Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias

ESCUELA POLITCNICA NACIONAL Facultad de ingeniera de sistemasAplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinariasTransformada de Laplace

GRUPO #1:ROMMEL TORRESCRISTIAN TUITICEJOS ZURITA18 de abril del 2013

La Transformada de Laplace, Definicin, Propiedades (Linealidad, Orden Exponencial, etc.) Transformadas de Funciones Bsicas, La Transformada Inversa, Tabla de Laplace.

Contenido1. INTRODUCCION32. DEFINICION BASICA42.1. Transformadas de funciones bsicas43. PROPIEDADES53.1. Linealidad53.2. Orden exponencial54. TRANSFORMADA INVERSA64.1. Transformadas inversas comunes65. TABLAS DE LAPLACE76. EJERCICIOS RESUELTOS87. EJERCICIOS PROPUESTOS128. CONCLUSIONES139. RECOMENDACIONES1310. BIBLIOGRAFIA13

1. INTRODUCCION

En clculo elemental aprendimos que la diferenciacin e integracin son transformadas, esto significa, en trminos aproximados, que estas operaciones transforman una funcin en otra. Por ejemplo, la funcin f(x) = se transforma, a su vez, en una funcin lineal y una familia de funciones polinomiales cubicas mediante las operaciones de diferenciacin e integracin: , adems estas dos transformadas poseen la propiedad de linealidad.

En esta seccin se dan algunos pasos hacia una investigacin de como se puede usar la transformada de Laplace para resolver ciertos tipos de ecuaciones para una funcin desconocida. Se empieza el anlisis con el concepto de Laplace inversa o, con mas precisin; la inversa de una transformada de Laplace F(s).

Resolver ecuaciones mediante la transformada de Laplace se requiere evaluar una transformada de Laplace inversa; esto, a su vez, requiere con frecuencia operaciones algebraicas sutiles y la descomposicin de una expresin racional en fracciones parciales.Un tipo especial de transformada integral llamada Transformada de Laplace

2. DEFINICION BASICA

Si f (t) esta definida cuando , la integral impropia , se define como un lmite: .

Si existe el lmite, se dice que la integral existe o que es convergente; si no existe el lmite, la integral no existe y se dice que es divergente. En general, el lmite anterior existe solo para ciertos valores de la variable s. La sustitucin K(s, t) = , proporciona una transformacin integral muy importante.

Transformada de Laplace

Sea f una funcin definida para Entonces se dice que la integral.

Es la transformada de Laplace de f, siempre que converja la integral.

2.1. Transformadas de funciones bsicas

3a) c) e) g) b) para n=1, 2, 3,d) f)

3. PROPIEDADES

3.1. Linealidad

En el curso elemental de clculo aprendimos que la diferenciacin y la integracin transforman una funcin en otra funcin; por ejemplo, la funcin f(x) = 2 se transforma, respectivamente, en una funcin lineal, una familia de funciones. Polinomiales cbicas y en una constante, mediante las operaciones de diferenciacin, integracin indefinida e integracin definida: , ,

Adems, esas tres operaciones poseen la propiedad de linealidad. Esto quiere decir que para cualesquier constantes y ,

Siempre y cuando exista cada derivada e integral. Si f(x, y) es una funcin de dos variables, una integral definida defcon respecto a una de las variables produce una funcin de la otra variable; por ejemplo, al mantener y constante, De igual forma, una integral definida como, transforma una funcin f (t) en una funcin de la variables. Nos interesan mucho las transformadas integrales de este ltimo tipo, cuando el intervalo de integracin es no acotado.

3.2. Orden exponencial

Se dice que f es de orden exponencial c, si existe constantes c, M > 0 y T > 0 tal que , para toda t > T.Si f es una funcin creciente, entonces la condicin , t > T, simplemente expresa que la grafica de f en el intervalo no crece mas rpido que la grafica de la funcin exponencial , donde c es una constante positiva.

4. TRANSFORMADA INVERSA

Si F(s) representa la transformada de Laplace de una funcin f (t), es decir , se dice entonces que f (t) es la Transformada de Laplace inversa de F(s) y se escribe

4.1. Transformadas inversas comunes

a) c) e) g) b) d) f)

5. TABLAS DE LAPLACE6. EJERCICIOS RESUELTOS

1) Evaluar 2) Evaluar evaluado de 0 hasta 3) Probar que para s>0

4) Evaluar

5) Evaluar

6) Evaluar:

7) Resuelva utilizando Transformada de Laplace

Al transformar la funcin y sus derivadas primera y segunda, y al reemplazar los valores inicales tenemos.

8) Resuelva Mediante Laplace

9) Resolver mediante Laplace

10) Resolver Mediante Laplace

7. EJERCICIOS PROPUESTOS

*Hallar las transformadas de Laplace de las siguientes funciones:1) 2) 3) 4) 5)

*Resolver las siguientes transformadas inversas6) 7) 8) 9) 10)

8. CONCLUSIONES La integral impropia , se define como un lmite: . La transformada de Laplace es de gran importancia como herramienta para solucin de ecuaciones diferenciales La transformada inversa es la resolucin mediante procesos contrarios de una transformada de Laplace y su resultado es la funcin

9. RECOMENDACIONES Repasar conceptos de variables impropias Conocer el origen de la tabla de Laplace y no solo aplicarla sin sentido Repasar definiciones de concurrencia

10. BIBLIOGRAFIA SPIEGEL, MURRAY R. Ecuaciones diferenciales aplicadas. Traducido por Henry Rivera Garca. 3ra edicin. Mxico: Prentice-Hall Hispanoamrica, S.A. 1983. ISBN 968-880-053-8.

SIMMONS, GEORGE F. Ecuaciones diferenciales. Con aplicaciones y notas histricas. Traducido por Lorenzo Abellanas Rapun. 2da edicin. Espaa: McGraw-Hill Interamericana de Espaa, S.A.U. 1998. ISBN 84-481-0045-X.

Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Zill, Dennis G. Thomson-2002.

Ecuaciones diferenciales. Edwards, C. Henry. Pearson-1991.

Ecuaciones diferenciales: un enfoque de modelado. Ledder, Glenn. McGraw-Hill-2006