Unidad 5: Funciones Implícitas y Funciones Inversas

Análisis Matemático I – CIBEX

Facultad de Ciencias ExactasUniversidad Nacional de La Plata

Unidad 5: Funciones Implícitas y Funciones Inversas

2015 - Primer Cuatrimestre

Dr. Gerardo Rossini, Dra. Ana Alonso

Equipo Coordinador

UNIDAD 5

Funciones implícitas y funciones inversas.

Contenidos de la Unidad 5: Funciones implícitas. Derivación implícita. Funciones inver-sas. Derivada de la función inversa. Arcos: inversas de las funciones trigonométricas ehiperbólicas.

Integración: Cálculo con funciones exponenciales y logarítmicas, naturales y en dis-tintas bases.

Clase 5.1. Ecuaciones con dos variables y funciones implícitas.

Contenidos de la clase: Relaciones. Funciones implícitas. Multivaluación. Derivaciónimplícita.

5.1.1. Relaciones, ecuaciones con dos variables y funciones implícitas

En muchas situaciones encontramos relaciones entre dos cantidades de interés, expresadas comouna ecuación con dos incógnitas.

Ejemplo 5.1.1. La Ley de Boyle para gases ideales relaciona la presión P a que se encuentrasometida una cantidad de gas y el volumen V que ocupa dicho gas (mientras la temperatura semantenga constante). La relación se enuncia como

P V = k

donde k es un valor constante que se puede calcular como el producto de la presión y el volumen enun estado inicial (k = P0V0).

La relación dada por la ley de Boyle tiene la forma de una ecuación (una igualdad) que involucrados incógnitas: P y V . En general, no se espera resolver el valor de dos incógnitas cuando tenemosuna sola ecuación. Lo que se puede intentar es despejar una en función de la otra: elegir una comovariable independiente y dejar la otra como variable dependiente.

La ley de Boyle es tan sencilla que permite despejar explícitamente P = k/V o bien V = k/P .Es decir, al despejar podemos expresar P como función de V , que anotamos

P (V ) = k/V

También podemos despejar V como función de P , que anotamos

V (P ) = k/P

Notemos que la ecuación PV = k contiene, implícitamente, funciones de una variable. Por estose suele hablar de ecuaciones en dos variables en lugar de decir ecuaciones con dos incógnitas.

La ecuación con dos incógnitas del ejemplo anterior tiene in�nitas posibilidades de solución: in�nitospares de valores (P, V ), tales que reemplazados en la ecuación satisfacen la igualdad. La forma grá�caadecuada para mostrar las soluciones es construir el conjunto de puntos de coordenadas (P, V ) en unplano de ejes P − V .

Actividad 5.1.2. La presión P se suele medir en atmósferas (atm) y el volumen V en litros(l). Además, la presión absoluta siempre es positiva, al igual que el volumen.

Consideren un experimento en que un gas se mantiene a temperatura constante, tal que P V =10 atm.l. El volumen se puede variar comprimiendo el recipiente que contiene el gas.

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CLASE 5.1. ECUACIONES CON DOS VARIABLES Y FUNCIONES IMPLÍCITAS. 200

Gra�quen en un plano P − V todos los estados posibles del gas (es decir, los pares (P, V ) enque se puede encontrar este gas).

En la discusión de la ley de Boyle habrán descubierto una conexión directa entre ecuaciones condos incógnitas y funciones de una variable. Seguramente despejaron P en función de V , o quizás Ven función de P . En general, esperamos que una ecuación con dos incógnitas x e y establezca unadependencia de una de las incógnitas con la otra. Pero a veces puede ser complicado o imposibledespejar una función explícita.

Actividad 5.1.3. Consideremos la ecuación

x2 + y2 = a

para distintos valores de a. Gra�quen las soluciones en el plano x− y en los siguientes casos:

Muestren que para a = −1 no hay ninguna solución (es decir, que ningún par (x, y) satisfacela igualdad). ¾Queda establecida una función y(x)?Muestren que para a = 0 hay un solo par (x, y) solución ¾Queda establecida una funcióny(x)?Reconozcan que para a = 1 la solución son todos los puntos de la circunferencia de radio1. ¾Pueden despejar y en función de x? ¾Queda establecida una función y(x)? (la discusiónes similar a la presentación de raíz cuadrada que hicimos en la Unidad 1, actividad 1.3.2).Dado un valor de x, digamos x = 1/2, ¾cualquier valor de y satisface la ecuación?

En el ejemplo de la circunferencia con radio 1 reconocemos que las soluciones de la ecuación, es decirlos puntos (x, y) que están sobre la circunferencia, guardan una relación entre el valor de x y el valorde y. Pero no se puede expresar esta relación como una función: a ciertos valores de x le correspondendos valores de y. Se dice que la relación es multivaluada cuando a un valor de x le corresponden dos omás valores de y. Cuando hay multivaluación, la relación no de�ne una función.

En otros casos será directamente imposible despejar y en función de x con técnicas algebraicas.Por ejemplo, si

y5 + 2xy + x3 = 13

no hay manera de despejar. Pero hay una relación entre x e y, y hay soluciones: (x, y) = (2, 1) es unasolución que se reconoce a simple vista. Podemos intuir que si se toma x cerca de 2 habrá solucionesy cerca de 1, y que en esas soluciones al cambiar el valor de x también cambiará el valor de y.

Como dijimos en el primer renglón de esta clase, en muchos casos una relación entre dos variablesx e y se escribe como una ecuación en dos variables, es decir una igualdad entre expresiones queinvolucran a x y a y. Estas ecuaciones encierran en general una dependencia entre las variables, quemuchas veces no tiene forma de función.

La intención de esta clase es aprovechar lo que ya hemos aprendido de funciones, incluso cuandono podemos despejar y en función de x.


5.1.2. Funciones implícitas

Para trabajar con una relación multivaluada intentaremos encontrar subconjuntos de solucionesque se comporten como funciones. Veamos la idea en un grá�co. Supongamos que una ecuación condos variables tiene como solución los puntos de una espiral:

Claramente la ecuación no de�ne una función. Pero rescatamos con trazo grueso un subconjuntode la grá�ca con características de función, que a cada x en el intervalo [a, b] le asigna un y sólo unvalor de y. 1

Definición 5.1.4. (informal)Llamamos función implícita a cada función continua que se pueda reconocer en una relaciónmultivaluada, eligiendo adecuadamente algún tramo de la grá�ca de la relación.

Actividad 5.1.5. Dibujen otras funciones implícitas posibles en la relación de la �gura anterior,que tomen distintos valores en x0 y sean continuas en el dominio elegido.

Naturalmente, la elección de una función implícita no es única. Cada elección se llama una ramade la función implícita; para describirla sin ambigüedad, se debe dar el dominio y el codominio elegido.

Observación 5.1.6. En algunos casos sencillos podremos despejar algebraicamente y en funciónde x, siempre conviene intentarlo, aunque en general no es posible hacerlo. La noción de funciónimplícita es la misma, podamos o no podamos despejar.

5.1.3. Existencia, continuidad y derivabilidad de funciones implícitas

Dada una ecuación en dos variables (x, y) y una solución, es decir punto (x0, y0) sobre su grá�ca, unacuestión importante es determinar si se puede rescatar una función implícita y = f(x), con f(x0) = y0,aunque no podamos despejar explícitamente.

