funciones JJAI 2013 OKOK ADM.ppt

8/19/2019 funciones JJAI 2013 OKOK ADM.ppt

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Profesor: Mg. ALBITRES INFANTES, Jhonny


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FUNCIONES


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FUNCIONES


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FUNCIÓN Definición:

Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es unarelación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno ysolo un elemento y del conjunto B.

Se expresa como: f: A B x f( x) = y

Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es lapre-imagen de f( x) = y


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FUNCIÓN Conceptos:

Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cualesestá definida la función y se denotaDom f.

Rango :es el conjunto de todos los valores que toma lavariable dependiente(Y),y se denotaRan f.

Función Creciente:es aquella que al aumentar la variableindependiente, también aumenta la variabledependiente.

Función Decreciente:es aquella que al aumentar la variable

independiente, la variable dependiente disminuye.


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FUNCIÓN

Conceptos Fundamentales:

Si tenemos una relación fentre dos conjuntos A y B, fse diráfunciónsi a cada valor del conjunto de partida A le

corresponde uno y sólo un valor en el conjunto de llegada B.

f(x)

A B f

a

x

b = f(a)

f(x)


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Conceptos Fundamentales: La variable xcorresponde a la variable independiente y lavariable cuyo valor viene determinado por el que toma x, sellama variable independiente. Se designa generalmente por yo

f(x) [se lee “ f de x”]. Decir que “ y” es función de “ x” equivale adecir que “ y” depende de “ x”.

A B f

a

x

b = f(a)

f(x)

FUNCIÓN


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o

Conceptos Fundamentales

Se dirá: f : A B

b € Bes la imagen dea € Abajo la función f y se denota por

b= f(a)

Dom f =A Si ( x, y) € f^ ( x, z) € f y = z(Unívoca)

Toda función es relación, pero no toda relación

es función.

FUNCIÓN


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Rango o Recorrido de f:Es aquel subconjunto del codominio en el cual todos suselementos son imagen de alguna preimagen del dominio oconjunto de partida. Se denota porRec f.

12345

67

Se puede ver que para todo elemento de A, existe sólo unaimagen en B.

a

b

c

d

e

12345

67

A B

f

FUNCIÓN


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Luego para la función f denotada:

Dominio de f = Dom f = A = {a, b, c, d, e} Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Rango o Recorrido de f = Rec f = {1, 2, 3, 4, 7}

a

b

c

d

e

123456

7

A B f

Los elementos {5, 6} no son imagen de ningunapreimagen en A,luego no pertenecen al rango de f .


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FUNCIÓN

La Respuesta correcta es B


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FUNCIÓN

La Respuesta correcta es D


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Conjunto

de seres

humanos

A cada ser humano

se le asocia su

padre biológico

•Todo elemento del dominio tiene asociado un único

elemento del contradominio. Todo ser humano tiene unúnico padre biológico•No todo elemento del contradominio tiene asociado un

elemento del dominio. No todo ser humano es un padre

biológico

Conjunto

de seres

humanos


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Sean y dos conjuntos arbitrarios.Una función de en es una asociación entre elementos

de y donde a todos y cada uno de los elementos de

se les asocia un único elemento de .

El conjunto

A B A B

A B A

B

A∗ se llama de la función.

Al conjunto

dominio

codominiose le cdenomina ontradom io .nio B∗


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( )

Es el conjunto de todos los valores posibles que puede

tomar la función.También se le llama imagen del dominio bajo la función.

ada la función ! el rango de " es el conjunto

#ango de ! para

f A B f

f x B x f a

→

= ∈ ={ }

Evidentemente el rango de es un subconunto del

contradominio!

El rango de #ango de $ont

alguna

radomini deo

a

f f

A

f

∈

∗

⊂


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ab

cd

e


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ab

cd

e

Dominio


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ab

cd

e

DominioCodominio


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ab

c

de

DominioCodominio

Rango


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A la calabaza se le asocian dos

elementos en el contradominio


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∂

∇

∃

J

A

parcial

nabla

raiz

existe


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∂

∇

∃

J

Aparcial

nabla

raiz

existe

El elemento en no tiene ningún elemento

asociado en

A

B

J


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De!inimos una !unción de x en y como

toda aplicación "regla# criterio

per!ectamente de!inido$# %ue a un

número x "&ariable independiente$# le

hace corresponder un número y "' solo

uno llamado &ariable dependiente$.


