EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL

ECUADORFACULTAD: CIENCIAS

ADMINISTRATIVAS

CARRERA: CONTABILIDAD Y

AUDITORIA

TRABAJO DE MATEMATICAS

SEGUNDO HEMISEMESTRE

ALUMNO: DAVID MULLO

PROFESOR: FRANCISCO

BAHAMONDE

AULA: CA2-5


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EJERCICIOS

1) Se dispone de 320 m de cerca para encerrar un campo rectangular Cmo debe encerrarse la cercapara que le rea encerrado sea la ms grande posible?

DATOS:

Cerca: 320m

Terreno: Rectangular

A= A`= 160-2b

A"= -2

A'= 0

160-2b=0

b= = 80b= 80m

si A"


4/50

320=2a+2b

160= a+b

a=160-b

A=a.b

A= (160-b) b

A=f(b)

A=160b-b2

A=160-2b

A=-2

Si A -2 0 AMA=0

160-2b=0

b=160/2

b=80m

a=160-b

a=160-80

a=80m

GRFICO

A=-b2+160b


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RESPUESTA.- Para que le rea encerrado sea la ms grande posible se debe encerrarse la cerca cuando

a= 80m y b=80m

2) Un terreno rectangular se va a cercarse y dividirse en 3 partes iguales por 2 cercas paralelas a uno

de los lados. Se va a usare un total de 800 metros de cerca encuentre las dimensiones del terreno

para que su rea sea mxima.

DATOS

Total= 800m de cerca

REA= Mxima

GENERAR VARIABLES

Total= 2a+ab +2a


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A=Mxima

A=b*h

A=a.b

A=f(a,b)

OPERACIN

T= 2a+2b+2a

800=4a+2b

400=2a+b

a =00-

A=a.b

A=00- . b

A=-

A=200b-

A=200-b

A=-1

Como A -1 0 A MA=0

200-b=0

-b=-200

b=200m

a=

a=200

a=100m

a=100m


7/50

b=200m

GRFICO

A= -

3) Una caja abierta se va a construir con un pedazo de cartn cuadrado a 42cm de lado, recortando

un pequeo cuadrado de cada esquina y luego doblando las aletas para formar los lados. Cules

son las dimensiones de la caja que debe tener el volumen mximo?

DATOS

-Cartn cuadrado 42cm

-Se recorta un pequeo cuadrado en cada esquina

-Dimensiones de la caja x

-Volumen mximo

GENERAR VARIABLES

V= rea*altura

V= (42-2x) (42-2x) x

V=f(x)

OPERACIN


8/50

V= (42-2X) (42-2X) X

V= (422-84x-84x+4x2) x

V=(1764-168x+4x2) x

V= (1764x -168x2+4x3)

V=1764-336x+12x2

V=-336+24x

V=-336+24(7)

V=-168

Como V -168 0 V MV=012x2-336x+1764=0

X=

X=

X=

X=

X= 21

X=7

V= (42-2x) (42-2x) x

V= (42-2(7)) (42-2(7)) 7

V=28*28*7

V=5488 cm3

RESPUESTA.-Para tener el Volumen mximo, las Dimensiones de la caja son de 28 cm de cada lado.

4) Una imprenta recibe un pedido para hacer un cartel rectangular que contiene 60cm 2 de impresin

rodeada por mrgenes de 3 cm a cada lado y 4cm en la parte superior y en la parte inferior Culesson las dimensiones del pedazo de papel mas pequeo que puede usarse para hacer el cartel?


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DATOS

4cm

3cm

-Cartel rectangular contiene 60cm2 de impresin.

-Dimensiones del pedazo del papel ms pequeos que debe usarse para hacer el cartel?

GENERAR VARIABLES

A =base *altura

A= xy

A=(x-8) (y-6)

A=f(x)

OPERACIN

(x-8)(y-6)=60

Xy-6x-8y+48=60

y=2

A=xy

A=x2

A=

A=-

- --

A=- 2--0-

A=----2-

A=--

-


10/50

A=12X-96

A=16(16.94)-96

A= 107.28

Como A 107.28 0 A mA=0

6x2-96x-96=0

X=

X=

X=

X=

X= 16.94 cm

X=-0.944 No es vlido

y=

y=

y=12.71cm

REA

A=12.71*16.94

A=215.31cm

2

A=8.94*6.71

A=59.99cm2

RESPUESTA.-Las dimensiones del pedazo de papel ms pequeo que puede usarse para hacer el cartel

son de x= 16.94 cm; y= 12.71 cm.