1Noten que la elección del trazo grueso la hicimos respetando la noción de continuidad.


Es decir, anticipar si tiene sentido decir que y depende de x como una función implícita y = f(x).Mejor aún, anticipar si esta función es continua, si es derivable, y cuánto vale f ′(x0).

No podemos en este curso responder todas estas cuestiones (se podrá hacer con herramientas deAnálisis Matemático II). Mientras tanto, les propondremos situaciones donde avisamos que existe lafunción implícita y = f(x) al menos en un entorno de x0, que es continua, y que existe laderivada de y respecto de x en el punto x0. En ese caso, lo que sí podemos hacer es obtener el valorde la derivada.

5.1.4. Mecanismo para obtener la derivada de una función implícita derivable

Supongamos que una ecuación en x e y de�ne una función implícita y = f(x) en un entorno de x0,y que es derivable en un punto x0. Entonces, reemplazamos y por f(x) en la ecuación y tenemos quetanto el lado izquierdo como el lado derecho dependen de una sola variable x.

Podemos ahora, si la expresión lo permite, derivar ambos miembros respecto de x. La derivadaf ′(x) la dejamos indicada, porque no conocemos la fórmula de la función implícita. Luego evaluamosen x0 (donde sabemos que existe f ′(x0)) y podremos despejar el valor de f ′(x0). Este mecanismo seconoce como derivación implícita.

Veamos un ejemplo

Ejemplo 5.1.7. Consideremos la ecuación x2 + y2 = 25. El punto (3, 4) la satisface, ya que32 + 42 = 9 + 16 = 25. Aceptemos que la ecuación de�ne a y = f(x) como función implícitaalrededor de x0 = 3 (este caso no es difícil, si reconocen que la ecuación describe una circunferenciade radio 5 centrada en el origen). Reemplazando y por f(x), tenemos la igualdad

x2 + (f(x))2 = 25

donde el lado izquierdo es función de x, a través de una composición con f(x). Derivando ambosmiembros respecto de x, usando la regla de la cadena, resulta

2x+ 2 f(x) f ′(x) = 0

(observen que (f(x))2 se derivó como una función compuesta). Evaluamos en x0 = 3, usando quef(3) = 4,

2.3 + 2.4 f ′(3) = 0

y podemos despejar f ′(3):

f ′(3) = −3

4

En este ejemplo concreto reconocemos grá�camente que −3/4 es la pendiente de la recta tangentea la circunferencia en el punto (3, 4):


De hecho es posible despejar explícitamente y = f(x) = +√

25− x2 , eligiendo el signo + como larama de la función implícita tal que f(3) = 4. Podríamos entonces derivar directamente

f ′(x) =1

2√

25− x2.(−2x) =

−x√25− x2

que es el resultado válido para la semi-circunferencia superior, en el intervalo (−5, 5). En particular,comprobemos el resultado de la derivación implícita del ejemplo: f ′(3) = − 3√

25−9= −3

4 .

El mecanismo de derivación implícita funciona siempre que las expresiones en la ecuación se puedanderivar por reglas prácticas. Y verán que, aunque la ecuación sea complicada y no permita despejary(x), sabiendo el valor de f(x0) será sencillo despejar al menos el valor de f ′(x0).

5.1.5. Ejercicios

Para �jar los conceptos de ecuaciones y relaciones multivaluadas, función implícita y derivadaimplícita, proponemos varios ejercicios. En algunos ejercicios buscamos la derivada de la función im-plícita en un punto dado, y en otros buscamos la derivada en un punto genérico (es decir, construiránla función derivada).

Una vez que reconozcan la función implícita y su derivada, podrán resolver problemas de rectatangente, crecimiento, etc.

Observen que si una ecuación tiene variables x e y, es posible estudiar funciones implícitas de laforma y(x) o de la forma x(y); en algunos casos una posibilidad pueder ser más conveniente que laotra.

Ejercicio 5.1.1. Sea y = f(x) una función derivable en x = 1, que veri�ca la ecuaciónf(x) + x2 [f(x)]3 = 10. Si f(1) = 2, calculen f ′(1).

Ejercicio 5.1.2. Sea g(x) una función derivable en x = 0, que veri�ca la ecuacióng(x) + x sen (g(x)) = x2. Calculen g′(0), sabiendo que g(0) = 0.

Ejercicio 5.1.3. Veri�quen que los puntos (−1, 1) y (−1,−1) pertenecen a la curva x3+xy2 = −2.

¾Es posible incluir los dos puntos en una misma función implícita y = f(x)?Encuentren la ecuación de la recta tangente en cada punto.

Ejercicio 5.1.4. La curva de ecuación x2 + y2 + xy = 4 es una elipse, cuyos ejes no son paralelosa los ejes coordenados.

1. Gra�quen con GeoGebra (el programa reconoce ecuaciones cuadráticas en dos variables). Hallengrá�camente la dirección de los ejes de la elipse.

2. Encuentren dos puntos de la elipse con ordenada y = 0.3. Hallen las rectas tangentes a la elipse en los puntos encontrados.


4. Repitan el procedimiento de derivación implícita en un punto genérico (x0,y0) de la elipse. ¾Enqué puntos de la curva la tangente es horizontal?

Ejercicio 5.1.5. La curva de ecuación x3 + y3 = 6xy se llama folio de Descartes.

1. Encuentren la recta tangente al folio de Descartes en el punto (3, 3).2. Repitan el procedimiento de derivación implícita en un punto genérico (x0,y0). ¾En qué puntos

de la curva la tangente es horizontal?3. Pueden ver http://es.wikipedia.org/wiki/Folium_de_Descartes grá�cas de la curva. Aunque

parezca imposible, hay una forma de despejar y en función de x; comparen el trabajo hechomediante derivación implícita con el que tendrían que hacer si usaran la forma explícita dey(x).

Ejercicio 5.1.6. Para las siguientes relaciones, suponiendo que de�nen una función implícitay = y(x) derivable,

encuentren y′ por derivación implícita en un punto x0 genérico.despejen y = y(x) y deriven la expresión explícita.comprueben que ambas expresiones coinciden.

a) xy + 2x+ 3x2 = 4 b)1

x+

1

y= 1.

(pueden gra�car la ecuación (a) con GeoGebra para comprobar que representa una hipérbola;también la (b), si la reescriben en forma cuadrática y + x = xy).

Ejercicio 5.1.7. Suponiendo que las siguientes relaciones de�nen funciones implícitas y = y(x)derivables, hallen una expresión para y′(x0) en un punto x0 genérico.

sen(x+ y) = x.ln(xy) + y = 0,x2y = ey,√xy = 1 + xy2.

CLASE 5.2. FUNCIONES INVERSAS. INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS E HIPERBÓLICAS. 205

Clase 5.2. Funciones inversas. Inversas trigonométricas e hiperbólicas.

Contenidos de la clase: Funciones inversas. Derivada de la función inversa. Funcionestrigonométricas inversas. Funciones hiperbólicas inversas.

Una aplicación importante de la noción de función implícita es el estudio de la posibilidad construirfunciones inversas. Esto signi�ca: cuando tenemos una función bien de�nida y = f(x) que expresa lavariable dependiente y en función de la variable independiente x, nos preguntamos si podemos cambiarlos roles de las variables y expresar x en función de y.

