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Funciones trigonométricas: En este bloque trabajarás con las funciones

trigonométricas que no son más que la extensión de la definición de las

razones trigonométricas. Los valores de estas funciones son extensiones del

concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en unacircunferencia unitaria. Pero, qué es una circunferencia unitaria, lo

resolveremos para que vayas muy preparado a tu clase.

La circunferencia unitaria es una circunferencia de radio uno, es el lugar

geométrico resultante de los puntos en el plano que se mantienen a una unidad

de distancia respecto de un punto llamado centro que es el origen (0, 0) de un

sistema de coordenadas cartesianas.

Todos los puntos que se encuentran en ella tienen coordenadas (x, y) y la

distancia entre cualquiera de ellos y el origen es igual a la unidad.

Coseno:

Ley de los cosenos

La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo

incluído son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas.

En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos  porque no podemos

establecer una proporción que pueda resolverse.

La ley de los cosenos establece:

c2 = a

2 + b2  –  2abcos C  

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Ejemplo 1.Dos lados de un triángulo miden 6 y 10, y el ángulo que forman es de 120°.Determine la longitud del tercer lado.Solución.Supongamos que a = 6, b = 10, C =120° , y el tercer lado es c . Entonces por la

Ley de Cosenos tenemos que:2 2 22 2 222

26 10 2 6 10 120136 100 2 6 102196c a b abcosC_c ( )( )cos

c ( )( )c= + − = + − ° = + − _ − _ _ _   _=Por lo tanto c = 14.Ejemplo 2.Un triángulo ABC tiene lados AB = 3, BC = 1 y AC = 2. Determine las medidasde sus ángulos.Solución.En este caso, tenemos que c = 3, a = 1 y b = 2. Entonces aplicando la ley deCosenos obtenemos:

( )2 2 222 2

23 1 2 2 1 212 __________c a b abcosC_

 ____ ( )( )cosCcosC= + − = + −  _ =Por lo tanto C = 60° .Por otra parte tenemos que:

( ) ( ) ( )( )2 2 222 2

2

1 2 3 2 2 33

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2 __________a b c bc cos A ________ cos A _ cos A= + − 

= + −  _ =Por lo tanto A = 30° . Así, calculamos el tercer ángulo: B =180° − A−C =180° − 30° − 60° = 90° .Luego, el triángulo tiene ángulos de 30°, 60° y 90°.

Ley de seno

Ley de seno - definición

La ley de seno es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y

ángulos de un triángulo cualquiera. En ocasiones necesitarás resolver ejercicios queenvuelven triángulos que no son rectángulos. La ley del Seno y la del coseno son muyconvenientes para resolver problemas de triángulos en los que no hay ningún ángulorectángulo como los discutidos en la sección de trigonometría básica. 

Veamos el siguiente triángulo:

Podemos realizar el siguiente procedimiento:

En ΔAMC  aplicamos el seno de A y obtenemos y/b = sen A

despejamos para y, obtenemos ------> y= b sen A

En ΔBMC  aplicamos el seno de B y obtenemos y/a = sen B

despejamos para y, obtenemos -------> y= a sen B

Igualamos ambas expresiones y=y de forma que: b sen A = a sen B

Entonces:

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La ley del seno nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ánguloopuesto a el en todo triángulo es constante.

La ley del seno se escribirá como sigue:

Ejemplo 1: Dado dos ángulos y un lado no incluído (AAL).  

Dado ∆ABC con A = 30°, B = 20° y a = 45 m. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.

El tercer ángulo del triángulo es

C = 180° –   A –  B = 180° –  30° –  20 ° = 130°

Por la ley de los senos,

Por las propiedades de las  proporciones 

Ejemplo 2: Dado dos ángulos y un lado incluído (ALA).  

Dado A = 42°, B = 75° y c = 22 cm. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.

El tercer ángulo del triángulo es:

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Notación: se define sin2α como (sin α)

2. Lo mismo se aplica a las demás funciones

trigonométricas. 

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Grafica del ceno coseno y tangente

En

términos de