GRFICO


11/50

A=

5) El propietario de Vivero Laurel quiere cercar un terreno de forma rectangular de 1200 pies

cuadrados de rea, para usarlo para diferentes tipos de arbusto. El terreno ser dividido en cuatro

lotes iguales, con tres s cercas paralelas a unos de los lados Cules es el nmero mnimo de pies

de cerca necesarios?

DATOS

Terreno rectangular 1200 pies cuadrados de rea 4 lotes iguales N mnimo de pies de cerca necesaria

b

a a

b

PLANTEAMIENTO:

A= b*h

A= a.b

a a a


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1200 = a.b

A = f (a, b)

TOTAL = 2 a +2 b +3 a

OPERACIN:Total = 2 a + 2 a +3 b

T = 5 a + 2b

T = 5 1200 + 2 bb

T = 6000 + 2 bb

T= 6000 + 2b2

b

= a


13/50

a =

a =

a= 21.91 pies

Como T 12000 0 T RESPUESTA: La longitud mnima del cerramiento debe ser

a= 22 pies

b= 55 pies

GRFICO


14/50

6) Se ha pedido a un carpintero construir una caja abierta con una base cuadrada. Los lados de la caja

cuestan $3.00 por pie cuadrado y la base costara a $4.00 por pie cuadrado. Cules son las

dimensiones de la caja de volumen mximo que puede construirse con $48.00?

DATOS

Lados de la caja costara $3.00 pie cuadrado

Base Costara $4.00 pie cuadrado

Volumen Mximo que se desea construir con $48.00

GENERAR VARIABLES

X= LADO DE LA BASE

Y=ALTURA DE LA BASE

V= REA*ALTURA

BASE=x.x=x2

V=x2.y

V=f(x,y)

OPERACIN

COSTO= COSTO BASE+ COSTO PAREDES

C=x2.4 + 4xy.3

C=4x2 + 12xy

C= f(x, y)

48= 4x2+12xy

y=

V=x2.y

V=x2

V=

-


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V=4x -

V=f(x)

V=4-x2

V=-2x

Como V -2 0 A MV=0

4 x2= 0

=

X= X= 2 piesy=

y=

2

y=2

2

y= 1.33 pies

C=48

48= 4x2+12xy

4x2+12xy 484(2)2+12(2)(1.33) 4847.98 48GRFICO


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7) El propietario de una licorera espera vender 800 botellas de un popular vino blanco. El costo de

pedido son de $10,00 por despacho y el costo de almacenamiento de una botellas durante todo el

ao es de 0.40 ctv. El vino se consume a una tasa uniforme durante todo el ao y cada despacho

llega apenas se ha terminado el anterior.Cuntas botellas debe pedir el propietario en cada despacho para bajar al mnimo sus costos?

Con que frecuencia debe pedirse el vino?

Cmo cambiaria las respuesta de los literales, si el costo de vino se aumenta a 0.95 ctv. por

botella?

DATOS

Venta =800btt

Costo Vino= 0.85 $/btt

Costo Pedido= 10/pedido

Costo Alm.= 0.40/ao

GENERAR VARIABLES

X= N DEBOTELLAS PARA EL PEDIDO

OPERACIN

COSTO= Costo Vino + Costo Pedido + Costo Almacenamiento


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C= 0.85x + 10 00

+ 0.40x

C= f(x)

C=1.25x +00

C= 1.25 + 00

2

C=

Como C 16000

0 C m

C= 0

1.25 + 002

= 000

2= 1.25

X2=

X=

X= 80

RESPUESTA= EL LOTE OPTIMO ES DE 80

GRFICO

C=1.25x +

GRFICO


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8) Una compaa de buses alquila sus unidades solamente a grupos de 40 o ms personas. Si un grupo

tiene exactamente 40 personas a cada uno se les cobra $60.00. Sin embargo en grupos ms grandes

la tarifa de todas se reduce a 0.50ctv por cada persona que pase de 40. Qu tamao de grupo

producir los mayores ingresos para la compaa de buses?

DATOS

-Grupo 40 personas

-Grupo 40 = $ 60c/u personas

-Grupo 40= descuento de 50 ctv. por personasGENERAR VARIZBLES

-X=N PERSONAS

-I=INGRESO

OPERACIN

I= (40+X) (60-0.50X)

I= 2400-20X+60X -0.50X2


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I= 0+40-X

I= 40-X

I= -1

Como I -1 0 T MI=0

40-X=0

X=40

Grupo= 40+x

G= 40+40

G=80

GRFICO

9) La utilidad marginal de cierta compaa es de 100-2x dlares por unidad cuando se producen por

unidades. Hallar el nivel de produccin que deber vender y obtener la utilidad mxima para la

compaa.

