Integral Trigonometricas, Ejercicios de Matematicas, Integrales Resueltos - Wikimatematica

10/6/2015 Integral trigonometricas, ejercicios de matematicas, integrales resueltos Wikimatematica.org

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Integrales_Trigonom%C3%A9tricas 1/17

.Integrales TrigonométricasDe por WikiMatematica.org

1/6 Integrales Trigonométricas. (Parte 1)

http://www.youtube.com/playlist?list=PL802401EE7783BEE2

Contenido

1 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS1.1 Para evaluar la integral trigonometrica

1.1.1 Tendremos 3 casos:1.1.1.1 1. Cuando n es impar1.1.1.2 2. Cuando m es impar1.1.1.3 3. Cuando m y n son pares

1.2 Para evaluar \int sec^nx*tan^mxdx1.2.1 Tendremos 5 casos:

1.2.1.1 1. Cuando n es par1.2.1.2 2. Cuando m es impar

1.2.2 3. \int tan^2kxdx1.2.3 4. \int sec^2k+1xdx

1.2.3.1 5. cuando no cabe en 1, 2, 3, 41.3 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES QUE LES SERVIRA DE MUCHA AYUDA1.4 Identidades recíprocas1.5 Identidades pitagóricas1.6 Identidades de paridad1.7 Ejemplos

https://www.youtube.com/watch?list=PL802401EE7783BEE2&v=hBrnLlouwes

http://www.youtube.com/playlist?list=PL802401EE7783BEE2



1.7.1 Ejemplo #11.7.2 Ejemplo #21.7.3 Ejemplo #31.7.4 Ejemplo #41.7.5 Ejemplo #51.7.6 Ejemplo #6

1.8 Ejercicio #61.9 Ejercicio # 71.10 Ejercicio (cuando exista coseno y seno)1.11 Mas Ejemplos1.12 Integrales que contienen secante y tangente

1.12.1 CASO # 11.12.1.1 Ejemplo # 1

1.12.2 CASO #21.12.2.1 Ejemplo #2

1.12.3 CASO #31.12.3.1 Ejemplo #3

1.13 Ejercicio (cuando la tangente es impar)1.13.1 CASO #4

1.13.1.1 Ejemplo #41.13.2 CASO #5

1.14 Otras Sustituciones1.14.1 Ejemplo

1.14.1.1 NOTA1.15 extra Ejemplos1.16 Videos1.17 Libro1.18 Busca mas temas

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICASEn esta sección las identidades trigonométricas nos servirán para integrar ciertas combinaciones de funciones trigonométricas, además nosfacilita al calculo de funciones racionales en el cual se nos facilitara mas aplicar dichas identidades. Comenzaremos con las potencias deseno y coseno.

o

(En donde al menos uno de los exponentes, n o m es un entero positivo).

Para evaluar la integral trigonometrica \int sen^nx*cos^mxdx

En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sóloun factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términosde seno).La identidad permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.

Tendremos 3 casos:

1. Cuando n es impar

Cuando en la integral trigonemetrica \int sen^nx*cos^mxdx, podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por laidentidad para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:



Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo , . Como en laexpresion no tenemos un multiplicamos ambos lados por y nos queda la expresión que yapodemos sustituir:

2. Cuando m es impar

Cuando en la integral trigonemetrica \int sen^nx*cos^mxdx, podemos de la misma manera apartar un factor de coseno yemplear para poder expresar los factores restantes en términos del :

al hacer y tendríamos

3. Cuando m y n son pares

Cuando las potencias de la integral trigonemtrica \int sen^nx*cos^mxdx son pares a la vez y , podemos aplicar las

identidades de la mitad de ángulo y algunas veces nos sera útil utilizar la identidad



seria igual a:

Para evaluar \int sec^nx*tan^mxdx

Se puede usar una estrategia similar a la anterior.

Puesto que:

, se puede separar un factor y convertir la potencia restante (par) de la secante en unaexpresión relacionada con la tangente por medio de la identidad .

O bien, puesto que:

, se puede separar un factor y convertir la potencia restante (par) de tangente asecante.

