Algoritmo de euclides,funciones continuas

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    Relacion del algortimo de Euclides con las

    fracciones continuas, como un metodo pararesolver ecuaciones Diofanticas

    Aplicacion a los engranajes cilndricos

    Eiver Rodguez Perez

    [email protected]

    Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

    Programa de Matematicas

    Abril-2015

    http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/[email protected]
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    A manera de informacion Fraccion Continua Algoritmo de Euclides Aplicacion a los engranajes cilndricos Referencias

    Contenido

    A manera de informacion

    Fraccion Continua

    Algoritmo de Euclides

    Aplicacion a los engranajes cilndricos

    Referencias

    Eiver Rodguez Perez Teora de Numeros Sexto Semestre 2 / 27

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    A manera de informacion

    Un engranaje sirve para transmitir movimiento circularmediante el contacto de ruedas dentadas,la absorcion de los choques en un engranaje cilndrico es igual en cada

    uno de los dientes, si la relacion de transformacion es de laforma a

    bdonde a y b son numeros primos relativos entre s.

    Reciben el nombre de ecuaciones diofanticas de primer gradocon dos incognitas, las ecuaciones de la forma ax+by=cdonde las incognitas x, y son numeros enteros.Teniendopresenta que dichas ecuaciones tienen solucion si loscoeficientes de las incognitas son numeros primos relativos(a, b) = 1.

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    A manera de informacion

    Un engranaje sirve para transmitir movimiento circularmediante el contacto de ruedas dentadas,la absorcion de los choques en un engranaje cilndrico es igual en cada

    uno de los dientes, si la relacion de transformacion es de laforma a

    bdonde a y b son numeros primos relativos entre s.

    Reciben el nombre de ecuaciones diofanticas de primer gradocon dos incognitas, las ecuaciones de la forma ax+by=cdonde las incognitas x, y son numeros enteros.Teniendopresenta que dichas ecuaciones tienen solucion si loscoeficientes de las incognitas son numeros primos relativos(a, b) = 1.

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    A manera de informacion

    Un engranaje sirve para transmitir movimiento circularmediante el contacto de ruedas dentadas,la absorcion de los choques en un engranaje cilndrico es igual en cada

    uno de los dientes, si la relacion de transformacion es de laforma a

    bdonde a y b son numeros primos relativos entre s.

    Reciben el nombre de ecuaciones diofanticas de primer gradocon dos incognitas, las ecuaciones de la forma ax+by=cdonde las incognitas x, y son numeros enteros.Teniendopresenta que dichas ecuaciones tienen solucion si loscoeficientes de las incognitas son numeros primos relativos(a, b) = 1.

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    Sea 61x+ 27y= 28, una ecuacin diofntica, donde (61, 27) = 1 y

    adems, 61

    27= 2 +

    1

    3 + 1

    1 +1

    6

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    Fraccion Continua

    Sea cualquier numero real.Designemos con la letraq1 el mayor entero que no supera a .Si no es entero se tiene

    =q1+ 1

    2; 2 >1

    Exactamente ocurre si

    2, , s1

    no son enteros, se tiene

    2 =q2+ 13

    ; 3 >1

    s

    1=qs

    1+

    1

    s ; s>1Eiver Rodguez Perez Teora de Numeros Sexto Semestre 5 / 27

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    Fraccion Continua

    Sea cualquier numero real.Designemos con la letraq1 el mayor entero que no supera a .Si no es entero se tiene

    =q1+ 1

    2; 2 >1

    Exactamente ocurre si

    2, , s1

    no son enteros, se tiene

    2 =q2+ 13

    ; 3 >1

    s

    1=q

    s

    1+

    1

    s;

    s>1

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    En virtud de lo cual obtenemos el siguiente desarrollo de enfraccion continua

    = q1+ 1

    q2+ 1

    q3+...+1

    qs1+ 1

    s

    (1)

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    Algoritmo de Euclides

    En efecto se tiene:

    a=bq1+r2; a

    b =q1+

    1br2

    b=r2q2+r3; b

    r2=q2+

    1r2r3

    rn2 =rn1qn1+rn;

    rn2

    rn1 =qn1+

    1rn1rn

    rn1 =rnqn; rn1

    rn=qn,

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    a

    b =q1+

    1

    q2+ 1

    q3+...+1

    qnLos numeros q1, q2, ...,que figuran en el desarrollo del numero en fraccion continua, se llaman cocientes incompletos.Las fracciones 1 =q1, 2 =q1+

