Funcion Definida Por Mas De Una Regla De Correspondencia

Función a trozos es un nombre más general para una función que puede ser definida con la ayuda de múltiples funciones de correspondencia.

Una función f: X → Y es llamadauna función a trozos si puede ser definida con la ayuda de varias funciones lineales.

Podemos decir que tal función está definida en una serie de intervalos múltiples.

La notación general para definir una función a trozos es la siguiente,

Como se muestra en el ejemplo, punto y coma ócomas se utilizan al final de la columna.

Sin embargo, algunos los autores prefieren usar palabras como “si” o “para” en la columna derecha, y la palabra “ de lo contrario” también se puede utilizar para indicar el caso por defecto.

La gráfica de esta función también se divide en trozos, dependiendo del número de ecuaciones que se utilicen para definir la función.

Tal función es llamada de esta forma porque la definición de esta función cambia dependiendo del valor de la variable de entrada.

Aquí el uso de la palabra “a trozos” se hace para describir la propiedad de esa función, que es válida para una ecuación / pieza de la función pero no en todo el dominio de la función.

La función a trozos tiene una serie de funciones en su cuerpo, el dominio de cada una de ellas se define por separado. El gráfico del ejemplo dado previamente luciría de esta forma,

Es claro que el gráfico anterior contiene dos piezas separadas para indicar dos ecuaciones diferentes, por lo tanto representa la función como un todo.

Un caso especial de la función a trozos es la función piso que tiene un número infinito de piezas.

El valor absoluto de cualquier número es su distancia absoluta del cero, nunca es negativo dado que la distancia nunca es negativa.

A la luz de la afirmación anterior se puede decir que el valor absoluto de cualquier número es el número mismo hecho positivo.

La función de valor absoluto es generalmente una función par, ya que cualquier número y su equivalente negativo tienen los mismos valores absolutos.

Tal función es estrictamente decreciente en el intervalo (- ∞, 0] y estrictamente creciente en el intervalo [0, ∞).

El ejemplo ilustrado arriba es también una función de valor absoluto.

Todas las gráficas de las funciones de valor absoluto están en forma de letra “V”, ya seanrectas u oblicuas en función del valor de la variable.

Esto se debe a que un valor negativo en cada variable es igual en magnitud pero opuesto en su dirección.

Pero definitivamente no se puede llegar a la conclusión de que todas las funciones con forma de V son funciones de valor absoluto, esto es simplemente una probabilidad.

Graficar una función de valor absoluto es muy esencial para utilizar algunos valores negativos en la tabla T.

Esto se debe a que las funciones de valor absoluto se comportan algo diferente de otras funciones lineales.

Generalmente una función real de valor absoluto se comporta de forma continua en todos sus dominios.

También tal función sería diferenciable para todos los valores excepto el cero.

En el caso de una función de valor absoluto compleja, no hay diferenciación posible para alguno de sus valores. Sin embargo, es continua para el dominio completo.

Saludos y suerte prof lauro soto

Función definida por más de una regla de correspondencia

El dominio de una función puede determinarsemediante la definición de la función. Con

frecuencia se determina el contradominio a partir de la gráfica de la función, como en elsiguiente

ejemplo en el que se trata de una función definida a trozos, la cualse defina empleandomás de

una expresión.

Ejemplo 1.

Sea la función definida por:

�ሺ

ݔ ݏ� ൌ� 1 ݔሻ ൌ�� ൝ݔ ൏ 3

ݔ ݏ� 5 ൌ�� 3

� ൏ 3 ݔ 1 ݏ 2ݔ

Determine el dominio y el contradominio de y dibuje su gráfica.

Solución. Puesto que lastres expresiones contenidas en son polinomiales entonces el dominio

de es ሺൌ�∞, ∞ሻ, es decirtodoslosreales. La gráfica de la función consta de la porción de la recta

1 para la cual ݔൌ�� 2 ݕ ൏3, el punto (3, 5) y la parte de la rectaݔ ൌ�1 para la cualݔ��ൌݕ3൏ݔ.

