Funciones continuas

§ 1. DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD. EJEMPLOS.

Por una función en un espacio métrico E nos referimos, por supuesto, una función en el conjunto de puntos de E, y por una función con valores en un espacio métrico E 'nos referimos a una función con valores en el conjunto de puntos de E'. Así, si f es una función del espacio métrico E en el espacio E 'métrica, escrito:

f: E → E ',

a continuación, a cada punto p ∈ E se asocia un punto f (p) ∈ E '. La función f: E → E 'se llamará continua en un punto p0 ∈ E si, en términos generales, puntos de E que están cerca de p0 se asignan por f en los puntos de E 'que se encuentran cerca de f (p0). Esta es la definición precisa:

Definición. Sean E y E 'sean espacios métricos, con distancias denotados d y d' respectivamente, sea f: E → E 'es una función, y dejar que p0 ∈ E. Entonces f se dice que es continua en p0 si, dado cualquier número real ∈> 0, existe un número real δ> 0 tal que si p ∈ e y d (p, p0) <δ, entonces d '(f (p)), f (p0)) <e.

El número δ por supuesto depende ∈, por lo que podría tener más precisión δ escrito (E) en lugar de δ. Nos apegamos a la δ notación en lugar de δ (E) para simplificar la notación, siempre teniendo en cuenta que cada E debe tener su propio δ. La definición puede reformularse diciendo que f es continua en p0 si, dado cualquier bola abierta en E 'del centro de f (p0), existe una bola abierta en E del centro de p0 cuya imagen por f está contenido en la bola primero. Otra reformulación es que f es continua en p0 si, dado cualquier subconjunto abierto de E1 que contiene f (p0), existe un subconjunto abierto de E que contiene p0 cuya imagen por f está contenida en la antigua subconjunto abierto. Si E y E 'son los dos subconjuntos de R (por lo que tenemos una función real de una variable real) la definición original dice que f es continua en p0 si, dado cualquier E> 0,

existe un δ> 0 tal que siempre que p ∈ E y . Esto se ilustra en la Figura 17.

Definición. Si E, E 'son espacios métricos, y f: E → E', es una función, entonces f se dice que es continua en E o, más brevemente, continua, si f es continua en todos los puntos de E.

f es continua en p0, No en p1

Ejemplo 1. La función f: R → R dada por f (x) = x2 para cada x ∈ R es continua. Para probar esto, tenemos que demostrar que f es continua en cada x0 ∈ R. Tenemos que demostrar que para

cualquier E> 0 podemos encontrar un δ> 0 tal que cuando pero desde:

Tendremos | x2 - x02 | <E si | x - x0 | <1 y | x - x0 | <E / (I + 2 | x0 |). Por lo tanto podemos tomar δ = min {1, E / (1 + 2 | x0)}.

Proposición. Sea E, E 'sea espacios métricos y f: E → E' una función. Entonces f es continua si, y sólo si, para cada subconjunto abierto U de E ', la imagen inversa

es un subconjunto abierto de E.

Para probar esto, primero supongamos que f es continua. Tenemos que demostrar que si U ⊂ E 'está abierto, también f-1 (U) es abierto. Vamos p0 ∈ f-1 (U). Entonces f (p0) ∈ U. Puesto que U es abierto, que contiene la bola abierta en E 'del centro de f (p0) y un poco de radio de E> 0. Puesto que f es continua en p0 hay un δ> 0 tal que si p ∈ E y D (p, p0) <δ entonces d '(f (p), f (p0)) <E. Esto significa que si p está contenido en la bola abierta en E del centro de p0 y el radio δ entonces f (p) está contenida en la bola abierta en E 'del centro de f (P0) y el radio E, por lo que f (p) ∈ U. es decir, f-1 (U) contiene la bola abierta en e del centro de p0 y radio 5. es un abierto de E que contiene p0, por lo tanto, contiene la bola abierta en E del centro de p0 y algunos radio δ> 0. Por lo tanto si p ∈ E y D (p, p0) <δ, entonces d '(f (p), f (p0)) <E. Esto significa que f es continua en p0, y esto completa la demostración.Corolario. Si f es una función real continua en el espacio métrico E entonces para cualquier a ∈ R

son subconjuntos abiertos de E.

Para los conjuntos y son subconjuntos abiertos de R.

El siguiente resultado se suele parafraseó "una función continua de una función continua es una función continua".

