UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDERFACULTAD DE CIENCIAS BSICASDEPARTAMENTO DE MATEMTICAS Y ESTADISTICADIAGNOSTICO MATEMTICAS II1. Realizar las operaciones indicadas y escribir el resultado sin exponentes negativos o nulos:a.23 / 164 / 13 / 23 / 2)'11]1

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xxxb.22332322

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k k kk ky zxz y xx x zc.22332322

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y xx zzxy zxkkkkk2. Dados los puntos: A(3, -2), B(-1, -4), C(2, 1) y D (4, 5).Calcular:a. El permetro del cuadriltero descrito por los puntos dados.b. El permetrodel cuadrilterodescritopor los puntos medios delos lados del cuadriltero primitivo.c. Que figura es este nuevo cuadriltero?Justificar la respuesta.d. Determine el rea del tringulo formado por los puntos A B C.3. Determinar a que seccin cnica corresponde cada una de las siguientes ecuaciones.a. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4b. x2 + 3 8y + y2 = 0c. x2 + 12y = 0d. 9y2 = 36 + 4y2e. 12x2 + 18y2 12x -12y - 5 = 04. Dada la funcin Sea 12) (2+xxx f .Determine: a. El dominio y rango de f(x)b. Las asntotas que posee la funcin f(x).c. Los intervalos de monotona de la funcin f(x) d. El tipo de concavidad en cada uno de los intervalos de la funcin f(x).e. Los extremos existentes y el tipo.5. Halle la derivada de la funcin: a. b.c.PROGRESIONES ARITMETICAS Y GEOMTRICASGUIA #1En las transacciones financieras como prstamos, depreciaciones, imposiciones, anualidades, ajustes por correccin monetaria, entre otros, se usa el inters simple y el SONIA MARITZA MENDOZAMATEMATICAS IIUNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDERFACULTAD DE CIENCIAS BSICASDEPARTAMENTO DE MATEMTICAS Y ESTADISTICAinters compuesto en los cuallas cantidades resultantes al final de cada perodo siguen una regla.COMPETENCIAS:Identificar progresiones aritmticas y geomtricas como sucesiones en las cuales ladiferenciaoel cociente entre trminos consecutivos es constante.Aplicar las sucesiones aritmticas y geomtricas en la solucin de problemas de interssimple, compuestoocualquier otra situacin que lo requiera.ACTIVIDADES DE APRENDIZAJEPROGRESIONES ARITMTICA .Tomemos el ejemplo siguiente:Un cliente especialpide albanco la cantidad de 5000 dlares a un inters del 1% mensual. El estdeacuerdoenpagar 200dlaresal capital cada mes, ms el inters en el balance. Al final del primer mes, paga 200 ms el intersde5000al 1%mensual, queson50 dlares. Enconsecuencia, el primer pagoes de 250 y slo le queda debiendo 4800 al banco. El trmino del segundo mes, paga 200 al capital mslosinteresessobre4800, los cuales son de 48 dlares al 1% mensual. Por tanto, susegundopagoes de248dlares. Continuando en esta forma, sus pagos sucesivos en dlares son: 250,248, 246,244.... ,202.Esta sucesines un ejemplo de Progresin aritmtica.DEFINICIN: Unasucesinsedicequees una progresin aritmtica (PA), cuya diferencia entre cualquier trmino y el anterioreslamismaalolargodetodala sucesin. La diferencia algebraica entre cada trmino y el anterior se denomina, diferencia comn y se denota por d.En el ejemplo anterior la sucesin de los pagos es una(PA) porque la diferencia entre cualquier trmino y el anterior es 2. Esta PA tienea 250 como suprimertrminoya2 como su diferencia comn.Demanerasimilar: 2,5,8,11,14... esunaPA cuyo primer trmino es 2 y diferencia comn 3.Si a este primer trmino le llamamos a y d es la diferencia comn de una PA , los trminos sucesivos de la PA son:a, a+d, a+2d, a+3dPara encontrar el nsimo trmino, lo encontramos aplicando la frmula:Tn= a + ( n-1) .dTambin resulta conveniente obtener una frmula para la suma de losprimeros n trminos de una progresin aritmtica.Sea Sn la suma de los primeros n trminos de una progresin aritmtica. ) (21 n na anS + Actividad 1.1. Pruebaestafrmula, haciendon=1,2,y3 Que encuentras?2. Dada la sucesin 1,5,9,13.... Calcule: a.El dcimo quinto trmino-b. El nsimo trmino3. (DEPRECIACIN) Una empresa instala una mquinaconuncostode1700dlares. El valor de la mquina se deprecia anualmente en150 dlares. Determine una expresin parael valordelamquinadespusden aos. Si el valor de desecho es de 200 dlares. Cul es el tiempo de vida til de la mquina?4. Calcule la suma de los primeros 20 trminos de la progresin.5. Los pagos mensuales que una dienta efectaal bancopor unprstamoforman una PA, Si sus pagos sexto y dcimo son de 345 y 333 dlares, respectivamente. De cunto ser su dcimo quinto pago al banco?INTERES SIMPLESea P una cantidad de dinero invertida a una tasa de inters anual del R por ciento. En un ao la cantidad de inters ganada est dada por I=P.(R/100)Si la inversin es a inters simple, entonces en aos sucesivos el inters slo se paga sobre el capital Pynosobrelos montos deinters generados. As que, seagregaunacantidad constante I a la inversin al final de cada ao. Despus de 1ao el valor total es P+I, despus de 2 aos es P + 2I, y as sucesivamente. La sucesin de valores anuales de la inversin,P, P+I, P+2I, P+3I, . . .forman de esta manera una progresin aritmticacuyoprimer trmino es Py con diferencia comn 1. Despus de 1aos el valor est dado por P + tI.Ej. (Inters simple) Se invierte una suma de $2000 con inters simple a una tasa de inters anual del 12%. Encuentre una expresin para SONIA MARITZA MENDOZAMATEMATICAS IIUNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDERFACULTAD DE CIENCIAS BSICASDEPARTAMENTO DE MATEMTICAS Y ESTADISTICAel valor de la inversin t aos despus de que se realiz. Calcule el valor despus de 6 aos.Solucin Aqu P = 2000 y R = 12. Por tanto, la cantidad de inters anual es : Despus de t aos el inters total agregado es tI=240t, de modo que el valor de la inversin es:P + tI = 2000 + 240tDespus de6aos, estevalor es:2000+ 6(240) = 3440 dlares.Actividad 2.1. (Pago de prstamo) Considere el prstamo del bancoal seorMuozpor $5000aun inters mensual del 1%. Cada mes paga $200al capital masel intersmensual del balance pendiente. Cunto deber pagar en total en el tiempo que est pagando el prstamo?2. (Pago de prstamos) Un individuo est de acuerdo en pagar una deuda libre de inters de $5800 en cierto nmero de pagos,cada unodeellos (empezandopor el segundo) debiendo exceder alanterior por $20.Siel primer pago es de $100, calcule cuntos pagos deber efectuar con objeto de finiquitar la deuda.PROGRESIONES GEOMTRICAS.Suponga que se depositan $1000 en un banco que ofrece unatasa de inters del 10% capitalizable anualmente. El valor de esta inversin(endlares) al cabode1aoes igual a: 1000 + l0% de 1000 = 1000(1 + 0,1) = 1100.Si la