1α−1p−1

2 (1−α)x1

= p1x1 + p1α−1(1−α)x1

= p1 [x1 +α−1(1−α)x1]= p1 [1+α−1(1−α)] x1

= p1α−1x1.

Luego, x1 = αp−11 w y, sustituyendo x con x en la ecuacion (9), obtenemos

x2 = p1α−1p−1

2 (1−α)αp−11 w

= (1−α)p−12 w.


Por lo tanto, la funcion de demanda walrasiana es

µ(p1, p2, w) = [ αp−11 w

(1−α)p−12 w

] (10)

La funcion de utilidad indirecta se calcula ası:

v(p1, p2, w) = u [µ(p1, p2, w)]

= [αp−11 w]α [(1−α)p−1

2 w]1−α

= ααp−α1 wα(1−α)1−αpα−12 w1−α

= αα(1−α)1−αp−α1 pα−12 w

Procedemos ahora a resolver el PMG para determinar la funcion dedemanda hicksiana. El problema es

Minimizar(x1,x2)≧0 p1x1 + p2x2

sujeto a xα1 x1−α2 = u

Nuevamente, procedemos a traves de la introduccion de un lagran-giano.

L(x1, x2,λ) = −p1x1 − p2x2 + λ[u − xα1 x1−α2 ]

con condiciones de primer orden

∂L∂x1

= −p1 − λαxα−11 x1−α

2 = 0 (11)

∂L∂x2

= −p2 − λ(1−α)xα1 x−α2 = 0 (12)

∂L∂λ

= u − xα1 x1−α2 = 0. (13)

Despejando λ dos veces e igualando,

−p1α−1x1−α

1 xα−12 = −p2(1−α)−1x−α1 xα2 .


Multiplicando por −xα1 x1−α2

p1α−1x1−α

1 xα1 xα−12 x1−α

2 = p2(1−α)−1x−α1 xα1 xα2 x1−α2

p1α−1x1 = p2(1−α)−1x2

Despejando x2,

x2 = α−1(1−α)p1p−12 x1.

Sustituyendo en la condicion 3,

xα1[α−1(1−α)p1p−12 x1]1−α = u,

de donde

x1[α−1(1−α)p1p−12 ]1−α = u

y ası,

x1 = [p1p−12 (1−α)]α−1α1−αu.

Sustituyendo en (2), y haciendo algunas transformaciones algebraicas,

x2 = [p1p−12 (1−α)]αα−αu.

La resolucion del PMG establece que la funcion de demanda hicksianaes

h(p1, p2, u) = [α1−α(1−α)α−1pα−1

1 p1−α2 u

α−α(1−α)αpα1 p−α2 u] (14)

La funcion de gasto es

e(p1, p2, u) = α−α(1−α)α−1pα1 p1−α2 u, (15)


pues

α1−α(1−α)α−1 +α−α(1−α)α = α1−α(1−α)α(1−α)−1

+α−α(1−α)α

= [α1−α(1−α)−1 +α−α] (1−α)α

= α−α [α(1−α)−1 + 1] (1−α)α

= α−α [α(1−α)−1 + (1−α)(1−α)−1] (1−α)α

= α−α [α + (1−α)] (1−α)−1(1−α)α

= α−α [α + (1−α)] (1−α)α−1

= α−α(1−α)α−1

Por lo tanto,

∂e∂p1

= α1−α(1−α)α−1pα−11 p1−α

2 u (16)

∂e∂p2

= α−α(1−α)αpα1 p−α2 u. (17)

Las ecuaciones (13) y (14) implican que

∇(p1 ,p2)e(p1, p2, u) = h(p1, p2, u) (18)

Para demostrar que la funcion Cobb-Douglas satisface la Ecuacion deSlutsky, observemos que