Proposición. Sea E, E ', E "ser espacios métricos, f: E → E', g: E '→ E" funciones. Entonces, si f y g son continuas, por lo que es la función g º f: E → E ". Más precisamente, si p0 ∈ E y f es continua en p0 y g es continua en f (p0) ∈ E ', entonces g º f es continua en p0.

Sólo necesitamos demostrar este último, más preciso, una parte. Sean d, d ', d "denotan las tres métricas. Supongamos que E> 0 se da. Entonces, dado que g es continua en f (p0), existe δ> 0 tal que si q ∈ E' y d '(q, f (p0)) <δ entonces d "(g (q), g (f (p0))) <E. Pero ya que f es continua en p0, correspondiente a esta δ existe un número η <0 tal que si p ∈ e y d (p, p0) <η entonces d '(f (p), f

(p0)) <δ. Por lo tanto si p ∈ e y d (p, p0) <η tenemos d "(g (f (p)), g (f (p0))) <E, demostrando g º f continua en P0. El argumento anterior se ilustra en la Figura 18 en la página siguiente.

La versión débil de la última proposición, donde f: E → E 'y g: E' = E "se supone que es continua en todas partes, puede ser demostrado ser muy sencilla mediante el criterio anterior de la continuidad, de la siguiente manera. Si U es cualquier subconjunto abierto de E ', la continuidad de g implica que g-1 (U) es un subconjunto abierto de E', por lo que la continuidad de f implica que f-1 (g-1 (U)) es una subconjunto abierto de la U. Sin embargo, para cualquier U ⊂ e ", si p ∈ e entonces p ∈ f-1 (g-1 (U)) si y sólo si f (p) ∈ g-1 (U), lo cual es cierto si y sólo si g (f (p)) ∈ U. Por lo tanto f-1 (g-1 (U)) = (g º F) -1 (U). Hemos por lo tanto, se muestra que si U es un subconjunto abierto de E ", a continuación, (g º F) -1 (U). es un subconjunto abierto de E, lo que implica que º F g es continua.

Figura 18.Un función continua de una función continua es continua.

§ 2. CONTINUIDAD Y LÍMITES.

Considere la siguiente pregunta: ¿Sean E, E 'sea espacios métricos, y mucho p0 ∈ E, y mucho

ser una función. ¿Es posible ampliar la definición de f para todo de E de tal manera que se obtenga una función de E en E 'que es continua en p0? En un caso, la respuesta a esta pregunta es trivial, y que es el caso en el que p0 no es un punto de acumulación de E. Porque si p0 no es un punto de E acumulación entonces cualquier función de E en E 'es continua en p0. Esto es así ya que existe una bola en E del centro de p0 que contiene sólo un número finito de puntos de E, por lo tanto, una bola de centro de p0 y el radio más pequeño que contiene sólo el punto P0. Si δ es el radio de la última bola entonces los estados que p ∈ E y D (p, p0) <δ implican que p = p0. Por lo tanto para cualquier f: E → E ', y cualquier p ∈ E tal que d (p, p0) <δ tenemos d' (f (p), f (p0)) = 0. En el caso de que p0 es un punto de acumulación de E nos lleva a la siguiente definición.

Definición. Sea E, E 'espacios métricos, vamos p0 ser un punto de acumulación de E y deja

ser una función. Un punto q ∈ E "se llama un límite de f en p0 si, dado cualquier

E> 0, existe un δ> 0 tal que si y d (p, p0) <δ, entonces d '(f (p), q) <E Dada E, E ', un

punto p0 acumulación de E y allí puede existir en más de un límite de f en p0 El argumento es el mismo que el de la singularidad del límite de una sucesión convergente: Si q, q '∈ E' son dos límites de f en P0, a continuación, dado cualquier E> 0 existe existe un δ> 0 tal que si p

∈ e, p ≠ p0 y d (p, p0) <δ entonces d '(f (p), q) <E y d' (f (p), q ') <E Desde p0 es un punto de e acumulación, no existe en realidad los puntos p ∈ e tal que p ≠ p0 y d (p, p0) <δ, por lo que podemos deducir que d '(q, q') <2E. Dado que esto es cierto para cualquier E> 0 tenemos d '(q, q') =0, de modo que q = q’. Si, en las condiciones anteriores, existe un límite de f en p0, entonces ya

que el límite es único podemos hablar del límite de f en p0 y denotamos esta .

Proposición. Sea E, E 'sea espacios métricos. A continuación, una función f: E → E 'es continua en

p0 ∈ E si y sólo si, para cada sucesion de puntos p1, p2, p3, en E tal que tenemos