inversin es a inters compuesto, entonces durante el segundo ao el inters se paga por la suma total de $1100. Por tanto, el valor de la inversin (en dlares) al trmino de 2 aos es:1100 + 10% de 1100= 1100(1 + 0.1) =1100(1.1) = 1000(1.1)2Definicin: Una sucesin de trminos se dice que estn en una progresin geomtrica (PG) si la razn de cada trmino al trmino anterior essiemprelamisma. Estarazn constante se denomina razn comnde la PG.Puede expresarse como Tn = a . rn-1, en donde a es el primer trmino de la progresinyr es el cocienteconstanteo razn de la progresin.Para hallar la suma de los primeros n trminos de la progresin geomtrica.rr asn1) 1 (; r 1Ej. Para determinar los trminos quinto y n-simo de la sucesin 2, 6, l 54, Se analiza que tipo de progresin corresponde,de talforma queenconsecuencia, lostrminossucesivos tienen una razn constante de 3; esto es r=3. Asimismo, a=2. Por tanto, T5=ar4= 2(34) = 162 y Tn =arn-1 = 2(3n-1) INTERES COMPUESTOEl caso general de una inversin que crece a uninterscompuestoes: Si unasumaPse invierte a una tasa de inters del R por ciento anual, el valor de la inversin al trmino del n-simo ao est dada por la frmulaEstos valores para n= 1,2,3 forman una PG. La razn comn es r = 1+i y el primer trmino es a=T1= P(1+i)Actividad 3.1. Calcule la suma de los 10 primeros trminos de la sucesin 2-4, 8-10,.2. (Planes de ahorro) Cada ao una persona invierte 500.000 en un plan deahorros del cual recibe intereses a una tasa fija del 8% anual, Cul es el valor de este plan de ahorros al dcimo aniversario de la primera inversin?(incluya el pago actual).3. Supongaque$4000seinviertenaplazo fijo anualtasa de inters nominalanual del 6% con capitalizaciones mensuales.Calcule suvalor despus de 1 ao ydespus de4 aos.4. En una sucesin geomtrica el primer trmino es 32 y elquintoes 2;sihay tres trminos entre ellos, cules son?SONIA MARITZA MENDOZAMATEMATICAS IIA. DERIVAR CON LAS REGLAS BASICAS (TEOREMAS):En los ejercicios 1 a 12 halle la derivada de la funcin dada aplicando los teoremas:B. DERIVADAS DE ORDEN SUPEIOR E IMPLICITAS:En los ejercicios 1 a 5, obtenga la primera y la segunda derivadas de las funciones.C. APLICACIN DE MAXIMOS Y MINIMOS6.Un alambre de 100 cm. de longitud, se corta en dos partes formando con una de ellas un crculo y con la otra un cuadrado. Cmo debe ser cortado el alambre para que: a. La suma de las reas de las dos figuras sea mxima. b. La suma de las reas de las dos figuras sea mnima.PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L CALCULO INTEGRAL7.Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. Cul debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea mximo? Cul es el volumen de la caja?D. Sea 41) (22+xxx f . Determine: 1. Las asntotas que posee la funcin f(x).2. Los intervalos en los que la funcin f(x) es creciente y en los que decrece.3. El tipo de concavidad en todos los intervalos de la funcin f(x).4. Los extremos existentes y el tipo.5. La grfica de la funcin f(x).E. Analice la continuidad para la funcin f(x).Si es discontinua, aclare de que tipo.Argumente.1/x2 six 0f(x)= 1 si x = 0F. Realice:1.3 72 22 + +xxxLim2. La ecuacin de la pendiente de la recta que es tangente a la grfica de la funcin x2y3 6 = 5y3 + x3. La derivada de f(x).Siendo f(x) = (g o h) (x) Donde:g(u) = u3 3u2 + 1 yh(x) = x2 + 2.G. Un ingeniero debe construir un puente colgante y, para ello requiere que todo el peso del puente est bien distribuido a lo largo de los cables de los cuales debe colgar el puente. Las observaciones que ha hecho son las siguientes:Distancia del puente al cable (y)100 metros82.9 metros10 metros24.4 metros100 metros Largo del puente (x)1 metro2 metros 4.85 metros6.75 metros9 metros1. Represente la grfica de esta situacin en el plano cartesiano.2. Construya la ecuacin correspondiente.3. Identifique si es una funcin y si lo es analice su simetra (par, impar o ninguna).PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L CALCULO INTEGRALANTIDERIVADAINTRODUCCINUnfsicoque conocelavelocidadde unapartculapodradesear conocer su posicin en un instante dado. Un ingeniero que puede medirlaraznvariablealacual sefugael aguadeuntanque quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto periodo. Un bilogo que conoce la razn a laque creceunapoblacin de bacterias puede interesarse en deducir el tamao de la poblacin en algn momento futuro. En cada caso, el problema es hallar una funcin cuya derivada sea una funcin conocida. Si existe tal funcin F, se le denomina una antiderivada de f.COMPETENCIAS Encuentra mediante el proceso de derivacin, antiderivadas generales para una funcin especfica. Resuelve problemas de valor inicial. Aplicalanocindeantiderivadaenlasolucindesituaciones problemas.ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE:Lapreguntaaqu es: cmoencontrarF(x)apartirdef(x)?Por ejemplo; suponga que se le pide hallar una funcin F que tiene la siguiente derivada:34 ) ( x x F . A partir del conocimiento de las derivadas, probablemente se dira que4) ( x x F , ya que 3 44 ) ( x xdxd . LlamamosalafuncinFunaantiderivadadeF. Otras antiderivadas de34 ) ( x x F son: 5 ) (4+ x x G y 36 ) (4 x x H . Como se puede observar que si F(x) es una antiderivada de f(x), cualquier otra antiderivada es de la forma F(x) + C. Esta funcin se llama antiderivada general(cada valor de C nos da una antiderivada). (1)En que consiste el proceso de antiderivacin?Teorema. Si F es una antiderivada o primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f en el intervalo I si y solo si es delaforma: G(x)=F(x)+C, paratodoxenIdondeCesuna constante arbitraria. Notacin para antiderivadas o primitivas Si y = F(x) es una antiderivada de f, entonces se dice que F(x)es unasolucindelaecuacindiferencial delaforma ) (x fdxdy . Cuandoseresuelveunaecuacindeestetipo, es conveniente escribir en la forma diferencial correspondiente dy= f(x) dx.La operacin de encontrar todas las soluciones de esta ecuacin se denomina integracin, y se denota por el smbolo . La solucin a la ecuacin dy= f(x) dxse denota pory = f(x)dx = F(x) + Cde donde f(x) es el integrando, dx indica la variable de integracin y C es una constante. Llamamos a la f(x)dxla integral indefinida de f respecto de x. (2) Realice un esquema donde seale los elementos que conforman la integracin.Definicin.Lanotacinf(x)dx=F(x) +CdondeCes una constante arbitraria, significa que es una primitiva de f. Esto es,F(x) = f(x) para todo x en el dominio def.F(x) + C representa una familia de funciones (para cada uno de los valores de C se tiene una funcin de esta familia); dicha familia de antiderivadas es llamada la integral indefinida de la funcin f (x) ysedenota conelsmbolo f(x)dx, o sea f(x)dx =F(x) + C donde F '(x)= f(x) Reglas bsicas de integracinLa naturaleza inversa de la integracin y la derivacin se refleja en el hecho de que mediante la sustitucin de F(x) porf(x)en esta definicin obtenemos:F(x)dx = F(x) + CLa integracin es la inversade la derivacinAdems si,f(x)dx = F(x) + C entonces:[ ] ) ( ) ( x f dx x fdxd La derivacin es la inversade la integracinEstas dos ecuaciones permiten obtener directamente frmulas de integracin a partir de frmulas de derivacin, como se muestra en el siguiente resumen:PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L CALCULO INTEGRAL Ecuacin diferencial (ED).Es una ecuacin que contiene las derivadas o diferenciales de una o msvariablesdependientesconrespectoaunaomsvariables independientes.Tambin definida como una ecuacin que contiene una funcin desconocida y una o ms de sus derivadas.Clasificacin de las ED.Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar segn tres caractersticas: tipo, orden y linealidad. Segn el tipo una ED puede ser ordinaria (EDO) o parcial (EDP). Una EDO es aquella que slo contiene derivadas ordinarias (derivadas de una o varias funciones de una sola variable independiente). Una EDP, en cambio, contiene derivadas parciales (derivadas de una o varias funciones de dos o ms variables independientes). Elordende unaecuacin diferenciallo determina el ordendela ms altaderivadapresenteenella. UnaEDprimer orden; es aquella que solo contiene primeras derivadas y las deorden superior cuando contienen derivadas de orden superior a 1.Una ED es lineal si presenta la siguiente forma:Observaciones sobre las ED lineales:1. Lavariabledependienteytodas sus derivadas slopueden tener exponente igual a 1.2. Los coeficientes slo involucran la variable independiente x.Ejemplo 1. Calcular Solucin:Para hallar la integral de esta expresin, se debe (reescribir) transformar la expresin dada en una equivalente (integrar)aplicando la frmula (5), se tiene que la antiderivada general (simplificada): Ejemplo 2..Un auto se mueve con velocidad constante de 40 m/s.Cul es la posicin s(t) para un tiempo t, si en t=1 segundo el auto se hallaba en s= 10m?Solucin. Sedebeencontrarunaecuacinparas(t)apartirdel hecho d que v(t) =40; como dtdst v ) ( , tenemos: 40 dtdsSi se sabe que la derivada de s(t) es 40, cul ser entonces s(t)?A partir de la derivada se aplica la frmula (2) para obtener que la antiderivada general es s(t) = 40t + C (la cual se puede verificar derivando s(t) deducir que s(t)= 40)Cmo se sabe el valor de c? Lainformacinadicional s(1) =10significaqueenel tiempo1 segundo la posicin era 10 m, es decir: 10 = 40(1) + C, de donde c= -30.Por lo tanto s(t) = 40t 30Siempre que se tiene una condicin inicial como el ejemplo anterior, es posible determinar una antiderivada particular.La ecuacin) (x fdxdycon y0 = f(x0), se llama problema de valor inicial y consiste en encontrar y = f(x) que satisfaga las condiciones dadas.PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L CALCULO INTEGRALEjemplo 3.La aceleracin de dv / dt de cierto automvil deportivo esproporcional a la diferenciaentre250km/h yla velocidad del automvil. Solucin. ) 250 .( v kdtdv TALLER1. Escriba una ecuacin diferencial que sea un modelo matemtico de la situacin descrita.a. Latasa de cambio de una poblacin P conrespecto al tiempo t es proporcional a la raz cuadrada de P.b. La tasa de cambio con respeto al tiempo de la velocidad de un bote costero de motor es proporcional al cuadrado de v.c. En una ciudad que tiene una poblacin fija de P personas, la tasadecambioconrespectoal tiempodel nmeroNde personasquehanodounciertorumoresproporcional al nmero de las que todava no lo han odo.d. En una ciudad que tiene una poblacin fija de P personas, la tasadecambioconrespectoal tiempodel nmeroNde personas que han contrado cierta enfermedad es proporcional al producto del nmero de personas enfermas y el nmero de las que no lo estn.2. En cada caso encuentre la antiderivada general para la funcin dada. a. f(x)= b. f(x)= c. f(x)= d. f(x) = e. f(x)= f. 3. Completar la siguiente tablaIntegral originalReescribir Integrar Simplificar4. Una moneda se deja caer desde un edificio y toca el suelo en 6 segundos.Cul es la altura del edificio?5. Compruebo quea xa xax f+ ln21) ( es una antiderivada de 2 21) (x ax f6. La pendiente de la recta tangente a la grfica de la funcin f(x) est dada por 2x 1.Si f(0)=1 halle la funcin f(x).7. Un objeto, en cada libre, se mueve con aceleracin -9.8 m/s2.a. Encuentre unaecuacin paralavelocidadsuponiendoque v(0)=0.b. A partir de la ecuacin para v(t) encuentre la ecuacin de s(t), suponiendo que el objeto cae desde una altura de 10 m (s(0)=10).8. Determinarsi el enunciadoesfalsooverdadero. Si esfalso, explicar por qu o proporcionar un ejemplo que lo demuestre.a. Cada antiderivada o primitiva de una funcin polinmica de n grado es una funcin polinmica de grado (n+1)b. La antiderivada o primitiva de f(x) es nica.c. Si f(x) = g(x) entonces g(x) dx = f(x) + c.PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L CALCULO INTEGRALFORMULAS BASICAS DE INTEGRACION CAPITULO 1:ANTIDERIVACIN: INTEGRAL INDEFINIDA EJERCICIOS:1. Encuentre la antiderivada ms general de la funcin dada:2.Completar la siguiente tablaIntegral original Reescribir Integrar Simplificar3. Evaluar lassiguientesintegralesindefinidasy comprobar el resultado por derivacin4.Evaluar la integral trigonomtrica y comprobar el resultado por derivacin:No hay que confundir nunca el conocimiento con la sabidura. El primero nos sirve para ganarnos la vida; la sabidura nos ayuda a vivir.Sorcha CareyCAPITULO 2.ECUACIONES DIFERENCIALES (ED)Definicin Es una ecuacin que contiene las derivadas o diferenciales de una o ms variablesdependientes con respecto a una o ms variables independientes. Es unaecuacinque incluye ax y ay alas derivadas de y. Es una ecuacin que contiene una funcin desconocida y una o ms de sus derivadas.(Edwards y Penney).Clasificacin de las ED.Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar segn tres caractersticas: tipo, orden y linealidad. SegneltipounaEDpuedeserordinaria(EDO) o parcial(EDP). Una EDO es aquella que slo contiene derivadas ordinarias (derivadas de una o varias funciones deuna sola variable independiente). Una EDP, en cambio, contiene derivadas parciales (derivadasdeunaovariasfuncionesdedosoms variables independientes). Elordendeunaecuacindiferencial lodeterminael orden de la ms alta derivada presente en ella.Una ED primer orden; esaquellaquesolocontieneprimeras derivadasylasdeordensuperiorcuandocontienen derivadas de orden superior a 1.Una ED es lineal si presenta la siguiente forma:Observaciones sobre las ED lineales:3. La variable dependiente y todas sus derivadas slo pueden tener exponente igual a 1.4. Los coeficientes slo involucran la variable independiente x.ACTIVIDADA. En cada uno de los problemas 1 a 6, determine el orden de la ecuacin diferencial dada; diga tambin si la ecuacin es lineal o no lineal.Solucin 6Ecuacin diferenciaOrdinaria(slo aparece una variableindependiente), detercer orden(laderivada mayor esdeordentres);lineal(loscoeficientesslo dependen de la variable independiente x y la variable dependiente y sus derivadas son de primer grado).B. Enlosproblemas7a11, escribaunaecuacin diferencial queseaunmodelomatemticodela situacin descrita.6. La tasa de cambio de una poblacin P con respecto al tiempo t es proporcional a la raz cuadrada de P.7. Latasadecambioconrespetoal tiempodela velocidad de un bote costero de motor es proporcional al cuadrado de v.8. La aceleracin dedv / dtde cierto automvil deportivo es proporcional a la diferencia entre 250 km/h y la velocidad del automvil.9. EnunaciudadquetieneunapoblacinfijadeP personas, la tasa de cambio con respecto al tiempo del nmero N de personas que han odo un cierto rumor es proporcional al nmero de las que todava no lo han odo.10. EnunaciudadquetieneunapoblacinfijadeP personas, la tasa de cambio con respecto al tiempo del nmero N de personas que han contrado cierta enfermedad es proporcional al producto del nmero de personas enfermas y el nmero de las que no lo estn.Solucin 9.) 250 .( v kdtdv C. Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies por segundo a partir de una altura inicial de 80 pies. Encontrar la funcin de posicin que expresa la altura s en una funcin del tiempo t. Cundo llegar la pelota al suelo?D. Se arroja hacia arriba una pelota, con velocidad de 48pies/sdesdeel bordedeunacantiladoa432 piessobreel fondo. Calculesualturasobreel fondo a los t segundos despus.Cundo alcanza su altura mxima? Cundo llega al fondo?E. Una partcula, o punto material, se mueve en lnea recta y su aceleracin est expresada por a(t) = 6.t + 4.Su velocidad inicial es v(0) = -6cm/s y su desplazamiento inicial s(0) = 9cm.Determine su funcin de posicin, s(t).EL XITO NUNCA EST ANTES QUE EL ESFUERZO, NI SIQUIERA EN EL ECUACIONES DIFERENCIALES Una ecuacin diferencialinvolucra una o ms derivadas de la funcin. Se debe tener en cuenta el concepto de antiderivada. Unasolucindeunaecuacindiferencial es hallar cualquier funcin que satisfaga la ecuacin.Ejemplos:La velocidad se expresa como vdtdy para calcular a yse aplica la antiderivada:dt v dy . entonces dt v dy . luego :y = dt v.La aceleracin en pies/seg2 se expresa como:a=32ylavelocidadeslaantiderivadadela aceleracin, luego adtdv si despejamosadv podemos obtener la velocidad: dt a dv . esto es: dt a v .EJERCICIOS DE APLICACIN:1. Unbalnselanzaverticalmentehaciaarriba con una velocidad de 64 pies por segundo, desde una cima ubicada a 96 pies de altura.a) Aqualturaseencuentrael balnalost segundos?b) En qu instante alcanza su altura mxima?c) A qu altura del suelo sube el baln?d) En qu instante toca el baln el suelo?2. Una lancha de motor se aleja delmuelle a lo largodeunalnearectaconunaaceleracinal tiempo t dada por a(t) = 12t 4 pies/seg2.En el tiempo t = 0 la lancha tena una velocidad de 8pies/syseencontrabaa15piesdel muelle. Calcular la distancia S(t) al embarcaderoalcabo de t segundos.3. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde una alturade 144 pies sobre elsuelo con una velocidad inicial de 96 pies/seg,Despreciando la resistencia del aire.Hallara) Su altura desde el suelo a los t segundos.b) Durante qu intervalo de tiempo la piedra sube?c) En qu momento y con qu velocidad choca la piedra contra el suelo a descender?4. Un fabricante sabe que el costo marginal correspondiente a la produccin de x unidades de cierto componente de una fotocopiadora est dado por 30 0.02x. Si el costo de producir una unidad esdeUS$35dlares. Cul serel costode producir 100 unidades?5. Unproyectil se dispara verticalmente hacia arriba desde elsuelo con una velocidad de 1600 pies/seg. en t = 0.Despreciando la resistencia del aire, calcule su altura o distancia desde el suelo.6. Se lanza una piedra directamente hacia abajo desdeunaalturade96piesconunavelocidad inicial de 16 pies/seg.a) Encontrar la mxima altura que alcanza el objeto sobre el suelo.b) Hallar el tiemponecesarioparaalcanzar su altura mxima.c) Hallar la velocidadal llegar al suelo.d) Hallar el tiempototal transcurridohastaque llegue a tierra.7. Se dispara una bala verticalmente hacia arriba conunavelocidadde500m/s. Cuntotiempo estuvo la bala en el aire?8.Un hombre parado desde el techo de un edificio tiraunabolaverticalmentehaciaarribaconuna velocidad inicialde 40 pies/seg. La bola llega al suelo a 4.25 segundos ms tarde.a) Cul eslaalturamximaalcanzadapor la bola?b) Qu altura tiene el edificio?c) Con qu velocidad llegar la bola al suelo?8.Desde lo alto de una cpula de 300 m de altura se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad de 98 m/seg.a) Aqualturaseencuentralapelotaalost segundos?b) En qu instante alcanza su altura mxima?c) A qu altura del suelo sube el baln?d) En qu instante toca el baln el suelo?Cuando le apuntamos a lo alto, estamos ms cerca de nuestros sueos que si nos conformamos con pequeos objetivosSUMAS Y NOTACIONES SIGMAComnmente se usa esta notacin para escribir las sumas con muchos trminos.Ejemplo:12 + 22 + 32 + 42 + 52 + . . . . + 1002 = 10012ii ya1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+an =niia1El smbolo utilizado para el ndice no importa. As:todos corresponden aa1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+ an.Por esta razn, con frecuencia el ndice se le llama ndice mudo.Donde (sigma mayscula griega), corresponde a laS denuestroalfabeto,indica que se estn sumando todos los nmeros de la forma indicada cuando elndice icorresponde a todos los enteros positivos, iniciandoconel enteroque aparece debajo de y finalizando con el entero ubicado arriba de .PROPIEDADES DE .1. Si todas las cien la sumatoria tienen el mismo valor, digamos c, entonces c n cnii .12. es considerado como un operador, opera sobresucesiones,y lohacedeuna manera lineal. FORMULAS PARA ALGUNAS SUMAS ESPECIALESHayfrmulastilescuandosenecesitasumar losprimerosnenterospositivos, as comolas sumas de cuadrados, cubos, entre otros.+nin ni12) 1 (+ +nin n ni126) 1 2 )( 1 (2132) 1 (1]1

