Mefisto

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MefistoNmero 10 Abril de 2014

En este nmero:

Presentacin 3Fausto Cervantes Ortiz

La transformacin de Mbious 4Emiliano Geneyro Squarzon

El cielo de invierno 12

Jorge Luis Borges y su libro de pginas de arena 14Joel Garca Len

Frases clebres 21

Acertijos 22

Sudoku 24

El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemticos y todos aquellos que hacen pro-fecas vacas. Existe el peligro de que los matemticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el espritu y confinar al hombre en el infierno.

San Agustn, De genesi ad Litteram, II, xviii, 37.

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MefistoEditor

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Fausto Cervantes Ortiz

Comit Editorial

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Fausto Cervantes Ortiz

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Vernica Puente Vera

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PresentacinFausto Cervantes Ortiz

Academia de MatemticasPlantel San Lorenzo Tezonco

La tarea fundamental de loss matemticss consiste en demostrar teoremas. Es por ello que, cuando algn despistado acude a ellos para realizar op-eraciones difciles en tiempo record, generalmente no obtiene el comportamiento esperado. Por otro lado, los no matemticos que usan las matemti-cas como herramienta para hacer su trabajo (in-genieros, fsicos, economistas, etc.), generalmente encuentran en libros u otros medios frmulas, y las usan sin preocuparse de la teora que funda-menta a las mismas. Correspondientemente, los matemticos frecuentemente usan herramien-tas como las computadoras y sus programas, sin preocuparse de la teora electrnica y de software que las hace funcionar, y que permite realizar pro-gramas, grficas, etc., con resultados de uso diario en esta disciplina. Sin embargo, cuando unos y otros se asoman al campo del otro, puede ser muy estimulante enter-arse de la forma en que trabaja cada quien, apre-nder cosas nuevas, y hasta aplicarlas a su propio campo de estudio. En este nmero, Emiliano Geneyro nos expone la deduccin de la frmula de Mbius paso a paso, as como una aplicacin al conteo de polinomios mnicos irreducibles. El conteo o combinatoria, es una de las ramas de la matemtica que en la ac-tualidad est teniendo un renacer, al observarse la utilidad que sta tiene en criptografa, base de los modernos sistemas de seguridad computarizada. Es as como una rama de las matemticas que apa-rentemente no tena mucha utilidad prctica, de manera sbita se vuelve indispensable en la vida diaria. Esto nos recuerda la aseveracin de Luis

Pasteur: No hay ciencias aplicadas, hay aplicacio-nes de la ciencia. Como Emiliano nos lo dice clara-mente, hacer matemticas puede no ser tan simple como usarlas, pero por otro lado puede ser alta-mente estimulante. Las matemticas han recibido menos atencin de la que merecen en algunas manifestaciones del arte, a pesar de lo cual ,en los casos en que s se les involucra, los resultados pueden ser altamente estimulantes a nivel intelectual Baste recordar la obra de Leonardo Da Vinci y otros artistas re-nacentistas, mismos que al hacer uso de resulta-dos matemticos obtuvieron resultados artsticos asombrosos. Pero el uso de las matemticas en el arte no se limita a las artes visuales; tambin en la literatura se han hecho obras importantes. En esta ocasin Joel Garca se interna en la lit-eratura para analizar el contenido matemtico de algunas de las obras ms conocidas del escritor ar-gentino Jorge Luis Borges. Como el autor admite en su artculo, l mismo no es especialista en litera-tura, sin embargo considera oportuno realizar un anlisis que difcilmente veramos hacer a un espe-cialista literario. Es entonces que Joel nos explica algunos de los conceptos matemticos presentes en la obra de Borges, como los infinitos, las curvas que llenan espacios completos, la geometra plana y esfrica, etc. Como de costumbre, a los artculos presentados se aaden las secciones usuales en nuestra gaceta: mapa estelar, frases, acertijos y sudokus. Espera-mos que nuestros lectores disfruten este nmero de Mefisto.

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La transformacin de MbiusEmiliano Geneyro Squarzon

Facultad de Ciencias, UNAMDeduciendo la formula de inversion de Mobius

Emiliano Geneyro Squarzon

Facultad de Ciencias, UNAM

Introduccion

Dentro de las matematicas existen muchas herramientas que nos permiten alcanzar nuestrosobjetivos. Algunas de ellas suelen ser complejas en su desarrollo o en su presentacion final; sinembargo existen otras de gran simpleza pero no por eso con menor grado de importancia. Unejemplo de estas ultimas es la formula de inversion de Mobius, la cual posee una expresion simple.

La formula de inversion de Mobius fue introducida en la teora de numeros por AugustFerdinand Mobius (1790-1868). En ella se establece que si dos funciones aritmeticas (funcio-nes definidas en los naturales que contribuyen al estudio de las propiedades aritmeticas de losnumeros) f y g poseen una relacion entre ellas, dada por la siguiente formula:

f(n) =d|n

g(d)

donde d|n significa que d divide a n o d es divisor de n; entonces, esta relacion se puede in-vertir para todo entero n > 1, es decir g puede escribirse como una suma de imagenes de f dela siguiente manera:

g(n) =d|n

(nd

)f(d).

La funcion que aparece en la formula se definira mas adelante.Esta formula permanecio en el olvido durante mucho tiempo, hasta avanzado el siglo XX

cuando Louis Weisner (1935) y Phillip Hall (1936), de manera independiente, dieran una ge-neralizacion motivados por diversos problemas de la teora de grupos. Sin embargo, ellos serestringieron a las aplicaciones de la formula de su interes y ninguno profundizo en la teorarelacionada con la inversion de Mobius.

