UNIDAD 4Álgebra Booleana

ÁLGEBRA BOOLEANA

El Álgebra Booleana se define como una retícula:

Complementada: existe un elemento mínimo 0 y un elemento máximo I de tal

forma que si a esta en la retícula, a’ también lo está si a a’=I y a a’=0.

Distributiva: si a,b,c están en la retícula entonces a (b c)=(a b) (a c)

y a (b c)=(a b) (a c) .

Contiene al menos dos elementos.

Contiene sólo dos operaciones: suma(OR o +) y producto (AND o .)

En el Álgebra Booleana las operaciones se realizarán mediante

relaciones lógicas, lo que en el álgebra convencional son las

sumas y multiplicaciones.

Las variables con las que opera son las binarias 1 y 0 (verdadero

o falso). Los signos 1 y 0 no expresan cantidades, sino estados de

las variables.

Podemos decir, que el sistema de numeración binario y el álgebra

de Boole constituyen la base matemática para el diseño y

construcción de sistemas digitales.

ÁLGEBRA BOOLEANA

El álgebra booleana es un sistema algebraico que

consiste en un conjunto B que contiene dos o más

elementos y en el que están definidas dos

operaciones “suma u operación OR” (+) y

“producto u operación AND” (.).

PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

Las operaciones del Álgebra de Boole son:

Conmutativas. Para cada a, b en B:

a + b = b + a

a . b = b . a

Identidad o existencia de neutros. En B existen el elemento neutro de la suma (0) y el elemento neutro del producto (1), tales que para cualquier elemento a de B:

0 + a = a

1 . a = a

Asociatividad. Para cada a, b, c en B:

a + (b + c) = (a+ b )+ c

a. (b . c) = (a .b) . z

Distributiva. Para cada a, b, c en B:

a . (b + c) = a . b + a . c

a + b . c = (a + b) . (a + c)

Complemento. Para cada a en B existe un elemento a’, llamado complemento de a, tal que:

a+a’=1

a.a’=0

ALGEBRA BOOLEANA

Recuerda que:

1 + 1 = 1

1 + 1 + 1 = 1

0 + 1 = 1

0 + 0 = 0

Ya que el valor máximo es 1.

También se puede utilizar la ley de De Morgan:

(A.B.C.D)’ = A’ + B’ + C’ + D’

(A+B+C+D)’ = A’.B’.C’.D’

TEOREMAS

1. Idempotencia.

a + a = a a . a = a

2. Identidad de los elementos 0 y 1

a + 1 = 1 x . 0 = 0

3. Absorción

a + ( a . b ) = a

a . ( a + b ) = a

4. Complemento de 0 y 1

0’ = 1 1’ = 0

5. Involución

(a’)’ = a

6. Leyes de Morgan

( a + b )’ = a’ . b’ ( a . b )’ = a’ + b’

EJEMPLO

Demostración de indempotencia

a + a = a

a + a = (a + a ) . 1 axioma de identidad

= (a + a) . (a+a’) axioma inverso

= a + (a.a’) axioma distributiva

= a + 0 axioma inverso

= a axioma identidad

TEOREMAS DEL ÁLGEBRA BOOLEANA

Número Teorema DUAL

1. 0.A=0 1+A=1

2. 1A=A 0+A=A

3. A.A=A A+A=A

4. A.A’=0 A+A’=1

5. A.B=B.A A+B=B+A

6. A.B.C=A.(B.C) A.B.C=A.(B.C)

7. (A.B…Z)’=A’+B’+…Z’ (A+B+…+Z)’=A’.B’.…Z’

8. A.B+A.C=A.(B+C) (A+B).(A+C)=A+(B.C)

9. A.B+A.B’=A (A+B).(A+B’)=A

10. A+A.B=A A.(A+B)=A

11. A+A’.B=A+B A.(A’+B)=AB

12. C.A+C.A’.B=C.A+CB (C+A).(C+A’+B)=(C+A).(C+B)

13. A.B+A’.C+B.C=A.B+A’.C (A+B).(A’+C).(B+C)=(A+B).(A’+C)

FUNCIÓN BOOLEANA

Se define Función Lógica(Booleana) a toda variable binaria

cuyo valor depende de una expresión formada por otras

variables binarias relacionadas mediante los signos + y .

