DEFINICION DE FUERZA AXIAL.

Cuando suponemos las fuerzas internas uniformemente distribuidas, se sigue de la estática elemental que laresultante P de las fuerzas internas debe estar aplicadas en el centroide de C de la sección. Esto significa queuna distribución uniforme de esfuerzos es posible únicamente si la línea de acción de las cargas concentradasP y P´ pasa por el centroide de la sección considerad. Este tipo de carga se conoce como carga axial centrada ysupondremos que se produce en todos los elementos sujetos a dos fuerzas que encontramos en cerchas y enestructuras conectadas por articulaciones.

DEFINICION DE ESFURZOS CORTANTES.

Debe existir fuerzas internas en el plano de la sección y que su resultante debe ser igual a P. estas fuerzasinternas elementales se llaman fuerzas cortantes y la magnitud P de su resultante es el cortante en la sección.Dividiendo la fuerza cortante P por el área A de la sección obtenemos en el esfuerzo cortante promedio en lasección. Los esfuerzos cortantes se presentan normalmente en pernos, pasadores y remaches utilizados paraconectar varios miembros estructurales y componentes de máquinas.

DEFINICION DE MOMENTO FLEXIONANTE.

Un diagrama de fuerzas cortantes o un diagrama de momentos flexionantes es una grafica que muestra lamagnitud de la fuerza cortante o momento flexionante a lo largo de la viga.

¿CUANTOS TIPOS DE INDETERMINACIONES HAY?

En la discusión de las vigas estáticamente indeterminadas es conveniente referirse al grado deindeterminaciones. El grado de indeterminaciones es el número de reacciones redundantes de la viga. Sedetermina restando el número de componentes reactivas que puede colocarse por medio de la estática, delnúmero total de componentes reactivas de la viga. Por ejemplo en la figura 8.1 (b), hay cuatro componentesreactivas (RAX, RAY, RBY, RCY), tres de las cuales puede determinarse mediante las ecuaciones de laestática. La viga de la figura 8.1 (b) se dice que es indeterminada de primer grado y que los cuatro reactivosmenos las tres determinadas por la ecuaciones de estática dan una reacción redundante. Análogamente la vigade la figura 8.1 (c) es indeterminada de segundo grado y la figura 8.1 (d)es indeterminada de tercer grado.

¿CUANTOS TIPOS DE APOYO, NUDOS O SOPORTES SE PUEDEN IDENTIFICAR O CONSTRUIRUNA ESTRUCTURA?

Vigas simplemente apoyadas: las reacciones de la viga ocurren en sus extremos.• Vigas en voladizo: un extremo de la viga esta fijo para impedir la rotación; también se conoce como unextremo empotrado, debido a la clase de apoyo.

•

Vigas con voladizo: uno o ambos extremos de la viga sobresalen de los apoyos.• Vigas continuas: una viga estáticamente indeterminada que se extiende sobre tres o más apoyos.• Sin carga: la misma viga se considera sin peso (o al menos muy pequeño con las demás fuerzas que seapliquen).

•

Carga concentrada: una carga aplicada sobre un área relativamente pequeña (considerada aquí comoconcentrada en un punto).

•

Carga uniformemente distribuida sobre una porción de la longitud de la viga.•

METODO DEL TRABAJO VIRTUAL

Es un método muy versátil para calcular desplazamientos en las estructuras. Estos desplazamientos pueden ser

1

debidos a cargas de cualquier tipo, cambios de temperatura, contracciones en al material estructural o erroresde fabricación. La expresión básica para el trabajo virtual es:

Trabajo virtual = trabajo virtual interno

We = Wi

En la ecuación anterior se puede expresar el primer término como el producto de una carga desconocida por eldesplazamiento buscado. El segundo termino se puede expresar en función de los elementos mecánicos de laestructura lo cual se hará en seguida:

Considérese la armadura mostrada en la fihura, la cual esta sujeta a un sistema de cargas P, y en la cual sedesea calcular el desplazamiento vertical

en el punto A.