Actividad 5.2.1. Comencemos con una función sencilla: y = f(x) = 3x+ 2.

¾Cuál es el dominio natural de f(x)? ¾Cuál es su imagen?¾Pueden escribir la relación entre x e y como una ecuación en dos variables? (por ejemplo,la forma segmentaria o la forma normal de la ecuación de la recta)¾Pueden despejar x en términos de y? ¾Resulta x una función de y? En ese caso, ¾cuálesson el dominio y la imagen de la función hallada?

Actividad 5.2.2. Sigamos con una función todavía sencilla: y = f(x) = x2 + 2x− 3.

¾Cuál es el dominio natural de f(x)? ¾Cuál es su imagen?¾Pueden escribir la relación entre x e y como una ecuación en dos variables? (por ejemplo,la forma general de las ecuaciones cuadráticas)¾Pueden despejar x en términos de y? ¾Resulta x una función de y?Si hay algún obstáculo, ¾pueden arreglarlo? En ese caso, ¾cuáles son el dominio y la imagende la función hallada?

Actividad 5.2.3. Ahora, veamos una función especial: y = f(x) = sen x.

¾Cuál es el dominio natural de f(x)? ¾Cuál es su imagen?¾Pueden escribir la relación entre x e y como una ecuación en dos variables?¾Pueden despejar x en términos de y?

En las actividades anteriores discutimos casos bien distintos, sin embargo tienen algo en común:dada una función bien de�nida y = f(x) siempre se puede escribir la relación entre x e y como unaecuación en dos variables:

y − f(x) = 0

La posibilidad de despejar x en función de y nos lleva al tema de la clase anterior: a veces se puededespejar algebraicamente, en forma explícita, pero en general no se puede. Cuando no podamos des-pejar, nos vamos a preguntar si es posible de�nir x como una función implícita de y. También vamospreguntar si hay distintas ramas para de�nir x como función de y.

Para estudiar qué tramos de la función y = f(x) permiten de�nir x como una función implícita dey, será importante analizar la grá�ca la función original.

Cuando partimos de una función y = f(x) y logramos expresar x en función de y se dice queconstruimos una función inversa, que se anota x = f−1(y). Como sucede con las funciones implícitas,para distinguir las distintas ramas posibles es importante dar el dominio y la imagen de cada funcióninversa construida2.

2La notación f−1(y) se lee "f inversa de y". No se debe confundir con "uno sobre f".


5.2.1. Funciones inyectivas, suryectivas y biyectivas

Antes de construir una función inversa necesitamos primero hacer un estudio de la función originaly = f(x). Las palabras que leyeron en el título de esta sección describen características que una funciónpuede tener, o no tener. Observen que para de�nir estas características nos referimos con cuidado aldominio y codominio de la función; por eso usamos la notación completa

f : A→ B dada por y = f(x)

Estas características determinan cuándo es posible construir una función inversa.

Definición 5.2.4. Dada una función f : A → B, se dice que la función es suryectiva cuandoIm f = B.

Recordemos que la imagen de la función, anotada Im f o también f(A), es el conjunto de losvalores y ∈ B que toma la función cuando x recorre todo el dominio A. Entonces, en palabras, unafunción es suryectiva cuando toma todos los valores de su codominio.

Ejemplo 5.2.5. La parábola canónica y = x2 tiene como dominio todos los reales y como imagenel intervalo [0,+∞) de reales no negativos. Grafíquenla para seguir este ejemplo.

Si consideramos la funciónf : R→ R dada por y = x2

estamos diciendo que el codominio es R. Entonces encontramos que f no es suryectiva: la imagen[0,+∞) no coincide con el codominio.

Por otro lado, si consideramos la función

g : R→ [0,+∞) dada por y = x2

estamos diciendo que el codominio es [0,+∞). Entonces encontramos que g sí es suryectiva: laimagen [0,+∞) coincide con el codominio declarado.

Este ejemplo nos aclara dos puntos importantes. Primero, que para discutir si una función essuryectiva no basta conocer su fórmula, sino que debemos aclarar con qué codominio está de�nida;sólo así podremos comparar su imagen con el codominio declarado. Segundo, que es fácil lograr queuna función con fórmula y = f(x) sea suryectiva: tenemos que ajustar su codominio descartando losvalores de y que nunca aparezcan como resultado de evaluar f(x). A este procedimiento se lo llamarestringir el codominio.

Definición 5.2.6. Dada una función f : A→ B con fórmula y = f(x), se dice que la función esinyectiva cuando a valores distintos de x ∈ A corresponden valores distintos de y ∈ B.

Dicho en palabras, una función y = f(x) es inyectiva cuando no repite valores de y a medida quex recorre su dominio, no hay dos valores distintos de x que tengan el mismo resultado y.

Ejemplo 5.2.7. Volvamos a considerar la parábola canónica y = x2. Tengan a mano su grá�ca.Si consideramos la función

f : R→ R dada por y = x2

estamos diciendo que el dominio es R. Entonces encontramos que f no es inyectiva, porque hayvalores distintos de x, por ejemplo −2 y 2, tales que dan en mismo valor de y: f(−2) = f(2) = 4.

Por otro lado, si restringimos el dominio al intervalo [0,+∞) y consideramos la función

h : [0,+∞)→ R dada por y = x2

entonces encontramos que g sí es inyectiva. Gra�quen y = g(x) y observen que describe solamentela rama derecha de la parábola.


Nuevamente, este ejemplo nos aclara dos puntos importantes. Primero, que para discutir si unafunción es inyectiva no basta conocer su fórmula, sino que debemos tener claro cuál es su dominio.Segundo, que es posible lograr que una función con fórmula y = f(x) sea inyectiva: tenemos que ajustarsu dominio descartando valores de x que ya hayan aparecido como resultado de evaluar f(x). A esteprocedimiento se lo llama restringir el dominio.

Restringir un dominio tiene un costo evidente: hay regiones del eje x que quedan fuera de conside-ración. La función restringida no contiene ninguna información sobre esas regiones. En un problema deaplicación, será muy importante asegurarse de que la función con dominio restringido realmente cubrael rango de la variable que intentamos describir.

Definición 5.2.8. Dada una función f : A → B, se dice que la función es biyectiva cuando esinyectiva y suryectiva a la vez.

Juntando lo que ya dijimos, una función y = f(x) con dominio A y codominio B es biyectivacuando su imagen coincide con el codominio y cada valor de la imagen es alcanzados solamente unasola vez.

Ejemplo 5.2.9. Sigamos considerando la parábola canónica y = x2. Cuando consideramos lafunción

f : R→ R dada por y = x2

encontramos que f no es inyectiva. Por otro lado, cuando restringimos el dominio al intervalo [0,+∞)y consideramos la función

h : [0,+∞)→ R dada por y = x2

entonces encontramos que g sí es inyectiva, pero no es suryectiva: la imagen [0,+∞) no coincide conel codominio declarado R. Podemos arreglar la falta de suryectividad restringiendo el codominio alintervalo [0,+∞). De�nimos una nueva función (con la misma fórmula, pero no es la misma función)

b : [0,+∞)→ [0,+∞) dada por y = x2

que �nalmente resulta biyectiva.

