1. Introducción

El mundo tr¡-d¡mons¡onal

De hecho, viv¡mos en un mundo de t.esdirnens¡ones. Lo que vemos delante de nosotrosno es una imagen lis€, que tiene sólo largo yancho, sino una exDansión con orofundidad ffsi-ca, la te¡cera dimensión. El suelo que hay bajonuestros pies se extisnde hasta el horizonte dis-tante. Podemos m¡rar directament€ ad€lante,hacia atrás, hacia la ¡zqu¡erda, hac¡a la dere-cha, hac¡a arriba, hac¡a abajo. Lo que vemos esun espac¡o continuo en el que estamos inclu¡dos.Hay muchos objetos cercanos que podemostocar y obietos más lejanos que se hacen tang¡-bles si tratamos de l legar hasta ellos.

Todo obj€to que ssa pequeño, l iviano ycercano puede ser levantado y sostenido pornuestras manos. Cada movimiento de¡ objetomuestra una f¡gura diferente, porque ha camb¡a-do la relación entre el objeto y nuestros ojos. Sicaminamos d¡rectamente adelante hacia unaescena (esto no es pos¡ble en el mundo b¡-d¡mensional) no sólo los objetos que están a ladistancia se vuelven gradualmente más grandes,sino que sus figuras cambian, porqus vamosmás de ciertas superficies y menos de otras.

Nuestra comprensión de un objeto tr¡-dimensional nunca Duede ser comDleta con unv¡stazo. La perspect¡va desde un ángulo f¡jo yuna distancia puede ser engañosa. Una figuracircular oue sea Dr¡meramente vista desde cienad¡stanc¡a alejada pu€de term¡nar por ser, tras unexamen más cercano, una esfera, un cono, uncil¡ndro o cualquier otra figura que tenga unabase redonda. Para comprender un objeto tr¡-dim€nsional, tenemos que ve.lo desde ángulos yd¡stanc¡as d¡ferentes y luego reunir en nuestrasmentes toda la información para comprenderplenamente su realidad tri-dimensional, Es a tra-vés de la mente humana oue el mundo tri-d¡-mensional obtiene su signif¡cado.

El diseño b¡-d¡mens¡onal

El diseño bi-dimensional concierne a lacreac¡ón de un mundo bi-d¡mensional medianteesfuerzos consc¡entes de organizac¡ón de los

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diversos elementos. Una marca casual, como ungarabato en una superficie l isa. puede dar resul-tados caóticos. Eso puede estar lejos del diseñob¡-d¡mensional, cuyo pr¡ncipal objet¡vo es esta-blecer una armonía y un orden visuales ogenerar una exc¡tac¡ón v¡sual dotada de unDroDósito.

El diseño tr¡-dimens¡onal

En forma s¡milar al bi-dimensional, €l dise-ño tr¡-dimens¡onal p.ocura asim¡smo establecetuna armonía y un orden visuales, o generar unaexcitac¡ón v¡sual dotada de un propósito, excep-to porque su material es el mundo tr¡-dimensional. Es más complicado oue e¡ d¡señobi-d¡mensional Doroue deben considerarses¡multáneamente var¡as Dersoectivas desde án-gulos distintos y porque muchas de las comple-jas re¡ac¡ones espaciales no pueden ser fácil-mente visualizadas sobre el papel. Pero esmenos complicldo que el d¡seño bi-dimen-sional porque trata de formas y materiales tangi-bles en un espacio real, asf que todos los proble-mas relativos a la representación i lusoria de for-mas tri-dimensionales sobre un papel (o cusl-quier otra superficie l isa) pueden ser evitados.

Algunas personas se inclinan a pensar entérminos escultóricos, pero muchas otras tien-den a hacerlo en términos o¡ctóricos. Estas últ¡-mas pueden tener algunas dificultades con eld¡seño tri-d¡mensional, A menudo están tanpreocupadas con la visión frontal de un d¡señoque dejan de lado otras perspect¡vas. Puedenpensar que las estructuras internas de las for-mas tri-dimensionales €stán más allá de la com-prens¡ón, o sentirse fác¡¡mente atrafdas por elcolor y la textura de la superfic¡e cuando el volu-men y el espacio son más imponantes.

Entre el pensam¡ento b¡-dimens¡onal y eltri-dimens¡onal hay una diferonc¡a de actitud. Undiseñador tr¡-dimens¡onal deb€ s€r caoaz dev¡sualizar mentalmente la forma completa yrotarla mentalmente en toda dirección. como s¡la tuv¡era en sus manos. No debe reducir su ima-gen a una o dos perspectivas. sino que debeexplorar proli jam6nte el papel de la profundidad

y el f lujo del espac¡o, €l espac¡o de 18 masa y lanaturaleza de los difer€ntas mat€rial€s.

Las tres di¡occionea primariar

Para comanzar a pensar en forma tr¡-d¡-mensional debemos ante todo conocer las tresd¡r€cc¡ones primarias. Como s€ ha d¡cho antes,las tres dimensiones son largo, ancho y profun-d¡dad. Para obtener las tres dimensiones decualquier objeto debemos tomar sus medidas endirección vertical, horizontal y transversal,

Las tres direcc¡ones Drimarias son asf unad¡recc¡ón vert¡cal que va de arriba a abajo.una hor¡zontal que va d€ ¡zqu¡eÍda a derechay una transversal que va hac¡a adelante y hac¡aatrás (fig. 78).

Para cada dirección podemos establecerun olano l¡so. De esta manera oodemos tener unplano vertical, un plano horizontal y un plano.transversal (f ig. 79).

Duplicando tales planos, el vertical setransforma en los planos de adelante y atrás, elhorizontal en los de arriba y abajo, el transversalen los de izquierda y derecha. Con tales planosse puede construir un cubo (fig.8O).

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81 La! t.cr pa.lplctivsr bá!ic!!

Cualqu¡er forma tri¡ im6nsional puede ser¡ns€nada dentro de un cubo imaginario paraeslablecer las tres perspect¡vas (fig. 81).

Proyectando tal fo.ma hacia los planossupsr¡or, frontal y lat€r8l d€l cubo ¡maginario,podremos tanor:

a) una visión plana: la forma tal como esvista desde arr¡ba (fig. 82);

ó) una visión frontal: la forma tal como esvista desds adelsnte (fí9. 83);

c) una visión lat€ral: la forma tal como esvists desde €l costado (fig.84).

Cada v¡sión as un diagnma l¡so, y estasv¡s¡ones en su conjunto {ocasionalment€ com-pl€mentadas por otras v¡siones auxiliares y/os€ccionales) aponan la descripc¡ón más sxactad€ una forma trid¡mens¡onal. aunque se nacesi-ta tener algr¡n conocimisnto básico de dibujo de¡ngen¡ería pa.a pode¡ reconstruir con tales vis¡o-nes la forma original.

Elomontos dd dilcño tri-d¡m!nsional

En €l dis6ño bi{imens¡onal, como homosdicho al principio, h8y tres grupos de elementos:

a) los elementos conceptuales: punto, lí-nea, plano, volumen

ó) los €lemsntos v¡sualss: figura, tamaño,color v textura

c) los slsmsntos de relación: Dosición,dirección. sspacio y gravedad.

Los slomontos conc€ptuales no €xiston fí-sicamente, pom son percibidos como si estu-vieran presgntgs. Los elem€ntos v¡sualos pue-den ser v¡sios, desde lu€go, y const¡tuyen laapar¡€ncia final d8l diseño. Los elem€ntos de.€l8ción gobiernsn la estructura de conjunto ylas corresDondencias internas de los elsmentosv¡suales.

Todos sstos elementos son igualmsntees€nciales para €l d¡seño tri-dimensional, aun-que habremos ds definirlos de una mansraligeramente diferente, y agregar po. razonssprácticas un conjunto de slsmentos de cons-trucción. Los slomentos constructivos son. en

reSlidad. concrocionss de los €lomentos concap-tuales y serán indlsponsables sn nueatras dlscu-sionos futuras.

Elomcnto! conrtrust¡vot

Los €lem€ntos construct¡voa tiensn fu€rtascualidsdes estruclural6s y son psnicularmont€importantes para la comprons¡ón de los sólidosgeométr¡cos. Estos alomentoe aon los us8dospara indicar los componentes dol diseño tri-d¡msnsional:

El Vért¡ce, Cuando diversos Dlanos con-fluyon 6n un punto concéptual. tengmos un vé¡-tice. Los vórtices pusden sor proyectados hsc¡aafuers o hacia adsntro (fig.85).

bl Filo. Cuando dos planos paralelos seunen 8 lo largo de una lfnea conc€ptual, s€ pro-duce un lilo. Tamb¡ón los filos pu€den produclr-se hac¡a afuera o hacia adentro (f¡9.86).

cl Cara, Un plano conc€ptual que €stá ff-s¡camente presont€ sE conviert6 en una sup€rfi-c¡e. Las caraa son supSrficiss externas qu6encieran a un volumsn (fig.87).

ldealments todos los vórtlcss deben ssrmarcados y puntiagudos, lodos los filos debenser agudos y rectos, todas l8s supo.tlcies debsnser suavos y l i88s. En la realidad, esto depondode los materiales y l8s técn¡cas, y c¡ertas irr8-gulS.idades msnorss son normalmente ¡nevita-bles,

Los elementos construciivos pueden ayu-da. I dsfinir pr€cisamante las formas volumótri-cas. Por €jemplo, un cubo t¡ens ocho vértic6s.doce filos y seis caras.

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2. Planos seriados

Forma y aatruturu

La forma es unté¡ñino fácilmsnt€ confun-dido con la figurc. Se señaló antes qu€ una for-ma tri-dimensional puede tensr múltipl€s figurssbi-d¡monsional6s cuando se la ve sobre unasuperfic¡e lisa. Esto supone que la figura 6s sóloun aspecto de la iorma. CuSndo una forma €srotada 9n el espacio, cada paso ds 18 .oiaciónrevelg una figura l igsram€nte difer€nte, porqu€aparece un nuevo gspecto antrg nuostros oios,

La forma es asf la apar¡oncia visual total d6un diseño. aunqu€ la f¡gura sea su principal fac-tor de ¡dentif icación. Pod€mos as¡m¡smo identi-f¡car 18 forma por el tamaño, el color y 18 textura.En otras Dalabras. todos los glsmentos visualesson msncionados colectivam6nte como forma.

La estructur8 gob¡orna la mansra €n qu€una forma es construida, o la manora en que seunen una cantidad de formas. Es la o.gan¡zac¡ónespacial general, el esqueleto qus está det.ásdel ent.etej¡do de f¡gura, color y tsxtura. Laaparienc¡a ext€rna de una forma pusde ser muycompleja. misntras su €structura 9s r€lativa-mente s¡mole. A veces la estructu.a ¡nle.na d€una forma puedo no ser inmediatamentg perc¡-b¡da. Una vez descubiena, 18 forma pu€de s€rmejor comprendids y apreciada.

Módulo¡

Las fo.mas más pequañas, qu€ son 6peti-das, con va¡¡ac¡ones o sin 6llas, para produciruna forma mayor, se denomlnan módulos.

Un módulo puede estar compuesto de ele-mentos más p6qu€ños. que s€ denominan saó-módulos.

Una unidad mayor pueds estar hecha pordos o más módulos en r€lsc¡ón constant€ yaoar€c€r f.ecuentsments en un dis€ño. Se lesllama su^e.módulos.

Fopatición y gradec¡ón

Los módulos Dueden ser utilizados enrepetición exacta o en gradsción,

La repetic¡ón supone qus los módulos son¡dénticos 9n figura, tamaño, color y t€xtura. Lafigura €s el elemanto v¡sual más importante dslos módulos, y asf podemos ten€r módulos rsp€-t¡dos en figura poro no sn t8maño. El color y latextura pueden variar si asf ss lo desea, pero noestán dontro del alcance de este l¡b.o.

La gradac¡ón signilica transformsción ocamb¡o, de un8 manera gradual y ordgnada,Aquf 18 disposic¡ón de su secusncia €s muvimportant€, porque de otra manara el orden d9gradac¡ón no puod6 ssr reconocido,

Podemos tensr una gradación de f¡gura, enla que óst8 cambia l¡geramenio de un módulo als¡guiente, o gradación de tsmaño, con las unida-des rspet¡das o graduadas en su ligura,

Los ountos determinan una lfnss. Las ll-n€as determ¡nan un olano, Los olanos determi-nan un vorum€n.

Una línea puede ser .€pres€nt8da por unaserie d€ puntos (fig. 88).

Un plano puede ser ropresentSdo por unaser¡e de líneas (fig.89).

Un volumen puede ser repr€sentado poruna se¡ie de planos (fig.9O).

Cuando un volumen es repres€ntado poruna serie de planos. cada plano es una secc¡óntransversal del volumen.

Planos s€r¡ado!

Por lo tanto, para constru¡r un8 formSvolumétrica, podsmos pensar en términos desus secciones transversalss, o en cómo la formapuede ser conad8 en rodaias, a intsrvalosregulares, de lo que der¡van los planos seriados.

Cada plano ssrisdo puede sg. cons¡deradocomo un módulo, que podrá ser usado en rapeti-ción o en gradación.

Como fuera ya msncionado, la rspeticións€ refie.s a r8potir tanio la figura como el tama-ño d€ los módulos (fig. 911.

