Apuntes de apoyo a la asignatura

FUNDAMENTOS FSICOS DELA INFORMTICA

E.T.S. de Ingeniera Informtica

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

Francisco L. Mesa Ledesma

Copyright c2002 by Francisco L. Mesa Ledesma; esta informacinpuede ser copiada, distribuida y/o modificada bajo ciertas condicio-nes, pero viene SIN NINGUNA GARANTA; ver la Design ScienceLicense para ms detalles.

DESIGN SCIENCE LICENSETERMS AND CONDITIONS FOR COPYING, DISTRIBUTION AND MODIFICATIONCopyright c1999-2001 Michael Stutz Verbatim copying of this document is permitted, in any medium.0. PREAMBLE.Copyright law gives certain exclusive rights to the author of a work, including the rights to copy, modify and distribute the work (the reproductive,adaptative,.and "distributionrights).The idea of opyleft"is to willfully revoke the exclusivity of those rights under certain terms and conditions, so that anyone can copy and distribute the work orproperly attributed derivative works, while all copies remain under the same terms and conditions as the original.The intent of this license is to be a general opyleft"that can be applied to any kind of work that has protection under copyright. This license states those certainconditions under which a work published under its terms may be copied, distributed, and modified.Whereas "design science"is a strategy for the development of artifacts as a way to reform the environment (not people) and subsequently improve the universalstandard of living, this Design Science License was written and deployed as a strategy for promoting the progress of science and art through reform of theenvironment.1. DEFINITIONS."License"shall mean this Design Science License. The License applies to any work which contains a notice placed by the works copyright holder stating that itis published under the terms of this Design Science License."Work"shall mean such an aforementioned work. The License also applies to the output of the Work, only if said output constitutes a "derivative work.of thelicensed Work as defined by copyright law..Object Form"shall mean an executable or performable form of the Work, being an embodiment of the Work in some tangible medium."Source Data"shall mean the origin of the Object Form, being the entire, machine-readable, preferred form of the Work for copying and for human modification(usually the language, encoding or format in which composed or recorded by the Author); plus any accompanying files, scripts or other data necessary forinstallation, configuration or compilation of the Work.(Examples of "Source Data"include, but are not limited to, the following: if the Work is an image file composed and edited in PNG format, then the original PNGsource file is the Source Data; if the Work is an MPEG 1.0 layer 3 digital audio recording made from a WAV format audio file recording of an analog source, thenthe original WAV file is the Source Data; if the Work was composed as an unformatted plaintext file, then that file is the Source Data; if the Work was composedin LaTeX, the LaTeX file(s) and any image files and/or custom macros necessary for compilation constitute the Source Data.).Author"shall mean the copyright holder(s) of the Work.The individual licensees are referred to as 2ou."2. RIGHTS AND COPYRIGHT.The Work is copyrighted by the Author. All rights to the Work are reserved by the Author, except as specifically described below. This License describes theterms and conditions under which the Author permits you to copy, distribute and modify copies of the Work.In addition, you may refer to the Work, talk about it, and (as dictated by "fair use") quote from it, just as you would any copyrighted material under copyrightlaw.Your right to operate, perform, read or otherwise interpret and/or execute the Work is unrestricted; however, you do so at your own risk, because the Workcomes WITHOUT ANY WARRANTY see Section 7 ("NO WARRANTY") below.3. COPYING AND DISTRIBUTION.Permission is granted to distribute, publish or otherwise present verbatim copies of the entire Source Data of the Work, in any medium, provided that fullcopyright notice and disclaimer of warranty, where applicable, is conspicuously published on all copies, and a copy of this License is distributed along with theWork.Permission is granted to distribute, publish or otherwise present copies of the Object Form of the Work, in any medium, under the terms for distribution ofSource Data above and also provided that one of the following additional conditions are met:(a) The Source Data is included in the same distribution, distributed under the terms of this License; or(b) A written offer is included with the distribution, valid for at least three years or for as long as the distribution is in print (whichever is longer), with apublicly-accessible address (such as a URL on the Internet) where, for a charge not greater than transportation and media costs, anyone may receive a copy ofthe Source Data of the Work distributed according to the section above; or(c) A third partys written offer for obtaining the Source Data at no cost, as described in paragraph (b) above, is included with the distribution. This option isvalid only if you are a non-commercial party, and only if you received the Object Form of the Work along with such an offer.You may copy and distribute the Work either gratis or for a fee, and if desired, you may offer warranty protection for the Work.The aggregation of the Work with other works that are not based on the Work such as but not limited to inclusion in a publication, broadcast, compilation, orother media does not bring the other works in the scope of the License; nor does such aggregation void the terms of the License for the Work.4. MODIFICATION.Permission is granted to modify or sample from a copy of the Work, producing a derivative work, and to distribute the derivative work under the termsdescribed in the section for distribution above, provided that the following terms are met:(a) The new, derivative work is published under the terms of this License.(b) The derivative work is given a new name, so that its name or title cannot be confused with the Work, or with a version of the Work, in any way.(c) Appropriate authorship credit is given: for the differences between the Work and the new derivative work, authorship is attributed to you, while the materialsampled or used from the Work remains attributed to the original Author; appropriate notice must be included with the new work indicating the nature andthe dates of any modifications of the Work made by you.5. NO RESTRICTIONS.You may not impose any further restrictions on the Work or any of its derivative works beyond those restrictions described in this License.6. ACCEPTANCE.Copying, distributing or modifying the Work (including but not limited to sampling from the Work in a new work) indicates acceptance of these terms. If youdo not follow the terms of this License, any rights granted to you by the License are null and void. The copying, distribution or modification of the Work outsideof the terms described in this License is expressly prohibited by law.If for any reason, conditions are imposed on you that forbid you to fulfill the conditions of this License, you may not copy, distribute or modify the Work at all.If any part of this License is found to be in conflict with the law, that part shall be interpreted in its broadest meaning consistent with the law, and no other partsof the License shall be affected.7. NO WARRANTY.THE WORK IS PROVIDED .AS IS,.AND COMES WITH ABSOLUTELY NO WARRANTY, EXPRESS OR IMPLIED, TO THE EXTENT PERMITTED BY APPLI-CABLE LAW, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY OR FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.8. DISCLAIMER OF LIABILITY.IN NO EVENT SHALL THE AUTHOR OR CONTRIBUTORS BE LIABLE FOR ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR CON-SEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF USE, DATA, ORPROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION) HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY,OR TORT (INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY OUT OF THE USE OF THIS WORK, EVEN IF ADVISED OF THE POSSI-BILITY OF SUCH DAMAGE.END OF TERMS AND CONDITIONS

ndice general

1. Electrosttica 1

1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Campo elctrico de una distribucin de cargas . . . . . 2

1.2.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2. Principio de superposicin . . . . . . . . . . . . 3

1.2.3. Campo elctrico de cargas puntuales . . . . . . 3

1.2.4. Campo elctrico de distribuciones continuas decarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.5. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Potencial elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Conductores en un campo electrosttico . . . . . . . . . 16

1.4.1. Campo de un conductor cargado en equilibrioelectrosttico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.2. Conductor neutro en un campo elctrico externo 18

1.5. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.1. Capacidad de un conductor . . . . . . . . . . . . 18

1.5.2. Influencia entre conductores . . . . . . . . . . . 20

1.6. Energa Electrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6.1. Trabajo para trasladar una carga . . . . . . . . . 21

1.6.2. Energa almacenada en un condensador de pla-cas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7. Dielctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.8. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. Circuitos de Corriente Continua 31

2.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2. Vector densidad de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . 32

III

2.3. Conductividad, Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.1. Conductividad elctrica . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.2. Ley de Ohm circuital . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.3. Efecto Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4. Fuerza electromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4.1. Potencia suministrada por el generador . . . . . 41

2.5. Reglas de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5.1. Regla de Kirchhoff de las tensiones . . . . . . . . 42

2.5.2. Regla de Kirchhoff de las intensidades . . . . . . 43

2.6. Aplicacin a circuitos de corriente continua . . . . . . . 44

2.6.1. Mtodo de las corrientes de malla . . . . . . . . 45

2.6.2. Teorema de superposicin . . . . . . . . . . . . . 46

2.6.3. Teorema de Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.6.4. Balance de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3. Magnetosttica 53

3.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2. Fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2.1. Movimiento de una carga puntual en presenciade un campo magntico . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.2. Efecto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3. Fuerzas magnticas sobre conductores . . . . . . . . . . 59

3.3.1. Fuerza magntica sobre un hilo . . . . . . . . . . 59

3.3.2. Par de fuerzas sobre una espira de corriente . . 60

3.4. Ley de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.5. Ley de Ampre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.5.1. Campo magntico producido por un hilo infi-nito y rectilneo de radio R recorrido por una in-tensidad I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.5.2. Campo magntico en un solenoide . . . . . . . 66

3.6. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4. Induccin electromagntica 69

4.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2. Ley de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2.1. Fuerza electromotriz de movimiento . . . . . . 70

4.2.2. Fuerza electromotriz inducida . . . . . . . . . . 72

4.3. Inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.3.1. Inductancia mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.3.2. Autoinduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3.3. Transitorios en circuitos RL . . . . . . . . . . . . 80

4.4. Energa magntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.5. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5. Ecuaciones de Maxwell 89

5.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.3. Aportaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.3.1. Ley de Gauss para el campo elctrico . . . . . . 91

5.3.2. Ley de Gauss para el campo magntico . . . . . 91

5.3.3. Ley de Faraday-Maxwell . . . . . . . . . . . . . 92

5.3.4. Ley de Ampre-Maxwell . . . . . . . . . . . . . 94

6. Circuitos de Corriente Alterna 99

6.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.2. Relacin I V para Resistencia, Condensador y Bobi-na . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.3. Generador de fem alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.4. Valores eficaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.5. Anlisis fasorial de circuitos de CA . . . . . . . . . . . 103