No fue hasta 1964, cuando Gian-Carlo Rota publico un artculo dedicado a la funcion deMobius, que comenzo a tomar relevancia en el desarrollo de otras ramas de las matematicas.Rota no solo profundizo en la teora relacionada a esta formula, sino que generalizo dichosresultados a cualquier conjunto que posea una relacion binaria de orden que cumpla con serreflexiva, transitiva y antisimetrica; a estos conjuntos se les denomina conjuntos parcialmenteordenados. Esta generalizacion le permitio a Gian-Carlo Rota encontrar diversas aplicaciones,principalmente en problemas de conteo en el area conocida como combinatoria. Desde entonces,la teora de la formula de inversion de Mobius se ha convertido en una herramienta sumamenteutil dentro de la combinatoria.

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En matematicas estamos acostumbrados a ver resultados presentados en su version final; esdecir, se nos da el resultado y la demostracion de la veracidad de este. Sin embargo, es comunque surjan cuestionamientos naturales o inquietudes sobre el proceso deductivo que siguieronquienes llegaron al resultado, por ejemplo:

Como se le ocurrio esto?, cual era la motivacion para llegar a este resultado?, cuales eranlos intereses cientficos del autor?, como paso de este paso al siguiente?, cual es la teora queesta utilizando?, etc.

En particular, en la teora relacionada a la formula de inversion de Mobius, es comun que enquien se adentra en ella tenga este tipo de inquietudes. Por ello, en la primera seccion del presentetrabajo mostraremos como se deducen algunos elementos necesarios para el planteamiento dedicha formula de inversion y su generalizacion. Posteriormente mostraremos como se utiliza estaformula en combinatoria.

Deduccion de la formula

El principio de inclusion y exclusion y la funcion

El primer elemento que descibiremos es la funcion , que aparece explcitamente en la formulade inversion de Mobius.

La funcion se obtiene al buscar una formula para contar todos aquellos numeros enterospositivos menores a un entero n que sean primos relativos con este, es decir, el maximo comundivisor sea 1. La funcion (n) de Euler se define como esta cantidad:

(n) := |{x {1, 2, . . . , n} : M.C.D(x, n) = 1}|.

Lo que buscamos entonces, es dar una expresion simple de (n) que nos permita obtener estascantidades para cualquier numero entero positivo que queramos. Para esto utilizaremos una delas herramientas de conteo mas importantes, el Principio de Inclusion y Exclusion (P.I.E)que describimos a continuacion:

Sea C un conjunto con N elementos y sean S1, Sr subconjuntos de C no necesariamente di-ferentes. Para cada subconjunto M {1, , r} definamos N(M) como el numero de elementosde C pertenecientes a la interseccion de los Si con i M , es decir

N(M) = |iM

Si| siendo M {1, . . . , r}

y sea

Nj :=|M |=j

N(M) con 0 j r

es decir, Nj es la suma de la cantidad de elementos de C que estan en las distintas interseccionesde j elementos de los subconjuntos {S1, . . . , Sr}.

Entonces, el Principio de Inclusion y Exclusion afirma que el numero de elementos deC que no pertenecen a ninguno de los Si, 1 i r es:

N N1 +N2 N3 + + (1)rNr

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A continuacion utilizaremos el principio P.I.E para encontrar una expresion en terminos dela descomposicion en primos de n para (n). Como cualquier numero entero se puede factorizaren producto de numeros primos (aquellos cuyos unicos divisores son productos de las unidades 1 y el mismo).

Sean = p1

1 p2

2 pr

r, piprimo, 1 i r y 0 i.

Calcular la cantidad de primos relativos a n es equivalente a determinar aquellos enteros menoresque n que no sean divisibles por ninguno de los pi. Sean entonces

Si = {x {1, 2, 3, . . . , n} : pi divide a x},

aplicando el P.I.E. tenemos:

(n) = nN1 +N2 N3 + + (1)rNr

donde:

N1 =r

i=1

|{x {1, 2, . . . , n} : pi divide a x}|

N2 =

1i

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Si bien de esto ultimo es posible encontrar una formula para (n), recordemos que nuestroproposito es deducir la funcion que aparece en la formula de inversion de Mobius.

Observemos que los terminos de (n) con productos con una cantidad impar de factoresprimos son negativos, y los terminos que poseen un producto par de primos son positivos. Ahorabien, los divisores de n que no estan libres de cuadrados (aquellos que estan divididos por algunapotencia mayor o igual a 2 de los primos pi) no aparecen en los sumandos de la formula 1 de(n). De las observaciones anteriores, podemos definir la siguiente funcion:

(d) :=

1 Si d es producto impar de primos distintos,1 si d es producto par de primos distintos,0 si d no esta libre de cuadrados

A esta funcion es a la que llamamos funcion de Mobius clasica.

De esta manera hemos obtenido la funcion principal involucrada en la formula de inversionde Mobius.

Deduccion de la formula

Para demostrar la formula, sean f(n) y g(n) funciones definidas para todo entero positivo n,tales que:

f(n) =d|n

g(d), donde d|n significa d divide a n

Como d es un divisor de n si y solo si n/d lo es, tenemos:

d|n

(d)fnd

=d|n

nd

f(d)

al tener los mismos sumandos. Ademas, como d tambien es un entero, tenemos que:

f(d) =d|d

g(d)

Finalmente, si d es divisor de d tambien lo es de n, podemos reescribir los anteriores resultadoscomo:

d|n

(d)fnd

=d|n

nd

f(d) =

d|n

nd

d|d

g(d) =d|n

g(d)

m|(n/d)

(m)

Hasta aqu solamente hemos utilizado propiedades de los divisores de n, lo cual nos lleva a lanecesidad de encontrar alguna propiedad de que nos permita avanzar mas en la simplificacionde la ultima suma.

