FUNCIÓN CUADRÁTICA

Prof. Evelyn Dávila Proyecto MSP21- FASE II

Academia Sabatina

La forma general de una función cuadrática es; , donde a,b y c son números reales.

Ejemplos a= 4, b= 12 , c= 9 a= 2, b= 5 , c= -3

a= 1, b= 0 , c= 25

cbxaxxf 2)( cbxaxxf 2)( cbxaxxf 2)(

cbxaxxf 2)(

352)( 2 xxxf

9124)( 2 xxxf

25)( 2 xxf

La gráfica de una función cuadrática es una parábola; ésta representa el conjunto solución de la función.

La función cuadrática básica es .

Su gráfica es la siguiente

2)( xxf

x y

2 4

1 1

0 0

-1 1

-2 4

CARACTERÍSTICAS GRÁFICAS DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Dada en la forma estándar

Dominio - los números reales

cbxaxxf 2)(

Concavidad

El valor de a nos indica el tipo de concavidad de la parábola:

Si a>0 . es cóncava hacia arribaSi a<0, es cóncava hacia abajo

a>0 a<0

Vértice

El vértice es el punto mínimo en una parábola cóncava hacia arriba y es el punto máximo en una parábola cóncava hacia abajo.

La coordenada de el vértice es dada por :

a

bx

2

)

2(a

bfy

Vértice

Punto máximo

Punto mínimo

Simetría

La parábola es simétrica con respecto a la línea vertical que pasa por su vértice y cuya ecuación es dada por

a

bx

2

.

Interceptos en x

La parábola puede tener hasta un máximo de dos interceptos en x.

En general podemos encontrar uno de los siguientes casos:

Tiene dos interceptos en x: la parábola es cóncava hacia arriba y su vértice se encuentra bajo el eje de x ó es cóncava hacia abajo y su vértice se encuentra sobre el eje de x.

Tiene un intercepto en x; el vértice se encuentra sobre el eje de x.

No tiene intercepto en x: esta parábola no intercepta el eje de x y se encuentra en el primer y segundo cuadrante ó se encuentra en el tercer y cuarto cuadrante.

Procedimiento para hallar el(los) interceptos en el eje de x

1. Igualar la función a cero y hallar las raíces mediante el método de factorización o la fórmula cuadrática.

2. En esos valores ocurren los interceptos.

Fórmula cuadráticaa

acbbx

2

42

Intercepto en y

La parábola tiene un intercepto en y y la coordenada de ese punto es (0,c).

Para ; ,

cf )0(cbxaxxf 2)(

cf )0(

EJEMPLO 1

352)( 2 xxxf

Parámetros a = 2, b = 5, c = -3

DOMINIO Números Reales

Concavidad a = 2 Cóncava hacia arriba

Vertice ( -1.25, -1.31 ) Punto mínimo

a

bx

2

)2(a

bfy

25.14

5

22

5

x

3)25.1(5)25.1(2)25.1( 2 f

125.6

325.6125.3

EJEMPLO 1 (continuación)

34

12

4

752

1

4

2

4

754

75

4

495

4

24255

)2(2

)3)(2(455 2

x

x

x

352)( 2 xxxf

Eje de simetría x = -1.25

Interceptos en el eje de x ( 0.5 , 0 ) y ( -3 , 0 )

a

acbbx

2

42

EJEMPLO 1 (continuación)

352)( 2 xxxf

Interceptos en el eje de y (0 , -3 )

GRAFICA

EJEMPLO 2

4)( 2 xxf

02

0

2

a

bx

Parámetros a = -1 , b = 0, c = 4

Dominio Números reales

Concavidad a = -1 Cóncava hacia abajo

Vértice ( 0, 4 ) Punto máximo

4)0(

)2(

fya

bfy

EJEMPLO 2 (continuación)

4)( 2 xxf

042 x

a

acbbx

2

42

Interceptos en x f(x) = 0

Esta ecuación cuadrática se puede resolver mediante uno de los siguientes métodos: despejar utilizando radicales o la formula cuadrática.

Fórmula cuadrática

22

4

22

4

2

4

2

16

)1(2

)4)(1(400 2

x

x

x

Interceptos en x ( -2, 0 ) y ( 2, 0 )

EJEMPLO 2 (continuación)

4)( 2 xxf

EJEMPLO 3

673)( 2 xxxf

17.16

7

)3(2

7

2

a

bx

Parámetros a = 3 , b = 7, c = - 6

Dominio Números reales

Concavidad a = 3 Cóncava hacia arriba

Vértice ( -1.17, -10.1 ) Punto mínimo

1.10

619.811.4

6)17.1(7)17.1(3)17.1(

)2(

2

fy

a

bfy

EJEMPLO 3 (continuación)

a

acbbx

2

42

36

18

6

117

67.3

2

6

4

6

1176

117

6

1217

6

72497

)3(2

)6)(3(477 2

x

x

x

Eje de simetría x = 1.17

Interceptos en el eje de x ( 0.67 , 0 ) y ( - 3 , 0 )

673)( 2 xxxf

EJEMPLO 3 (continuación)

673)( 2 xxxf

Práctica

9124)( 2 xxxg

Parámetros

Dominio

Concavidad

Vértice

Simetria

Intercepto(s) en x

Intercepto en y

GRAFICA

Práctica

9124)( 2 xxxg

Parámetros a = 4 , b = 12, c = 9

Dominio Números realesConcavidad a = 4 Cóncava hacia arribaVértice ( -1.5,-14.9 ) Punto mínimo

5.12

3

8

12

)4(2

12

x

)9.14,5.1(

9.1499.149

9)24.1(12)5.1(4)5.1( 2

g

Práctica – continuación

9124)( 2 xxxg

Aplicaciones

Caida libre de un objeto El modelo matemático para describir la posición de

un objeto en caída libre es dado por

002

2

1)( stvatts

Donde a , es la constante de aceleración debido a la gravedad, velocidad inicial y la posición inicial.

0v 0s

La constante de aceleracion es dada por 228.932seg

mgo

seg

piesg

Un objeto es lanzado hacia arriba desde un edificio, a una altura de 100 pies a una velocidad inicial de 5 millas por hora.

¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el objeto?

¿Cuánto tiempo le toma al objeto tocar el piso?