6.5.1. Expresiones fasoriales para resitencia, conden-sador y bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.5.2. Reglas de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.5.3. Circuito RLC serie . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.5.4. Anlisis de mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.6. Balance de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.6.1. Potencia media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.6.2. Factor de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.6.3. Consumo de potencia . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7. Nociones generales de Ondas 119

7.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.2. Ecuacin de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.3. Ondas armnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.4. Energa e Intensidad de la onda . . . . . . . . . . . . . 125

7.5. Interferencia de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.5.1. Superposicin de dos ondas armnicas . . . . . 127

7.5.2. Focos incoherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.5.3. Focos coherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.6. Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.7. Difraccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.8. Grupo de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7.9. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8. Ondas Electromagnticas 149

8.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

8.2. Ecuacin de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

8.3. Ondas planas armnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

8.4. Intensidad de la onda electromagntica . . . . . . . . . 156

8.5. Espectro electromagntico . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8.6. Fuentes de las Ondas Electromagnticas . . . . . . . . . 159

8.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

A. Anlisis vectorial 163

A.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

A.1.1. Notacin vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

A.1.2. Suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

A.1.3. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

A.1.4. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

A.1.5. Productos triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

A.1.6. Diferencial y derivada de funciones de una solavariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

A.1.7. Teorema fundamental del clculo . . . . . . . . . 168

A.1.8. Diferencial y derivada parcial de funciones devarias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

A.1.9. Operador gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . 169

A.1.10. Integral de camino . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

A.1.11. Teorema fundamental del gradiente . . . . . . 170

A.2. Integral de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

A.3. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

B. Funciones armnicas y Anlisis fasorial 173

B.1. Funciones Armnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

B.2. Anlisis fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

B.3. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Prefacio

La presente coleccin de notas sobre Electromagnetismo, Circuitosy Ondas pretende ser una ayuda al estudiante en la asignatura cuatri-mestral Fundamentos Fsicos de la Informtica de la E.T.S. de IngenieraInformtica de la Universidad de Sevilla. Aunque estas notas han sidoinspiradas por diversas fuentes (permtaseme destacar y agradecer laimportante contribucin de los profesores de la ETS de Ingeniera In-formtica del Departamento de Fsica Aplicada 1 de la Universidad deSevilla), cualquier defecto o error slo es atribuible al autor de estosapuntes. Es importante resaltar que estas notas no pueden ni debensustituir a otros textos ms elaborados sobre la materia.

El propsito principal de la materia aqu presentada es dotar alalumno de algunos de los fundamentos fsicos elementales en los quese basa el funcionamiento de los dispositivos y sistemas usados en In-formtica. Gran parte de la tecnologa actual de los computadores sebasa en la Electrnica y puesto que la Electrnica consiste bsicamenteen el control del flujo de los electrones en materiales conductores y se-miconductores, es evidente la necesidad de estudiar en primer lugar elcomportamiento general de las cargas y corrientes elctricas. Este es-tudio se llevar a cabo mediante una serie de temas dedicados al Elec-tromagnetismo bsico y a la Teora de Circuitos de corriente continuay alterna. Por otra parte, dada la relevancia de las ondas electromag-nticas en las comunicaciones actuales, y en particular la transmisinde datos en las redes de ordenadores, la ltima parte de la asignatu-ra se dedicar a un estudio general de las ondas para acabar con unadescripcin y anlisis elemental de las ondas electromagnticas.

FRANCISCO L. MESA LEDESMASevilla, septiembre de 2001

IX

Tema 1

Electrosttica

1.1. Introduccin

Dado que el objetivo de esta asignatura ser el estudio bsico delos principales fenmenos electromagnticos y buena parte de estosfenmenos estn relacionados con la interaccin de cargas elctricas,empezaremos este tema con el estudio de las interacciones de cargaselctricas en reposo. La parte del Electromagnetismo que aborda estamateria se denomina Electrosttica.

La carga elctrica es una propiedad fundamental e intrnseca de lamateria (al igual que la masa) que tiene las siguientes propiedades:

Presenta dos polaridades: positiva y negativa. Cantidades igua-les de ambas polaridades se anulan entre s.

La carga total del universo (suma algebraica de todas las car-gas existentes) se conserva, esto es, la carga no se puede crear nidestruir. No obstante, debe notarse que esto no imposibilita quecargas positivas y negativas se anulen entre s.Adems de esta propiedad de conservacin global, la carga tam-bin se conserva localmente. Esto quiere decir que si cierta cargadesaparece en un sitio y aparece en otro, esto es porque ha via-jado de un punto a otro.

La carga esta cuantizada: cualquier carga que existe en la na-turaleza es un mltiplo entero de una carga elemental qe. Estacarga elemental corresponde a la carga del protn.

La unidad de carga en el Sistema Internacional es el culombio (C) y !equivale a la carga de 62414959 1018 protones, o lo que es lo mismo,

la carga del protn es qe 160218 1019 C.

Es interesante hacer notar que de las cuatro interacciones funda-mentales de la naturaleza: nuclear fuerte, electromagntica, nucleardbil y gravitatoria, la interaccin electromagntica (o electrosttica

1

" # $ %

cuando es entre cargas en reposo) es la segunda ms fuerte. De hechola interaccin elctrica entre dos electrones (de carga e igual a qe) esaproximadamente 1042 veces ms fuerte que su correspondiente inte-raccin gravitatoria. Esto da una idea de la magnitud tan importantede las fuerzas elctricas. No obstante, en la naturaleza hay muchas si-tuaciones en las que la interaccin elctrica no se manifiesta debido ala compensacin tan precisa que ocurre en la materia entre cargas posi-tivas y negativas. De hecho los agregados de materia se presentan ge-neralmente en forma neutra y por ello las interacciones entre grandescantidades de materia (planetas, estrellas, etc) es fundamentalmentede carcter gravitatorio. No obstante, esto no implica que la interac-cin entre cargas elctricas sea irrelevante sino que por el contrario,estas interacciones estn en la base de multitud de fenmenos funda-mentales, por ejemplo: la formacin y estabilidad de los tomos, lasfuerzas moleculares, las fuerzas de rozamiento, las tensiones mecni-cas, las fuerzas de contacto, etc.

1.2. Campo elctrico de una distribucin de cargas

1.2.1. Ley de Coulomb

El estudio de la Electrosttica se iniciar mediante la ley de Cou-lomb, ley experimental que describe la interaccin entre dos cargaspuntuales en reposo en el vaco (esto es, no existe ningn medio mate-rial entre ellas). El concepto de carga puntual es una idealizacin porla que se considerar que cierta carga est localizada estrictamente enun punto. Aunque en principio, esta idealizacin pudiera parecer po-co realista, la experiencia demuestra que es una aproximacin muyprecisa en mltiples situaciones. De hecho, la carga uniformementedistribuida de cuerpos esfricos o incluso cuerpos cargados conside-rados a distancias lejanas se comportan muy aproximadamente comocargas puntuales.

La ley de Coulomb ( 1785) establece que la fuerza, F, que ejerceuna carga fuente q sobre una carga prueba Q, viene dada por la siguien-

qr

F

Qr

te expresin:

F 1

40qQr2

r1

40qQr3

r (1.1)

donde r rr es el vector (ver Apndice A para un breve repaso devectores) que va desde la carga fuente hasta la carga prueba y 0 esuna constante llamada permitivad del vaco cuyo valor en el S.I. es

0 8851012C2

Nm2

140

9109 Nm2

C2

(1.2)

$"$ & '

Algunas propiedades destacables de la ley de Coulomb, expresin(1.1), son:

La fuerza va dirigida segn la lnea que une las dos cargas (fuer-za central), estando su sentido determinado por el signo del pro-ducto qQ. Por tanto, la fuerza entre dos cargas ser atractiva paracargas de signo opuesto o bien repulsiva para cargas del mismo

+q

F

+Q

signo.

La fuerza decrece con el cuadrado de la distancia. No obstante,

+q

F

-Qa distancias cortas esta interaccin crece extraordinariamente.

La fuerza que ejercera la carga prueba sobre la carga fuente sera

+q

F

-F+Q

F (principio de accin y reaccin).

1.2.2. Principio de superposicin

La ley de Coulomb describe el efecto de una nica carga puntualfuente, q, sobre la carga prueba, Q. El efecto de un conjunto de car-gas sobre cierta carga prueba viene determinado por el principio desuperposicin. Este principio de superposicin establece que

La interaccin entre dos cargas es completamenteindependiente de la presencia de otras cargas.

Esto significa que para calcular el efecto de un conjunto de car-gas fuente sobre cierta carga prueba, se puede proceder calculando el

q1

q2qN

F1

F2

F

FN

r1

r2rN

Q

efecto de cada una de las cargas fuentes sobre la carga prueba paraobtener el efecto total como la suma de los efectos parciales (esto es,F F1 F2 ).

De este modo, la fuerza que produce el conjunto de cargas fuentes,q1q2 qN, sobre la carga prueba Q situada en el punto P puedecalcularse como

FP N

i1

Fi 1

40

N

i1

qiQr2i

ri (1.3)

Q40

N

i1

qir2i

ri (1.4)

1.2.3. Campo elctrico de cargas puntuales

En la expresin de la fuerza dada por (1.4) puede apreciarse queel sumatorio depende exclusivamente de la configuracin de cargas fuente,por lo que podemos escribir

FP QEP (1.5)donde el vector EP se denomina campo elctrico producido por lascargas fuente en el punto P, viniendo ste dado por

( # $ %

EP 140

N

i1

qir2i

ri 1

40

N

i1

qir3i

ri (1.6) &

La introduccin de este vector E permite definir una magnitudvectorial que vara punto a punto y que slo depende de las cargasfuentes. De este modo se consigue dotar a cada punto del espacio deuna propiedad vectorial tal que el producto del valor de una cargaprueba situada en ese punto por el valor de dicho vector en ese puntoproporciona la fuerza que ejercer la configuracin de cargas fuen-tes sobre dicha carga prueba. En este sentido, el campo elctrico, E,puede, por tanto, definirse como la fuerza por unidad de carga y susunidades son consecuentemente N/C. Es interesante observar que el

)

*

campo elctrico recoge de alguna manera la informacin sobre lascargas fuentes, escondiendo la disposicin particular de esta confi-guracin y mostrando nicamente su efecto global.

