Funciones Continuas Nuevo 2014
Transcript of Funciones Continuas Nuevo 2014
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
1/40
Funciones continuas
En el curso de cálculo diferencial estudiamos una definición simple de la
continuidad que tiene una función en un punto de R
. Veamos como se planteaban
entonces.
Sea a∈ R y f : R → R una función bien definida.
Diremos que f es continua en x=a si;
1.¿ aϵ Dom (f )
2.¿∃ lim x →a
f ( x)
3.¿ lim x →a
f ( x)=f (a)
Si fallan alguna de estas tres condiciones entonces la función no es continua en x=a,
es decir; f es discontinua en x=a . demás diremos que f en continua en un
inter!alo o en un subcon"unto de R
si f en continua en cada punto del inter!alo o del
subcon"unto de R
, por consecuencia podemos decir que f es discontinua en un
inter!alo o subcon"unto de R
si lo es en un punto que pertenece a dic#o inter!alo o
subcon"unto de R
.
$as funciones continuas constituyen una clase fundamental para las operaciones del
análisis matemático.%na idea intuiti!a de función continua se tiene al considerar que su
gráfico es continuo, en elsentido que se puede dibu"ar sin le!antar el lápi& de la #o"a de
papel, como en la figura '.' y nocomo en la figura '.(.
)unción contin*a. )igura '.'
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
2/40
)unción discontinua. )igura '.(
%na función continua pro!ee la expresión matemática de la situación muy frecuente de
que a +incrementospequeos- de la !ariable independiente corresponden +incrementos
pequeos- de la !ariabledependiente.En el curso de análisis matemático estudiaremos la
continuidad de las funciones de forma más formal.
Definición 1:
Sea A ⊆ R
, seaf : A→ R , y sea
c⊆ A. Se dice que f es continua en c si
dada cualquier !ecindad V de fc/, existe una !ecindadU V de c tal que si
x∈ A ∩ U V , entonces fx/ pertenece aV
.
Definición 2:
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
3/40
Sea A ⊆ R
, seaf : A→ R . Si
B ⊆ A, se dice que f es continua en 0 si f
es continua en cada punto de 0.
Teorema 1
Sea A ⊆ R
, seaf : A→ R , y sea
c⊆ A. Entonces las condiciones
siguientes son equi!alentes1
i. f es continua en c
ii. Dado cualquierε>0 existe δ ( ε )>0 tal que si | x−c|0 tal que | x−c|
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
4/40
ii ¿⟹iii ¿
3onsideremos una sucesión ( xn ) tal que xn∈ A , para todo n∈ N y
( xn ) con!erge a c. 2or definición de con!ergencia, para ε>0 , δ ( ε )>0 , existe
N ∈ N tal que , n> N implica que | xn−c|
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
5/40
Sea A⊆ R , sea
f : A→R , y seac∈ A
. Entonces f es discontinua en c si y solo
si existe una sucesión( xn) en tal que ( xn) con!erge a c, pero la sucesión
(f ( xn )) no con!erge a fc/.
Demostración:(⟹)
4a&onemos por absurdo. Supongamos que toda sucesión( xn) en tal que ( xn)
con!erge a c, cumple que(f ( xn )) con!erge a fc/, luego por el teorema '
(iii)⟹(i) se tiene que f es continua en c77 3ontradicción ya que f es discontinua en
c, lo supuesto es falso por lo tanto existe una sucesión ( xn) en tal que ( xn)
con!erge a c, pero la sucesión(f ( xn )) no con!erge a fc/.
(⟸)
4a&onemos por absurdo, supongamos que f es continua en c, por el teorema '
(i)⟹(iii) se tiene que ( xn ) es una sucesión cualquiera de n*meros reales tal que
xn∈
A para toda n∈ N y ( xn ) con!erge a c, entonces f ( xn ) con!erge a
fc/.77 3ontradicción ya que la sucesión(f ( xn )) no con!erge a fc/. $o supuesto es
falso por lo tanto fes discontinua en c.
