Jorge Iván Hernández Bautista

Diógenes Morales Castellanos

Jorge Salvador Coll Morales

Salvador Sánchez Canela

Alejandro Domínguez Rodas

Fabián García López

Fundamentos de la Ingeniería Económica

Las decisiones que toman los ingenieros por lo general son el resultado de elegir una alternativa sobre otra. A menudo las decisiones reflejan la elección fundamentada de una persona sobre cómo invertir mejor fondos, también llamados capital.

Por que es Importante la Ingeniería Económica para los Ingenieros

La ingeniería económica implica formular, estimar y evaluar los resultados económicos cuando existan alternativas disponibles para llevar a cabo un propósito definido.

Otra forma de definir la ingeniería económica consiste en describirla como un conjunto de técnicas matemáticas que simplifican las comparaciones económicas, toda estas decisiones implican los elementos básicos de flujos de efectivo, tiempo y tasas de interés.

La gente toma decisiones; ni las computadoras, las matemáticas u otras herramientas lo hacen. Las técnicas y modelos de la ingeniería económica ayudan a la gente a tomar decisiones. Por lo tanto, en un análisis de ingeniería económica los números constituyen las mejores estimaciones de lo que se espera que ocurrirá. La ingeniería económica se aplica, asimismo, para analizar los resultados del pasado.

Toma de Decisiones

1. Comprensión del problema y definición del objetivo.

2. Recopilación de información relevante.

3. Definición de posibles soluciones alternativas y realización de estimaciones realistas.

4. Identificación de criterios para la toma de decisiones empleando uno o más atributos.

5. Evaluación de cada alternativa aplicando un análisis de sensibilidad para reforzar la evaluación.

6. Elección de la mejor alternativa.

7. Implantar la solución.

8. Vigilar los resultados.

“Enfoque de solución de problemas o proceso de toma de decisiones”

A menudo se dice que dinero llama dinero. De hecho, la afirmación es cierta, porque si hoy decidimos invertir dinero, intrínsecamente esperamos tener más dinero en el futuro. Si una persona o empresa solicita un crédito hoy, mañana deberá más que el capital del préstamo original. Este hecho también se explica por medio del valor del dinero en el tiempo.

La variación de la cantidad del dinero en un periodo de tiempo dado recibe el nombre de valor de dinero en el tiempo; éste es el concepto más importante de la ingeniería económica.

“Dinero Llama a Dinero”

El uso del dinero no es gratuito, como tampoco lo es de cualquier otro activo (una casa, un automóvil); y tampoco lo de un servicio (luz, agua, teléfono, etc.); por tanto, el usuario del dinero, activos o servicios, debe satisfacer los deseos de utilidad de quien las proporciona.

En el paso del dinero, esta utilidad se mide en utilidades monetarias, la cual unida al capital en uso hace que este cambie de valor del dinero con el tiempo, y por esto se habla del valor del dinero en el tiempo.

La importancia del Interés

Interés : Es el rédito que se paga por una suma de dinero tomada en préstamo, la cual depende de las condiciones contractuales, y varía en razón directa con la cantidad de dinero prestada (capital), el tiempo de duración del préstamo (plazo) y la tasa de interés aplicada.

Tasa de Interés : Es la tasa que se aplica en una operación comercial, la cual determina el interés a pagar, se expresa en tanto por ciento (%) y generalmente la tasa de interés se da por año.

Conceptos Básicos de la Ingeniería Económica

Tiempo : Es el intervalo durante el cual tiene lugar la operación financiera en estudio, la unidad de tiempo es el año.

Periodo : Es el intervalo de tiempo en el que se liquida la tasa de interés (año, semestre, trimestre, bimestre, mes, quincena, semana, diario, etc.).

Capital : Es el dinero que se presta, comúnmente se le denomina valor presente.

Monto : Es el capital formado por el capital actual más los intereses devengados en el periodo, comúnmente se le denomina valor futuro.

Anualidad : Es el flujo de efectivo igual que se paga o se cobra cada cierto periodo.

Días Transcurridos: Para obtener los días transcurridos de una operación financiera, primero: se obtiene la diferencia entre el día del mes terminal y el día del mes inicial; segundo: utilizando la tabla de tiempo exacto, obtenemos la cantidad de días definida por la intersección entre el mes inicial y el mes terminal; y tercero: sumar los días del primero y segundo paso y así obtener los días transcurridos.

La importancia del Tiempo

Una empresa prestó una cantidad el 16 de Abril de 2012; dicha cantidad se devolverá el 16 de Octubre del mismo año. Determinar el tiempo exacto.

Número de día del 16/Abril en la tabla: 107

Número de día del 16/Octubre en la tabla: 290

Resta de días: 183 días

Dias Transcurridos.xlsx

Ejemplo

Para encontrar la fecha de vencimiento de un documento, primero: se utiliza la tabla de tiempo exacto para localizar el mes de transacción y buscar por ese renglón el número de días más próximo o exacto al establecido en la transacción; segundo: se suman el plazo dado en días; tercero; el resultado se busca en la tabla y obtienes tu fecha de vencimiento

Fecha de Vencimiento

Un certificado CDT se constituye el 24 de Febrero con un plazo de 90 días ¿Cuándo vence el CDT? usar tiempo real, dado que así se manejan estos certificados.