En concreto, necesitamos saber cuanto vale la suma de todos los valores de sobre los divi-

sores de un numero entero (en nuestro cason

d).

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Sea un entero positivo. Si = 1 se tiene que (1) = 1, ya que por definicion 1 posee unnumero par de factores primos (al tener 0 factores). Ahora si > 1, se descompone como

= p11 p2

2 pr

r, pi primo , i > 0.

Sin perdida de generalidad podemos suponer que i = 1 para toda i porque en caso contrario no sera libre de cuadrados y la funcion valdra 0.

Ahora bien, existen(r

i

)divisores de con i factores por lo cual:

d|

(d) =r

i=0

(r

i

)(1)i = (1 1)r = 0 (4)

donde la ultima igualdad se obtiene por la formula del binomio de Newton.Con lo cual podemos concluir que:

d|

(d) =

{1 = 10 en otro caso

Este resultado nos permite concluir que

m|(n/d)

(m) = 0

excepto cuando n/d = 1; con lo cual la suma anterior es 0 excepto para d = n.Retomando el desarrollo (4) tenemos:

d|n

(d)f(nd

)=d|n

g(d)

m|(n/d)

(m) = 0 + 0 + + g(n) + 0 + 0 + = g(n)

y por lo tanto:

g(n) =d|n

(nd

)f(d) =

d|n

(d)f(nd

)

Con esto hemos obtenido:

Teorema: (Formula de Inversion de Mobius:)Sean f(n) y g(n) funciones definidas para todo entero positivo n, tales que

f(n) =d|n

g(d)

entonces g(n) satisface

g(n) =d|n

(d)f(nd

)

En el proceso de la deduccion de la formula hemos construido su demostracion.

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Algunas aplicaciones

La formula de inversion que hemos obtenido tiene diversas aplicaciones. En particular, re-cientemente han habido importantes contribuciones a los problemas de conteo en el area de lacombinatoria.

A continuacion ejemplificamos el uso de la formula de inversion de Mobius contando el numerode polinomios monicos irreducibles de grado n con coeficientes en un campo finito k = Fq.

La formula buscada la obtendremos de manera indirecta realizando de dos formas diferentesel conteo de todos los polinomios monicos de grado n en k.

Seak[x]mon = {fj(x)}

j=1

= {f1(x), f2(x), f3(x), } (5)

un listado de todos los polinomios monicos e irreducibles.Ademas denotemos por

k[x]mond

a los polinomios monicos de grado exactamente d 1.Sea Nd el numero de polinomios monicos irreducibles de grado d 1, es decir

Nd = |k[x]mon

d|.

Ahora bien, todo polinomio f(x) k[x]mond

factoriza de manera unica, fijando el orden en lospolinomios como en (5), como un producto de polinomios irreducibles:

f(x) = fd1i1 fds

is, donde fi kdi [x]

mon, d = i1d1 + + isds.

Podemos reescribir esta igualdad como un producto formal:

f(x) = (f1(x))i1 (fj(x))

ij , con fi k[x]mon.

en donde los exponenetes ij son cero para casi toda j, es decir cero salvo un numero finito.

Por tanto podemos establecer una correspondencia uno a uno entre k[x]mon y Z(N)

+ las suce-siones de enteros positivos

Xj = {i1, , ij, }, ij = 0 para casi toda j

y en particular se tiene una correspondencia entrek[x]mon

dy las sucesiones:

Z(N)

d:= {Xj Z

(N)

+ con d = i1d1 + + isds.}

Esta correspondencia nos permitira contar el numero de polinomios monicos de grado d dedos formas diferentes.

Observemos que el numero de polinomios monicos de grado n es qn dado que cualquier polino-mio de esta forma tiene d coeficientes diferentes y cada uno de ellos puede elegirse de q maneras.Esta cantidad aparece en la siguiente serie de potencias como el coeficiente correspondiente axn:

1

1 qx= 1 + qx+ (qx)2 + (qx)3 +

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Por otro lado, el numero de sucesiones Xj Z(N)

n i1, i2, i3, . . . que cumplen con la condicionn = i1d1 + i2d2 + i3d3 + se puede obtener como el coeficiente de x

n en la multiplicacion delas siguientes series de potencias:

(1 + xd1 + x2d1 + x3d1 + )(1 + xd2 + x2d2 + x3d2 + )

Juntando ambos resultados obtenemos:

1

1 qx=

i=1

1

1 xd1=

d=1

(1

1 xd

)Nd.

Aplicando el logaritmo en ambos lados de la igual, se tiene que:

log

(1

1 qx

)= log

(d=1

(1

1 xd

)Nd).