Actividad 5.2.10. Gra�quen la función y = b(x) del ejemplo anterior, marcando su dominioy su codominio. Veri�quen grá�camente que es una función biyectiva. Tengan a mano una regla ydiscutan:

¾qué mecanismo grá�co les permite decidir si la función es suryectiva?¾qué mecanismo grá�co les permite decidir si la función es inyectiva?

Cuando una función f : A→ B con fórmula y = f(x) es biyectiva se veri�ca que cada valor de yen el conjunto B aparece como imagen de un y solamente un valor x del conjunto A. Se dice que hayuna correspondencia biunívoca entre los conjuntos A y B: cada elemento de A se corresponde con uny sólo un elemento de B, a la vez que cada elemento de B se corresponde con un y sólo un elementode A. La grá�ca de una función f : A→ B biyectiva, generalizando lo discutido con la parábola, tieneel siguiente aspecto:


5.2.2. Función inversa

Volviendo al tema de función inversa, es decir a la posibilidad de despejar x como función de y, esimportante destacar que cuando una función f : A → B es biyectiva, a cada valor de y se le puedeasignar un único valor de x, elegido tal que f(x) = y.

Cuando una función

f : A→ B con fórmula y = f(x)

es biyectiva, se puede de�nir su función inversa, que anotamos

f−1 : B → A con fórmula x = f−1(y)

Simplemente, a cada y ∈ B se le asigna el único valor de x ∈ A tal que f(x) = y.

Definición 5.2.11. Dada una función f : A → B biyectiva, su función inversa se de�ne comof−1 : B → A tal que

x = f−1(y) siempre que f(x) = y

En esta de�nición, el dominio de f pasa a ser la imagen de f−1 y la imagen de f−1 pasa a serel dominio de f . Para acompañar esta idea, dejamos y como variable independiente de f−1 y x comovariable dependiente.

Podemos representar grá�camente a la función inversa cambiando el sentido de las �echas deasignación:

En el panel de la izquierda, a cada x se le asigna un y. Y en el panel de la derecha, a cada y de leasigna un x.

Usualmente se "endereza" el dibujo de la función inversa poniendo la variable independiente y enel eje horizontal, y la variable dependiente x en el eje vertical. Podemos imaginar el panel derechodibujado en papel de calcar, dar vuelta la hoja y acomodar los ejes. Se vería así:


donde ustedes podrán reescribir las letras "al derecho".

Actividad 5.2.12. Dibujen la grá�ca de una función biyectiva en papel transparente. Encuen-tren la forma de mirarlo para visualizar la función inversa (bastará una hoja en blanco, vista atrasluz).

Observación 5.2.13. Una vez construida la función inversa, en muchos textos se suele inter-cambiar las letras, escribir y = f−1(x). El propósito es tratar a la función inversa como a cualquierfunción, que estamos acostumbrados a escribir con x como variable, e y como resultado.

En esta unidad vamos a mantener la notación x = f−1(y) para recordar que hemos invertidouna función y = f(x) (excepto en la actividad siguiente, presten atención al uso de las letras x e y).

Actividad 5.2.14. Dibujen en el plano x− y la grá�ca de una función biyectiva y = f(x) y lagrá�ca de su inversa y = f−1(x). Veri�quen que las grá�cas son simétricas respecto de la recta deecuación y = x (es decir, la bisectriz del primer y tercer cuadrante).

Por ejemplo, pueden usar f : [−1, 1]→ [−1, 1] dada por y = f(x) = 3√x.

Existencia de ramas de la función inversa

Hemos visto que una función biyectiva se puede invertir. Pero la vida no es tan sencilla, y esfrecuente que tengamos una función y = f(x) que no sea biyectiva, y necesitemos de alguna maneraconsiderar a x como función de y.

El recurso que tenemos para construir una función inversa es lograr primero que la función seabiyectiva, restringiendo su dominio y codominio adecuadamente. En este proceso sacri�camos infor-mación, y nos quedamos solamente con una parte de la función original. Luego tiene sentido de�nir lainversa de esa parte. Según la restricción elegida, se obtiene una rama de función inversa.

Veamos grá�camente qué signi�ca "dominio y codominio adecuados". Para que exista una ramade función inversa de y = f(x), tenemos que buscar un tramo de la grá�ca de f donde sea biyectiva.Es decir, que sea a la vez inyectiva (es decir no repetir valores en todo el dominio elegido) y suryectiva(es decir, que alcance todos los valores del codominio elegido). En general, como vemos en la �guraanterior, eso no sucede con la función f completa; pero si restringimos adecuadamente el dominio y elcodominio de f, puede ser que encontremos una función inversa.

Imaginemos un grá�co de y = f(x), y supongamos que nos interesa trabajar con el punto (x0, y0):


Hagamos una restricción descartando valores de x a la izquierda de a y a la derecha de b (indicadosen la �gura), para que f no repita valores: la imagen del intervalo [a, b] en el eje x resulta el intervalo[c, d] en el eje y. La función restringida3 f : [a, b] → [c, d] resulta biyectiva, y tiene sentido buscar suinversa. La función inversa f−1 : [c, d] → [a, b], que pasa por (y0, x0) y es continua en [c, d] se puedever "mirando de costado" o gra�cando los mismos puntos con el eje y en la horizontal y el eje x en lavertical:

Esperamos que se vea clara la situación razonando sobre un grá�co. Queda pendiente la pregunta:si no conocemos el grá�co ¾cómo ubicamos una restricción de la función y = f(x) que resulte biyectiva?

Funciones biyectivas en intervalos cerrados

Podemos aprovechar lo que aprendimos de continuidad, y de crecimiento, para seleccionar un tramode la grá�ca de una función de forma que resulte biyectiva. Para estudiar la inyectividad tenemos la

siguiente

Propiedad 5.2.15.

Si una función f es estrictamente creciente en un intervalo [a, b], entonces f restringidaal dominio [a, b] es inyectiva.Si una función f es estrictamente decreciente en un intervalo [a, b], entonces f restringidaal dominio [a, b] es inyectiva.

3Sería apropiado usar una letra distinta de f , porque la función restringida es un objeto distinto de la original. Parafacilitar la lectura, nos permitimos este abuso de notación.


Demostración . Este resultado es una consecuencia directa de la de�nición de crecimiento: cuandouna función y = f(x) es estrictamente creciente (o decreciente) va tomando valores distintos a medidaque aumenta x.

Se dice que una función es monótona para indicar que es o bien creciente o bien decreciente.También se dice brevemente que f es inyectiva en [a, b] para indicar que la restricción de f al

dominio [a, b] es una función inyectiva.

Para estudiar la suryectividad de f en un intervalo [a, b] tenemos que encontrar su imagen, queanotamos f([a, b]). Resultan útiles los teoremas del Valor Extremo (3.5.23) y del Valor Intermedio(2.5.24).

Propiedad 5.2.16.

Si una función f es continua en un intervalo [a, b], entonces la restricciónf : [a, b]→ f([a, b]) es suryectiva.

