FORMULAS DE INTEGRALES PROPIAS. Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de integracin o la funcin en el integrando o ambos presentan ciertas particularidades. Las integrales impropias no son realmente una nueva forma de integrales, sino una extensin natural a las propiedades de la integral y un replanteamiento de nuestro concepto de rea bajo la curva.

Es impropia si se presenta uno de los siguientes casos: 1.- a = 2.ob= a=yb= dichos puntos se llaman

no es acotada en alguno de los puntos de

singularidades de Existes diversos tipos de integrales impropias las cuales definiremos a continuacin:

Cuando los lmites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la integral es convergente, en caso contrario, se dice que la integral es divergente. FORMULAS DE INTEGRALES IMPROPIAS. El objetivo de esta entrada es extender la idea de integral a situaciones donde el intervalo de integracin no es acotado o la funcin a integrar no es acotada. Se suele simbolizar por al conjunto de las funciones integrables Riemann en el intervalo 1. Integrales impropias de primera especie Se llaman as las integrales de funciones extendidas a intervalos no acotados.

Definicin 1. Sea

una funcin tal que

Se converge si existe el

dice que la integral impropia de primera especie lmite

Ejemplo 1. Y por lo tanto la integral converge. Ejemplo 2. Y por lo tanto la integral diverge. Ejemplo 3. Y como este lmite no existe, la integral no converge ni diverge.

Ejercicio 1. Estudiar la convergencia de la integral impropia segn los valores del parmetro y calcular su valor cuando sea convergente. Observacin impropia converge. 1. Sea y sea La integral

converge si y slo si la integral impropia

A continuacin se establecen dos criterios de comparacin, que proporcionan condiciones para la convergencia de la integral impropia de una funcin no negativa. Proposicin 1. (Criterio de comparacin directa) Sean funciones tales que 1. Si converge entonces converge. dos

2.

Si

diverge entonces

diverge.

Ejercicio 2. Estudiar la convergencia de la integral impropia

Ejemplo que

4.

La

integral y la integral

es

convergente,

puesto

converge segn el ejercicio 1.

Ejemplo 5. La integral de EulerPoisson converge, porque, de acuerdo con la observacin 1, esta integral tiene el mismo carcter que la integral integral Ahora se tiene converge. y es obvio que la

Ejercicio 3. Estudiar la convergencia de la integral impropia Proposicin 2. (Criterio de comparacin asinttica) Sean funciones positivas y supongamos que existe el lmite 1. Si entonces

2.

Si

y

entonces

Observacin 2. Las integrales impropias de primera especie del tipo se definen de forma anloga a las del tipo anterior, es decir,

Observacin 3. Otra forma de integral impropia de primera especie es aquella del tipo Se dice que esta integral es convergente si existe impropias, y de son

modo que ambas integrales convergentes, y en tal caso se define

2. Integrales impropias de segunda especie Se llaman as las integrales de funciones no acotadas extendidas a intervalos acotados. Definicin 2. Sea una funcin tal que Se dice que la integral impropia de segunda especie lmite converge si existe el

Anlogamente, si define

es una funcin con

se

Ejercicio 4. Estudiar la convergencia de la integral impropia segn los valores del parmetro y calcular su valor cuando sea convergente. Ejercicio 5. Estudiar la convergencia de la integral impropia Ejercicio 6. Formular versiones adecuadas del criterio de comparacin directa y del criterio de comparacin asinttica para integrales impropias de segunda especie. Ejercicio 7. Estudiar la convergencia de la integral elptica 3. El criterio de la serie El siguiente resultado pone de manifiesto la ntima conexin que existe entre las integrales impropias de primera especie y las series infinitas de nmeros reales. Proposicin 3. (Criterio de la serie) Supongamos que funcin positiva y decreciente, sea y sea impropia converge si y slo si la serie infinita es una integral

La converge.

Ejercicio 8. Probar la convergencia de la integral impropia Ejercicio 9. Probar la convergencia de la serie infinita 4. Convergencia absoluta y condicional Los criterios considerados hasta ahora son aplicables solamente a funciones no negativas. Las integrales impropias de funciones generales son harina de otro costal. Si es la integral impropia de una funcin cualquiera, tambin se

puede considerar la integral impropia cuyo integrando es una funcin no negativa, de modo que, a pesar de perder informacin sobre la integral original, los criterios anteriores para funciones no negativas pueden ser aplicados.

Definicin

3. Se

dice

que

una

integral

impropia es convergente.

converge

absolutamente si la integral impropia Proposicin convergente. 4. Toda integral impropia

absolutamente

convergente

es

Definicin 4. Se dice que una integral impropia es condicionalmente convergente si converge pero no absolutamente.