Número de día del 10 de marzo: 69

Mas la cantidad de días de plazo: 90

Número de día final: 145

El día 145 equivale al 24 de Mayo.

Dias Transcurridos.xlsx

Ejemplo

El interés es la manifestación del valor del dinero en el tiempo. Desde una perspectiva de cálculo, el interés es la diferencia entre una cantidad final de dinero y la cantidad original. Si la diferencia es nula o negativa, no hay interés.

Tasa de Interés y Tasa de Rendimiento

Existen dos variantes del interés: el interés pagado y el interés ganado. El interés se paga cuando una persona u organización pide dinero prestado (obtiene un préstamo) y paga una cantidad mayor.El interés se gana cuando una persona u organización ahorra, invierte o presta dinero y recibe una cantidad mayor.

Interés Pagado y Interés Ganado

El interés que se paga por fondos que se piden prestados (préstamo) se determina mediante la relación

• Interés = cantidad que se debe ahora - cantidad original

Cuando el interés pagado con respecto a una unidad de tiempo específica se expresa como porcentaje de la suma original (principal), el resultado recibe el nombre de tasa de interés.

La unidad de tiempo de la tasa recibe el nombre de periodo de interés. Por ahora, el periodo de interés más comúnmente utilizado para fijar una tasa de interés es de un año. Es posible considerar periodos de tiempo más cortos, como 1% mensual. Por lo tanto, siempre debería incluirse el periodo de interés de la tasa de interés. Si tan sólo se fija la tasa, por ejemplo, 8.5%, se dará por supuesto un periodo de interés de un año.

Un empleado de LaserKinetics.com solicita un préstamo de $10,000 el de mayo y debe pagar un total de $10,700 exactamente un año después. Determine el interés y la tasa de interés pagada.

Solución

Aquí el problema se analiza desde la perspectiva del prestatario en virtud de que los $10,700 pagan un préstamo.

Interés = $10,700 - $10,000 = $700

Tasa porcentual de interés == $700 x 100% == 7% anual

Ejemplo

Desde la perspectiva de un ahorrador, un prestamista, o un inversionista, el interés ganado es la cantidad final menos la cantidad inicial, o principal.

“Interés generado = cantidad total actual - cantidad original”

El interés generado durante un periodo específico de tiempo se expresa como porcentaje de la cantidad original y se denomina tasa de rendimiento (TR).

Tasa de rendimiento

Tasa de rendimiento

La unidad de tiempo para la tasa de retorno recibe el nombre de periodo de interés, el mismo nombre que cuando se ve desde la perspectiva del prestatario.

Aunque los valores numéricos de las ecuaciones anteriores son los mismos, el término tasa de interés pagada es más adecuado para la perspectiva del prestatario, y tasa de retorno ganada es mejor desde la perspectiva del inversionista.

Una consideración económica adicional para cualquier estudio de ingeniería económica es la inflación. Hay varios comentarios imprescindibles en esta etapa inicial sobre los fundamentos de la inflación: en primer lugar, ésta representa una disminución del valor de una moneda determinada.

Inflación

El cambio en el valor de la moneda afecta las tasas de interés del mercado. En palabras sencillas, las tasas de interés bancario reflejan dos cosas: la llamada tasa real de rendimiento más la tasa de inflación esperada. La tasa real de rendimiento posibilita que el inversionista compre más de lo que hubiera podido comprar antes de invertir. La inflación contribuye a que ocurra lo siguiente:

La reducción del poder de compra. El incremento en el IPC (índice de precios al consumidor). El incremento en el costo del equipo y su mantenimiento. El incremento en el costo de los profesionales asalariados y empleados contratados por horas. La reducción en la tasa de retomo real sobre los ahorros personales y las inversiones corporativas. En otras palabras, la inflación puede contribuir materialmente a modificar el análisis económico individual y empresarial.

Las ecuaciones y procedimientos de la ingeniería económica emplean los siguientes términos y símbolos. Incluyen unidades de muestra.

P = valor o cantidad de dinero en un momento denotado como presente o tiempo 0. También P recibe el nombre de valor presente (VP), valor presente neto (VPN), flujo de efectivo descontado (FED) y costo capitalizado (CC); unidades monetarias

F= valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro. también recibe el nombre de valor futuro (VF); unidades monetarias

A = serie de cantidades de dinero consecutivas, iguales y del final del periodo. A también se denomina valor anual (VA) y valor anual uniforme equivalente (VAUE);unidades monetarias por año, unidades monetarias por mes

n = número de periodos de interés; años, meses, días

i = tasa de interés o tasa de retorno por periodo; porcentaje anual, porcentaje mensual; por ciento diario

t = tiempo expresado en periodos; años, meses, días.

Terminología y símbolos

Interés simple

Los términos interés, periodo de interés y tasa de interés son útiles en el cálculo de sumas de dinero equivalentes para un periodo de interés en el pasado y un periodo de interés en el futuro . Sin embargo, para más de un periodo de interés, los términos interés simple e interés compuesto se toman importantes.

