EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

download EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

of 50

  • date post

    04-Apr-2018
  • Category

    Documents

  • view

    222
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    1/50

    UNIVERSIDAD CENTRAL DEL

    ECUADORFACULTAD: CIENCIAS

    ADMINISTRATIVAS

    CARRERA: CONTABILIDAD Y

    AUDITORIA

    TRABAJO DE MATEMATICAS

    SEGUNDO HEMISEMESTRE

    ALUMNO: DAVID MULLO

    PROFESOR: FRANCISCO

    BAHAMONDE

    AULA: CA2-5

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    2/50

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    3/50

    EJERCICIOS

    1) Se dispone de 320 m de cerca para encerrar un campo rectangular Cmo debe encerrarse la cercapara que le rea encerrado sea la ms grande posible?

    DATOS:

    Cerca: 320m

    Terreno: Rectangular

    A= A`= 160-2b

    A"= -2

    A'= 0

    160-2b=0

    b= = 80b= 80m

    si A"

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    4/50

    320=2a+2b

    160= a+b

    a=160-b

    A=a.b

    A= (160-b) b

    A=f(b)

    A=160b-b2

    A=160-2b

    A=-2

    Si A -2 0 AMA=0

    160-2b=0

    b=160/2

    b=80m

    a=160-b

    a=160-80

    a=80m

    GRFICO

    A=-b2+160b

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    5/50

    RESPUESTA.- Para que le rea encerrado sea la ms grande posible se debe encerrarse la cerca cuando

    a= 80m y b=80m

    2) Un terreno rectangular se va a cercarse y dividirse en 3 partes iguales por 2 cercas paralelas a uno

    de los lados. Se va a usare un total de 800 metros de cerca encuentre las dimensiones del terreno

    para que su rea sea mxima.

    DATOS

    Total= 800m de cerca

    REA= Mxima

    GENERAR VARIABLES

    Total= 2a+ab +2a

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    6/50

    A=Mxima

    A=b*h

    A=a.b

    A=f(a,b)

    OPERACIN

    T= 2a+2b+2a

    800=4a+2b

    400=2a+b

    a =00-

    A=a.b

    A=00- . b

    A=-

    A=200b-

    A=200-b

    A=-1

    Como A -1 0 A MA=0

    200-b=0

    -b=-200

    b=200m

    a=

    a=200

    a=100m

    a=100m

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    7/50

    b=200m

    GRFICO

    A= -

    3) Una caja abierta se va a construir con un pedazo de cartn cuadrado a 42cm de lado, recortando

    un pequeo cuadrado de cada esquina y luego doblando las aletas para formar los lados. Cules

    son las dimensiones de la caja que debe tener el volumen mximo?

    DATOS

    -Cartn cuadrado 42cm

    -Se recorta un pequeo cuadrado en cada esquina

    -Dimensiones de la caja x

    -Volumen mximo

    GENERAR VARIABLES

    V= rea*altura

    V= (42-2x) (42-2x) x

    V=f(x)

    OPERACIN

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    8/50

    V= (42-2X) (42-2X) X

    V= (422-84x-84x+4x2) x

    V=(1764-168x+4x2) x

    V= (1764x -168x2+4x3)

    V=1764-336x+12x2

    V=-336+24x

    V=-336+24(7)

    V=-168

    Como V -168 0 V MV=012x2-336x+1764=0

    X=

    X=

    X=

    X=

    X= 21

    X=7

    V= (42-2x) (42-2x) x

    V= (42-2(7)) (42-2(7)) 7

    V=28*28*7

    V=5488 cm3

    RESPUESTA.-Para tener el Volumen mximo, las Dimensiones de la caja son de 28 cm de cada lado.

    4) Una imprenta recibe un pedido para hacer un cartel rectangular que contiene 60cm 2 de impresin

    rodeada por mrgenes de 3 cm a cada lado y 4cm en la parte superior y en la parte inferior Culesson las dimensiones del pedazo de papel mas pequeo que puede usarse para hacer el cartel?

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    9/50

    DATOS

    4cm

    3cm

    -Cartel rectangular contiene 60cm2 de impresin.