Tal y como se ha introducido el campo elctrico podra pensarseque este campo es nicamente un ente matemtico til para calcularla fuerza pero sin significado fsico concreto. No obstante, tal y comose ver en temas posteriores, E posee por s mismo una realidad fsicaclara y por tanto desde este momento es conveniente considerar alcampo elctrico como un ente real (con el mismo grado de realidadfsica que la fuerza o el momento lineal) independiente de la presenciao no de carga prueba.

A partir de la expresin (1.6), el campo producido por una carga

+

puntual en el punto P (OP r) vendr dado por

EP 1

40qr2

r (1.7)

Una forma de visualizar dicho campo es dibujando el vector E en cier-tos puntos del espacio. No obstante, es ms conveniente describir elcampo mediante las lneas de campo, que son aquellas lneas tangen-tes en cada uno de sus puntos al vector campo. Para un sistema de doscargas idnticas en magnitud, una positiva y otra negativa, las lneasde campo salen de la carga positiva y acaban en la carga negativa se-gn el patrn que se muestra en la figura. Este hecho particular es unapropiedad del campo electrosttico, esto es, las lneas de campo salen

+ -

de las cargas positivas y acaban en las negativas o van al infinito. Dadoque las cargas elctricas son las nicas fuentes del campo electrosttico,siempre que existan cargas elctricas descompensadas espacialmente(cuando no se anulen unas a otras en cada punto), existir campo elec-trosttico.

$"$ & +

EJEMPLO 1.1 P

Para calcular el campo elctrico en el punto P aplicaremos el principio desuperposicin, por lo que primero debemos obtener el campo producido porcada una de las cargas. Antes de proceder a obtener este campo, debemosidentificar el vector que va desde cada una de las cargas hasta el punto deobservacin P. Segn el dibujo adjunto tendremos que

r1 12

x12

y r2 12

x12

y r3 12

x12

y

siendo el mdulo de los tres anteriores vectores idntico y de valor

ri D

12

El campo en P viene dado por

EP 2

i1

140

qir3i

ri

que considerando el valor de ri obtenemos

EP 140

qD3

12

x12

y212

x12

y312

x12

y

140

qD3

3x2y 2

2q40

3x2y

1.2.4. Campo elctrico de distribuciones continuas de carga

Aunque el carcter discreto de la materia (naturaleza atmica) esbien conocido, en multitud de situaciones prcticas, este carcter dis-creto puede obviarse y considerar que la materia puede describirsecomo un continuo. Desde un punto de vista matemtico, esto implicaque la materia se describir como una superposicin de elementos dife-renciales infinitesimales, por ejemplo para calcular su masa: m

dm(en vez de describir la materia como un agregado de partculas indi-viduales, donde: m Ni mi). Esta consideracin del continuo para lamasa de la materia tambin es extensible a su carga, de modo que enmltiples situaciones la carga se considerar como una distribucincontinua. En este caso, la carga total q de una distribucin de carga seobtendr como

q

dq (1.8)

Para obtener el campo elctrico producido por la anterior distri-bucin de carga en un punto P, se considerar que la contribucin de

, # $ %

cada elemento diferencial de carga, dq, al campo elctrico en P, dEP,puede asimilarse al campo elctrico producido por una carga puntualde valor dq, cuya expresin vendr dada por

dEP 140

dqr2

r (1.9)

donde el vector r va desde la posicin de dq hasta el punto P.dq

Px

r

dE

r

El campo total producido por toda la distribucin de carga se ob-tendr usando el principio de superposicin, tal y como se hizo para

dq

Pxr dE

r

cargas discretas en (1.6), al sumar las distintas contribuciones infinite-simales:

EP

dEP 140

dqr2

r1

40

dqr3

r (1.10)

En la prctica, para calcular el campo producido por las distribu-ciones de carga se introduce el concepto de densidad de carga, querelaciona la cantidad de carga existente en cada elemento diferencialcon el volumen, superficie o longitud de dicho elemento. En funcindel carcter geomtrico del elemento diferencial de carga pueden dis-tinguirse tres tipos distintos de distribuciones de carga y expresar elcampo en cada uno de los casos segn:

Distribucin lineal de carga : dq dl

EP 1

40

lnea

rr2

dl (1.11)

Distribucin superficial de carga : dq dS

EP 140

superficie

r

r2dS (1.12)

Distribucin volumtrica de carga : dq dV

EP 1

40

volumen

rr2

dV (1.13)

Debe notarse que en las integrales anteriores, la regin de integracinest extendida nicamente a la regin donde existen cargas.

$"$ & -

EJEMPLO 1.2

Con referencia en la figura adjunta, el diferencial de campo en el puntoP viene dado por

dEP 140

dqr2

r 1

40dxr2

r (1.14)

donde

r xxRy

r x

rx

Rr

y sen x cos y

Para expresar tanto dx como r en funcin del ngulo, debe considerarse que

x R tandx Rsec2 d

r Rsec

y reescribir por tanto (1.14) como

dEP 140

Rsec2 dR2 sec2 sen x cos y

d40R

sen x cos y (1.15)

Para obtener el campo elctrico se integrar la expresin anterior, de modoque

ExP

40R

2

1sen d

40Rcos2 cos1 (1.16)

EyP

40R

2

1cosd

40Rsen2 sen1 (1.17)

donde 1 y 2 son los ngulos que determinan los bordes inferior y superiorde la distribucin lineal de carga (ntese que los ngulos son medidos ensentido antihorario).

Para el caso de un hilo infinito, se tiene que 1 2 y 2 2, por loque las componentes del campo elctrico al sustituir en (1.16) y (1.17) son

Ex 0

Ey

20R

Teniendo en cuenta la simetra cilndrica que presenta el problema, el campoE

.....

.....

R

para el hilo infinito se puede expresar finalmente como

EP 20R

R (1.18)

. # $ %

1.2.5. Ley de Gauss

La ley de Gauss ( 1867) dice que el flujo del campo elctrico de-bido a una distribucin de carga a travs una superficie S es igual a10 veces la carga total, Qint, encerrada en el interior de la superficieS, esto es,

SE dS Qint

0(1.19)

/

Aunque las expresiones (1.11)-(1.13) son suficientes para calcularel campo en cualquier punto supuestas conocidas las distribucionesde carga (tal como se ha mostrado en el Ejemplo 1.2), este procedi-miento de clculo no es trivial incluso para los casos ms simples.Afortunadamente la ley de Gauss nos permitir obtener fcilmenteel campo elctrico en una serie de situaciones con alta simetra.

Para justificar la ley de Gauss, considrese el campo producido poruna carga puntual:

q

rE

r

E 140

qr2

r

Es interesante notar que la expresin (1.7) dice que el campo enuna superficie esfrica de radio r centrada en la posicin de la carga qpuede expresarse como

E Err (1.20)esto es, el mdulo del campo slo depende del radio de dicha esferay va siempre dirigido segn la normal exterior a dicha esfera en cadapunto (este campo presenta, por tanto, simetra esfrica).

Si se realiza la siguiente integral (ver seccin A.2):

q

r

E

dS

superf.

E dS (1.21)

que se conoce con el nombre de flujo del campo elctrico, , para elcampo producido por la carga puntual en una superficie esfrica deradio r centrada en la carga q se tiene que

superf.

E dS Er

superf.

r dS (1.22)

dado que Er permanece constante al integrar sobre la superficie esf-rica. Teniendo ahora en cuenta que

r dS dS r dS

la integral (1.21) puede escribirse para el presente caso como

Er

superf.

dS Er Area esfera

140

qr24r2 q

0 (1.23)

$"$ & 0

Es interesante notar que el flujo no depende del radio de la esferay es igual al valor de la carga encerrada en la esfera dividido por 0.Si se considera, por tanto, una esfera centrada en el mismo punto y

q

de distinto radio, se obtendr que el flujo seguir siendo el mismo.Parece entonces razonable suponer que el flujo a travs de cualquiersuperficie cerrada que incluya a la carga y comprendida entre ambasesferas concntricas venga tambin dado por q0.

Dado que el nmero de lneas de campo que atraviesa cualquierade las anteriores superficies es el mismo, el flujo del campo elctricoa travs de estas superficies podra interpretarse como una medidadel nmero de lneas de campo que las atraviesa. En este sentido, si elnmero de lneas de campo que atraviesa una superficie cerrada es ce-ro (esto es, entran tantas lneas como salen), parece razonable suponerque el flujo del campo elctrico a travs de dicha superficie sea igual-mente nulo. Podra por tanto escribirse para una superficie cerradaarbitraria, S, que el flujo de un carga puntual a travs de dicha super-ficie es

q

q

S

S

SE dS

qo

si q S

0 en otro caso (1.24)

En el caso de que se tenga una distribucin de cargas puntuales,por el principio de superposicin, se obtiene que

SE dS

S

i

Ei

dS i

SEi dS

ii (1.25)

esto es, el flujo de la distribucin a travs de la superficie S es igual ala suma del flujo asociado a cada una de las cargas individualmente.Dado que el flujo asociado a una sola carga ya fue obtenido en (1.24)se puede concluir que

SE dS Qint

0

donde Qint representa la carga total encerrada en el interior de la su-perficie S. La expresin anterior tambin se aplica en el caso de unadistribucin continua de carga.