D(p1 ,p2)h(p1, p2, u) = [−α

1−α(1−α)αp1α−2p2

1−αu α1−α(1−α)αp1α−1p2

−αuα1−α(1−α)αp1

α−1p2−αu −α1−α(1−α)αp1

αp2−(α+1)u

]

donde u es el maximo nivel de utilidad bajo la situacion (p1, p2, w); esdecir, u = v(p1, p2, w). Ahora bien,

−α1−α(1−α)αp1α − 2p21−αu = −α1−α(1−α)αp1

α−2p21−α⋅

⋅αα(1−α)1−αp1−αp2

α−1w

= α(α − 1)p1−2w


α1−α(1−α)αp1α−1p2

−αu = α1−α(1−α)αp1α−1p2

−ααα(1−α)1−αp1−αp2

α−1w

= α(1−α)p−11 p−1

2 w

α1−α(1−α)αp1α−1p2

−αu = α1−α(1−α)αp1α−1p2

−ααα(1−α)1−αp1−αp2

α−1w

= α(1−α)p−11 p−1

2 w

−α1−α(1−α)αp1αp2

−(α+1)u = −α1−α(1−α)αp1αp2

−(α+1)⋅⋅αα(1−α)1−αp1

−αp2α−1w

= α(α − 1)p2−2w

De manera que

D(p1 ,p2)h(p1, p2, u) = [ α(α − 1)p1

−2w α(1−α)p−11 p−1

2 wα(1−α)p−1

1 p−12 w α(α − 1)p2

−2w] .

Por otra parte,

D(p1 ,p2)µ(p1, p2, w) = [−αp1

−2w 00 (α − 1)p2

−2w] .

Ademas,

Dwµ(p, q, w) = [ αp−11

(1−α)p−12

] .

Ası,

Dpµ(p, w)+ [µ1(p, w)Dwµ(p, w) µ2(p, w)Dwµ(p, w)] =

= [−αp1−2w 0

0 (α − 1)p2−2w

]+ [ α2p1−2w α(1−α)p−1

1 p−12 w

α(1−α)p−11 p−1

2 w (1−α)2p2−2w

] =

= [ α(α − 1)p1−2w α(1−α)p−1

1 p−12 w

α(1−α)p−11 p−1

2 w α(α − 1)p2−2w

] =

= D(p1 ,p2)h(p1, p2, u)


Finalmente, para verificar que la funcion satisface la Identidad de Roy,notemos que

1∇wv(p1, p2, w) = α−α(1−α)α−1p1

αp21−α

Ademas,

∇pv(p1, p2, w) = [−αα+1(1−α)1−αp1

−(α+1)p2α−1w

−αα(1−α)2−αp1−αp2

α−2w]

Una par de sencillas multiplicaciones muestra que

µ(p1, p2, w) = − 1∇wv(p1, p2, w)∇(p1 ,p2)

v(p1, p2, w).

4. Desarrollo de la teorıa

Suponiendo que hemos resuelto el problema del consumidor, y que con-tamos con las funciones de demanda walrasiana y hicksiana, podemosdesarrollar ulteriormente la teorıa del consumidor haciendo uso de talesnociones. Empecemos con una definicion.

Definicion 6. Sea µ ∶Ω ×R+ → Ω una funcion de demanda walrasiana.Entonces(1) Si p es un vector de precios fijo, la funcion Ep ∶R+ → Ω, que

asigna a cada cantidad de dinero w el menu µ(p, w), es llamadala funcion de Engel o trayectoria de expansion de la riqueza.

(2) El efecto riqueza para el bien l en el punto (p, w) es

∂µl

∂w(p, w).

(3) Se dice que l es un bien normal en (p, w) syss [∂µl/∂w](p, w) ≥ 0;es decir, si el efecto riqueza para l es no negativo en (p, w).

(4) Se dice que l es inferior en (p, w) syss no es normal en (p, w).

(5) Se dice que la (funcion de) demanda µ es normal syss todo bienes normal en todo (p, w).


(6) El efecto precio sobre la demanda de l del precio pk del bien k enel punto (p, w) es

∂µl

∂pk

(p, w).