El interés simple se calcula utilizando exclusivamente el principal e ignorando cualquier interés generado en los periodos de interés precedentes. El interés simple total durante varios periodos se calcula de la siguiente manera:

Interés = (principal)(número de periodos)(tasa de interés)

“Donde la tasa de interés se expresa en forma decimal”

Monto simple

Monto Simple: El monto o valor futuro se obtiene al sumar los intereses al capital, es decir:

F = P+I 

Sustituyendo (5) en (6) , obtenemos que:

F = P + Pnr = P (1 + nr) 

donde:

F = Monto Simple

P = Capital

n = Plazo

r = Tasa Nominal

( 1+nr) = Factor de crecimiento, siendo P y F factores de pago único.

Problema: Calcular el monto de un capital de $189,000 , con una tasa de interés de 20% simple anual en un tiempo de 11 meses.

Solución:

P = $ 189, 000

r = 20% Anual

n = 11 meses = 11/12

F = P(1+nr) = 189, 000 [1+(11/12)(0.20)]

F = $ 223, 650.00

En el caso del interés compuesto, el interés generado durante cada periodo de interés se calcula sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores. Así, el interés compuesto es un interés sobre el interés. También refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo sobre el interés. El interés para un periodo ahora se calcula de la siguiente manera:

Interés = (principal + todos los intereses acumulados)(tasa de interés)

Interés compuesto

El valor futuro se obtiene por la capitalización de intereses el cual es el proceso por el que el interés generado, pasa a formar parte del capital, incrementando con ello el capital inicial. El concepto de capitalización, por lo tanto, lleva implícito el manejo de interés compuesto, es decir,

F =

donde:

F = Valor Futuro (Monto)

P = Valor Presente (Capital)

i% = Tasa de Interés (Compuesta)

n = Plazo

ó : factor de crecimiento.

Monto compuesto

Problema : Calcular el valor futuro a interés compuesto de 10 años de un capital de $7500 a la tasa de 10% Anual capitalizado cuatrimestralmente.

Solución:

P = $7, 500

i = 10% Anual cap/cuatrimestre = 10%/3 = 3.3333% Semestral.

n= 10 años = 10 x3=30 cuatrimestres.

F == 7500

F= 7500 (2.6742) = $ 20057.1967

F = $20, 057.1967

Es la cantidad que se debe invertir ahora para producir el valor futuro, el cual se puede calcular a partir de la formula (8); es decir:

P = F/

donde:

P = Valor Presente

F = Valor Futuro

i% = Tasa de Interés (Compuesta)

n = Plazo

: factor de crecimiento

El plazo y la tasa de interés, deben expresarse en la misma base de tiempo. (La base: la unidad de medida es el periodo de capitalización).

Valor presente (capital)

Rendimiento anual efectivo

Una tasa de interés nominal r compuesta n veces por año, es equivalente a un rendimiento anual efectivo de i = [- 1] x 100 , donde:

i = rendimiento anual efectivo

r = tasa nominal

n = número de periodos por año

Problema: Juan Rivera quiere depositar $3500 en una cuenta de ahorros y ha reducido sus opciones a las tres instituciones siguientes, ¿Cuál es la mejor?:Solución:SCOTIABANK: i = [- 1 ] x 100 = 4.15 % Anual Efectivo.r = 4.08 % Anual.n = 12.HSBC: i = 5.16 % Anual Efectivo.Banamex: i = [- 1 ] x 100 = 5.54 % Anual Efectivo. 365r = 5.40 % Anual.n = 365.

 Se define una tasa de interés continua como aquella cuyo periodo de capitalización es lo más pequeño posible, esto quiere decir que el numero de periodos de capitalización durante el tiempo de la operación financiera crece indefinidamente (Exponencial); la tasa efectiva y nominal se pueden calcular con las expresiones: 

i =[ - 1 ] x 100 (3) 

r =[ln (1 + i)] x 100 (4)

Problema:

Juan invierte su capital al 12.4% anual compuesto continuamente, ¿Cuál es la tasa efectiva anual esperada?

Solución:

r = 12.4% Anual

i = [-1] x 100 = 13.20% anual, capitalizada

Tasa continua (exponencial)

Cuando se utiliza interés continuo, el valor futuro y valor presente se obtienen con las expresiones:

F = (12)

P = (13)

donde:

F = Valor Futuro Continuo

r = Tasa de Interés Nominal

n = Plazo.

Monto continuo

 La inflación es un proceso sostenido de elevación del nivel general de precios en una economía, tiene como consecuencia la disminución del valor del dinero. En México la inflación se mide a partir de los incrementos en el Índice Nacional de Precios al Consumidor (INPC), publicado quincenalmente por el banco de México, y se expresa en forma porcentual.

Tasa Inflacionaria

La inflación puede ser medida desde diferentes puntos de vista, dependiendo de las necesidades del analista, de tal manera que se han desarrollado varios conceptos para el manejo de la inflación:• Inflación Acumulada.• Inflación Remanente.• Inflación Anual (Según Banxico).• Inflación Promedio.

La inflación acumulada representa la inflación de dos o más periodos consecutivos, es decir:

= [(1+)(1+ ) ... (1+ ) - 1] x 100

donde:

: Inflación Acumulada,

: Inflación de cada periodo s (s=1, 2, 3, ... n).

Inflación Acumulada

Determinar la inflación de un año, si las inflaciones trimestrales del mismo fueron siguientes: 16%, 14%, 12% y 10%.

Solución:= 16 % =0.16

= 14 % =0.14

= 12 % =0.12

= 10% =0.10= [(1+0.16)(1+0.14)(1+0.12)(1+0.10) -1] x100

= 62.91% Anual.