Tendremos 5 casos:

1. Cuando n es par

separar un factor de y utilice para lograr expresar los factores restantes en términos de :

de esta manera podemos hacer y y el integral quedaría así:

2. Cuando m es impar

apartar un factor de y emplear para poder expresar los factores que restan en términos de :



de esta manera podemos hacer y y nos queda

3. \int tan^2kxdx

4. \int sec^2k+1xdx

Al encontrarnos con este caso debemos integrar por partes tal como se muestra en el ejemplo 8.

5. cuando no cabe en 1, 2, 3, 4

Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores deberemos trasladarlo a y recordando que:

y

Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar identidades, integración por partes y, ocacionalmente, un pocode inventiva.

A veces será necesario poder integrar por medio de la fórmula establecida:



Se necesitará también la integral indefinida de la secante:

Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o como sigue:

Primero se mutiplican numerador y denominador por :

Si se sustituye , después , también, la integral se convierte en:

Así, se tiene:

NOTA Para integrales que contienen cosecantes y cotangentes, la estrategia es análoga a la del par secantestangentes. Recordar laidentidad:

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES QUE LES SERVIRADE MUCHA AYUDA

Identidades recíprocas

Identidades pitagóricas

Identidades de paridad

Loading WebFont TeX/Size1/Regular



Ejemplos

Ejemplo #1

Evaluar

Solución La simple sustitución no va a servir pues .

Para integrar potencias del coseno necesitaríamos un factor sen x extra. También una potencia del seno necesitaría un factor de más.De modo que se puede separar un factor del coseno y convenir el que queda, es decir, , en una expresión que contenga el seno pormedio de la identidad

Es útil contar con el factor adicional, luego se evalúa la integral sustituyendo y , y

En general trataremos de escribir un integrado que contenga potencias de seno y de coseno en una forma que contenga un solo factor deseno ( y lo restante de la expresión en términos de coseno) o bien un solo factor coseno ( y lo demás en términos de seno), la identidad

nos permite convertir de potencias pares de seno a potencias pares de coseno e inversamente.

Ejemplo #2

Determine

Solución Podríamos convertir a pero nos quedaríamos con una expresión en términos de sin factor extra.En vez de eso, separamos un solo factor seno y reescribimos el factor restante en términos de :

Sustituyendo , tenemos luego



En los ejemplos anteriores una potencia impar del seno o el coseno nos permitió separa un factor simple y convertir la potenciacomplementaria. Si el integrando contiene potencias pares de seno tanto como de coseno esta estrategia falla. En este caso aprovechamoslas identidades del ángulo mitad.

y

Ejemplo #3

Evaluar

Solución

Si escribimos , la integral no queda mejor. Pero usando la fórmula del ángulo mitad para , tenemos

Observamos que, mentalmente, hicimos la sustitución al integrar .

Ejemplo #4

Determine

Es posible evaluar esta integral con la fórmula de reducción para con el resultado del ejemplo 1, pero otro método es expresar

y aplicar la fórmula del ángulo mitad;

Ya que se representa con , debemos emplear otra fórmula de mitad de ángulo.



Con esto llegamos a

Como resumen, listamos los lineamientos a seguir al evaluar integrales de la forma donde y son enteros.

Cómo evaluar

(a) Si la potencia del coseno es impar (n=2k+1) , aparte un factor de coseno y emplee para expresar los factores restantes entérminos del seno:

=\int sen^mx(1sen^2x)^kcosxdx

A continuación, sustituya

(b)Si la potencia sel seno es impar ( , aparte un factor del seno y use para expresar los factores restantes entérminos del coseno:

Luego, reemplace . Advierta que si las potencias de sen y de cos son ambas impares use (a) o (b)

(c)Si las potencias del seno y coseno son pares a la vez, aplicamos las identidades de mitad del ángulo:

A veces es útil emplear la identidad

Usaremos una estrategia similar para evaluar integrales de la forma . Sabiendo que (d/dx) , podemosseparar un factor y convertir la potencia restante (impar) de secante a una expresión que contiene tangente usando la identidad

. O, ya que (d/dx) , podemos separar un factor sec x tan x y convertir la potencia restante(par)de tangente a secante.