DATOS

-Utilidad Marginal= (100-2x) por unidad

-Se produce x unidades


20/50

-Nivel de produccin k deber vender?

-Mxima Utilidad?

GENERAR VARIABLES

X=unidades

OPERACIN

I=pq

I= (100-2x) x

I=100x-2x2

I=100-4x

I=-4

Como I -4 0 I M100-4x=0

x= x= 25

I= (100-2x) x

I= (100-2(25) 25

I=1250

GRFICO


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10. Una librera puede obtener del editor de un libro, un libro a un costo de $ 3. Si la librera calcula que

puede vender 200 ejemplares a un precio de $ 15 y que podr vender 10 ejemplares ms por cada

reduccin de $ 0.50 en el precio. A que precio debe vender los libros la librera para llevar al mximo

su utilidad?

DATOS

Precio de compra: 3 Venta estimada: 200 lb - 15 X : N de libros adicionales10 ejemplares + por c/reduccin de $ 0.50

Precio libro: ? (mxima utilidad)

VENTA = N Libros * Precio


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11) El producto de 2 nmeros positivos es 128, el primero se suma al cuadrado del segundo.

a) Que tan pequea puede ser esta suma.b) Que tan grande puede ser esta suma.

DATOS

2 Nmeros

X: 1er nmero

Y: 2do nmero

S

(x,y)debe ser m

S, = 0

Como S > 0 2 nmeros buscados

S m


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12) Un alambre de 20 cm de largo se corta en 2 pedazos. Uno de los pedazos se dobla para formar uncrculo y el otro un cuadrado.

a) Cul es el rea Total que puede encerrarse de esta manera (suma de los 2 reas)b) El rea Total puede tener hasta un tamao de 82 cm2.

20-X 20-Y

20 cm

AT =? Ac = r2 A1= * = 2

AT =

r2 +

2

Longitud = long. crculo + long. cuadrado L = 2r +4 20=2 r +4

A = f(r)

13) La funcin en dlares del Costo Promedio de un fabricante esta dado por Encuentre el Costo Marginal cuando q =50.

CUADRADO CIRCULO

A A


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C = f(q)

14) Para una empresa la prouccin iaria el a est dada por . Encuentre la razn de cambio cuando t=10 das.

q= f(t)

()

15) Calcular la razn de cambio de cuando x =2

y = f(x)

f(x)=

ln f(x) = (-x)ln 10


25/50

ln f(x) = ln (10-x) ln f(x) = (-x)ln 10 *f/(x) = ln 10 (-1) f

/

(x) =-f(x) * ln 10f/(x) = -10

-x ln 1016) Un estudiante ha hecho un contrato para producir 150 velas con la forma de la mascota de un

colegio. Planea comprar una cantidad de moldes de uso repetido para velas a un taller mecnico a $

3 c/u y luego contrata a un trabajador al que le paga a $ 1.50 la hora para que llene los moldes con

cera.

Se necesitan 3 horas para producir una sola vela con un molde.

a) Cuntos moldes debe comprar el estudiante para mantener sus costos en el menor nivel posible?b) Cunto dinero ganar el estudiante si se usa el nmero ptimo de moldes?DATOS

150 velas

1 moldes - $ 3

trabajador - $1.50 c/u

3 horas 1 vela

Costos =Costos Molde + Costo Mano de Obra C = f(X)

Respuesta.- Se debe fabricar 15 moldes para minimizar los costos.


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17) La funcin de demanda para una lnea de lap-tops de una compaa de electrnica es: donde: p es el precio ($ / unidad) cuando los consumidores demandan q unidades.Encuentre el nivel de produccin que maximizar el ingreso total del fabricante y determine este

ingreso.

INGRESO =N Unidades * Precio Unitario

I =p * q

I = = $ I/I I -12I I/ = 0

I = f(q)

2400-12q =0

2400 = 12q

200 = q

q = 200

300000 M

q I 240000

100 180000

150 300000

200 240000 180000

100 150 200


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18)

19)

20)


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UNIDAD VI

CALCULO INTEGRAL

Integracin Definicin Tcnicas de Integracin Mtodos de Integracin Sustitucin Integral Definida reas entre curvas Excedentes de concavidad y productos

INTEGRAL ES LA INVERSA DE LA DERIVADA

=


29/50

ES UNA OPERACIN DIVERSA A LA DERIVACION

21)

22)


30/50

23) ( )


31/50

24)

( )

+c

25)


32/50

26)


33/50

27)

28)

29)


34/50

30)

31)


35/50

32)

33)


36/50

+c34)

