TRIGONOMETRÍA1.1Razones trigonométricas -Son las distintas proporciones que se establecen entre los lados de un triángulo rectángulo: a = hipotenusa b = opuesto de B o contiguo de C c = opuesto de C o contiguo de B -Las razones se definen para un ángulo agudo:

b / a = senB = cosC c / a = cosB = senC b / c = tgB = cotgC a / b = cosecB = secC a / c = secB = cosecC c / b = cotgB = tgC

a b

c A B

C

Otras formulas Razones del ángulo suma Razones del ángulo diferencia Sen ( + ) = sen . cos + cos . sen Sen ( - ) = sen . cos - cos . sen Cos ( + ) = cos . cos + sen . sen Cos ( - ) = cos . cos + sen . sen Tg ( + ) = tg + tg / 1-tg . tg Tg ( - ) = tg - tg / 1+tg . tg Razones del ángulo doble Razones del ángulo mitad Sen2 = sen ( + ) = 2sen . cos Sen (/2) = + - √1 - cos / 2 Cos2 = cos ( + ) = cos2 - sen2 Cos (/2) = + - √1 + cos / 2 Tg2 = tg ( + ) = 2tg / 1-tg2 Tg(/2) = + - √(1-cos / 1 + cos) Razones que transforman el producto en sumas Sen ( + ) + Sen ( - ) = 2sen . cos SenA + senB = 2 sen (A + B /2) . cos (A – B / 2) Cos ( + ) + Cos ( - ) = 2cos . cos CosA + cosB = 2 cos (A + B /2) . cos (A – B / 2) Razones que transforman el producto en resta SenA - senB = 2 cos (A + B /2) . sen (A – B / 2) CosA - cosB = -2 sen (A + B /2) . sen (A – B / 2)

Funciones HiperbolicasCosh u = ½ ( e u + e -u) ( coseno hiperbólico de u) Senh u = ½ ( eu - e -u) ( seno hiperbólico de u) se presentan con tanta frecuencia en las aplicaciones que ha creído conveniente darles un nombre especial. De momento puede que no este clara la ecuación de los nombres introducidos, que resultaran obvios mas adelante. Estas funciones se relacionan entre sí mediante reglas muy parecidas a las reglas que relacionan a las funciones cos u y sen u. Así como cos u y sen u pueden identificarse con el punto ( x, y) en el circulo unitario x² + y² = 1, así también las funciones cosh u y senh u pueden identificarse con las coordenadas de un punto ( x, y) sobre la hipérbola unitaria x² - y² =1. A propósito suele pronunciarse cosh u como “cosh u” y senh u como “ senh u”. Para comprobar que el punto de coordenadas x = cosh u e y = senh u esta sobre la hipérbola unitaria, sustituimos las relaciones que las definen en la ecuación de la hipérbola: x² - y² =1 cosh² u - senh² u = 1

¼ ( e 2u + 2 + e -2u) – ¼ (e 2u – 2 + e -2u) = 1 ¼ ( e 2u + 2 + e -2u – e -2u + 2 – e -2u) = 1 ¼ ( 4) = 1 En realidad, si hacemos x = cosh u = ½ ( e u + e -u). y = senh u = ½ ( e u – e -u). entonces, cuando u varia de – oo a + oo, el punto P ( x, y) describe la rama derecha de la hipérbola x² - y² = 1. El primer elemento de la trigonometría hiperbólica que acabamos de establecer es la identidad básica

cosh² u - senh ² u = 1.

Esta expresión es análoga, pero no igual, a la identidad trigonometrica ordinaria cos² u + sen² u = 1.

Las funciones hiperbólicas restantes se definen en términos de senh u y cosh u como sigue: Tangente

Cotangente

Secante

Cosecante

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS

SENO HIPERBÓLICO:

COSENO HIPERBÓLICO

TANGENTE HIPERBÓLICA

COTANGENTE HIPERBÓLICA

SECANTE HIPERBÓLICA

EjemploDemostrar que 1xsenhxcosh 22 .

11

144

142

42

14

ee24ee2

14

eee2e4

eee2e

12

ee2

ee

1xsenhxcosh

xxxx

x2xxx2x2xxx2

2xx2xx

22

COSECANTE HIPERBÓLICA

LogaritmosA las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción,

Multiplicación, División, Potenciación y Radicación, añadimos una nueva que llamamos Logaritmación.

Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir : productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.