Ejemplo 6. La integral impropia 5. Las funciones gamma y beta de Euler

converge condicionalmente.

La funcin gamma es una de las funciones ms importantes del Anlisis. Esta funcin se define mediante una integral impropia de primera especie que depende de un parmetro. Definicin 5. (La funcin gamma de Euler) Proposicin 5. (Algunas propiedades de la funcin gamma) 1. 2. 3. No menos importante es la funcin beta. Esta funcin se define mediante una integral impropia de segunda especie que depende de dos parmetros. Definicin 6. (La funcin beta de Euler)

La siguiente identidad revela una estrecha relacin entre ambas integrales eulerianas. Proposicin 6.

Ejercicio 10. Calcular

y deducir que

FORMULA DE INTEGRACIN DERVADA. En clculo infinitesimal, la funcin primitiva o antiderivada de una funcin f es una funcin Fcuya derivada es f, es decir, F = f. Una condicin suficiente para que una funcin f admita primitivas sobre un intervalo es que se contina en dicho intervalo. Si una funcin f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre s en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un nmero real C, tal que F1= F2 + C. A C se le conoce como constante de integracin. Como consecuencia, si F es una primitiva de una funcin f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

El proceso de hallar la primitiva de una funcin se conoce como integracin indefinida y es por tanto el inverso de la derivacin. Las integrales indefinidas estn relacionadas con las integrales definidas a travs del teorema fundamental del clculo, y proporcionan un mtodo sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones. Ejemplo: Una primitiva de la funcin f(x) = cos(x) en es la funcin F(x) = sin(x) ya

que . Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendr un nmero infinito de primitivas tales como sen(x), sen(x) + 5, sen(x) - 100, etc. Es ms, cualquier primitiva de la funcin f(x) = cos(x) ser de la forma sen(x) + C donde C es una constante conocida como constante de integracin. Linealidad de la integral indefinida 1.-Si f es una funcin que admite una primitiva F sobre un intervalo I, entonces para todo real k, una primitiva de kf sobre el intervalo I eskF. 2.-Si F y G son primitivas respectivas de dos funciones f y g, entonces una primitiva de f + g es F + G. La linealidad se puede expresar como sigue:

La primitiva de una funcin impar es siempre par En efecto, como se ve en la figura siguiente, las reas antes y despus de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe as: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.

La primitiva F de una funcin f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0 En efecto, segn la figura, la reas antes y despus de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales:

Es decir F(0) - F(- a) = F(a) - F(0). Si F(0) = 0, F(- a) = - F(a): F es impar. La primitiva de una funcin peridica es la suma de una funcin lineal y de una funcin peridica

Para probarlo, hay que constatar que el rea bajo una curva de una funcin peridica, entre las abscisas x y x + T (T es el perodo) es constante es decir no depende de x. La figura siguiente muestra tres reas iguales. Se puede mostrar utilizando la periodicidad y la relacin de Chasles, o sencillamente con unas tijeras! (cortando y superponiendo las reas de color). En trmino de primitiva, significa que F(x + T) - F(x) es una constante, que se puede llamar A. Entonces la funcin G(x) = F(x) - Ax/T es peridica de perodo T. En efecto G(x + T) = F(x + T) - A(x + T)/T = F(x) + A - Ax/T - AT/T = F(x) - Ax/T =

G(x). Por consiguiente F(x) = G(x) + Ax/T es la suma de G, peridica, y de Ax/T, lineal.

Y por ltimo, una relacin entre la integral de una funcin y la de su recproca. Para simplificar, se impone f(0) = 0; a es un nmero cualquiera del dominio de f. Entonces tenemos la relacin:

El rea morada es la integral de f, el rea amarilla es la de f -1, y la suma es el rectngulo cuyos costados miden a y f(a) (valores algebraicos). Se pasa de la primera curva, la de f, a la segunda, la de f -1 aplicando la simetra axial alrededor de la diagonal y = x. El inters de esta frmula es permitir el clculo de la integral de f -1 sin conocer una primitiva; de hecho, ni hace falta conocer la expresin de la recproca. Calculo de Primitivas. Integrales inmediatas Para encontrar una primitiva de una funcin dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinacin lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revs una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:

Aqu estn las principales funciones primitivas: Funcin : primitiva de funcin : derivada de