Ejemplos de funciones continuas:
'./ Sea f ( x )=) con ) constante. $a función f es continua en x=a con
a∈ R
En efecto1
Seaε>0 cualquiera y δ ( ε )>0 tal que si | x−a|0 tal que | x−a|
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
6/40
En efecto1
Sea ε>0 , y δ ( ε )=ε>0 , como f ( x )= x entonces f (a )=a , luego;
| x−a|0 existe δ ( ε )>0 tal que si | x−c|0 tal que si | x−c|0 tal que si 0
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
7/40
Teorema de límitesSi cada l6mite existe entonces1
a .¿ lim x → a
( f ( x )+g( x ))=lim x →a
f ( x)+lim x→ a
g ( x)
$ .¿ lim x → a ( f ( x )−g ( x))=lim x → a f ( x)−lim x→ a g( x )
c .¿ lim x →a
(f ( x ) + g( x ))= lim x→ a
f ( x )+ lim x→ a
g ( x)
d .¿ lim x →a (
f ( x )g( x ))=
lim x →a
f ( x)
lim x → a
g( x )si lim
x→ a
g ( x)*0
e . ¿ lim x→ a
[) + f ( x ) ]=) + lim x →a
f ( x )
f . ¿ lim x→ a
) =)
g .¿ lim x →a
(f ( x))n=( lim x →a f ( x))n
,∀ n∈ N
.¿ lim x → a
n√ f ( x )=n√ lim x→ a
f ( x ), n∈ N
donde lim x →a
f ( x )>0 sin es par .
Estos teoremas ya se probaron en el capitulo de limites capitulo anterior al de
continuidad/ y la demostración sale por definición rigurosa de limites.
Demostración de los teoremas de límites:
a./lim x→ a
( f ( x )+g ( x))=lim x → a
f ( x)+ lim x →a
g ( x)
Demostración1
!ea lim x →a
f ( x
)= - # lim
x →a
g( x
)= ,%"eremos pro$ar %"e
lim x→ a
( f ( x )+g ( x))= -+
En efecto1
Veamos por definición, como1
lim x→ a
f ( x)= -
Entonces1
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
8/40
∀ ε>0,∃δ 1>0 tal%"e00,∃δ >0 :0
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
9/40
lim x→ a
( f ( x )−g( x))= -−
En efecto1
Veamos por definición, como1
lim x→ a
f ( x )= -
Entonces1
∀ ε>0,∃δ 1>0 tal%"e00,∃δ >0 :0
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
10/40
lim x→ a
( f ( x )−g( x))=lim x→ a
f ( x )−lim x→ a
g ( x)
c./lim x→ a
( f ( x ) + g ( x))=lim x→ a
f ( x) + lim x →a
g( x )
Demostración1
!ea lim x →a
f ( x )= - # lim x →a
g ( x )= ,%"eremos pro$ar %"e
lim x→ a
( f ( x ) + g ( x))= -+
En efecto1
3omo el l6mite de g existe en a, g es acotado en un entorno de a, por lo que existe un
+¿ # ) *0) ∈ R
¿ tal que |g( x )|0 , existe δ 0>0
tal que1
0
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
11/40
∀ ε>0,∃δ 1>0 tal%"e00,∃δ >0 :0
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
12/40
d .¿ lim x →a (
f ( x )g( x ))=
lim x →a
f ( x)
lim x → a
g( x )si lim
x→ a
g ( x)*0
Demostración1
!ea lim x →a f ( x )= - # lim x →a g ( x )= *0,%"eremos pro$ar %"e :
lim x→ a (
f ( x)g ( x))= -
En efecto1
Veamos por definición, como1
lim x→ a
f ( x)= -
Entonces1
∀ ε>0,∃δ 1>0 tal%"e0
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
13/40
Dadoε=
1
2| | , existe un δ >0 tal que
00
, tenemos que1
existe un+¿ # ) *0
) ∈ R¿ tal que |g( x )|>)
#ora1
|f ( x)g ( x)−
-
|=| + f ( x )− -+ g( x )
+ g( x) |=| + f ( x )− - + - − -+ g( x )
+ g( x) |=¿
| + f ( x )− - + g ( x) + - − -+ g( x )
+ g( x ) |=| + (f ( x )− - )
+ g( x ) −
-+ ( g ( x )− ) + g( x ) |
¿| 1g ( x) + ( f ( x )− - )− -
+g ( x)+ (g ( x)− )|
/ 1
|g( x )|+|f ( x )− -|+
| -|| |+|g( x)|
+|g ( x )− | por D . 0 .