Utilizando las propiedades del logaritmo y de su expresion como suma infinita, obtenemos:

n=1

(qx)n

n=

n=1

Nd log

(1

1 xd

)=

d=1

Nd

j=1

(xd)j

j

El coeficiente de xn en la serie del lado izquierdo es qd

d. Para obtener dicho coeficiente en

la serie de la derecha debemos considerar unicamente los sumandos dej=1

(xd)j

jque cumplen la

condicion n = jd, equivalentemente cuando j = nd, es decir cuando d|n; de donde tenemos que

el coeficiente de xn es:

d|n

Nd 1

n/d

Juntando ambos resultados, se tiene que:

qn

n=d|n

Nd 1

n/d qn =

d|n

Nd (1

n/d)n =

d|n

Nd d

Es decir

qn =d|n

Nd d

Esta expresion cumple con todas las hipotesis de la formula de inversion de Mobius, que alaplicarla haciendo f(n) = qn y g(d) = Nd d, se obtiene:

n Nn =d|n

(nd

)qd Nn =

1

n

d|n

(nd

)qd

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De esta forma hemos obtenido que el numero de polinomios monicos irreducibles de grado n,en un campo con q elementos es

1

n

d|n

(nd

)qd

Con esto hemos mostrado parte del proceso deductivo que se hace para formular y demostrarla formula de inversion y como hacer uso de esta para obtener resultados importantes. Este pro-ceso deductivo no es evidente y muchas veces requiere dedicacion para comprender claramentelos diferentes pasos que nos permiten desarrollar la teora deseada.

Tambien la aplicacion de la teora puede no ser clara y directa como uno esperara. Muchasveces este uso puede surgir de manera indirecta al desarrollar otro resultado. En nuestro ejemploel conteo de polinomios monicos irreducibles se obtiene de manera indirecta al contar algo massencillo como es la cantidad de polinomios monicos en general.

As pues, las matematicas poseen procesos deductivos y constructivos que requieren destreza ydedicacion. El proceso de aprendizaje dentro de las distintas ramas de la matematicas, constituyeun reto intelectual para cualquier persona ya que esta debe llenar los espacios vacos que conectanlos distintos pasos de la teora para poder comprenderla a profundidad. Por ello es fundamentalmantener siempre vigentes las preguntas mas basicas durante la construccion del pensamientomatematico. Nada es evidente, pero con dedicacion y perseverancia todo puede serlo.

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El cielo de primavera

Fases de la Luna

Luna nueva

28 de abril28 de mayo26 de junio

Cuarto creciente

6 de abril6 de mayo5 de junio

Luna llena

14 de abril14 de mayo12 de junio

Cuarto menguante

21 de abril21 de mayo19 de junio

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Lluvias de estrellas

Lridas

21 y 22 de abril

h Acuridas

6 de mayo

Planetas

Mercurio en PiscisVenus en AcuarioMarte en LibraJpiter en CncerSaturno en EscorpinUrano en AriesNeptuno en Piscis

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La ciencia ha hecho ms en cien aos por el desarrollo de la civilizacin occidental que lo que ha hecho el cristian-ismo en mil ochocientos aos

John Burroughs (1837 - 1921) Bilogo estaduni-dense.

Frases clebres

La ciencia no deja mucho es-pacio para milagros, ni para Dios

Stephen Hawking (1942 - ) Fsico ingls.

La violencia crea ms prob-lemas sociales que los que re-suelve

Martin Luther King Jr. (1929 - 1968) Lder social estadunidense.

Vivimos en un mundo donde hay que esconderse para hacer el amor, pero donde la violen-cia se practica a la vista de to-dos

John Lennon (1940 - 1980) Msico ingls.

Es ms fcil engaar a la gente, que convencerlos de que han sido engaados.

Mark Twain (1835 - 1910) Escritor estadunidense.

Ms que por la fuerza, nos dominan por el engao

Simn Bolivar (1783 - 1830) Poltico venezolano.

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Jorge Luis Borges y su libro de pginas de arena

Joel Garca LenAcademia de Matemticas, SLT

IntroduccinConfieso que hacer un ensayo sobre Jorge Luis Borges no slo es presuntuoso, sino una ardua tarea, al menos desde la ptica de un matemtico que se limit a disfrutar algunas de sus obras. Es por ello que slo expresar mi experiencia como lector; un placer que por primera vez sent, cuan-do descubr su obra ms famosa a mi entender: El Aleph.

El maestro Jorge LuisJorge Luis Borges es al menos para m un fil-sofo griego contemporneo nacido en la Argen-tina: para muchos de nosotros, l nos introduce en la Grecia antigua, quiz sin proponrselo. Nos recuerda aquella imagen del hermoso toro blanco robndose a la bella Europa quien, sentada en su lomo, observa la arena de la playa hasta que ambos desaparecen en el mar. Los laberintos y el infinito aparecen recurrente-mente en la obra de Borges: El espa Yu Tsun, al servicio del espionaje alemn durante la segunda guerra mundial, casualmente encuentra que su bisabuelo, el sabio y astrlogo Tsui Pn, fue un personaje que durante toda su vida pretendi dos cosas: escribir un libro de pginas infinitas y crear un laberinto con infinitos caminos. l nos recuerda cmo un nufrago estelar, venido del cielo, cae en una isla griega, paulatinamente se convierte en el Minotauro hijo del Toro blanco y Pesfae y vive en un laberinto extraordinario. Cada vez que el personaje pasa por alguno de sus puntos, jams regresa a l, tiene que verlo por primera y ltima vez, pues es un laberinto sin final ni principio. La isla de Creta es su prisin y su casa al mismo tiempo. El libro infinito es la obsesin, la acumulacin de dudas, la falta de explicacin que tanto necesita la

humanidad sobre el mundo que le rodea; es sim-plemente lo que nunca agotaremos y lo que nunca supimos cundo empezamos. Los griegos tenan ese temor tambin, para ellos el infinito era un tab: la paradoja de Xenn nos lleg como expli-cacin del no movimiento. El infinito de Borges es palpable, contraria y paradjicamente a las inten-ciones de Xenn, lo cosifica en un aparato extrao en el cual vemos todo lo que sucede en distintos lugares al mismo tiempo, e inversamente, tambin vemos lo que sucede en un slo lugar en tiempos distintos: el infinito de Borges es un instrumento de movimiento. Naturalmente, su obra recuerda aquel reto que Demcrito lanz a sus contrincantes (cito de me-moria): Escribid un libro que contenga tantas ho-jas como granos de arena tiene la playa. El libro infinito, entonces, se convierte en aoranza para algunos lectores: ojal alguno hubiese vivido lo suficiente para escribir tal libro, tan humanamente imposible y tan cercano a la inteligencia que Borg-es representa. Quiero suponer que su frase clebre No soy un buen escritor, pero s un buen lector tiene que ver con aceptar que no podra escribir tal libro, humildad que todo escritor debe aprender como una buena leccin.

