Formulas integrales

De Cauchy

2

Más sobre integración en contornos cerrados...Podemos usar el teorema de Cauchy G para integrar funciones en contornos cerrados siempre que éstas sean:

(a) analíticas, o (b) analíticas en ciertas regiones

Por ejemplo,

0C z

dzC

f (z) es analítica en todo punto excepto en z = 0

Pero, ¿qué sucede si el contorno encierra un punto singular?C

?C z

dz

20,1

circulo el es C donde 85)(

13

tiz

dziziz

C

EJEMPLO

4

)(2)(0

0

zfidzzzzf

C

Fórmula Integral de CauchySea f (z) analítica en un dominio simplemente conexo D. Para cualquier punto z0 en D y cualquier contorno cerrado C en D que incluya z0:

D0z

C

5

)(2)(0

0

zfidzzzzf

C

C zdz

12(2) donde C es el círculo |z+i |=1

Necesitamos un término en la forma 1/(z- z0) así que rescribimos la integral como:

En primer lugar, notemos que 1/(z2+1) presentapuntos singulares en z = i.

El contorno C incluye uno de esos puntos, z = -i.Ese es nuestro punto z0 en la fórmula

Ci

i

D

dziziz

izizdz

zdz

CCC

1

))((12

6

C z

dz12

)(2)(0

0

zfidzzzzf

C

iz 0

Ci

i

D

izzf

1)(2/)( 0 izf

dziziz

izizdz

zdz

CCC

1

))((12

8

C zdz

14C

i

i

1 1Tenemos que

CC izizzzdz

zdz

))()(1)(1(14

El contorno C incluye uno de esos puntos, z = +i.Ese es nuestro punto z0 en la fórmula

CC

dziz

zfz

dz )(14 ))(1)(1(

1)(izzz

zf

donde

4)2)(1)(1(1)()( 0

iiii

ifzf

Ahora

2)(2)(

1 00

4

zfidzzzzf

zdz

CC

donde C es el círculo |z+i |=1

Fórmula integral de Cauchy para derivadas

Y SI TENEMOS EXPONENTE en El denominador?

Generalización de la fórmula integral de Cauchy

)(

!2)(

0)(

10

zfn

idzzzzf n

Cn

En su forma mas operativa

Generalización de la fórmula integral de Cauchy

C z

zC

dzzdidz

zz

dzzzdidz

zzz

22

2

3

1

2

2

2

0

0

cos2

cos

,3213

12

)(2)(

)(02

0

zfidzzzzf

C

Otro Ejemplo

Evaluar la integral

C

z

dzze

2

donde C es el círculo |z |=2

C

00 zsea

zezf )(sea

f (z) es analítica en D, y C incluye z0

0

0 )(

)(

ezf

ezf z

D

izdze

C

z2

2 2

14

)(2

2)(

)(03

0

zfidzzzzf

C

Ejemplo

Evaluar la integral

C

dziz

z3

2

donde C es el círculo |z |=2 C

iz 0sea

2)( zzf sea

f (z) es analítica in D, y C incluye z0

2)(2)(

0

zfzf

D

iiz

dzz

C

2)( 3

2

15

Calcular

donde C es la circunferencia con sentido positivo.

C

z

dziz

e32

3z

i

C

zi

iz

Cn

n

C

z

ieIi

Idziz

ei

e

ezfezfiz

siendo

dzzzzf

inzf

dziz

eI

23

2

200

10

0)(

3

22!2

)()(;2

:

, )(2

!

2

17

18

19

Si se tienen dos puntos singulares dentro de C, se usa Deformacion de contornos

o fracciones parciales

22

0C

C0z

zier0

Demostración no rigurosa de la fórmula integral de Cauchy:

Por el principio de deformación de contornos:

0 00

)()(

CC

dzzzzfdz

zzzf

derzfideirer

erzfdzzzzf ii

Ci

i

2

0 000

2

00

00

0

)()()(

0

ii eir

ddzerzz 000 ;

Cambio de variable:

23

Hemos tomado un r0 arbitrario. Hagámoslo infinitamente pequeño:

)(2)(

)()(lim

0

2

00

2

0 0

2

0 0000

zifdzif

dzfiderzfi i

r

)(2)(0

0

zfidzzzzf

C

¿Qué no es riguroso aquí?

APLICACIONES

Se dice que un dominio D es simplemente conexo si cualquier contorno cerrado simple C que se localice completamente en D puede encogerse hasta un punto sin tener que abandonar D. En otras palabras, en un dominio simplemente conexo, cualquier contorno cerrado simple C que se encuentre completamente en aquél encierra únicamente a puntos del dominio D. Expresado en forma alterna, un dominio simplemente conexo no tiene “orificios”. El plano complejo completo es un ejemplo de un dominio simplemente conexo. Un dominio que no es simplemente conexo se denomina dominio múltiplemente conexo; esto es, un dominio múltiplemente conexo tiene “orificios”, véase figura 10.8. Un dominio con un orificio se denomina doblemente conexo, un dominio con 2 orificios se denomina triplemente conexo, etc.

Preliminares

En 1883, el matemático francés Édouard Goursat demostró el teorema de Cauchy sin la hipótesis de continuidad de f‘. La versión modificada resultante del teorema de Cauchy se conoce como teorema de Cauchy-Goursat.

Como el interior de un contorno cerrado simple es un dominio simplemente conexo, el teorema de Cauchy-Goursat puede plantearse en forma poco más práctica:

Se prueba Con GreenY cauchy Riem

TEOREMA DE CAUCHY GOURSAT