¿ 1
) + ε + )
2 +
| -|| |+|g( x )|
+ ε + ) +| |
2| -| por ( ' ) # ( '' )
¿ ε
2+
ε
2=ε
s61
∀ ε>0,∃δ >0 :0
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
14/40
lim x→ a (
f ( x)g ( x))= -
Es decir;
lim x→ a (
f ( x)g ( x))=lim
x→ a
f ( x )
lim x →a
g( x) si lim x → a g( x )*0
e .¿ lim x→ a
) =)
Demostración1
Veamos por definición1
Sea ε>0 y δ >0 cualquiera tal que 0
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
15/40
Entonces1
∀ ε>0,∃δ >0 tal%"e00,∃δ >0 tal %"e0
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
16/40
lim x→ a
( f ( x ))) +1= lim x →a
[ ( f ( x))) + f ( x )]≝. de potencia
¿ lim x→ a
[( f ( x))) ]+ lim x→ a
f ( x )teorema c .¿del 2 mites
¿( lim x →a f ( x)))
+ lim x → a f ( x) por1 . ' .
¿( lim x → a f ( x))) +1≝.depotencia
s6;
lim x→ a
( f ( x ))) +1=( lim x →a f ( x))) +1
2or lo que se cumple para n='.
$uego, por el proceso de inducción matemática, tenemos que1
lim x→ a
( f ( x ))n=(lim x→ a f ( x ))n, ∀n∈ N
.¿ lim x → a
n√ f ( x )=n√ lim x→ a
f ( x ), ∀n∈ N , donde lim x→ a
f ( x )>0 sinespar .
Demostración1
!ea lim x →a
f ( x )= -
3aso '1 $=?
3omo n√ -=n√ 0=0 , debemos probar que dado ε>0 , existe δ >0 tal que1
0
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
17/40
0
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
18/40
n√ f ( x )−n√ -= ( n√ f ( x))
n
−( n√ - )n
(
n
√ f ( x)
)
n−1+
(
n
√ f ( x )
)
n−2 n
√ -+⋯+
n
√ f ( x )( n
√ - )
n−2+( n
√ - )
n−1
n√ f ( x )−n√ -= f ( x )− -
n√ ( f ( x))
n−1+n√ (f ( x))
n−2 -+⋯+
n√ f ( x ) -
n−2+n√ -n−1
(2)
3uando0
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
19/40
Sea g ( x )=(−1 ) f ( x ) , se tiene que1
lim x→ a
g( x)=lim x →a
(−1 ) f ( x )=(−1 ) lim x → a
f ( x )= (−1 ) ->0
$uego, por el caso ( y como n es impar, tenemos que1
lim x→ a
n√ g( x )=n√ lim x→ a
g( x )= n√ (−1) -
⟹ lim x → a
n√ (−1 ) f ( x)= n√ (−1) -
⟹(−1) lim x→ a
n√ f ( x)=(−1) n√ -
⟹ lim x → a
n
√ f ( x)= n
√ -
2or lo tanto1
lim x→ a
n√ f ( x)= n√ lim x →a
f ( x) ,∀n∈ N ,donde lim x →a
f ( x)>0 sinespar
Ejercicios de continuidad:
'./ $as funciones f (3 )=sen(3) y g (3 )=cos (3) son continuas en todo R .
Demostración1
Sea a∈ R cualquiera.
Debemos probar que dado ε>0 , existe δ >0 tal que1
|3−a|
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
20/40
$a longitud del cateto !ertical es |sen (3 )−sen(a)| .
$a longitud del cateto #ori&ontal es |cos (3 )−cos(a)| .
$a longitud de la #ipotenusa esd ( - (3 ) , -(a)) , la distancia de -(3) a -(a) .
$a longitud del arco entre -(3) y -(a) es |3−a| .
