FUNCIONES - UNIDAD II

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA SISTEMA INTEGRADO DE RETENCIÓN DE ESTUDIANTES

UNIDAD 2

FUNCIONES

Estoy bien, estudio bien


FUNCIONES

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD

A través del desarrollo de esta unidad se busca que el estudiante identifique las

diferentes conceptos de las funciones, además de entender el funcionamiento de

las mismas de acuerdo a sus necesidades.

OBJETIVOS – PROBLEMAS

El estudiante desarrollarla destreza en los conceptos de funciones, graficas y

propiedades que le permitirán identificar en estas conceptos fundamentales

para aplicarlo en problemas relacionados a su ámbito laboral.

EVALUACIÒN DIAGNÒSTICA

Concepto de Funciones

Herramientas para el estudio de las funciones

Características de las funciones matemáticas


REFERENTES TEÓRICOS

Función

Cuando mencionamos en el contexto matemático a palabra función a veces

desconocemos que este concepto está muy ligado a nuestro ámbito cotidiano con

situaciones puntuales tales como cuando compras un artículo en una cadena de tienda

cuando utilizas el peso automático para pesar un producto y saber cuánto tienes que

pagar, cuando te acercas a la estación de gasolina y relacionas el dinero con la cantidad

de galones que le suministran a tu automóvil entre otros.

Teniendo esto en cuenta podemos decir que una función es una relación existente entre

dos conjuntos, el conjunto de partida y el conjunto de llegada con la condición de que

todo elemento del conjunto de partida debe estar relacionado con un y solo un

elemento del conjunto de llegada. A continuación ilustraremos algunos ejemplos cuando

es y cuando no es una función.

Identificación de una función con conjunto.


En este caso el conjunto A que es el conjunto de partida se conoce con el nombre de

dominio de la función f y se representa con y está compuesto por todos los

aquellos números reales para los cuales se puede calcular su imagen.

El conjunto B que representa el conjunto de llegada también se conoce con el nombre

de Codominio y se simboliza con . El rango es un subconjunto del

dominio en el cual todo elemento de este se relaciona con al menos un elemento de

dominio, este se simboliza con

Nota

Una clara diferencia entre el rango y el dominio se puede evidenciar en los graficos

mostrados anteriormente .

En el grafico 1 el mientras que el

.

En el grafico 2 el mientras que el .


.


.


De este suceso salen dos definiciones importantes.

Se dice que una funcion : es inyectiva cuando todo elemento del dominio le

corresponde un valor distinto en el codominio, es decir

existe tal que .

Se dice que una funcion : es sobreyectiva cuando el codominio es igual al

rango, es decir si .

Se dice que una funcion : es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva.

Identificacion de una funcion graficada en el plano cartesiano

Para identificar si una grafica en el plano cartesiano es un función se traza una linea

paralela al eje y, si esta toca la grafica en dos o mas puntos, entonces podemos afirmar

que la grafica correspondiente en el plano cartesiano no es una función, en caso

contrario lo sera.

Simplemente con observar el eje de abscisas de dicha gráfica podemos saber el dominio

de la función. Porque cualquier valor de x del dominio tiene su correspondiente imagen y

por ello le corresponde un punto de la gráfica.

Grafica 1.

La grafica 1 representa una función debido a que cumple con la condicion planteada,

debiido que si trazamos una linea paralera al eje Y obtenemos que esta solo e

inteceptada en un solo punto.


Grafica 2.

La grafica 2 no es una funcion debido a que al pasar una recta paralela al eje y

encontramos que hay un punto en el eje x que tiene tres imágenes distintas en e eje y lo

cual no cumple la definicion de función.

Como encotrar el Dominio y el rango de una función graficada en el plano

cartesiano

Encontrar el dominio y el rango de una función en el plano cartesiano consiste en

trasladar a lo largo de sus ejes unas líneas paralelas a este, luego se verifica los puntos en

los cuales la línea en mención tiene salto en la grafica, o en otras palabras los puntos

que no permiten desplazar las rectas no pertenecen al dominio o al rango de esa

función.


Grafica 3.

En la gráfica 3 observamos una línea verde que nos va a permitir encontrar el dominio

de la función, la cual desplazamos hacia la izquierda, esa línea se desplaza sin sufrir

ningún salto hasta el punto x=-5 por lo cual el dominios serán los números reales mayores

o iguales a -5, mientras que la línea roja nos permite identificar el rango de la función

estos es que el rango de la función que aparece en la gráfica serán los numero reales

menores o iguales a 3.

Ahora mostraremos una gráfica que presenta salto, la cual nos va a permitir observar

que sucede cuando se presenta esta situación.


Grafica 4.

Aquí podemos notar que la gráfica presenta saltos, cuyos datos se encuentren en esos

salto los sacaremos del dominio y del rango respectivamente. Para el dominio se tiene

que la gráfica salta en dos partes , con lo cual el dominio queda conformado por los

números reales menos los números que están entre -2 y -1 menos los números que

están entre 4 y 5 en términos matemáticos .

Mientras que el rango será el conjunto de los números reales.

Como encontrar el Dominio y el rango en un polinomio

Para encontrar el dominio de un polinomio se deben tener en cuenta las siguientes pistas.

1. Si es un polinomio de grado n entonces su dominio serán los reales.

2. Si el polinomio esta dado en términos de una fracción entonces el dominio serán

los reales sacando los valores que hacen cero el denominador de la fracción, es

decir sacando las raíces del denominador.


3. Si es un radical entonces hay que tener en cuenta los siguiente si el radical tiene

por índice un número impar entonces el dominio serán todos los números reales,

ahora si el radica tiene por índice un numero par, los valores de x que hagan el

radicando negativo no existirá la función. Para calcular el dominio de este tipo de

funciones resolvemos la inecuación f(x) >0, la solución de dicha inecuación ser el

dominio de la función

Operaciones entre funciones

Sea y se definen las siguientes

operaciones

Suma

Producto

Cociente

Compuesta

Nota

1. La composición defunciones no es conmutativa es decir .

2. La función reciproca o inversa de una función denotada por es aquella que

cumple la condición

Ejemplo 1

Sea y dos funciones definidas por

Entonces encontrar

a. b. c.

d. e.

f.


Solución.

a. Aquí simplemente aplicamos la propiedad y se resuelve la suma de polinomios, esto es

de

donde

b. Aplicamos la propiedad del producto entre funciones, y luego se destrozan los

paréntesis y por último se agrupan los términos semejantes

=

c. Aplicamos la propiedad de la composición de funciones, y luego se destrozan los


d. Aplicamos la propiedad de la composición de funciones, y luego se destrozan los


e. en este caso se aplica la propiedad del cociente de funciones, y luego se verifica a ver

si se puede simplificar las funciones que queda en el numerador con la del denominador

para así obtener un resultado.

f. aquí lo primero que se hace es encontrar la función la cual se encuentra

despejando x en termino de la función esto es


Entonces

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD

Taller de Ejercicios

Evaluación Unidad.

RECURSOS PARA EL APRENDIZAJE

Computador

Acceso a internet


BIBLIOGRAFIA

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