EJEMPLO 1.3 En la situacin mostrada en la figura la carga en el interior de la superficie S

q1

q2

q3

Ses justamente

Qint q1 q2 En consecuencia el flujo a travs de dicha superficie, segn (1.19), ser

q1 q20

Aunque la ley de Gauss (1.19) es vlida para cualquier tipo de dis-tribucin de carga y superficie, sta slo es til para obtener el campoen situaciones de alta simetra. Estas situaciones se dan cuando exista

1 # $ %

una superficie de Gauss, SG, tal que, en aquellas partes donde el flujosea distinto de cero (superficie que se denominar S G), la integral delflujo se pueda realizar de modo que el mdulo del campo sea cons-tante sobre dicha superficie, esto es, cuando se pueda proceder de lasiguiente manera:

/ 2

3

SGE dS E

SGdS (1.26)

Aplicaciones de la ley de Gauss

Algunas de las situaciones donde es til aplicar la ley de Gauss sedetallan a continuacin:

Campo de un hilo recto infinito cargado.Este campo ya fue obtenido en el Ejemplo 1.2 mediante integra-cin directa. Ahora se obtendr siguiendo la ley de Gauss. Paraello puede notarse que debido a la simetra cilndrica del proble-ma puede deducirse que

E ER R

Este hecho implica que se puede escoger como superficie deGauss, una superficie cilndrica cuyo eje coincida con el propio

SL

R dS

S-

h

S+

hilo. De este modo se tendr que el flujo a travs de las superfi-cies superior e inferior (tapaderas del cilindro) es nulo dado queE dS en dichas superficies y en la superficie lateral, el mdulodel campo ser constante, esto es,

SLSSE dS

SL

E dS ERSL

Dado que el flujo debe ser igual al valor de la carga en el interiorde la superficie y sta incluye un trozo de hilo de altura h, Qint h y por tanto

E2Rh h0

de donde se deduce que el mdulo del campo viene dado por

E

20R

Campo de una distribucin uniforme esfrica de cargaSea una esfera de radio R con una distribucin uniforme de carga . Dado que en esta situacin el campo elctrico presenta sime-tra esfrica, esto es, E Err, se tiene que

d E dS Err dS ErdS

$"$ &

y, por tanto, el flujo a travs de una superficie de radio r ser

Sd Er

SdS Er 4r2

Qintr0

Debe notarse que la carga total encerrada por la superficie slodepende del radio de esta superficie y por tanto slo debe consi-derarse aquella carga en el interior del volumen de la esfera deradio r, esto es,

Qint

VdV

VdV

43r3 si r R 43R3 Q si r R

A partir de los resultados de las expresiones anteriores puede f-cilmente deducirse que el campo en cualquier punto viene dadopor

E

30

rr si r R

Q40r2

r si r R

Campo de un plano infinito cargado uniformemente (SG SG)Un plano infinito con una densidad de carga superficial unifor-me provoca un campo elctrico del tipo

E Eyy

El mdulo del campo no presenta dependencia respecto a lasvariables x y z debido a que cualquier punto con la misma coor-denada y es totalmente equivalente (es decir, ese punto ve lamisma distribucin de cargas). Con respecto a la direccin delcampo, por simetra cualquier componente que no sea verticales perfectamente cancelada dado el carcter infinito del plano.

Eligiendo como superficie de Gauss una superficie cilndrica co-mo la mostrada en la figura, se tiene que

SLSSE dS

SE dS

SE dS 2ES

e igualando el flujo al valor de la carga encerrada en el interiorde la superficie, Qint S, se obtiene

2ES S0

E

20y, por tanto, el campo ser

E 20

signyy (1.27)

" # $ %

Es interesante notar que el campo, por ejemplo para y 0, nodepende de la altura sobre el plano y por tanto es constante entodos los puntos (puede sorprender que incluso no decrezca conla distancia).

1.3. Potencial elctrico

Si se realiza la integral de camino del campo elctrico producido

A q

BE

r

dl

por una carga puntual, q, entre dos puntos A y B, a travs de una curva, se obtiene que

C BA B

AE dl

B

A

140

qr2

r dl q40

B

A

r dlr2

(1.28)

El numerador de la integral anterior puede expresarse como

r dl dl cos dr

y por tanto se encuentra que

C BA q

40

rB

rA

drr2

q40

1rA

1rB

(1.29)

Es interesante observar en (1.29) que:

La integral de camino es independiente del camino tomado para

A

B

ir desde el punto A hasta el punto B, B

AE dl

B

AE dl (1.30)

La integral de camino a travs de cualquier curva cerrada es nu-la,

E dl 0 (1.31)

Para una distribucin discreta/continua de carga, la integral de caminodel campo elctrico entre los puntos A y B puede calcularse, teniendoen cuenta el principio de superposicin, como

B

AE dl

B

A

i

Eir

dli

B

AEir dl (1.32)

Dado que esta magnitud se ha podido expresar como superposicinde las circulaciones relacionadas con cargas puntuales, la circulacindel campo de una distribucin arbitraria de cargas presentar las pro-piedades (1.30) y (1.31) expuestas anteriormente. En particular la pro-piedad (1.31) (la circulacin del campo a lo largo de una curva cerradaes nula) nos dice que

$'$ 4 '

el campo electrosttico es conservativo.

Dado que las propiedades que cumple el campo elctrico son idnticasa las expuestas en el Apndice A.1.11 para el gradiente de una funcin,esto sugiere claramente que el campo elctrico puede escribirse comoel gradiente de una funcin escalar, V , que se denominar potencialelctrico, de modo que

E V (1.33)por lo que la circulacin del campo elctrico puede expresarse comola variacin del potencial entre los puntos A y B:

B

AE dl

B

AV dlV AVB (1.34)

El signo menos en la definicin (1.33) del potencial elctrico se intro-duce simplemente para que el campo apunte desde puntos de ma-yor a menor potencial. Las unidades del potencial elctrico sern elproducto de la unidad de campo elctrico por la de longitud, esto es:Nm/C en el SI. Esta unidad de potencial recibe el nombre de voltio )

5 6!(V). Usualmente, la unidad de campo elctrico se expresa como V/m.

Puesto que la integral de camino del campo elctrico no dependedel camino sino slo del punto inicial y final, esta integral de caminopuede escribirse como sigue:

A

B B

AE dl

O

AE dl

B

OE dl

A

OE dl

B

OE dl

(1.35)

Teniendo en cuenta (1.34) y (1.35), el potencial elctrico en un pun-to cualquiera P puede definirse de forma genrica como

V P P

OE dl (1.36)

donde el punto O es un punto arbitrario de referencia (usualmente seimpone que el potencial valga cero en dicho punto).

Para el caso de una carga puntual, a partir de la expresin (1.36),puede observarse que

V P P

OE dl q

40

P

O

r dlr2

(1.37)

Tomando como punto de referencia el infinito y teniendo en cuentaque r dl dr, el potencial en el punto P, esto es V P, vendr dadopor

4

V P q40

r

drr2

q40

1r

r

q40r

(1.38)

( # $ %

Para una distribucin continua de carga, debido al principio de su-perposicin y siguiendo el mismo procedimiento que para el campo,se tendr que

4

&

V P 1

40

dqr

140

regin decargas

r

dV (1.39)

EJEMPLO 1.4

(a) Hilo recto infinitoPara calcular el potencial en un punto arbitrario debido a un hilo cargadorecto e infinito se proceder siguiendo la expresin (1.36) teniendo en cuentala expresin ya obtenida para el campo elctrico (1.18):

V P P

OE dl

20

P

O

R dlR

20

P

O

dRR

20

lnRR

O

20

lnRCte

Tomando la Cte en la expresin anterior como cero (el origen de potencial seescoge para R 1 ), se obtiene finalmente que

V

20lnR

(b) Plano cargado infinito

Teniendo en cuenta la expresin (1.27) para el campo producido por unplano infinito con densidad de carga , encontramos al aplicar (1.36) que estaexpresin se reduce a

V y y

0

20signydy

20signyy

20y

donde se ha tomado como referencia de potencial V 0 0.

Energa potencial

El trabajo, WE , que realiza el campo electrosttico para mover unacarga prueba Q desde el punto A hasta el punto B, vendr dado por

WE B

AF dl Q

B

AE dl (1.40)

Aplicando los resultados de la seccin anterior podemos ver quela integral (1.40) no depende del camino y, por tanto, la fuerza es con-servativa. Para fuerzas conservativas es sabido que el trabajo realizado

$'$ 4 +

por dichas fuerzas puede escribirse como la variacin (con signo ne-gativo) de la energa potencial, esto es,

WE UBUA U (1.41)

Este hecho queda patente al escribir el trabajo en trminos del poten-cial elctrico (ver (1.34)) como

WE QV AQVB (1.42)

e identificar la energa potencial de la carga Q en el punto P como

UP QV P (1.43) 3

Si ahora tenemos en cuenta (segn el teorema de las fuerzas vivas)que el trabajo es igual al incremento de la energa cintica del sistema,esto es: WE Ec; podemos escribir al igualar Ec con (1.41) que

Ec U Ec U 0 (1.44)

Dado que la energa mecnica, Em, del sistema se define como

Em Ec U

entonces podemos establecer que la energa mecnica de la carga Q en elcampo electrosttico se conserva.

EJEMPLO 1.5 q

Si entre las placas de un condensador plano se establece una diferenciade potencial V0 (ver figura adjunta), entonces el campo en el interior del con-

V=V0

V=0y

E

densador serE

V0d y

Dado que el potencial es la integral de camino del campo elctrico, esto es, y

0E dlV 0Vy

y como V 0 V0, se tiene que

V y V0 y

0Eydy V0

1yd

La energa potencial, Uy, de una carga q en el interior del condensador serpor tanto

Uy qV0

1 yd

Una partcula que parta del reposo (Ec 0) en la placa del condensadora potencial V0, se desplazar hacia zonas de menor energa potencial a lavez que ir aumentando su energa cintica. Debido a la conservacin de su

, # $ %

energa mecnica, la energa cintica al llegar a la otra placa, segn (1.44),toma un valor de

Ecd 12

mv2 qV0

por lo que la partcula adquirir una velocidad al llegar a dicha placa dadapor

v

2qV0m

(1.45)

V=V0 V=0

a)

b)

U =qV(0) 0

U d =( ) 0

E =c(0) 0

E d = mvc( ) 1/22 El hecho de que una diferencia de potencial entre dos electrodos aumente

la energa cintica de las cargas es usado muy a menudo para acelerar par-tculas cargadas. En la prctica, la placa final puede ser sustituida por unarejilla metlica que deje pasar las partculas.