Es claro que la longitud de la #ipotenusa es menor que el arco entre -(3) y
-(a) .
Es decir; d ( - (3 ) , - ( a ) )
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
21/40
lim x→ a
f ( x )=lim x→ a
(an xn+5+a1 x+a0)s"stit"#endo f
¿ lim x→ a
(an xn)+5+ lim
x →a(a1 x )+ lim
x →a( a0 ) teoremaa. ¿del osl2mites
alim x→ a
(¿¿ 0) teorema f .
¿an lim x→ a
( xn )+5+a1 lim x → a
( x)+¿delos l2mites
¿an an+5+a1 a+a0teoremae .¿ , g .¿ #
f ( x )= x es contin"a en a .
¿ f ( a ) s"stit"#endo f
2or lo tanto1lim x→ a
f ( x )=f (a )
$uego, por el teorema (, se cumple que1f es continua en a. y por la definición ( se tiene que1
f es continua en R .
./ Si f es una función racional, entonces fes contin*a en cualquier punto de su
dominio.Demostración1
!ea f ( x )= P( x)6( x )
con P ( x ) # 6 ( x ) f"nciones polinomicas # 6 ( x)*0
$uego; Domf = { x∈ R tales %"e 6( x)*0 } y sea a∈ Domf , as6 6(a)*0 .#ora, calculemos el l6mite de f cuando x tiende a aF.
lim x→ a
f ( x )=lim x→ a (
P( x )6( x))s"stit"#endo f
¿lim x→ a P( x )lim x →a
6( x) teoremad .¿delosl2mites
¿ P (a)6(a)
porel e7ercicio anterior( 87 .1decontin"idad)
¿ f ( a ) por≝.de f # como6 (a)*0
2or lo tanto;
lim x→ a
f ( x )=f (a)
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
22/40
s6; por el teorema ( se cumple que f es continua en a. y por la definición ( tenemos
que f es continua en R
.
A./ Seaa∈ R
, probar que si f es continua en a yf ( a )>0
, entonces existe un
inter!alo abierto (a−δ , a+δ ) tal que1
f ( x )>0,∀ x∈ (a−δ , a+δ ) .
Demostración1
2or ser f continua en a, paraε=
1
2 f (a)
, existe unδ >0 tal que1
| x−a|
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
23/40
2araε1=δ 1 , existe δ >0 tal que1
0
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
24/40
¿ lim→0
f ()+lim→0
f (a) por a.¿delteoremadel2mites
¿0+ f ( a ) por e. ¿delos teorema del2mites # (¿)
¿ f (a)
2or lo tanto;
lim x→ a
f ( x )=f (a)
s6 por el teorema ( tenemos que; f es continua ena∈ R .
H./ Si f es una función continua en un inter!alo cerrado Ia,bJ y si # es un n*mero
tal que1
f (a )
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
25/40
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
26/40
3omo ( x )*0 para todo x∈ A , se cumple que
lim x→ c
( x)*0
9 por los teoremas de los l6mites podemos decir que1
lim x→ c (
f ( x)( x) )=
lim x→ c
f ( x )
lim x →c
( x )
$uego sustituyendo ( ' ) y ( '' ) en lo anterior tenemos que1
lim x→ c (
f ( x)( x) )= f (c)(c )=( f )(c)
s6 por el teorema ( se cumple que1f / es continua en c.
Corolario 1 del teorema 3.
Sea A⊆ R
, sea f y g funciones de a R
, y sea) ∈ R
. Sea f y g son
continuas en .
a./ Entonces f +g , f −g, f +g#) + g son funciones continuas en .
b./ Si : A →R es continua en c y si ( x )*0 para todo x∈ A ,
entonces el cociente f / es continuo en .
Demostración:2arte a1
Sea c∈ A , 3omo f y g son continuas en por la definición ( se tiene que f y g
son continuas en c. $uego por el teorema parte a se tiene que1f +g , f −g, f +g#) + g son funciones continuas en c, y como c es un punto
cualquiera de entonces por la definición ( se tiene quef +g , f −g, f +g#) + g son funciones continuas en .