Demostración . Según el teorema del Valor Extremo, una función continua en un intervalo cerrado[a, b] alcanza un mínimo y un máximo absolutos en ese intervalo. Llamemos c al valor del mínimo, yd al valor del máximo. Entonces la imagen f([a, b]) está incluida en el intervalo [c, d]. Además, por elteorema del Valor Intermedio, cualquier valor y ∈ [c, d] se puede escribir como resultado de evaluarf(p) en algún valor4 p del intervalo [a, b]. Es decir, cualquier valor y ∈ [c, d] está en la imagen f([a, b]).En consecuencia, la restricción f : [a, b]→ [c, d] es suryectiva.

Para recordar cuándo es posible de�nir una rama de función inversa podemos unir los resultadosanteriores y enunciar la siguiente

Propiedad 5.2.17. Sea una función f : D → R y un intervalo I incluido en el dominio D. Si

f(x) es continua en el intervalo I,f(x) es derivable en el intervalo I, con la posible excepción de sus puntos extremos,f ′(x) > 0 en todo el intervalo I (o bien f ′(x) < 0 en todo el intervalo I),

entonces, llamando K = f(I) (es decir la imagen del intervalo I), la restricción f : I → K esbiyectiva y admite función inversa continua f−1 : K → I.

Esta propiedad a�rma que la función inversa existe, pero no a�rma que se pueda despejar algebrai-camente y en función de x. Es inportante reconocer que la función inversa existe, aunque no podamosdespejar su fórmula.

Observación 5.2.18. La propiedad 5.2.17 puede ser aplicada a todo el eje real (es decir, alintervalo I = R).

En el caso de intervalos cerrados I = [a, b], el enunciado asegura que existe la inversa cuandof(x) es derivable en el abierto (a, b) y continua en el intervalo cerrado [a, b], con f ′(x) positiva (onegativa) en (a, b). A esto se re�ere la "posible excepción de sus puntos extremos"; comparen conla Observación 3.4.10.

Derivabilidad de la función inversa.

Una vez que sabemos que una rama de la función inversa está bien de�nida, vamos a establecercondiciones para que sea derivable. Podríamos haberlo dicho en la propiedad anterior, pero preferimosdarle más importancia al siguiente:

4Nos referimos al valor que se llamó c en el enunciado del teorema del Valor Intermedio.


Teorema 5.2.19. Consideremos una función y = f(x) tal que:

f(x) es continua en el intervalo I,f(x) es derivable en el intervalo I, con la posible excepción de sus puntos extremos,f ′(x) > 0 en todo el intervalo I (o bien f ′(x) < 0 en todo el intervalo I ),

entonces, llamando K = f(I) a la imagen del intervalo I, la función inversa f−1 : K → I esderivable en todo su dominio K, con la posible excepción de sus extremos. En cada punto y0 deK la derivada de x = f−1(y) respecto de y está dada por(

f−1)′

(y0) = 1/f ′(x0)

donde x0 = f−1(y0).

Demostración. La función inversa existe y es continua, porque estamos en la situación de lapropiedad anterior. Podemos anticipar que existe x′(y0) porque existe la recta tangente a la grá�cade y = f(x) en el punto (x0, y0) y no es horizontal; es decir, existe la recta tangente a la grá�ca dex = f−1(y) en el punto (y0, x0) y no es vertical.

Ahora podemos calcular x′(y) usando derivación implícita. Sea y = f(x) la relación que describela grá�ca de f , y usemos que existe la función implícita x = f−1(y):

y = f(f−1(y)

)Derivando ambos miembros respecto de y, y evaluando en y0 ∈ (c, d) obtenemos

1 = f ′(f−1(y0)).(f−1

)′(y0)

Pero f−1(y0) = x0 ∈ (a, b) y por hipótesis f ′(x0) 6= 0. Luego podemos despejar(f−1

)′(y0) = 1/f ′(x0)

Completamos así la demostración.2

Veamos un ejemplo en que la función inversa se pueda despejar, y otro en que no se pueda.

Ejemplo 5.2.20. Consideremos la función y = g(x) = x2, de�nida para todo x real. La funcióng(x) es continua y derivable en todo el eje real, con g′(x) = 2x.

Busquemos intervalos en que g(x) sea creciente: la región en que g′(x) > 0 es (0,+∞), luegog(x) es creciente allí. Su imagen, obtenida mirando la grá�ca, es (0,+∞). En consecuencia, g :(0,+∞) → (0,+∞) es biyectiva. La correspondiente rama de la función inversa se anota g−1 :(0,+∞)→ (0,+∞); despejando, esta rama está dada por la fórmula x =

√y = g−1(y).

Después de este estudio analítico, gra�quen para observar que g : (0,+∞)→ (0,+∞) representala rama derecha de la parábola y = x2, y que g−1 : (0,+∞)→ (0,+∞) representa la raíz cuadradacon signo positivo.

Como g′(x) no se anula en (0,+∞), podemos garantizar que la función inversa g−1(y) es derivableen cualquier y0 ∈ (0,+∞), y que la derivada se calcula como(

g−1)′

(y0) = 1/g′(x0) = 1/ (2x0) = 1/(2g−1(y0)

)= 1/ (2

√y0)

Noten que hay que trabajar un poco para que la derivada de g−1(y) quede escrita en función dey; esto es necesario para llegar a una regla práctica, donde aparezca sólo la variable y de la funcióninversa.

Por supuesto, este resultado coincide con las reglas que aprendimos para derivar la raíz cuadrada.Observen que lo hemos analizado sólo para y0 > 0.

Observación 5.2.21. Con más cuidado, podemos trabajar el ejemplo anterior en un intervalomás grande: [0,+∞). Dado que y = x2 es continua en[0,+∞), y derivable y con derivada positivaen (0,+∞), entonces es estrictamente creciente en [0,+∞). La restricción g : [0,+∞) → [0,+∞)es biyectiva.


La correspondiente rama de la función inversa será g−1 : [0,+∞) → [0,+∞); despejando, estarama está dada por la misma fórmula x =

√y = g−1(y) con dominio [0,+∞). El Teorema 5.2.19

asegura que esta función es derivable en (0,+\infty deja como posible excepciónComo ya saben, esta función es derivable en (0,+∞) pero no es derivable en y = 0.

Actividad 5.2.22. Discutan otra función inversa de y = g(x) = x2: repitan el Ejemplo 5.2.20en el intervalo en que la función es decreciente. Deben obtener la función inversa asociada a la otrarama de la parábola.

Un ejemplo importante en que no se puede despejar algebraicamente la función inversa, pero sí sepuede asegurar que existe y es derivable, es el siguiente:

Ejemplo 5.2.23. Consideremos la función y = f(x) = senx, de�nida para todo x real. Lafunción senx es continua y derivable en todo el eje real, con (senx)′ = cosx.

Busquemos intervalos en que senx sea creciente. Proponiendo que (senx)′ = cosx > 0, o bienobservando la grá�ca, vamos a elegir el intervalo x ∈ [−π/2, π/2]: la derivada sen′(x) es positivasólo en el abierto (−π/2, π/2) y la función sen(x) es continua en el cerrado [−π/2, π/2]. La imagende este intervalo, mirando la grá�ca, es el intervalo [−1, 1].

La función inversa sen−1 : [−1, 1]→ [−π/2, π/2] existe y es derivable en (−1, 1). Se llama arcoseno, y se anota como x = arcsen y (o también como x = sen−1(y) ).

En la próxima sección veremos con detalle la función arco seno: dominio, codominio, su grá�casy su derivada.