(7) Se dice que l es un bien de Giffen syss [∂µl/∂pk](p, w) > 0; es decir,si su efecto precio es positivo en todo (p, w).

El efecto riqueza para el bien l en el punto (p, w) es la tasa de cambiode la demanda de ese bien con respecto a la riqueza en el punto y expresacuantas unidades del bien l estarıa dispuesto a adquirir el consumidor enla situacion (p, w) si aumentase su riqueza en una unidad. Analogamen-te, el efecto del precio de k sobre l en (p, w) es la tasa de cambio de lademanda del bien l con respecto al precio del bien k y expresa cuantasunidades del bien l estarıa dispuesto a adquirir el consumidor si aumen-tase el precio de k en una unidad. Los efectos riqueza y precio puedenser recogidos convenientemente en sendas matrices, la matriz de efectosriqueza

Dw(p, w) ≡

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

∂µ1

∂w(p, w)⋮

∂µL

∂w(p, w)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

y la matriz de efectos precio

Dp(p, w) ≡

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

∂µ1

∂p1

(p, w) ⋯ ∂µ1

∂pL

(p, w)

⋮ ⋱ ⋮∂µL

∂p1

(p, w) ⋯ ∂µL

∂pL

(p, w)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Las expresiones

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

∂µl

∂w(p, w)

⎤⎥⎥⎥⎥⎦⋅w

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

∂µl

∂pk

(p, w)⎤⎥⎥⎥⎥⎦⋅ pk


expresan, respectivamente, la cantidad de bien l que el agente estarıadispuesto a consumir si aplicara toda su riqueza ese bien, y la cantidad debien l que estarıa dispuesto a consumir si el precio del bien l aumentarapk unidades. Por ejemplo, considerese la funcion de demanda

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

p1

p2

p3

w

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

z→

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

p1

p1 + p2 + p3

⋅ wp1

p3

p1 + p2 + p3

⋅ wp2

p1

p1 + p2 + p3

⋅ wp3

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(19)

donde los bienes 1, 2 y 3 son, respectivamente, frijoles, tortilla y chile.Si el salario del agente es de $800 mensuales, los precios unitarios delos bienes son de $3, $4 y $3 respectivamente, y (p, w) = (3, 4, 3, 800),obtenemos

∂µ2

∂w(p, w) = 3

40(20)

(21)∂µ2

∂p1

(p, w) = −6 (22)

(23)∂µ2

∂p2

(p, w) = −21 (24)

(25)∂µ2

∂p3

(p, w) = 14 (26)

Esto significa que el agente esta dispuesto a consumir 0.075 tortillas adi-cionales por cada peso que aumente su riqueza. Si su riqueza aumentarahasta duplicar la que tiene en esa situacion, es decir, w unidades adiciona-les, entonces el agente consumirıa 60 tortillas adicionales. Asimismo, cadapeso que aumente el precio del chile le predispone a consumir 14 torti-llas adicionales, de modo que si duplicara su precio actual, aumentando


p3 pesos su precio, el agente consumirıa 42 tortillas adicionales. Afortu-nadamente para su estado de salud, si los precios de las mismas tortillasy los frijoles aumentaran en la misma proporcion, el agente consumirıa102 tortillas menos, por lo que el aumento neto en el consumo de tortillas¡terminarıa siendo nulo! En efecto,

[∂µ2

∂w(p, w)] ⋅w = 60

[∂µ2

∂p1

(p, w)] ⋅ p1 = −18

[∂µ2

∂p2

(p, w)] ⋅ p2 = −84

[∂µ2

∂p3

(p, w)] ⋅ p3 = 42

Esta curiosa anulacion mutua de los cambios en los precios y la riqueza esun sobresaliente resultado que constituye nuestro primer teorema.

Teorema 15. ∀(p, w) ∈ Ω ×R+:

L

∑k=1

∂µl

∂pk

pk +∂µl

∂ww = 0.