La gradsción se r€fi€re a una variac¡ón gra-dual del módulo, y puedo ser usada de tr6sman9las:

,) Gradsción de tamaño p€ro repeticiónde figura (fig. 92).

á) Gradación de figura pero ropetición detamaño (fig. 93).

c) Gradación de la f¡gura y d6l tamaño(f ig.94).

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D¡locc¡ón do un cubo

Para i lustrar un poco más, podemos divid¡run cubo an un8 csntidad de d€lgados planos deun m¡smo grosor.

La forma más simple es la soparac¡ón a lolargo d€ la longitud, del ancho o ds la profundi-dad, en capas paralolas. El rssultado es obteneruna cant¡dad de plsnos seriados, que son repeti-ciones de una misma f¡gura y un mismo tamaño(f is.95).

El mismo cubo puede ser separado diago-nalm€ntg. Hay muchas lormas de hacer esto.Nuestro diagrams mu€stra una suene de disec-ción diagonal, que der¡va en planos ssriados congradación de figura. El tamaño queda as¡m¡smoen gradac¡ón. La altura pe.man€c€ constante,pero el ancho 8um€nta o disminuye gradual-mente (fig.96).

D€be señalarc€ que en la d¡sección por 18longitud. por el ancho o por ls profundidad,todos los planos seriados poseen bordes cuadra-dos (f¡9.97).

En la disección di8gon8l. todos los planosseriados poseen bordes oblicuos (fig. 98).

Los bordes pusdsn no tanar mucha ¡mpo.-tancia si los planos son exlremadSmente d€lga-dos, pero s¡ son grussos no debe dsscuidarso la¡nfluencia de los bordss en €l diseño.

Al disponer los plsnos seriados deben con-siderarc€ los elemsntos d€ relación. Los dospr¡nc¡pales elementos de relac¡ón que no debenser descuidados son la posición y la d¡rscción,

Variacionar posic¡onrlca

La posición tisne r€lación, ant€ todo, consl espsc¡o entre los planos. Si no s€ introducenvar¡ac¡onss ds d¡rección, todos los Dlanos seria-dos serán paral€los entrg sf, cada uno do 6llossigu¡endo al otro sucesivamsnte, con un sspacioigual entrs ellos.

Supongamos que todos los planos soncuadrados de un mismo lamaño. Si un olanos¡gue a otro,6n forma recta. los bordos vert¡-cales de los planos trazan dos lfnsas rcctasparalelas, cuyo ancho €s €l mismo d6 los olanos(f is.99).

El €spacio €ntre los planos puede serest.echo o amplio, con efsctos d¡ferontss. Unespacio est.€cho da a 18 forma una mayor ssn-sación de solidsz, mientrss un espac¡o smpliodeb¡l¡ta la sugesr¡ón d€ un votumen (fig. tOO).

Sin csmb¡ar el espac¡o ontre los plsnos, laposición de cada uno puede ser trasladada gra-dualmente hscia un lado, o hac¡a adelante vatrás. Esto provoca que la figura volumótricaexper¡ments varias distors¡onos (fig. 101),

Asimismo, sin cambiar €l espacio €ntrs losplanos. la posic¡ón de cada uno pusd6 s€r trasla-dada gradualmente hacia srriba o hscla aba¡o.Esto puede ser hecho fácilmente si los el¿¡qgestán colgados o suspendidos en el sire (fig.102).

S¡ los planos son colocados sobre unabase, podgmos .educi. su 8ltu.a, pala sugerir elefecto de su hundim¡snto g.adual, sólo conla variación posicional de mane¡a v€rtical(f¡9. 103).

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Variacioncr dc diracción

La d¡rocc¡ón de los planos pueds sor var¡a-da de tr6s mansras:

a) Rotac¡ón sobre un eje vert¡cal (fig.104t.

á,1 Rotación sobre un eje hodzontal(f¡g. 1O5).

c) Rotsclón sobre el mismo plano (fig.106).

La rotación sobre un eie v€nical raquieredesviar a los planos de su d¡sposición parslela.La posic¡ón qu€da defin¡tivamente modif¡cada.porque cada camb¡o de d¡¡ección sx¡ge simultá-neament€ un camb¡o de oosición.

En 6ste caso, los planos pu€den sor d¡s-puestos en radiación, formando una llgura cir-cular (f ig. 1O7).

O puoden formar una figurS con curvas a la¡zqu¡erda y I lá d6r6cha (f¡9. 108).

La rotación sobr6 un eie horizontSl no pus-de hacerss s¡ los planos están fúos aobre unabase hor¡zontal. S¡ están fijos sobrs una basevertical, su rotación sobre un eie horizontal seráesenc¡almgnt€ 18 misma oue 18 rotac¡óñ sobreun €.¡e vorticsl, ya d€scr¡ta,

La rotación sobr€ el mismo pl8no suponeque las osquinss o los bord€s do cada plano semuevsn de una poslc¡ón a otra, sin afactar ladirecc¡ón básica del Dlano m¡smo. €sto derivaa una figura torc¡da en forma de €spiral (fig.109).

Los DlSnos Du€den ser ffs¡cam€nt€ curva-dos o quebrados si asf se desea (flg. 1 10).

Tócnicrs dc construcción

Cualquier t¡po d6 material en hoias pu6d6s€r utilizsdo p8¡a hacer planos soriados. Lashoias de acrll¡co son €xcelentss s¡ ae deaea unefecto d€ t.ansparsncia. Lae hojss de madsrsenchspada pueden sar uti l izadas para la cons-trucción en una esc8la muy grsndo. Casi todoslos modalos mostrados sn este csDftulo han sidohechos con cartón gruego, qu€ pusdg ser mans-¡ado con facil¡d8d. El grosor d6l canón asegurssu firm6 adherencia a la bas6, si la hay.

Para la construcción con canón, losmgiores adhesivos son los que psgan en formarápida y fuerte, Los plsnos vertlcales deben e¡i-girse en posición vertical, sobre una bas€ hori-zontal, par8 consegu¡r ol máximo ds firmeza yestabilidad. Los planos inclinados sólo son pos¡-bl€s cuando tanto los matsriales como el adhe-sivo son extremadamonto tuortss y cuando 9lbord€ d€ unión de cads plsno haya sido cortsdoobl¡cuamente con precisión (fig, 1 1 1).

Pa¡a reluerzo, pu€de utll¡za.se un plano oplanos ad¡cionales, junto I los bordes superioreso lateralss ds los planos. Esto s€ recomiandasolamonte cuando tal6s bordes de los planosd€semp€ñsn un papel ins¡gnificante en la ligurafinal dsl diseño (fig. 112).

Los planos seriados qu€ s6an dispuestos9n forma horizontal €xig6n un adhssivo muyfu€rte s¡ sólo se usa una tabla venical como sos-tén (fis. 1 13).

Normalmente, deben usarso dos o mástablss v€nicales para los planos ser¡ados 6nhorizontal (f ig. 1 14).

Pu€de utilizsrso un csntro venical de sos-tén para planos ser¡8dos hodzontales de unafigurs más l¡bre (fig. I 15).

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116 Las figuras 1 1 6 a 131 ¡lustfan un mis-mo problema de disoño, en proyectosrealizados por distintos estudiantes.

Figurc 116. Esta aparece constru¡dacon planos horizontales consecutivos,que son repetidos tanto en figuracomo en tamaño, Los planos sonparalelos entre sí, con iguales espa-cios ¡ntermedios, y están sujetos a dosplanos verticales.

Figurc | | 7, Aquf una cantidad de pla-nos verticales repetit¡vos son coloca-dos alrededor de un eje verticalcomún, El resultado es una figuracilíndr¡ca.

Figun | 18. La disposic¡ón es similar ala de figura 117. Los planos consecu-tivos aumentan graduslmente enaltura desde el frente hacia el fondo.La sensac¡ón volumétrica de la formano es muy fuene, d€bido a que elespaciam¡ento entre planos es bastan-te ampl¡o a lo largo de todo el períme-tro.

118

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112 113

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121

Figura l19. De un vistazo, parecerfaque todos ¡os planos consecut¡vos son¡guales, tanto en f¡gura como en tama-ño. Un €xamen más atento revela quetienen una suti l gradación de figura.Mientras la parte super¡or de la estruc-tura €s totalmente recta, la ¡nfer¡or setuerce sut¡lmente hacia una fiouraen v.

F¡gurc | 20. Con un plano recto en elcentro de la estructura, todos los otrosse tuercen en ángulos cada vez masagudos. La forma volumétrica suger¡-da es la de una €sfera.

F¡gurc | 21. Esta muestra el uso eficazde una gradación de f¡gura. Cada pta_no ha sido obten¡do por la combina-c¡ón de una figura rectangular posit¡vay de una figura circular negativa. Lapr¡mera tiene un ancho constante,pero la segunda se hace cada vezmayor y se mueve gradualmente hacraaba.¡o y hac¡a adelante. Los fi los rectosde la f¡gura rectangular son totalmen-te rectos al frente, pero los de atráscamb¡an gradualmente hacia curvas.para establecer un eco a las figurascirculares negat¡vas.

Figurc 122. Esta es una estructuratr¡angular que deriva de la gradaciónde los olanos consecutivos. tanto enfigura como en tamaño. Los planosconos y anchos, con figura de V, queestán en ambos costados, se hacenaltos y estrechos hacia el medio, por lagradac¡ón de tamaño y figura.

Figurc | 23. En esta estructura se hanut¡l izado planos c¡rculares de exacta-mente igual tamaño y figura. El efectode hundimiento de los olanos del fon-do se debe a la var¡ación de posic¡ón.Las dos vueltas oue comDonen lafigura giobal, sim¡lar al número 8, deri-van de una variación de dirección.

F¡gura 124. El uso de una gradaciónde figura es aquí bastante obvio y dauna sensac¡ón de planos que surgendesde la base o oue se hunden en ella.

114I t5

125 Figurc | 25. La gradación de forma esuti l izada aquí en forma bastante com-pl icada. La forma surge nít idamenredesde la base, pero se d¡vide en ercentro, revelando otra forma dentro dela profunda concavidad.

Figura | 26. Esta es una forma vert¡calerecla, con una sem¡esfera que seproyecta al frente y otra al fondo.Ambas sem¡esferas t ienen una por-ción cóncava, dentro de la cual se alo-Ja una semiesfera más pequeña. Elefecto es s¡milar al de la f igura t2S.

Figura | 27. El juego de concav¡dad ,convexidad es aquí igual al de la f igura125.

Figura | 28. Aquí la f igura sem¡esférjcaha sído div¡d¡da en dos partes y laf¡gura de cada pane ha sido luegomodif icada. Una prominente f iguranegativa se convierte ahora en el pun_to focal del diseño.

111

Figura 129. En esta forma, la grada_c¡ón de figura es ut¡l izada en combrna-ción con la var¡ación de d¡recc¡ón. Nó-tese la ¡ntroducción de una figuranegatrva que corre como un túnel porla pane inferio. del d¡seño.

F¡gurc 130. Todos los planos de esraestructura son repet¡tivos en f¡gura yen tamaño, pero quedan dispugstos enuna lrgera manera de z¡gzag por mediode la variac¡ón de posición, La disposi-c¡ón en zigzag es un eco a las figurasde los planos mismos. El resultado esuna ¡nleresante figura con caras face_tadas e ¡dént¡ca apa¡ienc¡a d€soedelante, detrás, izquierda y derecha.

Fiqurc l3l, Esta no sólo t¡eneapar¡encia idéntica desde ¡os cuatrocoslados, sino también desde arriba ydesde abaio. En los seis casos semL¡eslra la letra X, con igual f igura ytamaño. Para construir esto, se ¡nlro-ducen f¡guras negativas en planoscuaorados consecut¡vos, que son re_pet¡tivos en tamaño. Algunos sonrepetit ivos €n f¡gura y algunos estáng¡'aduados en f¡gura.

3. Estructuras de pared

Cubo, columna y pared

Comenzando con un cubo, podemos colo-car un segundo cubo por enc¡ma y un terceropor d€bajo {f¡9. 132).

Ahora tenemos una columna de trescubos, que puede s€r ampliada en cualqu¡erdiracción para incluir la cantidad des€ada d€cubos ( f ig. 133).

La columna ou€de ser reDetida asim¡smo ala izouierda v a la deroch€. Cuando se levantanuna cant¡dad de columnas, una junto a la otra,tenemos una pared. La estructura d€ pared esbásicamente bi-d¡mensional. El cubo ha sidorepet¡do en dos direcc¡onos, p.¡mero en la direc-c¡ón vertical y luego €n la horizontal.

Cada cubo es una célula espacial €n laestructura de pared. Estas células ospacialesson dispuestas de mane.a bi-dimens¡onal, sobreun plano frontal (f ig. 134).

Todas las estructuras bi-dim€nsionalesformales Dueden convertirse en estructuras depared con el agregado de cierta profundidad, ysus subdiv¡siones estructural€s pued€n conver-tirse en células espacialas (f¡9. 135).

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136 Cólulas espac¡¡lrt y módulos

Para explorar las diversas posib¡l¡dades dehacsr estructuras d€ pered, podemos primera-mente doblar una tira de catón f¡no, o pegarentre sí cuatro trozos de cartón grueso, a fin deformar un cubo que car€c6 de los Dlanos d€lan-t€ro y trasero (f¡9. 136).