Por ejemplo, busquemos una primitiva de x x(2-3x). Como no se conocen primitivas de un producto, desarrollemos la expresin: x(2-3x)= 2x - 3x2. 2x es la derivada de x2, 3x2 es la de x3, por lo tanto 2x - 3x2 tiene como primitiva x2 - x3 + k. Si adems se pide que la primitiva verifique una condicin F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condicin inicial cuando se trata de un problema de fsica), entonces la constante k es unvocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7. La integral definida Hemos visto entonces, "que el concepto de integral y en general del clculo integral tuvo su origen histrico en la necesidad de resolver problemas concretos,

uno de cuyos ejemplos ms caractersticos es el clculo del rea de una figura curvilnea" (AlekSandrov, ). que representa la grfica de la de la superficie

Consideremos una curva situada sobre el eje funcin con ecuacin

. Se desea encontrar el rea , el eje

limitada por la curva con ecuacin

y las rectas paralelas al eje en

con ecuaciones . Para tal efecto, dividimos el intervalo partes, no necesariamente iguales como se muestra a continuacin:

Denotamos con con puntos (

la longitud de la primera parte, la de la segunda parte . En cada parte elegimos

y as sucesivamente hasta la ltima , de tal forma que la altura),

nos da el rea del primer rectngulo, da el rea del segundo rectngulo y por

, es la base y

lo tanto

da el rea del ensimo rectngulo. Luego se tiene que:

Es la suma de las reas de los rectngulos de la figura anterior. Obsrvese que cuanto ms fina sea la subdivisin de segmento estar , ms prxima

al rea . Si se considera una sucesin de tales valores por divisin del

intervalo en partes cada vez ms pequeas, entonces la suma tender a . Al decir subdivisiones cada vez ms pequeas, estamos suponiendo no solo, que crece indefinidamente, sino tambin que la longitud del mayor de los la ensima divisin tiende a cero. Luego: , en

(A) Por lo que el clculo del rea buscada se ha reducido a calcular el lmite (A). El clculo del lmite (A) tambin se presenta en otros problemas; por ejemplo, cuando se desea determinar la distancia recorrida por un cuerpo que se mueve a lo largo de una lnea recta, con velocidad variable tiempo entre . es continua, o sea, que en intervalos pequeos en , en el intervalo de

Supongamos que la funcin

de tiempo la velocidad solo vara ligeramente. Se divide el intervalo partes de longitudes

. Para calcular un valor aproximado de la

distancia recorrida en cada intervalo , (con ) vamos a suponer que la velocidad en este intervalo de tiempo es constante e igual a su verdadero valor en algn punto intermedio . Luego, la distancia total recorrida estar expresada aproximadamente por la siguiente suma:

Siendo el verdadero valor de la distancia recorrida en el tiempo , el lmite de tales sumas para subdivisiones cada vez ms finas, o sea, que ser el lmite (A):

Es necesario determinar ahora la conexin entre el clculo diferencial y el integral, pero antes calculemos el rea de la regin limitada por la curva en ecuacin y las rectas con ecuacin .

Dividimos el intervalo cada est dado por derechos de que Luego:

en

partes iguales de tal forma que la longitud de , y tomamos como puntos cada segmento, los extremos por lo

(*)

La igualdad mtodo de induccin matemtica.

puede comprobarse utilizando el

Entonces

Por lo tanto, el rea de la regin es 9 unidades cuadradas. Puede observarse que el procedimiento utilizado es bastante laborioso y depende del conocimiento de una serie de frmulas como la sealada con (*). Es necesario por tanto establecer un procedimiento que agilice el clculo del rea de una regin curvilnea y para ello, vamos a establecer la relacin existente entre el clculo diferencial e integral.