    -Dimensiones del pedazo del papel ms pequeos que debe usarse para hacer el cartel?

    GENERAR VARIABLES

    A =base *altura

    A= xy

    A=(x-8) (y-6)

    A=f(x)

    OPERACIN

    (x-8)(y-6)=60

    Xy-6x-8y+48=60

    y=2

    A=xy

    A=x2

    A=

    A=-

    - --

    A=- 2--0-

    A=----2-

    A=--

    -

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    10/50

    A=12X-96

    A=16(16.94)-96

    A= 107.28

    Como A 107.28 0 A mA=0

    6x2-96x-96=0

    X=

    X=

    X=

    X=

    X= 16.94 cm

    X=-0.944 No es vlido

    y=

    y=

    y=12.71cm

    REA

    A=12.71*16.94

    A=215.31cm

    2

    A=8.94*6.71

    A=59.99cm2

    RESPUESTA.-Las dimensiones del pedazo de papel ms pequeo que puede usarse para hacer el cartel

    son de x= 16.94 cm; y= 12.71 cm.

    GRFICO

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    11/50

    A=

    5) El propietario de Vivero Laurel quiere cercar un terreno de forma rectangular de 1200 pies

    cuadrados de rea, para usarlo para diferentes tipos de arbusto. El terreno ser dividido en cuatro

    lotes iguales, con tres s cercas paralelas a unos de los lados Cules es el nmero mnimo de pies

    de cerca necesarios?

    DATOS

    Terreno rectangular 1200 pies cuadrados de rea 4 lotes iguales N mnimo de pies de cerca necesaria

    b

    a a

    b

    PLANTEAMIENTO:

    A= b*h

    A= a.b

    a a a

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    12/50

    1200 = a.b

    A = f (a, b)

    TOTAL = 2 a +2 b +3 a

    OPERACIN:Total = 2 a + 2 a +3 b

    T = 5 a + 2b

    T = 5 1200 + 2 bb

    T = 6000 + 2 bb

    T= 6000 + 2b2

    b

    = a

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    13/50

    a =

    a =

    a= 21.91 pies

    Como T 12000 0 T RESPUESTA: La longitud mnima del cerramiento debe ser

    a= 22 pies

    b= 55 pies

    GRFICO

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    14/50

    6) Se ha pedido a un carpintero construir una caja abierta con una base cuadrada. Los lados de la caja

    cuestan $3.00 por pie cuadrado y la base costara a $4.00 por pie cuadrado. Cules son las

    dimensiones de la caja de volumen mximo que puede construirse con $48.00?

    DATOS

    Lados de la caja costara $3.00 pie cuadrado

    Base Costara $4.00 pie cuadrado

    Volumen Mximo que se desea construir con $48.00

    GENERAR VARIABLES

    X= LADO DE LA BASE

    Y=ALTURA DE LA BASE

    V= REA*ALTURA

    BASE=x.x=x2

    V=x2.y

    V=f(x,y)

    OPERACIN

    COSTO= COSTO BASE+ COSTO PAREDES

    C=x2.4 + 4xy.3

    C=4x2 + 12xy

    C= f(x, y)

    48= 4x2+12xy

    y=

    V=x2.y

    V=x2

    V=

    -

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    15/50

    V=4x -

    V=f(x)

    V=4-x2

    V=-2x

    Como V -2 0 A MV=0

    4 x2= 0

    =

    X= X= 2 piesy=

    y=

    2

    y=2

    2

    y= 1.33 pies

    C=48

    48= 4x2+12xy

    4x2+12xy 484(2)2+12(2)(1.33) 4847.98 48GRFICO

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    16/50

    7) El propietario de una licorera espera vender 800 botellas de un popular vino blanco. El costo de

    pedido son de $10,00 por despacho y el costo de almacenamiento de una botellas durante todo el

    ao es de 0.40 ctv. El vino se consume a una tasa uniforme durante todo el ao y cada despacho

    llega apenas se ha terminado el anterior.Cuntas botellas debe pedir el propietario en cada despacho para bajar al mnimo sus costos?