Problema

Es la máxima inflación que puede ocurrir para que no sea traspasado un límite predeterminado, considerando los niveles de inflación que se han registrado, es decir:

if REM = [- 1] x 100

donde:

= Tasa de inflación remanente;

= Inflación que se tiene como limite u objetivo;

= Inflación ya registrada.

Inflación Remanente

Se estima una inflación anual del 72%, si al momento se ha incurrido en una inflación semestral de 40%. ¿Cuál es la inflación remanente para el segundo semestre?

Solución:

if 0 = 40% = 0.40

if 1 = 72% = 0.72

if REM = [- 1] x 100 = 22.85%

if REM = 22.85% para el próximo semestre.

Problema

Es la tasa a acumularse en el año si tomamos como base la inflación registrada en un periodo (Es necesario suponer que el mismo nivel de inflación se registra en todos los periodos subsecuentes), su utilización es útil, por lo tanto, para la realización de pronósticos, es decir:

if ANUAL= [- 1] x 100

donde:

if ANUAL: Tasa de Inflación Anual;

if: inflación registrada en el periodo en cuestión;

n: N° de periodos iguales contenidos en un año.

Inflación Anual (Banxico)

Si la inflación en un mes fue de 5%, para saber la inflación anual se supondrá que cada mes durante los siguientes 12 meses se registrará una inflación del 5%.

Solución:

if = 5% Mensual.

n = 12 meses.

if ANUAL= [- 1] x 100 = 79.59%

if ANUAL= 79.59%.

Problema

La inflación promedio se obtiene a partir de una inflación acumulada y representa la inflación igual para cada uno de los periodos contenidos en el periodo analizado, es decir:

if PROM= [- 1] x 100

Donde:

if PROM = Tasa de inflación promedio por periodo

if ACUM = Inflación acumulada

n = N° de periodos contenidos en el periodo analizado.

Inflación Promedio

Determine la inflación promedio anual si en un periodo de 5 años, la inflación acumulada fue de 400%.

Solución:

if ACUM = 400% = 4

n = 5 Años.

if PROM= [- 1] x 100 = 37.97%

if PROM=37.97 %

Problema

Es la medida de la perdida del valor de la unidad monetaria nacional frente a otra moneda extranjera. En nuestro caso, la moneda extranjera frente a la cual tiene mayor aplicación éste concepto es el dólar de los E. U.

id = [(TCn/ TCD) - 1] x 100

Donde:

id= tasa de devaluación;

TCn = Tipo de Cambio en el tiempo n

TCD= Tipo de cambio en el tiempo D.

Tasa de Devaluación

Problema: Si el 1° de enero de un año un dólar varía $9.45 y el 31 se diciembre del mismo año el cambio estaba en $10. ¿Cuál es la tasa de devaluación de ese año?

Solución:

Tcn = $10

TcD = $9.45

id = [(10/ 9.45) - 1] x 100 = 5.82%

id = 5.82% Anual.

Problema

La tasa mínima atractiva de retorno es el porcentaje que se usa para hacer las equivalencias entre dinero de diferentes períodos; es la tasa de descuento derivada del costo de oportunidad del dinero; el dinero no debe invertirse en alguna alternativa si no puede tener rendimiento al menos tan grande como la TMAR, puesto que es razonable pensar que existan otras alternativas que si cumplen con esta condición.

Tasa Mínima Atractiva de Rendimiento

Para una corporación, la TMAR establecida utilizada como criterio para aceptar o rechazar una alternativa siempre será superior al costo promedio ponderado del capital con el que la corporación debe cargar para obtener los fondos de capital necesarios. Por lo tanto, la desigualdad

TIR ≥ TMAR ≥ costo del capital

debe satisfacerse para un proyecto aceptado.

Las entradas (ingresos) y salidas (costos) estimadas de dinero reciben el nombre de flujos de efectivo. Dichas estimaciones se realizan para cada alternativa.

Sin estimaciones del flujo de efectivo durante un periodo establecido resulta imposible llevar a cabo un estudio de ingeniería económica. La variación esperada de los flujos de efectivo indica una necesidad real de un análisis de sensibilidad.

Flujo de Efectivos: Estimación y Diagramas

Las entradas de efectivo, o ingresos, pueden constar de los siguientes elementos, dependiendo de la naturaleza de la actividad propuesta y de la clase de negocio que se emprenda.

Ejemplos de entradas de efectivo (estimación)

• Ingresos (por lo general incrementales provenientes de una alternativa).

Entrada de Efectivos

Reducciones en los costos de operación (atribuibles a una alternativa).

Valor de salvamento de activos.Recepción del principal de un préstamo.Ahorros en impuesto sobre la renta.Ingresos provenientes de la venta de acciones y bonos.Ahorros en costos de construcción e instalaciones.Ahorros o rendimiento de los fondos de capital

corporativo.

Ejemplos de Entradas de Efectivo

Las salidas de efectivo, o desembolsos, pueden estar constituidas por los siguientes elementos, dependiendo, de nueva cuenta, de la naturaleza de la actividad y del tipo de negocio.

Ejemplos de salidas de efectivo (estimación)

• Costo de adquisición de activos.