El infinitoLos libros religiosos se estrellan ante la lgica bor-giana, la palabra de Dios es infinita y l sera el au-tor del libro que exiga Demcrito. No hay libro religioso que cumpla con este requisito; cualqui-era de ellos, por muy grande que sea su nmero de pginas, siempre ser finito. Esto significa que Dios no escribi un libro para los humanos, o que simplemente Dios est an ausente entre nosotros. La herencia dejada en El Aleph es complicada: de haber un infinito, entonces hay ms de un infinito. Son todos iguales entre s? La respuesta se deja

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como ejercicio mental al lector, el que lee la pre-gunta es quien debe de dar su propia respuesta; sin embargo, hay una luz que nos deja: hay dos infini-tos que son iguales; ver todo al mismo tiempo y ver todo en tiempos distintos. Su idea no es irreal, cualquiera que sea su con-cepto de realidad. Para visualizarlo, pensemos en cmo aprende a contar un infante sin saber nmeros: colocando en filas horizontales los obje-tos que se quieren contar; cotejamos uno a uno los elementos sin repetir, que es lo mismo que decir las filas son iguales, o tienen el mismo nmero de elementos. De este modo, Borges rompe una regla socialmente aceptada: el total es mayor que sus partes. Para tener la certeza de que no siempre el total es mayor que sus partes, tomemos el ejemplo de los nmeros conocidos como naturales y pongamos nuestras listas antes mencionadas:

Los puntos suspensivos indican que no nos de-tenemos. Si seguimos la lista hacia la derecha y ha-cia abajo notamos que tienen el mismo nmero de elementos; esto es, los nmeros tienen la propie-dad siguiente: hay al menos uno de ellos que, siendo una parte pequea del original, tiene el mismo tamao. En este caso, los nmeros pares, los mltiplos de tres, los mltiplos de cuatro, etc., todos tienen el mismo tamao que los nmeros naturales, que es el total que los contiene. As, entendemos una de las reglas ms preciadas que la inteligencia humana ha producido: la idea del infinito como el total, y ste puede ser exacta-mente igual a una de sus pequeas partes. sa es su esencia, es lo que lo diferencia de lo finito, donde el total de lo finito siempre es mayor que cu-alquiera de sus partes, que por supuesto es finita.

Infinitos grandes e infinitos pequeosSurgen infinidad de preguntas de tan slo leer la obra de Borges, por ejemplo: Hay un infinito ms pequeo? La respuesta contundente es s. Natu-ralmente diramos que no hay un infinito ms grande; siempre hay uno ms grande que el ante-rior, de otro modo tenemos slo un nmero finito de infinitos, lo cual contradice el principio del in-finito. Por supuesto el infinito ms pequeo es aqul que tiene tantos nmeros como el conjunto de los nmeros naturales, que puede ser representado como una sucesin interminable de puntos alin-eados. El siguiente infinito, lo conocemos con el nombre de nmeros reales, o el conjunto de todos los nmeros que se pueden escribir con represen-tacin decimal. Tambin por razones geom-tricas es el que se puede representar como una lnea recta que se puede trazar sin despegar el lpiz del papel, o una sucesin continua de puntos inter-minables, y que es nombrado el continuo. Notemos dos cosas cruciales: la primera de el-las es que los nmeros naturales son ordenados, mientras que el continuo no lo es. Qu significa ello? Significa que el primer nmero natural est representado por el 1, el segundo, por el 2 y as sucesivamente; es decir si tenemos un nmero natural podemos decir con precisin cul es el siguiente en el orden dado. Esto no ocurre con el continuo, a pregunta expresa cul es el sucesor del nmero uno en el continuo? Como simples lecto-res diramos el 1.1, pero inmediatamente notamos nuestro error:

1.01 > 1 y < 1.1;

entonces diramos que se es el elegido. Nueva-mente caemos en un error, pues

1.001 > 1 y < 1.01.

Este proceso se vuelve infinito, y terminamos con la frustracin de no poder elegir el sucesor del

1 2 3 4 5 6 ...

2 4 6 8 10 12 ...

3 6 9 12 15 18 ...

4 8 12 16 20 24 ...

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nmero 1, lo cual ocurre en realidad con cualquier otro nmero en el continuo: simplemente no tiene sucesor, mientras que en los nmeros naturales s lo podemos sealar. La segunda observacin es que nunca se puede establecer una relacin entre los nmeros reales y los naturales, como la que se realiza entre los nmeros pares y los naturales, lo cual quiere decir que el continuo es mayor que los naturales. Esta diferencia entre el continuo y los naturales se sin-tetiza de la manera siguiente: mientras los natura-les es un conjunto numerable, el continuo no lo es, o bien, el continuo es inconmensurable. Un juego que fascinaba y retaba la inteligencia entre los filsofos de la antigedad griega es el siguiente: Dado un punto sobre una recta, ste representa un nmero; inversamente, dado un nmero hay un punto en la recta que lo representa. Decidme, cuando doy el nmero, podes trazarlo exactamente con slo regla y comps en la recta continua? Inversamente, al tener un nmero, qu punto representa en la recta?. La respuesta es s se pude; sin embargo, no nos describieron el m-todo para ello, de tal suerte que, de manera lgica, se puede reducir al problema ya tratado: Qu nmero precede a la unidad?