1.4. Conductores en un campo electrosttico

Es bien conocido que la materia est formada por partculas ele-mentales cargadas y neutras. Las partculas de carga positiva (pro-tones) forman parte de los ncleos de los tomos y por consiguien-te estn fijas en promedio en los slidos. En ciertos materiales llama-dos dielctricos, las cargas negativas (electrones) pueden considerarseigualmente fijas. No obstante, en otros materiales denominados con-ductores, algunos de los electrones no estn ligados a tomos en par-ticular sino que forman una especie de gas de electrones que vagapor todo el slido. En esta seccin consideraremos un modelo idealde conductor en el cual existen infinitas cargas mviles que puedendesplazarse libremente. Dicho modelo se denominar conductor per-fecto.

1.4.1. Campo de un conductor cargado en equilibrio electros-ttico

En general, los conductores aparecen de forma natural como siste-mas neutros (igual nmero de cargas negativas que positivas). No obs-tante, aadiendo o quitando cargas libres al conductor, ste quedarcargado. Si se define equilibrio electrosttico como aquella situacinen la que todas las cargas estn en reposo y se tiene en cuenta la defini-cin de conductor perfecto dada anteriormente, podemos derivar lassiguientes conclusiones acerca del campo elctrico:

El campo elctrico es nulo en el interior del conductor.Si el campo elctrico no fuese nulo en el interior del conductordara lugar a movimientos de carga, lo cual estara en contradic-cin con la condicin de equilibrio electrosttico.Si el campo elctrico es nulo en el interior del conductor, al cal-cular la integral de camino del campo entre dos puntos A y B en

$($ % -

el interior del conductor obtenemos que

B

AEint dlV AV B 0 V Cte (1.46)

esto es, el conductor es equipotencial y en particular la superfi- 7cie del mismo es una superficie equipotencial.

La carga en exceso se localiza en la superficie del conductor.Si el campo en todos los puntos del interior del conductor es nulo,

Q = 0in t

SG

es porque no existe carga en el interior. Este hecho puede justi-ficarse utilizando la ley de Gauss. Si existiese carga neta en elinterior, eligiendo una superficie de Gauss que la envolviese, elflujo del campo elctrico a travs de la misma sera proporcionala la carga encerrada. Esto estara en contradiccin con el hechode que el flujo debe ser cero puesto que el campo en el interiores nulo. Por tanto, la carga en exceso debe localizarse en la su-perficie.

El campo elctrico en la superficie es normal a sta y de valor0 .Dado que el potencial es constante en todo el conductor, para

AB

E

dl

dos puntos cercanos A y B sobre la superficie se verificar que

dV lmAB

V AV B lmAB

V 0

y por tanto, dado que dV V dl (ver Apndice A.1.9), se tieneque

V dl 0

lo que claramente implica que E dl y puesto que dl es tangentea la superficie, podemos concluir que

E E n (1.47)

Si se aplica ahora la ley de Gauss a una superficie en forma ciln-E

Eint=0

S+

S-

drica tal como muestra la figura, se tiene que

E dS Qint0

ES S0

de donde obtenemos finalmente que

E 0

n (1.48)

. # $ %

1.4.2. Conductor neutro en un campo elctrico externo

Si un conductor inicialmente descargado (esto es, con una compen-sacin perfecta de cargas elctricas positivas y negativas) se somete alefecto de un campo elctrico externo, la carga mvil del conductor seredistribuye de manera que se establezca la condicin de equilibrioelectrosttico Eint 0. (Este proceso ocurre tpicamente en un tiempodel orden de 1014s para un conductor de cobre.) La redistribucin

Eint=0

Eext

+

+

+

++ +

+

+

+--

-

-

-

-

-

-

-

de la carga superficial provoca un campo en el interior del conductorque anula justamente al campo externo, provocando as la anulacinpunto a punto del campo total en el interior.

Es interesante observar que el proceso de redistribucin de cargafruto del equilibrio electrosttico puede considerarse como si ocurrie-se nicamente en la superficie, sin que implique cambio alguno en elinterior del conductor. Es ms, si parte del material conductor del in-

Eint=0

Eext+

+

+

++ +

+

+

+--

-

-

-

-

-

-

-

terior es extrado, con la consiguiente aparicin de un hueco, se darala misma redistribucin de carga en la superficie exterior del conductory, por tanto, el campo seguira siendo nulo en todo el interior del con-ductor, incluyendo al hueco. Esto quiere decir que para un conductorcon un hueco, el interior est completamente aislado del exterior y, enconsecuencia, los campos del exterior no afectaran a un dispositivosensible al campo elctrico (por ejemplo, circuitos electrnicos) situa-do en el interior del conductor. Este fenmeno se usa para disear jau-las de Faraday que aslen los sistemas elctricos. Una simple carcasametlica (o un plstico conductor) aislara, por ejemplo, los sistemaselectrnicos del interior de un ordenador con respecto a posibles in-fluencias elctricas externas.

1.5. Condensadores

1.5.1. Capacidad de un conductor

Si se aade cierta carga Q a un conductor inicialmente descargado,esta carga se redistribuye en la superficie del conductor creando unadensidad de carga superficial y consecuentemente un potencial, V ,cuyo valor viene dado por la siguiente integral:

V P 1

40

dSr

P S (1.49)

Por el principio de superposicin, si se aumenta la carga total, Q

dS, es razonable suponer que ello simplemente se traduzca en unaumento proporcional de la densidad superficial de carga, esto es,

Q Q Q S S Sy por tanto

V V V

$+$ 0

En la situacin descrita anteriormente, el cociente entre la carga yel potencial es el mismo,

QV

QV

QV

lo que implica que la relacin entre la carga y el potencial es una mag-nitud independiente de Q y V . Esta magnitud se conoce como capaci-dad, C, del conductor y se define como

C QV

(1.50)

La capacidad del conductor determina la carga que adquiere stepara un potencial dado: a mayor capacidad mayor carga, siendo C unparmetro puramente geomtrico y que, por tanto, slo depende de laforma del conductor.

La unidad de capacidad es el faradio (F), definida en el sistemainternacional como ) 8 !

1faradio 1 culombio1 voltio

EJEMPLO 1.6 RPor simetra esfrica, el campo en el exterior del conductor ser del tipo E Err y, por consiguiente, al aplicar la ley de Gauss a una superficie esfricaconcntrica con el conductor se obtiene que

E dS Q0

(1.51)

Er

dS Er4r2 Q0 (1.52)

de donde se obtiene que el campo en el exterior del conductor es

E Q40r2

r (1.53)

El potencial en un punto arbitrario se obtiene como

V r

rE dl Q

40

r

drr2

Q40

1r

r

Q40r

por lo que en la superficie de la esfera, el potencial ser simplemente

V R Q

40R(1.54)

y la capacidad:

C QV

40R (1.55)

Como puede verse, la capacidad slo depende de la geometra (el radio) dela esfera conductora.

Si el radio de la esfera fuese R 1m, la capacidad del conductor sera

C 1111012 F 111 pF

"1 # $ %

1.5.2. Influencia entre conductores

Si un conductor cargado con una carga Q, que suponemos positiva,+

++

++

+

+

++

+

+

+

+

+

+

++

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

++

++ +

+

+

+

+

++

-

-

se introduce en el hueco interior de otro conductor inicialmente des-cargado, esto origina una redistribucin de cargas en el conductor ini-cialmente neutro (ver figura). Esta redistribucin es consecuencia delestablecimiento de la condicin de equilibrio electrosttico en ambosconductores (Eint 0). Si la superficie exterior del conductor neutro seconecta a tierra (almacn infinito de cargas libres), suben tantos elec-trones desde tierra como sean necesarios para compensar las cargaspositivas, dando lugar todo este proceso a la aparicin de una carganeta Q en dicho conductor.

La situacin anterior se conoce como influencia total dado que losdos conductores tienen la misma carga pero de signo contrario. Todaslas lneas de campo que parten de un conductor acaban en el otro.(Esta situacin se encuentra estrictamente en la prctica cuando unconductor est encerrado en el interior de otro). Dos conductores eninfluencia total forman un sistema que se conoce como condensador,

)

9

definindose la capacidad de un condensador como

C QV (1.56)

donde Q es el valor de la carga en mdulo de cualquiera de los dosconductores y V es la diferencia de potencial en mdulo existenteentre los dos conductores.

Algunos ejemplos tpicos de condensadores se presentan a conti-nuacin:

Condensador esfricoPara calcular la diferencia de potencial entre los dos conductores

R1

R2

esfricos se parte de la expresin del campo en la zona interme-dia entre los dos conductores, donde

E Q

40r2r

y por tanto:

V R2

R1E dr Q

40

R2

R1

drr2

Q40

1r

R2

R1

Q40

R2R1R1R2

La capacidad del sistema viene entonces dada a partir de (1.56)por

C 40R1R2

R2R1 (1.57)

Es interesante notar que la capacidad del condensador esfricopuede llegar a ser mucho ms grande que la de un conductor

$,$ 3 % "

esfrico del mismo tamao, dado que

R1R2R2R1

R1

Condensador de placas paralelasPara calcular la diferencia de potencial entre las placas paralelas,este condensador se tratar suponiendo que las dimensiones dedichas placas son mucho mayores que la distancia entre ellas y,por tanto, stas se modelarn por dos planos infinitos cargados.Teniendo en cuenta la expresin (1.27) para el campo producidopor un plano cargado uniformemente, en el caso de dos planosinfinitos cargados con distinta polaridad, por superposicin se

-Q

Q

y

E( )Q E(- )Q

E(- )Q

E( )Q

E( )Q

E(- )Qtiene que

E

0y si 0 y d

0 en otro caso (1.58)

Obsrvese que el campo elctrico es uniforme en el interior delcondensador y nulo fuera de ste. El condensador plano sueleusarse generalmente para producir campos uniformes e inten-sos.