    1q2

    ,3 =q1+ 1q2+

    1q3

    , , se

    llaman reducidas.Podemos establecer una ley de formacion de las reducidas, enefecto, haciendo unificar P0 = 1, Q0 = 0, podemos representarsucesivamente las fracciones reducidas en la forma siguienteAB

    = PsQs

    para designar Acon la notacion Ps y Bcon la notacion Qs

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    1 = q1

    1 =

    P1

    Q1

    2 = q1+

    1

    q2

    1 = q2q1+ 1

    q2 1 + 0= q2P1+P0

    q2Q1+Q0= P2

    Q2

    3 =

    q2+

    1q3

    P1+P0

    q2+ 1q3Q1+Q0

    = q3P2+P1q3Q2+Q1

    = P3

    Q3

    Y en general,

    s= qsPs1+Ps2qsQs1+Qs2

    = Ps

    Qs

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    A d i f i F i C i Al i d E lid A li i l j il d i R f i

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    Por tanto, los numeradores y denominadores de las fraccionesreducidas las podemos calcular susecivamente por las ecuaciones:

    Ps=qsPs1+Ps2,Qs=qsQs1+Qs2

    para s>3 (2)

    Es util realizar estos calculos segun el esquema siguiente.

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    A d i f i F i C ti Al it d E lid A li i l j il d i R f i

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    Examinemos la diferencia s s1 de dos fracciones reducidasconsecutivas.Paras>1 hallamos

    s s1 = Ps

    Qs P

    s

    1

    Qs1= hs

    QsQs1

    donde hs=PsQs1 QsPs1; poniendo en lugar de Ps y Qs susexpresiones (2) y haciendo simplicaciones evidentes, obtenemos

    hs= hs1. Esto ultimo, junto con h1 =q1 0 1 1 = 1 dahs= (1)

    s.

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    As,PsQs1 QsPs1 = (1)

    s (s>0) (2)

    s s1 = (1)s

    QsQs1(s>1)

    Cuando el desarrollo de

    a

    b en fraccion continua posee n terminos,la fraccion reducida scoincide con ab

    . Por lo tanto tanto

    s s1 = (1)s

    QsQs1si s=n, entonces

    a

    b =n

    luegoa

    b n1 =

    (1)n

    QnQn1

    Apliquemos lo anterior a la ecuacion ax by=c, con factores

    comunes (a, b) = 1.Eiver Rodguez Perez Teora de Numeros Sexto Semestre 13 / 27

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    Luego abes continua y ab =n entonces;

    a

    b

    Pn1

    Qn1=

    (1)n

    QnQn1

    haciendo comn denominador y simplificando

    aQn1 bPn1

    bQn1=

    (1)n

    QnQn1

    como ab

    y Pn1Qn1

    son reducidas consecutivas, entonces b=Qn.Por lo tanto

    aQn1 bPn1 = (1)n (3)

    multiplicando la expresion (3) por (1)nc, tenemos, donce c esuna constante entera

    a[(1)n1cQn1]b[(1)n1cPn1] = (1)

    n(1)n1c= (1)2n1c

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    Como 2n 1 es impar

    a[(1)n1cQn1] b[(1)n1cPn1] = c

    a[(1)n1

    cQn1] b[(1)n1

    cPn1] +c = 0a(x) b(y) +c = 0

    De dondex= (1)n1cQn1

    y= (1)n1cPn1

    conforman una solucion para esta ecuacion.

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    g p g j

    Tenga en cuenta que si a,bson primos relativos entre s y [x0, y0]

    es una solucion arbitraria de la ecuacion lineal ax by+c= 0,entonces

    x=x0+bt; y=y0+at

    t= 0,1,2,3, ,n seran otras soluciones.

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    g g j

    Aplicacion a los engranajes cilndricos

    Ruedas dentadas y transmisiones por medio de ellas mismas

    Las ruedas dentadas sirven para la transmision directa de potenciao movivimientos entre dos mas ejes. La transmision del esfuerzotiene lugar por medio del engranaje de los flancos de los dientes.