Salida de Efectivo

Costos de diseño de ingeniería. Costos de operación (anual e incremental). Costos de mantenimiento periódico y de remodelación. Pagos del interés y del principal de un préstamo. Costo de actualización (esperados o no esperados). Impuestos sobre la renta. Gasto de fondos de capital corporativos.

Ejemplos de Salida de Efectivo

La información necesaria para llevar a cabo las estimaciones puede estar disponible en departamentos tales como contabilidad, finanzas, mercadotecnia, ventas, ingeniería, diseño, manufactura, producción, servicios de campo y servicios computacionales.

Flujo de Efectivos: Estimación y Diagramas

Flujo de efectivo neto = ingresos - desembolso = entradas de efectivo - salidas de efectivo

Puesto que los flujos de efectivo normalmente tienen lugar en puntos variables del tiempo dentro de un periodo de interés, se adopta un supuesto que simplifica el análisis.

Flujo de Efectivos: Estimación y Diagramas

El diagrama de flujo de efectivo constituye una herramienta muy importante en un análisis económico, en particular cuando la serie del flujo de efectivo es compleja. No es mas que una representación gráfica de los flujos de efectivo trazados sobre una escala de tiempo. La dirección de las flechas del diagrama de flujo de efectivo resulta importante.

Una flecha vertical que apunta hacia arriba indica un flujo de efectivo positivo.

Por el contrario, una flecha que apunta hacia abajo indica un flujo de efectivo negativo.

Flujo de Efectivos: Estimación y Diagramas

Antes de dibujar un diagrama de flujo de efectivo y colocar un signo en él, es necesario determinar la perspectiva o punto de vista.

EJEMPLO: si una persona obtiene un préstamo de $2500 para comprar en efectivo una Harley-Davidson usada de $2 000 y utiliza el resto para pagar un trabajo de pintura, pueden adoptarse diferentes perspectivas. Las perspectivas, los signos del flujo de efectivo y las cantidades son las siguientes.

“Estimaciones del tiempo y tasa de interés para duplicar una cantidad de dinero”

A veces resulta útil calcular el número de años n o la tasa de retorno i que se requiere para duplicar una cantidad de flujo de efectivo única. Para calcular ion, dado uno de los valores, se puede aplicar la regla del 72 para tasas de interés compuesto.

Regla del 72

Por otra parte, la tasa compuesta i, expresada en porcentaje, necesaria para que el dinero se duplique en un periodo específico n se calcula dividiendo 72 entre el valor conocido de n.

i

Regla del 72

La base para aplicar este método es identificar los posibles escenarios del proyecto de inversión, los cuales se clasifican en los siguientes: 

Pesimista:Es el peor panorama de la inversión, es decir, es el resultado en caso del fracaso total del proyecto. 

¿Qué es el análisis de sensibilidad?

Probable:Éste sería el resultado más probable que supondríamos en el análisis de la inversión, debe ser objetivo y basado en la mayor información posible. 

Optimista:Siempre existe la posibilidad de lograr más de lo que proyectamos, el escenario optimista normalmente es el que se presenta para motivar a los inversionistas a correr el riesgo. 

La TIR trata de medir la rentabilidad de un proyecto o activo. Representa la rentabilidad media intrínseca del proyecto.

La regla de decisión consiste en aceptar proyectos cuya TIR sea mayor que el costo de capital para activos del mismo nivel de riesgo: TIR > r

La TIR es una medida de rentabilidad que depende del perfil de flujos de caja particulares del proyecto, mientras que el costo de capital es la rentabilidad ofrecida en el mercado de capitales por activos del mismo nivel de riesgo.

TIR: Tasa Interna de Retorno

El factor fundamental en la ingeniería económica es el que determina la cantidad de dinero que se acumula después de años (o periodos), a partir de un valor único presente con interés compuesto una vez por año (o por periodo).

“Nota: interés compuesto se refiere al interés pagado sobre el interés”

Factores de Pago Único (F/V y P/F)

Formula

Donde:P = una cantidad que se invierte en algún momento T=0.F = es la cantidad de dinero que se habrá acumulado en un año a partir de la inversión a una tasa de interés de i.i = inversión a una tasa de interés.n = años o periodos.

factor de cantidad compuesta de pago único o F/P.

La fórmula para calcular el valor “P” para una cantidad dada “F” que ocurre en “n” periodos en el futuro queda como:

Esta expresión se conoce como el factor de valor presente de pago único (FVPPU)

Nota: los dos son factores derivados son para pago único; es decir, se utilizan para encontrar la cantidad presente o futura cuando se tiene sólo un pago o recibo.

La notación incluye dos símbolos de flujo de efectivo, la tasa de interés y el número de periodos. Siempre está en la forma general (X/Y, i, n). La literal “X” representa lo que se busca; mientras que la literal “Y” representa lo que está dado.

Por ejemplo, F/P significa encuentre “F” cuando “P” está dado. La “i” es la tasa de interés en porcentaje, y “n” representa el número de periodos implicados. En consecuencia, (F/P, 6%,20) representa el factor que encuentra la cantidad futura “F” acumulada en 20 periodos si la tasa de interés es de 6% por periodo. La P está dada.

Para simplificar los cálculos rutinarios de la ingeniería económica se han elaborado las tablas de valores del factor para tasas de interés desde 0.25 hasta 50%, y periodos del tiempo van desde 1 hasta grandes valores de “n”, dependiendo del valor “i”.