Para calcular la diferencia de potencial entre las placas del con-densador, se procede realizando la integral de camino del cam-po elctrico dado por (1.58) entre una y otra placa. Dado que elcampo elctrico es uniforme, puede escribirse que

-Q

Q

y

E

V d

0E dl Ed

0d (1.59)

Puesto que la carga de cada uno de las placas finitas viene dadapor Q S, la capacidad del condensador de placas paralelasser muy aproximadamente

C S0

d 0

Sd (1.60)

1.6. Energa Electrosttica

1.6.1. Trabajo para trasladar una carga

En una regin del espacio donde existe una distribucin fija decargas que crea un campo E, planteemos la siguiente cuestin: cules el trabajo mnimo necesario para mover una carga prueba Q desdeun punto A a un punto B?. La respuesta a esta pregunta viene dada

"" # $ %

por la integral de camino de la fuerza externa ejercida sobre la cargaentre ambos puntos, esto es,

W B

AFext dl (1.61)

Dado que la fuerza que ejerce el sistema de cargas sobre la carga prue-ba es de tipo electrosttico y puede expresarse segn (1.5) en funcindel campo elctrico, la fuerza externa mnima que debemos ejercer no-sotros para poder desplazar la carga deber ser justamente Fext QEy, por tanto, el trabajo ser

W Q B

AE dl Q V BVA (1.62)

que, obviamente, es independiente del camino debido a las propieda-des de la integral de camino del campo elctrico.

Teniendo en cuenta la definicin de energa potencial dada en (1.43),la expresin (1.62) para el trabajo puede identificarse con el incremen-to de la energa potencial, U , del sistema, es decir

W U (1.63)

Es interesante observar que la expresin (1.62) ofrece la posibilidadde interpretar

la diferencia de potencial entre dos puntos como el trabajo porunidad de carga que debemos ejercer para desplazar una par-tcula cargada entre dichos puntos.

En el caso de que la partcula venga desde el infinito (donde usual-mente se supone que est el origen cero de potencial), el trabajo quedebemos realizar para situar la partcula en el punto P puede expre-sarse como

W Q V PV QV P (1.64)

1.6.2. Energa almacenada en un condensador de placas pa-ralelas

Para obtener una expresin general de la energa electrosttica deun sistema arbitrario se analizar el caso particular del proceso de car-

+q

V(q) E

-q

+-

-

Bateria ga de un condensador de placas paralelas para despus generalizar(sin demostracin) las expresiones que se obtengan a cualquier siste-ma.

En el proceso de carga de un condensador plano (inicialmente losdos conductores son neutros), el efecto de la batera conectada a las

$,$ 3 % "'

placas del condensador ser el de extraer carga negativa de una delas placas y transferirla a la otra, de modo que ambas placas se vancargando dando lugar a la aparicin de un campo elctrico entre las placasy, consecuentemente, a una diferencia de potencial, V q qC, que vacreciendo en el proceso.

Para aumentar en un dq la carga sobre el condensador, la bateradebe realizar un trabajo que a partir de (1.64) podr expresarse como

dW V qdq qdqC

(1.65)

Segn (1.63) este trabajo justamente equivale al aumento de la energapotencial electrosttica del condensador, esto es: dW dU . Para cargarel condensador con una carga final Q, el trabajo total realizado (o equi-valentemente el aumento total de la energa potencial del sistema) seobtendr al integrar la expresin (1.65), de modo que

W U Q

0

qC

dq 12

Q2C

(1.66)

Dado que el aumento de la energa potencial del sistema es justamentela energa almacenada en el condensador, podemos identificar esta ga-nancia de energa potencial con la energa electrosttica del sistema,UE , es decir,

UE 12

Q2C

12

CV 2 12

QV (1.67)

En el caso particular del condensador plano, se encontr que

V Ed y C 0Sd

por lo que al introducir estas expresiones en (1.67) obtendremos

UE 12

CV 2 120

Sd E

2d2

120E2Sd

120E2V (1.68)

Si se define la densidad de energa en un campo electrosttico,uE , como

dUE uEdV (1.69)

de la expresin (1.68) se deduce que la densidad de energa elctricaen el condensador plano viene dada por

uE 120E2 (1.70)

Es interesante observar que la energa electrosttica del conden-sador plano puede expresarse tanto en trminos de la carga, expre-sin (1.67), como del campo elctrico, expresin (1.68). Estas dos ex-presiones dan cuenta de la posible ambigedad que encontramos al

"( # $ %

definir dnde se almacena la energa potencial del sistema. Segn laexpresin (1.67), esta energa estara almacenada en las cargas y se-gn la expresin (1.68) estara asociada al campo elctrico. Aunqueconsiderar que la energa est en el campo pudiera parecer extrao,esta concepcin es la ms conveniente para situaciones ms genera-les1. Antes de que existiera campo elctrico entre las placas, la energaelectrosttica en esa regin del espacio era cero y despus, cuando seha establecido un campo elctrico, la energa alcanza cierto valor. Portanto, parece congruente asociar la energa potencial electrosttica conla presencia del campo elctrico.

Aunque el resultado (1.70) se ha obtenido para un caso particular,clculos ms elaborados demuestran que este mismo resultado coin-cide con la expresin general vlida para la densidad de energa elec-trosttica de cualquier sistema cargado. En consecuencia, la energaelectrosttica de un sistema puede escribirse como

3 %

UE

todo elespacio

0E2

2dV (1.71)

EJEMPLO 1.7

El mdulo del campo en el exterior de la esfera conductora con carga Q

qR

E

r

Q viene dado porEr

Q40r2

r R

La energa de este sistema, al aplicar (1.71) siendo dV 4r2dr, ser portanto

UE 02

Q216220

R

4r2drr4

Q280

R

drr2

12

Q240R

12

Q2C

1.7. Dielctricos

Hasta ahora slo hemos venido estudiando los diferentes fenme-nos electrostticos en el vaco o bien en conductores perfectos. En estesentido, al estudiar, por ejemplo, el campo creado por una carga pun-tual en el Apartado 1.2.3 suponamos que no exista medio materialalguno en el espacio que rodeada a la carga puntual. Para introdu-cir el efecto de un posible medio material no conductor en esta ley,debemos considerar que estos medios denominados dielctricos (ver

1Por ejemplo, al estudiar la energa asociada a una onda electromagntica (verTema 8)

$-$ "+

Apartado 1.4) estn formados for tomos/molculas neutros elctrica-mente donde el centro de las cargas positivas (protones) coincide conel de las cargas negativas (electrones). No obstante, bajo la influen-cia de un campo elctrico externo, el centro de las cargas negativaspuede desplazarse con respecto al de las positivas, es decir los to-

++

Eext

Eex t=0

--

--

-

tomo

neutrotomo

polarizado

mos/molculas constitutivos del medio material pueden polarizarse.Este fenmeno de polarizacin dar lugar a un nuevo campo elctri-co de polarizacin que se opondr al campo original, manifestndoseeste efecto globalmente en que el campo original queda parcialmentereducido, como si fuese originado por una carga puntual de menorcuanta.

El mismo efecto global anterior se producira igualmente en uncondensador plano, donde se observa experimentalmente que la in-troduccin de un material dielctrico homogneo e istropo entre susplacas aumenta la capacidad de dicho condensador en cierta constan-te que depende exclusivamente del material. Para entender este efec-to observemos el condensador descargado de la Fig. 1.1(a), entre cuyas

Q0 -Q0

-Qp Qp

E0d

S

Ep

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

(a) (b)

FIGURA 1.1: (a) Condensador descargado entre cuyas placas existe un material die-lctrico. (Las esferas representan los tomos neutros constituyentes del dielctrico.)(b) Condensador cargado con una carga Q0 que es contrarrestada por una carga Qpproveniente de la polarizacin de los tomos constituyentes del dielctrico.

placas se ha colocado cierto material dielctrico (madera, papel, agua,plstico,...). Si ahora este condensador es cargado con una carga Q0en una placa (y Q0 en la otra), entonces aparecer un cierto campoE0 entre las placas del condensador. Este campo elctrico provocar lapolarizacin de los tomos del material dielctrico dando lugar a unasituacin microscpica tal como la descrita en la Fig. 1.1(b). Observe-mos que en el interior del material dielctrico las cargas positivas ynegativas se compensarn mutuamente, quedando sin embargo unacarga descompensada de valor Qp justamente en los extremos del ma-terial adyacentes a las placas del condensador. Esta carga originar un

", # $ %

campo elctrico Ep que al superponerse al campo original E0 da lugara un nuevo campo E, cuyo modulo puede expresarse como

E E0r

(1.72)

donde r es una constante adimensional positiva mayor que la unidad(r 1) que depender del material y que denominaremos permitivi-dad relativa del material.

Si la capacidad del condensador de placas paralelas en vaco (esdecir, sin material dielctrico entre sus placas) vena dada por

C0 Q0V0

0Sd

(siendo V0 E0d la diferencia de potencial entre las placas), podemosobservar que al introducir el material dielctrico se reduce el valor delcampo entre las placas del condensador y, en consecuencia, tambin sereducir la diferencia de potencial entre las mismas, que vendr ahoradada por

V Ed V0r

(1.73)

Dado que la introduccin del dielctrico no modifica la cantidad decarga inicial depositada en las cargas (la carga en el dielctrico apareceen los bordes de ste, no en las placas), tenemos que la capacidad delcondensador con dielctrico ser

C Q0V

Q0V0r

rC0 0rSd (1.74)

explicndose as el aumento de capacidad del condensador observadoexperimentalmente.

Observemos adems que, globalmente, el efecto de introducir elmaterial dielctrico homogneo e istropo ha quedado reflejado en lasustitucin de

0 rr (1.75)

en la expresin de la capacidad. De este modo podemos escribir quela capacidad de un condensador de placas paralelas viene dada por

C Sd (1.76)

donde

0r (1.77)

es la permitividad dielctrica del material.45

$.$ 4 "-

Evidentemente 0, siendo la permitividad de algunos materia-les usuales la siguiente:

PermitividadMaterial relativaVaco 1Aire 1.00059Agua (200C) 80Papel 3.7Porcelana 7Vidrio 5.6Neopreno 6.9Poliestireno 2.55

Podemos observar que, a efectos prcticos, el aire se comporta comoel vaco puesto que tiene una permitividad relativa muy prxima a launidad.