2arte b1
Sea c∈ A , 3omo f y # son continuas en por la definición ( se tiene que f y
g son continuas en c. demás ( x )*0 para todo x∈ A , as6 (c)*0 ,
luego por el teorema parte a, se cumple quef / es continuo en c, y como c
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
27/40
es un punto cualquiera de . entonces por la definición ( tenemos que,f / es
continuo en .
Continuación de los ejercicios de continuidad:
L./ Sea f una función continua en el inter!alo cerrado[0,1] . 2robar que1
0/ f ( x )/1,∀ x∈ [0,1 ]⟹ f tiene"n p"nto fi7o
Es decir; existe un c en I?,'J tal que f ( c )=c .
Demostración1
3aso '1 f?/=?
3omo 0/ f (0 ) /1 ya que f?/=?/ y f?/=? entonces ? es un punto fi"o para f.
3aso(1f'/='
3omo 0/ f (1 )/1 ya que f'/='/ y f'/=' entonces ' es un punto fi"o para f.
3aso 1f (0 )*0 # f (1)*1
3onsideremos la función g ( x )= x−f ( x) . 2or ser f continua en I?,'J, g
tambiMn lo es por el corolario del teorema /.demás1
g (0 )=0− f (0 )=−f (0 )0 por ipotesis
s61 g (0 )
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
28/40
b./ Si f es continua en A
, entonces |f | es continua en .
Demostración1
2arte a1
Sea c∈ A , 3omo f es continua en por la definición ( se tiene que f es continua en
c.
$uego por el teorema ' tenemos que1
∀ ε0>0,∃δ 0>0 :| x−c|
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
29/40
b./ Si f es continua en A , entonces √ f es continua en .
Demostración1
2arte a1
3omo f es continua en c y como c∈ A entonces f (c ) &0 , luego por el
teorema (
5enemos que1
lim x→ c
f ( x )=f ( c )( ' )
$uego por el teorema del l6mite de una ra6& tenemos que1
lim x→ c
√ f ( x)=√ lim x →c
f ( x)( '' )
Sustituyendo ( ' ) en ( '' ) tenemos que1
lim x→ c
√ f ( x)=√ f (c )
s6 por el teorema ( obtenemos que1
√ f es continua en c.
2arte b1
Sea c∈ A , como f es continua en , por la definición ( se tiene que f es continua en
c. $uego por el teorema B parte a/ obtenemos que √ f es continua en c.
s6 por la definición ( tenemos que √ f es continua en .
Teorema ":
Sean A ,B⊆ R , y sean
f : A→ R yg :B →R funciones tales que
f ( A )⊆B . Si f es continua en c∈ A y g es continua en $=f (c)∈B , entonces
la composición g∘ f : A→ R es continua en c.
Demostración1
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
30/40
Sea N una !ecindad de gb/. 2uesto que g es continua en b, #ay una !ecindad V
de b=fc/ tal que si #∈B ∩V entonces g( # )∈9 . 3omo f es continua en c, #ay
una !ecindad % en c tal que si x∈ A ∩ U
, entoncesf ( x)∈V
. 2uesto que
f ( A )⊆B , se tiene que si x∈ A ∩ U , entonces f ( x)∈B∩V de manera que
( g∘ f ) ( x )=g( f ( x ))∈9 . 2ero como N es una !ecindad arbitraria de gb/, esto
implica que g∘ f es continua en c.
Corolario del teorema ":
Sean A ,B⊆ R , y sea
f : A→R continua en y seag :B → R continua
en 0. Si f ( A )⊆B , entonces la función composición g∘ f : A→ R es continua en
.
Demostración1
Sea c∈ A , por la definición ( se tiene que f es continua en c y como f (c)∈B
entonces g es continua en fc/ luego por el teorema G se cumple queg∘ f : A→ R es
continua en c. 9 por la definición ( se cumple que g∘ f : A→ R es continua en .
Ejemplos:
a./ Sea f , g : R→ R definidas por f ( x )= x−1 y g ( x )=2 x+3 , son
continuas en R por ser polinomicas, luego;
( g∘ f ) ( x )=g ( f ( x ) )=g ( x−1 )=2 ( x−1 )+3=2 x−2+3=2 x+1
( g∘ f ) ( x )=2 x+1
El cual es polinomica por lo tanto !erificamos que la composición de funciones
continuas es una función continua.
