Funciones polinomicas y cuadrática

7/29/2019 Funciones polinomicas y cuadrtica

1/7

Licenciatura en Administracin Segundo Cuatrimestre

Geometra y Algebra Ao 2012

1

FUNCIONES POLINOMICAS

Una funcin polinmicas de grado n es una funcin de la forma:

Donde nes un entero no negativo yLos nmeros son los coeficientes del polinomio, es el coeficiente principal,

es el trmino independienteEl Dom de las funciones polinmicas es el conjunto de los reales.

Las grficas de polinomios de grado 0 o 1 son rectas, las grficas de polinomios de grado 2 sonparbolas. Mientras mayor es el grado del polinomio, ms complicada ser la grfica. Sinembargo siempre se trata de curvas continuas.Las funciones polinmicas ms simple son los polinomios P(x)= , cuyas grficas se muestran,observe que la grfica de P(x)= tiene la misma forma general que y=x2 cuando n es par y lamisma forma general que y=x3 cuando n es impar. Sin embargo, a medida que el grado n esms grande, las grficas se vuelven ms planas respecto al origen y ms inclinadas en otraparte.

Y=x y=x2 y=x3

-1 1

-1

1

x

y

-1 1

-1

1

x

y

-1 1

-1

1

x

y

y=x4

-1 1

-1

1

x

y

y=x5

-1 1

-1

1

x

y

El comportamiento extremo de las funciones polinmicas se determina por el grado, y el signodel coeficiente principal, como se aprecia en los grficos anteriores

Los tipos bsicos de transformaciones (c>0) que se le aplica a una funcin y = f(x)son:

Traslacin horizontal de c unidades a la derecha

Traslacin horizontal de c unidades a la izquierda

Traslacin vertical de c unidades hacia abajo

Traslacin vertical de c unidades hacia arriba

Reflexin (eje x)

Reflexin (eje y)


2/7



2

Teniendo en cuenta las grficas mostradas anteriormente y las transformacionesque se le aplica a una funcin bosqueje las graficas de las funciones:

Si P(x) es una funcin polinmica, entonces c es un cero de P si P(c)=0.Sea c un cero de la funcin P(x) de multiplicidad m, si m es un nmero impar la grficaatraviesa el eje de las x, si mes par la grfica rebota en el eje de las x, como se puede observaren el siguiente ejemplo:

Sea

Se observa que en x=-1 y en x=0 la grfica rebota por tener esas races multiplicidad par,mientras que x=2 tiene multiplicidad impar, la grfica atraviesa el eje x.

-2 -1 1 2

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y


3/7



3

FUNCINCUADRTICA

Se trata de las funciones cuya ecuacin es un polinomio de segundo grado, es decir,f (x) = ax2 + bx + c , donde a 0. Por tratarse de una funcin polinmica, su dominio es elconjunto de los nmeros reales.

La funcin cuadrtica ms sencilla esy=x2, cuando a =1, b =0, c =0. La representacin grficade esta funcin es la siguiente:

Observemos en el grfico, que el menor valor que tomayes 0, cuandox= 0, y queyno puede tomar valores negativos puesto que es de la forma y = x2. La imagen,entonces de esta funcin es: Im(f) = [0,+ ).El grfico que representa a las funciones cuadrticas se denomina parbola. En unaparbola distinguimos: vrtice y eje de simetra.

El vrtice es el punto donde la funcin alcanza su mximo o su mnimo valor. En elejemplo dado, el vrtice es el punto (0, 0) y es el mnimo valor que alcanza lafuncin.El eje de simetra es la recta verticalx=0 o el ejey.

Las ramas de la parbola estn orientadas hacia lasypositivas (hacia arriba).

FORMAS POLINMICA Y CANNICA DE UNA FUNCIN CUADRTICA

La expresin de la funcin cuadrtica f (x) = ax2 + bx + c recibe el nombre de formapolinmica de la funcin.Si a esta forma aplicamos el procedimiento de completamiento de cuadradosobtenemos una expresin de la forma: f (x) = a(x - h)2 + k , lo que se conoce como formacannica de la funcin cuadrtica.