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I. FUNCIÓN LINEAL

Es de la forma f( x) =mx +n

con m : Pendiente

n : Ordenada del punto de intersección entre la recta y elejeY (coeficiente de posición).

Ejemplo:

La función f( x) = 5 x – 3, tiene pendiente 5 e intersecta al ejeY enla ordenada -3.


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I. FUNCIÓN LINEAL Análisis de la Pendiente

Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debeanalizar el signo de la pendiente.

• Sim < 0, entonces la función es decreciente.• Sim = 0, entonces la función es constante.• Sim > 0, entonces la función es creciente.


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I. FUNCIÓN LINEAL

I) II)

X

Y

n

m > 0n > 0

X

Y

n m < 0n > 0

X

Y

n

m> 0

n< 0

X

Y

n

m


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I. FUNCIÓN LINEAL Tipos de funciones especiales:

a) La función de forma f( x) = x, se reconoce como funciónidentidad y su gráfica es:

1

2

f( x)

x1 2-1

-1


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I. FUNCIÓN LINEAL Tipos de funciones especiales:

b) La función de la forma f( x) =c, conc: Constante Real, seconoce como función constante y su gráfica es:

f( x)

x

●c

conc > 0 f( x)

x

●c

conc < 0


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I. FUNCIÓN LINEAL Propiedades:

El dominio de la función lineal son todos los números IR.

Las rectas que tienen la mismam serán paralelas.

Las rectas que al multiplicar sus pendientes el producto es-1serán perpendiculares.


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I. FUNCIÓN LINEAL Evaluación de una función lineal:

Dada la función f( x) =mx +n, si se busca el valor de la funciónpara un valor cualquiera de x, basta reemplazar dicho valor, asícomo también si se busca el valor de x conociendo el valor de lafunción.

Ejemplo

La función que representa el valor a pagar en un taxi, después derecorridos 200m es:

f( x) = 0.8 x + 250 con x: cantidad de metros recorridos

f( x): costo en pesos3 km = 3000 m

Entonces, el valor a pagar por un recorrido de 3 kilómetros es:

f(3000) = 0.8·3000 + 250 = 2650Por 3 kilómetros se pagan $2650.


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I. FUNCIÓN LINEAL

Si queremos saber cuántos metros recorrió una persona si pagó$2.250, se debe resolver la siguiente ecuación:

2250 = 0.8 x + 250 / -250

2000 = 0.8 x / :0.8 2500 = x

Una persona que paga $2250. recorrió 2500 metros o 2.5

kilómetros.


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I. FUNCIÓN LINEAL

Construcción de una Función Lineal conocidos valores de ella:

Para construir una función lineal se deben conocer dosrelaciones distintas entre el valor de la variable y el valor de lafunción, es decir:

( x , f( x )) y ( x , f( x ))O bien si a f( x) le llamamos y, entonces los pares quedan:( x , y ) y ( x , y )

Donde la función buscada será:

1 1 2 2

1 1 2 2

1121 x2 - x1

2 1

y – y 1= y2 - y 1 ( x – x 1)


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I. FUNCIÓN LINEAL Ejemplo

Si se sabe que el agua se congela a 32º F ó 0º C y hierve a212º F ó 100º C, ¿cómo se puede expresar los ºF como funciónlineal de los ºC?

Solución:

Se tiene la siguiente información:

y

Cº : variable independiente ( x)

ºF : variable dependiente ( y)

(0, 32) (100, 212)

x y1 1

x y22


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I. FUNCIÓN LINEAL

Reemplazando en:

Se tiene:

Donde la función que representa los ºF respecto de ºC es.

1121

x - x2 1 y – y = y - y ( x – x )

y –32 = 212 – 32 ( x – 0)100 – 0

y –32 = 180 . x100

y = 1.8· x + 32

f(x) = 1.8· x + 32


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I. FUNCIÓN LINEAL

Se le llama crecimiento aritmético a la progresión cuyostérminos aumentan en una misma cantidad constantellamada diferencia. Este crecimiento aritmético

gráficamente está representado por una recta con pendientepositiva. Si la pendiente es negativa se habla de un

decrecimiento aritmético.