Esta es nuestra célula espacial más simple.Podemos ver a travós de ella y colocar dent.o unmódulo. El módulo puede ssr t8n simDle comoun plano liso, uti l izsdo r€p€iit ivamenre o conl¡geras var¡aciones (fig. 137).

Como figura plan8, el módulo puede serposit¡vo o negat¡vo (fig. 138).

Puede ser una combinación de dos f¡guraspos¡t¡vas o de una positiva y una n€gat¡va(f¡s. 139).

Los módulos puedon ser util¡zados en gra-dac¡ón de f¡gura si asf lo desea (fig. 14O).

La gradación do tamaño puede ser oD¡e-nida:

a) Aum€ntando o .educi€ndo proporcio-

var¡aciono! po!ic¡onalar da los módulot

Las var¡aciones en la posición de los mó-

dulos pueden ser obtenidas:a) lvloviendo la f¡gura hacia adelante o

hacia atrás (fig. 146)á) Movisndo la figura h8ci8 arriba o hacia

abajo (fig. 1471c) Movi€ndo la f¡gura hac¡a la izqu¡erda o

la derecha (f¡9. 148)d Reduciendo la sltura o el ancho de la

figura, para suger¡r la sensación de que se hunde

en alguno de los planos adyacentes (fig. 149)

146

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nalmente (fig. 141 )ó) Cambiando solsmento

142' tc) Cambiando solamente

1431.

el ancho (fig.

la altura (fig.149

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Si el módulo os una combinsc¡ón de dosfiguras menores, el tamaño de una puede sermantenido constant€, misntras varfa el de laotra (fig. 144), O ambas figuras pueden va¡iar demaneras d¡ferentes (fig, 145).

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Variac¡oncs d. d¡r.cclón do lo. módulo!

Dent.o de cada cólula espacisl, el módulopu€de ss¡ rotado en cualqu¡9r dirocción dessa-da. En cada psso d€ la rotsción. sorá visto desde€l frents en forma distinta.

Observemos los gfoctos 8 .otar una figuracuadrada. En las figuras 1S0 a 1 53, la orimeracolumna vert¡cal representa la v¡s¡ón frontal, las€gunda a la visión l8t€ral y la tercera a la visiónplana.

La rotación sobrs el plano de la mismafigura no cambia a ésta desde 18 visión frontal.La visión lat€ral de la figura es slompr€ una lf-nea. La vis¡ón plana d€ la figurs es tamb¡énsiempre una lfnea (fig. 15O).

La rotac¡ón sobre un eie ven¡cal com¡en¡acon la figura como cuadrada desde la visiónfrontal y la conviene en un r€ctángulo cada vgzmás eatrecho hasta qu6 disminuys f¡nalmentehasta ser una línsa. Desde la visión latefal es Dr¡_mero una lfneS que gradualments s€ convigrteen un cuadrado, En la v¡sión plan8, la figura con-t¡núa siendo una lfnea de longitud constante quevaría de di¡ección (fig. 151).

La rotac¡ón sobre un eje horiuontal es muvs¡m¡lar a la rotación sobre un ej€ vertical. Lafigura sigue s¡endo una lfn€a de longitud cons-tante, no en la visión plsna sino en la visiónlateral lf ig. 152).

La rotación sobr€ un e¡e diagonal conducoa resultados más complicados. En la v¡sión fron-tal, el cuadrado se transforma en una lfnea di8-gonal tras una sarie da pgralelogramos gradua_dos. Desde la visión lateral y la plana se vend¡fe¡entes figurss de paralelogramos (fig. l b3).

Módulo! como phnoa dl¡tordonrdot

S¡ €s deseable oblener mayores €fectostri-d¡mens¡onal€s, los módulos pueden apartars€de las caracterfslicas de un plano l¡so. Dos omás planos llsos puodon utilizaBe para la cons-trucc¡ón d€ un módulo, o un solo plsno liso pu8-de ser trálado ds las msneras siguientes pargconvertirs€ on un módulo:

a) Curvándolo (fig. 154).ó) Doblándolo por una o más llneas rectaa

(lis. 155).cl Doblándolo por una o má8 lfn68s cur-

vas (fig. | 56).d) Cortándolo y curvándolo (fig. 157).e) Cortándolo y doblándolo (fig. 158)'

Eatructuraa do parad que no palmlncccnlisas

Cuando una c6lul8 espac¡8| €s colocadasobre otr8, 18 frontslidsd l isa de ls sstructura d€pared pusde hacerse ligeramente más tri-dimensional con una variación ds posición(f¡s. 159).

Puede obtens6s un €fecto slmilsr alvari6rIas profundidades d€ las células €sp8ci8l6s(fig. 1 60).

La var¡ación de dirección sn la dispos¡ciónde las células espacialss 6s posibl6. pero debeser hecha con cuidado, ys que el oxceso de rota-c¡ón oued€ hacer domssiado prominentes losolanos laterslss de l8s cólulas espaclsles.

154

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o122 123

161 Mod¡ficac¡onor d6 las cólular erpaciales

Una mayor cual¡dad tri-d¡mens¡onal puedeobtenerse con la modificación de las célulasespaciales.

Pueden recortarse los planos de las célulasespaciales, para que algunos de los fi los fron-tales no sean pe.pend¡culares a los Dlanoslaterales o de la base (f¡9. 161).

Los fi los rectos de las células espacialespued€n ser cambiados por f¡los curvil lneos(f ig. 162),

Los p¡anos exter¡ores de las células esoa-c¡ales pueden ser construidos para que no esténen ángulos rectos entre sí (f ig. 163).

Las células espaciales pueden ser dis6ña-das de tal manera que sean pane de la estruc-tura del módulo (f¡9. 164).

Las células espac¡ales pueden converÍrseen módulos, o podemos tener módulos que s¡r-ven para er¡g¡r una estructura de pared sin el usode células espaciales (f¡9. 16S).

162

163

¡\lll\lK'

'-Lkt.(-!,t164

165

124

Las figuras 't66 a 178 son ejemplosde proyectos de estudianles, resol-viendo un problema de diseño Paracrear estructuras de pareo.

F¡gurc 166, Las células espac¡alesestán dispuestas aquí con una l¡geravariación de posición Los móduloslineales son, en realidad, parte de losplanos continentes de las célulasespaciales, y han sido tratados de unamanera s¡milar a la de la figura 158

F¡gura 167. Los módulos son figurasrecortadas de los planos laterales delas células espaciales. Están traba-dos de una manera interesante. Lascélulas espaciales eslán hechas decubos de cartón, omitiendo los planossuperior e infer¡or, y por tanto se con-vierten en paralelogramos en la visiónplana cuando los fi los laterales soñarrastrados por los módulos entrelaza-dos.

r67

Figura | 68. Las células espaciales hans¡do aquí especialmente constru¡das,de manera sim¡lar a la de f¡gura 164.Se han hecho figuras triangularesnegat¡vas sobre los planos retorcidos.El fesultado da una sensac¡ón tácti l detextura después que las células espa-c¡ales han sido repetidas muchas ve-ces.

F¡gurc 169. Las células espaciales,que se interpenetran entre sí, hansido disDuestas con ciertS var¡ac¡ón deoos¡c¡ón. Las zonas ¡nt€roenetradashan s¡do deformadas mediante corte yquebrantam¡ento, pero no se han¡ntroducido módulos seDarados en lascélulas espaciales.

Figura l7O. Similar a la figura 166'Los módulos son aquf tiras cortadas y

plegadas hac¡a adentro desde los pla-

nos laierales de las células qu¡tadas'

Todo el diseño t¡en€ un efecto trans-parente, con d€licados elementosl¡n€ales,

F¡gurc 171, Las células espac¡ales han

s¡do tan transformadas que se con-vierten en módulos de carácter muyl¡neal. La profundidad del diseño esescasa, Dero contiene una gran canti-dad de planos inclinados en variasdirecciones.

127

174Figurc 172. Los módulos son coloca-dos en cada célula espacial con unal¡gera proyección desde el plano fron-tal de la estructura de Pared.

F¡gura | 73. La célula espacial y el mó-dulo son una misma cosa en este dise-ño, En la construcción se han usadoplanos triangulares en lugar de plarrcuadrados.

Figura | 74. Aquf también las célulasespaciales sirven como módulos. Ladisposición muest€ una gradación defiguras c¡lfndricas. Como el contactoentre las suporficies es bastante res-tringido, toda la estructura de parad esmuy flexible y Puede ser cu¡vaoa avoluntad.

F¡gurc 175. La superficie facetads deesta estructu.a da un ef€cto de rel¡eve.Esto se consigu€ cortando, marcandoy plegando los planos l¡sos continuos.

1245- WONG

129

Figurc 176. Cada célula espacial estr¡angular. El módulo interior as un tro-zo de plano plegado retorcido que unedos fi los de la célula espac¡al.

Figurc 177. Una t¡ra de canón delga-do ha sido plegada tres veces, Paraformar una célula espacial que es tam-bién el módulo. Al plegar, el princjpio yel f¡n de la tierra no se superponen,sino que el f i lo derecho del pr¡nc¡p¡ode la tira toca alfi lo izquierdo delfinal.Esto provoca !¡n l igero retorcimientode los planos en la forma resultante.

F¡gura | 78. Las células espaciales soncúb¡cas y están d¡spuestas directa-mente enc¡ma o adyacentes con suvecina. Los módulos están hechos detiras retorcidas de cartón fino.

4. Prismas y ci l indros

El pr¡sma bás¡co y sus variac¡onas

Como hemos v¡sto en el últ imo capftulo,uña cantidad de cubos, puestos d¡rectamenteuno sobre otro, construyen una colúmna. Esa esen verdad la figura de¡ prisma.

Un prisma es una forma con extremos queson figuras paralelas, recti lfneas, similares eiguales, y con lados que son rectángulos oparalelogramos. Para mayor comod¡dad, pode-mos escoger un prisma básico que tiene extre-mos paralelos y cuadrados, y con lados rectan-gulares que son perpendiculares a los extremos(f ig. 1 79).

A partir de ese pr¡sma básico, puedendesarrollarse las s¡gu¡entes variac¡ones:

a) Los extremos cuadrados pueden cam-biarse por extremos triangulares, pol¡gonales ode forma i r regular ( f ig. 18O).

ó) Los dos extremos pueden no ser pa-rale¡os entre sí ( f ¡9. 181).

c) Los dos exlremos pueden no ser de lam¡sma f¡gura, tamaño o dirección (fig. 182).

d) Los extremos pueden no ser planosl isos ( f is . 183).

e) Los f¡los pueden no ser perpend¡cularesa ¡os extremos (fig. 184).

l) Los fi los pueden no ser paralelos enlresí ( f ig. 185).

9) El cuerpo del pr¡sma puede ser curvadoo torc¡do ( f ig. 186).

h) Los fi los del prisma pueden ser curva-dos o torcidos (f¡9. 187).

179

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1A2183

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184185

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186187

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130 131

188El pr¡sma huóco

Si el prisma no está hecho con material€ssólidos sino con cartón, las variac¡ones y trans-formac¡ones pueden s€r más complicadas.

Hagamos un prisma hueco, uti l¡zando unahoja de cartón delgado que es marcado, pl€gadoy luego pegado. Los extremos de este prismaquedan ab¡ertos, sin planos que los cubran(f is. 1881.

Los extremos, los f¡los y las caras de esteor¡sma Dueden ser tratados de manerasespec¡ales,

Tralamientos do loa gxtremoa

Los extremos del prisma hueco pueden sertratados de una o más de las s¡guientesmaneras:

al Los extremos puedsn ser cub¡enos.pero en lugar de ut¡l izar un plano continuo y l isopafa cada extremo, podemos usar plSnos quecontengan figuras negativas (fig. 189).

á) Los f¡los o lados junto a ambos extre-mos pueden ser cortados con diferentes f¡guras,v las resultantes p¡szas sueltas pueden serdobladas o plegadas sobre sl mismas s¡ es nece-sario (fig. 19O).

c) Los extremos pueden ser divididos endos o más secciones (fig. 1911.

dl Una figura espec¡almente diseñadapuede ser formada o agregada a los extremos(f is. 192).

Tratam¡e]lto do lor t¡los

El tratamiento d€ los fi los afecta habitual-mente también a las caras. La d€svisción de losfi los paralolos no sólo csmbia la rectangularidadde las figuras de las caras, sino qus I v€ces con-duce a ca.as deformadas o fac€tadas que pue-den ser muy interesantes. Los oxlremos de losprismas puedan asimismo ser modificados.

NuestrSs i lustraciones musstran aqul lossiguientes tratamientos:

al Filos r8ctos no Daralelos entre sf(fis. 193).

á) Filos ondulantes {fig. 194).c) F¡guras d€ cadena o de rombo a lo lar-

go de los fi los (fig. 195).d) Figuras circulares colocadas a lo largo

de fi los rectos paralelos (fig. 196).e) Filos que se entrecruzan (fig. 197).fl Esquema complicado, marcado sobre la

superf¡cie del cartón delgado antes d€ ser dobls-do pars formar un prisma. AlgunSs de las lfneasdel esquema también son los fi los del prisma(fis. 1981.

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Otros tratam¡entos de los fi los pueden¡ncluir la simDle sustracción o agregado de fi-guras a lo largo de los fi los.

