FUNCIONES PERIÓDICASUna función periódica f(t) cumple que para todo valor de t :

f(t) = f(t + T) .

Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante T que cumple lo anterior se le l lama el periodo fundamental (o simplemente periodo) de la función.

Observa que:

f (t) = f(t + nT) , donde n = 0, ±1, ± 2, ±3,...

Cuestión: ¿Es f(t) = cte. una función periódica?

1

Ejemplo: ¿Cuál es el periodo de la función

Si f(t) es periódica se debe cumplir:

Como cos(t + 2kπ) = cos(t) para cualquier entero k , entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere que:

T/3 = 2k1π y T/4 = 2k2π.Es decir:

T = 6k1π = 8k2πcon k1 y k2 enteros.

El valor mínimo de T se obtiene con k1= 4, k2= 3, es decir, T = 24π.

2

?coscos 43 )()(f(t) tt +=

)()(T)f(t TtTt43 coscos ++ +=+ )()(f(t) tt

43 coscos +==

Gráfica de la función

3

0 50 100 150 200-3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24π

T

)()(f(t) tt43 coscos +=

¿Es la suma de dos funciones periódicas una función periódica?Depende. Consideremos la función:

f(t) = cos(ω1t) + cos(ω2t).

Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que:

ω1T = 2π m y ω2T = 2π n .Es decir, que cumplan:

T = m/ (2π ω1) = n/ (2π ω2)4

n

m=2

1

ωω

Ejemplo: para la función cos(3t) + cos((π+3)t) tenemos que

¿Es periódica?

5

π+=

ωω

3

3

2

1

0 5 10 15 20 25 30-2

-1

0

1

2

f(t)=cos(3t)+cos((3+π)t)

t

f(t)

Para que exista periodicidad ω1/ ω2 debe ser

un número racional (n/m).

Ejercicios: Encontrar el periodo de las

siguientes funciones, si es que son periódicas:

• f(t) = sen(nt) , donde n es un entero.

• f(t) = sen2(2πt)

• f(t) = sen(t) + sen(t + π/2 )

• f(t) = sen(ω1t) + cos(ω2t)

• f(t) = sen(√2 t)

6

7

Si f1(t) tiene periodo T1 y f2(t) tiene periodo T2,

¿es posible que f1(t) + f2(t) tenga periodo

T < min(T1,T2)?

T1 = 5

T2 = 5

T = 2,5

8

Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan pequeño como queramos. Sea N un entero, y definamos:

<<

≤≤=

11

,0

10),2(

)(1

tN

NttNsen

tfπ

<<

≤≤=

11

),2(

10,0

)(2

tN

tNsen

Nt

tfπ

extendida periódicamente con T = 1:

+∞<<∞−+= ttftf ),1()( 11

extendida periódicamente con T = 1:

+∞<<∞−+= ttftf ),1()( 22

+∞<<∞−+++<≤

=+ttftf

ttNsentftf

),1()1(

10,)2()()(

2121

π

NNT

1

2

22 ===π

πωπ

9

¿Puede una función f(t) cumplir la condición f(t) = f(t + T) para todo t y no tener un periodo fundamental?

=enterounes nosi0

enterounessi1)(1 t

ttf

1

enterossonnoysi0

enterossonysi1)()( 11

=⇒

++

=+=

T

Ttt

TttTtftf

10

=enterounesoirracionalessi0

enterounnoperoracionalessi1)(2 t

ttf

1

enterosoesirracionalsonysi0

enteros noperoracionalessonysi1)()( 22

=⇒

++

=+=

T

Ttt

TttTtftf

=+irracionales si0

racionalessi1)()( 21 t

ttftf

T = ?

11

...3

)3(

2

)2(

2+++=− tsentsen

tsentπ

¿Cómo lo alcanzó?

Volvamos al resultado de Euler:

++=+++=

...)(

...)(32

32

titiit

titiit

eetSe

eeetS

t

tseni

e

etS

it

it

cos12

1

2

1

1)(

−+−=

−=

{ }...)3()2(...)3cos()2cos(cos

...)(

2

1

32

+++++++=+++=

−

tsentsentsenittt

eeetS titiit

2;

4...

7

1

5

1

3

11

2

2

1...

3

)3(

2

)2(

4

πππ

π

=+−=+−+−→=

+−=+++

CCt

Cttsentsen

tsen

Integrando término a término:

Utilizando la fórmula de Euler para cada término:

Particularizamos t para encontrar C:

12

...3

)3(

2

)2(

2+++=− tsentsen

tsentπ

...3

)3(

2

)2()(

22

...3

)3(

2

)2()(

2

−−−−=+

+−+−+−=+

tsentsentsen

t

tsentsentsen

t

π

π

13

(1) La función de Euler es periódica de periodo T = 2π.

