Funciones

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

FNCIONES

Una relación R ⊂ A x B es función . . .

Si verifica dos condiciones: ExistenciaExistencia UnicidadUnicidad

Existencia verifica si para cada elemento del conjunto A existe una imagen en B

Simbólicamente ∀a ∈ A1

2

3

2

3

4Unicidad, si cada elemento del conjunto A se relaciona con un solo elemento del conjunto B

Simbólicamente (a, b) ∈ f

A B

A = { 1, 2, 3 } B = { 2, 3,4 }

R : (a, b) ⇔ b = a + 1

: ∃b ∈ B / (a, b) ∈ fpara todo elemento a que pertenece al conjunto A se verificaque existe un elemento b que pertenece al conjunto Btal que el par ordenado (a, b) pertenece a f

Dados dos conjuntos

definimos en el producto cartesiano A x B una Relación

y

∧ (a, c) ∈ f ⇒ b = cSi el par ordenado (a, b) pertenece a f y el par ordenado (a, c) pertenece a fentonces b es igual a c

Es función si cada elemento del conjunto A se relaciona con uno y solo un elemento del conjunto B

FUNCIONES

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

1

2

3

2

4

A BEn situaciones como

también se verifica que

para cada elemento del conjunto A existe una imagen en B (existencia)

cada elemento del conjunto A se relaciona con un solo elemento del conjunto B (unicidad)

Situaciones como . . .

Es funciónEs función

1

2

3

2

4

A B

no verifica la condición de existencia

el elemento 2 ∈ A pero no tiene un correspondiente en B

NO es funciónNO es función

1

2

3

1

3

4

A B

2

En el caso . . . no verifica la condición de unicidad

el elemento 1 ∈ A se relaciona con dos elementos diferentes de la imagen (B )

NO es funciónNO es función

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Clasificación de funcionesUna función es inyectivaUna función es inyectiva si dos elementos cualesquiera diferentes del

dominio tienen imágenes diferentes

1

2

3

2

3

4

A B

En este caso tenemos función inyectivafunción inyectiva

∀x1 ∀x2 ∈ A : x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)

Porque cada elemento del conjunto A tiene imagen

diferente en el conjunto B

Una función es sobreyectivaUna función es sobreyectiva si todos los elementos del conjunto B (codominio) son Imagen de la función, es decir que todos los elementos del conjunto B admiten al menos un antecedente en el

dominio

En este caso tenemos función sobreyectivafunción sobreyectiva

Porque todos los elementos del conjunto B tienen un antecedente con el que se relacionan en el conjunto A

Si una función es Si una función es inyectivainyectiva y y sobreyectivasobreyectiva . . . es BIYECTIVA . . . es BIYECTIVA

∀y ∈ B, ∃x ∈ A / y = f(x)

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Puede suceder que . . .1

2

3

2

3

4

A B

se verifica que 1 ≠ 2 pero f(1) = f(2) = 2

función NO inyectivafunción NO inyectiva

asimismo el elemento 3 del conjunto B no admite antecedente en el conjunto A

función NO sobreyectivafunción NO sobreyectiva

1

2

3

2

4

A B

Si . . . se verifica que 1 ≠ 2 pero f(1) = f(2) = 2

función NO inyectivafunción NO inyectiva

pero todos los elementos del conjunto B admiten antecedente

en A función función

sobreyectivasobreyectiva

1

2

3

2

4

A B

31

cada elemento del conjunto A tiene imagen diferente en el conjunto B

función inyectivafunción inyectivapero no todos los elementos del conjunto B admiten

antecedente en A

función NO sobreyectivafunción NO sobreyectiva

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Para representar cualquier función se debe conocer . . . Cuál es el dominio donde está

definida la función . . . y cuál es la imagen que se corresponde

con el dominio de la función

Dm Im y se estudia la ley de variación de la función definida por y = f(x) . . .