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    La velocidad tangencial comun

    v=V1 =V2 =d01 n1

    60=d02 n2

    60=r01 n1

    30=r02 n2

    30[m/s]

    Si d0

    y r0

    se miden en metros tenemos:

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    n1

    n2=

    d02d01

    = r02r01

    conV1 =r01 w1 =r02 w2

    La relacion de transformacion vale:

    i= w1

    w2 = d02d01 =

    r02r01 =

    n1

    n2 = z2

    z1

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    Para la eleccion de la relacion de transformacion tenga en cuenta

    las siguientes consideraciones Para rapido radaje del engranaje, la relacion de transformacion

    debe ser un numero entero, porque as siempre engranan losmismos pares de dientes.

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    Ejemplo 1: Se desea construir dos ruedas dentadas para un

    engranaje que den una relacion de transmision i= 131

    85, esto podrarealizarse, si una de las ruedas tuviera 131 dientes y la otra 81;noobstante, no conviene que las ruedas tengan menos de 10 dientesni mas de 30. Calcular el numero de dientes que debe tener cadarueda para que esto se cumpla.

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    Solucion: Por la propiedad de la diferencia de reducidasconsecutivas tenemos que:

    Pn

    Qn

    Pn1

    Qn1 =

    (1)n

    QnQn1

    Pn = 131, Qn = 85,Pn1 =y, Qn1 =x. Por lo tanto

    131

    85

    y

    x =

    (1)n

    85x

    131x 85y= (1)n

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    Como (131, 85) = 1 es una ecuacion diofantica. Calculemos lasreducidas.

    131

    85 = 1 +

    1

    1 + 1

    1 + 1

    5 + 11 +

    1

    1 +1

    3De donde Pn1 = 37 y Qn1 = 24, de donde

    131(x) 85(y) + (1)6 = 0

    La solucion es:

    x= (1)n1cQn1 = (1)6(1) 24 = 24

    y= (1)n1

    cPn1 = (1)6

    (1) 37 = 37Eiver Rodguez Perez Teora de Numeros Sexto Semestre 23 / 27

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    Pero el ejercicio nos pide que las ruedas no deben tener menos de10 dientes ni mas de 30. Luego i= 2437 entonces planteamos unanueva ecuacion

    24x 37y= (1)n

    Calculemos las reducidas:

    24

    37= 0 +

    1

    1 + 1

    1 +

    1

    1 + 1

    5 +1

    2

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    Calculadas sus reducidas se halla que

    Pn1Qn1

    =1117

    de donde las ruedas deben tener 11 y 17 dientes respectivamente.

    Luego i=11

    17

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    Ejemplo 2:Para calcular el menor numero de vueltas n0 que sedebe dar al husillo desembragado del carro de un torno, para pasarde una a otra entrada al roscar un tornillo de filete multiple decuatro entradas, de paso 32 , siendo la constante del torno

    58 , se

    llega a la ecuacion:

    4

    5

    8

    n0 4

    3

    2

    n1 =

    3

    2

    5n0 12n1 = 3

    entonces, 5(n0) 12(n1) 3 = 0, que es una ecuacion diofantica,

    (5, 12) = 1. Calculemos las reducidas:5

    12= 0 +

    1

    2 + 1

    2 +1

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    Como n0 = (1)3cQn1 = (1)

    3(3)(5) = 15 yn1 = (1)

    3cPn1 = (1)3(3)2 = 6 y nos piden el menor valor de

    n0, entonces, tenemos:

    n0 = 15 + 12t n0 = 15 + 12(1) = 3

    n1 = 6 + 5t n1 = 6 + 5(1) = 1

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    Referencias

    Vinogradov , I. Fundamentos de la teora de numeros.Editoria,MIR,Moscu,

    Alonso,M y Finn, E Fisica. vol 1,Fondo educativointeramericano,S.A

    Figueroa,C. Ecuaciones diofanticas y engranajes cilndricos.Sociedad Colombiana de Matematicas XV Congreso

    Nacional de Matematicas 2005 Apuntes, Volumen Especial(2006), paginas 285,298

    Eiver Rodguez Perez Teora de Numeros Sexto Semestre 28 / 27