+nin ni + + +nin n n n ni12 3430) 1 9 6 )( 1 (ACTIVIDAD1. Demuestre el teorema de linealidad.2. Existen otras formas de escribir la siguiente expresin? cules?3. Escriba la suma que se indica en la notacin sigma 4. Encuentre los valores para la suma indicada:5. Encontrar unafrmula paralasuma den trminos. Con esa frmula calcular el limite cuando n tiende a infinito:a.nin i1216b

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nin ni12 2c.

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+nin ni1216. Dado por conocido el valor denii1y utilizandolas propiedades delasumatoria, encontrar:a. La suma de los primeros n impares.b. 2 + 8 + 14 + . . . + (6n -4)c. La suma delos nprimeros nmeros de la sucesin 3, 8, 13, . . .INVESTIGUE:Comosedeterminasi una funcin es positiva?SUMATORIA7. Defina con sus palabras sumatoria.8. Cuales son las caractersticas del subndice?9. Liste las propiedades de la sumatoria y realice un ejemplo de cada una de estas.10. Existenotrasformasdeescribirlasiguiente expresin? cules?11. Escriba la suma que se indica en la notacin sigma 12. Existen algunas formulas de calculo o sumas especiales, como por ejemplo:Consulte las otras.13. Utilice las frmulas para las sumas especiales para encontrar cada una de las sumas:a.b. c. d.e. f. 14. Encontrar una frmula para la suma de n trminos. Con esa frmula calcular el limite cuando n tiende a infinito:a.nin i1216b