Factor de Valor Presente de Pago único (P/F)

Por ejemplo: el valor del factor (P/F, 5%,10) se encuentra en la columna P/F de la tabla 10 en el periodo 10: 0.6139.

Este valor se determina aplicando la ecuación

FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA

Supóngase que una cantidad dada de dinero P, gana interés a una tasa i, capitalizada anualmente. La cantidad total de dinero, F , que se habrá acumulado a partir de una inversión P después de n años esta dada por F=P(1+i)n. La relación   F/P=(1+i) n

  se llama factor de cantidad compuesta de un pago único.

Un estudiante deposita $1,000 en una cuenta de ahorros que paga interés de 6% anual, capitalizada cada año. Si se deja que el dinero se acumule, ¿cuánto dinero tendrá el estudiante después de 12 años?

F= P(1+i) n

Se quiere obtener F, dados P, i, y n. Entonces:

F=P*(F/P, i%,n)=$1,000(F/P,6%,12)=$1,000(2.0122)=$2,012.20

FACTOR DE VALOR PRESENTE El factor de valor presente de un pago único es elreciproco del factor de cantidad compuesta de un pago único:  P/F= (F/P)-1= (1+i)-n

  Los valores numéricos de este factor se pueden obtener directamente de la formula anterior.

P=F(1/(1+i)n

EJEMPLO: Se depositara cierta suma de dinero en una cuenta de ahorros que paga interés anual a una tasa de 6% capitalizada anualmente. Si se permite que todo el dinero se acumule, ¿cuánto deberá depositarse en un principio para disponer de $5,000 después de 10 años?

P=F (1/(1+i)n

Se quiere encontrar el valor de P, dados F, i y n. Entonces,

P=F*(P/F, i%, n)=$5,000(P/F, 6%, 10)=$5,000(0.5584)=$2,792.00

FACTOR DE FONDO DE AMORTIZACIÓN

El factor de fondo de amortización de una serie uniforme es el reciproco del factor de cantidad compuesta de una serie uniforme:

1)1()/(/ 1

ni

iAFFA

Supóngase que se deposita una cantidad fija de dinero, A, en una cuenta de ahorros al final de cada año durante 20 años. Si el banco paga 6% anual, capitalizado cada año, encuéntrese A, tal que al final de los 20 años se hayan acumulado $50,000.

F=50000i= 6%n=20

A=F*(A/F, i%, n)=$50,000(A/F, 6%, 20)=$50,000(0.02718)=$1,359

1)1()/(/ 1

ni

iAFFA

FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA EN SERIE UNIFORME

Este factor se emplea para encontrar el valor futuro (F) a partir de una serie uniforme que inicie en el periodo 1 y se extienda hasta (n) periodos, dada una tasa de interés (i).

Fórmula:

F= A ((1+i) ^n -1/i)

Un estudiante planea depositar $600 cada año en una cuenta durante 10 años. Si el banco paga 6%anual, capitalizado cada año. ¿Cuánto dinero habrá acumulado al final de los 10 años?

datosA=600i= 6%n =10

F=A*(F/A, i%, n)=$600(F/A, 6%, 10)=$600(13.1808)=$7,908.48

ii

AFn 1)1(

/

FACTOR DE RECUPERACIÓN DE CAPITAL

Supóngase que se deposita una suma dada P, en una cuenta de ahorros en la que gana interés a una tasa i anual, capitalizada cada año. Al final de cada año se retira una cantidad fija A ¿A cuanto debe ascender A para que la cuenta de banco se agote justo al final de los n años?

1)1()1(

)1(1)1(

n

nn

n iii

Piii

PA

Un ingeniero que esta a punto de retirarse ha reunido $50,000 en una cuenta de ahorros que paga 6% anual, capitalizado cada año. Supóngase que quiere retirar una suma de dinero fija al final de cada año, durante 10 años. ¿Cuál es la cantidad máxima que puede retirar?

P=50000i= 6%n= 10

A=P*(A/P, i%, n)=$50,000((A/P, 6%, 10)=$50,000(0.1359)=$6,795

1)1()1(

)1(1)1(

n

nn

n iii

Piii

PA

FACTOR DE VALOR DE PRESENTE DE UNA SERIE UNIFORME

El factor de valor presente de una serie uniforme es el inverso del factor de recuperación de capital.

i

i

ii

iAPAP

n

n

n )1(1

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EJEMPLO: Un ingeniero está planeando su retiro y está planeando retirar $10,000 cada año de su cuenta de ahorros. ¿Cuánto dinero deberá tener en el banco al principio de su retiro si su dinero gana el 6% al año, capitalizado anualmente y está planeando su retiro de 12 años (es decir, 12 retiros anuales)?

A=10000i= 6%n= 12

P=A*(P/A, i%, n)=$10,000(P/A, 6%, 12)=$10,000(8.3839)=$83,839

Un gradiente aritmético es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante. Es decir, el flujo de efectivo, ya sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética cada periodo.

El símbolo G para los gradientes se define como:

G = cambio aritmético constante en la magnitud de los ingresos o desembolsos de un periodo al siguiente; G puede ser positivo o negativo.