El lmite (A) recibe el nombre de integral definida de la funcin

en el

intervalo y se denota por , donde se llama integrando, los lmites de integracin son y , con "a" como lmite inferior y "b" como lmite superior. Debemos contar con un mtodo general que permita el clculo de las integrales definidas. "Histricamente esta cuestin interes a los matemticos durante mucho tiempo, por la utilidad que ello supona para el clculo de reas de figuras curvilneas, volmenes de cuerpos limitados por superficies curvas, etc. El nmero de problemas particulares que se consigui resolver (clculo de reas, volmenes, centros de gravedad de slidos, etc.) fue creciendo gradualmente, pero los progresos en lo referente a encontrar un mtodo general fueron, al principio, extremadamente lentos. Dicho mtodo slo fue descubierto cuando se hubo acumulado suficiente material terico y prctico, proporcionado por la experiencia diaria. El trabajo de recoger y generalizar este material avanz muy lentamente hasta el final de la Edad Media; y su rpido desarrollo posterior fue una consecuencia directa del acelerado crecimiento del poder productivo de Europa como resultado de la desaparicin de los primitivos mtodos (feudales) de produccin, y la aparicin de otros nuevos (capitalistas). La acumulacin de datos relacionados con las integrales definidas march paralela a la investigacin de problemas relacionados con la derivada de una funcin... Esta inmensa labor preparatoria fue coronada con el xito en el siglo por los trabajos de Newton y Leibniz. En este sentido se puede decir que Newton y Leibniz son los creadores del clculo diferencial e integral. Una de las contribuciones fundamentales de Newton y Leibniz fue que aclararon finalmente la profunda conexin entre el clculo diferencial e integral, que proporciona, en particular, un mtodo general para calcular las integrales definidas de una clase bastante amplia de funciones. Para calcular esta conexin, analicemos un ejemplo tomado de la mecnica. Supongamos que un punto material se mueve a lo largo de una lnea recta con velocidad , donde es el tiempo. Se sabe que la distancia recorrida por

el punto en el intervalo de tiempo desde integral definida:

viene expresada por la

Supongamos conocida la ecuacin del movimiento del punto material; esto es, la funcin , que expresa la dependencia de la distancia respecto al tiempo a partir de un punto inicial sobre la recta. La distancia recorrida en el intervalo de tiempo es evidentemente igual a la diferencia

De este modo, consideraciones fsicas llevan a la igualdad:

que expresa la conexin entre la ecuacin del movimiento del punto material y su velocidad. Desde un punto de vista matemtico la funcin funcin cuya derivada para todos los valores de esto es: puede definirse como una del intervalo dado es igual a ,

Una tal funcin se llama primitiva de

. tiene al menos una primitiva, es una primitiva de ;

Hay que tener en cuenta que si la funcin

entonces tiene un nmero infinito de ellas; porque si entonces (donde

es una constante arbitraria) es tambin una primitiva. puesto que

Adems de este modo obtenemos todas las primitivas de si son primitivas de la misma funcin , tiene una derivada intervalo dado, por lo que

entonces su diferencia

que es igual a cero en todo punto del

es constante.

Desde un punto de vista fsico los diferentes valores de la constante determinan movimiento que slo difieren entre s en el hecho de que corresponden a todas las posibles elecciones del punto inicial del movimiento. Se llega as al resultado de que para una clase muy amplia de funciones , que

incluye todos los casos en los que la funcin puede ser considerada como velocidad de un punto en el instante se verifica la siguiente igualdad. (B) donde es una primitiva cualquiera de .

Esta desigualdad es la famosa frmula da Leibniz y Newton que reduce el problema de calcular la integral definida de una funcin a la obtencin de una primitiva de la misma, y constituye as un enlace entre el clculo diferencial e integral. Muchos de los problemas concretos estudiados por los ms grandes matemticos se resuelven automticamente con esta frmula que establece sencillamente que la integral definida de la funcin en el intervalo es igual a la diferencia entre los valores de cualquiera de sus primitivas en los extremos superior e inferior del intervalo. La diferencia (B) se acostumbra escribir as: " (Aleksandrov, ) , y las

Por ejemplo, utilizando la frmula de Newton-Leibniz puede calcularse que determina el rea de la regin limitada por la curva con ecuacin rectas con ecuaciones , de la siguiente manera:

Observe que , por lo que es una primitiva de Veamos otro ejemplo en el que utilizamos esta frmula:

Note que: Por lo que es una primitiva de

"De los razonamientos hechos al exponer la frmula de Newton y Leibniz se desprende, claramente que esta frmula es la expresin matemtica a una conexin autntica del mundo real. Es un bello e importante ejemplo de cmo la matemtica da expresin a las leyes objetivas. Debemos observar que en sus investigaciones matemticas Newton siempre adopt un punto de vista fsico. Sus trabajos sobre los fundamentos del clculo diferencial e integral no pueden ser separados de sus trabajos sobre los principios de la mecnica. Los conceptos de anlisis matemtico -como la derivada o la integral- tal como se presentaban a Newton y sus contemporneos, an no haba "roto" del todo con