Y = f(x)

x yesto se hace asignándo valores xi en la

expresión y = f(x); encontrando el resultado yi que le corresponde a f(xi)

el dominio de la función son los valores que puede tomar xi en f(x)

La imagen de la función son los valores que se corresponden con cada valor

del dominio de la función

recuerde siempre que: si un valor del conjunto “de salida A” no tiene

imagen, la expresión no es función (Existencia)

Representación Gráfica de Funciones

Si dos elementos diferentes del codominio (conjunto B) son

imagen del mismo elemento de A, la expresión no es función

(Unicidad)

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Podemos representar gráficamente una función en un par de ejes coordenados

en el eje de abscisas (x) el dominio N

En el eje de ordenadas (y) la imagen N

1 2 3 4 N

N

5

4

3

2

1

Sea f

x x + 1 y

Si la misma ley de variación (y = x + 1) estuviera definida de R → R

Pero al ser el dominio todos los puntos del eje x (reales), la función está definida para todo x

La función ahora es f : R → R / f(x) = x + 1

Sea la función f que va de Naturalesen Naturales tal que “f de x” es igual a x + 1

: N → N / f(x) = x + 1

y confeccionamos una tabla, asignándole

valores a x para hallar valores de y

si 1 1 + 1 2

si 2 2 + 1 3

si 3 3 + 1 4

si 4 4 + 1 5

el dominio ahora será Reales

R

R

y la imagen también Reales

debemos unir todos los puntos obtenidos

x

y

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

13 a) Para representar f: R → R / f(x) = - 5 x

Primero reconocemos que el dominio son todos los números reales

Entonces cualquier valor de x debe tener un correspondiente en y

Trazamos un par de ejes coordenados

y confeccionamos una tabla de valores

x - 5 x Y 1 -5 · 1 - 5 -1 -5 · (-1) 5

0 -5 · 0 0 2 -5 · 2 -10 -2 -5 · (-2) 10

Y finalmente porque es una relación que va de Reales en Reales, trazamos con línea llena una recta que une los puntos

identificados

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

13 b) Para representar g: Zpares → Z / g(x) =

reconocemos el dominio y la imagen de la relación

Entonces serán pares ordenados (x,y) válidos solamente aquellos donde x e y sean números enteros


y confeccionamos una tabla de valoresx Y

2 ½ · 2 1

-2 ½ · (-2) - 1

4 ½ · 4 2

-4 ½ · (-4) - 2

Y la relación queda representada por

puntos porque va de Enteros pares en

Enteros.

(no corresponde el trazado de linea

llena)

x21

x21

- 6 ½ · (-6) - 3

6 ½ · 6 3

0 ½ · 0 0

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

13 c) Para representar h(x) = 2x + 3 definida de N en N

Primero reconocemos cual es el dominio En este caso tanto el dominio como la imagen son el

conjunto de los números naturales (N)Significa que serán pares ordenados de

la relación aquellos en los que x ∈ N y resulta de aplicar x en h(x), que

también h(x) ∈ N


Y confeccionamos una tabla de

valores para g(x)

x 2x + 3 Y 1 2 · 1 + 3 5 2 2 · 2 + 3 7

3 2 · 3 + 3 9 4 2 · 4 + 3 11

5 2 · 5 + 3 13

Y la función queda representada por puntos porque va de Naturales en Naturales

y cual es la imagen de la relación

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

14 i) Para analizar el dominio de la expresión y = –3x + 4

consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor real

entonces Dm = { x / x ∈ R } Dm = [ - ∝; ∝ ]

de la misma manera, los valores que tome y para los diferentes valores de x, van a estar contenidos en la recta de los reales

entonces Im = { x / x ∈ R } Im = [ - ∝; ∝ ]


y confeccionamos una tabla de valores

x - 3 x + 4 Y 1 - 3 · 1 + 4 1

-1 - 3 · (-1) + 4 7

2 - 3 · 2 + 4 - 2

Cada valor del dominio (x) tiene un valor diferente en

la imagen (y)InyectivaInyectiva

Todos los elementos de la imagen (eje y) admiten un antecedente en el dominio

(eje x)SobreyectivaSobreyectivaPor ser una función

inyectiva y sobreyectivaEs función biyectivaEs función biyectiva

es una función que va de Reales en

Reales

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

14 ii) Para analizar el dominio de la expresión y = – x2 + 4x - 3consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor realentonces Dm = { x / x ∈ R } Dm = [ - ∝; ∝ ]