La anterior discusin sobre la inclusin de dielctricos homog-neos e istropos podra extenderse al estudio de otras magnitudes ysituaciones, obtenindose siempre que las expresiones obtenidas ante-riormente para el vaco quedan simplemente modificadas por la susti-tucin de la permitividad dielctrica del vaco por la correspondientepermitividad dielctrica del material. As obtendramos, por ejemplo,que la densidad de energa elctrica de una regin del espacio dondehay un material dielctrico de permitividad vendr dada por

3 %

UE

todo elespacio

E2

2dV (1.78)

1.8. Problemas propuestos

1.1: Calcule la fuerza de repulsin electrosttica entre dos partculas (cada par-tcula est compuesta por dos protones) y comprela con la fuerza de atraccingravitatoria entre ellas.Sol. Felect 918 102 N; Fgrav 297 1037 N.

1.2: Cul es el valor del mdulo del campo elctrico an un punto situado a 30 cm deuna carga puntual de 10 C.Sol. E 1010 N/C.

1.3: Dos cargas puntuales iguales de valor q estn situadas en los puntos a00 ya00. Calcular el potencial y el campo elctrico debido a dichas cargas en los puntosdel eje Y .Sol.: V 0y0 q20y2 a212, E0y0 q20yy2 a232 y.

". # $ %

1.4: Tres cargas puntuales de igual valor, q, se encuentran dispuestas en los vrticesde un tringulo, como se indica en la figura. Calclese: a) el campo elctrico y elpotencial generado por las tres cargas en puntos del segmento que une los puntos00 y 0h; b) la fuerza ejercida por las dos cargas que se encuentran sobre el eje X

q

q

q

( )l/2,0

( )0, h

(- )l/2,0

y

xsobre la carga situada en 0h.Sol.: a) V 0y Kq2l22 y212 h y1, E0y Kq2yl22 y232 h y2 ey. b) F Kq22hl22 h232 ey.

1.5: Las cuatro cargas del dibujo estn dispuestas en los vrtices de un cuadradoq

-q

-q

q

L

L

Y

X

de lado L. a) Hallar el valor, sentido y direccin de la fuerza ejercida sobre la cargasituada sobre el vrtice inferior izquierdo por las cargas restantes. b) Demostrar queel campo elctrico total en el punto medio de cualquiera de los lados del cuadradoes paralelo al lado considerado, est dirigido hacia la carga negativa vrtice de dicholado y su valor es E 2q0L21

525 N/C.Sol.: a) F q240L211

8x y N.

1.6: El potencial electrosttico en cierta regin del espacio est dado por V 2x2 y2 z2, donde x, y, z se expresan en metros y V en voltios. Determinar: a) la compo-nente del campo elctrico en el punto 123 a lo largo de la direccin dada por larecta que pasa por dicho punto y por el punto (3,5,0); b) el trabajo que realizara elcampo sobre una carga puntual q 2 C que se desplazase desde el punto 123 has-ta el 333.Sol.: a) 233 N/C; b) 22 J.

1.7: Sobre los planos x 0 y x 4 existen densidades de carga de valor 1 108C/m2 y 1 108 C/m2 respectivamente. Determinar: a) la fuerza que acta sobreuna carga puntual q 1 pC situada en el punto (1,0,0); b) el trabajo realizado por elcampo para transportar dicha carga hasta el punto (3,2,0); c) la d.d.p. entre los puntos(1,0,0) y (8,0,0).Sol.: a) 36 1011 x N; b) 72 1011 J; c) 1080 V.

1.8: Una gota de aceite cargada de masa 25 104 g est situada en el interior deun condensador de placas plano-paralelas de rea 175 cm2. Cuando la placa superiortiene una carga de 45 107 C, la gota de aceite permanece estacionaria. Qu cargatiene esta gota?Sol. Q 843 1013 C.

1.9: Determinar el campo elctrico y el potencial en todos los puntos del espacio endos casos: a) Esfera conductora de radio R y carga Q; b) Esfera no conductora de radioR con densidad volumtrica de carga uniforme de valor (nota: elegir potencial ceroen el infinito en ambos casos).Sol.: a) r R: Er Q40r2 r, V r Q40r; r R: E 0, V Q40R;b) r R: Er R330r2 r, V r R330r; r R: Er r30 r, V r R2 r2320.

1.10: Un esfera no conductora de radio R tiene una densidad volumtrica de carga Ar, donde A es una constante y r la distancia al centro de la esfera. Determinar: a)la carga total de la esfera; b) el campo elctrico y el potencial en cualquier punto delespacio (nota: elegir potencial cero en el infinito).Sol: a) Q AR4; b) r R: Er Ar240r, V r Ar3120AR330; r R:Er Q40r2r, V r Q40r.

1.11: Demuestre que el campo elctrico fuera de un conductor cilndrico rectilneo deradio R, longitud infinita y densidad de carga superficial es equivalente al campodebido a una lnea infinita cargada con la misma cantidad de carga por unidad delongitud (es decir, si 2R ).

$.$ 4 "0

1.12: Determinar el potencial y el campo elctrico en el eje de un anillo circularderadio R con una densidad de carga lineal uniforme que est situado en el plano XYy tiene su centro en el origen de coordenadas.Sol.: V 0z0 20Rz2 R212, E0z0 20Rzz2 R232 z.

1.13: Dos anillos circulares de radio R coaxiales y con sus centros separados una dis-

Ra

tancia a estn cargados con densidades de carga lineal y respectivamente. Hallarel trabajo que hay que realizar para situar una carga prueba, q, en los puntos siguien-tes: a) centro del anillo cargado positivamente; b) punto del eje equidistante de ambosanillos; c) centro del anillo cargado negativamente (nota: en los tres apartados, supo-ner que la carga q se trae desde el infinito al punto considerado).Sol.: a) W q201RR2 a2 ; b) W 0; c) W q20RR2 a21

1.14: Un cilndrico de longitud infinita y radio b con una cavidad cilndrica en suinterior de radio a posee una densidad volumtrica de carga , segn se indica en lafigura. Calclese: a) la carga total del cilindro por unidad de longitud; b) el campoelctrico en todos los puntos del espacio; c) la fuerza sobre una carga puntual, q, si-tuada en el punto de coordenadas bb0, as como la componente de dicha fuerza enla direccin dada por el unitario n 1

31

31

3; d) la diferencia de potencialentre los puntos bb0 y 2b2b2b.

Sol.: a) b2 a2 ; b) si r a E 0 , si a r b E r2a22r0

r , si r b E

b2a22r0

r; c) F qb2a2

40b110, Fn

qb2a22

30bn;

d) V bb0V 2b2b2b b2a2 ln220

.

1.15: a) Cul es la capacidad de un sistema de dos placas plano-paralelas de rea 1mm2 separadas 1 mm?. b) Cunto trabajo realizaramos para carga el anterior con-densador con una carga de 103 C ?. c) Cul sera la fuerza entre las placas?.Sol.: a) C 805nF; b) W 621 J; c) F 565 104 N.

1.16: a) Qu cantidad de carga ser necesario aadir a una esfera conductora aisla-da de radio R1 10cm para que sta alcance un potencial de 500 V?. b) Si la anteriorcarga es compartida con otra esfera conductora aislada de radio R2 5cm de radio(ambas son conectadas mediante un fino hilo conductor), cul ser la carga y el po-tencial final en cada esfera conductora?.Sol.: a) Q 56 109 C; b) Q1 374nC, Q2 186nC, V1 V2 3366V.

1.17: Cinco condensadores idnticos de capacidad C0 estn conectados en un circuito

a b

C0

C0 C0

C0

C0

puente tal como indica la figura. a) Cul es la capacidad equivalente entre los puntosa y b?. b) Calcular la capacidad equivalente si la capacidad entre a y b cambia ahora a10C0.Sol.: a) Cequiv 2C0; b) Cequiv 11C0;

1.18: Un condensador de 1 F se ha cargado a 10 V. Determnese: a) la carga acumu-lada y el trabajo que fue necesario realizar; b) la densidad de energa elctrica en elinterior del condensador sabiendo que puede asimilarse a un condensador ideal deplacas plano paralelas separadas una distancia de 10 cm; c) el trabajo necesario paraaumentar la carga del condensador al doble de la que posee. Comprese con el traba-jo calculado en el apartado a) (Dato: 0 88541012 F/m).Sol.: a) Q 10 C, W 5105 J; b) E 4427108 J/m3; c) W 15105 J.

1.19: Se consideran los condensadores planos esquematizados en la figura. Determi-

dd r2

r1

S

d r1 r2S/2 S/2

a)

b)

nar la capacidad de cada uno de ellos.Sol.: a) C C0r1 r22; b) C C0r1r2r1 r2, siendo en ambos casos C0 0Sd.

Tema 2

Circuitos de CorrienteContinua

2.1. Introduccin

En el tema anterior se ha introducido la Electrosttica como el estu-dio de la interaccin entre cargas en reposo. No obstante, cabe sealarque, en general, la Electrosttica puede aplicarse a situaciones en lasque la distribucin de cargas permanece invariable en el tiempo. El estudiode las cargas en movimiento se iniciar en el presente tema. Estas cargasen movimiento, o lo que es lo mismo, un flujo de partculas cargadas,dan lugar a una corriente elctrica, de la misma manera que molculasde agua en movimiento dan lugar a una corriente de agua.

En funcin del tipo de movimiento que lleven las cargas se clasi-ficar la corriente elctrica en corriente continua y corriente alterna.La corriente continua es aqulla en la que el flujo de cargas perma-nece invariable en el tiempo (por ejemplo, cuando los electrones enun cable se mueven a velocidad constante)1 .Cuando el flujo de cargasvara en el tiempo, entonces el movimiento conjunto de estas cargasse conoce como corriente alterna.