Ejemplo:Sea f (x) = 2x2 + 8x- 5 la forma polinmica de una funcin cuadrtica para transformarla aforma cannica procedemos del siguiente modo:

En primer lugar sacamos factor comn al coeficiente principal

Luego completamos el cuadrado para ello consideramos los dos primeros trminos que figuran

en el parntesisOperamos dentro del corchete

Por ltimo aplicamos propiedad distributiva para obtener la forma cannica, donde a =2, h=-2 y k=-13

Ejercicios:1) Dar la expresin cannica de las siguientes funciones cuadrticas:a)b) +12

2) Dar la expresin polinmica de la siguiente funcin cuadrtica:

-2 -1 1 2

1

2

3

4

x

y


4/7



4

DESPLAZAMIENTOS DEL GRFICO DE UNA FUNCIN CUADRTICA

Vamos a analizar qu sucede con el grfico de una funcin cuadrtica al variar los parmetrosa, h y ken la expresin cannica de la funcin.Supongamos h = 0 y k= 0, entonces la funcin cuadrtica resulta de laforma

En el siguiente grfico se pueden observar la parbolas que resultan dehacer a = 1,

a = 1, a = 3, a = 3, a = , identifica cada una

Observemos:- Si a >0 las ramas de la parbola se orientan hacia lasypositivas.- Si a 0 la parbola se desplaza sobre el eje x, hacia lasxpositivas (a la derecha).

Si h < 0 la parbola se desplaza sobre el eje x, hacia las xnegativas (a la izquierda).

Supongamos a = 1 y h = 0, entonces la funcin tiene laforma .En el siguiente grfico se pueden observar la parbolas que resultan dehacer k= 0, k= 1, k= 2, k= 7 y k= 6.

Identifica cada uno-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

2

4

6

x

y

-10 -5 5 10

-5

5

10

15

x

y


5/7



5

Si k> 0 la parbola se desplaza sobre el ejey, hacia lasypositivas (hacia arriba).Si k< 0 la parbola se desplaza sobre el ejey, hacia lasynegativas (hacia abajo).

Tomando como referencia la parbolay= podemos obtener el grfico de cualquierfuncin cuadrtica teniendo en cuenta la siguiente conclusin:Dada la forma cannica de una funcin cuadrtica , se tiene que:

El valor de a indica la amplitud y el sentido de las ramas de la parbola. El valor de h indica el desplazamiento horizontal (izquierda-derecha) de la parbola. El valor de kindica el desplazamiento vertical (arriba-abajo) de la parbola.

Vimos que el vrtice de la parbola y = es el punto (0, 0). Ahora, teniendo en cuenta losdesplazamientos analizados podemos inferir que el vrtice de una funcin cuadrtica de laforma f (x) = es el punto (h, k), ya que todos los puntos de su grfica estndesplazados h unidades en la direccin del eje de las x y kunidades en la direccin del eje de

lasy.Es til determinar cul es el vrtice de una parbola pues facilita hallar su grfica. Por lo tanto,dada una funcin cuadrtica en forma polinmica slo necesitamos obtener su expresincannica para poder determinar su vrtice y de esta manera poder graficarla fcilmente.En una parbola, tambin distinguimos, como se dijo anteriormente, el eje desimetra. ste divide a la parbola en dos ramas simtricasEste eje de simetra es una recta paralela al ejeyque pasa por el vrtice de la parbola.Por lo tanto, la ecuacin de dicho eje est dada porx = h.

Ejercicios:

1) Representar grficamente las siguientes funciones cuadrticas. Indicar dominio e imagen,coordenadas del vrtice y ecuacin correspondiente al eje de simetra.a)b)c)d)

2) Encontrar la ecuacin de una funcin cuadrtica que tenga vrtice en el punto (2, - 4) ypase por el punto (1, 1).

RACES DE UNA FUNCIN CUADRTICA

Al igual que las races (o ceros) de una funcin lineal, las races de una funcincuadrtica son los valores dexque anulan la funcin, es decir verifican laecuacin . Grficamente los puntos (x, 0) , conxraz de la funcin,son los puntos de interseccin entre la grfica de la funcin y el ejex.Ejemplo:Consideremos la funcin y busquemos cules son sus races.Para ello debemos resolver la ecuacin = 0, Aplicando la

frmula x= obtenemos las races, para ello

reemplazamos a a =1, b=-2, c=-8

Luego, las races son:x1 = -2 yx2 = 4Por lo tanto, como se puede observar en el grfico, los puntos de interseccin dela funcing(x) con el ejexestn dados por (-2, 0) y (4, 0) .