Trazamos un par de ejes coordenados y para

confeccionar la tabla de valores buscamos los valores de x que hacen 0 la función

(raíces)

x - x2 + 4x - 3 Y 1 - 12 + 4 · 1 - 3 0

3 - 32 + 4 · 3 - 3 0

2 - 22 + 4 · 2 - 3 1

Antes de definir la imagen, vamos a representar gráficamente la parábola

=−

−−−±−)1(2

)3)(1(444 2

=−

−±−2

121643

1

2

1

=

=

x

x

con estos valores empezamos la representación gráfica

El vértice de la parábola estará en un punto equidistante Tomamos valores a la izquierda

y a la derecha de los ya hallados

0 - 02 + 4 · 0 - 3 - 3 4 - 42 + 4 · 4 - 3 - 3

-1 -(-1)2 + 4·(-1) - 3 - 8 5 - 52 + 4 · 5 - 3 - 8

y finalmente trazamos la curva uniendo todos los puntos ( R → R )

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

La Relación definida por y = – x2 + 4 x – 3 que tiene una gráfica

tiene el dominio en Reales

Dm = { x / x Dm = { x / x ∈∈ R } R }

De observar el gráfico, vemos que la relación no tiene valores de y mayores que 1

Im = { x / x Im = { x / x ∈∈ R R ∧∧ x x ≤≤ 1 } 1 }

en el gráfico y en la tabla se nota que hay valores diferentes del dominio (x)

que tienen la misma imagen (y);

f(0) = - 02 + 4 · 0 – 3 = - 3

f(4) = - 42 + 4 · 4 – 3 = - 3

No InyectivaNo Inyectiva

con solo un par de valores del dominio que

admita la misma imagen, es

suficiente para que la función

sea No InyectivaIgualmente es posible ver que, de los elementos del conjunto de llegada (Reales - eje Y), solamente los menores

o iguales que 1 pertenecen a la imagen de la función

No SobreyectivaNo Sobreyectiva

por ejemplo

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

14 iii) Antes de analizar la expresión y = log2 (2x - 3)

Recordamos que a la función logarítmica la podemos definir mediante :

cbloga = ⇔ bac = ejemplo : 8238 32 =⇔=log

Las calculadoras en general, con la tecla Log x entregan valores

de logaritmo decimal; es decir de logaritmos en base 10

y con la tecla Ln x entregan valores de logaritmo natural; ( logaritmos en base e )

Si deseamos conocer un logaritmo con base distinta de 10 ó e debe . . .

plantear la siguiente expresión : =xloga

NO porque si el logaritmo es decimal, NO se coloca la base¿ en la tecla de la

calculadora falta la base ?

alogxlog con la calculadora (que

resuelve solo logaritmos decimales), podemos resolver

un logaritmo que no es decimal

Ejemplo : calcula log2 8 =

=82log =28

loglog

=301029995709030899870

,, 3

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

14 iii) Ahora representamos gráficamente log2 (2x - 3)

x [log(2x-3)]/log2 Y

2 0/0,301030 02,5 0,301030/0,301030 1

3,5 0,602060/0,301030 2

5,5 0.903090/0,301030 3

9,5 1,204120/0,301030 4

Vamos a confeccionar una tabla de valores

1,75 –0,301030/0,301030 -1

si x = 1,5 trazamos entonces en x = 1,5 la asíntota de la función

investigamos qué pasa a la izquierda de la asíntota, por ejemplo para x = 0

porque no existe ningún valor al se cual pueda elevar 2 y obtener

como resultado un negativo

recuerda que :

=− )x(log 322 =−2

32log

)xlog(

1,65 –0,522879/0,301030 -2,26

1,55 -1/0,301030 -3,32

2x – 3 = 0

Sabemos que el log 0 ∃

siempre que 2x – 3 > 0

habrá algún valor para f(x)