En la sustracción, se introduc€n figurasnegativas a lo largo de los fi los. Como cada fi loes la unión de dos caras, las figuras negativas sehacen reconando algunas partes de ambascaras adyacentes {fig, 199).

Además, se pueden agregar a los fi los cier-tas figuras hechas separadamente Tales figuraspueden cubr¡r o sobresalir un poco de las carasadyacentes, a menos que las f¡guras sean estr¡c-tamente planas (tig. 20O).

Es posible tener lfneas conadas y marca-das, o figuras parcialmente cortadas a lo largode los fi los y en las caras adyacentes Al doblartales figuras hacia adentro (o a veces tamb¡énhacia afuera) sin separarlas, se crea un iuego deformas positivas y negativas (f¡9. 2O1 ).

Tratamionto d€ la3 cataa

El tratam¡ento de las caras es práctica-mente el m¡smo que el de los fi los

En la sustracción. se hacen agujeros en lascaras. Puede usarse cualquier f igura negativaque no provoque el aflojam¡ento de las partes oel debil itam¡ento de la estructura lÍ ig 2O2l

El agregado permite que toda figura debase lisa pueda ser adherida a las caras l isas.Pueden siempre agregarse figuras adicionales,que serán ajustadas a las figuras negativas enlas caras (fig. 203).

Las figuras semicortadas pueden perma-necer transversales o dobladas hac¡a adentro ohacia afuera en las caras del prisma (fig 204l.

Unión de prismas

Dos o más or¡smas oueden ser uti l¡zadosen un diseño, uniéndolos de varias maneras.

La unión puede ser hecha fácilmente por elcontacto entre caras, ya sean los pr¡smasparalelos o no paralelos. La unión en este últ imocaso es muy fuerte s¡empre que el adhes¡vo seamuy fuerte (fig. 2O5),

El contacto entre los fi los es más débil,porque la zona en que se puede aplicar el adhe-sivo a lo ¡argo de los fi los es muy limitada. En laconstrucción con cartón, es posible que la carade un prisma se prolongue hasta formar la caradel otro pr¡sma, en cuvo caso la resistencia delplano de la cara se.á la res¡stenc¡a de la unión.Si el cartón es delgado, un prisma queda hacien-do un gozne con el otro y la unión es flex¡ble (fig.206).

El contacto por los extremos duplica laaltura del prisma. En este caso deberá hacer pla-nos l isos que cubran los extremos, y la unión sehace en verdad por la adhes¡ón de un plano alotro, igual que en el contacto entre carasl f is .2O71.

El extremo de un prisma puede ser unido ala cara de otro, haciendo una figura de T o unafigura de L. S¡ los extremos de los prismas hansido cortados en inglete, también puede formar-se una f igura de L ( f ig.208).

Dos prisr¡as cruzados Dueden ser trabadosentre sí cuando el cuerpo de un prisma ajusta enel cuerpo del otro { f ig.209).

Podemos construir dos pr¡smas cruzadosque estén íntegramente unidos entre sí, cons-truyendo con el mismo trozo de cartón algunasde las caras dobles ( f ig.210).

La unión de una cantidad de prismas, quese juntan por ¡os extremos, puede conducir auna estructura de marco o a una estructura concont inuidad l ineal ( f ig. 21 1 ) .

205

ffiaflffiffi

206

207

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203204

210

211

134 I J5

_-j

212El p.¡sma y ól cil indro

La cantidad mfnima de planos que poqe-

mos usar para las caras de un prisma son tres' lo

que der¡va en un pr¡sma con extrémos tr¡an-qulares, arriba Y abaio.

Si aumentamos la cantidad de calas €n el

prisma, las figuras de ar.¡ba y sbaio camb¡arán

de tr¡ángulos a polfgonos. Cuanto más iados t¡e-

ne un pólfgono, ss hace menos anguloso y más

cercano al cfrculo. Por ejemplo, un octágono es

mucho m€nos anguloso qu€ un triángulo, y asi

un pr¡sma octagonalti€ne un cuerpo más redon-

do que otro triangular.Aumentando infinitamente la cant¡dad d€

lados de un polfgono, se l lega al cfrculo De la

misma manera. aumentando infinitSmente la

cant¡dad de lados de un prisma se crea por últ¡-

mo un cilindro 1fr9.212l..El cuerpo de un cil indro queda definido por

un olaño continuo, sin principio ni f in, y las par-

tes superior e ¡nferior de un cil indro tignen la

figura de un cfrculo.

136

variac¡onas da un cilindro

Podemos d6cir quo el c¡l¡ndro común secompone de dos extremos circulares y paralelosdel mismo tamaño y de un cuerpo p€rpendiculara esos extremos. De €sa base, son posibles lassiguientes desviac¡ones:

a) El cuerpo pueda estar sesgado{f is.213).

ó) Los extremos pueden ser ds cualquiertigura con ángulos redondesdos (fig,2'14).

c) Los extremos pueden no ser paralelosentre sí ( f ¡9.215).

d) Los €xtremos pueden ser de diferent€stamaños o figuras {fig. 21 6}.

e) El cuerpo pued€ curvaool f is .217l .

l) El cuerpo pu6de expandirse o contra€r-se a intervalos (fig. 218).

El tratami€nto de los extremos y de la carapuede ser aplicado al cil¡ndro de la mismamanera en que es aplicado al prisma,

217214

137

219 Las f iguras 219 a 228 i lustran di feren-tes enfoques para el uso de prismas,La l igura 222 es un solo prisma contratam¡ento en supefic¡e del cuerpo yde las caras; los olros proyectosexploran las posibil¡dades para el usode prismas como módulos de diseño.

Figurc 219. Han sido usados numero-sos prismas cuadrados de d¡versasalturas. Nótese que cerca de la parte¡nferior las caras de muchos prismashan sido recortados a figuras crr-culares.

Figurc 22O. Este diseño en espiral has¡do hecho con una cantidad de pris-mas tr iangulares que aumentan gra-dualmente en altura. Las partes¡nferiores de los pr¡smas más altoshan sido retocadas para producir unazona de cavidad, a fin de colocar losprismas más cortos, lo que marca elcomienzo de una espiral hacia arriba.

F¡gura 221. Este es ot¡o ángulo delmismo d¡seño ¡lustrado en la figura220.

Figura 222. La f¡gura del cuerpo cteeste prisma ha sido muy transforma-da. El tratamiento de las caras revelaalgunas f¡guras circulares negalivas enla capa interna de Ia construcción.

221'. ta.:,f "

¡'.i.

138 139

Figura 223. En este diseño se hanutil izado cuatro grupos de prismastriangulares €n gradación de tamaño yde figura.

F¡gurc 224. Este se compone de trescapas concéntricas, La interior t ienelos prismas más altos y también másangostos. La exterior t iene los pr¡smasmás conos y más grandes.

Figura 225, Está construida con sietepr¡smas, todos los cuales se doblanma¡cadamente cerca de la base, m¡en-tras las caras han sido tratadas condibujos en zigzag.

F¡gurd 226. Cada prisma es en r€al¡-dad una figura de cuña, constru¡da concuatro triángulos isósceles alargados ydos extremos chatos. La construcciónen esp¡ral se ha obtenido pegandoentre sí una cantidad de tales p.ismas.con el contacto entre caras.

Figurc 227. Los planos triangulareshan s¡do ut¡l izados asimismo en lospr¡smas de este diseño. Cada prismase comDone de seis planos triañ-gulares y los extremos son triángulosque quedan abiertos y sin cubrir. Laconstrucción fue hecha por contactoentre f¡los y caras.

Figura 228, Los prismas de este dise-ño han sido construidos con tres pla-nos triangulares y un plano rectan-gular. La parte inferior de cada prismatiene forma triangular, pero la superiores sólo una ranura que se abre entredos olanos. Los orismas han sido dis-puestos a modo de abanico.

142 143

-J

5. Repetición

Repst¡ción de módulos

La rep€t¡c¡ón d€ módulos ha sido brevs-mente menc¡onada en el capftulo 1 de estasegunda parte. Hemos v¡sto asimismo quemuchos de los ejemplos i lustrados en los capí-tulos 2. 3 y 4 contienen módulos en rspetición.

En el sentido más estr¡cto, la ropet¡ción demódulos suDone ou€ todos los elementosvisuales de los módulos -figura, tamaño, color ytextura- sean los mismos lfig,229).

En un sentido amD¡io. el color o la texturaidént¡cos entre los módulos const¡tuye una reoe-tición. Desde luego, los módulos deben relacio-narse entre sí por s¡mil¡tud o por gradación defigura, y de otra manera no podrían ser agrupa-dos como módulos (fig.230).

La figura, en todo caso, es el elementov¡sual esencial cuando hablamos de módulos.Así, cuando hablamos de repet¡c¡ón de módulos,¡a repetic¡ón de la f¡gura ha de estar s¡ampre¡nclu¡da, Apona una inmed¡ata sensac¡ón deunidad, ¡ncluso aunque los módulos puedanestar dispuestos de maners informal (f ig. 231 ).

La unidad visual queda refonada cuandolos módulos son repetidos en f¡gura y en tamañolfig.232l.

Si se desea un alto grado de regularidaden la organ¡zac¡ón. los módulos pueden ser reu-n¡dos en un d¡seño gu¡ado por una estructura derepetición (fig. 233).

Estructu?a do ropctición

La estructura de pared descrita en sl capl-tulo 3 de esta parte es va una clase de est.uc-tura de repetición, excepto porqu6 su naturalezaes bi-dimensional (f ig.234).

Para obtener una v€rdadera €structura tri-d¡mensional, esa estruclura de pared puede seramoliada hacia adelante v hacia atrás. De estamanera. no sólo da una v¡sión frontal sino quepuede ser vista d€bidamente d€ todos los lados(fis.235).

Podemos defin¡r una estructura de reDet¡-c¡ón como aquella en que los módulos, o lascélulas espaciales que los contien€n, se reúnenen una secuencia y un esquema regulares, conlo que todos se relac¡onan entre sf de la mismamanera.

No es fácil ilustrar sobre el eaoel los dive.-sos tipos de estructurS de repet¡ción en el dise-ño tri-dim6nsional. La manera más fácil es anali-zar tales estructuras en términos de caDas verti-cales o capas horizontales, Las capas verticalesu hor¡zontales son en real¡dad una misma cosaen la mayor pane d€ los diseños s¡métricos. quepueden ser puestos de costado para obt€ner unav¡s¡ón diferente (fig. 236).

234

fr f i fr\1, \--' t'----V

231

236

232

233

144 145

237 D¡sposición dc hs capas

Para i lustrar l8 organización de una estruc-tura de repotic¡ón, comencomos por d¡spone.custro capas ds células espaciales o de mó-dulos.

El arreglo más simple es que cada capaesté d¡rectamente encima de s|l vecinaItis.237l.

Después movemos las posic¡ones decapas alte.nadss (f¡9. 238).

O podemos disponerlas en una gradaciónde pos¡ción (fig. 2391.

La var¡ación d6 d¡rección es también pos¡-ble. Pueden modificarse las direcc¡ones decapas alternadas (fig.240).

O podemos d¡sponer las capas en una gra-dación de dirscc¡ón (fig.24'l).

238

239

2&

241

il-l ¡

*T,

-Tf f i.Y+f)-Y

TY1-

5 -)

146

Orgrnizlc¡ón dañro dc cad! orp!

Dentro de cada capa hav numsrosagmanoras d€ dlsponer los módulo9, y pued€n dis-ponerss en forma distinta los de capas 8lt6rn8-das. Hemos ilustrado nuove cólulas espacial€s omódulos sn una capa para oxplorar las d¡vorcas

242

posibilidades. Pr¡mero los d¡sponemosfilas, colocándolos totalm6nt6 juntos

en tres6ntr6 sf

(fis. 2421.Pueden moverse las poslclones de lss fllas

lf is.243l.Pueds haber intervalos sntrs las cálulas

€spaciafes o los módulos lfig.244l.Si l8s células espaclalos o módulos no se

tocan sntrg sf, la capa adyacsnts puede ser dis-puests de manera distinta, parS syudsr I mante-ner sn posición las célulss espscialss o módulosde la primera capa (fig.245).

243

24

Puedo ¡nroducirss la varisc¡ón do dirsc-€ntre las células gspsciales o módulos

2461.LiIr-+-rt r t

t-+L_l

t;][-lr,'+r¡rl+rrr' ¡

245ción(fis.

Unión do módulos

Las célulss espaciales. qua habitualm€ntsson de tiguras geométr¡c8s s¡mples. pueden serunidas entre sl por contacto sntrs caras, pero losmódulos. cuando son usados sin células ospa-c¡ales, pu€d€n se. de cionas figuras o esisr enposicion€s que ex¡jan divgrsas clases de unión,

El contacto entte caras da c¡enamente launión más firme. Puede tratars€ de un contaclototal de caras o de un contacto parc¡al de caraslfis. 247l..

Los contactos do flo-cara v de filo-filo sonmás débiles v pu€den dar uniones fl€xibl8s(f is.248).

Los contactos vórtlco-car8, vértic€-filo yvértice-vórt¡ce por lo gon€ral son diflcilas d6controlar, y debe ponerce cuidado si tales unio-nes son necesarias (fig. 249).