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nin ni12 2c.

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+nin ni12115. Deducir una formula para hallar el valor de:16. , INVESTIGUE Y DESARROLLE:1. Cmo sedeterminaunrea bajola curva, pormedioderectngulos?Ejemplifique cada uno de los procesos.2. Como se determina si una funcin es positiva?SUMAS Y NOTACIONES SIGMAComnmente se usa esta notacin para escribir las sumas con muchos trminos.Ejemplo:12 + 22 + 32 + 42 + 52 + . . . . + 1002 = 10012iiy a1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+an =niia1El smbolo utilizado para el ndice no importa. As:todos Donde (sigmamaysculagriega),correspondealaSde nuestroalfabeto,indicaqueseestnsumandotodoslos nmeros de la forma indicada cuando el ndice i corresponde atodoslosenterospositivos,iniciandoconelenteroque aparecedebajodeyfinalizandoconelenteroubicado arriba de .corresponden aa1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+an.Por esta razn, con frecuencia el ndice se le llama ndice mudo.PROPIEDADES DE .esconsiderado como un operador, opera sobre sucesiones, y lo hace deuna manera lineal.1. Demuestre el teorema de linealidad de 2. Demuestre las sumas telescpicas3. Liste lasfrmulasparaalgunassumasespeciales:nii1,nii12, nii13,nii14 4. Complete:5. Encuentre los valores para la suma indicada:6. Escriba la suma que se indica en la notacin sigma:7. Encuentre el valor de cada una de las sumas telescpicas:8. Utilice las frmulas para las sumas especiales para encontrar cada una de las sumas:a.b.c. d.e. f. 9. Encontrar una frmula para la suma de n trminos. Con esa frmula calcular el limite cuando n tiende a infinito:a.nin i1216b.

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nin ni12 2c.