Ejemplo #5

Encontrar



=

=

=

=

Ejemplo #6

Encuentre:

Esta integral puede escribirse como:

Y en tal caso realizamos lo siguiente:

Se procede a integrar por el método de sustitución tomando y :

Se sustituye y obtenemos:

Ejercicio #6



Ejercicio # 7

Ejercicio (cuando exista coseno y seno)



Mas Ejemplos

Mas ejercicios resueltos aqui.

Integrales que contienen secante y tangente

CASO # 1

La secante tiene potencia par

PASO 1

PASO 2

PASO 3

PASO 4

PASO 5

Resolver

Ejemplo # 1

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Integrales_Trigonom%C3%A9tricas:Extra_Ejemplos



CASO #2

Potencia de la tangente

PASO 1

PASO 2

PASO 3

PASO 4

Integrar

Ejemplo #2



CASO #3

Si no hay factores de la secanteTangente con potencia parPASO 1

PASO 2

PASO 3

PASO 4

Ejemplo #3



Ejercicio (cuando la tangente es impar)

CASO #4

No hay tangenteSecante potencia imparSe realiza integral por partes

Si aparece una potencia par de tangente con una potencia impar de secante, es útil expresar el integrado completamente en términosde . Las potencias de podrían requerir integración por partes, como se muestra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo #4

Encuentre:

Aquí se integra por partes con:

En tal caso:



Si se emplea la integral indefinida de la secante y se resuelve para la integral requerida, se obtiene:

Integrales como la del ejemplo anterior podrían parecer muy especiales, pero ocurren con frecuencia en aplicaciones de integración.

Integrales de la forma:

se pueden determinar mediante métodos similares como resultado de la identidad .

CASO #5

Si no es Caso I, II, III, o IV entonces convertir a senos y cosenos

Otras Sustituciones

Para evaluar las integrales de la forma:

Use la identidad correspondiente:

Ejemplo

NOTA

extra Ejemplos

mas ejemplos!





Videos

1/6 Integrales Trigonométricas. (Parte 1)

Mira los demas videos de integrales trigonometricas en Academatica.com (http://www.academatica.com/calculo/calculointegral/)

Libro

Busca mas temas

Obtenido de "http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Integrales_Trigonom%C3%A9tricas"Categoría: Matematica II

Esta página fue modificada por última vez el 4 feb 2013, a las 12:34.Academatica.com videos de wikimatematica

Sé el primero de tus amigos en indicar que legusta esto.

Wikimatemática9878 Me gusta

Me gusta esta página Compartir

0 comentarios Ordenar por:

Facebook Comments Plugin

Lo más reciente

Añade un comentario...

https://www.youtube.com/watch?list=PL802401EE7783BEE2&v=hBrnLlouwes

http://www.academatica.com/calculo/calculo-integral/

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Integrales_Trigonom%C3%A9tricas

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Especial:Categor%C3%ADas

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Categor%C3%ADa:Matematica_II

http://www.academatica.com/

https://www.facebook.com/juanpablo.islas.3

https://www.facebook.com/nelidamargarita.muruaga

https://www.facebook.com/profile.php?id=100000984287644

https://www.facebook.com/benjamin.tibi.9

https://www.facebook.com/jose.hernandezcastro.3

https://www.facebook.com/humberto.montelongo.902

https://www.facebook.com/JuliusFurius

https://www.facebook.com/wikimatematica


https://www.facebook.com/sharer/sharer.php?app_id=163093837059717&u=https%3A%2F%2Fwww.facebook.com%2Fwikimatematica&display=popup&ref=plugin&src=page


https://www.facebook.com/oscar.osorio.940

https://developers.facebook.com/docs/plugins/comments/

Integral Trigonometricas, Ejercicios de Matematicas, Integrales Resueltos - Wikimatematica

Documents

Transcript of Integral Trigonometricas, Ejercicios de Matematicas, Integrales Resueltos - Wikimatematica