246

247

24

249

147

250,*av

Pri¡ma¡ cued¡ador como móduloa o cólul¡scrpac¡alas

La satructura se hac6 un poco más com-pl€ia si el módulo o la célulE sspacisl continonteno es un cubo de t¡6s dim6ns¡on€s igual€s.Hemos ilustrado como ejomplo un prlsma cua-drado, pSra vor de cuántas mansras pued€nunirse dos o más de sstas un¡dades.

Ciortamonte podsmos ponsr una sobr6 laotra, con un contacto ontr6 caras (fig.25O).

Podemos ooner unE sobre otrs gin 8l¡n€arsus fi los (tig. 251).

Los dos prismas pugden ssr orientados endiferentes direcciones lfig. 2521-

Puedan tener un contacto d6 lilo a filo (fig.2 531.

Trss prismas pu€dsn lo.ma. flguras máscomplicadss (fig. 254).

Cuatro dan mayores posibil¡dadss do com-binaciones inter€santos (fig. 2551.

Una v€¿ oue ss establecs la relSclón 6nt.edos o más prismas, la flgura resultants puedesor repetida 6n una estructura de r€petlclón.

148

Módulo o cóluh c¡p.citl on lorm! dc L

El prisma cuadrado básico qu€ hemos v¡s-to puodo estar compuesto por dos cubos. Contros cubos se hace una figur8 b&lc8 de l- quetiene un ángulo rocto y dos brazos que apuntanhac¡a direcciones difsrentes.

Con un módulo o célula €spacial en formsde L, las pos¡b¡lidsdss d6 coNtrucclón puodense¡ un deaaflo (f¡9. 256).

Primero podemos estudiar ls figura de Lcomo si fu€ra una figura llsa, para ver cómo doso más f¡guras de L s€ comb¡nan en 18 formaciónde figurss nuevas (fg. 257).

D€spués podemos usar dos o más figurastr¡-dimonsionales do L, para crear nuevas figurasque son verdaderamonte de caráctor tridimen-s¡onal (f ig. 258).

256

258

También aqul, ls nueva flgur8 podrárepet¡da €n una estructura ds repet¡ción.

Módulor an una astruc{u¡a ds rcpetic¡ón

Casi todos los módulos son mucho máacompllcados que el cubo simpl6, que el prismscuadrado o aun qu6 la figura L. Al organ¡zar losmódulos en una ostructu.a ds ropotlción, d€benanotarso los s¡guisntes puntos:

á) Los módulos no puoden flotar en elespacio y dsben ser suietados debidamente. Nopuede ¡gnorarso la influsncia d€ la gravsdad.

ó) Dgbe cons¡derarse la r6slst€nc¡a ds 18estructu16.

c) La vis¡ón frontal no debe ousdar enfst¡-zada a costa d6 olvidar las d€ otros ánguloe.

df Los módulos pueden trsbsrse o inter-penetrsrs€ entre sf. El ospacio €xistsnte sntrslos módulos de una capa pusds ser ocupadopor los módulos de ls capa vecina, La concavi-dad y la convex¡dad pueden complementarsaentr€ sf (fig. 259).

2s9

149

Las figuras 260 a 267 ilustran la repe-tic¡ón de módulos (¡ncluyendo todoslos elementos visuales) en una estruc-tura de repetición.

Figura 26O. Hay seis capas horizon-tales, cada una de las cuales contienecuatro módulos. Cada módulo ha s¡dodesarrollado a panir de u¡ cubo.

F¡gurc 261. Los módulos de este dise-ño también han sido desarrollados apartir de un cubo. Cada módulo tieneun cuadrado arr¡ba y abajo, pero unac¡ntura muy estrecha. Hay lres capasverticales, y es interesante señalar có-mo la central ha s¡do ajustada en elespacio negativo que dejan las deizqu¡erda y derecha.

150 151

?62 Figura 262. Este diseño se componede cuatro capas hor¡zontales. Cadamódulo ha sido hecho con una tira decartón delgado, que en los extremosse separa en dos bandas angostas. Encada extr€mo, las bandas se €nroscany unen. La figura f¡nal se asemeja a unnúmero 8 puesto de costado.

Figurc 263. La visión plana de caoamódulo es un hexágono. La vis¡ónlateral es un ¡ombo. Los módulos seunen enlre sí por los vértices, que noson aguzados s¡no achatados. Haytres capas hor¡zontales, con nuevemódulos en cada una.

Figura 264. Ot¡o ángulo de la f¡gura263. La v¡sión desde ar¡iba es ahora lalateral.

Figura 265. El módulo se asemejaaaul a la letra X o a la Z, v deriva de uncubo hueco, con planos laterales par-c¡almente conados y elim¡nados. En elconjunto hay c¡nco capas horizontales.

F¡gurc 266. Un plano chato en formade Y ha sido usado para la construc-ción del módulo esférico. Para conse-gu¡rlo, los tres brazos de la Y se curvany unen entre sf. Eldiseño ha sido cons-lru¡do con s¡ete capas horizontales,oero la cantidad de módulos oara cadacapa está en gradac¡ón.

153

Figurc 267. El módulo de este d¡señoes notablemente s¡mple. Es una piezatriangular que ha sido l¡geramentecombada. La unión fue hecha oor con-tacto vértice a vénice, o vértice a cara.La estructura ouede ser bastante frá-gil, pero da al d¡seño un efecto stract¡-vamente del¡cado.

Figura 268, Este es un ángulo diferen-te de la figura 267.

154

6. Estructuras pol¡ódr¡cas

Los sól¡dos plaión¡cor

Los poliedros son figuras fasc¡nantes, quepueden ser adoptadas como estructuras bás¡casen el diseño tri-dimensional. Entre €llos hay c¡n-co sólidos geométricos, fundamental€s y re-gulares, que son de primordial importanc¡a.Como grupo se los conoce con el nombre desólidos platónicos e incluven el tetraedro (cuatro

caras). el cubo (seis caras), el octaedro (ochocaras), el dodecaedro (doce caras)y el icosaedro(veinle caras). Cada uno de ellos está construidode caras regulares, todas ¡guales, y sus vért¡cesson ángulos poliédricos regulares.

El tetrcedrc contiene cuatro caras, cuatrovért¡ces y seis fi los. Cada cara es un tr¡ánguloequilátero (fig. 269).

S¡ descansa sobre una de sus caras, lavisión frontal es un triángulo equ¡látero. S¡ des-cansa sobre uno de sus fi los, de una manerabastante ¡nestable, su vis¡ón fronlal es, inespera-dament€, un cuadrado (fig. 2701.

El tetraedro es el más simple de los sólidosDlatónicos, pero es la estructura más fuerte quepuede construir el hombre.

El cubo esla l igwa más conoc¡da entre lossólidos platón¡cos. Lo hemos mencionado fre-cuentemente, desde el comienzo de este l¡broCont¡ene las tres direcciones pr¡marias y esindispensable para establecer las lres vis¡onesbás¡cas (véase capltulo 1, segunda pane).

En un cubo hay se¡s caras, ocho vénices ydoce fi los. Cada cara es un cuadrado. Todos losángulos son rectos (fig. 271).

Si descansa sobre una de sus bases, lavis¡ón frontal es la de un cuadrado. Si descansasobre uno de sus vértices, la v¡s¡ón frontal es unhexágono regulsr (se¡s lsdos) lf lg.272l.

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El octaedro es la duplicac¡ón de un cubo.Esto significa qúE pars formsr un octaedro, cadavértice del cubo es reemplazado po. una caradel octaedro, y cada cara del cubo por un várt¡-ce del octaedro lfig. 2731.

Un octaedro tiene ocho caras, se¡s vért¡cesy doce fi los. Cada cara es un triángulo equiláteroItis.2741.

Si descansa sobre uno d€ sus vértices, lav¡sión frontal es la de un cuadrado. Si descansasobre una de sus caras, la v¡sión frontal es la deun hexágono (s€¡s lados) l l ig.275l.

El dodecaedrc se compone de pentágonosregulares (de cinco lados). Tiene doce caras,veinte vértices y tre¡nta fi los (fig.276).

Si d€scansa sobre una de sus caras, lavisión plana es la de un decaedro regu¡ar (d¡ezladosl llig.2771.

El icosaedro es e¡ duDlicado del dodecae-dro. Tiene ve¡nte caras, doce vért¡ces y treintaf¡los (f¡9. 278).

Cada cara es un triángulo equilátero, comoocurre con el tetraedro y el octaedro lf ig,279l.

Si descansa sobre uno de sus vén¡c€s, lavisión frontsl es la de un decágono regular (diezlados) (f¡9. 280).

Los Eól¡d03 de Arqufmodes

Además de los cinco sólidos platónicos,que son poliedros complstamente regulares, hayuna cantidad de poliedros ¡rregulares que seconocen como sól¡dos de Arquímedes. Estospoliedros irregulares están construidos asimis-mo de polígonos r€gulares. La diferenc¡a entrelos sólidos platónicos y los de Arquímedes esque cada sól¡do platónico se compone de unsolo tipo de polfgono regular, mientras cada sóli-do de Arquímedes se compone de más de unt¡po de polígono regular.

En total hay trece sólidos d€ Arquímedes,pero aquí sólo presentamos los más simples e¡nteresantes.

El cubo-octaedro cont¡ene catorce caras,doce vértices y veinticuatro fi los (fig.281).

De las catorce caras, ocho son triángulosequiláteros y seis son cuadrados (fig.282).

Si descansa sobre una de las caras.trian-gular€s, la visión frontal es la de un hexágono(seis caras) (f ig.283).

El octaedro truncado es €l que conti€n€catorce caras, veint¡cuat¡o vértices y treinta yseis fi los {fig.284).

Se obtiene coñando los seis vértices de unoctaedro y sust¡tuyéndo¡os por se¡s caras cua-dradas.

De las catorce caras, ocho son hexágonosregulares y seis son cuadrados (fig.285).

Si descansa sobre una de las caras hexa-gonales, la visión plana es la de un dodecágono(doce lados) con lados adyacontes des¡guales. Sidescansa sobrs una de las caras cuadradas, lav¡s¡ón plana es la de un octágono (ocho lados)con lados adyacentes desiguales (fi9.286).

241

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246

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El rombi-cubo-octaedro, o pequeño rombi_cubo-octaedro, pars distinguirlo del grande. qu€se descr¡b€ d€spués, os un sól¡do que conÍen€veint¡sé¡s caras, v6int¡cuatro vért¡ces y cuar€ntay ocho filos (fi9.287l..

De las veint¡sé¡s c8ras, ocho son triángulosequiláteros y dieciocho son cuadrados (fig. 28g).

Si descansa sobre una de las caras cuaora-das, la visión plana 6s un octágono regular (ocholados). Si descansa sobrs una de las caras trian-gular€s, la visión plana es la de un hexágonoregula. (seis lados) (f ig. 289).

El gtan rcmbi-cubo-octaedrc lo cubo-octaedro truncado) cont¡ene v€intiséis caras,cuarenta y ocho vértices y setenta y dos fi los(f is.290).

De las ve¡nt¡sé¡s caras, doce son cuadra-dos, ocho son hexágonos regulares (se¡s lados)y seis son octágonos regulares (ocho caras) (fi-gura 291 ) .

Si descansa sobre una de las caras nexa-gonales, la visión plana es la de un dodecágonoregular (doce lados). Si d€scansa sobre una delas caras octogonales, la vis¡ón plSna es la de unoctágono (ocho lados), con lados aovacenlesdesiguales (fig. 292).

Se pueden desarrollar d¡seños interesantesa part¡r de cua¡qu¡era de los poliedros. Todosaportan la estructura bás¡ca para el tratamisntode las caras, el tratami€nto de los filos v el t¡.ata-miento de los vénices.

292

247288

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Tratam¡ento do laa carua

Si el Dol¡edro ha sido conslru¡do hueco, eltratamiento más simple para las caras es agre-gar figuras negat¡vas en algunas o todas lascaras. revelando el espacio vaclo interior( f is .293).

Cada cara l¡sa completa del pol¡edro puedeser reemplazada por una figura piraminal ¡nvert¡-da o proyectada, const.uida de planos unidos otrabados. De esta manera, la apar¡enc¡a externadel poliedro .puede ser transfo¡mada en unaf¡gura poliédr¡ca estrellada (f¡9. 2941.

Puedeñ agregarse f¡guras separadamenteconstru¡das a las caras del poliedro {fi9.295).

Tratamiento do los filoE

A lo largo de los fi los de un pol¡edro, pue-den agregarse o sustraerse f¡guras. Cuando sesustraen, las caras quedan tamb¡én afectadas,porque no podemos qu¡tar nada de un f¡lo s¡nquitar una parte de las ca¡as adyacentes(f ig.296).

Los fi los rectos de un poliedro puedenhacerse curvilfneos o torcidos Esto provocaráque las caras l isas se hagan convexas o cónca-vas. de acerdo con las nu€vas figuras de los fi loslfis. 291],.

cada fi lo de una sola línea puede ser ¡eem-plazado por f¡los dobles o de más lfneas, y estoconducirá a la creación de nuevas caras(f is.298).

La trabazón de los planos de las caras a lolargo de los fi los puede hacerse de variadasmaneras (fig. 299).