De manera compacta,

Dp(p, w) ⋅ x(p, w) ⋅ p +Dw(p, w)x ⋅ (p, w)w = [0⋯0]t.

Otros teoremas interesantes que involucran los efectos riqueza y precioson los dos siguientes.

Teorema 16. (Agregacion de Cournot) El gasto total no puede cambiaren respuesta a un cambio de precios; e.e. para todo bien k y todo (p, w) ∈ Ω ×R+:

L

∑l=1

pl

∂µl

∂pk

(p, w)+µk(p, w) = 0.

De manera compacta,

pDpx(p, w)+ x(p, w) = [0⋯0]t.


Teorema 17. (Agregacion de Engel) El gasto total debe cambiar en unacantidad igual a cualquier cambio de la riqueza; e.e. para todo (p, w) ∈ Ω ×R+:

L

∑l=1

pl

∂µl

∂w(p, w) = 1.

De manera compacta,

pDwx(p, w) = [1⋯1]t.

Consideremos nuevamente, para fijar ideas, el efecto riqueza sobre lastortillas, el cual vimos que era de 60. Si lo dividimos por la cantidad totalde tortillas demandadas en (3, 4, 3, 800), a saber µ2(3, 4, 3, 800) = 60, ob-tenemos la cifra de 1, debido a que el agente aumenta en 1 % el consumode tortillas cuando aumenta su riqueza; se dice que la demanda de tor-tillas tiene elasticidad unitaria. En general, las elasticidades de demandanos dan una medida de la reactividad de la demanda ante cambios en lariqueza o los precios; significan el porcentaje en que cambia la demandapor cada punto porcentual que cambia la riqueza o el precio. Se definenen general como sigue.

Definicion 7. La elasticidad de la demanda del bien l con respecto a la riquezaes

εlw(p, w) = ∂µl

∂w(p, w) ⋅ w

µl(p, w) .

La elasticidad de la demanda del bien l con respecto al precio del bien k es

εlk(p, w) = ∂µl

∂pk

(p, w) ⋅ pk

µl(p, w) .

Si εlw(p, w) ≥ 1, se dice que la demanda del bien l es elastica con respectoa la riqueza; en caso distinto se dice que es inelastica. La definicion dedemanda elastica respecto del precio es analoga.

Como corolario del Teorema 1 se obtiene que un cambio porcentual entodos los precios y la riqueza deja la demanda invariante.


Teorema 18. Para todo bien l y todo (p, w) ∈ Ω ×R+:

L

∑k=1

εlk(p, w)+ εlw(p, w) = 0.

Como veremos adelante, es util para efectos metodologicos caracterizarlas elasticidades mediante logaritmos.

Teorema 19. Para las elasticidades tenemos:

εlw(p, w) = ∂ logµl

∂ log w(p, w)

y

εlk(p, w) = ∂ logµl

∂ log pk

(p, w).

Demostracion: Sea y = log w, de donde podemos escribir w = ey. Luego,

∂ logµl

∂ log w= ∂ logµl

∂ y(p, ey)

= 1µl

⋅ ∂µl

∂ y

= 1µl

⋅ ∂µl

∂w⋅ ∂ey

∂ y

= 1µl

⋅ ∂µl

∂w⋅ ey

= 1µl

⋅ ∂µl

∂w⋅w

= ∂µl

∂w⋅ wµl

= εlw.

La otra identidad se demuestra de manera completamente analoga, sihacemos y = log pk. ◻

Hasta aquı hemos desarrollado la teorıa de la eleccion del consumidora partir exclusivamente de los axiomas que la definen, los de la Definicion


2. La pregunta metodologica fundamental que surge ahora es la relativaal problema de la induccion de funciones de demanda a partir de datosempıricos. A continuacion procederemos a analizar este problema.