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+nin ni121SUMAS Y NOTACIONES SIGMAComnmente se usa esta notacin para escribir las sumas con muchos trminos.Ejemplo:12 + 22 + 32 + 42 + 52 + . . . . + 1002 = 10012iiy a1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+an =niia1Donde (sigma mayscula griega), corresponde a la S de nuestro alfabeto, indica que se estn sumando todos los nmeros de la forma indicada cuando elndice i correspondeatodoslosenterospositivos, iniciandoconel enteroqueaparece debajo de y finalizando con el entero ubicado arriba de .El smbolo utilizado para el ndice no importa.As:todos corresponden aa1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+an.Por esta razn, con frecuencia el ndice se le llama ndice mudo.PROPIEDADES DE . e s considerado comounoperador, opera sobre sucesiones, y lo hace de una manera lineal.1. Demuestre el teorema de linealidad de 2.Demuestre lassumas telescpicas:3. Liste las frmulas para algunas sumas especiales: nii1, nii12,nii13,nii14.4. Complete:3. Cules la ms aproximada para determinar el rea bajo la curva por elmtodo de Simpson y Trapecio? En que consiste el error.Ejemplos,INTEGRALES DEFINIDASUnadelasmuchasaplicacionesdel lmiteesusarlo paradefinir el readeunareginenel plano. La integral definida se haba utilizado mucho antes de que el matemtico alemn Georg Friedrich Bernhard Riemann la generalizara.Definicin deuna suma de RiemannSi f es una funcin continua y no negativa definida para a x b, dividimos el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual ancho na bx) ( .Denotamos con xo (= a), x1, x2, x3, . . . xn(=b) los puntos extremos de estos subintervalos y elegimos los puntos de muestra x1*, x2*, x3*, . . . , xn* en [xi-1, xi].Entonces la suma de f, desde a hasta b,es: x fx Limini n ) (*1INTEGRALES DEFINIDAS Y SUS PROPIEDADESDefinicin:Sifestdefinidaenel intervalocerrado [ ] b a, y existe el lmitex fx Lim ini n ) (*1. Entoncesfesintegrableen [ ] b a, yel lmitese denota por baini ndx x f x fx Lim). ( ) (*1 Ese lmite se llama la integral definida de f entre a y b. El nmero a sellama lmite inferior de integracin y el b lmite superior de integracin.Concluimos que la integral definida y la integral indefinida son entes distintos; porque la integral definida esunnmero, mientrasquelaintegral indefinidaes una familia de funciones.Teorema 1:CONTINUIDAD IMPLICA INTEGRABILIDADSi unafuncinfescontinuaenel intervalocerrado [ ] b a, , entonces f es integrable en[ ] b a, .Ejemplo 1: Calcular la siguiente integral indefinida como lmite: 12. 2 dx xSolucin:La funcinf(x)= 2x es integrable en el intervalo [ ] 1 , 2 , por ser continua. Adems, la definicin de integrabilidad afirma que podemos utilizar cualquier particin con norma tendiendo a infinito para calcular el lmite.Luego x = n n a b 3 yXi = a + i. x = 2+ ni 3 por lo tanto la integral definida est dada por:Cmo la integral es negativa, no representa el rea de la regin de la figura. Una integral definida puede ser positiva, negativa o cero. Para que pueda ser interpretada como un rea (tal como se ha definido); la funcin fdebe ser continua y no negativaen[ ] b a, , como establece el prximo teorema.Teorema 2: LA INTEGRAL DEFINIDA COMO REA DE UNA REGINSifes continua y no negativa en elintervalo cerrado [ ] b a, , el rea de la regin limitada por la grfica de f, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b viene dada por:badx x f rea ). (PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS:1. Sif est definida en x = a, entonces 0 ). ( badx x f ; es el rea de una regin de altura finita y de anchura cero.Ejemplo: 0 ) 3 3 ( .33 dx x2. Sifes integrable en[ ] b a,, entonces babadx x f dx x f ). ( ). ( ; esladefinicinde una integral definida cuando a >b.Ejemplo: 221). 2 ( ). 2 (0303 + + dx x dx xTeorema 3: PROPIEDAD ADITIVA DE INTERVALOSSifes integrable en los tres intervalos cerrados delimitados por a, b y c entonces: + bccabadx x f dx x f dx x f ). ( ). ( ). (Teorema 4:PROPIEDAD DE LAS INTEGRALES DEFINIDIASSifygson integrables en [ ] b a, ykes una constantes, las funciones kfy f+gson integrables en [ ] b a, .Adems:1.dx x f k dx x kfbaba. ) ( . ) ( 2.[ ] t tbababax g dx x f dx x g x f ) ( ). ( . ) ( ) ( Teorema 5. PROPIEDADES DE ORDEN DE LA INTEGRALSi f(x) 0 para a x b, entonces.Si f(x) g(x)para todo x en [a, b], entonces TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULOInformalmente, el teorema afirma que la derivacin y la integracin (definida) son operaciones mutuamente inversas. Paraver cmoNewtonyLeibnizsedieron cuentadeello, consideremoslasaproximacionesque muestra la Figura. Cuando definimos la pendiente de la recta tangente, utilizamos elcociente y/x (pendiente de la recta secante). Anlogamente, al definir el rea de una reginbajounacurva, usamosel producto y.x (readeunrectngulo). As pues, ensuprimerpaso derivacineintegracinsonoperacionesinversas. El teorema fundamental del Clculo establece que el proceso de lmite usado para definir ambas operaciones preserva esa relacin inicial de inversas.TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO:Sif(x)es continuaenel intervalocerrado [ ] b a, yFesuna primitiva de f en[ ] b a, , entonces: ) ( ) ( ). ( a F b F dx x fba Ejemplo: Calcularla siguiente integral definida (1) Calcular el rea de la regin acotada por la grfica de y = 2x2 3x + 2, el eje x y las rectas verticales x = 0 y x = 2.Graficar.El teoremadel valor medioparaintegrales:Seha comprobado que el rea de una regin bajo una curva es mayor que el rea de un rectngulo inscrito y mayor que la de uno circunscrito. El teorema del valor medio para integrales afirma que existe, entre el inscrito y el circunscrito, un rectngulo cuya rea es precisamente la misma que la de la regin.Sif es continua en elintervalo cerrado[ ] b a, , existe un nmero c en [ ] b a, tal que:badx x f ). ( = ) ).( ( a b c f Definicin del valor medio de una funcin en un intervalo:Sif es integrable en el intervalo cerrado [ ] b a, , elvalor mediode f en[ ] b a, es: badx x fa b). (1(2) Determinar elvalor medio de f(x) = 3x2 2xen el intervalo [1,4].Segundo Teorema Fundamental del Clculo :Si f es continua en un intervalo abierto I que contiene el punto a, entonces para todo x de este intervalo.) ( ). ( x f dt t fdxdxa1]1