Por ejemplo: S=(a.b)+b.c Siendo S la función, mientras que a,

b y c son las variables. Esta función la leeríamos de la

siguiente forma: si a y b o b y c son verdaderas (1) la función

lógica S es verdadera (1).

Funciones básicas

Unión (OR), es decir a+b

Intersección (AND) , es decir a.b

Negación (Not), es decir a’

EJEMPLO DE FUNCIÓN BOOLEANA

Supongamos que una industria refresquera deseaun sistema automático que saque de la banda detransportación un refresco que no cumple con losrequisitos mínimos de calidad, para eso coloca 4sensores A,B,C,D y F representa al sistema quesacará el refresco.

La función equivalente a la tabla es:

F=A’B’C’D+A’B’CD+AB’C’D+AB’CD’+AB’CD

Eso implica que para cualquiera de estascombinaciones F=1 indica que el refresco debesalir de la cinta.

A=0, B=0,C=0,D=1

A=0, B=0,C=1,D=1

A=1, B=0,C=0,D=1

A=1, B=0,C=1,D=0

A=1, B=0,C=1,D=1

A B C D F

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 0

1 1 1 1 0

EJERCICIOS1. Determine la función F e indica para que valores se cumple cada

caso.

A B C F

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

Cuando se plantea un problema, en general la expresión booleana obtenida nonecesariamente es la óptima.

Esta expresión puede ser simplificada mediante los teoremas del álgebra booleana.

Ejemplo 1: Simplificar F=A’B+(ABC)’+C(B’+A)

= A’B+A’+B’+C’+C(B’+A) (7ª)

= A’B+A’+B’+C’+CB’+CA (8ª)

= A’B+A’+B’+CB’+C’+CA (5ª)

= A’(B+1)+B’(1+C)+C’+CA (8ª)

= A’1+B’1+C’+CA (1ª)

= A’+B’+C’+CA (2ª)

= A’+B’+C’+A (11ª)

= (A’+A)+B’+C’ (5ª)

= (1+B’)+C’ (4ª)

= (1+C’) (1ª)

1 (1ª)

SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES BOOLEANAS

Ejemplo 2: Simplificar F=Z’X+XY’Z+X’Z’W

= Z’X+XY’Z+X’Z’W

= Z’(X+X’W)+XY’Z (8ª)

= Z’(X+W)+XY’Z (11ª)

= Z’X+Z’W+XY’Z (8ª)

= X(ZY’+Z’)+Z’W (8ª)

= X(Y’+Z’)+Z’W (11ª)

= XY’+XZ’+Z’W (8ª)

SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES BOOLEANAS

EJERCICIO

Simplificar

F= X(XY’ )’

F=A’B’D’+A’BD’+A’BD+ABD

Una función boolena puede definirse por una lista

de todas las posibles entradas junto con sus

correspondientes salidas.

Ejemplo: f: B2 - > B

Una razón importante del por qué usar expresiones

booleans es la representación de circuitos digitales.

Un circuito digital es un dispositivo electrónico para

desempeñar un computo digital . Tiene un determinado

numero de entradas, cada una de las cuales es una señal

eléctrica que toma uno de dos estados (0 o 1). Para cada

combinación dada de entradas, el dispositivo computa una

o mas salidas, que es o 0 o 1.

Un circuito digital se puede construir usando dispositivos

como las compuertas lógicas.

Una compuerta lógica es un simple circuito digital que

corresponde a uno de los conectivos lógicos.

COMPUERTAS LÓGICAS

OR

AND

NOT

EJEMPLO

EJERCICIO

Dibuja el circuito digital correspondiente a la

expresión booleana (x’ + y)’ (x + y)

EJERCICIO

Escribe la expresión booleana que corresponde al

siguiente circuito digital. Usa las leyes del

algebra booleana, para obtener una expresión

equivalente más simplificada, y dibuja el

correspondiente circuito.

SOLUCIÓN

BIBLIOGRAFÍA

Peter Grossman. Discrete Mathematics for

Computing. Second Edition. Palgrave macmillan.

2002.