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Leonhard Euler

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

Introduccin

Las funcionestrigonomtricas sonfunciones muy utilizadasen las ciencias naturalespara analizar fenmenosperidicos tales como:movimiento ondulatorio,corriente elctricaalterna, cuerdasvibrantes, oscilacin depndulos, ciclos

comerciales, movimiento peridico de losplanetas, ciclos biolgicos, etc.

Las funciones trigonomtricas fueronsistematizadas por Newton y Leibniz, quieneshaban dado expansiones en forma de serie paralas mismas.

0k

1k 2k

x!1k 2

1 xsen

Pero fue Euler quien dio el tratamiento completo ysistemtico a las funciones trigonomtricas. Laperiodicidad de estas funciones y la introduccinde la medida de los ngulos por radianes, fuerealizada por Euler en su Introductio in AnalysisInfinitorum en 1748.

Concepto: Las funciones trigonomtricas sonfunciones reales de variable real cuya variabledependiente y es el valor obtenido al evaluar eloperador trigonomtrico en un nmero realx

adecuado.Ejemplos:

Funcin seno: senx y ; R x . Funcin tangente:

xtan y ; 2

1k 2 R x

xcos xsen xcot y 2 ; k R x Dominio de una funcin

Es el conjunto de valores que admite la variableindependiente.

NOTACIN:Dom, D.

Sugerencias para calcular dominio

a) Para cociente:

xgk

x f ; k constante

Hacemos: 0 xg .

Ejemplos: Calcular dominio

* xsec x f .

* xcsc x f

Observacin:

* , xtan xsec estn definidas para 21k 2 x

, Z k

* xcot , xcsc estn definidas para k x , Z k .

b) Para radicacin

n2 xg x f , N n

Hacemos: 0 xg

Ejemplos: Calcular el dominio

* senx x f

* xcos21

x f ;2

,2

x

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Observacin: Cuando queremos calcular eldominio de una funcin tipo:

xg1

x f

Consideramos los R x tales que 0 xg .

Ejemplo: Calcular el dominio de:

senx21

1 xg ; ,0 x

Rango de una funcin

Es el conjunto de valores que toma la variabledependiente.

NOTACIN: Ran , Im.

Sugerencias para calcular rango

Obtener el dominio de la funcin Simplificar la regla de correspondencia A partir del dominio construir la regla decorrespondencia simplificada.

Ejemplos: Calcular rango

* x2sen xsen xcos x f 2222 .

* xcos1 xcos1

xh2

Funcin par

f es una funcin par si:

x f x f Domf x , x

Grficamente una funcin es par si es

simtrica respecto al eje Y.

Funcin impar

f es una funcin par si:

x f x f Domf x , x

Grficamente una funcin impar es simtricarespecto al origen de coordenadas.

Ejemplos: Indicar si es una funcin par e impar

* ( ) ( ( )) * ( )* ( )

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9c/Funci%C3%B3n_impar_01.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fb/Funci%C3%B3n_par_01.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9c/Funci%C3%B3n_impar_01.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fb/Funci%C3%B3n_par_01.svg

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Funcin Creciente

f es una funcin creciente si para todo tal que entonces

( ) ( ) Funcin Decreciente

f es una funcin creciente si para todo tal que entonces

( ) ( ) En la figura se representa la grfica de la funcin f en el intervalo[ ]donde se puede observarseque la funcin f es:

1.) Creciente en los intervalos

2.) Decreciente en los intervalos

Observacin:

* Sea ( ) [ ]una funcin crecienteentonces se tiene:

( ) ( ) ( ) * Sea ( ) [ ] una funcindecreciente entonces se tiene:

( ) ( ) ( ) Ejemplos: Calcular el rango de la funcin

* ( )

Funcin peridica

f es una funcin peridica si existe tal que para todo se cumple:

( ) ( ) Grficamente se repite cada cierto intervalo delongitud T

Nota:

Sea ( ) ( ) DondeF. T :

Funciones Exponente Periodo

sen, cos,sec, csc

Si esimpar | |

Si es par | |

tan, cot Paracualquier | |

T T T T

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Funci%C3%B3n_Peri%C3%B3dica.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Funci%C3%B3n_Peri%C3%B3dica.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Funci%C3%B3n_Peri%C3%B3dica.svghttp://www.wikimatematica.org/images/9/9b/Fab.gifhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Funci%C3%B3n_Peri%C3%B3dica.svghttp://www.wikimatematica.org/images/9/9b/Fab.gifhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Funci%C3%B3n_Peri%C3%B3dica.svghttp://www.wikimatematica.org/images/9/9b/Fab.gif

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Grfica de las funciones trigonomtricas

Grafica de la funcin seno

CARACTERISTICAS

Dominio: . Rango: ( ) [ ] Periodo: Es una funcin impar Es una funcin continua en su dominio. Es una funcin creciente

y es decreciente

, donde Puntos de inflexin: n x ; Z n . (En

estos puntos hay un cambio de concavidad1)

Anlisis grfico de las funciones de la forma: DC BxT .F A x f

Para graficar estas funciones vasta tener encuenta:

A>0 ampliacin o reduccin vertical

A0 ampliacin o reduccin horizontal

B

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Cambio de fase o nmero de fase:

Desplazamiento horizontal

0 Desplazamiento horizontal hacia la

derecha.

0 Desplazamiento horizontal hacia la

izquierda.

Desplazamiento vertical: D

D>0 desplazamiento vertical hacia arriba.

D