FUNCIONES INVERSAS Y SUS DERIVADAS RECORDAR . UNA FUNCION es una regla que asigna un único valor y de su rango o condominio a cada punto x de su dominio ,geométricamente significa que toda recta vertical corta a la grafica de f exactamente en un solo punto EXIXTENCIA DE FUNCIONES INVERSAS Para decidir si una funcion tiene inversa la funcion debe ser inyectiva o uno a uno FUNCIONES INYECTIVAS Una funcion f(x) es inyectiva en su dominio D si para

)()( 2121 xfxfqueimplicaxx ≠≠

Esto equivale a la condición geométrica o criterio grafico de la recta horizontal para decidir si una funcion tiene inversa es que

toda recta horizontal corte a la grafica de f a lo mas en un punto

Este criterio es difícil cuando no se conoce la grafica

Un criterio mas practico es que la funcion sea estrictamente monótona es decir f debe ser creciente o decreciente en su dominio Teorema : Si f es estrictamente monótona en su dominio entonces f tiene una inversa

Dos funciones f y g son inversas una de otra si : La funcion compuesta entre f y g satisface las igualdades f(g(x))=x para todo x en el dominio de g y g(f(x)) = x para todo x en el dominio de f se nota g como como (se lee inversa de f ) 1−f

---------------------------------------------------- COMENTARIOS : Si es la inversa f entonces también f es la inversa de 1−f 1−f ,es decir ff =−− 11 )(

El dominio de f debe ser idéntico al recorrido de 1−f y viceversa

La notacion de inversa con el símbolo -1 es diferente del exponente -1 es decir no es 1/f(x) 1−f

Por lo tanto la funcion compuesta de f y de 1−f en cualquier orden debe ser la funcion identidad

xffo =−1 y xff o =−1

Podemos pensar en f -1 como la funcion que actúa deshaciendo lo hecho por f Por ejemplo

1-la resta deshace la suma Si Cxxf +=)( entonces Cxxf −=− )(1 2- La división deshace la multiplicación f Cxx =)( entonces

0,1 ≠=− cconcxf

3- La radicación deshace la potenciación 2)( xxf = entonces xf =−1 con x>0

La grafica de es una reflexion de la grafica de 1−f f con respecto a la línea y=x

TEOREMA

la grafica de f contiene el punto (a, b) si y solo si la grafica de 1−fcontiene el punto (b, a) Si (a, b) esta en la grafica de f entonces baf =)( y por lo tanto

por lo tanto (b, a) esta en la grafica de aaffbf =−=− ))(()( 11 1−f

Método para hallar analíticamente la función inversa de otra 1 se despeja la variable x es decir se resuelve la ecuación y=f(x) en términos de y

2. La expresión que resulta en y se le llama )(1 yf −

3Se intercambia la x por la y para obtener )(1 xf − EJEMPLOS Hallar la inversa de

62 += xy

Solución Como y=f(x) es una funcion creciente entonces tiene inversa Se despeja x de la ecuación y se obtiene

)(2

)6( 1 yfyx −=−=

Ahora se intercambia x por y y la inversa es:

)(2

)6( 1 xfxy −=−=

Y comprobando con la compuesta entre f y )(1 xf −

xxxxfxff ==−+=+= −−

22

2)662()62())(( 11

xxxxfxff =+−=+−=−=− 6662

)6(2)2

)6(())(( 1

Las graficas correspondientes son

EJEMPLO

Hallar la inversa de 32)( −= xxf Solución : Se observa que f es creciente en todo su dominio, para hallar la ecuación de la inversa se hace y=f(x) y se despeja x en términos de y

32 −= xy se eleva al cuadrado en ambos lados

322 −= xy se despeja x

)(2

3 12

yfyx −=+= se intercambia variables

)(2

3 12

xfxy −=+=

Y como el recorrido de f es el intervalo ),0[ ∞ se define ese intervalo como

dominio de 1−f

)(2

3 12

xfxy −=+= con 0≥x

Las graficas de las inversas son :

EJEMPLO. ersa de Hallar la inv

132 +x)(

−=

xxf

Solución uno en los intervalos ),1(),1,( ∞−∞f es uno a es decir el dominio son los

Entonces si

números reales diferentes de 1

132 +x

−=

xy resolviendo

o despejando x se tiene 32)1( +=− xxy multiplicando

32 +=− xyyx factorizando x 32 +=− yxyx 3)2( +=− yyx

)(23 1 yf

yyx −=−+= intercambiando variables

)(23 1 xf

xxy −=−+= si x distinta de 2

as rectas verticales verde y rojas son las respectivas asuntotas

AS CON DOMINIO RESTRINGIDO

OTA : Para funciones que no tienen inversa en su dominio natural se

L INVERS Nrestringe el dominio a un conjunto donde la grafica sea creciente o decreciente