En la clase de integración discutiremos las inversas de las demás funciones trigonométricas.

5.2.3. Inversas de las funciones trigonométricas

En esta sección y en la clase de integración vamos a presentar la inversa de la función seno. Estafunción inversa da la respuesta a la siguiente pregunta:

si conocemos en seno de un ángulo, ¾cuál será ese ángulo?

Mirando la grá�ca de la función seno vemos que existen en general distintos ángulos que tienen elmismo valor de seno. Signi�ca que existen distintas ramas de función inversa. Por convención vamosa elegir la rama que permita trabajar con ángulos del primer cuadrante. Esta elección se llama ramaprincipal, y es la que van a encontrar en calculadoras y en GeoGebra.

En la clase de integración van a encontrar una presentación similar para las funciones inversas delcoseno y de la tangente. Las preguntas que se discuten allí son:

si conocemos en coseno de un ángulo, ¾cuál será ese ángulo?si conocemos la tangente de un ángulo, ¾cuál será ese ángulo?


Función arco seno. La función inversa del seno se llama arco seno. Si y = sen x, se la anota

x = arcsen(y). Su nombre se re�ere al arco x (o ángulo) tal que sen x = y. Como en realidad existendistintosx tales que sen x = y, para de�nir la función arco seno es necesario hacer restricciones.

Como vimos en el ejemplo 5.2.23, la función y = sen x restringida al intervalo x ∈ [−π/2, π/2] sepuede invertir (vean su grá�ca). No podemos despejar x algebraicamente de la ecuación y = sen x, perola función inversa existe. Para pensarla deben recordar el grá�co, y para dar valores precisos deberánrecurrir a la calculadora.

Se de�ne la rama principal del arco seno como

arcsen : [−1, 1]→ [−π/2, π/2]; arcsen(y) = x siempre que y = sen(x)

Su grá�ca resulta

Como la función y = sen(x) es derivable, con derivada distinta de cero, en (−π/2, π/2), la funciónx =arcsen(y) es derivable en (−1, 1). La derivada se calcula así:

arcsen′(y) = 1/sen′(x) = 1/ cos(x)

Para expresar el resultado en función de y recurrimos a la relación de Pitágoras, sen2(x) + cos2(x) = 1

para despejar cos(x) = ±√

1− sen2(x); como nos restringimos a x ∈ (−π/2, π/2) (primer y cuartocuadrante) sabemos que el coseno es positivo y corresponde usar

cos(x) = +√

1− sen2(x)

Volviendo a la derivada del arco seno,

arcsen′(y) = 1/√

1− sen2(x)

Finalmente, como sen(x) = y,

arcsen′(y) = 1/√

1− y2

Este resultado es muy interesante: permite calcular la derivada de la función arco seno, cuya fórmulano es algebraica, como una expresión algebraica. Deben agregarlo a la tabla de derivadas de funcionesconocidas.

Inversas de las funciones hiperbólicas

Para completar esta clase, vamos a repasar la función seno hiperbólico y presentar su inversa (esoportuno que revisen el �nal de la Clase 1.5).

En la clase de integración, para que tengan el material completo, haremos lo mismo con las funcionescoseno y tangente hiperbólicas.


Función argumento seno hiperbólico. Comencemos con la grá�ca de la función y = senh(x) ≡(ex − e−x)/2

La función es derivable, con senh′(y) = cosh(y) > 0 en todo el eje real. Es decir, es creciente entodo su dominio. Existe la función inversa, que se llama5 argumento seno hiperbólico. Cuando se conoceun valor de senh(y), la función inversa nos da el argumento y de la función seno hiperbólico.

Se de�ne el argumento seno hiperbólico como

argsenh : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞); argsenh(x) = y siempre que x = senh(y)


Si observan la grá�ca de y = senh(x) dibujada más arriba, verán que a y arbitrariamente grandese corresponde con un x arbitrariamente grande:lımx→+∞ arcsenh(x) = +∞ y lımx→−∞ arcsenh(x) = −∞En consecuencia, esta función no tiene asíntotas horizontales.

Actividad 5.2.24. Calculen la derivada de la función x = argsenh(y). Si se guían por elejemplode la derivada del arco seno, y usando que cosh2 x− senh2x = 1, deben llegar a

argsenh′(y) = 1/√

1 + y2

(observen el parecido con arcsen′(y), no se las confundan!). Agreguen este resultado a la tablade derivadas.

5.2.4. Ejercicios

Ejercicio 5.2.1. Consideremos la función f(x) = x3 + 3x.

Veri�car que se cumplen en todo punto las condiciones para que y = f(x) tenga inversax = g(y).Calcular f(0), f(1), f(−1).

5También pueden encontrarla como arco seno hiperbólico.


Calcular g(4), g(0), g(−4).Calcular g′(4) , g′(0), g′(−4).Gra�quen f e interpreten los resultados obtenidos para g′.

Ejercicio 5.2.2. Supongamos f(x) derivable y monótona. Si f(4) = 5 y f ′(4) = 2/3, hallar(f−1

)′(5). Hagan un grá�co esquemático con la información de este ejercicio.

Ejercicio 5.2.3. Hallen los mayores intervalos donde la función y = f(x) admite una funcióninversa x = f−1(y), determinen el dominio de f−1(y) y hallen una expresión para su derivada. De serposible expresen

(f−1

)′(y) en términos de y.

(a) f(x) = (x+ 1)3 + 2; (b) f(x) = x4 − 2x2; (c)f(x) = ln(x− 3).

Ejercicio 5.2.4. Hallen(f−1

)′(0) de dos maneras: como derivada de la función inversa y despe-

jando efectivamente x como función de y.

(a)f(x) =x− 1

x; (b) f(x) =

1

x3− 8.

Ejercicio 5.2.5. Sea f(x) = 2x+ cosx. Prueben que admite inversa en toda la recta y hallen suderivada.

Gra�quen e interpreten.

Ejercicio 5.2.6. Dada la función y = f(x) = −x3 + 6x2 − 9x+ 3,(a) Comprobar que (x, y) = (2, 1) pertenece a la grá�ca de f .(a) Hallar el mayor intervalo donde la función y = f(x) admite una función inversa x = f−1(y) tal quef−1(1) = 2.(b) ¾Cuál es el dominio y el codominio de la función f−1(y) de�nida en el inciso anterior?(c) Calcular

(f−1

)′(1).

Ejercicio 5.2.7. Las funciones homográ�cas son invertibles. Analizar el caso y = f(x) =2x+ 1

x− 2(a) Analizando la continuidad y el crecimiento de f(x), determinar las posibles ramas de x = f−1(y)y dar la expresión de sus derivadas.(b) Despejando x en función de y, dar la forma explícita de la función inversa y veri�car la derivadaobtenida en el inciso (a).(c) Gra�car y = f(x) y x = f−1(y). Veri�car que los grá�cos muestran la simetría característica defunciones inversas.

Desafío (para pensar más) 5.2.8. Gra�quen cada situación y respondan, justi�cando, cadapregunta.

Si f(x) es una función par, ¾existe f−1(x)?Supongamos f(x) invertible en toda la recta real. ¾Es posible que f = f−1?

CLASE 5.3. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN: EXPONENCIALES, LOGARITMOS, ARCOS TRIGONOMÉTRICOS Y ARGUMENTOS HIPERBÓLICOS.217

Clase 5.3. Actividades de Integración: exponenciales, logaritmos, arcos trigonométricosy argumentos hiperbólicos.