El infinito y el laberintoEs sabido que la recta no tiene grosor. En el len-guaje moderno diremos que la lnea no tiene rea, aunque tiene longitud. Sin embargo, el punto no tiene longitud, mientras que la lnea si la tiene, cmo puede ser ello si la lnea es una sucesin de puntos, mientras que el plano es una sucesin de lneas? Esta incgnita es parte de la crisis intelec-tual a la que no sobrevivi la Grecia antigua. El miedo al infinito es justificado: no es gratuito que la humanidad tard ms de diecinueve siglos en entender la profundidad de este problema. Para pasar de un estatus a otro (es decir, una lnea tiene longitud, pero para un punto la longitud es nula), la pregunta inmediata es: cuntos puntos necesitamos para llenar la recta?; o bien, en tr-minos de longitudes: cuntos puntos se requieren para generar un longitud positiva? Decir millones

de millones es poco: se necesita una infinidad mayor que con la que cuentan los nmeros natura-les, esto es, el continuo es un infinito mayor nece-sario para generar dichas cantidades, como ya lo habamos previsto. Esta misma incgnita se trasla-da a las figuras geomtricas planas: si tenemos un cuadrado, cuntas curvas necesitamos para llenar el cuadrado?; o bien, hay una curva con la cual podamos llenar un cuadrado? La solucin de este problema tard siglos en llegar. La clave est en la siguiente construccin: si el cuadrado lo subdividimos en cuatro cuadrados iguales contenidos en el original, al tomar sus centros podemos unirlos con una poligonal. El siguiente paso es subdividir el mismo cuadro pero ahora en ocho cuadrados iguales contenidos en el original. El siguiente es dividirlo en diecisis cuadrados y seguir este procedimiento de manera indefinida; ntese que le nmero de cuadrados debe ser igual al nmero de centros. Al final del proceso, tendremos la curva que llena el cuadrado. Grficamente podremos ver los primeros pasos de este proceso en la Figura 1. Los nicos requisitos que debe cumplir nuestro trazo son los siguientes:

El trazo debe ser continuo; esto es, no se debe despegar el lpiz de la hoja de papel

No se debe pasar por el mismo punto ms de una vez

No se deben cruzar ni repetir las lneas Por cada punto en el rectngulo debe existir

una polgonal que lo contenga

Esta curvas son conocidas como curvas de Peano o curvas de Hilbert. ste es el laberinto referido por el cual camina el Minotauro, o bien el laberinto infinito creado en los libros de Borges: en efecto, al recorrer este laberinto, por cada lugar que pasa-mos jams regresamos a l; por tanto, la cantidad de paisajes contemplados son inagotables. Y los ms importante: no estamos posibilitados para de-jar dicho laberinto, estamos atrapados en l de por vida. En la actualidad, este problema de llenar figu-ras geomtricas con curva, ha llevado al estudio de distintas ramas de las matemticas, una de ellas conocida como fractales. Aqu el problema es in-

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teresante: Dado un paisaje o mapa, lo podem-os llenar con una curva? Parece sencillo; no lo es. Ms an: es un terreno nuevo en las matemticas y las ciencias de la computacin. El ejemplo de la figura 2 fue hecho con computadora, y nos mues-tra cmo es posible llenar una figura con curvas continuas: Es sencillo ahora concluir: el laberinto no nece-sariamente es rectangular; puede tener cualquier forma, sin importar cun complicada sea y, por su-puesto, ste es infinito: es decir, es un laberinto del cual, una vez dentro, es imposible salir.

El Aleph El Aleph, es la primera letra del alfabeto hebreo, que indica el comienzo y la unidad entre dios y los hombres, segn reza el judasmo. De dnde obtuvo Borges el ttulo de este cuento? Aleph cero es conocido como el nmero de elementos de los nmeros naturales, el infinito ms pequeo; el nmero de elementos es, a su vez, nombrado car-

Figura 1. Curva de Hilbert.

Figura 2. Lena, curva generada con una computadora.

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Imaginemos que el tiempo es una recta inter-minable, sin principio alguno ni final especfico. Al mismo tiempo valga la redundancia, pen-semos en todos los sitios en el espacio como una recta similar. As, a cada tiempo, vivimos en un lugar determinado. De este modo imaginaremos la relacin espacio-tiempo como un plano con dos medidas nicas; stas las expresamos grficamente como la Figura 3, abajo, donde E representa el es-pacio y t el tiempo. Cada punto, en dicho plano, nos informa de un lugar determinado en un tiem-po dado. Pensemos nuevamente en la Figura 3. Al expre-sar nuestra relacin y tomar un punto, como aqul ubicado en la interseccin de las lneas punteadas, indica que estamos en un lugar y un tiempo espe-cficos. As, si iniciamos nuestro camino desde este punto, ya sea hacia arriba o hacia abajo, estamos recorriendo todos los lugares del espacio al mismo tiempo. Contrariamente, si tomamos el camino de la lnea horizontal punteada, ya sea izquierda o derecha, recorremos todos los tiempos en el mis-mo lugar. Durante siglos, la humanidad ha cultivado la mana de dibujar mapas y fabricar globos ter-rqueos; mientras los primeros son planos, los segundos son esfricos. Esta actividad de aplanar esferas y envolver esferas con planos, contribuye a nuestra comprensin del Aleph de Borges.