    Con que frecuencia debe pedirse el vino?

    Cmo cambiaria las respuesta de los literales, si el costo de vino se aumenta a 0.95 ctv. por

    botella?

    DATOS

    Venta =800btt

    Costo Vino= 0.85 $/btt

    Costo Pedido= 10/pedido

    Costo Alm.= 0.40/ao

    GENERAR VARIABLES

    X= N DEBOTELLAS PARA EL PEDIDO

    OPERACIN

    COSTO= Costo Vino + Costo Pedido + Costo Almacenamiento

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    17/50

    C= 0.85x + 10 00

    + 0.40x

    C= f(x)

    C=1.25x +00

    C= 1.25 + 00

    2

    C=

    Como C 16000

    0 C m

    C= 0

    1.25 + 002

    = 000

    2= 1.25

    X2=

    X=

    X= 80

    RESPUESTA= EL LOTE OPTIMO ES DE 80

    GRFICO

    C=1.25x +

    GRFICO

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    18/50

    8) Una compaa de buses alquila sus unidades solamente a grupos de 40 o ms personas. Si un grupo

    tiene exactamente 40 personas a cada uno se les cobra $60.00. Sin embargo en grupos ms grandes

    la tarifa de todas se reduce a 0.50ctv por cada persona que pase de 40. Qu tamao de grupo

    producir los mayores ingresos para la compaa de buses?

    DATOS

    -Grupo 40 personas

    -Grupo 40 = $ 60c/u personas

    -Grupo 40= descuento de 50 ctv. por personasGENERAR VARIZBLES

    -X=N PERSONAS

    -I=INGRESO

    OPERACIN

    I= (40+X) (60-0.50X)

    I= 2400-20X+60X -0.50X2

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    19/50

    I= 0+40-X

    I= 40-X

    I= -1

    Como I -1 0 T MI=0

    40-X=0

    X=40

    Grupo= 40+x

    G= 40+40

    G=80

    GRFICO

    9) La utilidad marginal de cierta compaa es de 100-2x dlares por unidad cuando se producen por

    unidades. Hallar el nivel de produccin que deber vender y obtener la utilidad mxima para la

    compaa.

    DATOS

    -Utilidad Marginal= (100-2x) por unidad

    -Se produce x unidades

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    20/50

    -Nivel de produccin k deber vender?

    -Mxima Utilidad?

    GENERAR VARIABLES

    X=unidades

    OPERACIN

    I=pq

    I= (100-2x) x

    I=100x-2x2

    I=100-4x

    I=-4

    Como I -4 0 I M100-4x=0

    x= x= 25

    I= (100-2x) x

    I= (100-2(25) 25

    I=1250

    GRFICO

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    21/50

    10. Una librera puede obtener del editor de un libro, un libro a un costo de $ 3. Si la librera calcula que

    puede vender 200 ejemplares a un precio de $ 15 y que podr vender 10 ejemplares ms por cada

    reduccin de $ 0.50 en el precio. A que precio debe vender los libros la librera para llevar al mximo

    su utilidad?

    DATOS

    Precio de compra: 3 Venta estimada: 200 lb - 15 X : N de libros adicionales10 ejemplares + por c/reduccin de $ 0.50

    Precio libro: ? (mxima utilidad)

    VENTA = N Libros * Precio

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    22/50

    11) El producto de 2 nmeros positivos es 128, el primero se suma al cuadrado del segundo.

    a) Que tan pequea puede ser esta suma.b) Que tan grande puede ser esta suma.

    DATOS

    2 Nmeros

    X: 1er nmero

    Y: 2do nmero

    S

    (x,y)debe ser m

    S, = 0

    Como S > 0 2 nmeros buscados

    S m

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    23/50

    12) Un alambre de 20 cm de largo se corta en 2 pedazos. Uno de los pedazos se dobla para formar uncrculo y el otro un cuadrado.

    a) Cul es el rea Total que puede encerrarse de esta manera (suma de los 2 reas)b) El rea Total puede tener hasta un tamao de 82 cm2.