Realizando la gráfica de la función tenemos:Apuntes de Calculo diferencial

2.6 Función definida pormás de una regla de correspondencia. Función valor absoluto

Dr..Juan M.. Camacho

2

Como podemos observar en la gráfica los valores que adquiere la función son númerosmenores

que 2, el número 5 o númerosmayores a 7. Porlo tanto el contradominio de es el número 5 y

aquellos números en ሺൌ�∞, 2 ሻ ሺ 7, ∞ሻ.

Lasfunciones definidas a trozosson de gran utilidad en el estudio de límites, continuidad y

derivada, como ejemplos y contra ejemplos de funciones que poseen ciertas propiedades.‐

Ejemplo 2.

Sea la función definida por:

�ሺ

ሻ ൌ�� ൝ݔ ݔ ݏ� ൌ� 2 ݔ3 ൏ 1

ݔ

ଶ

ݏ� 1 ݔ

Determine el dominio y el contradominio de y dibuje su gráfica.

Solución.

Puesto que las dos expresiones contenidas en son polinomiales entonces el dominio de g es

ሺൌ�∞, ∞ሻ, es decirtodoslosreales. La gráfica de la función consta de la porción de la recta

ଶݔ��ൌݕ ൏1 y la parte de la parábolaݔ ൌ� 2 para la cual ݔൌ�� 3 ݕ

para la cual ݔ1. Realizando la

gráfica de la función tenemos:

Como podemos observar en la gráfica los valores que adquiere la función son todoslos números

reales. Porlo tanto el contradominio de es ሺൌ�∞, ∞ሻ.Apuntes de Calculo diferencial

2.6 Función definida pormás de una regla de correspondencia. Función valor absoluto

Dr..Juan M.. Camacho

3

Ejemplo 3.

Sea la función definida por:

�ሺ

0 ݔ �ݏ ݔ ൝ ሻ ൌݔ��

0 ൏ ݔ �ݏ ݔ ൌ�

Esta función se denomina, como se vio en la sección 1.6,función valor absoluto.

Determine el dominio y el contradominio de y dibuje su gráfica.

Solución.

Puesto que las dos expresiones contenidas en son polinomiales entonces el dominio de la

función valor absoluto es ሺൌ�∞, ∞ሻ, es decirtodoslosreales. La gráfica de la función consta de dos

semirectas que pasan por el origen y están por arriba del eje x; una tiene pendiente 1 y la otra

tiene pendiente 1. La porción de la recta ‐ ൏0 y la parte de la rectaݔ para la cual ݔ�ൌ�� ൌ ݕݔ��ൌݕ

para la cual ݔ0. Realizando la gráfica de la función tenemos:

Como podemos observar en la gráfica los valores que adquiere la función son todoslos números

reales positivos y el cero. Porlo tanto el contradominio de es ሾ 0, ∞ሻ.Apuntes de Calculo diferencial

2.6 Función definida pormás de una regla de correspondencia. Función valor absoluto

Dr..Juan MFunción definida por más de una regla de correspondencia

El dominio de una función puede determinarsemediante la definición de la función. Con

frecuencia se determina el contradominio a partir de la gráfica de la función, como en elsiguiente

ejemplo en el que se trata de una función definida a trozos, la cualse defina empleandomás de

una expresión.

Ejemplo 1.

Sea la función definida por:

�ሺ

ݔ ݏ� ൌ� 1 ݔሻ ൌ�� ൝ݔ ൏ 3

ݔ ݏ� 5 ൌ�� 3

� ൏ 3 ݔ 1 ݏ 2ݔ

Determine el dominio y el contradominio de y dibuje su gráfica.

Solución. Puesto que lastres expresiones contenidas en son polinomiales entonces el dominio

de es ሺൌ�∞, ∞ሻ, es decirtodoslosreales. La gráfica de la función consta de la porción de la recta

1 para la cual ݔൌ�� 2 ݕ ൏3, el punto (3, 5) y la parte de la rectaݔ ൌ�1 para la cualݔ��ൌݕ3൏ݔ.