293

299

Tratam¡ento do los vénic€s

El tratam¡ento de los vértices afecta nor-malmente a todas las caras que se unen en elpunto de ese vértice. Una forma de tratarlos espor truncamiento, lo que supone que los vérticesson cortados y oue se forman nuevas caras enlas zonas cortadas. El truncamiento conducehabitualmente a la creación de una nueva f¡gurapoliédrica. Ya hemos descrito el octaedro trun-cado entre los sólidos de Arquímedes. Sinembargo, el poliedro que aquí se i lustra no esuno de los sól¡dos de Arquímedes, porque lascaras triangulares no han sido lransformadaspor truncamiento en hexágonos regulares(f is.301).

Si el ool¡edro es hueco, el truncam¡entodeja ver un agu¡ero en cada vénice. Tales agu-jeros pueden ser especialmente truncados, paraque sus bordes no sean simples líneas rectas(f is.3021.

Pueden formarse figuras adicionales en losvénices (fig. 303).

Unión de figu.as pol¡ádr¡cas

Para una estructura más complicada, doso más figuras poliédricas de ¡gual o diferentediseño pueden ser unidas por contacto de cara,de fi lo o de vértice (f¡9,3O4).

Para una mayor res¡stenc¡a estructural, opor razones de diseño. los vértices pueden sertruncados al hacer contacto entre vért¡ces, losf¡los DUeden ser achatados para el contactoentre f¡los, o el volumen de una figura poliédricaouede ser oenetrado al volumen de otra(f is.305).

Las figu¡as 306 a 320 ilustran pol¡e-dros con d¡versos tratam¡entos desuperficie. Algunos de los proyectosmuestran el uso de pol¡edros comomódulos.

F¡gura 306. La estructura es un ico-saedro. Todos los vért¡ces han sidotruncados, y en lugar de ellos hay agu-jeros pentagonales. Cada una de lascaras tr¡angulaies es ahora un hexágo-no regular, en elque se han construidoun círculo hundido y una flguia piramFoal que surge.

F¡gura 3O7. Este es un dodecaedrocon tratamientos simples en fi los ycaras, que no transforman la figuraoriginal de la estructura.

Figura 3O8. Para este d¡seño se hanutil¡zado ocho octaedros. A cada unose le ha hecho ún tratamiento de caray de vértice. El tratamiento de lascaras es simple: se han cortado cfr-culos negativos en todas ¡as caras. Elde los vértices es complejot se haninvertido los ángulos de los vértices yasí el octaedro parece truncado,

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310

Figura 3O9. La estructura de estecompl¡cado diseño es la de un romb¡-cubo-octaedro, qu€ se compone decaras octogonales, hexagonales y cua-dradas. Se han conado figuras negati-vas en todas las caras y se han agre-gado figuras de tetraedro y semioctae-dro.

F¡gura 3lO, Se ha hecho una f¡gurahexagonal negativa en cada una de lascaras hexagonales de un octaedrotruncado, y a través de ellas se puedever una interesanto figura ¡nter¡orpoliédrica. Es un octaedro l ineal,apoyado en la pane interior de lascaras, con p¡rámides cuadradas yhexagona¡es que apuntan hac¡a aden-tro.

F¡gurc 3l |. La estructura de este d¡se-ño es también el octaedro truncado.Todas las caras han sido recortadasjunto a los f¡los, revelando dentro setscapas de la misma figura, con grada-ción de tamaño.

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162

F¡gurc 312. El tratamiento de lascaras ha producido mucha transfor-mación en este icosaedro Cada caraha s¡do reemplazada por un tetraedrosaliente, cuyos vértices han s¡do ab¡er-tos, retorciendo los planos exteriores yrevelando el espacio interior.

Figurc 31 3. lgual que las figuras 31 0y 311, este diseño sumamente com-plejo ha sido elaborado sobrq unoctaedro truncado. Cada cara hexago-nal fue div¡dida en seis secc¡onestriangulares y cada cara cuadrada encuatro secciones triangulares, todasellas con figuras cortadas Y retorcidas.De las secciones de las caras hexago-nales se proyectan otras f¡guras adi-cionales.

312

313

314 Figura 314. Ha sido cortada la mayorparte de las caras del octaedro trunca-do. La actividad mayor del diseño sesitúa dentro del marco poliédrico.

Figura 31 5. Se han usado doce cubostruncados para componer este d¡seño.Cada cara de los cubos contiene unafigura circular negativa que contrastavisualmente con los aguieros trian-gulares que se forman en los vért¡cestruncados.

F¡gurc 316. Aquí las caras del granrombo-cubo-octaedro han s¡do trata-das con figuras que se proyectan tantohac¡a adentro como hacia afoera.

Figura 3l7. Un dodecaedro fue ut¡l iza-do como eslructura bás¡ca de esteoiseño. En cada una de las caras pen-ragonales se ha construido una pirá-rnide pentagonal, pero todas l,-¡c :arashan s¡do recortadas hasta los l itos. El!értice de la pirámide, en lugar decroyectarse hac¡a afuera, es empujado.acia adentro. El resultado es un com-p icado diseño, compuesto entera-rnente por elementos l ineales.

Figurc 318. Este diseño se componede dos octaedros truncados, cada unoce los cuales muestra un juego defguras negativas y de tormas cónca-\'as y convexas.

316

317

318

164

7. Planos triangulares

En el capítulo anterior vimos que tres delos cinco sólidos platónicos, el tetraedro, eloctaedro y el ¡cosaedro, se componen de planostr¡angulares. Los planos tr¡angulares son asimis-mo usados para la construcción de f¡guras p¡ra-midales, que se proyectan desde o penetran enlas caras de cualquier poliedro. Por lo tanto, losplanos triangulares son de considerable impor-tancia en el diseño tri-dimensional y no puedenser ignorados.

Triángulos €qu¡láteros

Para exolorar las oos¡b¡lidades de cons-trucción con planos triangulares, podemos uti l i-zar una t¡ra estrecha de canón delgado y dlvi-dirla en una serie de triángulos equiláteroslfis.322l.

Cortando un triángulo de esa t¡ra, tendre-mos un plano liso, con tres lados ¡guales y tresángulos de sesenta grados (fig,323).

Dos tr¡ángulos reunidos pueden ser dobla-dos en cualquier ángulo que se desee. Esto pue-de const¡tuir una figura tri-dimensional que sesost¡ene erguida Íig. 3241.

Con tres tr¡ángulos unidos se puede formarun tetraedro al cual faltarfa una de sus caras(f is.325).

Con cuatro triángulos unidos se hace untetraedro completo (fig. 326).

Con cinco trlángulos unidos se hace undoble tetraedro al que le falta une cara(tig. 327 ).

321

323

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325

326

327

167

Con seis tr¡ángulos unidos se nace undoble tetrasdro compl€to (f¡9. 328).

Con ellos se pued€ hacer también un oc-taedro al que faltan dos carss {fig,329).

Ocho tr¡ángulos unidos pueden componeruna f¡gura prismática, con un cuadrado vacfoa¡riba y un cuadrado vac¡o abajo. Los oos cua-drados vaclos son d6l mismo tamaño, Dero dedistintas dir€cc¡ones (fig. 33O).

Tr¡ángulos ¡aólcclcs

Los triángulos equiláteros pu€dsn ser alar-gados para formar tr¡ángulos estrechos y altos,en los qu€ dos lados son iguates (fig.331).

Cuatro de estos triángulos pu€den unirsepara formar un tetraedro muy disto.sionSdo, qu€tamb¡én puede se. descrito como un Drisma condos extrcmos en cuña (f¡9.332).

C¡nco triángulos unidos pueden componerun prisma con una figura triangular abierta en unextremo y una figurS de cuña en la otra{f is.333).

Seis triáagulos un¡dos pueden componarun pr¡sma con una figura triangular abiena encada extremo (fig. 334).

Ocho triángulos unidos pueden compon€run pr¡sma con extr€mos cuadrados abienos{f i9.335).

Otros oiomplos qus util¡zan los prismasformados por tr¡ángulos isósceles pueden serviatos en el cspftulo 4 do esta pane, donds laÍigura 226 contiene pr¡smas hechos con cuarrotriángulos reunidos y la figu¡a 227 contiene pris-mas hechos con seis triángulos ¡eunidos.

Tr¡ángulos ¡rregulrrcs

Tal como una tira estr€cha de canón d€l-gado puede ser divldida en triángulos equilá-t€ros o en ¡sósc€16s, cabe div¡dirl8 en una csnti-dad de triángulos con lados desiguales(f ie.336).

Con seis u ocho triángulos irr€gularos, uni-dos entre sí, podemos construir prismss muysimilares a los de l iguras 334 y 335, sitodos losángulos de esos t. iángulos son agudos.

Los tr¡ángulos de lados desigual€s, condifer€ntes tiguras y tamaños, pueden ser uti l iza-dos para construir ietraedros u octa€dros irre-gulares, que puedgn convertirs€ en elementosinterosantes de un diseño (fig. 337).

El s¡stcma d€ octctoa

Tal como los cuadrados oued€n cubrircompletamente un espacio bi-dimens¡onal, sininterv8los gntre sf, los cubos pueden hacerlo conun espacio tri-dimensional (f ig. 338).

Los triángulos equ¡láteros pueden cubrirsin intervalos un gspacio bi-dimensional, po.olos tat.aedros no pueden cubr¡r sin ¡nt€rvalos unespacio tr¡-dim€nsion8l. Con tr6s octaedros enposición de contacto Dor sus filos, descubrimosque el espacio qus queda vaclo acomoda €xac-tamente a un tet.aedro (fig.339).

Por lo tanto, cuando los octagdros y lostetraedros son usados conjuntamente, pu6d9nllenar sin inte.va¡os un €spacio tri-dimensional.Esto es conoc¡do como sistema de octstos ypuede producir eslrucluras de asombrosa resis-tencia que uti l izan un mfnimo d€ matgrialas(f¡s.3401.

330

337

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340

168 169

34'.| Los planos tr¡angulares ofrecen posr-bi l idades ¡ l ¡m¡tadas para el d iseño. Lostetraedros y octaedros regulares oirregulares. más las f iguras p¡ramidales, pueden ser reunidos con efec-tos inesperados. Las figuras 341 a349 demuestran algunas de las varia-das construcc¡ones que pueden sercreadas con planos triangulares.

F¡gura 341. Se han usado ocho triángulos un¡dos para constru¡r un mÓ-dulo, que es s imi lar a l de la f igura 330Con una cantidad de estos módulos seforma un an¡llo, que es una capa deld¡seño. Con capas de una m¡smaconstrucción pero en tamaños quedisminuyen se eslablece la estructurade este diseño.

F¡gurc 342. fodas las caras del tetrae-dro ut¡l¡zado aquí han s¡do casi recor-tadas a los bordes. Seis grupos deellos se han d¡spuesto en un efecto deradiación.

Figurc 343. Se ha uti l¡zado un total dediez tetraedros. Cada uño de ellos tiene sus vért¡ces apuntados hac¡a aden-lro y luego hac¡a afuera, de manerainteresante.

170 171

Figura 344. Una cant¡dad de tetrae-dros ha s¡do pegada conjuntamente.en un conlacto por vért¡ces. Estruc-turalmente, esto no es muy resistente,pero la forms da una sensación deapertura, aunque todas las caras delos tetraedros son sól¡das.

Figurc 345. Cada módulo está hechocon d¡versos planos tr¡angulares. Losmódulos están pegados entre sí porcontacto de caras, formando un anil locircular que es repetido varias vecesen el diseño final.

Figura 346. Tres planos triangularesplegados han s¡do uti l¡zados paraconstruir cada módulo. Ve¡nte mó-dulos, con un contacto por vénices.componen un gran supermódulo te-traédrico, cuatro de los cuales son en-tonces reunidos en un d¡seño.

Figurc 347. Un elemento del móduloestá constru¡do con tres planos tr¡an-gulares unidos y plegados Cuatro deestos elementos, en conlacto por ver-t¡ces, componen un módulo, Y estosmód¡-¡los en contacto por vértices for-man el d iseño.

F¡gurc 348. Cada módulo está com-puesto por nueve triángulos un¡dos.tres de los cuales son isÓsceles y se¡ssoñ rectangulares. Eslo der¡va a unaf¡gura prismática, con una f¡9ura tr¡an-gular en un extremo Y úna hexagonalen el otro. Un elemento adicional,compuesto también de triángulos urrr-dos, es colocado dentro de la figuraprismát¡ca. El módulo es repetido cincuenta y cinco veces en una estruc-tura triangular de pared, que no es l¡sasino curvada.

172

Figura 349. Hay veint icinco mo-dulos en cinco capas o cinco columnas. Cada módulo es un octaedro conun vért ice empujado hacia adentro. Laestructura está construida por rñediode contacto entre caras. Un aspectoInteresante de este diseño es que cadacolumna no es perpend¡cular, s¡no in-cl inada con respecto a la base.

8. Estructura l¡neal

Hasta ahora hemos consíderado formastr¡-d im ensiona les, construidas por planos l isosde grosor parej 'o. Para construir cualquier formageométr¡ca sól ida, que se componga de carasplanas y de f i los rectos, podemos cortar lasf iguras de las caras y pegar las enlre s i . con unrefuerzo interno o s in é1.

Por ejemplo, un cubo sól ido se componede seis caras cuadradas. Para constru¡r lo serequieren seis planos cuadrados. El grosor deestos planos es v isualmente ins¡gni f icante, por-que normalmente queda ocul to ( f ig. 350).