(2) La serie es una función impar.No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de periodos enteros.

(3) En el intervalo 0 < t < 2π, la serie aproxima a (π-t)/2.Pero no fuera del intervalo...

(4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos.

(5) La aproximación no es buena en "los extremos"...Ninguna de estas dos últimas cuestiones era conocida o sospechada ni por Euler, ni por Fourier...

14

Jeand'Alembert1717-1783

Leonhard Euler1707-1783

DanielBernouilli1700-1782

Lagrange

15

Se necesita también como condición inicial u(0,x)=f(x) para 0<x<1.Euler en 1749 demostró la misma solución. Pero difería con D'Alambert en el posible tipo de f(x) inicial. De hecho, este es el inicio del problema de la "definición" de unafunción. Para Euler era posible una función en partes: cualquier gráfica era una función.Para D'Alambert necesariamente: expresión analítica compacta.

16

17

En realidad la forma de solucionar el problema por parte de Daniel Bernoulli en 1753 fue completamente distinta. Se basó en la superposición de ondas y tomó como solución:

un(x,t) = sin(nx) cos(nt)

donde para cada t fijo cada sin(nx) se anula en n-1 puntos o nodos.

∑∞

=

=1n

n )ntcos()nx(sena)t,x(u

Pero recordemos que u(x,0) = f(x)...

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Resolvamos por variables separadas: u(x,t) = X(x) T(t)

.t,)t(T)t(''T

)(X)(X),,(x,)x(X)x(''X

.c.cy.i.c;x

)t,x(u

t

)t,x(u

00

010100

2

2

2

2

>=λ+==∈=λ+

∂∂=

∂∂

Por eso Bernouilli optó por tomar f(x) como:

∑∞

=

==1

0n

n )nx(sena),x(u)x(f

con una adecuada elección de los coeficientes an...

JOSEPH FOURIER

19

En diciembre de 1807 Joseph

Fourier presentó un sorprendente

artículo a la Academia de Ciencias

en París. En él afirmaba que

cualquier función puede escribirse

en forma de serie trigonométrica

semejante al ejemplo de Euler.

Polémica: Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) era uno de los muchos que opinaba que algo así era simplemente imposible...

Jean Baptiste Joseph Fourier 1768-1830

20

Fourier fue nombrado por Napoleón secretario permanente del Instituto Egipcio.Contrajo una enfermedad de Tiroides (mixedema).

t

u

kx

u

∂∂=

∂∂ 1

2

2

21

Fourier basó su trabajo en el estudio físico de la ecuación del calor o de difusión:

Describe cómo el calor o una gota de tinta se difunden en un medio.

Lord Kelvin (1736-1813): electricidad por los cables trasatlánticos, edad de la Tierra,...

π≤≤=≤=π=

∂∂=

∂∂

x);x(f),x(u

t;)t,(u)t,(ut

)t,x(u

kx

)t,x(u

00

000

12

2

22

00 =π==

=

)(X)(Xcon

)t(T)x(''X)t('T)x(X

)t(T)x(X)t,x(u

Dividiendo entre X(x)T(t):

)xA(senC)xAcos(C)x(X);x(AX)x(''X

eC)t(T);t(AT)t('T

.cteA,A)x(X

)x(''X

)t(T

)t('T

At

−+−==

==

===

21

0

C1=0, C0=C2=1, A=-n2 con n = 1, 2, 3, ...

)nx(sene)t,x(u tnn

2−=

23

)nx(sene)t,x(u tnn

2−=La combinación lineal de soluciones

será también solución:

∑∞

=

=1n

nn )t,x(ua)t,x(u

Llegando al mismo resultado que Bernoulli, pero pudiendo calcular los coeficientes an.

SERIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER

Algunas funciones periódicas f (t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, l lamada serie trigonométrica de Fourier

Donde ω0 = 2π/T se denomina frecuencia fundamental.

24

])()cos([)(1

00021 ∑

∞

=

++=n

nn tnsenbtnaatf ωω

...)3()2()(...

...)3cos()2cos()cos()(

030201

030201021

++++++++=

tsenbtsenbtsenb

tatataatf

ωωωωωω

25

...3

)3(

2

)2(

2+++=− tsentsen

tsentπ

])()cos([)(1

00021 ∑

∞

=

++=n

nn tnsenbtnaatf ωω

a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0 ...

b1 = 1, b2 = 1/2, b3 = 1/3,...