Realizando la gráfica de la función tenemos:Apuntes de Calculo diferencial

2.6 Función definida pormás de una regla de correspondencia. Función valor absoluto

Dr..Juan M.. Camacho

2

Como podemos observar en la gráfica los valores que adquiere la función son númerosmenores

que 2, el número 5 o númerosmayores a 7. Porlo tanto el contradominio de es el número 5 y

aquellos números en ሺൌ�∞, 2 ሻ ሺ 7, ∞ሻ.

Lasfunciones definidas a trozosson de gran utilidad en el estudio de límites, continuidad y

derivada, como ejemplos y contra ejemplos de funciones que poseen ciertas propiedades.‐

Ejemplo 2.

Sea la función definida por:

�ሺ

ሻ ൌ�� ൝ݔ ݔ ݏ� ൌ� 2 ݔ3 ൏ 1

ݔ

ଶ

ݏ� 1 ݔ

Determine el dominio y el contradominio de y dibuje su gráfica.

Solución.

Puesto que las dos expresiones contenidas en son polinomiales entonces el dominio de g es

ሺൌ�∞, ∞ሻ, es decirtodoslosreales. La gráfica de la función consta de la porción de la recta

ଶݔ��ൌݕ ൏1 y la parte de la parábolaݔ ൌ� 2 para la cual ݔൌ�� 3 ݕ

para la cual ݔ1. Realizando la

gráfica de la función tenemos:

Como podemos observar en la gráfica los valores que adquiere la función son todoslos números

reales. Porlo tanto el contradominio de es ሺൌ�∞, ∞ሻ.Apuntes de Calculo diferencial

2.6 Función definida pormás de una regla de correspondencia. Función valor absoluto

Dr..Juan M.. Camacho

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Ejemplo 3.

Sea la función definida por:

�ሺ

0 ݔ �ݏ ݔ ൝ ሻ ൌݔ��

0 ൏ ݔ �ݏ ݔ ൌ�

Esta función se denomina, como se vio en la sección 1.6,función valor absoluto.

Determine el dominio y el contradominio de y dibuje su gráfica.

Solución.

Puesto que las dos expresiones contenidas en son polinomiales entonces el dominio de la

función valor absoluto es ሺൌ�∞, ∞ሻ, es decirtodoslosreales. La gráfica de la función consta de dos

semirectas que pasan por el origen y están por arriba del eje x; una tiene pendiente 1 y la otra

tiene pendiente 1. La porción de la recta ‐ ൏0 y la parte de la rectaݔ para la cual ݔ�ൌ�� ൌ ݕݔ��ൌݕ

para la cual ݔ0. Realizando la gráfica de la función tenemos:

Como podemos observar en la gráfica los valores que adquiere la función son todoslos números

reales positivos y el cero. Porlo tanto el contradominio de es ሾ 0, ∞ሻ.Apuntes de Calculo diferencial

2.6 Función definida pormás de una regla de correspondencia. Función valor absoluto

Dr..Juan M

Función de valor absoluto

Función en valor absoluto

 

Recordemos que la definición del valor absoluto surge de nociones geométricas, y se relaciona con los

conceptos de longitud y distancia.

La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo

tanto, siempre será positiva o nula. 

En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su

gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.

Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos)

y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x).

2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se

cambia el signo de la función.

4. Representamos la función resultante.

Veamos un ejemplo:

Otro ejemplo:

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a

trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero  la función, sin el valor absoluto, y  se calculan

sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo  de

cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en l os

intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función .

4 Representamos la función resultante.

D= 

D=

Función valor absoluto

Como recordarás de la segunda quincena, el valor absoluto de un número representa su distancia al cero. La función valor absoluto es la que asigna a cada número esa distancia.

Teniendo en cuenta que el valor absoluto de un número es el mismo número si éste es positivo y su opuesto si es negativo, la ecuación de esta función es

Como ves es un ejemplo de función definida a trozos. En cada trozo viene representada por una función lineal de pendientes 1 y -1 respectivamente, por lo que su gráfica está compuesta por dos semirrectas con esas pendientes que se unen en el origen.