    20-X 20-Y

    20 cm

    AT =? Ac = r2 A1= * = 2

    AT =

    r2 +

    2

    Longitud = long. crculo + long. cuadrado L = 2r +4 20=2 r +4

    A = f(r)

    13) La funcin en dlares del Costo Promedio de un fabricante esta dado por Encuentre el Costo Marginal cuando q =50.

    CUADRADO CIRCULO

    A A

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    24/50

    C = f(q)

    14) Para una empresa la prouccin iaria el a est dada por . Encuentre la razn de cambio cuando t=10 das.

    q= f(t)

    ()

    15) Calcular la razn de cambio de cuando x =2

    y = f(x)

    f(x)=

    ln f(x) = (-x)ln 10

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    25/50

    ln f(x) = ln (10-x) ln f(x) = (-x)ln 10 *f/(x) = ln 10 (-1) f

    /

    (x) =-f(x) * ln 10f/(x) = -10

    -x ln 1016) Un estudiante ha hecho un contrato para producir 150 velas con la forma de la mascota de un

    colegio. Planea comprar una cantidad de moldes de uso repetido para velas a un taller mecnico a $

    3 c/u y luego contrata a un trabajador al que le paga a $ 1.50 la hora para que llene los moldes con

    cera.

    Se necesitan 3 horas para producir una sola vela con un molde.

    a) Cuntos moldes debe comprar el estudiante para mantener sus costos en el menor nivel posible?b) Cunto dinero ganar el estudiante si se usa el nmero ptimo de moldes?DATOS

    150 velas

    1 moldes - $ 3

    trabajador - $1.50 c/u

    3 horas 1 vela

    Costos =Costos Molde + Costo Mano de Obra C = f(X)

    Respuesta.- Se debe fabricar 15 moldes para minimizar los costos.

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    26/50

    17) La funcin de demanda para una lnea de lap-tops de una compaa de electrnica es: donde: p es el precio ($ / unidad) cuando los consumidores demandan q unidades.Encuentre el nivel de produccin que maximizar el ingreso total del fabricante y determine este

    ingreso.

    INGRESO =N Unidades * Precio Unitario

    I =p * q

    I = = $ I/I I -12I I/ = 0

    I = f(q)

    2400-12q =0

    2400 = 12q

    200 = q

    q = 200

    300000 M

    q I 240000

    100 180000

    150 300000

    200 240000 180000

    100 150 200

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    27/50

    18)

    19)

    20)

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    28/50

    UNIDAD VI

    CALCULO INTEGRAL

    Integracin Definicin Tcnicas de Integracin Mtodos de Integracin Sustitucin Integral Definida reas entre curvas Excedentes de concavidad y productos

    INTEGRAL ES LA INVERSA DE LA DERIVADA

    =

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    29/50

    ES UNA OPERACIN DIVERSA A LA DERIVACION

    21)

    22)

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    30/50

    23) ( )

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    31/50

    24)

    ( )

    +c

    25)

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    32/50

    26)

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    33/50

    27)

    28)

    29)

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    34/50

    30)

    31)

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    35/50

    32)

    33)

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    36/50

    +c34)

    35)

    36)

    37)

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    37/50

    +6xdx

    38) CONDICIN INICIAL

    Encontrar Y

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    38/50

    39)Y = ; = 2; = -1ENCONTRAR Y

    Y =

    dx

    Y = Y = Y = 6X + C2 =

    C =2

    Y = Y = - 6X + 2 ) dxY = dx Y =

    Y = Y = -1 =

    + 2(1) + CC =

    - 3 + 2C = -

    - 3 + 2

    C = -

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    39/50

    40) Y =

    +1 ;

    = 1 ;

    = 2 ;

    = 3

    Y = +1) dxY = Y = + x + c1 = C = 1+0

    C = 0

    Y = Y = Y = Y = 2 = + cC = 1Y = Y = Y =

    +

    Y = 3 = C = 2

    Y =

    Y =

    Y =

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    40/50

    41) El ingreso anual promedio que una persona con x aos de educacin puede esperar recibir al buscar

    un empleo ordinario, estimado que la razn a la que el ingreso cambia con respecto a la educacin est

    dada por:

    X

    Y = 28720 ; X = 9

    ENCONTRAR Y.