2x – 3 toma valores negativos y la función no está definida

en esos valores ( x < 1.5 )trazamos la curva

con los puntos conocidos (sin tocar la asíntota)

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

la relación definida por y= log2 ( 2x – 3 ) se representa en el gráfico

x toma solamente valores mayores que 1,5 entonces:

Dm = { x / x ∈ R ∧ x > 1,5 }

Im = { x / x ∈ R }

Cada valor del dominio (eje x) tiene un valor diferente en la imagen (eje y)

Función InyectivaFunción Inyectiva

Todos los elementos del codominio (eje y) son imagen de la función -admiten un antecedente en el dominio (eje x)-

Función SobreyectivaFunción SobreyectivaPor ser una función

inyectiva y sobreyectiva

Es función biyectivaEs función biyectiva

En cambio, en el gráfico se ve que todos los valores del eje y tienen antecedente en x

Recuerda que siempre es conveniente empezar a representar una función logarítmica localizando

la asíntota

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

<≤−+=>−

0x2si1x0xsi30xsi1x

314 iv) Si f(x) =

En primer lugar reconocemos que x no puede tomar valores

menores que -2

En consecuencia Dm = {x/x Dm = {x/x ∈∈ R R ∧∧ x x ≥≥ –2 } –2 } Dn = [-2 ; Dn = [-2 ; ∝∝ ))

Con frecuencia los alumnos confunden esta relación (definida por partes) con “tres relaciones diferentes”

Se trata de una sola relación (tiene y hemos hallado un solo dominio); PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE VARIACION EN

DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO

si x > 0 la ley de variación es x - 1

si x = 0 la función vale 3

si x ≤ 0 la función vale x3 + 1

La representación gráfica se realiza como para cualquier

otra relación

Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de variación se correspondan con los respectivos intervalos del dominio

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

x y = x - 1 Y 1 1 - 1 0 3 3 – 1 2

Para x > 0 f(x) = x - 1Si x se acerca mucho a 0, pero sin

ser igual a 0, toma por ejemplo valores como 0,1; 0,01; 0,001, etc

si x fuera igual a 0 entonces y sería igual a - 1

debemos entender que si x se acerca a 0 con valores mayores que 0, y se acerca a –1, pero sin ser y = -1

Representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a ese valor (-1) para valores muy

próximos de x = 0 (por derecha ); pero sin ser y = – 1 en x = 0

Unimos con una recta todos los valores hallados por tratarsae de una ley de

variación lineal y comprobamos que hay “al menos” tres puntos alineados

En x = 0 la función vale 3

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

x y = x3 + 1 Y -1 (-1)3 + 1 0 -2 (-2)3 + 1 - 7

Para x < 0 f(x) = x3 + 1Si x se acerca mucho a 0, pero sin

ser igual a 0, toma por ejemplo valores como -0,1; -0,01; -0,001, etcsi x fuera igual a 0 entonces y sería igual a 1 (con esta ley de variación)debemos entender que si x se acerca a

0 con valores menores que 0, y se acerca a 1, pero sin ser y = 1

Representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a ese valor (1) para valores muy

próximos de x = 0 (por izquierda); pero sin ser y = 1 en x = 0

Unimos los tres puntos hallados con uina curva de parábola cúbica solo para valores

comprendidos en el intervalo [-2; 0)

y tenemos así la representación gráfica de la función

<≤−+=>−

0x2si1x0xsi30xsi1x

3

f : Dm → Im / f(x) =

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

El dominio de la función ya fue encontrado [ -2; ∝ )

Y podemos observar en el gráfico que llos valores del eje y que admiten antecedente en los valores del dominio del eje x, van de

– 7 a ∝

Im = { x / x Im = { x / x ∈∈ R R ∧∧ x x ≥≥ -7 } -7 } Im = [-7; Im = [-7; ∝∝))