Por ejemplo para la funcion 2xy = no tiene inversa porque no es inyectiva porque para 2 puntos distint 2 las imágenes no son distinta porque

sa

os , 2 y -f(2)= 4 y f(-2)= 4 entonces restringiendo el dominio a 0≥x (0 también a

0≤x entonces 2xy = con 0≥x es inyectiva por lo tanto tiene inver x y= y

haciendo cam variables resulta bio de xy = las graficas son

Ejemplo

a funcion f(x)=sen x no es inyectiva en todo su dominio porque L

)()0( πsensen = , y )6

()6

( 5ππ sensen = entonces se restringe el dominio

al intervalo ]2

,2

[ ππ−y así la funcion es inyectiva y tiene inversa y se llama

)()(1 xnxsen =− sus graficas son : cosear

TEOREMAS DE LA FUNCION INVERSA Suponga que la funcion f es continua y creciente en el intervalo cerrado [a, b] entonces : (i) f tiene inversa definida en [f(a),f(b)] (ii) es creciente en [f(a),f(b)] 1−f(iii) es continua en [f(a),f(b)] 1−f Suponga que la funcion f es continua y decreciente en el intervalo cerrado [a, b] entonces : (i) f tiene inversa definida en [f(a),f(b)] (ii) es decreciente en [f(a),f(b)] 1−f(iii) es continua en [f(a),f(b)] 1−f DERIVADA DE LAS FUNCIONES INVERSAS La relacion enre las pendientes de las graficas de las inversas también es reciproca Si la pendiente de y=f(x) en el punto (a, f(a) es 1m 0)(' ≠af entonces la

pendiente de en el punto correspondiente (f(a),a) es 2m )(1 xf −=y)('

1af

Es decir la derivada de en 1−f )(af es igual al reciproco de la derivada de aenf

TEOREMA REGLA DE LA DERIVADA DE INVERSAS Si f es una funcion derivable y estrictamente monótona (creciente o decreciente) en el intervalo I y 0)(' ≠xf para toda x de I entonces es 1−fderivable (es decir existe la derivada de 1−f en el punto correspondiente

)(xfy = o en el intervalo f [I] y es :

)('1)()'( 1

xfyf =−

También se puede escribir como :

dxdydy

dx 1= donde )(1 yfx −=

EJEMPLO :

Halle la derivada de la inversa de 121)( += xxf

22)(1 −=− xxf entonces

)121()( += x

dxdxf

dxd

es decir 21)(' =xf y

)22()(1 −=− xdxdxf

dxd

es decir 2)()'( 1 =− xf

EJEMPLO

2)( xxf = entonces xf =−1 con x>0 mostrar que las pendientes de las

graficas de f y de son inversa en los puntos 1−fa) (2,4) y (4,2) b) (3,9) y (9,3)

Solucion Las derivadas de f y de 1−f son

xxf

xxf

21)()(

2)(''1 =

=

−

a) en (2,4) la pendiente de la grafica de f es

41

)2(21

421)4()(

4)2(2)2(''1 ===

==

−f

f en el punto (4,2)

b) b) en (3,9) la pendiente de la grafica de f es

61

)3(21

921)9()(

6)3(2)3(''1 ===

==

−f

f en el punto (9,3)

Entonces en ambos casos las pendientes son reciprocas EJEMPLO Halle la derivada de la inversa de 2)( 3 −= xxf en x=6 =f(2) sin hallar

)(1 xf − solo aplicando el teorema Soluciòn Se deriva f y se calcula en 2

12)4(3)2('3)(' 2

===

fxxf

Por lo tanto la derivada de la inversa calculada 6 es

121

)('1)()( '1 ==−

xfxf

121

)2('1)6()( '1 ==−

ff

EJERCICIO HALLAR LARECTA TANGENTE A LA GRAFICA DE UNA FUNCION INVERSA Halle la ecuación de la recta tangente a la grafica de )(1 xfy −= en el puntos=3donde

5)( 3 −= xxf Solución

3)2(3)(' 2

==

fxxf

Entonces y por el teorema 2)3(1 =−f

121

)('1)()( '1 ==−

yfxf

121

)2('1)3()( '1 ==−

ff de modo que la recta tangente tiene de pendiente

121=m y pasa a través del punto cuyas coordenadas son x=3 y

por lo tanto la ecuación de la recta tangente es 2)3()( '1 =−f

2)3(121 +−= xy

Sin embargo hallando la funcion inversa es 31

1 )5()( +=− xxf Diseño y elaboración de CLARA CASTILLO Y JORGE RINCON