dinalidad y de ah surgen los nmeros cardinales. Vemos todo al mismo tiempo y, en el mismo lugar, vemos que ocurre en distintos tiempos: en principio, slo los dioses pueden hacerlo. Borges encontr que ese principio no es as. A pesar del miedo, su Aleph nos acerc a la verdad: no es privativo de los habitantes del Olimpo; por el con-trario, algn Prometeo, al igual que el fuego, trajo esta verdad a la Tierra y la don a la humanidad como un regalo inconmensurable. Al descubrir el hecho anterior, el narrador del cuento pierde el control y corre a la calle despav-orido, esa reaccin que la humanidad tuvo en su primer contacto con la eternidad, ese miedo que an hoy en da se le tiene al infinito y a su rep-resentante en la tierra: los nmeros, aqullos que muchos odian sin meditarlo, y slo unos cuantos cultivan como un arte que la humanidad hered de los dioses. Los mortales nacemos y morimos, nuestra corta vida se rige por la relacin espacio-tiempo: si bien no podemos ocupar dos lugares al mismo tiempo, s podemos vivir el mismo lugar en tiempos dis-tintos aunque notamos, con cierta tristeza, que ese tiempo para nosotros es finito. Borges nos hace trascender este concepto, el Aleph nos infunde miedo, desasosiego e incer-tidumbre; sin embargo, stos desaparecen si en-tendemos y manejamos nuestra propia relacin espacio-tiempo.

Figura 3. Relacin espacio-tiempo. Figura 4. El Aleph.

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En la esfera, las rectas se convierten en meridi-anos, como se muestra arriba en la Figura 4. En-tonces, nuestra relacin obligada, explicada en el plano, se convierte en una relacin en la esfera. El efecto es el mismo: si recorremos el meridiano ver-tical identificado por la letra E, recorremos todos los lugares al mismo tiempo; mientras que cami-nar sobre el meridiano horizontal t nos permite recorrer un slo lugar en todos los tiempos. ste es el Aleph de Borges: una esfera. Si nos ubi-camos en un punto de ella nos posibilita ver todos los lugares al mismo tiempo y, a su vez, desde un slo lugar, ver todos los tiempos.

El libro de arenaLa lnea consta de un nmero infinito de puntos; el plano, de un nmero infinito de lneas; el volumen de un nmero infinito de planos; el hper-volumen de un nmero infinito de volmenes . As inicia su libro de arena, aunque la siguiente lnea niega ste como un buen principio; por el contrario, es un excelente principio a nuestro entender. El libro de arena est compuesto por un nmero infinito de pginas, tantas como granos de arena tiene una playa, dicho metafricamente segn la visin de Demcrito. El nmero de pginas de este libro es el mismo que el continuo, esto es, la numeracin de dichas hojas impresas tiene que ser usando el punto deci-mal. As, este extrao libro tiene tantas hojas como la recta puntos, de otra manera sera un libro con nmero de hojas infinito numerable. El leer este libro es placer de unos cuantos, tiene un nmero incontable de cuentos, novelas, y poe-sas, es el libro que registra todo, es el libro que da cuenta de todo lo que pasa, incluso de escritos futuros si es que ello es posible, historias en-terradas en la memoria de la humanidad, que por supuesto se hacen imperecederas gracias al libro de arena. Para imaginar la magnitud del libro de arena adaptamos la paradoja de Xenn: Adso de Mon-tealbn y Buenaventura era poseedor del libro de arena, tutor del novicio Daniel Ambrosio Raiwzc. Teniendo fama de lector de zagas y entendedor de

sus dominios, ante los dioses Adso jur educar a su discpulo para caminar por la brecha del bien y el camino de la sabidura; as ret a su iniciado a leer el libro de arena como primer comienzo; ms an, le concedi ventaja de tres pginas: Antes que la aurora repunte, habr ledo ms que t, sentenci Adso.

Daniel replic ante la arrogancia de su maestro:

Con toda humildad, le contradigo su aventurada aseveracin maestro y le pido disculpas por ello. Intrigado, el sabio le pidi a cambio una expli-cacin del porqu de su atrevimiento; esto fue lo que respondi:

Si mi comienzo es la pgina tres, entonces usted seor tendra que llegar primero a la pgina uno.

Cierto, dijo Adso, y eso qu argumenta?, respondi sabedor de su excelente retrica.

Antes de que usted llegue a la pgina uno, ten-dr que pasar por la pgina enumerada por 0.5 que antecede a la nmero 1, y antes de ello, tiene que leer aquella numerada por 0.25, que es anterior a la pgina 0.5, pero entonces tiene primero que leer una anterior a 0.25, digamos la 0.125.

Con esto el mentor entendi lo que nunca cruz por mente: Ambos nunca terminaran el libro y Daniel siempre llevara una ventaja imposible de rebasar.

Tienes razn Adso, te pido mil perdones por mi arrebato de pedantera, con este libro nadie sale ganando, termin diciendo de manera humilde.

El libro inconmensurable tiene un defecto: al abrir un pgina, se tiene que leer sin descanso, se tiene que abarcar lo ms posible; de otro modo, al cerrarse el libro, jams se vuelve a la misma pgina, imposible regresar a la lectura donde se dej, esto es precisamente lo que se obtiene de la numeracin de sus hojas, encontrar el lugar preciso donde se estaba es imposible. Si se siguen sus reglas, los lec-

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tores paulatinamente se convierten en el libro, sus voluntades son doblegadas y sus vidas como hu-manos son parte de lo imposible: El libro de arena.