Ejemplo: f ( x) = 2 x + 1 f (0) = 2· 0 + 1 = 1

f(1) = 2· 1 + 1 = 3

f(2) = 2· 2 + 1 = 5

f(3) = 2· 3 + 1 = 7

+2

+2

+2


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I. FUNCIÓN LINEAL Gráficamente

1 2

3

5

1


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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Son de la forma:

Gráfica:

Siempre es una parábola, dependiendo su forma yla ubicación de sus coeficientesa, byc.

f( x) =ax² + bx + c


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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Concavidad:Elcoeficiente a de la función cuadrática indica si la parábola esabierta hacia arriba o hacia abajo.

x

y

0 x0

y

a> 0, Abierta hacia arriba a


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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Eje de simetría y vértice:

Eleje de simetría es aquella recta paralela al eje Y y que pasapor el vértice de la parábola.

El vértice está dado por:

Vértice = -b , f -b = -b , 4ac – b² 2a 2a 2a 4a


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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA

Además, la recta x = , corresponde alEje de simetría.-b2a

_b² - 4ac 4a

x

y

·

-b2a

x0

y

·_b² - 4ac 4a

-b2a

a > 0 a < 0


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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Intersección con los ejes

Intersección con el ejeYEl coeficientec nos da el punto en el cual la parábola corta alejeY.

Sus coordenadas son (0,c)

0

c·

y

x


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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Intersección con el eje X

para determinar el o los puntos donde la parábola corta aleje X, es necesario conocer el valor deldiscriminante de lafunción cuadrática.

Se define el discriminante como:

D =b² -4ac


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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA a) Si el D = 0, la parábola corta en un solo punto al eje X.

0 ·

Y

X

a > 0

( x = x ,0)1 2


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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA b) Si el D > 0, la parábola corta en dos puntos al eje X

0 ·

Y

X

a > 0

·

( x,0) y ( x ,0)1 2


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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA c) Si el D < 0, la parábola no corta al eje X.

0

Y

X

a > 0


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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Naturaleza de las raíces de una ecuación de 2º grado

Si f(x) = 0, tendremos que ax² + bx + c = 0, llamadaEcuación de2º gradoen su forma general.

Toda ecuación de 2º grado posee dos soluciones, pudiendo serreales o imaginarias, las que vienen dadas por la expresión:

x = -b ±√b²- 4ac 2a

x = -b ±√b²- 4ac 2a

1

x = -b ±√b²- 4ac

2a

2

Estassoluciones, raíces o ceros de la ecuacióncorresponden gráficamente a los puntos donde la función f( x)= ax² +bx +c cortaal eje X. Estos puntos tienen comocoordenadas

( x

,0) y ( x ,

0)1 2


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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Tipos de soluciones

Dependen del valor del Discriminante

a)Si D = 0, 2soluciones reales iguales

b)Si D > 0, 2soluciones reales distintas( x y x € C, con x ≠ x )

c)Si D < 0, 2soluciones imaginarias distintas( x y x € C, con x ≠ x )

D =b² -4ac

(x = y)1 1

1 12 2

1 12 2


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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Ejemplo:

Sea la ecuación de 2º grado: x² + 2x – 15 = 0. ¿Cuáles son las soluciones deesta ecuación?

Sabemos que las soluciones de una ecuación de 2º grado vienen dadas por

En este caso a = 1 b = 2 c = -15Luego,

Luego,

x = 3 x = -5

x = -b ±√b²- 4ac 2a

x = - 2 ±√ 2²- 4·1·(-15) 2·1 x = - 2 ±√4- 60 2 x = - 2 ±√64

2 x = - 2 ±8 2

x = - 2 + 8 21

x = - 2 - 8 22

1 2


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III. FUNCIÓN PARTE ENTERA Su valor, para cada número x € IR, es la parte entera de x y sedesigna por [x]. Ésta se escribe:

Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor

entero que es menor o igual a x, es decir:

Ejemplos:

[2,9] = 2 ;[-7/2] = -4 ;[5] = 5 ;[√2] = 1

f( x) = [ x]

[ x] ≤ x < [ x+1]

Todo número real está comprendido entre dos númerosenteros, la parte entera de un número es el menor de

los números enteros entre los que está comprendido.