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-5

5

x

y


6/7



6

Ya hemos visto que una ecuacin de segundo grado puede tener 2 races reales distintas, 1sola raz real o no poseer races reales, esto depende del discriminante.

Se llama discriminante al radicando de la frmula

El signo del discriminante es el que determina si la funcin cuadrtica tiene dos races realesdistintas, si tiene una raz doble o si carece de races reales

> 0 la parbola corta en dos puntos diferentes al eje de las abscisas= 0 la parbola tiene un punto en comn con el eje de abscisas.

la parbola no tiene puntos en comn con el eje de abscisas

Ejercicios:1) Escribir la ecuacin de una funcin cuadrtica con una sola raz real y realizar su grfico.

2) Escribir la ecuacin de una funcin cuadrtica con dos races y realizar su grfico.3) Escribir la ecuacin de una funcin cuadrtica que no posea races reales y realizar sugrfico.4) Determinar, ayudndose con el grfico, el conjunto de positividad de la funcin

, es decir, los valores dexpara los cuales se satisface la desigualdad

5) Determinar, ayudndose con el grfico, el conjunto de negatividad de lafuncin , es decir los valores de x para los cuales se satisface ladesigualdad < 0 .

6) Analizar si los siguientes puntos pertenecen o no a la parbola definida pora) (2 , 5 ) b) (-1 , 10) c) ( 0, 7 ) d) ( -1 , 17 )

7) Completar:a) La parbola crece en el intervalo ..........b) La funcin toma sus imgenes en el intervalo .........

8) ) a) Si en una parbola cuyo vrtice es (-3 , 5) , un punto de la misma es (50 , 8 ) Cul es susimtrico?

b) Es posible que una parbola pase por los puntos (50,2) y ( - 50 , 2) y su vrtice sea( 0 , 3). Justificar

c) Cul puede ser el vrtice de una parbola que pase por los puntos (-4,0) y (2 , 0) ?

9) Si sabemos que la grfica de la funcin pasa por el punto (2 , 1):a) Calcular el valor de c b) Averiguar si dicha grfica corta al eje de las abscisas.

10) Hallar una expresin de la funcin cuadrtica tal que:a) Corte al ejexen 2 y 5 y tenga las ramas hacia arribab) Las races son

13x y

25x y la ordenada del vrtice es 4y

c) Tenga races en 1 y 4 y la imagen de la funcin sea el intervalo .

11) La funcin demanda de una producto es p=100-2q, donde p es el precio por unidad cuandolos consumidores demandan q unidades ( por semana). Determine el nivel de produccin quemaximiza el ingreso total del producto, e indique cual es este ingreso.


7/7



7

12) La funcin demanda para la lnea de reglas de plstico de una compaa deartculos para oficina es p= 0,85-0,00045 q, donde p es el precio por unidad cuando losconsumidores demandan q unidades diarias. Determine el nivel de produccin que maximizarel ingreso total del fabricante e indique cul es ese ingreso.

13) Una compaa de marketing estima que n meses despus de la introduccin de un nuevo

producto al mercadof(n) miles de familias lo usarn, donde ,

Estime el nmero mximo de familias que usar el producto.

14) La utilidad diaria por la venta de una variedad de plantas en un vivero se determina con, donde x es el nmero de plantas vendidas. Cul es la mxima

utilidad diaria? Cuntas plantas venden para alcanzar esa utilidad?

15) La efectividad de un comercial de televisin depende de cuntas veces lo vea untelevidente. Despus de algunos experimentos una agencia de publicidad determina que si la

efectividad E se mide en una escala de 0 a 10 entonces , donde n es el

nmero de veces que un televidente ve un comercial. Para que un comercial tenga efectividadmxima cuntas veces lo debe ver un televidente?

Funciones polinomicas y cuadrática

Documents

Transcript of Funciones polinomicas y cuadrática