Factores de Gradiente Aritmético(P/G y AG)

Una compañía de ropa deportiva ha iniciado un programa para registrar su logo. Espera obtener ingresos de $80,000 por derechos el próximo año por la venta de su logo. Se espera que los ingresos por derechos se incrementen de manera uniforme hasta un nivel de $200,000 en 9 años. Determine el gradiente aritmético y construya el diagrama de flujo de efectivo.

Solución:

La cantidad base es $80,000 y el aumento total de ingresos es:

Ejemplo

Se derivan tres factores para los gradientes aritméticos:* factor P/G para el valor presente,* factor A/G para serie anual,* factor F/G para el valor futuro.

El factor de valor presente de gradiente aritmético, o factor P/G, se calcula con la siguiente fórmula:

El factor de gradiente aritmético de una serie uniforme, o factor A/G se calcula con la siguiente fórmula:

El factor gradiente aritmético, valor futuro, o factor F/G se calcula con la siguiente fórmula:

El valor presente total PT para una serie gradiente debe considerar por separado la base y el gradiente.

Las ecuaciones generales para calcularlo es:

Donde PA es la cantidad A de serie uniforme que empieza en el año 1y se extiende hasta n.Donde PG es un gradiente creciente y debe agregarse a la cantidad de la serie uniforme.Donde -PG es un gradiente decreciente y debe restarse de la cantidad de la serie uniforme.

De manera similar, las series anuales totales equivalentes son:

Donde AA es la cantidad anual y AG es la cantidad anual equivalente de serie gradiente.

Tres condados adyacentes en Florida acordaron emplear recursos fiscales ya destinados para remodelar los puentes mantenidos por el condado. En una junta reciente, los ingenieros de los condados estimaron que, al final del próximo año, se depositará un total de $500,000 en una cuenta para la reparación de los viejos puentes de seguridad dudosa que se encuentran en los tres condados. Además, estiman que los depósitos aumentarán en $100,000 por año durante 9 años a partir de ese momento, y luego cesarán. Determine las cantidades equivalentes de a) valor presente y de b) serie anual, si los fondos del condado ganan intereses a una tasa del 5% anual.

Se deben realizar dos cálculos y luego se tiene que sumar: el primero para el valor presente de la cantidad base PA, el 2do PG, y El valor presente total PT

Ejemplo

También aquí es necesario considerar por separado al gradiente ya la cantidad base. La serie anual total AT

Factores Para Series Gradiente Geométrico

Es común que las series de flujo de efectivo, tales como los costos de operación, los costos de construcción y los ingresos, aumenten o disminuyan de un periodo a otro mediante un porcentaje constante. Esta tasa de cambio uniforme define una serie gradiente geométrico de flujos de efectivo. Además de los símbolos i y n utilizados hasta el momento, ahora se necesita el término

Para calcular Pg , en el periodo t = 0 para una serie gradiente geométrico que inicia en el periodo 1 en la cantidad A1 y aumenta por una tasa constante de g cada periodo, son:

EJEMPLO 1:

Los ingenieros del SeaWorld, una división de Busch Gardens, lnc., desarrollaron una innovación en un deporte acuático existente para hacerlo más excitante. La modificación cuesta sólo $8,000 y se espera que dure 6 años con un valor de salvamento de $1,300 para el mecanismo solenoide. Se espera que el costo de mantenimiento sea de $1,700 el primer año, y que aumente 11% anual en lo sucesivo. Determine el valor presente equivalente de la modificación y del costo de mantenimiento, tanto a mano como con computadora. La tasa de interés es de 8% anual.

Calcular Pg, la PT es:

Cálculo De Tasas De Interés Desconocidas

En algunos casos se conocen la cantidad de dinero depositado y la cantidad de dinero recibido luego de un número especificado de años, pero se desconoce la tasa de interés o la tasa de rendimiento. la tasa desconocida puede determinarse para por una solución directa de la ecuación del valor del dinero en el tiempo. Sin embargo, cuando hay pagos no uniformes o muchos factores, el problema debe resolverse empleando un método de ensayo y error o un método numérico.

Las fórmulas de pago único pueden reordenarse con facilidad y expresarse en términos de i, pero para las ecuaciones de serie uniforme y de gradientes, comúnmente es necesario resolver para el valor del factor y determinar la tasa de interés a partir de las tablas de factores de interés

EJEMPLO 1:

Si Laurel puede hacer una inversión de negocios que requiere un gasto de $3,000 ahora con el objetivo de recibir $5,000 dentro de cinco años, ¿cuál sería la tasa de rendimiento sobre la inversión? Si Laurel puede recibir 7% anual de intereses de un certificado de depósito, ¿qué inversión debe realizarse?

la i puede determinarse directamente a partir del factor P/F

EJEMPLO 2:

Professional Engineers, Inc., requiere colocar $500 por año en la cuenta de un fondo de amortización para cubrir cualquier reparación mayor inesperada en el equipo de campo. En un caso, $500 se depositaron a 15 años y cubrieron un costo de reparación de $10,000 en el año 15. ¿Qué tasa de rendimiento ofreció esta práctica a la compañía? Resuelva a mano y con la ayuda de una computadora.

Cualquiera de los factores, A/F o F/A, puede utilizarse. Si se utiliza A/F:

Según las tablas de interés 8 y 9, bajo la columna A/F para 15 años, el valor 0.0500 se encuentra entre 3% y 4%. Por interpolación, i=3.98% (que se considera un bajo rendimiento para un proyecto de ingeniería).