Definición de logaritmo :

Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a " .

La función logarítmica (o función logaritmo) es una aplicación biyectiva del conjunto de los números reales positivos, sin el cero, en el conjunto de los números reales :

Propiedades :

Tipos de Logaritmos Logaritmos Decimales :

Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.

Logaritmos Neperianos :

Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el número e.

Cambio de Base :

Función ExponencialDefinicion : Si b > 0 y b 1, entonces la f unción exponencial de base b está definida por f (x ) = bx , donde su dominio es el conjunto de los números reales y su rango es el conjunto de los números positivos. Tal como se hizo con las f unciones anteriores, vamos a trazar su gráfi ca, obtener algunos elementos importantes para su estudio y hacer su análisis.

Antes de dar un ejemplo de f unción exponencial, conviene recordar algunas propiedades de las potencias:

Ejemplos1. La f unción y = 2x es una f unción exponencial de base 2. Algunos de los valores

Representación grafica Observando las propiedades antes descritas para una f unción exponencial, se han de distinguir dos casos para hacer la representación de una f unción y = ax :

Hacer la gráfi ca de la f unción exponencial f (x) = 2x Tabulando para algunos valores cercanos a cero, por ejemplo en el intervalo comprendido entre [-3, 3].

x y

3 2-3 = 0.125 -2 2-2 = 0.25 -1 2-1 = 0.5 0 20 = 1

1 21 = 2 3 32 = 9 Grafi cando la f unción exponencial y = 2x:

Derivadas de las funciones trigonométricas

dxdvCosvSenv

dxd

dxdvSenvCosv

dxd

dxdvvSecTanv

dxd 2

dxdvvCscCotv

dxd 2

dxdvSecvTanvSecv

dxd

dxdv

CscvCotvCscvdxd

21 vdxdv

ArcSenvdxd

21 vdxdv

ArcCosvdxd

21 vdxdv

ArcTanvdxd

21 vdxdv

ArcCotvdxd

12

vvdxdv

ArcSecvdxd

12

vvdxdv

ArcCscvdxd

Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales

Dx ( Ln x ) = 1 x

Dx ( e ) = e

Dx ( a ) = a ln a Dx ( log a x ) = log a e

Dx ( log a x ) = ___1_____

x * ln a

Derivadas Funciones trigonométricas hiperbolicas

a) Dx (senh u) = cosh u. Dx(u)

b) Dx (cosh u) = senh u. Dx(u)

c) Dx (tgh u) = sech² u. Dx(u)

d) Dx (cotgh u) = - cosch² u. Dx(u)

e) Dx (sech u) = sech u. Tgh u. Dx(u)

f) Dx (cosch u) = - cosch u. cotgh u. Dx(u)

Ejemplos

Si f(x) = x tg x - cos x, f'(x) = 1 · tg x + x(1 + tg2x) - (- sen x) = = tg x + x(1 + tg2x) + sen x

Resolución:

Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:

Se aplica la regla de la cadena:

Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x | Resolución: u = sen x; u' = cos x

Resolución:

Resolución:

Ejemplo regla de la cadena

Derivar la función 3x4tanhxf 2 . La función más externa es la raíz, por lo tanto, es la primera en derivarse.

a)

3x4tanh2

3x4hsecx83x4tanhdxd

3x4tanh2

1dxdf

2

222

2

Fórmulas para integrarex dx Eex + C ax dx A[ax / lna] +C ef(x) dx Eef(x) af(x) . f ‘ (x) dx [af(x) / lna] + C cosx dx Senx + C cos f(x) dx Senf(x) + C senx dx - cosx + C senf(x) dx - cosf(x) + C f ’(x) / f(x) dx Ln[f(x)] + C f ’(x) /f(x)2 + 1dx Arctgf(x) + C 1 / √1 – x2 dx Arcsenx + C f ’(x) / √1 – f(x)2 dx Arcsenf(x) + C 1 / x . √x2 –1 dx Arcsecx + C f ‘(x) / [f(x) . √f(x)2 –1 dx Arcsecf(x) + C

Integrales trigonométricas hiperbólicas

Ejemplos de integración

Resolver las siguientes integrales.

dxx3senhx 32

Se realiza el cambio de variable dxx9dux3u 23 , por lo tanto, la integral se puede escribir como

cx3cosh91cucosh

91duusenh

91

9duusenhdxx3senhx 332

Otros ejemplos

1