sus orgenes fsico y geomtrico (velocidad y rea). De hecho era de un carcter mitad matemtico y mitad fsico. Las condiciones existentes en esa poca no eran todava las apropiadas para lograr una definicin puramente matemtica de esos conceptos. Por consiguiente, el investigador slo poda manejarlos correctamente en situaciones complejas s permaneca en contacto inmediato con los aspectos prcticos del problema incluso durante las etapas intermedias (matemticas) de su razonamiento. Desde este punto de vista el trabajo creador de Newton tuvo un carcter diferente del de Leibniz, ya que sus descubrimientos tuvieron lugar independientemente. Newton se dej guiar siempre por el enfoque fsico de los problemas. En cambio las investigaciones de Leibniz no tienen una conexin tan inmediata con la fsica, hecho que, en ausencia de definiciones matemticas precisas, le condujo a veces a conclusiones equivocadas. Por otra parte el rasgo ms caracterstico de la actividad creadora de Leibniz fue su esfuerzo por generalizar su bsqueda de los mtodos ms generales de resolucin de los problemas del anlisis matemtico. El mayor mrito de Leibniz fue la creacin de un simbolismo matemtico que expresaba lo esencial de la cuestin. Las notaciones por conceptos fundamentales del anlisis matemtico tales como la diferencial , la diferencial segunda , la integral , y la derivada fueron propuestas por Leibniz. El hecho de que estas notaciones se utilicen todava muestra lo acertado de su eleccin. Una de las ventajas de un simbolismo bien elegido es que hace las demostraciones y clculos ms cortos y fciles, y evita tambin, a veces, conclusiones equivocadas. Leibniz, quien no ignoraba esto, prest especial atencin en todo su trabajo a la eleccin de notaciones. La evolucin de los conceptos del anlisis matemtico (derivada, integra, etc.) continu, naturalmente, despus de Newton y Leibniz y contina todava en nuestros das; pero hay una etapa en esta evolucin que merece ser destacada. Tuvo lugar a comienzos del siglo pasado y est particularmente relacionado con el trabajo de Cauchy. Cauchy dio una definicin formal precisa del concepto de lmite y la utiliz como base para sus definiciones de continuidad, derivada, diferencial e integral. Estos conceptos se emplean constantemente en el anlisis moderno. La gran importancia de estos resultados reside en el hecho de que gracias a ellos es posible operar de un modo puramente formal y llegar a conclusiones correctas no slo en la aritmtica, el lgebra y la geometra elemental, sino tambin en esa nueva y extensa rama de la matemtica, el anlisis matemtico. En cuanto a los resultados prcticos del anlisis matemtico se puede decir hoy lo siguiente: si los datos originales se toman del mundo real entonces el resultado de los razonamientos matemticos tambin se verificar en l.

Y, si estamos completamente seguros de la precisin de los datos originales, no hay necesidad de hacer una comparacin prctica de la exactitud de los resultados matemticos, hasta comprobar la exactitud de los razonamientos formales. Esta afirmacin tiene naturalmente la siguiente limitacin. En los razonamientos matemticos los datos originales que tomamos del mundo real slo son verdaderos con una cierta precisin. Esto significa que en cada etapa de razonamiento matemtico los resultados obtenidos contendrn ciertos errores que, conforme avanza el razonamiento (Por ejemplo de y sigue formalmente que . Pero en la prctica esta relacin aparece como sigue: del hecho de que con un error igual a y con un error tambin se sigue que con un error igual a ) puede irse acumulando. Volviendo ahora a la integral definida, consideremos una cuestin de capital importancia. Para qu funciones definidas sobre el intervalo es posible

garantizar la existencia de la integral definida

es decir, un nmero para

el cual la suma tenga lmite cuando ?. Debe tenerse en cuenta que este nmero ser el mismo para todas las subdivisiones del intervalo y para cualquier eleccin de puntos . Las funciones para las cuales la integral definida es decir, el lmite (A) existe se dicen integrables en el intervalo . Investigaciones realizadas en el ltimo siglo demostraron que todas las funciones continuas son integrables. Pero hay tambin funciones discontinuas que son integrables y entre ellas figuran por ejemplo las funciones que son acotadas y crecientes (o decrecientes) en el intervalo .

La funcin que es igual a cero en los puntos racionales de e igual a uno en los puntos irracionales puede servir de ejemplo de funcin no integrable, puesto que para una subdivisin arbitraria la suma elijamos los puntos ser igual a cero o a uno segn entre los nmeros irracionales o racionales.

Sealamos que en muchos casos la frmula de Newton y Leibniz proporciona la solucin al problema de calcular una integral definida. Pero surge entonces el problema de encontrar una primitiva de una funcin dada, esto es, de encontrar una funcin que tenga por derivada la funcin dada. Procedemos ahora a discutir este punto.

Observemos de paso que el problema de encontrar una primitiva tiene gran importancia entre otras ramas de la matemtica particularmente en la solucin de ecuaciones diferenciales