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Física I Apuntes de Clase 6, 2019 Turno H Prof. Pedro Mendoza Zélis
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Física I Apuntes de Clase 6, 2019
Turno H
Prof. Pedro Mendoza Zélis
El concepto de “energía” es muy importante tanto en ciencia básica como en la práctica de la Ingeniería.
La energía está presente en el Universo en diferentes formas: Mecánica (movimiento de los cuerpos), Electromagnética, Química, Térmica, Nuclear.
Los diferentes tipos de energía pueden transformarse unas en otras utilizando dispositivos o procesos específicos:
Energía química
Energía eléctrica
Energía mecánica
Energía potencial + -
Motor
eléctrico leva
Los conceptos de trabajo y energía que desarrollaremos son especialmente útiles cuando la fuerza que actúa sobre una partícula depende de la posición, por ej. en 1D, F = F (x).
En este caso la aceleración no es constante y no podemos aplicar las ecuaciones cinemáticas desarrolladas en la clase anterior.
En estos casos, el análisis desde el punto de vista de la energía puede brindar una resolución más simple a determinadas situaciones que la que resultaría por la aplicación directa de la Segunda Ley de Newton.
Los conceptos de “trabajo y energía” que desarrollaremos se fundamentan en las leyes de Newton: no incluyen nuevos conceptos, sino que generan una estrategia de resolución más simple.
Supongamos que una partícula de masa m se mueve entre dos posiciones xi y xf bajo la acción de una dada fuerza variable F, y que las velocidades respectivas son vi y vf.
La 2da ley de Newton expresa: ;dt
dpF mvp
xi xf
Fi vi vf Ff
m m
Trabajo y energía en una dimensión
El trabajo realizado por una fuerza F cuando esta se desplaza desde la posición xi a xf se define como:
xf
xidxFWTRABAJO
Trabajo y energía en una dimensión
Unidades
)(.. MKSJoulemNewtondFW
)(.. cgsErgioscmdinasdFW
ergioscmdinasmNJoule725
101010111 ..
El trabajo realizado por una fuerza F cuando esta se desplaza desde la posición xi a xf se define como:
xf
xidxFWTRABAJO
Trabajo y energía en una dimensión
dt
dvm
dt
dpF
dt
dxv
dtvdx
El trabajo realizado por una fuerza F cuando esta se desplaza desde la posición xi a xf se define como:
xf
xidxFWTRABAJO
Trabajo y energía en una dimensión
dt
dvm
dt
dpF
dtvdx
dvvmdtvdt
dvmdxF
El trabajo realizado por una fuerza F cuando esta se desplaza desde la posición xi a xf se define como:
xf
xidxFWTRABAJO
Trabajo y energía en una dimensión
dvvmdtvdt
dvmdxF
22
2
2
1
2
1
2if
vf
vi
vf
vi
xf
xivmvm
vmdvvmdxFW
Definimos la energía cinética de una partícula de masa m y velocidad v como:
2
2
1vmE
c
Trabajo y energía en una dimensión
ccfcfifEEEvmvmW
22
2
1
2
1
El trabajo realizado por una fuerza F cuando esta se desplaza desde la posición xi a xf se define como:
xf
xidxFWTRABAJO
Trabajo y energía en una dimensión
X(m)
F(N)
xi xf
F (x) El trabajo es el área bajo la curva
Si la fuerza F forma un ángulo q con la dirección de movimiento
de la partícula en 1D:
q
dx
F
F cos q
B
A
B
A
x
x
x
x
xdFdxFW
qcos
Fx x
Producto escalar
En general, definimos:
B
A
rdFW
kFjFiFFzyx
donde: kdzjdyidxrd
Para el caso 3D, la
componente de F en
la dirección del desplazamiento viene dada por el PRODUCTO ESCALAR
entre F y dr:
x
y
A
B q
F dr
Es un escalar!!!
z
i
j
k
Trabajo y energía en el espacio tridimensional
TRABAJO:
B
A
rdFW
kFjFiFFzyx
Como:
kdzjdyidxrd
Trabajo y energía en el espacio tridimensional
dzFdyFdxFrdFzyx
Trabajo y energía en el espacio tridimensional
B
A
z
B
A
y
B
A
x
B
A
ABdzFdyFdxFrdFW
22
2
1
2
1xAxB
B
Ax
vmvmdxF
Definimos como energía cinética a la cantidad:
2
2
1vmE
c
cABAB
f
iAB
EEEmvmvsdFW 22
2
1
2
1
El trabajo total realizado por todas las fuerzas que actúan sobre un objeto entre dos puntos de una trayectoria es igual a la variación de la energía cinética del objeto entre esos dos mismos puntos.
Teorema de Trabajo - Energía cinética
cABAB
f
iAB
EEEmvmvsdFW 22
2
1
2
1
Para varias fuerzas actuando sobre una partícula:
i ii
x
x
iWWWWxdFFFW
B
A
...)...(2121
B
A
rdFWCaracterísticas del trabajo W:
1) W = 0 si no existe desplazamiento (dr = 0).
