FUNCIONES Y GRFICAS

Funciones Elementales

FUNCIONES Y GRFICAS

Ejercicio 1.- Cules de las siguientes grficas representan funciones? Por qu?

a)

b)

c)

Si No

Si No

Si No

Porque:

Porque:

Porque:

d)

e)

f)

Si No

Si No

Si No

Porque:

Porque:

Porque:

Ejercicio 2.- Asocia cada grfica con las situaciones descritas ms abajo, y di en cada caso que representan los ejes de abscisas y los de ordenadas.

1) Altura de una pelota que bota al pasar el tiempoB)

x: el tiempo que transcurre en segundos y: la altura en centmetros que alcanza.

2) Nivel de ruido desde las seis de la maana hasta las seis de la tarde

x:. y:

3) Temperaturas mnimas diarias en Segovia a lo largo de un ao..

x:. y:

4) Precio de las bolsas de patatas fritas.

x:. y:

5) Nivel de agua de un pantano a lo largo de un ao.

x:. y:

6) Distancia a la Tierra de un satlite artificial, al pasar el tiempo..

x:. y:

CARACTERSTICAS DE LAS FUNCIONES

11.-La siguiente grfica muestra la estatura media de los varones espaoles segn su edad:

Cul es la variable dependiente? ......................... y la independiente? ...............

Cul es la estatura media a los 10 aos? .........

Cul es la etapa de vida de crecimiento? .................................................................

A partir de que edad se disminuye de altura?...............

A que edad la altura es mxima? ..................................

Cul es la altura mnima? ........................

12.-Esta es la grfica de la evolucin de la temperatura de un enfermo ingresado en la U.C.I. a lo largo de un da.

Hubo algn descenso de temperatura durante la madrugada? ............. Entre que horas? .......................................

A qu hora del da la temperatura fue mnima? ............ Y mxima? ................

Qu pas entre las dos horas? ..............................

Cundo tuvo el enfermo la temperatura mnima entre las 0 h y las 12 h? .................

A qu hora entre las 8 y las 16 horas alcanza el enfermo la temperatura mxima? ..............

Ejercicio 4.- Una compaa de transporte pblico recogi en una grfica la informacin que tiene sobre la venta de bonos para viajar en sus lneas.

a) Durante cunto tiempo se hizo este estudio?

b) En qu momento del ao 1999 se vendieron menos bonos?

Y en cada uno de los aos 2000 y 2001? .

c) En que momento del ao 2001 se produce la mxima venta? .

A qu lo atribuyes?

..

d) En qu periodos anuales es mayor el crecimiento en la venta de bonos? ..

..

En qu estacin del ao es decreciente la venta?

Ejercicio 5.-

Los cestos de una noria van subiendo y bajando a medida que la noria gira. Esta es la representacin grfica de la funcin: tiempo-distancia al suelo de un cesto.

a) Cunto tarda en dar una vuelta completa?..............

b) Observa cual es la altura mxima y cual es el radio

de la noria

c) Es esta una funcin peridica?................................

Cul es el perodo?.................................

d) Explica cmo calcular la altura a los 130 segundos sin necesidad de continuar la grfica

Ejercicio 6.-

Mercurio tarda 88 das en completar su rbita alrededor del Sol. Su distancia al Sol oscila

entre 70 y 46 millones de km., segn muestra la grfica tiempo-distancia

a) Es esta funcin peridica?....... Cual es el perodo?..........

b) En que momento la distancia de Mercurio al Sol es

mxima? .................................................

c) Desde que inicia la rbita, durante cunto tiempo aumenta la distancia al Sol?........................................

d) Completa la grfica de la distancia de Mercurio al Sol durante 300 das.

Ejercicio 7.-

Describe el comportamiento de un carrusel mediante la siguiente grfica, que relaciona el tiempo que transcurre desde que comienza a moverse hasta que empieza una nueva vuelta

a) Es una funcin peridica?.............

b) Cul es el periodo?..................

c) Desde que comienza a moverse

Durante cunto tiempo aumenta su

velocidad?.........................................

d) Cunto tiempo mantiene la velocidad constante?..........................................

e) Cunto tiempo est parado?..................

Ejercicio 8.-

En la autoescuela Fene las tarifas son las siguientes:

Observando la grfica adjunta correspondiente al coste del carn segn el nmero de clases recibidas, contesta a las siguientes preguntas:

a) Con 5 clases obtuve el carn, Cunto pagu en total?.......................................

b) Es la funcin que relaciona

n de horas-precio continua?..............

c) Qu tipo de discontinuidad tiene?.....

..