Existen valores diferentes del dominio que tienen la misma imagen, por ejemplo

para x= 1 ó x = - 1; y = 0

La función es No inyectivaLa función es No inyectiva

Como la función está definida de Dm → R

y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im ⊂ R

La función es No sobreyectivaLa función es No sobreyectiva

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

>

≤≤

<

1ln

101

02

xsix

xsi

xsix

14 v) Si f(x) =En primer lugar

reconocemos que x puede tomar valores que van de - ∝ a + ∝

En consecuencia Dm = {x/x Dm = {x/x ∈∈ R } R } Dn = (- Dn = (- ∝∝ ; + ; + ∝∝ ))

Con frecuencia los alumnos confunden esta relación (definida por partes) con “tres relaciones diferentes”

Se trata de una sola función (tiene y hemos hallado un solo dominio); PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE VARIACION EN

DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO

si x < 0 la ley de variación es 2x

si 0 ≤ x ≤ 1 la función vale 1

si x > 0 la ley de variación es lnx

La representación gráfica se realiza como para cualquier

otra función

Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de variación se correspondan con los respectivos intervalos del dominio

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

x ln x y 4 ln 4 1,39 8 ln 8 2,08

Para x > 0 f(x) = ln x

Si x fuera igual a 1 entonces y sería igual a 0

debemos entender que si x se acerca a 1 con valores mayores que 1, y se acerca a 0, pero sin ser y = 0

representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a y = 0 para valores muy próximos de x = 1 (por

derecha ); pero sin ser y = 0 en x = 1Unimos los valores hallados con una curva que

representa la ley de variación logarítmicaluego, estudiamos qué sucede con los valores de x comprendidos entre 0 y 1; – intervalo [0; 1] -

para cualquier valor del intervalo [0; 1] la función vale 1

si x = 0 y = 1si x = 1 y = 1

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Para los valores de x < 0 estudiaremos la ley de variación y = 2x

Confeccionamos tabla de valores

x 2x y

-1 2-1 1/2 -2 2-2 1/4

Si x fuera igual a 0 entonces y sería igual a 1

debemos entender que si x se acerca a 0 con valores menores que 0 ; y se acerca a

1, pero sin ser y = 1

representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a y = 1 para valores muy próximos de x = 0 (por izquierda); pero

sin ser necesariamente y = 1 en x = 0

Unimos los valores hallados con una curva que representa la ley de variación exponencial (2x)

Luego prolongamos la curva hasta el punto y =1, porque de un estudio anterior resulta que en x = 0 la función efectivamente vale 1

y borramos el círculo rojo de y = 1 porque al tomar valor la función en ese punto, ya no tiene sentido mantenerlo

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Cualquier valor del eje x tiene un correspondiente en el eje y

Im = { y / y Im = { y / y ∈∈ R R ∧∧ y > 0 } y > 0 } Im = (0; Im = (0; ∝∝))

Existen valores diferentes del dominio que tienen la misma imagen, por ejemplo para x = 0 ó x = 1; y = 1

La función es No inyectivaLa función es No inyectiva


y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im ⊂ R


Dm = { x / x Dm = { x / x ∈∈ R } R } Dm = (-Dm = (-∝∝; ; ∝∝))

Pero se ve también que, solamente los valores de y > 0 admiten algún antecedente en el eje x

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

14 vi) Si f(x) =

En primer lugar reconocemos que x no puede tomar el valor - 3

3x2+ en ese caso tendríamos 2 / 0; así

podemos decir que para x = - 3 no existe un valor finito de la función


Luego confeccionamos tabla de valores, para x próximos a –3 por derecha

x y3x

2+

- 2 2/(-2+3) 2- 1 2/(-1+3) 1 0 2/(0+3) 2/3 1 2/(1+3) 1/2 2 2/(2+3) 2/5-2,5 2/(-2,5+3) 4-2,6 2/(-2,6+3) 5

y estudiamos qué sucede a la izquierda de x= –3

x y3x

2+

- 4 2/(-4+3) - 2- 5 2/(-5+3) - 1- 6 2/(-6+3) -2/3

- 7 2/(-7+3) -1/2- 8 2/(-8+3) - 2/5-3,5 2/(-3,5+3) - 4-3,6 2/(-3,6+3) - 5

x = -3 es un valor que no está definido en la función, luego la línea de la función no puede cortar la línea de trazos punteada