2) W = 0 para fuerzas perpendiculares al desplazamiento ya que cos 90º = 0.
3) El signo de W depende del ángulo entre F y dr. Por ej. Wfr < 0, ya que cos 180º = -1
t
WP
Potencia: es el trabajo realizado por unidad de tiempo
Watts
s
Joules
t
WP
En general el trabajo W depende del camino elegido, sin
embargo existen fuerzas tales que el W entre dos puntos
no depende del camino sino solamente de las posiciones inicial y final.
Este tipo de fuerzas se denominan “conservativas” y tienen la propiedad de que el trabajo realizado por las mismas para cualquier camino cerrado es 0.
Si W i f i 0 i
f
f
isdFsdF
C1 C2
es conservativa F
i
f
C1
C2
F
Analizaremos el comportamiento de 3 fuerzas:
1) La fuerza de recuperación elástica
2) La gravitatoria
3) La de fricción
xkFel
(Ley de Hooke)
gmFg
Nfcr
Calcularemos los trabajos W de estas fuerzas en caminos
cerrados para analizar su condición de fuerzas conservativas o no conservativas.
1) Fuerza gravitatoria
y = 0
y = h
v0
mg
mg
mg
(a)
(b)
(c)
dy
dy
j
hgmWba
hgmWcb
y
0 hgmhgmWtotal
la fuerza gravitatoria es conservativa!!!!!
2) Fuerza de recuperación elástica F
F dx
F dx
F
dx
+d -d O
v
X
k
dx m
F
dx
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2
212
1dkW
2
322
1dkW
2
542
1dkW
2
432
1dkW
superficie horizontal sin fricción (=0).
0 eddccbba
WWWW
la fuerza de recuperación elástica es conservativa!!!!!
3) Fuerza de fricción
vi
dx fr,c
(a) (b)
Nfcr
,
vi
fr,c
xi xf
dx
(c) (d)
D
DNWcba
y DNWcdc
02 DNWctotal
la fr es no conservativa!!!
Si el W total realizado por una fuerza sobre una partícula en
cualquier camino cerrado es 0, diremos que esa fuerza es conservativa. De lo contrario diremos que es no conservativa.
Otra forma: “ Si el trabajo efectuado por una fuerza entre 2 puntos a y b es el mismo a lo largo de cualquier trayectoria arbitraria, entonces la fuerza es conservativa”.
Energía potencial Si la fuerza es conservativa se puede definir una función de la posición, que llamaremos “energía potencial”. En este caso el
trabajo W entre dos puntos se puede expresar como diferencia
de dicha energía potencial evaluada entre los dos mismos puntos.
En el caso de la fuerza gravitatoria:
hi
hf
v0
mg
dy
j
hihfgmdygmWhf
hihfhi
ºcos 180
higmhfgmWhfhi
Si hgmEgravp
.,
.,.,., gravpigravpfgravphfhiEEEW
Una bolita desliza (sin fricción) por una pista con un rizo (como se muestra en la figura). Si la pelotita es liberada en un punto de la pista de altura h ¿Cuál debe ser el mínimo valor de h para que la bolita de una vuelta completa por el rizo de radio R?. ¿Su respuesta depende de la forma de la pista antes del rizo?
Ejercicio: El rizo analizado con conceptos energéticos
h
R
Para el caso de la fuerza de recuperación elástica:
dx
xi xf
F
22
2
1180
if
xf
xifi
xxkdxxkW ºcos
Si definimos 2
2
1xkE
elp
,
elpielpfelpfi
EEEW ,,,,,
Teorema de trabajo-Energía mecánica
Ahora podemos considerar el W total como la suma de trabajos
producidos por fuerzas conservativas más el producido por fuerzas no conservativas:
ficfiFNCfip
fiFNCfiFCfitotal
EWE
WWW
,,
,,,
Si definimos: pcmecánicaEEE
fimecfipficfiFNCEEEW
,,,,
0 fiFNC
W ,Si
fmecimecfimecEEE ,,,
0
“Conservación de la energía”
Este principio de conservación es muy útil y aplica-ble en muchas situaciones prácticas de la vida coti-diana.
Para desarrollar entre todos en clase:
Ejercicio 3:
Un bloque de 15 kg es arrastrado a partir del reposo sobre una superficie horizontal y
áspera por una fuerza constante de 70 N que actúa formando un ángulo de 25º con la horizontal. El bloque se desplaza 5 m en una trayectoria recta, alcanzando la velocidad de 3,5 m/s . a) Calcule el cambio de energía cinética del sistema. b) Calcule el trabajo realizado por: b1) la fuerza de 70 N b2) la componente de la fuerza de contacto entre el bloque y el plano paralela a la superficie b3) la componente de la fuerza de contacto entre el bloque y el plano perpendicular a la superficie b4) la fuerza de gravedad b5) el trabajo neto realizado sobre el bloque c) Compare los valores obtenidos en a) y B5).
25º F
25º F
5 m
V = 0 V = 3,5 m/s