Considérese ahora la misma armadura sujeta a una carga F en el punto A en la dirección de

.

Si se denomina como N de las fuerzas axiales en los elementos debidas al sistema de carga P, y como n a lasfuerzas axiales en los elementos debidas a la carga F, se tiene, según BETTIQUE:

Donde el termino con paréntesis es el alargamiento o acortamiento de cada elemento de la estructura debido ala aplicación de la carga F. por lo tanto:

Si se da a F el valor unitario (puede ser cualquier valor) se tendrá:

En forma semejante se puede establecer las expresiones del trabajo virtual interno para los demás elementosmecánicos y se obtiene:

2

BARRA LONGITUD L/EA

EC 500 .234X10−4.93X10−3 −1.25 −0.027 O 0

DA 300 .140X10−4.56X10−3 0.75 0.006 1.0(−) 0.008

DC 400 .187X10−4.75X10−3 0 0 0 0

ED 300 .140X10−4.56X10−3 −0.75 −0.006 1.0(−) 0.008

AC 500 .234X10−41.87X10−31.25 0.0547 0 0

CB 300 .140X10−41.69X10−31.50 0.034 0 0

AB 400 0 0 0 0 0 0

=0.06cm

ENERGIA DE DOFORMACION PARA CARGAS AXIALES

La barra simple de la estructura de la figura 13.4 tiene una carga Q aplicada gradualmente. Si el sistema seconserva elástico, el trabajo externo es Q D/2.

La figura 13.5 indica una barra sujeta a la aplicación gradual de una carga P. la barra experimentará unalargamiento total . La deformación interna de un segmento de la barra, de longitud dx (figura 13.5 b) es igual a la fuerzapromedio por el cambio de longitud de dx.

La energía total de deformación para toda la barra es la suma de las energías de deformación para cadasegmento:

ENERGIA DE DEFORMACION PARA CARGAS CORTANTES

La figura 13.11 (a) indica una viga de sección transversal rectangular. Las cargas extremas producen unafuerza cortante interna V. El esfuerzo cortante no esta distribuido uniformemente. Sobre la seccióntransversal, si no que varia según la ecuación como

. Consideremos una fibra tal como lo indica la figura 13.11 (b). El trabajo que se realiza mientras que la fibrade longitud dx esta siendo distorsionada es trabajo =

3

.

El movimiento es igual A ya que los ángulos son pequeños y

El área dA es igual a bdy, segunda Fig.13.11(c). el ángulo representa la deformación unitaria por cortante.

ENERGIA DE DEFORMACIONES PARA CARGAS DE FLEXION

La fig. 13.7 indica una viga con una carga concentrada actuando en B. el trabajo externo involucra elmovimiento de la fuerza Q a travez de la deflexion de la viga. El trabajo externo es igual a

, y recomendamos otra vez la relacion lineal carga−deflexion.

La energia interna de deformación para un segmento de longitud dx se determina sumando la energia dedeformación dU para cada fibra que existe en dx. Primero considerando la deformación en una sola fibralocalizada a una distancia y a partir del eje neutro(fig. 13.8b).

ENERGIA DE DEFORMACIONES PARA CARGAS DE TORSION

La fig. 13.12 indica una flecha circular sujeta a un par de torsión T. el trabajo externo involucra el movimientodel par T a traves de la rotacion . El trabajo externo es

.