Contenidos de la clase: Revisión de exponencial y logaritmo naturales como funcionesinversas. Exponencial y logaritmo de base b > 0.Inversas de funciones trigonométricas e hiperbólicas. Ejercitación.

Aprovechando que la función logaritmo es la inversa de la función exponencial (como repasamosen la Unidad 1), esta clase de integración está dedicada a varios aspectos del uso de exponenciales ylogaritmos, en base natural e y en otras bases distintas.

Luego completamos las inversas de funciones trigonométricas e hiperbólicas, siguiendo el modeloya visto con el arco seno y el argumento seno hiperbólico.

5.3.1. Exponencial y logaritmo naturales

Recordemos que todavía no de�nimos rigurosamente la función exponencial natural, ni la funciónlogaritmo natural. Hemos trabajado con ellas a partir de sus grá�cas, y el uso de calculadoras. Síhemos insistido en la Unidad 1 que estas funciones son una inversa de la otra. También repasamos susprincipales propiedades.

Para no demorar el uso de estas funciones tan importantes en Ciencias preferimos, como se haceen el colegio secundario y como insisten algunos libros universitarios modernos, trabajar con la funciónexponencial antes de de�nirla rigurosamente. Por eso las hemos repasado en la Unidad 1 trabajandosus principales propiedades.

En esta clase de integración vamos a aceptar la función exponencial natural y sus propiedades, yanalizar con más cuidado la de�nición del logaritmo natural como función inversa de la exponencialnatural. Lo mismo podemos hacer con base b 6= e. Algunos enunciados parecen repetidos con los de laUnidad 1, aunque ahora podemos probar ciertas propiedades que antes sólo habíamos enunciado.

Actividad 5.3.1. Aceptemos que la función exponencial natural x = exp(y) es derivable, y quesu derivada es exp′(y) = exp(y) (repasen su grá�ca en la Clase 1.5).

Repasemos la de�nición de la función logaritmo natural como inversa de la exponencial:

ln : (0,+∞)→ (−∞,+∞); y = ln(x) siempre que exp(y) = x

Estudiando si la exponencial es biyectiva, prueben que esta de�nición tiene sentido y es laúnica rama inversa posible.Prueben que y = ln(x) es derivable en todo su dominio.Usando la fórmula de derivación de la función inversa, prueben que

ln′(x) = 1/x

(esto justi�ca la regla de derivación enunciada en la Unidad 3)Prueben que y = ln(x) es creciente en todo su dominio.

5.3.2. Función exponencial de base b

A partir de las funciones exponencial y logaritmo naturales, que ya damos por conocidas, podemosescribir una de�nición fundamentada del cálculo de una exponencial con otras bases (repetimos aquílas de�niciones 1.5.25 y 1.5.27):

Definición 5.3.2. Dado un número real b positivo, y un número real x cualquiera, se de�ne laexponencial de base b como

expb(x) = ex ln b

Por sus propiedades, se usa notación de potencias escribiendo expb(x) ≡ bx. En este sentido nospodemos referir a b como base y a x como exponente.

Además de las propiedades de cálculo que vimos en la Unidad 1, podemos a analizar bx comofunción:


Actividad 5.3.3. Consideren la función y = bx, con una base b > 0 �ja y x como variable.

¾Cuál es el dominio de y = bx? ¾Cuál es la imagen de y = bx?Prueben que la función y = bx es derivable en todo su dominio, y calculen su derivada(sugerencia: usen funciones conocidas y la regla de la cadena).Recuerden agregar en la tabla de derivadas (bx)′ = (ln b)bx , o bien recuerden que se puedeescribir escribir bx = ex ln b y luego derivar usando la regla de la cadena.Estudien el signo de (bx)′. Si 0 < b < 1, ¾cómo es el crecimiento de bx? Si b > 1, ¾cómo esel crecimiento de bx? ¾y si b = 1?Interpreten y = bx = e(ln b)x como una transformación de escala de la función exponencialnatural. ¾cómo es la grá�ca de y = bx para distintos valores de b > 1? ¾cómo es la grá�cade y = bx para distintos valores de 0 < b < 1?

5.3.3. Derivación de xr con r real

Veamos otra aplicación importante de exponenciales de base distinta de la base natural. Tomemosla base como variable x y el exponente �jo, y tendremos una función

y = f(x) = xr

La expresión está bien de�nida, como vimos, para base x > 0. Además, coincide con las potenciasalgebraicas siempre que x lo permita (natural, entero, racional).

Actividad 5.3.4. Estudiemos la función f(x) = xr, con r real �jo. Es decir, f(x) = er ln(x).

Indiquen su dominio.Indiquen si es derivable respecto de x.Calculen la derivada y comprueben que (xr)′ = r xr−1

Indiquen si es continua.Según el valor de r, indiquen si la función es creciente, decreciente o constante.Gra�quen f(x) = xr para varios valores de r. Comparen las grá�cas.

5.3.4. Función logaritmo de base b.

Intentemos hallar una función inversa para x = expb(y) = by. Recordemos (actividad 5.3.3) queexpb : R → (0,+∞) es biyectiva cuando 0 < b < 1 o cuando b > 1, pero no lo es cuando b = 1(x = 1y = 1 es una función constante, no es inyectiva). Recordemos (Unidad 1) la de�nición dellogaritmo de base b, como inversa de la exponencial de base b, para b > 0 y b 6= 1:

logb : (0,+∞)→ R; logb(x) = y siempre que x = by

Actividad 5.3.5. Calculen, como función inversa, la derivada de y = logb(x).

Ejercicio 5.3.1. Calcular el dominio natural y las funciones derivadas de las siguientes funciones.(a) f(x) =

(x2 + 1

)x; (b)f(x) = xsenx; (c)f(x) =

(x2 − 1

)x; (d)f(x) = log3(2x− 1).

5.3.5. Más funciones inversas

Esta sección es "enciclopédica": les presentamos como referencia las inversas de las funciones coseno,tangente, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica. Si no llegan a verlas ahora, recuerden que este esel lugar en nuestra guía donde pueden consultarlas. Por otro lado, para que se acostumbren a jugar conlas letras, escribimos las funciones que vamos a invertir como x = f(y). De esta manera, las inversasquedan escritas como y = f−1(x).

Luego les proponemos algunos ejercicios variados (derivadas, recta tangente, límites, etc.) dondese trabaja con estas funciones.


Función arco coseno. Comencemos con la grá�ca de la función x = cos(y):

La restricción que marcamos incluye el primer cuadrante, y el mayor intervalo en que x = cos(y)se mantiene decreciente, es decir y ∈ [0, π]. Permite de�nir la rama principal del arco coseno como

arccos : [−1, 1]→ [0, π]; arccos(x) = y siempre que x = cos(y)


Como la función x = cos(y) es derivable, con derivada distinta de cero, en (0, π), la función arccos(x)es derivable en (−1, 1). La derivada se calcula así:

arccos′(x) = 1/cos′(y)

Trabajen este resultado hasta llegar a la fórmula práctica

arccos′(x) = −1/√

1− x2

Como sucede con la derivada del arco seno, la función derivada del arco coseno se expresa conuna fórmula algebraica. Además, es muy parecida a la de arcsen′(x); esto se debe a que las grá�casde seno y coseno se relacionan por traslación. No olviden agregar arccos′(x) a la tabla de derivadas defunciones conocidas.