El objetivo final del presente tema ser el anlisis de los circuitosde corriente continua, tanto por su importancia propia en la tecnolo-ga actual como por ser un primer paso para el estudio y comprensinde los circuitos electrnicos ms complejos. Los circuitos de corrien-te continua se resuelven a partir de las reglas de Kirchhoff, que se-rn deducidas en este tema como una consecuencia de un anlisis de

1Es interesante notar que si el flujo de cargas permanece invariable en el tiempo(corriente continua), esto implica que la carga por unidad de tiempo que atraviesacualquier superficie no aumenta ni disminuye y, por tanto, la distribucin de cargaspermanece invariable en el tiempo, provocando que, a pesar de que las cargas semuevan, todava se pueda seguir aplicando la Electrosttica. No obstante, las cargasdel interior del conductor generalmente no generan campo elctrico dado que existeuna compensacin precisa entre cargas positivas y negativas.

31

'" # "$

campos. Tras la deduccin de estas reglas, se hablar de las fuentesde alimentacin de estos circuitos y, en particular, se discutir el con-cepto de fuerza electromotriz. Finalmente se presentar un mtodo deanlisis de circuitos lineales denominado anlisis de mallas.

2.2. Vector densidad de corriente

Una medida de la corriente elctrica es proporcionada por la in-tensidad de la corriente, I. Esta magnitud se define como

I dQdt (2.1)

esto es, la carga total por unidad de tiempo, Q, que atraviesa cierta superficieS. La unidad de intensidad de la corriente elctrica es el amperio (A)definido como

)

!

1amperio 1 culombio1 segundo

; 1A 1C/s

La definicin de la intensidad de corriente como el ritmo temporalcon que la carga atraviesa cierta superficie S establece una dependen-cia de esta magnitud con el flujo de carga a travs de cierta superficie

dS

S J que debe especificarse. Este hecho sugiere la conveniencia de expresarla intensidad como el flujo de cierto vector (ver Apndice A.2), que sedenominar vector densidad de corriente J, a travs de la superficieS:

I

SJ dS (2.2)

Evidentemente las unidades de J son de intensidad partido por su-perficie, esto es: A/m2; representando el mdulo de esta magnitud lacantidad de carga que pasa por unidad de superficie y por unidad detiempo a travs de un elemento de superficie perpendicular al flujo.

Para obtener una expresin explcita del vector densidad de corrien-te en funcin de las caractersticas del flujo de partculas cargadas,consideraremos la situacin mostrada en la figura adjunta. En esta fi-gura se muestra la contribucin a la corriente, I, de la parte de carga,Q, que atraviesa el rea S (la carga por unidad de tiempo que atra-viesa la superficie completa ser I). Claramente la carga que atraviesaS en la unidad de tiempo t es aqulla comprendida en un volumende rea transversal S y de longitud l igual al recorrido de una de lascargas en el tiempo t, siendo por tanto l vdt, donde vd es el mdulode la velocidad de desplazamiento de las partculas cargadas. Supues-to que existen n partculas cargadas mviles por unidad de volumeny que la carga de cada una de las partculas es q (luego la carga porunidad de volumen es nq), se tiene que

Q nqV nqSvdt

"$"$ 6 ''

La carga que atraviesa el elemento de rea S por unidad de tiempot, ser por tanto

I Qt nqvdS

Si se tiene en cuenta que en el caso analizado previamente, el reaconsiderada estaba orientada perpendicularmente al movimiento, laexpresin anterior ofreca directamente el valor del flujo que atrave-saba dicha rea. Si el rea considerada, S, presenta otra orientacin,entonces el flujo debe expresarse en trminos del producto escalar dela velocidad de las partculas por el vector rea (al igual que ya se hizopara el flujo del campo elctrico) y por tanto, en general,

I nqvd S (2.3)

Tomando ahora el lmite de la expresin anterior para reas infinitesi-males, S 0, (2.3) puede reescribirse como:

dI nqvd dS (2.4)

de donde se deduce que la intensidad que atraviesa el rea total Svendr dado por

I

SdI

Snqvd dS (2.5)

Comparando ahora (2.5) con (2.2), obtenemos la siguiente expresinpara el vector densidad de corriente en el caso de que exista un nicotipo de portadores:

6 J nqvd (2.6)En aquellas situaciones en las que haya ms de un tipo de portadores,la expresin (2.6) puede generalizarse y escribirse como

J i

niqivdi (2.7)

Es interesante observar (segn muestra la figura adjunta) que si te-nemos cargas positivas y negativas fluyendo en el mismo sentido, lacorriente respectiva estar dirigida en sentidos opuestos.

+

-

vd J

JEJEMPLO 2.1 ! " #$ % '

Es interesante primero notar que para el caso de corriente continua enun cable (que generalmente presenta una seccin transversal invariante), laexpresin de la intensidad se reduce a

I

SJ dS

SJdS J

SdS JS (2.8)

donde se ha supuesto que J dS y que J permanece constante en toda laseccin transversal (n no vara en la seccin y la velocidad de las cargas es lamisma en toda la seccin).

'( # "$

Puesto que J nqvd , de la expresin (2.8) se deduce que la velocidad dedesplazamiento de las cargas mviles puede escribirse como

vd I

nqS

Dado que la intensidad, la carga elemental q y la seccin transversal pue-den calcularse a partir de los datos del problema, vd quedar determinada siconocemos el valor de n. Para calcular el nmero de electrones libres porm3 en el cobre, supondremos que cada tomo de cobre aporta un electrnlibre al metal, por lo que el nmero de stos coincidir con el nmero de to-mos de Cu por m3, na. Para obtener na puede calcularse el nmero de molespor m3, , y multiplicar este nmero por el nmero de tomos en un mol,NA 602 1023, esto es: na NA. A su vez, el nmero de moles por m3puede obtenerse como

masa de 1m3

masa de un mol

A

por lo que n puede obtenerse a partir de la siguiente expresin:

n NAA

Para el caso del Cu, A 6355g y 893 g/cm3, por lo que

n 6021023 893 106

6355 8461028 electronesm3

La velocidad de desplazamiento ser por tanto:

vd 20 103

846 1028 16 1019 08 1032 23 106 ms

Obsrvese el valor tan pequeo de velocidad que se obtiene para el despla-zamiento de los electrones en el interior del cable, aunque esta velocidadde desplazamiento tan pequea no implica que haya que esperar un largotiempo para que se inicie la corriente elctrica. Algo similar ocurre en unacolumna de soldados respondiendo a la voz de marcha, aunque la velo-cidad de desplazamiento de los soldados pueda ser pequea, la columna sepone en marcha de forma casi instantnea.

Ecuacin de continuidad de la carga

El principio de conservacin local de la carga (ver Apartado 1.1)exiga que si cierta carga desapareca de un lugar, esta misma cargadeba haber viajado y aparecer posteriormente en otro lugar. Dadoque la carga viajando constituye una corriente elctrica, este principiopuede expresarse en trminos de dicha corriente elctrica como

La intensidad de corriente que atraviesa la superficiecerrada de un recinto es igual a menos la variacintemporal de la carga mvil en su interior.

"$'$ 5: / ;

', # "$

El complicado proceso interno puede simularse globalmente con-siderando que el resultado de las colisiones puede modelarse median-te el efecto de una fuerza disipativa, Fd vd , que se opone al mo-vimiento. Segn este sencillo modelo, la ley de movimiento de unade las partculas cargadas en el interior de un conductor real vendradada por

mdvddt qEvd (2.12)

En la situacin estacionaria en la que la velocidad de desplazamientode las cargas permanece constante (esto es: dvddt 0), sta podrexpresarse, segn (2.12), como

vd q E

y por tanto, dado que J nqvd , el vector densidad de corriente vendrdado por

J nq2

E (2.13)

La anterior expresin manifiesta la existencia de una relacin linealentre el vector densidad de corriente y el campo elctrico aplicado quepuede expresarse como 2

J E (2.14)

siendo un parmetro asociado al material que se conoce como con-

/ ;

"$'$ 5: / ;

'. # "$

A partir de (2.20) podemos deducir que las unidades de conduc-tividad son inversamente proporcional a la resistencia y longitud,por lo que las unidades de conductividad suelen darse en m1.La conductividad elctrica es una de las magnitudes que ms varan 5 )

11 de un material a otro: desde 1015m1 para materiales muy po-co conductores (dielctricos) hasta 108m1 en metales muy buenosconductores como el cobre o la plata. Puesto que la conductividad delos metales suele ser muy alta y, por tanto, su resistencia muy baja,en mltiples situaciones prcticas (por ejemplo, en la mayora de loscircuitos) se considera que no hay cada de potencial en los conductoresmetlicos sino que toda la cada de potencial se da en unos elementosespecficos de menor conductividad llamados resistencias.

R

V =V12 AB

A B1 2

2.3.3. Efecto Joule

En los apartados anteriores se ha discutido que la presencia decorriente elctrica en un conductor real lleva aparejado un proceso di-sipativo de energa fruto de las continuas colisiones de los portadoresmviles con los restos atmicos fijos. Este proceso disipativo implicauna prdida de energa cintica de los portadores de carga en formade calor que se transmite al material conductor. La presencia de unacada de potencial en un conductor real (cuando ste es recorrido poruna corriente elctrica) provoca que para desplazar un diferencial decarga, dq, desde el punto de potencial V1 al punto de potencial V2, elcampo elctrico externo deba realizar un trabajo. Si la diferencia de

E

V1

dq

V2 potencial entre estos dos puntos es V V1V2, este trabajo viene da-do, segn (1.64), por

dW dqV1V2 dqV

Teniendo ahora en cuenta que el elemento de carga, dq, es parte deuna corriente I que circula por el conductor, podremos escribir que:dq Idt; por lo que el diferencial de trabajo realizado por el campopodr expresarse como

dW IVdt (2.21)

En consecuencia, el ritmo temporal con el que se realiza este trabajo,que coincidir con la potencia, P dWdt, disipada en forma de caloren la resistencia, vendr dado por

/ ?

P IV I2R V 2R (2.22)

Esta ley para la potencia disipada en una resistencia fue deducida ex-perimentalmente por J.P. Jo