Construcc¡ón con l lneas

Todas las formas geométricas con f¡ losrectos pueden ser reducidas a una estructural ineal . Para construir la. cada f i lo es t ransforma-do en mater ia les l ineales, que marcan os bordesde las caras y forman los vért ices donde seLr nen,

Fn loda fo.ma geomélr ;ca hav siempremás f i los que caras. Por lo tanto, la construccióncon l ineas es más compl icada que la construc-ción con planos. Usando otra vez el cubo comoejemplo, hay sólo seis caras, pero hay doce l i los,y los doce f i los se convierten en doce var i l lasl ineales que deben quedar conectadas paraconstruir e l marco l ineal de un cubo ( f ig.351).

En nuestra exploración de las relacioñesl iñeales, los elementos pueden ser barras demadera, con extremos cuadrados. En real¡dad,las f igura son pr i rñas alargados con sJs propiascaras. f i los y extreme5 ( f ig. 352).

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353 Un¡oneg

Para usar var¡l las de madera en la cons-trucc¡ón, necesitamos primero sabe¡ sobre susunion€s. Para construir un marco cuadrado cha-to, se puaden cortar 6n ¡nglet€ cuatro varil lss demadera de l8 mlsma longitud y pegarlas iuntas.

Componontes da la osttuctura linoal 357

Tales unionea son nftidas v bastante fuertes

Con un marco cuadrado por arribS y pordebajo, sólo neces¡tamos cuatro vsri l las demadera oara soDorte, cortadas a l8 medida inter-na del ma.co cuadrado, y podremos erigir elcuDo fr|g, Jc /,.

Las variac¡ones sobre la estructura linealdel cubo pued€n hacerse de una o más de lassiguient€s maneras:

a) El marco superior o ¡nferior puede serciertamente de una figura disllnta al cuadrado(f is.358)

ó) El marco superior puede teñer la m¡s-ma figura y tamaño que el inferior, o puede serde la misma figura pe.o d¡stinto tamaño(f is.359)

c) La dirección del marco super¡or puedeser igual o diferente a la del marco inferior( f is .360)

d) El marco superior pu€d€ estar inclinadoy no ser paralelo al plano del inferior (f ig.361)

e) Las varil las de soporte pu€den ser d€una m¡sma long¡tud o de distintas longitudes(f is.362)

f Las varil las de soporte pueden sor todasperpendiculares al marco inferior o formal unángulo con ál {f ig. 363)

g) Las varil las de soporte pued€n ser pa-

ralelas o no-paralelas entre sf (f ig.364)lr) Las varillas de soporte pu€den ser rec-

tas, quebradas o una combinación de ambostipos (fig. 365).

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354

(fis.353).Una forma más simDle dg hacer un marco

cuadrado chato ss uti l izsr dos varil las más lar-gas y dos más cortas, con sxtremos cuadrados.Los extremos de las p¡szas más cortas son pega-dos a las ca|'aa laterales de las más largas. Lalongitud de las pi€zas más largss es igual a lamed¡da externa d€l marco cuadrado, mientras lalongitud d€ las más cortas es igual a la medida¡nterna del msrco (fig. 354).

Podemos usar asim¡smo cuatro varil las deinadera. con extremos cuadrados y de la mismalongitud. Ests ss la forma más simple d€ hacerun marco cuadrado. La med¡da externa del mar-co final es la suma de 18 long¡tud y del ancho d€csda varil ls, y la m€dida ¡nterna es la diferenciaentre la long¡tud y el ancho de esas varil las(f ig.355).

Las un¡ones hechas con extr€mos cu€dra-dos no son tan fuertes como las hechas conextremos cortados en inglete. Pueden hacer-se extremos más fusnes si el extrsmo de unavaril la de madera se suporpona glde la otra, cor-tando una porc¡ón de ambas, Esto se denominaun¡ón de medis-falda. Para una rssistenc¡amayor, puedsn hacerse un¡ones machihembra-das, de mayor complicación. Pero ciertamente,para modelos pequeños, las union€s complica-das no son n€cesarias (f¡9. 356).

358

m.,,\D\ R 359

F\C!ñrLJ

360

355

361

362

356 363

AX) f\--l'.

\Lr:l364

Gqt li:i¡ f i:)ir:I-l:i \-1'J

176 177

368 Ropat¡c¡ón d.l mrrco l¡ncrl

Hasta ahora hemos visto cómo puedeconatruirs€ un marco l¡ne8l s¡mple. Para avanzar,un poco más, podemos repeti. la sscción defmarco, tantas veces como se desee, colocsndbuna un¡dad sobre la otra. Cada sección Du¿desar considerada como un módulo, /t

Si cads módulo ti6ne marcos ísrslelos.arriba y abajo, ds la misms figura. tamaño yd¡¡ecc¡ón, con var¡llas paralolas de sopoñe deigual longitud, podemos obtsnar una €structuraverlical de filos rectos, colocando un módulosobre elotro (tig. 366).

Normalm€nte, el marco suoer¡or del mó-dulo de abajo s6 conviens en el marco inferiordel m&ulo de arriba,

S¡ cada módulo ti6ne marcos psralelos,arriba y ab8jo, de la m¡sm8 direcc¡ón, pero nodel m¡smo tamaño, eso supone qu6 las varil lasde soporte, aunque s€an de una misma longitud,no pueden ssgui. siendo paralelas entrs sf, y laestruclu.a resulisnte tendrá fi los €n zigzag(f is.367).

Si cada módulo t¡en€ marcos pa.alelos,arriba y abajo, d€ la m¡sma figura y tamsño, perono en la misma d¡recc¡ón, ssto supons que, t8m-b¡én aqul, l8s varil las de soporte no pu6d€n serparalelas entr6 sf. y la €structura resultantg tgn-drá un cuerpo retorcido (fig.368).

S¡ cada módulo tiene marcos no-paralelos,arriba y abaio, de la misms figura y tamaño, estosupone que las varil las de soport€ dsb€rán tenerlongitudes desigualss, y la estructura r€sultantetendrá un cuerpo curvado o torcido (fig. 3691.

367

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369

178

Agrup¡mi.nto d. módulo! r.p.t¡dor

Los módulos .epetidos pu€dsn sor sgrupa-dos para qus la parte inferior dsl módulo de arri-ba no coincida exactamente con la Dartesuperior del módulo de ab8io. Los módulos pue-den sef desplazados gradualmente en posición o€n dirección (fig.370).

La columna asf creadg ouede ser colocadahor¡zontalments. ssa porque no podrfa perma-necer eslabls an posición ven¡c8l o sea por razo-nes estétic8s (fig. 3711.

En estructuras más complejas puedenutil izarse columnas rBDetidss.

Agrcgado y lustrucc¡ón

Dentro de los marcos super¡or e infsdor, oentre las var¡llas de soporte, o dentro dsl espa-cio defin¡do por el marco lineal, pueden colocar-se figuras lineales adicionalss, para relorzar laestructura o s¡mplemente pa.a hac€rla más¡nteresante (fig. 372).

Después de este soporta ad¡c¡onal, esposibls que algunas o todss de las varillas desoporte originales, o psrte de los marcossup€rior o inf€rior, pu€dan asr r€tiradas porrazones estóticas u ot.as (fig.373).

Lqs varillSs que compongn sl marcosuryErfot o inferior, o que ostán entrs los dos¡farcos, puedsn a¡ceder la longitud dsl cubo

/ ltis. 31a).Pued6n formars€ mSrcos adic¡onales,

fuars de la estructura l inoal (f ig.375).

Intorpanetraclón

La int€rDenetración ocure cuando unaDane de una estructura linesl se sitúa d€ntro del€3Drcio d€finido Dor otra eatructura linsal(fis.376).

Una estructura linsal más pequeña pu€dequ€dar susp€ndida dentro de otra mayor, con6lemenlos adlc¡onales para sostenerla o colgarlaItis.377l.

370

ffi#371

372

373

374

375

179

Las figuras 378 a 383 son proyectosen la construcción de enmarcadoslineales. Algunos de los ejemplos encapítulos anteriores, hechos en cartón,pero con todas las caras recortadashasta los f¡¡os, también pueden serexam¡nados como proyectos de estet ipo. Son las f iguras 261, 263,265 ,posiblemente 342.

Figura 378. Aquí se han ut¡ l izado nue-ve módulos de enmarcado l ineal, Cadamódulo está constru¡do con dos mar-cos cuadrados y cuatro vari l las desoporte, de la misma longitud. Losrnódulos se unen entre sf en rotaciónde direcc¡ón.

Figura 379. Esta estructura se compo-ne de dos módulos, cada uno de el losdividido en cuatro secciones. Una sección del módulo de arr iba se soperpo-ne a una secc¡ón del módulo inferio' .Se han trazado l íneas diagonales den-tro de los módulos, reemplazando atodas las vari l las vert icales de sopone.

379

180 ' l 81

F¡gurc 38O. La estructura es unrombo-cubo-octaedro, dentro del cualse han desarrollado elementos l¡nealesadicionales que unen a los vért¡ces.

F¡gua 381. Aquí cada módulo es laestructura de un cubo y los módulosestán d¡spuestos en gradac¡ón detamaño y de dirección, uno dentro deotro.

Figura 382. Hay cuatro módulos eneste d¡seño. Cada módulo era or¡g¡nal-mente la estructura de un cubo, perocasi todos sus elementos vert¡cales yhor¡zontales han s¡do qu¡tados, trasagregar elementos d¡agonales a laestructura,

F¡gun 383. La estructura contienec¡nco capas, con cuatro módulos encada capa. Cada módulo es una f¡guraprismática inclinada.

380

342

183182

9. Capas lineales

384 Construcción do capas linc!b¡

En.€1.último c8pltulo v¡mos cómo puedonruidas las sstructuras linea¡es. Si retira-

mos.tas varil lSs d€ sopone de un8 estructuraIrneat, nos quedan un ma¡co supeflor y unoInrsnor, que pueden ser considerados como doscap€s: una capa superior y una infe¡ior (fig.384r.

385

. _- !lll: estas dos cspas puedsn agregarse

:Lr-"."ll¡d"d de capas inrermed¡a", y i" f-igr.aasr engtcta s€rá la misma de la estructuta linealoe ong€n, por ejemplo, si la estructu€ ti€ne la'|gura

de un cubo, las cuatro vSrillas de Spoyopueden_ ssr rssmplazadas por capas qe mSrcoscuaorados, d6_ la mlsma figura y tamsño que losmarcos supefior e inferior. La figura resultante]i::" qiT".. taterat€s sótidos, psro ptanos sup6_flo. e ¡nterior huecos (fig. 395).

. Ahora,.si se des€a, pod€mos desplazar las1o-"':'o1"" de,las 9a-pas pa.a conseguir un pr¡s-ma Inctrnscfo {tis.396).

,.. ^O_podemos rotSr gradualmento cada capa(f is.387).

386

387

184

Variacionc! y pos¡bil¡drdc!

Pars s¡mplificar nuostra idea, podemosut¡lizar una sola varilla de msd€r8 por cada capa,y ver qué variacionss y posibilidados podsmostgn6t.

Ante todo, los dos axtremos de la var¡llapu€den sar cortados en la forma que s6 cr€adeseable {fi9.388).

Al construir las capas, las varillas puedenser todas de una misma longitud o de longitudesvariables (fig. 389).

Podemos colocSr una varilla directamsntsencima de otra, pero también podemos dispo-n€rlas €n gradación de posición o de dirección(fis.390).

El cuerpo de la varilla puode ssr tratado dsalguna manara esp€cial {f ig.391).

388

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4t4f---------t ,---------ta| - - - - - - - -1)fa( ' )

#) 4_____r4l:4&H) L:_--__+

390

391

185

392 Grsdac¡ón de f igura an construcción potca0as

Las posibi l¡dades en gradación de f igurapueden ser exploradas cuando tenemos más deuna vari l la de madera en cada capa. Suponga-mos que tenemos dos vari l las en cada capa denuestra construcción. Las dos var¡ l las puedenser de la misma o de di lerenle longitud {f i-gura 3921.

Pueden ser un¡das en un extremo, oara for-mar una f¡gura en V, o pueden cruzarse enlre sípara formar una f igura en X. El ángulo de unióno de cruce puede var¡ar de una capa a la s¡guien-te {f ig. 393).

Ambas pueden ser adheridas en formalateral o longi tudinal ( f ig. 394).

Observemos el s¡g¡r iente ejemplo en laconstrucción por capas. La capa superior es unafigura en V, con la unión apuntada hacia laizquierda. En las capas inmed¡atarnente infe-r iores, las dos var¡ l las comienzan a superpo-nerse gradualmente entre sí, en una unión demed¡a falda, formando una f¡gura en X. La capacentral es una f igur¿ en X, con la ¡ntersección enel medio exacto. En las capas inmed¡atamenteinferiores, la intersecc¡ón de la f igura en X semueve gradualmente hacia la derecha. Final-mente se convjerte en una f igura en V, con laun¡ón aDuntada hacia la derecha, que marca lacapa inferior (f ig, 395).

Con más var¡ l las para cada capa, y cgnvariaciones de posic¡ón y de d¡rección, puedenobtenerse fáci lmente efectos más comolicados.

Las figuras 396 a 4O3 muestran el usode capas l ineales en estructuras tri-di-mensionales.