La energia interna de deformación dU para un segmento dx en la figura 13.12b es

la energia de deformación en toda la longitud de la flecha se obtiene sumando la energia de deformación paracada segmento. Este se convierte en

MODULOS DE ELASTICIDAD Y RAZONES DE POISSON

MATERIALMODULO DEELASTICIDAD

MODULO DEELASTICIDAD CORTANTE

RAZON DEPOISSON

4

Ksi Gpa Ksi Gpa

Hierro

Fundido12000−500083−170 4600−1000032−69 0.2−0.3

Concreto

(compresión)

2500−4500

baja−2600

alta−4400

17−31

18

30

0.1−0.2

Piedra

Granito, mármol

Cuarzo, piedracaliza

6000−14000

3000−10000

40−100

20−70

0.2−0.3

0.2−0.3

Acero 28000−30000190−210 10800−1180075−80 0.27−0.30

Madera (flex)

Pino douglas

Roble

Pino del sur

1600−1900

1600−1800

1600−2000

11−13

11−12

11−14

Tugsteno50000−55000

14000

340−380

97

21000−23000

5600

0.2

0.25

MOMENTO POLAR DE INERCIA

Puede determinarse un momento de inercia usando coordenadas polares en vez de las coordenadasrectangulares de las secciones anteriores el momento polar de inercia se define como:

donde:

d = momento polar de inercia

r = distancia radial del elemento de area

dA = area elemental considerada en m2.

Usando el teorema de Pitágoras

pero

, entonces

5

por definición

por consiguiente

OBTENCION DE LA ENERGIA DE DEFORMACION

Carga axial. Datos:

fuerza cortante

momento flexionante

6

EJERCICIO

datos:

7

EJERCICIO

CALCULO DE LAS FUERZAS EN LOS SEGMENTOS DE LA ESTRUCTURA (TODOS LOSEGMENTOS ESTAN ARTICULADOS)

CALCULO DE LAS REACCIONES

(ángulos a 45 grados)

8

BARRA LONGITUD L/EA N N2L/EA

A−B 3 0 0 0

B−C 3 7.14X10−6 −5 0.18X10−3

D−E 3 14.29X10−6 5 0.36X10−3

A−D 3 14.29X10−6 −10 1.43X10−3

D−B 4.24 4.04X10−6 −7.1 0.20X10−3

E−B 3 2.86X10−6 −5 0.07X10−3

E−C 4.24 20.19X10−6 7.1 1.02X10−3

EJERCICICIO

PARA EL CASO DEL ESTUDIO DEL GIRO EN X=L/4

Del equilibrio se tiene

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DIAGRAMAS DIAGRAMAS

CORTANTE CORTANTE(virtual)

DIAGRAMAS DIAGRAMAS

MOMENTO MOMENTO(virtual)

CONTRIBUCION DE CORTANTE

CONTRIBUCION POR FLEXION

EJERCICIO

10

CALCULAR EL DESPLAZAMIENTO MÁXIMO EN LA ESTRUCTURA

Solución

Calculando las reacciones

11

para conocer

se aplica el método de carga virtual unitaria

De la estática se obtiene que

Obtención de

MOMENTOS DE INERCIA

12

de la relación fuerza−desplazamiento se tiene que

13

OBTENER LOS VALORES DE

RESOLVER EL SIGUIENTE MARCO POR EL METODO DE RIGIDECES

Solución particular

Solución complementaria

Los momentos de empotramiento en los nudos 1 y 2

los valores de las rigideces en los nudos para los diferentes estados de deformación supuestos, son:

14

las ecuaciones de equilibrio son:

sustituyendo los valores

15

resolviendo el sistema de ecuaciones anterior

una vez determinados los giros y desplazamientos en marco, se calcularan los momentos reales en dichomarco

las reacciones y diagramas de momento, fuerza cortante y normal se determinan como sigue

reacciones en el marco

diagrama de fuerza normal

diagrama de fuerza cortante

diagrama de momentos

Para la estructura que se indica, se requiere conocer los valores de las reacciones y los diagramas de fuerzasaxiales, cortante y momentos flexionantes.

I

Vigas secundarias

3m

Trabes y estructura particular

5m rígida

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I'

La estructura se presenta de la siguiente forma:

Corte I − I'

3m 5m

Se considera que:

REDUNDANTES

ESTRUCTURA PARTICULAR

3m 1.5 2 1.5

Solución complementaria

C−1

C−2

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