Teorema #:
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
31/40
Sean : ,; ⊆ R . Sean y 0 cerrados en
R tales que : = A ∩ B . Sean
f : A→; yg :B →; funciones continuas tales que f ( x )=g ( x ) , para todo
x∈ A ∩ B . Entonces la función : : →; definida por
( x )={f ( x ) si x∈ Ag ( x ) si x∈BEs continua.
Demostración1
3aso '1 x∈ A
3omo x∈ A
entonces por definición de # se tiene que ( x )=f ( x) y como f es
continua entonces # es continua.
3aso (1 x∈B
3omo x∈B
entonces por definición de # se tiene que ( x )=g( x ) y como g es
continua entonces # es continua.
3aso 1 x∈ A ∩ B
3omo x∈ A ∩ B
entoncesf ( x )=g ( x )=( x ) y como f y g son continua entonces #
es continua.
s6; la función # es contin*a.
Ejemplo:
'./ Seaf : R → R definida por
f ( x )={ x2si x /0
| x|si x&0
OSera f continua en todo
R
PSolución1
Sea A= { x∈ R : x/0 } y B={ x∈ R : x&0} luego A ∩B={ x∈ R : x=0 }
$uego para x∈ A se cumple que f ( x )= x2
el cual es continua por ser
polinomica/, para x∈B se cumple que f ( x )=| x| el cual es continua por
el teorema A parte b/ y para x∈ A ∩ B se tiene que 02=0 y |0|=0 por
lo quef (0 )=0
as6 por el teorema H se tiene que f es continua en todo R
.
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
32/40
Corolario del teorema #
Sean : ,; ⊆ R . Sean y 0 abiertos en R tales que : = A ∩ B . Sean
f : A→; y g :B →; funciones continuas tales que f ( x )=g ( x ) , para todo
x∈ A ∩ B . Entonces la función : : →; definida por
( x )={f ( x ) si x∈ Ag ( x ) si x∈BEs continua.
Demostración1
3aso '1 x∈ A
3omo x∈ A entonces por definición de # se tiene que ( x )=f ( x) y como f es
continua entonces # es continua.
3aso (1 x∈B
3omo x∈B entonces por definición de # se tiene que ( x )=g( x ) y como g es
continua entonces # es continua.
3aso 1 x∈ A ∩ B
3omo x∈ A ∩ B entonces f ( x )=g ( x )=( x ) y como f y g son continua entonces #
es continua.
s6; la función # es contin*a.
E"emplo1
Sea f : R → R definida por
f ( x )={2 x+1 si x0
OSera f continua en R−{0 }
P
Solución1
Sea A= { x∈ R : x0} luego A ∩B=∅
s6 para x∈ A se cumple que f ( x )=2 x+1 la cual es contin*a por ser
polinomica/ y para x∈B se cumple que f ( x )= x2− x la cual es contin*a
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
33/40
por ser polinomica/ luego por el corolario ' del teorema H se tiene que1 f es
continua en todo R .
2odemos decir que las #ipótesis del teorema H y de su corolario son tan importantes
para garanti&ar la continuidad de funciones ramificadas, !eamos un e"emplo de una
función ramificada que solo es continua en un solo punto de su dominio.
Ejemplo:
Sea f : R →R definida por
f ( x )={ x s i x∈6− x si x∈ R−6a./ 2robar que f es continua en ?
b./ 2robar que f no es continua en R−{0 } .
2rueba1
2arte a.
f (0 )=0 por definición de f.
Sea x∈ R
, por propiedad de !alor absoluto se tiene que; | x|=|− x|
s6, |f ( x)|=| x| para ambos casos.
$uego;
∀ ε>0,∃δ =ε>0 tal %"e| x−0|
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
34/40
2ero |f ( x )−f ( # )|=|− x− #|=|−( x+ # )|=| x+ #|>| x| ya que x y #
tienen el mismo signo.
s6; |f ( x )−f ( # )|>| x|=ε
2or lo tanto, por el teorema ' se cumple que f no es continua en x∈ R− {0 }2or consecuencia f es continua solo en ?.
