Fundamentos de la Geometría Fractal
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Fundamentos Fundamentos de la de la Geometría Geometría Fractal Fractal
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Fundamentos de la Geometría Fractal. Benoit Mandelbrot. El concepto que hace de hilo conductor será designado por uno de los dos neologismos sinónimos “objeto fractal” y “fractal”, términos que he inventado, ..., a partir del adjetivo latino “fractus”,... - PowerPoint PPT Presentation
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FundamentoFundamentos de la s de la
Geometría Geometría FractalFractal
Benoit Benoit
MandelbroMandelbro
tt
El concepto que hace de hilo conductor será El concepto que hace de hilo conductor será
designado por uno de los dos neologismos designado por uno de los dos neologismos
sinónimos “objeto fractal” y “fractal”, términos sinónimos “objeto fractal” y “fractal”, términos
que he inventado, ..., a partir del adjetivo latino que he inventado, ..., a partir del adjetivo latino
“fractus”,... “fractus”,...
MandelbrotMandelbrot
““Un fractal es, por definición, un conjunto cuya Un fractal es, por definición, un conjunto cuya
dimensióndimensión de Hausdorff-Besicovitch es de Hausdorff-Besicovitch es
estrictamente mayor que su dimensión topológica.”estrictamente mayor que su dimensión topológica.”
Representación del conjunto de Representación del conjunto de
MandelbrotMandelbrot
1) Los Fractales son los objetos 1) Los Fractales son los objetos
matemáticos que conforman la matemáticos que conforman la
Geometría de la Teoría del Caos. Geometría de la Teoría del Caos.
2) La Geometría Fractal es 2) La Geometría Fractal es
también conocida como la también conocida como la
“Geometría de la Naturaleza.“Geometría de la Naturaleza.
3) La palabra Fractal, enunciada 3) La palabra Fractal, enunciada
por Mandelbrot, proviene del latín por Mandelbrot, proviene del latín
y significa roto, quebrado. (esto se y significa roto, quebrado. (esto se
asocia con las discontinuidades de asocia con las discontinuidades de
funciones matemáticas). funciones matemáticas).
4) La Geometría Fractal es un nuevo 4) La Geometría Fractal es un nuevo
lenguaje; ya que los puntos, rectas, lenguaje; ya que los puntos, rectas,
esferas, elipses y demás objetos de esferas, elipses y demás objetos de
la geometría tradicional son la geometría tradicional son
reemplazados por algoritmos reemplazados por algoritmos
iterativos computacionales que iterativos computacionales que
permiten describir sistemas naturales, permiten describir sistemas naturales,
caóticos y dinámicoscaóticos y dinámicos..
5) Los Fractales son objetos cuya 5) Los Fractales son objetos cuya
dimensión es no entera o dimensión es no entera o
fraccionaria. fraccionaria. 6) Un objeto fractal es aquél que su 6) Un objeto fractal es aquél que su
dimensión fractal de Hausdorff -dimensión fractal de Hausdorff -
Besicovich supera a su dimensión Besicovich supera a su dimensión
topológica.topológica.
7) Un objeto fractal es aquél que 7) Un objeto fractal es aquél que
posee las siguientes dos posee las siguientes dos
características: características:
b) Dimensión Fractal b) Dimensión Fractal
a) Autosimilitud, a) Autosimilitud,
ANTECEDENTESANTECEDENTESLLa geometría fue descubierta en Egiptoa geometría fue descubierta en Egipto
FFue mostrada rigurosamente por el ue mostrada rigurosamente por el
matemático griego Euclídes, en su libro “los matemático griego Euclídes, en su libro “los
elementos”.elementos”.