    Y= Y= 100

    Y = 100 +C

    Y = 100

    Y = 40 (28700) = 40

    C = 19000

    42) Y = Y = Y = 2 Y= 2

    Y =

    Y = 40

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    41/50

    43) Un fabricante ha determinado que la funcin de costo marginal es

    donde q = al nmero de unidades. Si el costo marginal es de $27.50 cuando q = 0 y los costos fijos son

    de $5000 cual es el costo promedio que producen 100 unidades?

    C = C = C = 0.003

    + q + cC = 0.001

    C = -1597.30

    CT = CP + CF

    CT = 0.001 =

    = 44) La funcin del costo marginal para el producto de un fabricante est dada por:

    donde c es el costo total en dlares cuando se producen 100 unidades de costopromedio es de $50 por unidad. Determine el costo fijo del fabricante.

    ) dqC = 10 C = 10q -10 ln (q+10)+c

    C = Cp. + Cf

    = 50 ; q = 100

    =

    =

    50 =

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    42/50

    500 =

    500 =1000 470 + c1

    C1 = 3000 -1000+470

    C1= 4470

    C = 10q -100 ln (q+10) + 4470

    45) U= Y = Y = Y =

    Y =

    46) Se estima que dentro de x meses la poblacin de cierto pueblo cambiar a una razn de: 2 +

    personas por mes. La poblacin actual es de 5000 personas. Cul ser la poblacin dentro de 9 meses?

    DATOS:

    X = MESES

    RAZON = 2 + 6 POBLACION ACTIVA = 5000 P

    = 2 + 6

    Dp = (2 + 6 ) dx

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    43/50

    p = ( )p = p =

    p = p =

    p = p =p = 500x = 0

    500 = C = 5000

    P = Px = q = P = 5126 personas

    47) Un fabricante ha encontrado que el costo marginal es $ por unidad. Cuando sehan producido q unidades el costo total de produccin de las 2 primeras unidades es $900.Cul es el

    costo de produccin de las 5 primeras unidades?

    DATOS:

    COSTO MARGINAL: Q = unidades

    Ct 2 primeras unidades es de $900

    Ct 5 primeros meses: ?

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    44/50

    C = C = C = C = 900 = 900 = 8 120 +800+c

    c= 212

    INTEGRAL DEFINIDA

    48) Encontrar y= [x-

    + 6x + c ]

    y= [ (3) - + 6(3) + c] [ (-1) - + 6(-1) + c]y= 27 -

    + 18 + c + 1 + + 6 + cy= 52 4 = 48

    49) Encontrar dxu= 1+ = du= 4x dx u

    = x dx y = y = [

    + c ]10

    y= [ 2(1+x)

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    45/50

    = 4 = 4

    = 3

    +

    = (3) (2 + 2 - (3 + = 3 + - 3 - = 6 = 6

    = =

    = ,=

    [ ]=

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    46/50

    = =

    ,

    = ,

    = * +

    = 9 + 9 + 3 -

    = 15-

    = -

    = 2 = 2

    ,= t - t,= (1) - (1)-((4)-(4))

    =1-1-16+64=48

    =

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    47/50

    =

    =

    = = =

    55) La funcin de costo marginal de un fabricante es si c esta dado en$ determinar el costo de incrementar la produccin de 65 a 75 unidades

    dc=c= c= 0,004

    c= , , ,c=

    c=

    c=

    c= Costo de incrementoRespuesta.- Si tengo 75 unidades incremento el costo de $346,33

    56) El valor presente en $ de un flujo continuo de de ingreso de $2000 al ao durante 5 aos al 6%compuesto continuamente esta dado por la integral

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    48/50

    | [ ] 57) Encontrar el rea de la regin limitada por la curva

    x Y

    0 21 53 17-1 1

    -2 2

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    49/50

    17

    5

    2

    1

    -2 -1 0 1 3

    |

  • 7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES

    50/50