El amorUna leccin ms que nos da el maestro es acerca del amor. Si bien nadie ha expuesto una definicin precisa de ste, negar que es finito resulta intil. Como sentimiento humano, que comprende una parte y su antpoda, que va acompaado de una mezcla de inumerables experiencias, que stas a su vez contienen otras experiencias, como cuento de nunca acabar, como pginas del libro de arena, como caminos que tiene el laberinto impuesto al Minotauro en castigo, decir que el amor es finito es imponernos limitaciones innecesarias. Beatriz Viterbo es la herona desparecida, la rep-resentacin no corporal del amor que el maestro Borges nos muestra; quin es y cmo era resultan preguntas irrelevantes. El amor se mantiene ms all de la muerte, la vida se aleja de Beatriz Viterbo, y l se da cuenta por un cartel de teatro pegado en la calle, que la vida ya no es ella pero su amor vive. Con la lejana corporal de Beatriz no se rompe ni desaparece el amor, l sigue ah dentro sin que na-die ms que el narrador y Beatriz lo noten.

La familia de ella se vuelve el nico enlace entre el narrador y su Beatriz, como un enlace irrompible, el hilo de longitud infinita que los une. Eso es Bea-triz y ese amor por Beatriz permanecer eterna-mente ente ambos como un lazo irrompible.

EplogoSin proponrselo quiz, el maestro nos explica el infinito y sus paradojas, como un ente real y al mismo tiempo imaginario, como una forma de explicar la eternidad, el tiempo, el amor y otros tabes. El Maestro Borges seguir hasta donde la hu-manidad llegue, a pesar del mundo destructivo que nos toc vivir, l ser recordado hasta que el ltimo ser humano perezca, y para ello falta to-dava un Aleph.

ReferenciasBorges, Jorge Luis El Aleph, Siglo XXI, Mxico, 1949.Borges, Jorge Luis El jardn de los senderos que se bifurcan, Alfaguara, Mxico, 1941.Borges, Jorge Luis Cuentos completos, Lumen, Mxico, 2011.

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x

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2 Un hombre comienza un trabajo cuando las manecillas del reloj coinciden entre las 8 y las 9 de la maana, y termina entre las 2 y las 3 de la tarde, cuando las manecillas forman un ngulo de 180. Cuntos minutos tard en realizar el trabajo?

1 Un rey dej como herencia un cierto nmero de perlas para repartirse entre sus hijas. La reparticin se efectu de la siguiente manera: A la primera hija le toc una perla ms la sptima parte de las per-las que quedaban; a la segunda le tocaron dos per-las ms la sptima parte de las que quedaban; a la tercera tres perlas ms la sptima parte de las que quedaban, y as sucesivamente. Si toda la herencia se reparti y cada hija recibi la misma cantidad de perlas, cuntas perlas y cuntas hijas haba?

4 Un cubo de madera se pinta de color rojo. Despus de ello, se divide en 1000 cubitos iguales. Cuntos de esos cubitos tienen una sola cara pin-tada de rojo?

3 En un cajn hay 47 calcetines, 23 de ellos azules y 24 negros. Cuntos calcetines se deben sacar, sin verlos, para estar seguros de que se tiene un par del mismo color?

Acertijos

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AcertijosSolucin a los anteriores

1 Si el pegaso miente, ese da tendra que ser el lunes, pero ese da el unicornio dice la verdad y no podra decir lo que dijo, porque el domingo tambin dice la verdad. Si el pegaso dice la verdad, ese da tendra que ser jueves, y el unicornio men-tira, lo cual tambin tendra que ser el jueves. Por lo tanto, el nico da de la semana en que puede ocurrir la situacin descrita, es el jueves.

?

4

y

x2

y2

z2 1

72 Para hallar la solucin, escribimos en forma matemtica lo que el burro est diciendo:

y + 1 = 2(x - 1)y - 2 = x + 2

donde x es el nmero de bultos que carga el ca-ballo, y y es el nmero de bultos que carga el burro.Resolviendo este sistema se encuentra que x = 7 y y = 22.

3 Notemos que entre las 12 y antes de la 1, las manecillas hacen dos veces ngulo de 90, y lo mismo entre 1 y antes de las 2. Pero entre las 2 y antes de las 3, slo ocurre 1 vez (la segunda ocurre exactamente a las 3). Entre 3 y antes de las 4, 4 y antes de las 5, y 5 y antes de las 6 tambin ocurre 2 veces. Entonces en total hay slo 11 veces en que las manecillas hacen un ngulo de 90.

4 Al dividir 5 entre 8, resulta que a cada nio se le deben dar 5/8 de pliego. Esto se lograra recortan-do a la mitad cuatro pliegos, y el ltimo en octavos, pero esto inutilizara los ltimos trozos. Sin em-bargo, si en lugar de repartirles sus 5/8 como 1/2 + 1/8 se les reparten como 1/4 + 3/8, tambin se tienen 5/8 sin cortar en trozos de 1/8. Esto se logra cortando un pliego en cuartos y los otros cuatro en trozos de 3/8, 3/8 y1/4, con lo que se reparte a cada nio un trozo de 1/4 y uno de 1/8, sin que haya desperdicio.

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Sudoku

Fcil

Difcil

Solucin al anterior

Solucin al anterior

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1

1

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1

1

1

2

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2

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