Figurc 396. Cada capa es un sim-ple cuadrado en esta construcc¡ónaparentemente compleja. El marcocuadrado ha sido dispuesto en grada-c¡ón de lamaño y tamb¡én de direc-cton,

F¡gura 397. Aquí hay cuatro grupos decapas lineales. En cada gruPo, lasvaril las de madera rotan Y se hacencada vez más largas. Los cuatro gru-pos están reunidos en una estructuracon f¡gura de X.

: :

393

394

395

186 147

Figurc 398. Similar a la 397. Aquíencontramos varil las que rot€n for-mando planos curvos, cuatro de loscuales se reúnen en el d¡seño.

Figura 399, Esta cont¡ene un total deveinte grupos, cada uno de los cualesse cornpone de se¡s var¡ l las en rota-ción, con long¡tudes en gradación. Lafigura general del d¡seño es un tetraedro irregular.

F¡gurc 40O. En este d¡seño hay sólodos grupos de varl l las en rotación.Todas las var i l las t ¡enen una mismalongi tud.

188 189

Figura 4Ol. Aquí cada marco cuadra-do está separado eñ dos capasr unacon dos vari l las orientadas hacia atrásy hacia adelante, y la siguiente convari l las orientadas hacia los costados.La gradac¡ón en el tamaño de los mar-cos cuadrados, creada por la grada-ción en las long¡tudes de las var i l las,ha convert ido el conjunto en unainteresante f igu ra de torre.

Figura 402. De manera sirñi lar a la401, teñemos aquí var i l las que apun-tan a diferentes direcciones en capasal ternadas. Las longi tudes de lasvari l las permanecen incaÍrbiadas, peroen cada capa la d¡stancia entre var i l ¡asparalelas se estrecha y después am-pl ía gradualmente.

Figurc 4O3. Ha s¡do construida aproxi-madamente con el m¡smo pr incipio dela 4O2.

190 191

10. Lfneas enlazadas

LinsaE enlazadas sobre un plano

Sob¡e un plano d¡bujemos dos lfneas rec-tas de la m¡sma long¡tud y en cada una de e¡lasmarquemos s¡€te puntos, espac¡ados a la mismad¡stancia {fig. 404).

Pueden crea¡se las líneas enlazadas,uniendo los puntos de una línea recta con los dela otra. S¡ las dos l lnea rectas son paralelas yunimos ¡os puntos en el orden de su posición, seproduce un esquema de líneas enlazadasoaralelas. Si unimos los Duntos en el ordeninverso a su posic¡ón, las líneas enlazadashabrán de cruzarse ent¡e sí en un nuevo punto,que €stá a m¡tad de cam¡no entre ambas llneasrectas (fig. 4O5).

Si las dos líneas rectas no son oaralelas.las líneas enlazadas Dueden ser Daralelas, o engradac¡ón de dirección, o en ¡ntersecc¡ón enmuchos puntos nuevos. En el últ¡mo caso seproduce un fi lo curvo, aunque todas Ias líneas deenlace sean rectas (fig. 406).

Si las dos lín€as rectas están unidas entresí en un ángulo, las líneas de enlace pueden sertodas oaralelas o oueden cruzarse en muchospuntos nuevos. En el últ imo caso también seproduce un f i lo curvo ( f ig.4O7).

Si los puntos regularmente espac¡ados noestán marcados sobre lfneas rectas sino a lo lar-go de un arco de cfrculo, las lfneas de €nlaceentre tales puntos podrán ser paralelss o podráncruzarse en muchos puntos nuevos, producien-do un f¡lo curvo, como en los ejemplos ante-riores (fig. 4O8),

404

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Lfne¿3 onla4da! on cl clprcio

Para explorar lss po8ib¡lidades del enlacedo lfneas en el sspacio, podemos util¡zar unaestructurs lineal, con forma d6 cubo. cuvos vér-t¡c€s se¡án A, B, C, D. E, F, G y H. Sobre csdauno de los tilos, represantados por varill8s, semarcan s¡ete puntos de un vértice I otro v a dis-

CD, EF y GH son varil lss Daralslas.TaÍíbién lo son AE, BF, CG, y DH. Las t¡neas de

41lJ o_cA-B

í_c

enlace señaladas ent¡e varlllas paralelas p.odu-cen .esultados ¡guales a los de los planos quevimos en figura 405. Esto supone que sonparal€las o bien que se cruzan en un gunro nue-vo (f¡9. 41O).

IIE

AB, BC, CD y OA son vari¡las situadas enun mismo plano. También lo están las vsri l lasDA, AE, HE y DH, las vari as AB. BF, EF v AE. olas var¡l las CD, DH, cH y CG, o l8s variltas EF.FG, GH y HE. o las varil las BC, CG, FG v BF.Cualesquisra dos var¡llas adyacentss de los gru-pos mencionados pued€n producir lln€as deenlace s¡m¡la.es a las ilustradas en l8 l¡gura 407(lis. 4l 1).

411

141 rr2', ', L___l

N.. I

NL194

Como hemos visto, las vorillas p8ralelas€ntre sf, o qu€ €atán en un mlsmo plano, produ-csn lln€as d€ enlaco ou€ son bás¡camonte d6naturaleza bid¡mens¡onal. Los electos tr¡-di-mens¡onales pusdgn obteners€ solamente s¡ lasvarillas no son paralelas y 6stán sobro planosdiferentos.

Por eiemplo, las vsrillss AB y FG en lsfigura 409 no aon par¿lelas y €stán en planogdistintos, Para desarrollar lfneas de €nlace podo-mos conoctar A con F, y B con G, o conectar AconGyBconF(f l9.412).

S¡ consctamos A con F y B con G, las lf-neas d6 6nlaca formarán una sup€rficlo que sstál¡geramente curvada (fig. 413).

Si conoctamos A con G y B con F, lasuperf¡cio curvada formada por lse lfneas ds6nlac€ es aún más Drominente. Es no sólo cur-vada sino retorcida (fig.414).

Otros paros d6 varillas qu6 pu€don produ-c¡r etoctos s¡milares son AB v HE. AB v DH. ABy CG; BC y EF, BC y GH, BC y AE, BC y DH; CDy HE. CD y FG, CD yAE, CD y BF; DA y BF. DAyCG, DA y EF, DA y GH.

412

413

414

.'T'----------17

415 Metrr¡dar y con3trucclón

Lá elructura l¡neal dsb€ sef hecha conmatsrislos rlg¡dog como vsrillas dE made¡a, 8fin d€ que permanszcan f¡rmgs y aporten unfuerte apoyo a las lfnoas €nlEzsdas (fig. 415).

Con una sstructura lln68l rfgida, tas lfnoasde 6nlacs podrán s6r de mstorlal rfgido o blando.Las lfneas ds enlsco rfgido pu€don simplemente

óaras de los elom€ntos de lasstrUcfura, y sus extromos aon normalmontetallsdos pars fac¡l¡tar ls adhosión con un máx¡-mo contacto d€ supertic¡e (fig. 416).

416 S¡ l8s lfneas de enlace son de matorislblando, como €l hilo d6 algodón. de nylon uotras subatancias, pued€n s6r atadss o fijadaspor otros medios a los ol€montos d€ la estruc-tura lflg.417).

Las lln€as blandas de onlace deben sereatiradas entre los dos puntos de fijación, y alhac6rlo asf ag craa una tonsión. La sstructurSd6be s6r lo bastanto rssiat€nta como paratolerar 6s€ tuena (fig. 418).

Conrtrucclón plana perr lfnaar cnhzldar

Si no se usa una gatructurs l¡neal, pod€-moa usar figuras planas s¡mples en una cons-trucc¡ón psra el desarrollo de lfneas de enlace.La construcción plana puod6 ser más res¡stentequ€ la estructura lineal si ss usa un material dsrigid6z y grosor adecuados,

417

414

196

Las hojss d€ scrflico claro son ldeslss paraoste propóslto, ys que 18 lramparencia d€lmaterial pofmito una completa sxhlbic¡ón de 188comol¡cacion€s an las lfnsas €ntrolazadas.

Lfns$ antrrla2rdlr dcrt¡o dl un cubotran!Pa?cntc

Para explorar, con tan poca interfer€nciade la sstructura como s€a Doslble, €l electo desuD€rficios curvadas qua ss forma con lfneasentrelazadas, oodemos utillzsr s€b hoias cua-dradas ds scrllico Dara construlr un cubo(fig.419). Sobro 6l plsno sup€rior, puedan per-forars€ una cantidad de oriflclos I int€rv8losregulares, formando una figurs clrculsr. Lo m¡s-mo pusd6 hacerce en el plsno Inferior (flg. 42Ol'

Ahors podemos construir lfn€as sntrelsza-das con hllo de nylon o de algodón entre los pla-nos supoflor e infsdor.

Si las lfnoas €nlazadas son todas paral6lasentr€ 3f y porpand¡cular€s I los plEnos do arfibay d6 abajo, el resultado 6s uns figura cilfndrica|frs.4211.

Si las lfnsas entrelszsdss e3tán ¡ncl¡n8dasy no son parslelss entr€ sf, el roaultado 6s un

419

420

421

hiD€rboloid€ con una superficlanua (fig.422).

1',t22

197

423 Pueden obtenerse resultados más compl¡-cados e ¡nteresantes s¡ se varfa el diseño descri-to, de una o más de las s¡guient€s maneras:

a) La posición de las figuras circularespu€de ser trasladada d6l c€ntro hacia los fi los olas esquinas d€ los planos superior e infer¡o.lfis. 4231

á) Una de las f¡guras circular€s. o ambas,puede ser l levada a los planos laterales del cuboltis. 4241

cl El tamaño de ambas f¡guras puede serd¡ferente (fig.425)

d Upá de ambas figuras puede serdiferente.2 la otra: ambas Dued€n no ser cir-culares,'si así se lo desea (fig.426)

e) Varios juegos de lfneas entrecruzadaspueden ser constru¡dos dentro del mismo cubotransparente (f¡9. 427).

Las f¡guras 428 a 433 ilustran proyec-tos donde se ut¡l izan varil las rlgidas demadera para la construcción de lfneasenlazadas. Las figuras 434 a 439 fue-ron hechas con lfneas enlazadas he-chas de mater¡ales blandos.

Figura 428. Las líneas enlazadas rfgi-das están constru¡das dentro de laestructura de un cubo. Las cuatrovaril las vert¡cales de soporte fuerondespués ret¡radas.

Figurc 429. Aquí se construye unafigura de espiral, part¡endo de un pla-no l iso. La figura ascieñde y desc¡en-de. apoyada por las lfneas enlazadas.

424

425

426

427

198 loo

Figura 43O. La estructura es resisterlIe, compuesta de elementos vert i_ca¡es, horizontales y diagonales. Todaslas l íneas enlazadas son paralelas a¡plano de la base, pero aparecen engradación de dirección, f i rmando s-perf ic¡es suavemente curvadas.

F¡gura 431. El enmarcado es unoctaedro. Se han desarrollado se¡sgrupos de líneas enlazadas, cerca delos seis vértices.

Figura 432. La estructura está com-puesta por se¡s marcos tr¡angulares,que rotan alrededor de un eie comúnToda la estructura está reforzada porlíneas enlazadas, que encierran consuperficies curvadas el espacio inte-r¡or.

200 201

Figura 433. Aquí la estructura ha sidoconstruida con dos marcos cuadradosy cuatro varil las paralelas de conexión,todas del m¡smo tamaño, perpsndi-culares a los cuadrados. Dentro decada figura cuadrada se ha hecho unaf¡gura en X, y las líneás enlazadas sedesarrollan entre ambas figuras €n x.

Figura 434. Se han ut¡l izado ochomarcos en triángulo isósceles paraesta €structura octaédr¡ca. Se ha agre-gado una varil la inte.na entrs los closvértices opuestos, pero se han qu¡tadodos varil las de la estrudura exter¡or.Para las l lneas enlazadas se usó hilode algodón.

F¡gurc 435. La estructura se componede tres varil las curvilíneas de materialplást¡co. El hilo de nylon está rej¡dohac¡a arriba y hacia abajo, lormandouna interesante red entre las curvas.

Figura 436. En esta estructura se hancombinado cuatro figuras planas, deigual dibujo y tamaño, con cinco dis-cos circulares de diversas medidas,todo ello con hojas de acll ico claro.Las líneas enlazadas en hilo de nylonse desarrollan entre los discos clr-culares, así como entre ellos y lasfiguras exter¡ores de soporte.

¡ l i ;: j ¿i ' ] ' .

203

Figurc 437. Aquí una banda dematerial plástico en esp¡.al ha s¡doutil izada para el desar¡ollo d€ lfneasenlazadas.

Figura 438. Diversas figuras trian-gulares, h€chas con hojas de acrfl icoclaro, cornponen esta estructura. Elmayo. interés del d¡seño está en las -neas enlazadas, que se destacan no-toriamente entre los planos trans-parentes debido al color oscuro oe¡h¡lo de algodón.

Figura 439. En este diseño, las f¡gurasplanas, hechas de hoias de acríl¡coopaco con color oscuro, son más pro-m¡nentes que las líneas enlazadas denylon, las que son transparentes e¡ncoloras. El efecto es el opuesto al dela figura 438.

Colección GG DISEñO

Otl A¡cherMart¡n Krampen

Adrian Frutiier

Karl Gerstner

J. Chistopher Jones

Harald Küppers

Bernd Lóbach

Jord¡ Llovet

Ernest J. Mccorm¡ck

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