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III. FUNCIÓN PARTE ENTERA

Obsérvese que esta función es constante en los intervalossemiabiertos (semicerrados) de la forma [n,n + 1[ conn € Z.Por tanto, los segmentos horizontales contienen sus

extremos izquierdos, pero no los derechos


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IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número x € IR, denotado por | x|, essiempre un númeroreal no negativoque se define:

Ejemplo:

|-3| = 3 |12| = 12 |-18| = 18 |-5,3| = 5,3

f( x) = | x| =

x si x ≥ 0

- x si x < 0

Si los números reales están representadosgeométricamente en el eje real, el número | x| se

llamadistancia de x al origen.


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IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO a indica el punto de traslación en el eje de las coordenadas.


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IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO b indica el punto de traslación en el eje de las abscisas.


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IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Propiedades:

a. Si | x| ≤a entonces -a ≤ x a; cona ≥ 0

b. Si | x| ≥a entonces x ≥a ó - x ≥a

c. |xy| = |x| · |y|

d. |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdad Triangular)


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IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO La última propiedad se llama desigualdad triangular, pues,cuando, se generaliza a vectores indica que la longitud de cadalado de un triangulo es menor o igual a la suma de las longitudesde los otros dos.


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IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Ejercicios:

Determinar el intervalo solución de las siguiente inecuación:

a. |x – 3| ≤ 2

Aplicando la primera propiedad:

-2 ≤ x – 3 ≤ 2 -2 + 3 ≤ x ≤ 2 + 3

1 ≤ x ≤ 5 x € [1, 5]


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IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

La Respuesta correcta es B


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IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

La Respuesta correcta es D


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V. FUNCIÓN EXPONENCIAL Es la función inversa del logaritmo natural y se denotaequivalentemente como:x êx o x exp(x)

La función exponencial fcon basease define como

f( x) =a Sia > 0 ̂a ≠ 1, x € IRx


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V. FUNCIÓN EXPONENCIAL Propiedades:

El dominio de la función exponencial está dado por losnúmeros IR.

El recorrido de la función exponencial está dado por los IR*.

El punto de intersección de la función con el ejeY es (0, 1).

La función no intercepta el eje X.


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V. FUNCIÓN EXPONENCIAL Crecimiento y decrecimiento exponencial:

Sia > 1, f( x) escreciente en todo IR.

Mientras más grande el número de la base, la línea

estará más cerca del ejeY.


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V. FUNCIÓN EXPONENCIAL Crecimiento y decrecimiento exponencial:

Si0


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V. FUNCIÓN EXPONENCIAL Ejercicio:

Determinar la función que representa en número de bacterias que hay enuna población después de x horas si se sabe que inicialmente había 10.000bacterias y que la población se triplica cada una hora.

Solución:

Cantidad inicial = 10.000Después de una hora = 10.000 · 3 = 30.000Después de dos horas = 10.000 · 3 · 3 = 90.000… Después de x horas = 10.000· 3

Por lo tanto, siendo x el número de horas que pasan desde el inicio del

estudio, la cantidad de bacterias se representa por la función:

f(x) = 10.000 · 3

x

x


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V. FUNCIÓN LOGARÍTMICA La inversa de una función exponencial de basea se llamafunción logarítmica de base ay se representa porlog .

Está dada por la siguiente ecuación:

a

y = log x si x = a y

a


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V. FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Propiedades

El dominio de la función logarítmica está dado por los númerosIR, la función no está definida para x ≤ 0.

El punto de intersección de la función con el eje X es (1, 0).

La función no intercepta el ejeY.


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Crecimiento y decrecimiento Logarítmico:

Si a > 1, f(x) = log x es creciente para x > 0.a


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Crecimiento y decrecimiento Logarítmico:

Si0 0.a


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Ejercicios: Dado los valores:log 2 = 0.3010 ylog3 = 0.4771. Entonces, en la función f( x) =log x, determine f(6).

Solución: f(6) =log (6)

Dondelog 6 =log (2 · 3)

Por Propiedadlog (2 · 3) =log 2+ log3

= 0.3010 + 0.4771 = 0.7781

Por lo tanto:Si f( x) =log x, entonces f(6) = 0.7781


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LaRespuestacorrectaesD

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