5. El problema de la induccion

Supongamos que queremos determinar la funcion de demanda de unagente individual a partir de una coleccion de datos observados, como losde la Tabla 1. ¿Existe algun procedimiento controlable mediante el cualesto sea posible? Notese que no nos interesa aquı discutir el problemade si el agente satisface la hipotesis de la maximizacion de la demanda:lo unico que nos interesa es conocer su funcion de demanda, ya sea queesta satisfaga o no dicha hipotesis. De hecho, en algun sentido, necesita-mos determinar la funcion de demanda walrasiana antes de plantearnosel problema de si es racionalizable o no por una relacion de preferenciadel tipo que sea. Esto debe ser posible en principio, precisamente por elhecho de que el lenguaje de la teorıa de la eleccion del consumidor noimplica ningun uso de los conceptos de preferencia y utilidad.

La teorıa de la eleccion del consumidor es una teorıa de “bajo nivel”,en el sentido de que no hay una teorıa intermedia entre esta y los da-tos empıricos. En principio, debiera ser posible preguntarle a un agenteindividual que harıa en cada una de una larga serie de situaciones precios-riqueza en las que pudiera concebiblemente encontrarse. Si la serie es su-ficientemente grande, la grafica de las respuestas podrıa sugerirnos unacierta funcion que, al rellenar los huecos con curvas de pendiente sua-ve, nos darıa una aproximacion a la funcion de demanda requerida. Unprocedimiento como este serıa analogo al de Kepler, quien se dio cuen-ta de que ciertas elipses eran buenas aproximaciones a los movimientosplanetarios registrados por Brahe.

Dicho en el lenguaje de la metateorıa estructuralista, lo que estoy sugi-riendo es que la funcion de demanda walrasiana no es un termino teoricoen la teorıa de la demanda (no confundir con la teorıa de la eleccion delconsumidor), sino precisamente la funcion que define los modelos par-ciales potenciales. De hecho, es posible observar al menos algunos puntos


de esta funcion sin recurrir a considerar las preferencias del agente. Lapregunta es si es posible inducir la funcion de demanda sin recurrir alaparato de la teorıa de la preferencia.

Para poder considerar la respuesta a esta pregunta, sea µ(p, w) un pun-to cualquiera de la funcion de demanda. La cantidad de la riqueza waplicada a la compra del bien µl(p, w) es precisamente plµl(p, w), la cualconstituye la fraccion

wl =plµl(p, w)

w(1)

de la riqueza.Una ecuacion que ha sido muy utilizada para estimar las elasticidades

ha sido la llamada especificacion del doble logaritmo, a saber,

log cl = αl + εlw log w +L

∑k=1

εlk log pk + ηl. ((2))

Si bien se puede encontrar que las elasticidades calculadas con esta pro-puesta funcion de demanda satisfacen la condicion del Teorema 4, y porende que la misma es homogenea de grado 0, no es posible hacer quesatisfaga la Ley de Walras, a menos que la elasticidad de la riqueza sea1 para todos los bienes. Esto se observa2 sustituyendo cl en la ecuacionlog wl = log cl + log pl − log w (obtenida de la (1) con cl = µl(p, w)) con ellado derecho de la ecuacion (2), para obtener

log wl = αl + (εlw − 1) log w + (εll + 1) log pl +L

∑k=1

εlk log pk. ((3))

La primera funcion de demanda que satisface la Ley de Walras fue pro-puesta por H. Working en 1943. Es una funcion de Engel que relacionalinealmente las fracciones del presupuesto con el algoritmo de la riqueza:

wl = αl + βl log w. ((5))

Otra funcion que se usa con frecuencia es una version de la del doblelogaritmo (Ecuacion (2)) que correlaciona no el logaritmo de las cantida-

2 Para un argumento detallado, vease Deaton y Muellbauer (1980: 17).


des consumidas, sino la fraccion de la riqueza, con las otras magnitudes:

wl = αl + εlw log w +L

∑k=1

εlk log pk. ((6))

En el libro de Deaton y Muellbauer arriba citado se dan los lineamientosgenerales para una estimacion de los parametros en las ecuaciones (5) y(6) mediante el metodo ordinario de cuadrados mınimos.