Ejercicio 9.-

Esta es la grfica del coste de aparcamiento, en un centro comercial, en funcin del nmero de horas que mantenga el automvil en el garaje.

a) Es la funcin: tiempo-coste continua?..........

b) De que discontinuidad se trata?.......................

c) Describe mediante una tabla de valores los costes del aparcamiento en ese centro comercial.

Una funcin es una relacin entre dos variables a las que, en general,

llamaremos x e y.

x es la variable independientey es la variable dependienteUna funcin asocia a cada valor de x un nico valor de y.

El tramo de valores de x para los cuales hay valores de y se llama dominio de definicin de la funcin

El tramo de valores y correspondiente a cada valor de x se llama recorrido.

Ejercicio 10.-

En cada una de estas grficas indica: Dominio, Recorrido, Intervalos de crecimiento y decrecimiento,

los mximos y los mnimos.

Indica tambin si alguna es discontinua o si alguna es peridica.

Completa la siguiente tabla:

FUNCINABCD

Dominio

CrecimientoSiempre

DecrecimientoNunca

MximosNo tiene

MnimosNo tiene

DiscontinuaS, en N

PeridicaNo

Ejercicio 11.-

Los coches, una vez se compran, empiezan a perder valor a un ritmo de un 20% anual, aproximadamente.

a) Haz una tabla de valores que nos d el valor de un coche que cost 15000 , en aos sucesivos.

AosValor del Coche()

015000

1

2

3

4

5

b) Representa la funcin aos- valor del coche.

c) Halla una frmula que permita calcular el precio del coche en funcin de los aos transcurridos hasta su venta.

Ejercicio 12.-

Escribe en funcin de x el rea de la parte coloreada de cada una de estas figuras.

En el caso a) se obtiene as:

FUNCIONES LINEALES

Observando la siguiente tabla, puedes ver que los precios de alquiler de vdeos depende de si, previamente, te hiciste o no socio del videoclub.

n de vdeos01234 5678910

Precio

no socios02,557,5

Precio

socios12131415

a) Completa la tabla anterior.

b) Completa la grfica de la derecha, representando con puntos rojos los resultados para los socios y con puntos verdes los resultados para los no socios.

c)A partir de cuntos vdeos conviene hacerse socio del videoclub?....................................

d) Si la expresin del coste de x vdeos, sin ser socio, es : y = 2,5.x

Cul es la frmula correspondiente siendo socio?

..

d) Son las grficas que obtuviste lneas rectas discontinuas?.............. Por qu son discontinuas?

.

Ejercicio1.- Una milla equivale, aproximadamente, a 1,6 km.

a) Completa la tabla que convierte millas en km.

Millas(x)01234567

Kilmetros(y)01,63,2

b) Cul es la frmula que relaciona: millas-km.?.....................................................

c) Cual es el valor de la constante de proporcionalidad?.

d) Qu significado tiene esta constante?..........................................................................

.

c) Dibuja la grfica de la relacin: millas-km.

d) Cuntos km. recorrer si he hecho 25 millas?...................................

Y cuntas millas recorrer si he hecho 176 km.?..............................

Ejercicio 2.- Al colgar diferentes pesos de un resorte, este se va alargando segn los valores que indica esta tabla:

Peso, x(g)02510

Longitud ,y(cm.)567,510

a) Representa los puntos de la tabla en un sistema de ejes cartesianos.

b) Calcula la expresin analtica (frmula) que relaciona: peso-longitud.

.

c) Qu longitud tendr el resorte cuando cuelgue un peso de 850 centgramos?..............

..

Ejercicio 3.-

Indica el tipo de las funciones lineales de que se trata de entre todas las dadas a continuacin, y posteriormente dibuja su grfica sobre unos ejes cartesianos:

La grfica de la funcin sera:

Responde las preguntas siguientes:

a) pasa por el (0,0)?..... y por el (1,1)?.........

b) es continua?................

c) cunto vale la pendiente?...................

d) es creciente?...............

Ejercicio 4.-

Calcula las pendientes de las siguientes rectas:

Ejercicio 5.-

Calcula las ecuaciones de las rectas del ejercicio anterior.

Ejercicio 6.-

Estas son las grficas que nos muestran la distancia que recorre el sonido en diferentes medios segn el tiempo que transcurre.

a) Cul es la pendiente de cada una?................

b) explica el significado de la pendiente: as

m = 1,5 significa que el sonido recorre 1,5 Km. en una hora en el agua

..

c) Escribe las ecuaciones de cada recta.

Ejercicio 7.-

Dos depsitos de agua A y B funcionan de la siguiente forma: a medida que A se va vaciando, B se va llenando. Tienes las grficas ms arriba:

a) Indica cual es la grfica de A y cual es la de B. Calcula las ecuaciones.

.