Función arco tangente. Comencemos con la grá�ca de la función x = tan(y):


La restricción que marcamos incluye el primer cuadrante, y el mayor intervalo en que x = tan(y) semantiene creciente, es decir y ∈ (−π/2, π/2). La imagen de la función tan(y) en este intervalo resultaser todo el eje real. Entonces se puede de�nir la rama principal del arco tangente como

arctan : (−∞,+∞)→ (−π/2, π/2); arctan(x) = y siempre que x = tan(y)


Como la función x = tan(y) es derivable, con derivada distinta de cero, en (−π/2, π/2), la funciónarctan(x) es derivable en todo el eje real. La derivada se calcula con la regla:

arctan′(x) = 1/ tan′(y)

Trabajen este resultado hasta llegar a la fórmula práctica

arctan′(x) =1

1 + x2

(ayuda: a partir de la relación pitagórica cos2 x + sin2x = 1 dividan ambos miembros por cos2 x paraobtener 1 + tan2 x = 1/ cos2 x. Luego pueden escribir cos2 x = 1/(1 + tan2 x).)

Es interesante destacar que, aunque no tenemos una expresión algebraica para arctan(x), para lafunción derivada tenemos una expresión racional (un sencillo cociente de polinomios). Agreguen estafórmula a la tabla de derivadas.

Recuerden que arctan(x) es derivable en todo el eje real, y que su derivada es siempre positiva.Si bien arctan(x) es siempre creciente, no tiende a +∞: existe lımx→+∞ arctan(x) = π/2. Tambiénexiste lımx→−∞ arctan(x) = −π/2 (para justi�car estos límites, analicen las asíntotas verticales dex = tan y). En consecuencia, posee dos asíntotas horizontales: y = −π/2 e y = π/2.


Ejercicio 5.3.2. Gra�quen las funciones trigonométricas inversas junto con sus derivadas y susderivadas segundas. Observen las regiones de crecimiento y de concavidad, en relación con el signo delas derivadas.

Función argumento coseno hiperbólico. Completemos ahora las inversas de las funciones trigo-

nométricas hiperbólicas. Comenzamos con la grá�ca de la función x = cosh(y) ≡ (ey+e−y)/2 (atención,aunque les parezca, no es una parábola):

La función es derivable, con cosh′(y) = senh(y) en todo el eje real. Esta derivada es positivaen (0,+∞), por lo que cosh(y) es creciente en [0,+∞). Además, la imagen de este intervalo resulta[1,+∞). En consecuencia tenemos una restricción biyectiva que permite de�nir la rama principal delargumento coseno hiperbólico como

argcosh : [1,+∞)→ [0,+∞); argcosh(x) = y siempre que x = cosh(y)


Ejercicio 5.3.3. Calculen la derivada de la función argcosh(x). Deben llegar a

argcosh′(x) = 1/√x2 − 1

(observen el parecido con la derivada de arccos(x), no se las confundan!). Agreguen este resultado a latabla de derivadas.

Función argumento tangente hiperbólico. La función x = tanh(y) ≡ senh(y)/cosh(y) estáde�nida en todo el eje real, y su imagen es el intervalo (−1, 1). Les dejamos como ejercicio de�nir yanalizar su función inversa, llamada argumento tangente hiperbólico.

Ejercicio 5.3.4. Gra�quen la función x = tanh(y). Siguiendo el modelo de las otras funciones"arco" y "argumento",

Indiquen su dominio y su imagen. Indiquensus asíntotas.


Calculen su derivada.Identi�quen la mayor región de crecimiento posible.De�nan el argumento tangente hiperbólico como inversa de la tangente hiperbólica.Construyan la grá�ca del argumento tangente hiperbólico (mostrada más abajo).Hallen su derivada, hasta llegar a la expresión

argtanh′(x) =1

1− x2, en el intervalo (−1, 1)

Ejercitación con inversas trigonométricas e hiperbólicas.

En los siguientes ejercicios proponemos trabajar lo que hemos aprendido en las unidades anterioresen situaciones que involucran funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas.

Ejercicio 5.3.5.

Calculen arc cos 0, arc cos√

22 , arc sen 1, arc sen 1

2 , arctan√

3.¾Por qué si tanπ = 0, no es trivialmente cierto que arctan 0 = π?

Ejercicio 5.3.6. Escriban la ecuación de la recta tangente a f(x) = arc senx en el punto x =√

22 .

Ejercicio 5.3.7. Determinen el dominio natural de cada función. Hallen una fórmula para suderivada e indiquen el dominio de la misma.

(a) f(x) = arcsen(2x); (b) f(x) = arcsen x+ x√

1− x2; (c)f(x) = arc cos(ex);(d)f(x) = ln(arctanx), (e) f(x) = argtanh(x/2), (f)g(x) = 2x+ argcosh(x+ 1).

Ejercicio 5.3.8. Hallen los extremos locales de la función f(x) = arc senx − 2x en su dominionatural. ¾Algún extremo es absoluto? Justi�quen la respuesta.

Ejercicio 5.3.9. Calculen los siguientes límites:

(a) lımx→+∞

arctan

(x+ 1

x

); (b) lım

x→+∞arctan

(x2 + 1

x

); (c) lım

x→0−arctan

(x2 + 1

x

).

(b) ¾Alguna de estas funciones posee asíntota horizontal, o vertical? De ser así, dibujen las asíntotas yescriban sus ecuaciones.

Ejercicio 5.3.10. Gra�quen la función f(x) = arctan(x2), analizando todas las características dela función (hagan un análisis cualitativo completo, como discutimos en la Clase 4.3).


Observación 5.3.6. Por completitud, antes de terminar esta Unidad queremos mencionar al-gunas formas de de�nir con precisión y formalidad las funciones exponencial y logaritmo.

Existen varias formas distintas (todas equivalentes entre sí) de de�nir la función exponencialnatural exp : R → (0,+∞), y luego se puede de�nir la función logaritmo como su inversa. Todasestas formas involucran límites, y su estudio riguroso se puede hacer recién después de un curso deAnálisis Matemático. Para satisfacer la curiosidad, una de�nición posible es la siguiente: dado unnúmero real x, se construye la sucesión asociada an = (1 + x/n)n, con n natural; se prueba queexiste lımn→∞ an y da un valor real �nito (es un límite muy delicado, se multiplica n veces por símismo un número que, para n grande, se hace arbitrariamente cercano a 1). Entonces,

exp(x) = lımn→∞

(1 + x/n)n

Noten que la construcción de la sucesión an es algebraica, involucra sumas, productos y cocientes;el límite para n→∞ hace el resto. En nuestro curso, esta de�nición no nos resulta manejable y nonos sirve en la práctica para calcular la exponencial o probar sus propiedades.

También es posible de�nir primero el logaritmo natural mediante integrales, y luego de�nir lafunción exponencial natural como su inversa. Este camino también requiere un curso de AnálisisMatemático completo. Les contaremos más al �nal de este curso, después de estudiar integrales.

Unidad 5: Funciones Implícitas y Funciones Inversas

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