FUNCIÓN GAMMA MATEMÁTICA PARA INGENIEROS III

LA FUNCIÓN GAMMA

1. Revisión Histórica de la Función Gamma

La función gamma fue introducida por primera vez por el matemático suizo Leonhard

Euler (1707-1783), con el objetivo de generalizar la función factorial a valores no

enteros.

Más tarde, por su gran importancia, esta fue estudiada por matemáticos eminentes

tales como Adrien-Marie Legendre (1752-1833), Carl Friedrich Gauss (1777-1855),

Christoph Gudermann (1798-1852), Joseph Liouville (1809-1882), Karl Weierstrass

(1815-1897), Charles Hermite (1822-1901), al igual que muchos otros.

La función gamma pertenece a una categoría de funciones transcendentes especiales,

y esta función ocurre en algunas constantes matemáticas especiales. Esta aparece en

varias áreas de estudio, como en las series asintóticas, integrales definidas, series

hiper geométricas, la función Zeta de Riemann, teoría de números, otras.

2. Definición de Gamma

En matemáticas, la función Gamma (denotada como  ) es una función que extiende

el concepto de factorial a los números complejos. La notación fue ideada por Adrien-

Marie Legendre. Si la parte real del número complejo z es positivo, entonces la integral

Converge absolutamente; esta integral puede ser extendida a todo el plano complejo

excepto a los enteros negativos y al cero.

GRAFICAS DE LA FUNCION GAMMA

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Obtención de la ecuación funcional usando integración por partes

Obtener   es sencillo:

Ahora obtendremos una expresión para   como una función de :

Usamos integración por partes para resolver la integral

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Valor absoluto de la función gamma en el plano complejo.

Función Gamma en el eje

real.

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En el límite inferior se obtiene directamente .

En el infinito, usando la regla de L'Hôpital:

.

Por lo que se anula el primer término,  , lo que nos da el siguiente resultado:

La parte derecha de la ecuación es exactamente  , con lo que hemos obtenido una relación de recurrencia:

.

Apliquemos la fórmula a unos pocos valores:

Si n es un entero positivo, entonces

3. Algunas funciones definidas son

1. Γ 1 =1

2. Γ 1/2 = 𝜋

3. Γ 𝑥+1 =𝑥 Γ 𝑥

4. Γ 𝑛+12 =1∗3∗5…(2𝑛−1)2𝑛𝜋1/2

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Demostrando del punto 3:

Por definición tenemos que: Γ 𝑥 = 𝑒−𝑡∞0∗𝑡𝑥−1𝑑𝑡

Entonces Γ 𝑥+1 = 𝑒−𝑡∞0∗𝑡𝑥𝑑𝑡

Hacemos 𝑢=𝑡𝑥 𝑑𝑢=𝑥 𝑡𝑥−1𝑑𝑡 𝑑𝑣=𝑒−𝑡𝑑𝑡 𝑣=−𝑒−𝑡

Si reemplazamos en la ecuación Γ 𝑥+1 = −𝑡𝑥𝑒−𝑡 0∞+𝑥 𝑒−𝑡∞0∗𝑡𝑥−1𝑑𝑡Γ 𝑥+1 =𝑥 𝑒−𝑡∞0∗𝑡𝑥−1𝑑𝑡Si observamos la parte derecha es idéntica a la ecuación inicial de la función de

gamma por lo tanto

Γ 𝑥+1 =𝑥Γ 𝑥4. Ejercicios:

1. Calcular: ∫0

∝

xme−a xn

dx ,m,n ,a>0

Hacemos u=a xn→xn=ua→ x=( u

a)1n→dx=1

n( ua)1−nn dua

Si x=0 , u=0 ; x=∝→u=∝

∫0

∝

xme−a x2

dx=∫0

∝

(ua)mn e−n.

1an

¿

= 1

n .am+1n

∫0

∝

um+1−nn e−udu= 1

n .am+1n

Γ (m+1n )∴∫

0

∝

xme−a x2

dx= 1

n .am+1n

Γ (m+1n )

2. Calcular: ∫0

∝

√x e−8x3

dx

Sea: u=8 x3→x=u13

2→dx=

u−23

6du

Para: x=0 , u=0 para x→∝ , u→∝

∫0

∝

√x e−8x3

dx=∫0

∝u√2

16 e−u

u6

−23 du= 1

6√2∫0∝

u−12 e−udu= 1

6√2∫0∝

u12−1e−udu

16√2

Γ ( 12 )= √ π6√2

=16 √ π2

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