Fórmulas Para Las Tasas De Interés Nominal Y Efectiva

Comprender y emplear correctamente las tasas de interés efectivas es importante para la práctica de la ingeniería y de las finanzas personales

La tasa de interés nominal, “r”, es una tasa de interés que no

considera la capitalización de intereses.

Por definición: 

Tasa De Interés Nominal Y Efectiva

r = 1.5% mensual x 24 meses = 36% por un periodo de 2 años

Mayor que 1 mes

= 1.5% mensual x 12 meses = 18% anual

Mayor que 1 mes

= 1.5% mensual x 6 meses = 9% por medio año

Mayor que 1 mes

= 1.5% mensual x 3 meses = 4.5% trimestral

Mayor que 1 mes

= 1.5% mensual x 1 mes = 1.5% mensual

Igual a 1 mes

= 1.5% mensual x 0.231 mes = 0.346% semanal

Menor que 1 mes

Una tasa nominal puede fijarse para cualquier periodo: año, meses, trimestre, 1 mes, 1 semana, 1 día, etcétera.

Por ejemplo, la tasa nominal de r = 1.5% mensual es la misma que cada una de las siguientes tasas:

Tasa De Interés Nominal Y Efectiva

La tasa de interés efectiva es la tasa real aplicable a un periodo de tiempo establecido. La tasa de interés efectiva toma en cuenta la acumulación del interés durante el periodo de la tasa nominal correspondiente. Por lo general, se expresa como tasa anual efectiva ia' pero se puede utilizar cualquier periodo como base.

Tasa De Interés Nominal Y Efectiva

 

Periodo de tiempo: es el periodo en el que se expresa el interés.

Periodo de capitalización o composición (PC): es la unidad de tiempo más corta durante la que se paga o gana interés, el cual se identifica por el término capitalización (o composición*). Frecuencia de composición: es el número de veces que la capitalización m ocurre dentro del periodo de tiempo t

Ejemplo:

A continuación se listan las diferentes tasas de préstamo bancario para tres proyectos distintos de equipo de generación de electricidad. Determine en cada inciso la tasa efectiva considerando el periodo de composición. 

a) 9% anual, compuesto trimestralmente.b) 9% anual, compuesto mensualmente.e) 4.5% por 6 meses, compuesto semanalmente.

Ejemplo:Solución:

Aplique la ecuación rm para calcular la tasa efectiva por PC para diferentes frecuencias de composición. La gráfica adjunta indica la distribución de la tasa de interés en el tiempo.

Tasas De Interés Efectivas AnualesLas literales utilizadas para representar las tasas de interés nominal y efectiva son las siguientes:

r=tasa de interes nominal anual

m=número de periodos de capitalizacion o composicion por año

r=tasa de interes efectiva por periodo de composicion (PC)=r/m

ia= tasa de interes efectiva anual

Tasas De Interés Efectivas AnualesLa fórmula para la tasa de interés anual efectiva se calcula con la siguiente fórmula: 

 La tasa de interés efectiva por periodo de composición se calcula con la siguiente fórmula: 

 Además, es posible determinar la tasa anual nominal r utilizando la definición de i antes dada, es decir i=r/m

EJEMPLO 1:Jacki obtuvo una nueva tarjeta de crédito con un banco nacional (MBNA), con una tasa establecida de 18% anual y un periodo de composición mensual. Para un saldo de $1 000 al principio del año, calcule la tasa anual efectiva y el adeudo total al banco MBNA después de un año, tomando en cuenta el hecho de que no se efectúa ningún pago durante el año.

Solución:Hay 12 periodos de composición por año. m = 12 e i = 18%/12 = 1.5% mensual. Si el saldo de $1 000 no se reduce durante el año, se aplica la ecuación [4.5] y enseguida la ecuación [4.3] para obtener la información necesaria para Jacki.

i_a=(1+0.015)^12-1=1.19562-1=0.19562

F=$ 1,000(1.19562)=$ 1,195.62

Jacki pagará 19.562%, o $195.62 más los $1 000 del saldo, por la utilización del dinero del banco durante el año.

Tasas De Interés Efectivas Para Cualquier Periodo

Es necesario considerar la frecuencia de los pagos o ingresos; es decir, el periodo de transacción de flujo de efectivo. Por sencillez, éste recibe el nombre de periodo de pago (PP).

La fórmula de la tasa de interés anual efectiva se generaliza fácilmente para cualquier tasa nominal, sustituyendo la tasa de interés del periodo por r/m en la ecuación quedando como:

i efectivo= (1+r/m)^m -1

Donde:

r = tasa de interés nominal por periodo de pago (PP)m = número de periodos de composición por periodo de pago (pe por PP)

EJEMPLO:

Una compañía punto-com planea invertir dinero en un nuevo fondo de capital riesgoso, que actualmente reembolsa 18% anual con un periodo de composición diario. ¿Cuál es el valor de la tasa de interés efectiva a) anual y b) semestral?

Solución:

a)Aplique la ecuación i efectivo=(1+r/m)^m-1 con r = 0.18 y m = 365.

i efectivo anual=(1+(0.18)/365)^365-1= 19.716%

b)En este caso, r = 0.09 cada 6 meses y m = 182 días.

i efectivo cada 6 meses=(1+(0.09)/182)^182-1= 9.415% 

Gracias