Función error 1

Función error

Gráfica de la función error.

En matemáticas, la función error (tambiénconocida como función error de Gauss) esuna función especial (no elemental) que seutiliza en el campo de la probabilidad, laestadística y las ecuaciones diferencialesparciales. La función queda definida por laexpresión:

La función error complementaria, llamadaerfc, se define a partir de la función error:

Función de error complejaLa función de error compleja se define mediante la siguiente expresión:[1]

Esta función es holomorfa en todo el plano complejo, impar y desarrollable en serie entera. Para real coincide conla función de error real.Esta función, llamada w(x), (también conocida como la función Faddeeva) admite la siguiente expresión:

La serie de potencias para esta función viene dada por:

PropiedadesLa función error es impar:

Además, para todo número complejo z se verifica que

donde es el conjugado de z.No es posible evaluar la integral en forma cerrada utilizando funciones elementales, pero si se expande el integrandomediante una serie de Taylor, se obtiene la serie de Taylor de la función error:

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expresión que es válida para todo número real x, y también en todo el plano complejo. Este resultado se basa en la

expansión en serie de Taylor de que es y que se integra término a término. Los términos del

denominador son la secuencia A007680 en el OEIS.Para realizar el cálculo iterativo de la serie antedicha, es útil utilizar la siguiente formulación alternativa:

porque expresa el multiplicador necesario para que el término iésimo se convierta en el término

(i+1)ésimo (suponiendo que el número "x" es el primer término).La función error en el infinito vale exactamente 1 (ver Integral de Gauss).La derivada de la función error se obtiene directamente a partir de su definición:

La función error inversa es la serie

donde c0 = 1 y

Por lo que se tiene la expansión en serie (notar que se han cancelado los factores comunes en los numeradores ydenominadores):

[2]

(Luego de cancelar las fracciones en el numerador y denominador corresponde a las entradas A092676/A132467 enla OEIS; si no se realiza la cancelación los términos del numerador corresponden a la entrada A002067.)

Gráfica de la función error complementaria.

Notar que el valor de la función error enmás/menos infinito es igual a más/menos 1.

Usos

Si los resultados de una serie de medicionesson descritos por una distribución normalcon una desviación estándar y esperanza

matemática 0, entonces es

la probabilidad de que el error de unamedición individual se encuentrecomprendido en el intervalo −a y +a.

Las funciones error y complementaria delerror, también se utilizan al buscarsoluciones a problemas de resolución de la ecuación de calor con condiciones de borde expresadas por la funciónescalón de Heaviside.

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En sistemas de comunicación digital ópticos, la "Relación de error de bit" -BER- queda expresado por la siguientefunción:

Expansión asintóticaUna expansión asintótica útil de la función error complementaria (y por lo tanto también de la función error) paravalores grandes de x es

Esta serie diverge para todo valor de x finito. Sin embargo, en la práctica solo son necesarios los primeros términosde esta expansión para obtener una buena aproximación al valor de erfc(x), donde la serie de Taylor expresadapreviamente converge muy lentamente.Otra aproximación es:

donde

Nótese que esta aproximación siempre devuelve valores positivos, cuando la función error toma valores negativosante entradas negativas. Esta singularidad se puede resolver de manera simple aplicando el signo de x al resultadofinal. (x/abs(x))

Funciones relacionadasLa función error es esencialmente idéntica a la función distribución de probabilidad normal estándar, designadacomo Φ, ya que su única diferencia es su escala y una traslación. En efecto,

A la inversa de se la conoce como la función quantil normal, o función probit y se la puede expresar utilizando lafunción error inversa:

La cdf normal estándar es utilizada más a menudo en probabilidad y estadística, mientras que la función error esutilizada con mayor frecuencia en otras ramas de las matemáticas.La función error es un caso especial de la función de Mittag-Leffler, y puede ser expresada como una funciónhipergeométrica confluyente (función de Kummer):

Posee una expresión relativamente simple mediante la integral de Fresnel. En términos de la función gammaregularizada P y la función gamma incompleta,

es la función signo.

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Funciones error generalizadas

Gráfica de las funciones error generalizadas En(x):curva gris: E1(x) = (1 − e −x)/

curva roja: E2(x) = erf(x)curva verde: E3(x)curva azul: E4(x)

curva amarilla: E5(x).

Algunos autores han analizado funcionesmás generales del tipo

Algunos casos destacables son:• E0(x) es una línea recta que pasa por el

origen:

• E2(x) es la función error, erf(x).Si se divide por n!, todas las En para nimpares son similares entre sí (aunque noidenticas). En forma similar, las En para npares luego de dividirlas por n! sonsimilares entre sí (aunque no idénticas).Todas las funciones error generalizadas paran>0 son similares para x positivas.

Estas funciones generalizadas para x>0pueden ser expresadas en forma equivalentemediante la función Gamma:

Por lo tanto, se puede definir a la función error mediante la función gamma mediante la siguiente expresión:

Integrales iteradas de la función error complementariaLas integrales iteradas de la función error complementaria son definidas como

Ellas poseen las series de potencias

de las que se deducen las siguientes simetrías

y

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Referencias[1][1] "Funciones especiales" Y. Ayant M. Borg Editorial Alhambra 1974[2] http:/ / functions. wolfram. com/ GammaBetaErf/ InverseErf/ 06/ 01/

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, andMathematical Tables. New York: Dover, 1972. (Capítulo 7) (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_297.htm)

Enlaces externos• MathWorld - Erf (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Erf. html)• libcerf (http:/ / apps. jcns. fz-juelich. de/ libcerf), implementación en C para argumento complejo.

Fuentes y contribuyentes del artículo 6

Fuentes y contribuyentes del artículoFunción error  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=67516402  Contribuyentes: CayoMarcio, CentroBabbage, Davius, Dnu72, Eduardosalg, Juan Mayordomo, Jxwx, Kondormari,Mxcatania, Uruk, 11 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:Error Function.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Error_Function.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: InductiveloadArchivo:Error Function Complementary.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Error_Function_Complementary.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes:InductiveloadImage:Error Function Generalised.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Error_Function_Generalised.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Inductiveload

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