ACTIVIDAD

U.F.P.S. MATEMATICAS IILAS INTEGRALES DEFINIDASCuandosedefinelaintegralbax d x f ) ( ). (, implcitamentesesuponequea b .Observemos que si invertimosel ordendeayb, entonces xcambiade(b- a)/ na(ab)/ n. Por tanto abbax d x f x d x f ) ( ). ( ) ( ). (Si a = b, entones x = 0 luegoaax d x f 0 ) ( ). (PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDASTEOREMA.PROPIEDAD ADITIVA DE INTERVALOS: Si f es integrable en los tres intervalos cerrados delimitados por a, b y c, entonces:1. + bcbacax d x f x d x f x d x f ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). (TEOREMA. PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS: Si f y g son integrables en [a. b] y k es una constante, se tiene: 2. babax d x f k x d x f k ) ( ). ( ) ( ). ( .4. bababax d x g x d x f x d x g x f ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( )]. ( ) ( [3. + +bababax d x g x d x f x d x g x f ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( )]. ( ) ( [TEOREMA. PROPIEDADES DE ORDEN DE LA INTEGRAL5.Si f(x) 0 para a x b, entonces .6.Si f(x) g(x)para todo x en [a, b], entonces EJEMPLO 1.Supngase TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO INTEGRALInformalmente, el teorema afirma que la derivacin y la integracin (definida) son operaciones mutuamente inversas. Para ver cmo Newton y Leibniz se dieron cuenta de ello, consideremos las aproximaciones que muestra la Figura. Cuando definimos la pendiente de la recta tangente, utilizamosel cocientey/x(pendientedelarectasecante). Anlogamente, al definir el rea de una regin bajo una curva, usamos el producto y.x (rea de un rectngulo). As pues, en su primer paso derivacin e integracin son operaciones inversas. El teorema fundamental del Clculo establece que el proceso de lmite usado para definir ambas operaciones preserva esa relacin inicial de inversas.LA PRIMERA PARTE DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULOSi f es continua en [a. b], la funcin g definida por xadt t f x g ). ( ) ( donde:a x bes continua en [ a, b] y derivable en (a, b), y g(x) = f(x).EJEMPLO 2.Solucin: Ntese que f(t) = 12+ t es continua en toda la recta real. Aplicando, por tanto, la primera parte del teorema fundamental del Clculo se obtiene

EJEMPLO 3. En este caso se debe emplear la regla de la cadena junto con la primera parte del teorema fundamental del clculo.Sea u = x4.Entonces:LA SEGUNDA PARTE DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULOSi f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b], entoncesDemostracin: La clave reside en escribir la diferencia F(b) F(a) de forma adecuada. Sea la siguiente particin de [a, b].a = X0 + < + -(7/2). Por lo tanto el conjunto de convergencia es:C = {x/x > -(7/2)}En cuanto a la suma de la serie, recordemos que si r tiene valor absoluto menor que 1, tenemos:rrrrrr r r rnnnnnnnn + + 11111111 1 100De esa manera obtuvimos la suma de una serie geomtrica que en vez de empezar en n = 0 empieza en n = 1. Aplicndola a nuestro caso es:LIC. SONIA MARITZA MENDOZA L3252 55252152521++ +++++++ ,_

++xxx xxxxxxxxxnn4) Determinar si las siguientes series convergen absoluta o condicionalmente, o bien si no convergen:a) 1!nnnnb) 133) 1 (nnn nc) ) 1 2 ( 7 5 3) 2 3 ( 7 4 19 7 5 310 7 4 17 5 37 4 15 34 1+ + + + +nnd)1) (log1nnnSOLUCINa) Es una serie de trminos positivos, por ende convergencia ser equivalente a convergencia absoluta. Lo abordamos por el criterio de la razn:en nnnnnnn nnnnnnnnaannnnnnnnnnnnnnnnnnn ,_

+ ,_

++++++++ + + + + 11 lm1lm) 1 (lm) 1 (11lm) 1 ()! 1 (!lm!)! 1 () 1 (lm lm1 111El lmite da mayor que 1, y por ende la serie diverge.b) Tenemos en este caso:31 1lm31 ) 1 (lm3133 ) 1 (lm33) 1 (lm lm3331 333131

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++++ + + + nnnnnnnnaan nnnnnnnnnnEl lmite existe y por ende la serie converge uniformemente, y por consiguiente converge.c) 233 21 3lm) 1 ) 1 ( 2 () 2 ) 1 ( 3 (lm) 1 2 ( 7 5 3) 2 3 ( 7 4 1) 1 ) 1 ( 2 ( ) 1 2 ( 7 5 3) 2 ) 1 ( 3 ( ) 2 3 ( 7 4 1lm lm1+++ + ++ + + + + + nnnnnnn nn naann nnnnLa serie diverge, pues el lmite aplicado segn el criterio de la razn da mayor que 1.d) ste es un problema en que aparece como conveniente aplicar el criterio de la raz.LIC. SONIA MARITZA MENDOZA L0log1lm) (log1lm n nnnnEl lmite existe y es menor que 1, y en consecuencia converge.5) Calcular:a) 11)! 1 2 () 1 (nnn con cuatro cifras decimales exactas.b) 161) 1 (nnn con un error menor a 0,00002SOLUCINa) En este caso, al requerirse cuatro cifras decimales, el error tendr que ser menor que 0,0001. Segn lo que sabemos de series alternadas, tenemos:)! 1 2 (1)! 1 ) 1 ( 2 (11+ + +n na S Sn n . Por lo tanto para que ese error cometido al tomar n trminos de la serie sea menor que 0,0001, basta con que:10000 )! 1 2 ( 0001 , 0)! 1 2 (1> + +