Unimos los puntos situados a la izquierda de x = -3 por un lado y los puntos de la derecha de x = -3 por otro lado

trazamos una asíntota en x = -3

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Cualquier valor del eje x ≠ -3 tiene un correspondiente en el eje y

Im = { y / y Im = { y / y ∈∈ R R ∧∧ y y ≠≠ 0 } 0 } Im = (-Im = (-∝∝; 0) ; 0) ∪∪ (0; (0; ∝∝))

No Existen valores diferentes del dominio que tengan la misma imagen

La función es inyectivaLa función es inyectiva


y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im = R – {0}


Dm = { x / x Dm = { x / x ∈∈ R R ∧∧ x x ≠≠ - 3 } - 3 } Dm = (-Dm = (-∝∝; -3) ; -3) ∪∪ (-3; (-3; ∝∝))

los valores del eje y que se relacionan con algún valor de x; son todos, menos el 0

todos los valores del dominio tienen imágenes diferentes

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

14 d) De todas la funciones analizadas solo son biyectivas

f : R → R / f(x) = –3x + 4 y f : R > 1,5 → R / f(x) = log2 (2x – 3)

y precisamente, por ser biyectivas admiten función inversa

para hallar la inversa de la función, f : R → R / f(x) = –3x + 4

transformamos el dominio en imagenf-1 : R → R y viceversa

y = –3x + 4 y - 4 = –3xmultiplico todo por (-1) y permuto

los miembros (para ordenar)

3x = 4 - y luego despejo x3

4 yx −= y efectúo ahora un cambio de variables (x por y)

34 xy −= La ley de variación así obtenida, es la ley

de variación de la función inversa

341 x)x(f/ −=−

en la ley de variación hacemos pasajes de términos, para despejar x

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

3411 x)x(f/RR:f −=→ −−Representamos gráficamente

en el mismo gráfico que hemos representado

43 +−=→ x)x(f/RR:f

confeccionamos una tabla de

valores

x f-1(x)3

4 x−

4

344 − 0

- 2

2

- 8

4

324 )( −−

384 )( −−

trazamos la recta, que también va de R → Rtenga siempre presente que los puntos de una función

cualquiera que admite inversa; y su inversa son equidistantes respecto de la bisectriz (recta a 45º) del primer cuadrante

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

para hallar la inversa de la función, f : Dm → R / f(x) = log2(2x-3)

transformamos el dominio en imagen

f-1 : R → R > 1,5

y viceversa

luego despejamos la incógnita x de la ley de variación de f= log2(2x-3)

y = log2(2x – 3) 2y = 2x - 3 permuto los miembros (para ordenar)

luego despejo xyx 232 =−

y efectúo ahora un cambio de variables (x por y)

232 +=

xy La ley de variación así obtenida, es la ley

de variación de la función inversa

2321 +=−

x)x(f/

Dm = { x / x ∈ R ∧ x > 1,5 } entonces

f : R > 1,5 → R / f(x) = log2(2x-3)

recuerde que: logab = c ⇔ ac = b

322 += yx 232 +=

yx

recordemos que ya hemos hallado

42513

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Representamos gráficamente

en el mismo gráfico que hemos representado

)x(log)x(f/R.R:f 3251 2 −=→>

confeccionamos una tabla de valoresX f-1(x)2

32 +x

0

2320 + unimos los puntos con

trazo continuo porque f-1 va de R → R

23251 11 +=>→ −−

x)x(f/,RR:f

también aquí f-1 es equidistante de f

respecto de la bisectriz del primer cuadrante

y finalmente podemos trazar la asíntota de f-1 que es y = 1,5

recuerde que f tiene asíntota en

x = 1,5

porque aunque tomemos valores muy pequeños de x, f-1 será siempre ≥ 1,5

2

1

2321 + 2,5

2

2322 +

3,5

4

2324 +

9,5

-1

232 1 +−

1,75

-4

232 4 +−

1,53

-10

232 10 +−

1,5001

borramos la asíntota de f(x) para limpiar el dibujo

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