Podemos concluir, por lo tanto, que hay en efecto la posibilidad deobtener determinaciones parametricas de la funcion de demanda walra-siana a partir de datos empıricos concernientes a la demanda observadade un agente particular. Es ası como se transita de una estructura de da-tos empıricos a una funcion de demanda walrasiana. Podemos compararlas funciones ası obtenidas con las orbitas keplerianas. La pregunta aho-ra es: Si podemos determinar las funciones de demanda walrasiana (con algungrado de aproximacion a los datos empıricos observados), ¿que se obtiene con tra-tar de racionalizar la funcion de demanda walrasiana mediante una funcion deutilidad? Esta es la pregunta que abordaremos despues de introducir elsuficiente aparato conceptual en las siguientes secciones. Empezaremospor discutir la Teorıa Clasica de la Demanda antes de pasar al problemade la integracion.

6. Integrabilidad

Tenemos, como punto de partida, una funcion determinada de demanda,por ejemplo, la funcion Cobb-Douglas:

µ(p, q, w) = [ αp−11 w

(1−α)p−12 w

] .

Introduzcamos la funcion de compensacion µ∶Ω×Ω×R+ → R, la cual esta de-finida por la condicion

µ(p, q; p0, q0, w) = e(p, q, v(p0, q0, w))

µ(p, q; p0, q0, w) es el mınimo costo de alcanzar el nivel de utilidadv(p0, q0, w)) si los precios vigentes son p y q.


A partir de las ecuaciones de integrabilidad

∂µ(p, q; p0, q0, w)∂p

= µ1(p, q,µ(p, q; p0, q0, w)) (27)

∂µ(p, q; p0, q0, w)∂q

= µ2(p, q,µ(p, q; p0, q0, w)) (28)

µ(p0, q0; p0, q0, w) = w (29)

podemos obtener una funcion de compensacion —la cual contiene implıci-tamente una funcion indirecta de utilidad —y a partir de esta es posibleobtener la funcion directa de utilidad, resolviendo el siguiente problema:

Minimizar(p,q)≧0 v(p, q, w)

sujeto a px + qy = w

La funcion incognita a determinar es precisamente µ. Podemos norma-lizar los precios de tal manera que el precio del bien 2 sea q = 1, siendo pel precio del primer bien, de modo que es suficiente resolver la ecuacion(1) para p. Sustituyendo en (1) obtenemos

dµdp

= αp−11 µ (30)

o, de modo equivalente,

dµdp

−αp−11 µ = 0. (31)

La ecuacion (5) es de la forma

dµdp

+ f (p)µ = 0. (32)

donde f (p) = −αp−11 . El metodo general para resolver una ecuacion de es-

ta forma consiste en integrar la funcion f (p) y en observar que la ecuaciones equivalente a

ddp

(µeF(p)) = 0, (33)


donde F(p) = ∫p f (ξ)dξ. En el caso que nos ocupa,

F(p) = ∫p

(−α)ξ−1dξ = −α log p,

de modo que

ddp

(µeF(p)) = ddp

(µe−α log p)

= dµdp

e−α log p −αp−11 e−α log pµ

= e−α log p (dµdp

−αp−11 µ)

= 0

Se sigue que existe una constante c tal que µe−α log p = c, o

µ = ceα log p = c(elog p)α = cpα (34)

Se comprueba que esta es, efectivamente, una solucion de la ecuacion (4),pues,

dµdp

= αcpα−1

= αp−11 cpα

= αp−11 µ

Sustituyendo en la condicion inicial (3) encontramos

µ(p′, 1; p′, 1, w) = c(p′)α = w

o

c = (p′)−αw

Ası obtenemos la expresion explıcita de µ:

µ = (p′)−αwpα (35)


Se comprueba que esta expresion es correcta, pues

µ(p, 1; p′, 1, w) = (p′)−αwpα

= [α + (1−α)] pα(p′)−αw= [α1−α(1−α)α−1 +α−α(1−α)α] pααα(1−α)1−α(p′)−αw= e(p, 1, v(p′, 1, w))

Si partimos de la funcion de demanda walrasiana obtenida a partir de lafuncion de utilidad Cobb-Douglas, el problema es recuperar esta funciona partir de la misma, es decir, la funcion u(x, y) = xα1 x1−α

2 .Para esta funcion de demanda, la solucion general al sistema (1)-(3) es

µ = cpαp21−α. (36)

Se comprueba:

∂µ

∂p= αpα−1p2

1−α

= αp−11 pαp2

1−α

= αp−11 µ;

∂µ

∂q= (1−α)pαp2

−α

= (1−α)p−12 qpαp2

−α

= (1−α)p−12 pαp2

1−α

= (1−α)p−12 µ

Sustituyendo en la condicion inicial obtenemos cpα0 q1−α0 = w o c =

p−α0 qα−10 w. Por lo tanto,

µ(p, q; p0, q0, w) = p−α0 qα−10 wpαp2

1−α

= (αα(1−α)1−αp−α0 qα−10 w) (α−α(1−α)α−1pαp2

1−α)= v(p0, q0, w) ⋅ e(p1, p2, u)u−1


Vemos ası que, para cualquier sistema de precios (p0, q0), la funcion deutilidad indirecta es

v(p0, q0, w) = µ(p, q; p0, q0, w)e(p1, p2, u)u−1

= αα(1−α)1−αp−α0 qα−10 w

Procedemos ahora a resolver el siguiente problema:

Minimizar(p,q)≧0 α

α(1−α)1−αp−αp2α−1w

sujeto a px + qy = w

Construimos el lagrangiano:

L(p, q,λ) = −αα(1−α)1−αp−αp2α−1w + λ [w − px − qy] ,

con condiciones de primer orden

∂L∂p

= α1+α(1−α)1−αp−(1+α)p2α−1w − λx = 0 (37)

∂L∂q

= αα(1−α)2−αp−αp2α−2w − λy = 0 (38)

∂L∂λ

= w − px − qy = 0 (39)

Despejando λ en las condiciones (5) y (6) obtenemos

λ = α1+α(1−α)1−αp−(1+α)p2α−1wx−1

1 (40)

y

λ = αα(1−α)2−αp−αp2α−2wx−1

2 . (41)

Igualando los terminos derechos de las ecuaciones (8) y (9), y multiplican-do ambos por α−α(1−α)α−1,

αp−(1+α)p2α−1wx−1

1 = (1−α)p−αp2α−2wx−1

2 (42)

Nuevamente, multiplicando ambos lados de (10) por p1+αp22−αxy, obtene-

mos

αqwy = (1−α)pwx (43)


Despejando q,

q = α−1(1−α)pxx−12 . (44)

Sustituyendo este valor de q en la condicion (7),

px +α−1(1−α)px = w. (45)

Como 1+α−1(1−α) = α−1, el valor optimo de p es

p = αx−11 w. (46)

Sustituyendo este valor de p en (12) obtenemos el valor optimo de q:

q = (1−α)x−12 w. (47)

Sustituyendo estos valores de p y q en la funcion objetivo obtenemos

v(p, q, w) = xα1 x1−α2 , (48)

que es precisamente la funcion de utilidad Cobb-Douglas.

TEOR´IA DEL CONSUMIDOR - WordPress.comTEOR´IA DEL CONSUMIDOR Adolfo Garc´ıa de la Sienra...

Documents

Transcript of TEOR´IA DEL CONSUMIDOR - WordPress.comTEOR´IA DEL CONSUMIDOR Adolfo Garc´ıa de la Sienra...