Teorema $:
Sean : e ; subcon"untos de R , f : : → ; una función.
f es continua si y solo si la imagen in!ersa de un con"unto abierto en ; es
un con"unto abierto en : .
Demostración1
(⟹)
SeaV ⊆; un con"unto abierto en
; . s6;
∀ 0t .% .(
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
35/40
(⟸)
Supongamos que f −1(V ) es abierto en : para todo V ⊆ R abierto en
; .
Sean x0∈ : y ε>0 . Sea V =( f ( x0 )−ε , f ( x0 )+ε )
s6;
f ( x0 )∈V ⟹ x0∈ f −1 (V )≝.deimageninersa
⟹∃ δ >0 t . % . ( x0−δ , x0+δ )⊆ f −1 (V ) por f −1 (V )es a$ierto
Sea x tal que | x− x0|0t .% .| x− x0|
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
36/40
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
37/40
V es cerrado⟹V ces a$ierto≝.decerrado
⟹ f −1 (V c )esa$ierto0eorema9
⟹( f −1 (V ))c esa$ierto-ema 1
⟹ f −1 (V )es cerrado≝. de cerrado
∴ f −1 (V ) es cerrado en :
s6; la imagen in!ersa de un con"unto cerrado en;
es un con"unto cerrado en :
.
(⟸)
Sea A
un con"unto abierto en;
.
A esa$ierto⟹ Aces cerrado≝.decerrado
⟹ f −1 ( Ac )escerrado por ipotesis
⟹ ( f −1 ( A ) )c escerrado -ema1
⟹ f −1 ( A ) esa$ierto≝.decerrado
∴ f −1
( A )es a$iertoen : para"n a$ierto Aen; .
2or el teorema R se tiene que;
f es contin"a
'eferencias ilior*ficas
Neb1
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
38/40
'./ #ttp1TTT.gooofullsearc#.comgooglePcx=partnerKpubK
GAAGB'AH(''BLL1dotstKGa?Ucof=)48D'?Uie=%5)K
LU#l=esUq=TTT.monografias.comtraba"os'?#istorix#istorix.s#tml
(./ #ttp1TTT.
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
39/40
C-C%/,0-
En este traba"o que acabamos de presentar mostramos un enfoque más
anal6stico de las funciones continuas a tra!Ms de !ecindad y de con"untos
abiertos. [o obstante cabe mencionar la importancia que tienen di!ersos
teoremas clásicos del cálculo demostrados en este traba"o desde sus principios
usando esta definición. Sin embargo, mencionamos ortos nue!os #ec#os que no
se mencionan en cálculo como la continuidad uniforme y su relación con la
continuidad de funciones.
2ara la elaboración de este traba"o tomamos en cuenta las fuentes
bibliográficas como libros anal6sticos, de cálculo y arte de la información fue
encontrada en la Teb en las páginas mencionadas en la bibliograf6a.
-
8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014
40/40
,-D,CE2ág.
8ntroducción i
4epaso de continuidad '
Definición ' 3ontinuidad/ (
Definición ( 3ontinuidad en 3on"unto / (5eorema ' (
3orolario del teorema ' 3riterio de discontinuidad/
E"emplos de funciones continuas A
5eorema ( A,B
5eoremasde $6mites B
Demostraciones de los 5eoremas de $6mites GK'G
E"ercicios de continuidad 'GK('
5eorema (',((
3orolario del5eorema ((
3ontinuación de los e"ercicios de continuidad ((,(
5eorema A (,(A5eorema B (A,(B
5eorema G (B
3orolario del 5eorema G (B
E"emplos (B
5eorema H (G
E"emplos (G
3orolario del 5eorema H (G
E"emplos (GK(L
Definición y e"emplos (LK(R
5eorema L (R
3orolario del 5eorema L (R
E"ercicios ?
5eorema R ?,'
$ema' ',(
5eorema '? (
:istoria de las )unciones 3ontinuas KH
3onclusión L
0ibliograf6a y 4eferencias 0ibliográficas R