ArquímedesArquímedes iinventó la forma de medir el área nventó la forma de medir el área
de ciertas figuras limitadas por curvasde ciertas figuras limitadas por curvas
EVOLUCIÓN DE LA GEOMETRÍAEVOLUCIÓN DE LA GEOMETRÍA
Geometría analíticaGeometría analítica
El uso de modelos con más de tres El uso de modelos con más de tres
dimensiones dimensiones
Geometría DiferencialGeometría Diferencial
Geometría Hiperbólica Geometría Hiperbólica
La geometría fractalLa geometría fractal
El discoEl disco hiperbólico hiperbólico de P de Pooincaréincaré
LLíímite circular IIImite circular III, M.C. Escher, M.C. Escher
La geometría fractalLa geometría fractal
Disciplina complejaDisciplina compleja que que
integra conceptos de:integra conceptos de:
Geometría euclidianaGeometría euclidiana
Geometría analíticaGeometría analítica
Teoría de funciones y seriesTeoría de funciones y series
Variable complejaVariable compleja
Geometría no euclidianaGeometría no euclidiana
TopologíaTopología
Procesamiento de imágenesProcesamiento de imágenes
OBJETOS FRACTALES CLÁSICOSOBJETOS FRACTALES CLÁSICOS
Conjunto perfecto de CantorConjunto perfecto de Cantor
Partimos del intervalo [0,1], que denominamos Partimos del intervalo [0,1], que denominamos
CC00. Obtenemos . Obtenemos CC11 removiendo el tercio removiendo el tercio
central de central de CC00, de forma que resulta, de forma que resulta
1,
3
2
3
1,01 C
Ck reunión de 2k subintervalos cerrados,
cada uno de longitud 3-k.{Ck} es monótona decreciente:
0
210 ...;...k
kk CCCCCC
CurvaCurva de Hilbertde Hilbert
OBJETOS FRACTALES CLÁSICOSOBJETOS FRACTALES CLÁSICOS
SSe conectan e conectan loslos centros centros de los cuadrados de los cuadrados, ,
comenzando siempre por el cuadrado inferior comenzando siempre por el cuadrado inferior
izquierdo y terminando en el cuadrado inferior izquierdo y terminando en el cuadrado inferior
derechoderecho..
Copo de nieve de KochCopo de nieve de Koch
OBJETOS FRACTALES CLÁSICOSOBJETOS FRACTALES CLÁSICOS
OBJETOS FRACTALES CLÁSICOSOBJETOS FRACTALES CLÁSICOS
Triángulo de SierpinskiTriángulo de Sierpinski
OBJETOS FRACTALES CLÁSICOSOBJETOS FRACTALES CLÁSICOS
Carpeta de SierpinskCarpeta de Sierpinski i
OBJETOS FRACTALES CLÁSICOSOBJETOS FRACTALES CLÁSICOS
TTetraedro de Sierpinsketraedro de Sierpinski i
OBJETOS FRACTALES CLÁSICOSOBJETOS FRACTALES CLÁSICOS
EEsponja de Sierpinsksponja de Sierpinskii
ÁRBOL FRACTAL ÁRBOL FRACTAL
DIMENSIÓN FRACTALDIMENSIÓN FRACTAL1).( 1 LLN
1).( 2 LLN
L: factor de reducción
N(L): cantidad de similares
DIMENSIÓN FRACTALDIMENSIÓN FRACTAL
1).( 3 LLN
LLa dimensión fractal de un objeto geométrico esa dimensión fractal de un objeto geométrico es D D si si ::
1).( DLLN ; D= log (N(L))/log(1/L)
La La dimensidimensióónn del conjunto de Cantor del conjunto de Cantor
D= log(2)/log(3) = 0'6309...D= log(2)/log(3) = 0'6309...
La dimensiLa dimensióón de la curva de Koch n de la curva de Koch
D = log(4)/log(3) = 1'2618...D = log(4)/log(3) = 1'2618...
DIMENSIÓN FRACTALDIMENSIÓN FRACTAL
AUTOSIMILITUDAUTOSIMILITUD
(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de (1).- “F” posee detalle a todas las escalas de
observación;observación;
(2).- No es posible describir “F” con Geometría (2).- No es posible describir “F” con Geometría
Euclidiana, tanto local como globalmente;Euclidiana, tanto local como globalmente;
(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, (3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza,
posiblemente estadística;posiblemente estadística;
(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su (4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su
dimensión topológica;dimensión topológica;
(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy (5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy
simple, y posiblemente de carácter recursivo.simple, y posiblemente de carácter recursivo.
KENNETH FALCONERKENNETH FALCONER - 1990 - 1990
CONJUNTO DE MANDELBROTCONJUNTO DE MANDELBROT
PPuntos c en el plano complejo tales que la untos c en el plano complejo tales que la
sucesión recurrentesucesión recurrente
No tiende a infinito No tiende a infinito
ARTE FRACTALARTE FRACTAL
LA REALIDAD VIRTUALLA REALIDAD VIRTUAL