..

b) Cul es la velocidad de entrada y salida del agua?.......................................................

c) En que momento los depsitos tiene igual cantidad de agua?.....................................

(resuelve el sistema de las dos ecuaciones por igualacin)

Una funcin es una relacin entre dos variables, x e y.

A cada valor de la x (variable independiente) le corresponde un nico valor de y (variable dependiente). La funcin se represente grficamente sobre los ejes cartesianos.

La primera grfica corresponde a una funcin: a cada valor de x le corresponde un nico valor de y.

La segunda grfica no es de una funcin: hay valores de x que les corresponde ms de un y.

Las funciones describen fenmenos mediante las relaciones entre las variables que intervienen.

Observando la grfica de una funcin podemos comprender cmo evoluciona el fenmeno que en ella se describe

EMBED MSPhotoEd.3

Una funcin es creciente en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente x en ese intervalo aumenta tambin la variable dependiente y

Una funcin es decreciente en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente x en ese intervalo disminuye tambin la variable dependiente y

Una funcin y = f(x) tiene un mximo relativo en un punto a de su dominio si el valor de la funcin en ese punto, f(a), es mayor que los valores que toma la funcin en los puntos prximos a a

Una funcin y = f(x) tiene un mnimo relativo en un punto a de su dominio si el valor de la funcin en ese punto, f(a), es menor que los valores que toma la funcin en los puntos prximos a a

Una funcin y = f(x) se dice peridica de perodo T cuando toma valores iguales (de y), a medida que x toma valores en un cierto intervalo de longitud T.

Una funcin peridica queda perfectamente determinada conociendo como se comporta en un intervalo de longitud igual a un perodo (T).

Una funcin y = f(x) se dice continua en su dominio cuando su grfica es de trazo continuo en el mismo. En caso contrario se dice discontinua.

Las discontinuidades de una funcin pueden ser debidas a:

Si la variable independiente x toma nicamente valores discretos, la grfica de la funcin consta de una serie de puntos.

Si la variable x toma valores en un intervalo pero la variable Y toma valores discretos, la funcin tiene una grfica: a saltos. Decimos entonces que es discontinua en los x en que se producen los saltos.

Precio de cada clase.15

Precio matrcula carn.....150

Dos magnitudes se dicen directamente proporcionales cuando al aumentar una de ellas (doble, triple,..) tambin aumenta la otra del mismo modo (doble, triple,.) y al disminuir una (mitad, tercera parte,) la otra disminuye del mismo modo (mitad, tercera parte,.).

De modo ms preciso: cuando los valores de una de ellas se obtienen a partir de los de la otra multiplicndolos por un nmero fijo al que llamamos,

constante de proporcionalidad (en el ejemplo anterior, el coste del alquiler de vdeos para los no socios en relacin con el n de vdeos alquilados; en este caso esa constante de proporcionalidad es:2,5).

Todas las funciones que relacionan dos magnitudes directamente proporcionales se representan mediante una recta.

En algunos casos la relacin entre dos magnitudes no proporcionales tambin se describe mediante una recta (en el ejemplo anterior, el coste del alquiler de vdeos para los socios en relacin con el n de videos alquilados, se relacionan tambin mediante una recta).

Funciones lineales

Son aquellas que se representan mediante una recta. Entre estas tenemos:

Func. de proporcionalidad Funcin Afn Funcin Constante

Recta que pasa por: (0,0) Recta corta eje y en :(0,n) Paralela al eje X

Ecuacin: EMBED Equation.3 Ecuacin: EMBED Equation.3 Ecuacin: EMBED Equation.3

m es la pendiente m es la pendiente la pendiente es 0

La pendiente de una recta es la variacin (positiva o negativa) que experimenta el valor de y cuando el valor de x aumenta una unidad.

Para calcularla dividimos la variacin de y entre la variacin de x de dos puntos cualesquiera de esa recta.

Observa como la recta b) que pasa por los puntos: (1,3) y (-3,-2) tiene por pendiente: EMBED Equation.3 Calcula t la pendiente de la recta a)

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

Si conocemos un punto EMBED Equation.3 de una recta y su pendiente m entonces su ecuacin es de la forma EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

En este caso para la recta b) su pendiente es EMBED Equation.3 y pasa por el punto:P=(1,3)

Por tanto su ecuacin es: EMBED Equation.3 Calcula t la ecuacin de la recta a).

Para estudiar conjuntamente dos funciones lineales, representamos las dos rectas sobre los mismos ejes. Las coordenadas del punto de corte de ambas, si lo tienen, se calcula resolviendo el sistema de dos ecuaciones lineales al que dan lugar.

Observa que para las grficas dadas el punto de corte es: P = (5,50).

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