35)

36)

37)


37/50

+6xdx

38) CONDICIN INICIAL

Encontrar Y


38/50

39)Y = ; = 2; = -1ENCONTRAR Y

Y =

dx

Y = Y = Y = 6X + C2 =

C =2

Y = Y = - 6X + 2 ) dxY = dx Y =

Y = Y = -1 =

+ 2(1) + CC =

- 3 + 2C = -

- 3 + 2

C = -


39/50

40) Y =

+1 ;

= 1 ;

= 2 ;

= 3

Y = +1) dxY = Y = + x + c1 = C = 1+0

C = 0

Y = Y = Y = Y = 2 = + cC = 1Y = Y = Y =

+

Y = 3 = C = 2

Y =

Y =

Y =


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41) El ingreso anual promedio que una persona con x aos de educacin puede esperar recibir al buscar

un empleo ordinario, estimado que la razn a la que el ingreso cambia con respecto a la educacin est

dada por:

X

Y = 28720 ; X = 9

ENCONTRAR Y.

Y= Y= 100

Y = 100 +C

Y = 100

Y = 40 (28700) = 40

C = 19000

42) Y = Y = Y = 2 Y= 2

Y =

Y = 40


41/50

43) Un fabricante ha determinado que la funcin de costo marginal es

donde q = al nmero de unidades. Si el costo marginal es de $27.50 cuando q = 0 y los costos fijos son

de $5000 cual es el costo promedio que producen 100 unidades?

C = C = C = 0.003

+ q + cC = 0.001

C = -1597.30

CT = CP + CF

CT = 0.001 =

= 44) La funcin del costo marginal para el producto de un fabricante est dada por:

donde c es el costo total en dlares cuando se producen 100 unidades de costopromedio es de $50 por unidad. Determine el costo fijo del fabricante.

) dqC = 10 C = 10q -10 ln (q+10)+c

C = Cp. + Cf

= 50 ; q = 100

=

=

50 =


42/50

500 =

500 =1000 470 + c1

C1 = 3000 -1000+470

C1= 4470

C = 10q -100 ln (q+10) + 4470

45) U= Y = Y = Y =

Y =

46) Se estima que dentro de x meses la poblacin de cierto pueblo cambiar a una razn de: 2 +

personas por mes. La poblacin actual es de 5000 personas. Cul ser la poblacin dentro de 9 meses?

DATOS:

X = MESES

RAZON = 2 + 6 POBLACION ACTIVA = 5000 P

= 2 + 6

Dp = (2 + 6 ) dx


43/50

p = ( )p = p =

p = p =

p = p =p = 500x = 0

500 = C = 5000

P = Px = q = P = 5126 personas

47) Un fabricante ha encontrado que el costo marginal es $ por unidad. Cuando sehan producido q unidades el costo total de produccin de las 2 primeras unidades es $900.Cul es el

costo de produccin de las 5 primeras unidades?

DATOS:

COSTO MARGINAL: Q = unidades

Ct 2 primeras unidades es de $900

Ct 5 primeros meses: ?


44/50

C = C = C = C = 900 = 900 = 8 120 +800+c

c= 212

INTEGRAL DEFINIDA

48) Encontrar y= [x-

+ 6x + c ]

y= [ (3) - + 6(3) + c] [ (-1) - + 6(-1) + c]y= 27 -

+ 18 + c + 1 + + 6 + cy= 52 4 = 48

49) Encontrar dxu= 1+ = du= 4x dx u

= x dx y = y = [

+ c ]10

y= [ 2(1+x)


45/50

= 4 = 4

= 3

+

= (3) (2 + 2 - (3 + = 3 + - 3 - = 6 = 6

= =

= ,=

[ ]=


46/50

= =

,

= ,

= * +

= 9 + 9 + 3 -

= 15-

= -

= 2 = 2

,= t - t,= (1) - (1)-((4)-(4))

=1-1-16+64=48

=


47/50

=

=

= = =

55) La funcin de costo marginal de un fabricante es si c esta dado en$ determinar el costo de incrementar la produccin de 65 a 75 unidades

dc=c= c= 0,004

c= , , ,c=

c=

c=

c= Costo de incrementoRespuesta.- Si tengo 75 unidades incremento el costo de $346,33

56) El valor presente en $ de un flujo continuo de de ingreso de $2000 al ao durante 5 aos al 6%compuesto continuamente esta dado por la integral


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| [ ] 57) Encontrar el rea de la regin limitada por la curva

x Y

0 21 53 17-1 1

-2 2


49/50

17

5

2

1

-2 -1 0 1 3

|


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EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

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